Bei der Lösung vieler praktischer Probleme ist es nicht immer notwendig, eine Zufallsvariable vollständig zu charakterisieren, also die Verteilungsgesetze zu bestimmen. Außerdem ist die Konstruktion einer Funktion oder einer Reihe von Verteilungen für eine diskrete und Dichte für eine kontinuierliche Zufallsvariable umständlich und unnötig.

Manchmal reicht es aus, einzelne numerische Parameter anzugeben, die die Merkmale der Verteilung teilweise charakterisieren. Es ist notwendig, einen Durchschnittswert jeder Zufallsvariablen zu kennen, um den ihr möglicher Wert gruppiert ist, oder den Grad der Streuung dieser Werte relativ zum Durchschnitt usw.

Die Merkmale der wichtigsten Merkmale der Verteilung werden als numerische Merkmale bezeichnet zufällige Variable. Mit ihrer Hilfe wird die Lösung vieler probabilistischer Probleme erleichtert, ohne die Verteilungsgesetze für sie festzulegen.

Das wichtigste Merkmal ist die Lage einer Zufallsvariablen auf der reellen Achse erwarteter Wert M[X]= ein, was manchmal als Mittelwert der Zufallsvariablen bezeichnet wird. Für diskrete Zufallsvariable X mit mögliche Werte x 1 , x 2 , … , x n und Wahrscheinlichkeiten p 1 , p 2 ,… , p n sie wird durch die Formel bestimmt

Da =1, können wir schreiben

Auf diese Weise, mathematische Erwartung Eine diskrete Zufallsvariable ist die Summe der Produkte ihrer möglichen Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten. Das arithmetische Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen bei große Zahlen Experimente nähert sich seiner mathematischen Erwartung.

Für stetige Zufallsvariable X mathematische Erwartung wird nicht durch die Summe bestimmt, sondern Integral-

wo f(x) - Verteilungsdichte der Menge x.

Mathematische Erwartung existiert nicht für alle Zufallsvariablen. Bei einigen von ihnen divergiert die Summe oder das Integral, und daher gibt es keine Erwartung. In diesen Fällen sollte man aus Genauigkeitsgründen den Bereich einschränken mögliche Änderungen zufällige Variable x, für die die Summe oder das Integral konvergieren wird.

In der Praxis werden auch solche Merkmale der Position einer Zufallsvariablen wie Modus und Median verwendet.

Zufällige Modesein wahrscheinlichster Wert wird aufgerufen. BEIM Allgemeiner Fall Modus und Erwartung sind nicht dasselbe.

Median einer ZufallsvariablenX ist sein Wert, in Bezug auf den es gleich wahrscheinlich ist, einen größeren oder kleineren Wert einer Zufallsvariablen zu erhalten, d.h. dies ist die Abszisse des Punktes, an dem die von der Verteilungskurve begrenzte Fläche halbiert wird. Bei einer symmetrischen Verteilung sind alle drei Merkmale gleich.

Neben dem mathematischen Erwartungswert, Modus und Median werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie noch weitere Merkmale verwendet, die jeweils eine bestimmte Eigenschaft der Verteilung beschreiben. Numerische Merkmale, die beispielsweise die Streuung einer Zufallsvariablen charakterisieren, also zeigen, wie eng ihre möglichen Werte um die mathematische Erwartung gruppiert sind, sind die Varianz und die Standardabweichung. Sie ergänzen die Zufallsvariable maßgeblich, da es in der Praxis häufig Zufallsvariablen mit gleichen mathematischen Erwartungen, aber unterschiedlichen Verteilungen gibt. Bei der Bestimmung der Streucharakteristik wird die Differenz der Zufallsvariablen X und seine mathematische Erwartung, d.h.

wo a = M[X] - erwarteter Wert.

