Das Bestimmen der Ableitung einer Funktion ist die Umkehroperation zum Integrieren einer Funktion. Bei elementaren Funktionen ist es nicht schwierig, die Ableitung zu berechnen, es genügt, die Ableitungstabelle zu verwenden. Wenn wir brauchen Finden Sie die Ableitung von einer komplexen Funktion, dann ist die Unterscheidung viel schwieriger und erfordert mehr Sorgfalt und Zeit. Es ist sehr leicht, einen Tippfehler oder einen kleinen Fehler zu machen, der zu einer endgültigen falschen Antwort führt. Daher ist es immer wichtig, Ihre Entscheidung überprüfen zu können. Sie können dies mit diesem Online-Rechner tun, der es Ihnen ermöglicht, Ableitungen beliebiger Funktionen online mit einer detaillierten Lösung kostenlos zu finden, ohne sich auf der Website zu registrieren. Das Finden der Ableitung einer Funktion (Differenzierung) ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments (numerisch ist die Ableitung gleich der Tangente der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion). Wenn es notwendig ist, die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu berechnen, dann in der empfangenen Antwort anstelle des Arguments x Rahmen ihn ein numerischer Wert und den Ausdruck berechnen. Bei Online-Derivatlösung Sie müssen eine Funktion in das entsprechende Feld eingeben: In diesem Fall muss das Argument eine Variable sein x, da die Differenzierung genau daran entlang geht. Um die zweite Ableitung zu berechnen, müssen Sie die erhaltene Antwort differenzieren.

Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differentiation genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen, Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen zu finden, indem die Ableitung als Grenze des Verhältnisses des Inkrements zum Inkrement des Arguments definiert wurde, erschien eine Ableitungstabelle und genau definierte Ableitungsregeln . Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren die ersten, die sich mit dem Auffinden von Derivaten beschäftigten.

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, ist es daher heutzutage nicht erforderlich, die oben erwähnte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern nur die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Der folgende Algorithmus eignet sich zum Auffinden der Ableitung.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen einfache Funktionen zerlegen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) diese Funktionen sind verwandt. Außerdem finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen des Produkts, der Summe und des Quotienten - in den Ableitungsregeln. Die Ableitungstabelle und Ableitungsregeln folgen nach den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Ableitungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen der Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von "X" gleich eins ist und die Ableitung des Sinus Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Als Ableitung der Summe differenzieren, bei der der zweite Term mit konstantem Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden sie in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Ableitungsregeln klar. Wir gehen gleich zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstanten (Zahl). Jede Zahl (1, 2, 5, 200 ...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer null. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, da es sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Meistens "x". Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen hoch -1
5. Ableitung Quadratwurzel
6. Sinusableitung
7. Cosinus-Ableitung
8. Tangensableitung
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des inversen Tangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung Exponentialfunktion

Abgrenzungsregeln

1. Ableitung der Summe oder Differenz
2. Derivat eines Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar sind, dann an der gleichen Stelle die Funktionen

und

diese. die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist algebraische Summe Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen durch eine Konstante unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2Wenn funktioniert

an einer Stelle differenzierbar sind, dann ist auch ihr Produkt an derselben Stelle differenzierbar

und

diese. die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folge 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden:

Folge 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes der Faktoren und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v und

diese. die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .

Wo kann man auf anderen Seiten suchen

Bei der Bestimmung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Ableitungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie weitere Beispiele zu diesen Ableitungen im Artikel."Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten".

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird er aus dem Vorzeichen der Ableitungen herausgenommen. Das typischer Fehler, die in der Anfangsphase des Studiums von Ableitungen auftritt, aber als Lösung mehrerer ein-zweiteiliger Beispiele macht der durchschnittliche Schüler diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie beim Differenzieren eines Produkts oder eines Quotienten einen Begriff haben u"v, indem u- eine Zahl, z. B. 2 oder 5, dh eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert). .

Ein weiterer häufiger Fehler ist die mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem eigenen Artikel gewidmet. Aber zuerst werden wir lernen, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise in neuen Windows-Handbüchern öffnen Aktionen mit Kräften und Wurzeln Und Aktionen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, dh wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion " Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln".

Wenn Sie eine Aufgabe wie z , dann befinden Sie sich in der Lektion "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen".

