Im Algebrakurs der 7. Klasse beschäftigten wir uns mit der Transformation von ganzzahligen Ausdrücken, also Ausdrücken, die aus Zahlen und Variablen bestehen, mit den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation sowie Division durch eine von Null verschiedene Zahl. Ausdrücke sind also ganze Zahlen

Im Gegensatz dazu Ausdrücke

neben der Aktion der Addition, Subtraktion und Multiplikation enthalten sie die Division durch einen Ausdruck mit Variablen. Solche Ausdrücke werden Bruchausdrücke genannt.

Ganzzahl- und Bruchausdrücke werden rationale Ausdrücke genannt.

Ein Integer-Ausdruck ist für beliebige Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll, da Sie, um den Wert eines gesamten Ausdrucks zu finden, Aktionen ausführen müssen, die immer möglich sind.

Ein Bruchausdruck für einige Werte von Variablen ist möglicherweise nicht sinnvoll. Beispielsweise ist der Ausdruck - für a = 0 nicht sinnvoll. Für alle anderen Werte von a ist dieser Ausdruck sinnvoll. Der Ausdruck ist sinnvoll für diejenigen Werte von x und y, wenn x ≠ y.

Variablenwerte, für die der Ausdruck sinnvoll ist, werden gültige Variablenwerte genannt.

Ein Ausdruck der Form wird bekanntlich als Bruch bezeichnet.

Ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind, heißt rationaler Bruch.

Brüche sind Beispiele für rationale Brüche.

BEIM rationaler Bruch Zulässig sind solche Werte der Variablen, bei denen der Nenner des Bruchs nicht verschwindet.

Beispiel 1 Lassen Sie uns die gültigen Werte der Variablen im Bruch finden

Entscheidung Um herauszufinden, bei welchen Werten von a der Nenner des Bruchs verschwindet, müssen Sie die Gleichung a (a - 9) \u003d 0 lösen. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: 0 und 9. Daher alle Zahlen außer 0 und 9 sind gültige Werte für die Variable a.

Beispiel 2 Bei welchem ​​Wert von x ist der Bruchwert gleich Null?

Entscheidung Ein Bruch ist genau dann Null, wenn a 0 und b ≠ 0 ist.

In diesem Artikel wird erläutert, wie Sie die Werte mathematischer Ausdrücke finden. Beginnen wir mit einfachen numerischen Ausdrücken und betrachten dann Fälle mit zunehmender Komplexität. Am Ende geben wir einen Ausdruck an, der Buchstabenbezeichnungen, Klammern, Wurzeln, Sonderzeichen enthält mathematische Zeichen, Grade, Funktionen usw. Die ganze Theorie wird der Tradition entsprechend mit zahlreichen und detaillierten Beispielen versehen.

Wie finde ich den Wert eines numerischen Ausdrucks?

Numerische Ausdrücke helfen unter anderem dabei, den Zustand des Problems zu beschreiben mathematische Sprache. Im Allgemeinen können mathematische Ausdrücke entweder sehr einfach sein und aus einem Paar Zahlen und arithmetischen Zeichen bestehen, oder sehr komplex sein und Funktionen, Grade, Wurzeln, Klammern usw. enthalten. Als Teil der Aufgabe ist es oft notwendig, den Wert eines Ausdrucks zu finden. Wie das geht, wird weiter unten besprochen.

Die einfachsten Fälle

Dies sind Fälle, in denen der Ausdruck nichts als Zahlen und Arithmetik enthält. Um die Werte solcher Ausdrücke erfolgreich zu finden, benötigen Sie Kenntnisse über die Reihenfolge, in der arithmetische Operationen ohne Klammern ausgeführt werden, sowie die Fähigkeit, Operationen mit unterschiedlichen Zahlen auszuführen.

Enthält der Ausdruck nur Zahlen und Rechenzeichen " + " , " · " , " - " , " ÷ " , werden die Operationen von links nach rechts in folgender Reihenfolge ausgeführt: zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel 1. Wert numerischer Ausdruck

Lassen Sie es notwendig sein, die Werte des Ausdrucks 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 zu finden.

Machen wir zuerst die Multiplikation und Division. Wir bekommen:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Jetzt subtrahieren wir und erhalten das Endergebnis:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Beispiel 2. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns berechnen: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Zuerst führen wir die Umwandlung von Brüchen, Division und Multiplikation durch:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Jetzt machen wir Addition und Subtraktion. Gruppieren wir die Brüche und bringen sie auf einen gemeinsamen Nenner:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Der gewünschte Wert ist gefunden.

Ausdrücke mit Klammern

Wenn ein Ausdruck Klammern enthält, bestimmen diese die Reihenfolge der Aktionen in diesem Ausdruck. Zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt und dann der Rest. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel 3. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

Der Ausdruck enthält Klammern, also führen wir zuerst die Subtraktionsoperation in Klammern aus und erst dann die Multiplikation.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Der Wert von Ausdrücken, die Klammern in Klammern enthalten, wird nach dem gleichen Prinzip gefunden.