Diesen Unterschied nennt man zentrierte Zufallsvariable, entsprechenden Wert x, und bezeichnet :

Varianz einer Zufallsvariablen ist der mathematische Erwartungswert des Quadrats der Abweichung eines Wertes von seinem mathematischen Erwartungswert, also:

D[ X]=M[( X-a) 2 ], oder

D[ X]=M[ 2 ].

Die Varianz einer Zufallsvariablen ist ein bequemes Merkmal der Streuung und Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihre mathematische Erwartung. Es ist jedoch nicht sichtbar, da es die Dimension des Quadrats einer Zufallsvariablen hat.

Für eine visuelle Charakterisierung der Streuung ist es bequemer, eine Größe zu verwenden, deren Dimension mit der einer Zufallsvariablen übereinstimmt. Dieser Wert ist Standardabweichung Zufallsvariable, die die positive Quadratwurzel ihrer Varianz ist.

Mathematischer Erwartungswert, Modus, Median, Varianz, Standardabweichung - die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale von Zufallsvariablen. Bei der Lösung praktischer Probleme, wenn es unmöglich ist, das Verteilungsgesetz zu bestimmen, ist eine ungefähre Beschreibung einer Zufallsvariablen ihre numerischen Eigenschaften, die eine Eigenschaft der Verteilung ausdrücken.

Neben den Hauptmerkmalen der Verteilung des Zentrums (Erwartung) und Streuung (Streuung) ist es oft notwendig, weitere wichtige Merkmale der Verteilung zu beschreiben - Symmetrie und Schärfe, die durch die Verteilungsmomente dargestellt werden können.

Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist vollständig gegeben, wenn alle ihre Momente bekannt sind. Viele Verteilungen können jedoch vollständig mit den ersten vier Momenten beschrieben werden, die nicht nur Parameter sind, die Verteilungen beschreiben, sondern auch haben Bedeutung bei der Auswahl empirischer Verteilungen, d. H. Durch Berechnung der Zahlenwerte der Momente für eine gegebene Statistische Reihe und mit speziellen Diagrammen können Sie das Verteilungsgesetz bestimmen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Arten von Momenten unterschieden: initial und zentral.

Das Anfangsmoment der k-ten Ordnung zufällige Variable T heißt mathematischer Erwartungswert der Größe X k , d.h.

Daher wird sie für eine diskrete Zufallsvariable durch die Summe ausgedrückt

und für kontinuierlich - integral

Unter den Anfangsmomenten einer Zufallsvariablen ist das Moment erster Ordnung, also der mathematische Erwartungswert, von besonderer Bedeutung. Anfangsmomente höherer Ordnung werden hauptsächlich zur Berechnung der Zentralmomente verwendet.

Das zentrale Moment der k-ten Ordnung Zufallsvariable heißt der mathematische Erwartungswert der Variablen ( X-M [X])k

wo a = M[X].

Für eine diskrete Zufallsvariable wird sie durch die Summe ausgedrückt

a für kontinuierlich - integral

Zu den zentralen Momenten einer Zufallsvariablen gehört die zentrales Moment zweiter Ordnung, was die Varianz der Zufallsvariablen darstellt.

Das zentrale Moment erster Ordnung ist immer Null.

Dritter Anfangsmoment charakterisiert die Asymmetrie (Schiefe) der Verteilung und wird nach Beobachtungsergebnissen für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen durch die entsprechenden Ausdrücke bestimmt:

Da es die Dimension eines Würfels einer Zufallsvariablen hat, um eine dimensionslose Eigenschaft zu erhalten, m 3 dividiert durch die Standardabweichung zur dritten Potenz

Der resultierende Wert wird als Asymmetriekoeffizient bezeichnet und charakterisiert je nach Vorzeichen das positive ( Als> 0) oder negativ ( Als< 0) die Schiefe der Verteilung (Abb. 2.3).