Schritt-für-Schritt-Beispiele - wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir bestimmen die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, von denen einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. Also wird "x" zu eins und minus 5 - zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die durch die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Und Sie können die Lösung des Problems auf der Ableitung auf überprüfen.

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten finden. Wir wenden die Formel zum Ableiten eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel dann willkommen im Unterricht "Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln" .

Wenn Sie mehr über Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen erfahren möchten trigonometrische Funktionen, das heißt, wenn die Funktion aussieht , dann hast du Unterricht "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen" .

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen einer der Faktoren die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, mit deren Ableitung wir uns in der Ableitungstabelle vertraut gemacht haben. Nach der Produktdifferenzierungsregel und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Sie können die Lösung des Ableitungsproblems auf überprüfen Ableitungsrechner online .

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Ableitungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um den Bruch im Zähler loszuwerden, multipliziere Zähler und Nenner mit .

Datum: 10.05.2015

Wie finde ich die Ableitung?

Abgrenzungsregeln.

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Konzepte beherrschen:

2. Differenzierungsregeln.

3. Ableitung einer komplexen Funktion.

Es ist in dieser Reihenfolge. Es ist ein Hinweis.)

Natürlich wäre es schön, eine Vorstellung von der Ableitung im Allgemeinen zu haben). Was ein Derivat ist und wie man mit einer Ableitungstabelle arbeitet - es ist in der vorherigen Lektion zugänglich. Hier beschäftigen wir uns mit den Differenzierungsregeln.

Differenzieren ist die Operation, eine Ableitung zu finden. Mehr steckt hinter diesem Begriff nicht. Diese. Ausdrücke "Finde die Ableitung einer Funktion" Und "Differenzfunktion"- Das ist das gleiche.

Ausdruck "Differenzierungsregeln" bezieht sich auf das Finden der Ableitung aus arithmetischen Operationen. Dieses Verständnis hilft sehr, Brei im Kopf zu vermeiden.

Konzentrieren wir uns und erinnern uns an alles, alles, alles Rechenoperationen. Es gibt vier davon). Addition (Summe), Subtraktion (Differenz), Multiplikation (Produkt) und Division (Quotient). Hier sind sie, die Regeln der Differenzierung:

Der Teller zeigt fünf Regeln an vier Rechenoperationen. Ich habe mich nicht verrechnet.) Es ist nur so, dass Regel 4 eine elementare Folge von Regel 3 ist. Aber sie ist so beliebt, dass es sinnvoll ist, sie als unabhängige Formel aufzuschreiben (und sich daran zu erinnern!).

Unter der Notation U Und v einige (absolut beliebige!) Funktionen sind impliziert U(x) Und V(x).

Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Zuerst die einfachsten.

Finde die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2

Hier haben wir Unterschied zwei elementare Funktionen. Wir wenden Regel 2 an. Wir nehmen an, dass sinx eine Funktion ist U, und x 2 ist eine Funktion v. Wir haben das Recht zu schreiben:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Schon besser, oder?) Es bleibt noch, die Ableitungen des Sinus und des Quadrats von x zu finden. Dafür gibt es eine Ableitungstabelle. Wir suchen einfach in der Tabelle nach den Funktionen, die wir brauchen ( Sünde Und x2), schauen Sie sich ihre Ableitungen an und schreiben Sie die Antwort auf:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Das ist alles dazu. Regel 1 zum Differenzieren der Summe funktioniert genauso.

Was ist, wenn wir mehrere Begriffe haben? Das ist in Ordnung.) Wir zerlegen die Funktion in Terme und suchen nach der Ableitung jedes Terms, unabhängig von den anderen. Zum Beispiel:

Finden Sie die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Schreiben Sie gerne:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Am Ende der Lektion gebe ich Tipps zur Erleichterung des Differenzierens.)

Praktische Tipps:

1. Vor dem Differenzieren schauen wir, ob es möglich ist, die ursprüngliche Funktion zu vereinfachen.

2. In wirren Beispielen malen wir die Lösung detailliert mit allen Klammern und Strichen.

3. Beim Differenzieren von Brüchen mit konstanter Zahl im Nenner wandeln wir die Division in eine Multiplikation um und wenden Regel 4 an.

Wenn wir der Definition folgen, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ x:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, nach dieser Formel zu berechnen, sagen wir, die Ableitung der Funktion F(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x Sünde x. Wenn Sie per Definition alles tun, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Wege.