Beispiel 4. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Wir werden Aktionen ausführen, die bei den innersten Klammern beginnen und zu den äußeren übergehen.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Beim Auffinden der Werte von Ausdrücken mit Klammern ist es wichtig, der Reihenfolge der Aktionen zu folgen.

Ausdrücke mit Wurzeln

Mathematische Ausdrücke, deren Werte wir finden müssen, können Wurzelzeichen enthalten. Außerdem kann der Ausdruck selbst unter dem Zeichen der Wurzel stehen. Wie soll man in diesem Fall sein? Zuerst müssen Sie den Wert des Ausdrucks unter der Wurzel finden und dann die Wurzel aus der resultierenden Zahl extrahieren. Wenn möglich, sollten Wurzeln in numerischen Ausdrücken besser entsorgt werden, indem von durch ersetzt wird Zahlenwerte.

Beispiel 5. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks mit Wurzeln - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Zuerst berechnen wir die Wurzelausdrücke.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Jetzt können wir den Wert des gesamten Ausdrucks berechnen.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Um den Wert eines Ausdrucks mit Wurzeln zu finden, ist es oft notwendig, zuerst den ursprünglichen Ausdruck umzuwandeln. Lassen Sie uns dies an einem anderen Beispiel erläutern.

Beispiel 6. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Was ist 3 + 1 3 - 1 - 1

Wie Sie sehen können, haben wir nicht die Möglichkeit, die Wurzel durch einen exakten Wert zu ersetzen, was den Zählvorgang erschwert. In diesem Fall können Sie jedoch die abgekürzte Multiplikationsformel anwenden.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Auf diese Weise:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ausdrücke mit Kräften

Wenn der Ausdruck Kräfte enthält, müssen ihre Werte berechnet werden, bevor mit allen anderen Aktionen fortgefahren wird. Es kommt vor, dass der Exponent selbst oder die Basis des Grades Ausdrücke sind. In diesem Fall wird zuerst der Wert dieser Ausdrücke berechnet und dann der Wert des Abschlusses.

Beispiel 7. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Wir fangen an, der Reihe nach zu rechnen.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Es bleibt nur noch die Additionsoperation auszuführen und den Wert des Ausdrucks herauszufinden:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Oft ist es auch ratsam, den Ausdruck über die Eigenschaften des Grades zu vereinfachen.

Beispiel 8. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns den Wert des folgenden Ausdrucks berechnen: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Die Exponenten sind wieder so, dass ihre genauen Zahlenwerte nicht erhalten werden können. Vereinfachen Sie den ursprünglichen Ausdruck, um seinen Wert zu finden.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Ausdrücke mit Brüchen

Wenn ein Ausdruck Brüche enthält, müssen bei der Berechnung eines solchen Ausdrucks alle darin enthaltenen Brüche als gewöhnliche Brüche dargestellt und ihre Werte berechnet werden.

Wenn der Zähler und Nenner des Bruchs Ausdrücke enthalten, werden zuerst die Werte dieser Ausdrücke berechnet und der Endwert des Bruchs selbst aufgezeichnet. Arithmetische Operationen werden in der Standardreihenfolge ausgeführt. Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel 9. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks finden, der Brüche enthält: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Wie Sie sehen können, enthält der ursprüngliche Ausdruck drei Brüche. Lassen Sie uns zuerst ihre Werte berechnen.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Lassen Sie uns unseren Ausdruck umschreiben und seinen Wert berechnen:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Beim Ermitteln der Werte von Ausdrücken ist es häufig zweckmäßig, Brüche zu kürzen. Es gibt eine unausgesprochene Regel: Bevor man seinen Wert findet, vereinfacht man jeden Ausdruck am besten auf das Maximum und reduziert alle Berechnungen auf die einfachsten Fälle.

Beispiel 10. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Ausdruck 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Wir können die Wurzel von fünf nicht vollständig ziehen, aber wir können den ursprünglichen Ausdruck durch Transformationen vereinfachen.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Der ursprüngliche Ausdruck hat die Form:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Lassen Sie uns den Wert dieses Ausdrucks berechnen:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Ausdrücke mit Logarithmen

Wenn Logarithmen in einem Ausdruck vorkommen, wird ihr Wert, wenn möglich, von Anfang an berechnet. Beispielsweise können Sie im Ausdruck log 2 4 + 2 4 sofort den Wert dieses Logarithmus anstelle von log 2 4 schreiben und dann alle Aktionen ausführen. Wir erhalten: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Numerische Ausdrücke finden sich auch unter dem Vorzeichen des Logarithmus und an seiner Basis. In diesem Fall besteht der erste Schritt darin, ihre Werte zu finden. Nehmen wir den Ausdruck log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Wir haben:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Wenn es unmöglich ist, den genauen Wert des Logarithmus zu berechnen, hilft das Vereinfachen des Ausdrucks, seinen Wert zu finden.