Erwarteter Wert. mathematische Erwartung diskrete Zufallsvariable X Gastgeber endliche Zahl Werte Xich mit Wahrscheinlichkeiten Rich, heißt die Summe:

mathematische Erwartung stetige Zufallsvariable X heißt das Integral des Produkts seiner Werte X auf der Wahrf(x):

(6b)

Unechtes Integral (6 b) wird als absolut konvergent angenommen (andernfalls sagen wir, dass der Erwartungswert M(X) existiert nicht). Die mathematische Erwartung charakterisiert mittlere Bedeutung zufällige Variable X. Seine Dimension stimmt mit der Dimension einer Zufallsvariablen überein.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung:

Streuung. Streuung zufällige Variable X Nummer heißt:

Die Streuung ist Streucharakteristik Werte einer Zufallsvariablen X relativ zu seinem Durchschnittswert M(X). Die Dimension der Varianz ist gleich der quadrierten Dimension der Zufallsvariablen. Basierend auf den Definitionen von Varianz (8) und mathematischem Erwartungswert (5) für eine diskrete Zufallsvariable und (6) für eine kontinuierliche Zufallsvariable erhalten wir ähnliche Ausdrücke für die Varianz:

(9)

Hier m = M(X).

Dispersionseigenschaften:

Standardabweichung:

(11)

Da die Dimension der Standardabweichung dieselbe ist wie die einer Zufallsvariablen, wird sie häufiger als die Varianz als Streuungsmaß verwendet.

Verteilungsmomente. Die Konzepte des mathematischen Erwartungswerts und der Varianz sind Spezialfälle von more allgemeines Konzept für numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen - Verteilungsmomente. Die Verteilungsmomente einer Zufallsvariablen werden als mathematische Erwartungen einiger einfacher Funktionen einer Zufallsvariablen eingeführt. Also der Moment der Bestellung k relativ zum Punkt X 0 heißt Erwartung M(X–X 0 )k. Momente relativ zum Ursprung X= 0 aufgerufen werden erste Momente und sind gekennzeichnet:

(12)

Das Anfangsmoment der ersten Ordnung ist das Verteilungszentrum der betrachteten Zufallsvariablen:

(13)

Momente relativ zum Verteilzentrum X= m namens zentrale Momente und sind gekennzeichnet:

(14)

Aus (7) folgt, dass das zentrale Moment erster Ordnung immer gleich Null ist:

Die zentralen Momente hängen nicht vom Ursprung der Werte der Zufallsvariablen ab, da bei einer Verschiebung um konstanter Wert Mit sein Verteilungsschwerpunkt ist um den gleichen Wert verschoben Mit, und die Abweichung vom Mittelpunkt ändert sich nicht: X – m = (X – Mit) – (m – Mit).
Nun ist das offensichtlich Streuung- Das zentrales Moment zweiter Ordnung:

Asymmetrie. Zentrales Moment der dritten Ordnung:

(17)

dient der Auswertung Verteilungsschiefe. Wenn die Verteilung symmetrisch um den Punkt ist X= m, dann ist das zentrale Moment dritter Ordnung gleich Null (sowie alle zentralen Momente ungerader Ordnung). Wenn also das zentrale Moment dritter Ordnung von Null verschieden ist, kann die Verteilung nicht symmetrisch sein. Die Größe der Asymmetrie wird unter Verwendung eines Dimensionslosen geschätzt Asymmetriekoeffizient:

(18)

Das Vorzeichen des Asymmetriekoeffizienten (18) zeigt rechtsseitige oder linksseitige Asymmetrie an (Abb. 2).

Reis. 2. Arten der Asymmetrie von Verteilungen.

Überschuss. Zentrales Moment der vierten Ordnung:

(19)

dient der Auswertung der sog Kurtosis, der den Grad der Steilheit (Spitzigkeit) der Verteilungskurve in der Nähe des Verteilungszentrums in Bezug auf die Normalverteilungskurve bestimmt. Da für eine Normalverteilung die als Kurtosis angenommene Menge ist:

(20)

Auf Abb. 3 zeigt Beispiele von Verteilungskurven mit unterschiedlichen Werten der Kurtosis. Für eine Normalverteilung E= 0. Kurven mit stärkeren Spitzen als normal haben eine positive Kurtosis, und Kurven mit flacheren Spitzen haben eine negative Kurtosis.

