Lesen Sie das Thema der Lektion: "Division mit einem Rest". Was wissen Sie bereits über dieses Thema?

Können Sie 8 Pflaumen gleichmäßig auf zwei Teller verteilen (Abb. 1)?

Reis. 1. Abbildung zum Beispiel

Sie können 4 Pflaumen in jeden Teller geben (Abb. 2).

Reis. 2. Illustration zum Beispiel

Die Aktion, die wir durchgeführt haben, kann wie folgt geschrieben werden.

8: 2 = 4

Was denken Sie, ist es möglich, 8 Pflaumen gleichmäßig auf 3 Teller zu verteilen (Abb. 3)?

Reis. 3. Illustration zum Beispiel

Handeln wir so. Legen Sie zuerst eine Pflaume in jeden Teller, dann die zweite Pflaume. Wir haben noch 2 Pflaumen übrig, aber 3 Teller. Wir können es also nicht gleichmäßig aufteilen. Wir legen 2 Pflaumen in jeden Teller und haben 2 Pflaumen übrig (Abb. 4).

Reis. 4. Illustration zum Beispiel

Lassen Sie uns die Überwachung fortsetzen.

Lies die Zahlen. Finden Sie unter den angegebenen Zahlen diejenigen, die durch 3 teilbar sind.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Teste dich selbst.

Die restlichen Zahlen (11, 13, 14, 16, 17, 19) sind nicht durch 3 teilbar, heißt es "mit dem Rest teilen."

Lassen Sie uns den Wert des Privaten finden.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 3 in der Zahl 17 enthalten ist (Abb. 5).

Reis. 5. Illustration zum Beispiel

Wir sehen, dass 3 Ovale 5 Mal passen und 2 Ovale übrig bleiben.

Die durchgeführte Aktion kann wie folgt geschrieben werden.

17: 3 = 5 (Ruhe 2)

Es kann auch in einer Spalte geschrieben werden (Abb. 6)

Reis. 6. Illustration zum Beispiel

Überprüfen Sie die Zeichnungen. Erklären Sie die Beschriftungen dieser Abbildungen (Abb. 7).

Reis. 7. Illustration zum Beispiel

Betrachten Sie die erste Abbildung (Abb. 8).

Reis. 8. Illustration zum Beispiel

Wir sehen, dass 15 Ovale durch 2 geteilt wurden. 2 wurde 7 Mal wiederholt, im Rest - 1 Oval.

Betrachten Sie die zweite Abbildung (Abb. 9).

Reis. 9. Illustration zum Beispiel

In dieser Abbildung wurden 15 Quadrate durch 4 geteilt. 4 wurde dreimal wiederholt, im Rest - 3 Quadrate.

Betrachten Sie die dritte Abbildung (Abb. 10).

Reis. 10. Illustration zum Beispiel

Wir können sagen, dass 15 Ovale in 3 geteilt wurden. 3 wurde 5 Mal gleichmäßig wiederholt. In solchen Fällen wird der Rest als 0 bezeichnet.

Machen wir die Division.

Wir teilen die sieben Quadrate in drei. Wir bekommen zwei Gruppen und ein Quadrat bleibt. Schreiben wir die Lösung auf (Abb. 11).

Reis. 11. Illustration zum Beispiel

Machen wir die Division.

Wir finden heraus, wie oft vier in der Zahl 10 enthalten ist. Wir sehen, dass in der Zahl 10 vier zweimal enthalten ist und 2 Quadrate übrig bleiben. Schreiben wir die Lösung auf (Abb. 12).

Reis. 12. Illustration zum Beispiel

Machen wir die Division.

Wir finden heraus, wie oft zwei in der Zahl 11 enthalten sind. Wir sehen, dass in der Zahl 11 zwei 5-mal enthalten sind und 1 Quadrat bleibt. Schreiben wir die Lösung auf (Abb. 13).

Reis. 13. Illustration zum Beispiel

Lassen Sie uns ein Fazit ziehen. Mit Rest dividieren bedeutet herauszufinden, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist und wie viele Einheiten übrig bleiben.

Division mit Rest kann auch auf einem Zahlenstrahl durchgeführt werden.

Auf der Zahlenlinie markieren wir Segmente von 3 Divisionen und wir werden sehen, dass sich drei Divisionen als dreimal herausstellten und eine Division übrig blieb (Abb. 14).

Reis. 14. Illustration zum Beispiel

Schreiben wir die Lösung auf.

10: 3 = 3 (Ruhe1)

Machen wir die Division.

Auf dem numerischen Balken markieren wir Segmente von 3 Teilungen und wir werden sehen, dass sich herausstellte, dass drei Teilungen dreimal waren und zwei Teilungen übrig blieben (Abb. 15).

Reis. 15. Illustration zum Beispiel

Schreiben wir die Lösung auf.

11: 3 = 3 (Ruhe2)

Machen wir die Division.

Auf dem numerischen Strahl markieren wir Segmente mit 3 Teilungen und wir werden sehen, dass wir genau 4 Mal erhalten haben, es gibt keinen Rest (Abb. 16).

Reis. 16. Illustration zum Beispiel

Schreiben wir die Lösung auf.

12: 3 = 4

Heute haben wir uns in der Lektion mit der Division mit einem Rest vertraut gemacht, gelernt, wie man die genannte Aktion mit einem Bild und einem Zahlenstrahl ausführt, und geübt, Beispiele zum Thema der Lektion zu lösen.

Referenzliste

1. MI Moro, MA Bantova und andere Mathematik: Lehrbuch. Note 3: in 2 Teilen, Teil 1. - M.: "Aufklärung", 2012.
2. MI Moro, MA Bantova und andere Mathematik: Lehrbuch. Note 3: in 2 Teilen, Teil 2. - M.: "Aufklärung", 2012.
3. MI Moreau. Mathematikunterricht: Leitfaden für Lehrerinnen und Lehrer. 3. Klasse -M.: Bildung, 2012.
4. Zulassungsdokument. Überwachung und Bewertung der Lernergebnisse. - M.: "Aufklärung", 2011.
5. "School of Russia": Programme für die Grundschule. - M.: "Aufklärung", 2011.
6. S.I. Wolkow. Mathematik: Testarbeiten. 3. Klasse -M.: Bildung, 2012.
7. VN Rudnizkaja. Tests. - M.: "Klausur", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Hausaufgaben

1. Schreibe die Zahlen auf, die ohne Rest durch 2 teilbar sind.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Division mit Rest anhand der Zeichnung durchführen.