Beispiel 11. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

Protokoll 2 Protokoll 2 256 = Protokoll 2 8 = 3 .

Nach der Eigenschaft der Logarithmen:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Wenden wir erneut die Eigenschaften von Logarithmen an, erhalten wir für den letzten Bruch im Ausdruck:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Jetzt können Sie mit der Berechnung des Werts des ursprünglichen Ausdrucks fortfahren.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen

Es kommt vor, dass der Ausdruck trigonometrische Funktionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dazu inverse Funktionen enthält. Daraus werden die Werte errechnet, bevor alle anderen Rechenoperationen durchgeführt werden. Andernfalls wird der Ausdruck vereinfacht.

Beispiel 12. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Zuerst berechnen wir die Werte trigonometrische Funktionen im Ausdruck enthalten.

Sünde - 5 π 2 \u003d - 1

Ersetzen Sie die Werte im Ausdruck und berechnen Sie seinen Wert:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Der Wert des Ausdrucks wird gefunden.

Um den Wert eines Ausdrucks mit trigonometrischen Funktionen zu finden, muss dieser oft zuerst konvertiert werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.

Beispiel 13. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Es ist notwendig, den Wert des Ausdrucks cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 zu finden.

Für die Transformation werden wir verwenden trigonometrische Formeln Kosinus doppelter Winkel und der Kosinus der Summe.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Allgemeiner Fall eines numerischen Ausdrucks

Im allgemeinen Fall kann ein trigonometrischer Ausdruck alle oben beschriebenen Elemente enthalten: Klammern, Grade, Wurzeln, Logarithmen, Funktionen. Lassen Sie uns formulieren allgemeine Regel Finden der Werte solcher Ausdrücke.

So finden Sie den Wert eines Ausdrucks

1. Wurzeln, Potenzen, Logarithmen usw. werden durch ihre Werte ersetzt.
2. Die Aktionen in Klammern werden ausgeführt.
3. Die restlichen Schritte werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt. Zuerst - Multiplikation und Division, dann - Addition und Subtraktion.

Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel 14. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Der Ausdruck ist ziemlich komplex und umständlich. Es ist kein Zufall, dass wir gerade ein solches Beispiel gewählt haben und versuchen, alle oben beschriebenen Fälle darin unterzubringen. Wie findet man den Wert eines solchen Ausdrucks?

Es ist bekannt, dass bei der Berechnung des Werts einer komplexen Bruchform zunächst die Werte des Zählers und des Nenners des Bruchs jeweils getrennt ermittelt werden. Wir werden diesen Ausdruck sukzessive transformieren und vereinfachen.

Zunächst berechnen wir den Wert des Wurzelausdrucks 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Dazu müssen Sie den Wert des Sinus und den Ausdruck finden, der das Argument der trigonometrischen Funktion ist.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Jetzt können Sie den Wert des Sinus herausfinden:

Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = Sünde π 6 + 2 π = Sünde π 6 = 1 2 .

Wir berechnen den Wert des Wurzelausdrucks:

2 Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Mit dem Nenner eines Bruchs ist alles einfacher:

Jetzt können wir den Wert des ganzen Bruchs aufschreiben:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

In diesem Sinne schreiben wir den gesamten Ausdruck:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Endergebnis:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In diesem Fall konnten wir genaue Werte für Wurzeln, Logarithmen, Sinus usw. berechnen. Wenn dies nicht möglich ist, können Sie versuchen, sie durch mathematische Transformationen loszuwerden.

Berechnung von Ausdrücken auf rationale Weise

Numerische Werte müssen konsistent und genau berechnet werden. Dieser Prozess kann rationalisiert und beschleunigt werden, indem verschiedene Eigenschaften von Operationen mit Zahlen verwendet werden. Beispielsweise ist bekannt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Angesichts dieser Eigenschaft können wir sofort sagen, dass der Ausdruck 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 gleich Null ist. In diesem Fall ist es überhaupt nicht erforderlich, die Schritte in der im obigen Artikel beschriebenen Reihenfolge auszuführen.

Es ist auch praktisch, die Eigenschaft des Subtrahierens gleicher Zahlen zu verwenden. Ohne irgendwelche Aktionen auszuführen, ist es möglich zu befehlen, dass der Wert des Ausdrucks 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 ebenfalls gleich Null ist.