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass die sogenannten Elementarfunktionen von der ganzen Vielfalt der Funktionen unterschieden werden können. Es ist relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen wurden. Solche Funktionen sind leicht zu merken, zusammen mit ihren Ableitungen.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alle unten aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen - deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad mit rationalem Exponenten	F(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	F(x) = Sünde x	cos x
Kosinus	F(x) = cos x	− Sünde x(minus Sinus)
Tangente	F(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	F(x) = ctg x	− 1/sin2 x
natürlicher Logarithmus	F(x) = Protokoll x	1/x
Beliebiger Logarithmus	F(x) = Protokoll ein x	1/(x ln ein)
Exponentialfunktion	F(x) = e x	e x(nichts hat sich verändert)

Multipliziert man eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstanten, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Zum Beispiel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natürlich lassen sich elementare Funktionen addieren, multiplizieren, dividieren und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr ganz elementar, aber auch nach bestimmten Regeln differenzierbar. Diese Regeln werden unten diskutiert.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen F(x) Und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen elementaren Funktionen verwenden. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen finden:

1. (F + g)’ = F ’ + g ’
2. (F − g)’ = F ’ − g ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

Genau genommen gibt es in der Algebra keinen Begriff der "Subtraktion". Es gibt ein Konzept des "negativen Elements". Daher der Unterschied F − g kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) g, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig - die Ableitung der Summe.

F(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktion F(x) ist die Summe zweier elementarer Funktionen, also:

F ’(x) = (x 2+ Sünde x)’ = (x 2)' + (sünde x)’ = 2x+ cosx;

Ähnlich argumentieren wir für die Funktion g(x). Nur gibt es bereits drei Terme (aus algebraischer Sicht):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Antworten:
F ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Ableitung eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, so viele Leute glauben, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts schlagen"\u003e gleich dem Produkt von Derivaten. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird mit einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Das Ergebnis sind falsch gelöste Probleme.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktion F(x) ist ein Produkt zweier elementarer Funktionen, also ist alles einfach:

F ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (Kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sünde x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x)

Funktion g(x) ist der erste Multiplikator etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion g(x) ist ein Polynom, und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Antworten:
F ’(x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht für sich allein berechnet, sondern um die Funktion zu untersuchen. Das bedeutet, dass weiterhin die Ableitung gleich Null gesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. Für einen solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zerlegen zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(x) Und g(x), und g(x) ≠ 0 auf der uns interessierenden Menge können wir eine neue Funktion definieren h(x) = F(x)/g(x). Für eine solche Funktion finden Sie auch die Ableitung:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum g 2? So geht das! Dies ist eine der komplexesten Formeln - Sie können es ohne eine Flasche nicht herausfinden. Daher ist es besser, es mit konkreten Beispielen zu studieren.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Es gibt elementare Funktionen im Zähler und Nenner jedes Bruchs, also brauchen wir nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell faktorisieren wir den Zähler in Faktoren - dies vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine einen halben Kilometer lange Formel. Beispielsweise genügt es, die Funktion zu übernehmen F(x) = Sünde x und ersetzen Sie die Variable x, sagen wir, auf x 2+ln x. Es stellt sich heraus F(x) = Sünde ( x 2+ln x) - Das ist es komplexe Funktion. Sie hat auch ein Derivat, aber es wird nicht funktionieren, es nach den oben diskutierten Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen hilft die Ersetzung einer Variablen und die Formel zur Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(x) = F ’(T) · T', wenn x wird ersetzt durch T(x).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es mit konkreten Beispielen zu erklären detaillierte Beschreibung jeder Schritt.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(x) = e 2x + 3 ; g(x) = Sünde ( x 2+ln x)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(x) anstelle von Ausdruck 2 x+ 3 wird einfach sein x, dann klappt es elementare Funktion F(x) = e x. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 x + 3 = T, F(x) = F(T) = e T. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt - Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: T = 2x+ 3. Wir erhalten:

F ’(x) = e T · T ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an g(x). Muss natürlich ausgetauscht werden. x 2+ln x = T. Wir haben:

g ’(x) = g ’(T) · T' = (Sünde T)’ · T' = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = x 2+ln x. Dann:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das ganze Problem auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antworten:
F ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) weil ( x 2+ln x).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Strich“. Zum Beispiel ein Strich aus der Summe ist gleich der Summe Schläge. Ist das übersichtlicher? Das ist gut.