3. Führen Sie eine Division mit Rest mithilfe des Zahlenstrahls durch.

4. Machen Sie eine Aufgabe für Ihre Kameraden zum Thema der Lektion.

In diesem Artikel werden wir analysieren ganzzahlige Division mit Rest. Beginnen wir mit dem allgemeinen Prinzip der Division ganzer Zahlen mit Rest, formulieren und beweisen einen Satz über die Teilbarkeit ganzer Zahlen mit Rest und verfolgen die Zusammenhänge zwischen Dividende, Divisor, Partialquotient und Rest. Als nächstes werden wir die Regeln bekannt geben, nach denen die Division von ganzen Zahlen mit einem Rest durchgeführt wird, und die Anwendung dieser Regeln beim Lösen von Beispielen berücksichtigen. Danach lernen wir, wie man das Ergebnis der Division von ganzen Zahlen durch einen Rest überprüft.

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Allgemeine Idee der Division von ganzen Zahlen mit Rest

Die Division ganzer Zahlen mit Rest betrachten wir als Verallgemeinerung der Division mit Rest natürlicher Zahlen. Dies liegt daran, dass natürliche Zahlen Bestandteil ganzer Zahlen sind.

Beginnen wir mit den Begriffen und Notationen, die in der Beschreibung verwendet werden.

In Analogie zur Division natürlicher Zahlen mit Rest nehmen wir an, dass das Ergebnis der Division mit Rest aus zwei ganzen Zahlen a und b (b ist ungleich Null) zwei ganze Zahlen c und d sind. Die Nummern a und b werden aufgerufen teilbar Und Teiler bzw. die Zahl d ist Rest aus der Division von a durch b, und die ganze Zahl c aufgerufen wird unvollständig privat(oder einfach Privat wenn der Rest Null ist).

Lassen Sie uns zustimmen, dass der Rest eine nicht negative ganze Zahl ist und sein Wert b nicht überschreitet (wir sind auf ähnliche Ungleichungsketten gestoßen, als wir über den Vergleich von drei oder mehr ganzen Zahlen sprachen).

Wenn die Zahl c ein partieller Quotient ist und die Zahl d der Rest der Division einer ganzen Zahl a durch eine ganze Zahl b, dann schreiben wir diese Tatsache kurz als Gleichheit der Form a:b=c (Residuum d) .

Beachte, dass wenn eine ganze Zahl a durch eine ganze Zahl b dividiert wird, der Rest Null sein kann. In diesem Fall sagen wir, dass a durch b teilbar ist ohne jede Spur(oder vollständig). Die Division ganzer Zahlen ohne Rest ist also ein Sonderfall der Division ganzer Zahlen mit Rest.

Es ist auch erwähnenswert, dass wir es bei der Division von Null durch eine ganze Zahl immer mit einer Division ohne Rest zu tun haben, da in diesem Fall der Quotient gleich Null ist (siehe Abschnitt über die Theorie der Division von Null durch eine ganze Zahl) und der Rest wird ebenfalls gleich Null sein.

Wir haben uns für die Terminologie und Notation entschieden, jetzt wollen wir herausfinden, was es bedeutet, ganze Zahlen durch einen Rest zu dividieren.

Auch die Division einer negativen ganzen Zahl a durch eine positive ganze Zahl b kann sinnvoll sein. Betrachten Sie dazu eine negative ganze Zahl als Schuld. Stellen wir uns eine solche Situation vor. Die Schulden, aus denen die Gegenstände bestehen, müssen von b Personen zurückgezahlt werden, die den gleichen Beitrag leisten. Der absolute Wert des unvollständigen Quotienten c bestimmt in diesem Fall die Höhe der Schulden jeder dieser Personen, und der Rest d zeigt, wie viele Posten nach Tilgung der Schulden übrig bleiben. Nehmen wir ein Beispiel. Nehmen wir an, 2 Personen schulden 7 Äpfel. Wenn wir davon ausgehen, dass jeder von ihnen 4 Äpfel schuldet, bleibt nach Begleichung der Schulden noch 1 Apfel übrig. Diese Situation entspricht der Gleichheit (−7):2=−4 (Rest 1) .

Der Division mit einem Rest einer beliebigen ganzen Zahl a durch eine negative ganze Zahl werden wir keine Bedeutung beimessen, aber wir werden ihr die Existenzberechtigung lassen.

Teilbarkeitssatz für ganze Zahlen mit Rest

Als wir über die Division natürlicher Zahlen durch einen Rest sprachen, stellten wir fest, dass der Dividende a, der Divisor b, der partielle Quotient c und der Rest d durch die Gleichheit a=b c+d zusammenhängen. Die ganzen Zahlen a , b , c und d haben dieselbe Beziehung. Diese Verbindung wird durch das Folgende bestätigt Teilbarkeitssatz mit Rest.

Satz.

Jede ganze Zahl a kann eindeutig durch eine ganze Zahl und eine von Null verschiedene Zahl b in der Form a=b q+r dargestellt werden, wobei q und r einige ganze Zahlen sind, und .

Nachweisen.

Beweisen wir zunächst die Möglichkeit, a=b·q+r darzustellen.

Wenn die ganzen Zahlen a und b derart sind, dass a ohne Rest durch b teilbar ist, dann gibt es per Definition eine ganze Zahl q mit a=b q . In diesem Fall gilt für r=0 die Gleichheit a=b q+r .

Nun nehmen wir an, dass b eine positive ganze Zahl ist. Wir wählen eine ganze Zahl q so, dass das Produkt b·q die Zahl a nicht überschreitet und das Produkt b·(q+1) bereits größer als a ist. Das heißt, wir nehmen q so, dass die Ungleichungen b q sind

Es bleibt die Möglichkeit zu beweisen, a=b q+r für negatives b darzustellen.