Reis. 3. Verteilungskurven mit unterschiedlicher Steilheit (Kurtosis).

Momente höherer Ordnung in technischen Anwendungen mathematische Statistik in der Regel nicht angewendet.

Mode diskret Zufallsvariable ist ihr wahrscheinlichster Wert. Mode kontinuierlich eine Zufallsvariable ist ihr Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist (Abb. 2). Hat die Verteilungskurve ein Maximum, so heißt die Verteilung unimodal. Wenn die Verteilungskurve mehr als ein Maximum hat, wird die Verteilung aufgerufen polymodal. Manchmal gibt es Verteilungen, deren Kurven kein Maximum, sondern ein Minimum haben. Solche Distributionen werden aufgerufen antimodal. Im allgemeinen Fall stimmen Modus und mathematischer Erwartungswert einer Zufallsvariablen nicht überein. Im Einzelfall, z modal, d.h. mit einem Modus, einer symmetrischen Verteilung, und vorausgesetzt, dass es eine mathematische Erwartung gibt, fällt letztere mit dem Modus und dem Symmetriezentrum der Verteilung zusammen.

Median zufällige Variable X ist seine Bedeutung Mir, für die Gleichheit gilt: d.h. es ist ebenso wahrscheinlich, dass die Zufallsvariable X wird weniger oder mehr sein Mir. Geometrisch Median ist die Abszisse des Punktes, an dem die Fläche unter der Verteilungskurve halbiert wird (Abb. 2). Bei einer symmetrischen Modalverteilung sind Median, Modus und Mittelwert gleich.

"Maßeinheiten physikalischer Größen" - Absoluter Fehler gleich dem halben Divisionswert Messinstrument. Mikrometer. Das Ergebnis erhält man direkt mit dem Messgerät. Kastenlänge: 4 cm kurz, 5 cm über. Für jede physikalische Größe entsprechende Maßeinheiten stehen zur Verfügung. Uhr. Relativer Fehler.

„Längenwerte“ - 2. Welche Größen können miteinander verglichen werden: 2. Erklären Sie, warum das folgende Problem durch Addition gelöst wird: 2. Begründen Sie die Wahl der Maßnahme bei der Lösung des Problems. Wie viele Pakete hast du bekommen? Wie viele Stifte sind in drei dieser Schachteln? Kleider wurden aus 12 m Stoff genäht, jeweils 4 m. Wie viele Kleider wurden genäht?

"Physikalische Größen" - Grenzen, die Physik und andere trennen Naturwissenschaften, sind historisch bedingt. Das Ergebnis jeder Messung enthält immer einen gewissen Fehler. Neues Thema. Geschwindigkeit. Telefonische Interaktion. Physikalische Gesetze werden in Form von quantitativen Verhältnissen dargestellt, die in der Sprache der Mathematik ausgedrückt werden. Messfehler.

"Zahl als Ergebnis einer Wertmessung" - "Zahl als Ergebnis einer Wertmessung" Matheunterricht in der 1. Klasse. Messen der Länge eines Segments mit einem Zollstock.

"Zahlen und Mengen" - Bekanntschaft mit dem Begriff der Masse. Massenvergleich ohne Messungen. Nummerierung in römischer Schrift. Kapazität. Der Student lernt: Zahlen und Größen (30 Stunden) Koordinatenstrahl Das Konzept eines Koordinatenstrahls. Geplante Fachergebnisse im Abschnitt „Zahlen und Mengen“ in Klasse 2. Allgemeines Prinzip Bildung von Kardinalzahlen innerhalb der untersuchten Zahlen.