Daher läuft die Berechnung der Ableitung darauf hinaus, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln loszuwerden. Als letztes Beispiel kehren wir zur Potenz der Ableitung mit einem rationalen Exponenten zurück:

(x n)’ = n · x n − 1

Das wissen die wenigsten in der Rolle n kann durchaus eine Bruchzahl sein. Die Wurzel ist zum Beispiel x 0,5 . Aber was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas kniffliges befindet? Auch hier wird sich eine komplexe Funktion herausstellen - solche Konstruktionen geben sie gerne auf Kontrollarbeit und Prüfungen.

Eine Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lassen Sie uns zuerst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten umschreiben:

F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let x 2 + 8x − 7 = T. Wir finden die Ableitung durch die Formel:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T−0,5 T ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: T = x 2 + 8x− 7. Wir haben:

F ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Abschließend zurück zu den Wurzeln:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, lass uns nicht weit gehen, lass uns sofort überlegen Umkehrfunktion. Was ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man einen „natürlichen“ und wir verwenden dafür eine spezielle Notation: wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist ebenfalls sehr einfach:

Beispiele:

1. Finde die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller u natürlicher Logarithmus- Funktionen sind in Bezug auf die Ableitung einzigartig einfach. Exponential- und Logarithmusfunktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Ableitungsregeln durchgegangen sind.

Abgrenzungsregeln

Welche Regeln? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Unterscheidung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Vorgang? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik heißt das eigentliche Inkrement der Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir zwei Funktionen, zum Beispiel und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Es gibt insgesamt 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen.

Wenn einige konstante Zahl(konstant), dann.

Offensichtlich funktioniert diese Regel auch für die Differenz: .

Beweisen wir es. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da sie es ist lineare Funktion, erinnere dich?);

Ableitung eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und finden ihre Schrittweite:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion findet, und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl.

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dafür verwenden wir einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passierte?

Hier, prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, dh nicht in einfacherer Form geschrieben werden kann. Daher wird es in der Antwort in dieser Form belassen.

Beachten Sie, dass hier der Quotient zweier Funktionen ist, also wenden wir die entsprechende Differenzierungsregel an:

In diesem Beispiel das Produkt zweier Funktionen:

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie verändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Nur jetzt werden wir anstelle von schreiben:

Der Nenner war nur eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen von Exponential und Logarithmische Funktionen treten fast nie in der Prüfung auf, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (obwohl Ihnen der Logarithmus schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird funktionieren), aber in mathematischer Hinsicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen einige Aktionen mit einigen Objekten aus. Der erste wickelt zum Beispiel einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, der mit einem Band umwickelt und gebunden ist. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die entgegengesetzten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Lassen Sie uns eine ähnliche mathematische Pipeline erstellen: Zuerst finden wir den Kosinus einer Zahl und dann quadrieren wir die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Wrapper) und dann quadrierst du, was ich bekommen habe (binde es mit einem Band). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Wenn wir, um ihren Wert zu finden, die erste Aktion direkt mit der Variablen ausführen und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für unser Beispiel .

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders sein wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich die Funktion.

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen "externe" Funktion, bzw. die zuerst durchgeführte Aktion "interne" Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst festzustellen, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ist sehr ähnlich wie beim Ändern von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

1. Welche Maßnahmen ergreifen wir zuerst? Zuerst berechnen wir den Sinus und erst dann erhöhen wir ihn auf einen Würfel. Es ist also eine interne Funktion, keine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Schokolade extrahieren - suchen Sie nach dem Derivat. Dabei wird immer umgekehrt vorgegangen: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Für das ursprüngliche Beispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Formulieren wir also endlich die offizielle Regel:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach zu sein, oder?

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nicht zu reduzieren! Nichts wird unter dem Kosinus herausgenommen, erinnern Sie sich?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies an sich schon eine komplexe Funktion, und wir extrahieren noch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle stecken und mit einem Band in einer Aktentasche). Aber kein Grund zur Angst: Jedenfalls werden wir diese Funktion in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: von hinten.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es zweckmäßig, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto "externer" wird die entsprechende Funktion. Die Reihenfolge der Aktionen - wie zuvor:

Hier ist die Verschachtelung im Allgemeinen 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise bestimmen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Nebenhöhlen. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Ableitung der Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Basische Derivate:

Unterscheidungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die "interne" Funktion, finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die "externe" Funktion, finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.