Da der Modul der Zahl b in diesem Fall eine positive Zahl ist, gibt es eine Darstellung für , wobei q 1 eine ganze Zahl ist und r eine ganze Zahl ist, die die Bedingungen erfüllt. Dann erhalten wir unter der Annahme q=−q 1 die erforderliche Darstellung a=b q+r für negatives b .

Wir wenden uns dem Beweis der Eindeutigkeit zu.

Angenommen, zusätzlich zu der Darstellung a=b q+r, q und r sind ganze Zahlen und , gibt es eine weitere Darstellung a=b q 1 +r 1 , wobei q 1 und r 1 einige ganze Zahlen sind und q 1 ≠ q und .

Nachdem wir vom linken und rechten Teil der ersten Gleichheit jeweils den linken und rechten Teil der zweiten Gleichheit subtrahiert haben, erhalten wir 0=b (q−q 1)+r−r 1 , was der Gleichheit r− entspricht r 1 = b (q 1 − q) . Dann die Gleichheit der Form , und aufgrund der Eigenschaften des Moduls der Zahl - und der Gleichheit .

Aus den Bedingungen und können wir darauf schließen. Da q und q 1 ganze Zahlen sind und q≠q 1 , dann , woraus wir das schließen . Aus den erhaltenen Ungleichungen und daraus folgt eine Gleichheit der Form unmöglich unter unserer Annahme. Daher gibt es keine andere Darstellung der Zahl a als a=b·q+r .

Beziehungen zwischen Dividende, Divisor, partiellem Quotienten und Rest

Die Gleichheit a=b c+d ermöglicht es Ihnen, einen unbekannten Dividenden a zu finden, wenn der Divisor b, der partielle Quotient c und der Rest d bekannt sind. Betrachten Sie ein Beispiel.

Beispiel.

Was ist der Dividenden gleich, wenn seine Division durch die ganze Zahl −21 einen unvollständigen Quotienten von 5 und einen Rest von 12 ergibt?

Lösung.

Wir müssen den Dividenden a berechnen, wenn wir den Divisor b=−21 , den partiellen Quotienten c=5 und den Rest d=12 kennen. Wenn wir uns der Gleichheit a=b c+d zuwenden, erhalten wir a=(−21) 5+12 . Beobachtend führen wir zuerst die Multiplikation der ganzen Zahlen −21 und 5 nach der Regel der Multiplikation ganzer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen durch, danach führen wir die Addition von ganzen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen durch: (−21) 5+12=−105+12 =−93 .

Antworten:

−93 .

Beziehungen zwischen Dividende, Divisor, Teilquotient und Rest werden auch durch Gleichheiten der Form b=(a−d):c , c=(a−d):b und d=a−b·c ausgedrückt. Diese Gleichheiten ermöglichen es uns, den Divisor, den partiellen Quotienten bzw. den Rest zu berechnen. Wir müssen oft den Rest der Division einer ganzen Zahl a durch eine ganze Zahl b finden, wenn der Dividende, der Divisor und der partielle Quotient bekannt sind, indem wir die Formel d=a−b·c verwenden. Um weitere Fragen zu vermeiden, analysieren wir ein Beispiel zur Berechnung des Restbetrags.

Beispiel.

Finden Sie den Rest der Division der ganzen Zahl −19 durch die ganze Zahl 3, wenn bekannt ist, dass der partielle Quotient −7 ist.

Lösung.

Um den Rest der Division zu berechnen, verwenden wir eine Formel der Form d=a−b·c . Aus der Bedingung haben wir alle notwendigen Daten a=−19 , b=3 , c=−7 . Wir erhalten d=a−bc=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (die Differenz −19−(−21) berechneten wir durch die Regel der Subtraktion eines negativen Werts ganze Zahl).

Antworten:

Division mit Rest positiver ganzer Zahlen, Beispiele

Wie wir bereits mehrfach angemerkt haben, sind positive ganze Zahlen natürliche Zahlen. Daher wird die Division mit Rest aus positiven ganzen Zahlen nach allen Regeln für die Division mit Rest aus natürlichen Zahlen durchgeführt. Es ist sehr wichtig, die Division mit einem Rest aus natürlichen Zahlen einfach durchführen zu können, da sie nicht nur der Division positiver ganzer Zahlen zugrunde liegt, sondern auch die Grundlage aller Divisionsregeln mit einem Rest aus beliebigen ganzen Zahlen.

Aus unserer Sicht ist es am bequemsten, eine Division durch eine Spalte durchzuführen. Mit dieser Methode können Sie sowohl einen unvollständigen Quotienten (oder nur einen Quotienten) als auch einen Rest erhalten. Betrachten Sie ein Beispiel für eine Division mit einem Rest aus positiven ganzen Zahlen.

Beispiel.

Führen Sie eine Division mit einem Rest von 14671 durch 54 durch.

Lösung.

Lassen Sie uns die Division dieser positiven ganzen Zahlen durch eine Spalte durchführen:

Der unvollständige Quotient war 271, der Rest 37.

Antworten:

14 671:54=271 (rest 37) .

Die Divisionsregel mit einem Rest einer positiven ganzen Zahl durch eine negative ganze Zahl, Beispiele

Lassen Sie uns eine Regel formulieren, mit der Sie eine Division mit einem Rest einer positiven ganzen Zahl durch eine negative ganze Zahl durchführen können.

Der partielle Quotient der Division einer positiven ganzen Zahl a durch eine negative ganze Zahl b ist das Gegenteil des partiellen Quotienten der Division von a durch den Modul von b, und der Rest der Division von a durch b ist der Rest der Division durch .

Aus dieser Regel folgt, dass der unvollständige Quotient der Division einer positiven ganzen Zahl durch eine negative ganze Zahl eine nicht positive ganze Zahl ist.

Lassen Sie uns die stimmhafte Regel in einen Algorithmus zum Teilen einer positiven ganzen Zahl mit einem Rest durch eine negative ganze Zahl umwandeln:

• Wir teilen den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors, wir erhalten den unvollständigen Quotienten und den Rest. (Wenn sich in diesem Fall herausstellt, dass der Rest gleich Null ist, werden die ursprünglichen Zahlen ohne Rest geteilt, und gemäß der Regel zum Teilen ganzer Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen ist der gewünschte Quotient gleich der Zahl, die dem Quotienten von entgegengesetzt ist Aufteilung der Module.)
• Wir schreiben die Zahl gegenüber dem erhaltenen unvollständigen Quotienten und den Rest auf. Diese Zahlen sind jeweils der gewünschte Quotient und der Rest der Division der ursprünglichen positiven ganzen Zahl durch eine negative ganze Zahl.