"Bedarfshöhe" - Ursachen für Nachfrageänderungen. Die auf dem Diagramm erhaltene DD-Kurve (von der englischen Nachfrage - "Nachfrage") wird als Nachfragekurve bezeichnet. Elastische Nachfrage (Epd>1). Die Menge der Nachfrage. Faktoren, die die Nachfrage beeinflussen. Die Abhängigkeit der nachgefragten Menge vom Preisniveau wird als Nachfrageskala bezeichnet. Absolut unelastische Nachfrage (Epd=0).

71, Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen werden in der Praxis häufig zur Berechnung von Zuverlässigkeitskennzahlen verwendet. In vielen praktischen Fragen ist es nicht erforderlich, eine Zufallsvariable vollständig und erschöpfend zu charakterisieren. Oft reicht es aus, nur numerische Parameter anzugeben, die die wesentlichen Merkmale der Verteilung einer Zufallsvariablen einigermaßen charakterisieren, zum Beispiel: mittlere Bedeutung , in deren Nähe die möglichen Werte der Zufallsvariablen gruppiert sind; Zahl, die die Streuung einer Zufallsvariablen kennzeichnet relativ zum Durchschnittswert usw. Numerische Parameter, die es erlauben, die wichtigsten Merkmale einer Zufallsvariablen in komprimierter Form auszudrücken, werden numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen genannt.

a) b)

Reis. 11 Definition der Erwartung

Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen, die in der Zuverlässigkeitstheorie verwendet werden, sind in der Tabelle angegeben. ein.

72, Erwartung(Mittelwert) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, deren mögliche Werte zum Intervall gehören , ist ein bestimmtes Integral (Abb. 11, b)

. (26)

Die mathematische Erwartung kann durch das Komplement der Integralfunktion ausgedrückt werden. Dazu setzen wir (11) in (26) ein und integrieren den resultierenden Ausdruck partiell

, (27)

als und , dann

. (28)

Bei nicht negativen Zufallsvariablen gehören deren mögliche Werte zum Intervall , Formel (28) nimmt die Form an

. (29)

also die mathematische Erwartung einer nicht negativen Zufallsvariablen, deren mögliche Werte zum Intervall gehören , ist numerisch gleich der Fläche unter dem Graphen des Komplements der Integralfunktion (Abb. 11, a).

73, Mittlere Zeit bis zum ersten Ausfall von statistische Information wird durch die Formel bestimmt

, (30)

wo ist die zeit bis zum ersten fehler ich-tes Objekt; N- Anzahl der getesteten Objekte.

In ähnlicher Weise werden die durchschnittliche Ressource, die durchschnittliche Lebensdauer, die durchschnittliche Wiederherstellungszeit und die durchschnittliche Haltbarkeit bestimmt.

74, Streuung einer Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert mit ausgewertet Streuung der Standardabweichung(RMS) und Variationskoeffizient.

Die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X ist die mathematische Erwartung der quadrierten Abweichung der Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung und wird durch die Formel berechnet

. (31)

Streuung hat die Dimension des Quadrats einer Zufallsvariablen, was nicht immer praktisch ist.

75, Standardabweichung Zufallsvariable ist Quadratwurzel aus der Varianz und hat die Dimension einer Zufallsvariablen

. (32)

76, Variationskoeffizient ist ein relativer Indikator für die Streuung einer Zufallsvariablen und ist definiert als das Verhältnis der Standardabweichung zur mathematischen Erwartung

. (33)

77, Gamma - Prozentwert einer Zufallsvariablen- der Wert der Zufallsvariablen entsprechend der gegebenen Wahrscheinlichkeit dass die Zufallsvariable einen Wert größer als annimmt

. (34)

78, Gamma - Der prozentuale Wert einer Zufallsvariablen kann durch die Integralfunktion, ihre Komplement- und Differentialfunktion bestimmt werden (Abb. 12). Der Gamma-Prozentwert einer Zufallsvariablen ist das Wahrscheinlichkeitsquantil (Abb. 12, a)

. (35)

Zuverlässigkeitstheorie verwendet Gamma-Prozentwert von Ressource, Lebensdauer und Haltbarkeit(Tabelle 1). Der Gamma-Prozentsatz wird als Ressource, Lebensdauer, Haltbarkeit bezeichnet. die einen Prozentsatz von Objekten eines bestimmten Typs hat (und überschreitet).

a) b)

Abb.12 Bestimmung des Gamma-Prozentwertes einer Zufallsvariablen

Gamma-Prozent-Ressource charakterisiert Haltbarkeit auf der ausgewählten Ebene Wahrscheinlichkeit der Nichtzerstörung. Die Gamma-Prozent-Ressource wird unter Berücksichtigung der Verantwortung der Objekte zugewiesen. Zum Beispiel wird für Wälzlager am häufigsten eine 90-%-Ressource verwendet, für Lager der kritischsten Objekte werden 95-%-Ressourcen und mehr gewählt, was näher an 100 % heranreicht, wenn der Ausfall lebensbedrohlich ist.

79, Median einer Zufallsvariablen ist sein Gamma-Prozentwert bei . Für den Median es ist ebenso wahrscheinlich, dass die Zufallsvariable es sein wird T mehr oder weniger, d.h.

Geometrisch ist der Median die Abszisse des Schnittpunkts der integralen Verteilungsfunktion und ihres Komplements (Abb. 12, b). Der Median kann als Abszisse des Punktes interpretiert werden, an dem die Ordinate der Differentialfunktion die von der Verteilungskurve begrenzte Fläche halbiert (Abb. 12, in).

Der Median einer Zufallsvariablen wird in der Zuverlässigkeitstheorie als numerisches Merkmal der Ressource, Lebensdauer, Haltbarkeit verwendet (Tabelle 1).

Es besteht eine funktionale Beziehung zwischen den Zuverlässigkeitsindikatoren von Objekten. Kenntnis einer der Funktionen
ermöglicht es Ihnen, andere Zuverlässigkeitsindikatoren zu bestimmen. Eine Zusammenfassung der Beziehungen zwischen Zuverlässigkeitsindikatoren ist in der Tabelle angegeben. 2.

Tabelle 2. Funktionale Beziehung zwischen Zuverlässigkeitsindikatoren

ZUFÄLLIGE WERTE UND DIE GESETZE IHRER VERTEILUNG.

Zufällig eine Größe genannt, die Werte abhängig von der Kombination zufälliger Umstände annimmt. Unterscheiden diskret und zufällig kontinuierlich Mengen.

Diskret Eine Größe wird aufgerufen, wenn sie eine abzählbare Menge von Werten annimmt. ( Beispiel: die Anzahl der Patienten in der Arztpraxis, die Anzahl der Briefe pro Seite, die Anzahl der Moleküle in einem bestimmten Band).

Kontinuierlich eine Größe genannt, die innerhalb eines bestimmten Intervalls Werte annehmen kann. ( Beispiel: Lufttemperatur, Körpergewicht, Körpergröße usw.)

Vertriebsrecht Eine Zufallsvariable ist eine Menge möglicher Werte dieser Größe und, diesen Werten entsprechend, Wahrscheinlichkeiten (oder Häufigkeiten des Auftretens).

BEISPIEL:

Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen.

In vielen Fällen können zusammen mit der Verteilung einer Zufallsvariablen oder statt dessen Informationen über diese Größen durch sogenannte numerische Parameter bereitgestellt werden Numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen . Die am häufigsten verwendeten davon:

1 .Erwarteter Wert - (Durchschnittswert) einer Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:

2 .Streuung zufällige Variable:

3 .Standardabweichung :

DREI SIGNALE - ist eine Zufallsvariable nach einem Normalgesetz verteilt, so übersteigt die Abweichung dieses Wertes vom absoluten Mittelwert nicht das Dreifache der Standardabweichung

Gaußsches Gesetz - Normalverteilungsgesetz

Oft werden Werte verteilt normales Gesetz (Gaußsches Gesetz). Hauptmerkmal : Es ist das begrenzende Gesetz, an das sich andere Verteilungsgesetze annähern.