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Verwendung des Algorithmus zum Teilen einer positiven ganzen Zahl durch eine negative ganze Zahl geben.

Beispiel.

Teilen Sie mit einem Rest einer positiven ganzen Zahl 17 durch eine negative ganze Zahl −5 .

Lösung.

Lassen Sie uns den Divisionsalgorithmus mit dem Rest einer positiven Ganzzahl durch eine negative Ganzzahl verwenden.

Teilen

Die Gegenzahl von 3 ist −3. Somit ist der erforderliche Teilquotient der Division von 17 durch –5 –3, und der Rest ist 2.

Antworten:

17 :(−5)=−3 (Rest 2).

Beispiel.

Teilen 45 mal -15 .

Lösung.

Die Module des Dividenden und Divisors sind 45 bzw. 15. Die Zahl 45 ist ohne Rest durch 15 teilbar, während der Quotient 3 ist. Daher ist die positive ganze Zahl 45 ohne Rest durch die negative ganze Zahl –15 teilbar, während der Quotient gleich der Zahl ist, die 3 entgegengesetzt ist, also –3. In der Tat haben wir gemäß der Teilungsregel für ganze Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen .

Antworten:

45:(−15)=−3 .

Division mit Rest einer negativen ganzen Zahl durch eine positive ganze Zahl, Beispiele

Formulieren wir die Divisionsregel mit einem Rest einer negativen ganzen Zahl durch eine positive ganze Zahl.

Um einen unvollständigen Quotienten c aus der Division einer negativen ganzen Zahl a durch eine positive ganze Zahl b zu erhalten, müssen Sie die dem unvollständigen Quotienten entgegengesetzte Zahl aus der Division der Module der ursprünglichen Zahlen nehmen und eins davon subtrahieren, wonach der Rest d berechnet wird mit der Formel d=a−bc .

Aus dieser Divisionsregel mit Rest folgt, dass der unvollständige Quotient der Division einer negativen ganzen Zahl durch eine positive ganze Zahl eine negative ganze Zahl ist.

Aus der stimmhaften Regel folgt der Divisionsalgorithmus mit dem Rest einer negativen ganzen Zahl a durch eine positive ganze Zahl b:

• Wir finden die Module des Dividenden und des Divisors.
• Wir teilen den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors, wir erhalten den unvollständigen Quotienten und den Rest. (Wenn der Rest null ist, dann sind die ursprünglichen ganzen Zahlen ohne Rest teilbar, und der gewünschte Quotient ist gleich der Zahl, die dem Quotienten aus der Division der Module entgegengesetzt ist.)
• Wir schreiben die Zahl gegenüber dem erhaltenen unvollständigen Quotienten auf und subtrahieren davon die Zahl 1. Die berechnete Zahl ist der gewünschte partielle Quotient c aus der Division der ursprünglichen negativen ganzen Zahl durch eine positive ganze Zahl.

Analysieren wir die Lösung des Beispiels, in dem wir den schriftlichen Divisionsalgorithmus mit einem Rest verwenden.

Beispiel.

Ermitteln Sie den partiellen Quotienten und den Rest der negativen ganzen Zahl −17 dividiert durch die positive ganze Zahl 5 .

Lösung.

Der Modulus des Dividenden −17 ist 17 und der Modulus des Divisors 5 ist 5.

Teilen 17 mal 5 erhalten wir einen unvollständigen Quotienten von 3 und einen Rest von 2.

Das Gegenteil von 3 ist −3 . Subtrahiere eins von −3: −3−1=−4 . Der gewünschte unvollständige Quotient ist also –4.

Es bleibt, den Rest zu berechnen. In unserem Beispiel a=−17 , b=5 , c=−4 , dann d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Somit ist der partielle Quotient der negativen ganzen Zahl –17 dividiert durch die positive ganze Zahl 5 –4, und der Rest ist 3.

Antworten:

(−17):5=−4 (Rest. 3) .

Beispiel.

Teilen Sie die negative ganze Zahl –1 404 durch die positive ganze Zahl 26 .

Lösung.

Der Dividendenmodul ist 1404, der Divisormodul ist 26.

Teilen Sie 1404 durch 26 in einer Spalte:

Da der Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors ohne Rest geteilt wurde, werden die ursprünglichen ganzen Zahlen ohne Rest geteilt, und der gewünschte Quotient ist gleich der Zahl, die 54 gegenübersteht, also –54.

Antworten:

(−1 404):26=−54 .

Divisionsregel mit Rest aus negativen ganzen Zahlen, Beispiele

Formulieren wir die Divisionsregel mit dem Rest negativer ganzer Zahlen.

Um einen unvollständigen Quotienten c aus der Division einer negativen ganzen Zahl a durch eine negative ganze Zahl b zu erhalten, müssen Sie den unvollständigen Quotienten aus der Division der Module der ursprünglichen Zahlen berechnen und eins dazu addieren, danach berechnen Sie den Rest d mit der Formel d =a−bc .

Aus dieser Regel folgt, dass der unvollständige Quotient der Division negativer ganzer Zahlen eine positive ganze Zahl ist.

Schreiben wir die stimmhafte Regel in Form eines Algorithmus zum Teilen negativer Ganzzahlen um:

• Wir finden die Module des Dividenden und des Divisors.
• Wir teilen den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors, wir erhalten den unvollständigen Quotienten und den Rest. (Wenn der Rest null ist, dann sind die ursprünglichen ganzen Zahlen ohne Rest teilbar, und der gewünschte Quotient ist gleich dem Quotienten aus der Division des Moduls des Teilbaren durch den Modul des Divisors.)
• Wir addieren eins zu dem resultierenden unvollständigen Quotienten, diese Zahl ist der gewünschte unvollständige Quotient aus der Division der ursprünglichen negativen ganzen Zahlen.
• Berechnen Sie den Rest mit der Formel d=a−b·c .

Betrachten Sie die Anwendung des Algorithmus zum Teilen negativer ganzer Zahlen beim Lösen eines Beispiels.

Beispiel.

Ermitteln Sie den partiellen Quotienten und den Rest der negativen ganzen Zahl −17 dividiert durch die negative ganze Zahl −5.

Lösung.

Wir verwenden den entsprechenden Divisionsalgorithmus mit Rest.

Der Dividendenmodul ist 17, der Divisormodul ist 5.

Einteilung 17 mal 5 ergibt den unvollständigen Quotienten 3 und den Rest 2.

Wir addieren eins zum unvollständigen Quotienten 3: 3+1=4. Daher ist der gewünschte unvollständige Quotient der Division von –17 durch –5 4.

Es bleibt, den Rest zu berechnen. In diesem Beispiel a=−17 , b=−5 , c=4 , dann d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Der partielle Quotient der negativen ganzen Zahl –17 dividiert durch die negative ganze Zahl –5 ist also 4, und der Rest ist 3.

Antworten:

(−17):(−5)=4 (Rest 3) .

Überprüfen des Ergebnisses der Division von ganzen Zahlen mit einem Rest

Nachdem die Division von ganzen Zahlen mit Rest durchgeführt wurde, ist es sinnvoll, das Ergebnis zu überprüfen. Die Verifizierung erfolgt in zwei Stufen. In der ersten Stufe wird geprüft, ob der Rest d eine nicht negative Zahl ist, und es wird auch die Bedingung geprüft. Wenn alle Bedingungen der ersten Überprüfungsstufe erfüllt sind, können Sie mit der zweiten Überprüfungsstufe fortfahren, andernfalls kann argumentiert werden, dass beim Teilen mit einem Rest irgendwo ein Fehler gemacht wurde. In der zweiten Stufe wird die Gültigkeit der Gleichheit a=b·c+d überprüft. Wenn diese Gleichheit wahr ist, dann wurde die Division mit Rest richtig durchgeführt, ansonsten wurde irgendwo ein Fehler gemacht.

Betrachten wir die Lösungen von Beispielen, in denen das Ergebnis der Division ganzer Zahlen mit einem Rest überprüft wird.

Beispiel.

Wenn Sie die Zahl -521 durch -12 dividieren, war der Teilquotient 44 und der Rest 7 , überprüfen Sie das Ergebnis.

Lösung. −2 für b=−3 , c=7 , d=1 . Wir haben bc+d=−3 7+1=−21+1=−20. Die Gleichheit a=b c+d ist also falsch (in unserem Beispiel a=−19 ).

Daher wurde die Division mit Rest falsch durchgeführt.

Division mit Rest ist die Division einer Zahl durch eine andere, sodass der Rest nicht Null ist.

Eine Division ist nicht immer möglich, da es Fälle gibt, in denen eine Zahl nicht durch eine andere teilbar ist. Zum Beispiel ist die Zahl 11 nicht durch 3 teilbar, da es keine solche natürliche Zahl gibt, die mit 3 multipliziert 11 ergeben würde.

Wenn die Division nicht durchgeführt werden kann, wurde vereinbart, nicht alles Teilbare zu teilen, sondern nur den größten Teil davon, der nur durch einen Divisor geteilt werden kann. In diesem Beispiel ist der größte Teil der Dividende, der durch 3 geteilt werden kann, 9 (als Ergebnis erhalten wir 3), der verbleibende kleinere Teil der Dividende – 2 – wird nicht durch 3 geteilt.

Apropos 11 durch 3 teilen, 11 heißt immer noch teilbar, 3 ist ein Divisor, das Ergebnis der Division ist die Zahl 3, heißt es unvollständig privat, und die Zahl 2 - Rest der Teilung. Die Division selbst heißt in diesem Fall Division mit Rest.

Ein unvollständiger Quotient ist die größte Zahl, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, ein Produkt ergibt, das die Teilbarkeit nicht überschreitet. Die Differenz zwischen der Dividende und diesem Produkt heißt Rest. Der Rest ist immer kleiner als der Divisor, ansonsten könnte er auch durch den Divisor dividiert werden.

Division mit Rest kann so geschrieben werden:

11: 3 = 3 (Rest 2)

Wenn bei der Division einer natürlichen Zahl durch eine andere der Rest 0 ist, dann ist die erste Zahl durch die zweite ohne Rest teilbar. Zum Beispiel ist 4 ohne Rest durch 2 teilbar. Die Zahl 5 ist nicht einmal durch 2 teilbar. Der Kürze halber wird meist das ganze Wort weggelassen und es heißt: Diese und jene Zahl ist durch eine andere teilbar, zum Beispiel: 4 ist durch 2 teilbar, und 5 ist nicht durch 2 teilbar.

Division mit Rest prüfen

Sie können das Ergebnis der Division mit Rest folgendermaßen überprüfen: Multiplizieren Sie den unvollständigen Quotienten mit dem Divisor (oder umgekehrt) und addieren Sie den Rest zum resultierenden Produkt. Wenn das Ergebnis eine Zahl gleich dem Dividenden ist, wird die Division mit Rest korrekt durchgeführt:

11: 3 = 3 (Rest 2)

In diesem Artikel werfen wir einen genauen Blick darauf Division mit Rest. Beginnen wir mit einer allgemeinen Vorstellung von dieser Aktion und finden es dann heraus die Bedeutung der Division natürlicher Zahlen durch einen Rest, und führen Sie die notwendigen Begriffe ein. Dann skizzieren wir die Bandbreite der Probleme, die durch Dividieren natürlicher Zahlen durch einen Rest gelöst werden. Lassen Sie uns abschließend auf alle möglichen Verbindungen zwischen dem Dividenden, dem Divisor, dem unvollständigen Quotienten und dem Rest der Division eingehen.

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Antworten:

Die Dividende beträgt 79.

Es sollte auch beachtet werden, dass die Überprüfung des Ergebnisses der Division natürlicher Zahlen mit einem Rest durch Überprüfung der Gültigkeit der resultierenden Gleichheit a=b·c+d durchgeführt wird.