Eine Zufallsvariable ist normalverteilt, wenn sie Wahrscheinlichkeitsdichte sieht aus wie:

M(X) - mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen;

 - Standardabweichung.

Wahrscheinlichkeitsdichte (Verteilungsfunktion) zeigt, wie sich die Wahrscheinlichkeit bezogen auf das Intervall ändert dx Zufallsvariable, abhängig vom Wert der Variablen selbst:

Grundbegriffe der mathematischen Statistik

Mathematische Statistiken - ein Zweig der angewandten Mathematik, direkt angrenzend an die Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Hauptunterschied zwischen mathematischer Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, dass die mathematische Statistik keine Auswirkungen auf Verteilungsgesetze und numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen berücksichtigt, sondern Näherungsverfahren zum Auffinden dieser Gesetze und numerischen Eigenschaften auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse.

Grundlegendes Konzept mathematische Statistik sind:

Durchschnittsbevölkerung;

Probe;

Variationsserie;

Mode;

Median;

Perzentil,

Frequenzpolygon,

Balkendiagramm.

Bevölkerung - eine große statistische Grundgesamtheit, aus der einige der Forschungsobjekte ausgewählt werden

(Beispiel: die gesamte Bevölkerung der Region, Studenten der Stadt usw.)

Stichprobe (Stichprobe) - eine Reihe von Objekten, die aus der allgemeinen Bevölkerung ausgewählt wurden.

Variationsreihe - statistische Verteilung, bestehend aus Varianten (Werten einer Zufallsvariablen) und ihren entsprechenden Häufigkeiten.

Beispiel:

X , kg

m

x - der Wert einer Zufallsvariablen (Masse der Mädchen im Alter von 10 Jahren);

m - Häufigkeit des Auftretens.

Mode – der Wert der Zufallsvariablen, der der höchsten Auftrittshäufigkeit entspricht. (Im obigen Beispiel ist 24 kg der häufigste Wert für Mode: m = 20).

Median - der Wert einer Zufallsvariablen, die die Verteilung halbiert: Die Hälfte der Werte befindet sich rechts vom Median, die Hälfte (nicht mehr) - links.

Beispiel:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Im Beispiel beobachten wir 40 Werte einer Zufallsvariablen. Alle Werte sind unter Berücksichtigung der Häufigkeit ihres Auftretens aufsteigend geordnet. Es ist ersichtlich, dass sich 20 (die Hälfte) der 40 Werte rechts vom ausgewählten Wert 7 befinden. 7 ist also der Median.

Zur Charakterisierung der Streuung finden wir die Werte, die nicht höher als 25 und 75 % der Messergebnisse waren. Diese Werte werden als 25. und 75. bezeichnet Perzentile . Wenn der Median die Verteilung halbiert, werden das 25. und 75. Perzentil um ein Viertel davon abgeschnitten. (Der Median selbst kann übrigens als 50. Perzentil betrachtet werden.) Wie Sie dem Beispiel entnehmen können, sind das 25. und 75. Perzentil 3 bzw. 8.

benutzen diskret (Punkt) statistische Verteilung und kontinuierlich (Intervall) statistische Verteilung.

Zur Verdeutlichung sind statistische Verteilungen im Formular grafisch dargestellt Frequenzpolygon oder - Histogramme .

Frequenzpolygon - eine unterbrochene Linie, deren Segmente Punkte mit Koordinaten verbinden ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., oder für Polygon der relativen Häufigkeiten - mit Koordinaten ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(Abb.1).

mm ich / nf(x)

x x

Abb.1 Abb.2

Häufigkeitshistogramm - eine Reihe benachbarter Rechtecke, die auf einer geraden Linie aufgebaut sind (Abb. 2), die Basen der Rechtecke sind gleich und gleich dx , und die Höhen sind gleich dem Verhältnis von Frequenz zu dx , oder R * zu dx (Wahrscheinlichkeitsdichte).

Beispiel:

x, kg