Bestimmen des Rests, wenn Dividende, Divisor und unvollständiger Quotient bekannt sind

In seiner Bedeutung ist der Rest d die Anzahl der Elemente, die in der ursprünglichen Menge nach dem Ausschluss von b mal c Elementen aus ihren a-Elementen verbleiben. Daher ist aufgrund des Sinns der Multiplikation natürlicher Zahlen und des Sinns der Subtraktion natürlicher Zahlen die Gleichheit d=a−b c. Auf diese Weise, der Rest d der Division einer natürlichen Zahl a durch eine natürliche Zahl b ist gleich der Differenz zwischen dem Dividenden a und dem Produkt aus dem Divisor b und dem Teilquotienten c.

Die resultierende Verbindung d=a−b·c ermöglicht es Ihnen, den Rest zu finden, wenn der Dividende, der Divisor und der unvollständige Quotient bekannt sind. Betrachten wir eine Beispiellösung.

Von der allgemeinen Idee, natürliche Zahlen durch einen Rest zu dividieren, werden wir weitermachen und uns in diesem Artikel mit den Prinzipien befassen, nach denen diese Aktion ausgeführt wird. Überhaupt Division mit Rest hat viel mit der Division natürlicher Zahlen ohne Rest gemeinsam, daher werden wir uns oft auf das Material dieses Artikels beziehen.

Beschäftigen wir uns zunächst mit der Division natürlicher Zahlen mit Rest in einer Spalte. Als Nächstes zeigen wir, wie Sie das Ergebnis der Division natürlicher Zahlen durch einen Rest durch sequentielle Subtraktion ermitteln können. Danach fahren wir mit der Methode zur Auswahl eines unvollständigen Quotienten fort, wobei wir nicht vergessen, Beispiele mit einer detaillierten Beschreibung der Lösung zu geben. Als nächstes schreiben wir einen Algorithmus, der es uns erlaubt, natürliche Zahlen im allgemeinen Fall mit einem Rest zu dividieren. Am Ende des Artikels zeigen wir, wie man das Ergebnis der Division natürlicher Zahlen mit einem Rest überprüft.

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Division natürlicher Zahlen in einer Spalte mit Rest

Eine der bequemsten Möglichkeiten, natürliche Zahlen durch einen Rest zu dividieren, ist die Division durch eine Spalte. Im Artikel Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte haben wir diese Divisionsmethode ausführlich analysiert. Wir werden uns hier nicht wiederholen, sondern lediglich eine Lösung für ein Beispiel geben.

Beispiel.

Führen Sie eine Division mit einem Rest der natürlichen Zahl 273844 durch die natürliche Zahl 97 durch.

Lösung.

Teilen wir durch eine Spalte:

Der Teilquotient von 273844 dividiert durch 97 ist also 2823 und der Rest ist 13.

Antworten:

273 844:97=2 823 (Rest 13) .

Division natürlicher Zahlen mit Rest durch sukzessive Subtraktion

Den unvollständigen Quotienten und den Rest der Division natürlicher Zahlen findest du, indem du den Divisor sukzessive subtrahierst.

Das Wesen dieses Ansatzes ist einfach: Aus den Elementen der vorhandenen Menge werden nacheinander Mengen mit der erforderlichen Anzahl von Elementen gebildet, bis dies möglich ist. Die Anzahl der erhaltenen Mengen ergibt einen unvollständigen Quotienten und die Anzahl der verbleibenden Elemente im Original set ist der Rest der Division.

Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel.

Nehmen wir an, wir müssen 7 durch 3 teilen.

Lösung.

Stellen Sie sich vor, wir müssten 7 Äpfel in Säcke mit 3 Äpfeln packen. Von der anfänglichen Anzahl Äpfel nehmen wir 3 Stück und legen sie in die erste Tüte. In diesem Fall bleiben uns aufgrund der Bedeutung der Subtraktion natürlicher Zahlen 7 − 3 = 4 Äpfel. Davon nehmen wir wieder 3 Stück und legen sie in die zweite Tüte. Danach bleiben uns 4−3=1 Apfel. Es ist klar, dass der Prozess hier endet (wir können kein weiteres Paket mit der erforderlichen Anzahl von Äpfeln bilden, da die verbleibende Anzahl von Äpfeln 1 kleiner ist als die Anzahl, die wir 3 benötigen). Als Ergebnis haben wir zwei Pakete mit der erforderlichen Anzahl Äpfel und einen Apfel in der Bilanz.

Dann kann aufgrund des Sinns der Division natürlicher Zahlen durch einen Rest argumentiert werden, dass wir das folgende Ergebnis erhalten haben 7:3=2 (Rest 1) .

Antworten:

7:3=2 (Ruhe 1) .

Betrachten Sie die Lösung eines anderen Beispiels, während wir nur mathematische Berechnungen präsentieren.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 145 durch 46, indem Sie nacheinander subtrahieren.

Lösung.

145−46=99 (siehe ggf. Artikel Subtraktion natürlicher Zahlen). Da 99 größer als 46 ist, subtrahieren wir den Divisor ein zweites Mal: ​​99−46=53 . Da 53>46 , subtrahieren wir den Divisor ein drittes Mal: ​​53−46=7 . Da 7 kleiner als 46 ist, können wir nicht noch einmal subtrahieren, das heißt, hier endet der Prozess der sequentiellen Subtraktion.

Infolgedessen mussten wir den Divisor 46 dreimal hintereinander vom Dividenden 145 subtrahieren, woraufhin wir den Rest 7 erhielten. Also 145:46=3 (res. 7) .

Antworten:

145:46=3 (Ruhe 7) .

Es sollte beachtet werden, dass wir keine sequentielle Subtraktion durchführen können, wenn der Dividende kleiner als der Divisor ist. Ja, das ist nicht nötig, da wir in diesem Fall sofort die Antwort schreiben können. In diesem Fall ist der unvollständige Quotient gleich Null und der Rest gleich dem Dividenden. Das heißt, wenn a

Es muss auch gesagt werden, dass es gut ist, die Division natürlicher Zahlen mit einem Rest nur dann auf die überlegte Weise durchzuführen, wenn eine kleine Anzahl aufeinanderfolgender Subtraktionen erforderlich sind, um das Ergebnis zu erhalten.

Auswahl eines unvollständigen Quotienten

Dividiert man gegebene natürliche Zahlen a und b durch einen Rest, so erhält man den unvollständigen Quotienten c. Nun zeigen wir, worauf der Auswahlprozess basiert und wie er ablaufen soll.

Lassen Sie uns zunächst entscheiden, unter welchen Zahlen nach einem unvollständigen Quotienten gesucht werden soll. Als wir über die Bedeutung der Division natürlicher Zahlen durch einen Rest sprachen, stellten wir fest, dass der unvollständige Quotient entweder Null oder eine natürliche Zahl sein kann, also eine der Zahlen 0, 1, 2, 3, ... der gewünschte unvollständige Quotient ist eine der geschriebenen Zahlen, und es bleibt uns überlassen, sie zu sortieren, um festzustellen, welche Zahl der unvollständige Quotient ist.

Als nächstes brauchen wir eine Gleichung der Form d=a−bc , die spezifiziert, sowie die Tatsache, dass der Rest immer kleiner als der Divisor ist (das haben wir auch erwähnt, als wir über die Bedeutung der Division natürlicher Zahlen mit einem Rest gesprochen haben) .

Jetzt können wir direkt mit der Beschreibung des Prozesses zur Auswahl eines unvollständigen Quotienten fortfahren. Dividende a und Divisor b sind uns von vornherein bekannt, als unvollständigen Quotienten c nehmen wir nacheinander die Zahlen 0 , 1 , 2 , 3 , ..., berechnen jeweils den Wert d=a−b·c und vergleichen ihn mit dem Divisor. Dieser Vorgang endet, sobald der resultierende Wert kleiner als der Divisor ist. Darüber hinaus ist die Zahl c in diesem Schritt der gewünschte unvollständige Quotient, und der Wert d = a – b·c ist der Rest der Division.

Es bleibt, den Prozess der Auswahl eines unvollständigen Quotienten anhand eines Beispiels zu analysieren.

Beispiel.

Führen Sie eine Division mit einem Rest der natürlichen Zahl 267 durch 21 durch.

Lösung.

Wählen wir einen unvollständigen Quotienten. In unserem Beispiel a=267 , b=21 . Wir geben c nacheinander die Werte 0 , 1 , 2 , 3 , … , berechnen bei jedem Schritt den Wert d=a−b·c und vergleichen ihn mit dem Divisor 21 .

Bei c=0 haben wir d=a−b c=267−21 0=267−0=267(Zuerst wird eine Multiplikation natürlicher Zahlen durchgeführt und dann eine Subtraktion, dies steht im Artikel). Die resultierende Zahl ist größer als 21 (studieren Sie ggf. das Material des Artikels, in dem natürliche Zahlen verglichen werden). Daher setzen wir das Auswahlverfahren fort.

Bei c=1 haben wir d=a−b c=267−21 1=267−21=246. Seit 246>21 setzen wir den Prozess fort.

Bei c=2 erhalten wir d=a−b c=267−21 2=267−42=225. Seit 225>21 gehen wir weiter.

Bei c=3 haben wir d=a−b c=267−21 3=267−63=204. Seit 204>21 setzen wir die Auswahl fort.

Bei c=12 erhalten wir d=a−b c=267−21 12=267−252=15. Wir haben die Zahl 15 erhalten, was weniger als 21 ist, sodass der Prozess als abgeschlossen betrachtet werden kann. Wir haben einen unvollständigen Quotienten c = 12 ermittelt, während sich der Rest d als 15 herausstellte.

Antworten:

267:21=12 (Ruhe 15) .

Algorithmus zur Division natürlicher Zahlen mit Rest, Beispiele, Lösungen

In diesem Unterabschnitt betrachten wir einen Algorithmus, der es uns ermöglicht, eine Division mit einem Rest einer natürlichen Zahl a durch eine natürliche Zahl b durchzuführen, wenn die Methode der sukzessiven Subtraktion (und die Methode der Wahl eines unvollständigen Quotienten) zu viele erfordert Rechenoperationen.

Wir stellen gleich fest, dass wir, wenn der Dividende a kleiner als der Divisor b ist, sowohl den unvollständigen Quotienten als auch den Rest kennen: für a B.

Bevor wir alle Schritte des Algorithmus zur Division natürlicher Zahlen mit Rest im Detail beschreiben, beantworten wir drei Fragen: Was wissen wir zunächst, was müssen wir finden und nach welchen Überlegungen werden wir das tun? Zunächst kennen wir den Dividenden a und den Divisor b . Wir müssen den unvollständigen Quotienten c und den Rest d finden. Die Gleichheit a=b c+d definiert das Verhältnis zwischen Dividende, Divisor, Teilquotient und Rest. Aus der geschriebenen Gleichheit folgt, dass wir, wenn wir den Dividenden a als Summe bc + d darstellen, wobei d kleiner als b ist (da der Rest immer kleiner als der Divisor ist), sowohl den unvollständigen Quotienten c als auch den sehen werden Rest d.

Es bleibt nur noch herauszufinden, wie man den Dividenden a als Summe b c + d darstellt. Der Algorithmus dafür ist dem Algorithmus zur Division natürlicher Zahlen ohne Rest sehr ähnlich. Wir werden alle Schritte beschreiben und gleichzeitig die Lösung des Beispiels zur besseren Übersichtlichkeit durchführen. Teilen Sie 899 durch 47.

Die ersten fünf Punkte des Algorithmus ermöglichen es Ihnen, die Dividende als Summe mehrerer Terme darzustellen. Zu beachten ist, dass die Aktionen aus diesen Punkten zyklisch immer wieder wiederholt werden, bis alle Terme gefunden sind, die sich zum Dividenden addieren. Im abschließenden sechsten Absatz wird die resultierende Summe in die Form b c + d umgewandelt (falls die resultierende Summe nicht bereits diese Form hat), woraus der gewünschte unvollständige Quotient und der Rest sichtbar werden.

Wir fahren also mit der Darstellung des Dividenden 899 als Summe mehrerer Terme fort.

Zuerst berechnen wir, um wie viel die Anzahl der Zeichen im Dividendeneintrag größer ist als die Anzahl der Zeichen im Divisoreintrag, und merken uns diese Zahl.

In unserem Beispiel enthält der Dividendendatensatz 3 Ziffern (899 ist eine dreistellige Zahl) und der Divisordatensatz zwei Ziffern (47 ist eine zweistellige Zahl), daher gibt es ein weiteres Zeichen im Dividendenrekord, und wir erinnern uns an die Nummer 1.

Jetzt addieren wir im Teilereintrag rechts die Zahlen 0 in der Menge, die durch die im vorherigen Absatz erhaltene Zahl bestimmt wird. Außerdem, wenn die geschriebene Zahl größer als der Dividende ist, dann subtrahiere 1 von der Zahl, die du dir im vorherigen Absatz gemerkt hast.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Im Datensatz des Divisors 47 fügen wir rechts eine Ziffer zur 0 hinzu und erhalten die Zahl 470. Seit 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Danach ordnen wir der Zahl 1 rechts die Zahlen 0 in der Menge zu, die durch die im vorherigen Absatz auswendig gelernte Zahl bestimmt wird. In diesem Fall erhalten wir eine Entlastungseinheit, mit der wir weiterarbeiten.

In unserem Beispiel ordnen wir der Zahl 1 der Zahl 1 die Zahl 0 zu, in diesem Fall erhalten wir die Zahl 10, das heißt, wir arbeiten mit der Zehnerstelle.

Jetzt multiplizieren wir den Divisor sukzessive mit 1, 2, 3, ... Einheiten der Arbeitsziffer, bis wir eine Zahl größer oder gleich der Teilbaren erhalten.

Wir haben herausgefunden, dass in unserem Beispiel die Zehnerstelle die Arbeitsziffer ist. Daher multiplizieren wir zuerst den Divisor mit einer Einheit der Zehnerstelle, dh wir multiplizieren 47 mit 10, wir erhalten 47 10 \u003d 470 . Die resultierende Zahl 470 ist kleiner als der Dividende 899, also multiplizieren wir den Divisor mit zwei Einheiten der Zehnerziffer, d.h. wir multiplizieren 47 mit 20. Wir haben 47 20=940 . Wir haben eine Zahl, die größer als 899 ist.

Die im vorletzten Schritt der sequentiellen Multiplikation erhaltene Zahl ist der erste der erforderlichen Terme.

In dem analysierten Beispiel ist der gewünschte Term die Zahl 470 (diese Zahl ist gleich dem Produkt 47 100 , wir werden diese Gleichheit später verwenden).

Danach finden wir die Differenz zwischen dem Dividenden und dem ersten gefundenen Term. Wenn die resultierende Zahl größer als der Divisor ist, fahren Sie fort, den zweiten Term zu finden. Dazu wiederholen wir alle beschriebenen Schritte des Algorithmus, nehmen aber die hier erhaltene Zahl bereits als Dividende. Wenn an diesem Punkt wieder eine Zahl erhalten wird, die größer als der Divisor ist, fahren wir fort, den dritten Term zu finden, wiederholen noch einmal die Schritte des Algorithmus und nehmen die resultierende Zahl als Dividende. Und so gehen wir weiter vor, indem wir den vierten, fünften und die folgenden Terme finden, bis die an diesem Punkt erhaltene Zahl kleiner als der Divisor ist. Sobald dies geschehen ist, nehmen wir die hier erhaltene Zahl als letzten erforderlichen Term (vorausschauend sagen wir, dass sie gleich dem Rest ist) und fahren mit der letzten Stufe fort.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. In diesem Schritt haben wir 899−470=429 . Da 429>47 , nehmen wir diese Zahl als Dividende und wiederholen damit alle Schritte des Algorithmus.

Bei der Eingabe der Zahl 429 ist ein Zeichen mehr als bei der Eingabe der Zahl 47, also merken Sie sich die Zahl 1.

Jetzt fügen wir in der Aufzeichnung des Dividenden auf der rechten Seite eine Ziffer 0 hinzu, wir erhalten die Zahl 470, die größer als die Zahl 429 ist. Daher subtrahieren wir von der im vorherigen Absatz auswendig gelernten Zahl 1 1, wir erhalten die Zahl 0, an die wir uns erinnern.

Da wir uns im vorherigen Absatz an die Zahl 0 erinnert haben, müssen Sie der Zahl 1 keine einzige Ziffer 0 rechts zuweisen. In diesem Fall haben wir die Zahl 1, dh die Arbeitsziffer ist die Ziffer der Einheiten.

Nun multiplizieren wir den Divisor 47 sukzessive mit 1, 2, 3, ... Darauf gehen wir nicht näher ein. Sagen wir einfach, dass 47 9=423<429 , а 47·10=470>429 . Der zweite erforderliche Term ist die Zahl 423 (entspricht 47 9 , die wir weiter verwenden werden).

Der Unterschied zwischen 429 und 423 beträgt 6 . Diese Zahl ist kleiner als der Divisor 47 , also ist es der dritte (und letzte) Term, nach dem wir suchen. Jetzt können wir zum letzten Schritt übergehen.

Nun, hier kommen wir zur Endphase. Alle bisherigen Maßnahmen zielten darauf ab, die Dividende als Summe mehrerer Terme darzustellen. Nun bleibt noch, die resultierende Summe in die Form b·c+d umzuwandeln. Das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition hilft uns bei der Bewältigung dieser Aufgabe. Danach werden der gewünschte unvollständige Quotient und der Rest sichtbar.

In unserem Beispiel ist der Dividende 899 gleich der Summe der drei Terme 470, 423 und 6. Die Summe 470+423+6 kann als 47 10+47 9+6 umgeschrieben werden (denken Sie daran, dass wir auf die Gleichheiten 470=47 10 und 423=47 9 geachtet haben). Jetzt wenden wir die Eigenschaft an, eine natürliche Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, und wir erhalten 47 10+47 9+6= 47 (10+9)+6= 47 19+6 . Damit ist der Dividende in die von uns benötigte Form 899=47 19+6 umgewandelt worden, woraus man leicht den unvollständigen Quotienten 19 und den Rest 6 findet.

Also 899:47=19 (res. 6) .

Natürlich werden Sie beim Lösen von Beispielen den Vorgang der Division mit Rest nicht so detailliert beschreiben.