Eine weitere Technik, mit der Sie den Prozess beschleunigen können, ist die Verwendung identischer Transformationen, z. B. das Gruppieren von Termen und Faktoren und das Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern. Ein rationaler Ansatz zur Berechnung von Ausdrücken mit Brüchen besteht darin, dieselben Ausdrücke im Zähler und Nenner zu kürzen.

Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Ohne Aktionen in Klammern auszuführen, aber indem wir den Bruch kürzen, können wir sagen, dass der Wert des Ausdrucks 1 3 ist.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Die Bedeutung eines wörtlichen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen wird spezifisch gefunden Sollwerte Buchstaben und Variablen.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Um den Wert eines wörtlichen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen zu finden, müssen Sie die angegebenen Werte von Buchstaben und Variablen in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen und dann den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen.

Beispiel 15. Der Wert eines Ausdrucks mit Variablen

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 0, 5 x - y bei x = 2, 4 und y = 5.

Wir setzen die Werte der Variablen in den Ausdruck ein und berechnen:

0 , 5 x - y = 0 , 5 2 , 4 - 5 = 1 , 2 - 5 = - 3 , 8 .

Manchmal ist es möglich, einen Ausdruck so umzuwandeln, dass sein Wert unabhängig von den Werten der darin enthaltenen Buchstaben und Variablen erhalten wird. Dazu müssen Sie Buchstaben und Variablen im Ausdruck möglichst mit entfernen identische Transformationen, Eigenschaften arithmetischer Operationen und alle möglichen anderen Wege.

Zum Beispiel hat der Ausdruck x + 3 - x offensichtlich den Wert 3, und es ist nicht notwendig, den Wert von x zu kennen, um diesen Wert zu berechnen. Bedeutung gegebenen Ausdruck ist gleich drei für alle Werte der Variablen x aus ihrem Bereich akzeptabler Werte.

Noch ein Beispiel. Der Wert des Ausdrucks x x ist für alle positiven x gleich eins.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Wenn also ein numerischer Ausdruck aus Zahlen und Zeichen +, −, · und: besteht, müssen Sie in der Reihenfolge von links nach rechts zuerst Multiplikation und Division und dann Addition und Subtraktion durchführen, um das Gewünschte zu finden Wert des Ausdrucks.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung einige Beispiele an.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 14−2·15:6−3 .

Entscheidung.

Um den Wert eines Ausdrucks zu finden, müssen Sie alle darin angegebenen Aktionen gemäß der akzeptierten Reihenfolge zum Ausführen dieser Aktionen ausführen. Zuerst führen wir in der Reihenfolge von links nach rechts Multiplikation und Division durch, wir erhalten 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nun führen wir in der Reihenfolge von links nach rechts die verbleibenden Aktionen aus: 14−5−3=9−3=6 . Wir haben also den Wert des ursprünglichen Ausdrucks gefunden, er ist gleich 6 .

Antworten:

14−2 15:6−3=6 .

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Entscheidung.

In diesem Beispiel müssen wir zuerst die Multiplikation 2 (−7) und Division mit Multiplikation im Ausdruck durchführen. Erinnern wir uns an wie , finden wir 2 (−7)=−14 . Und zuerst Aktionen im Ausdruck ausführen , wonach , und führe aus: .

Wir ersetzen die erhaltenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck: .

Aber was ist, wenn unter dem Wurzelzeichen ein numerischer Ausdruck steht? Um den Wert einer solchen Wurzel zu erhalten, müssen Sie zuerst den Wert des Wurzelausdrucks finden, indem Sie der akzeptierten Reihenfolge der Operationen folgen. Zum Beispiel, .

In numerischen Ausdrücken sollten die Wurzeln als Zahlen wahrgenommen werden, und es ist ratsam, die Wurzeln sofort durch ihre Werte zu ersetzen und dann den Wert des resultierenden Ausdrucks ohne Wurzeln zu finden und Aktionen in der akzeptierten Reihenfolge auszuführen.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks mit Wurzeln.

Entscheidung.

Suchen Sie zuerst den Wert der Wurzel . Dazu berechnen wir zunächst den Wert des Wurzelausdrucks, den wir haben −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Und zweitens finden wir den Wert der Wurzel.

Lassen Sie uns nun den Wert der zweiten Wurzel aus dem ursprünglichen Ausdruck berechnen: .

Schließlich können wir den Wert des ursprünglichen Ausdrucks finden, indem wir die Wurzeln durch ihre Werte ersetzen: .

Antworten:

Um den Wert eines Ausdrucks mit Wurzeln zu finden, müssen Sie ihn häufig zuerst umwandeln. Lassen Sie uns eine Beispiellösung zeigen.

Beispiel.

Was bedeutet der Ausdruck .

Entscheidung.

Wir können die Wurzel von drei nicht durch ihren genauen Wert ersetzen, was es uns nicht erlaubt, den Wert dieses Ausdrucks auf die oben beschriebene Weise zu berechnen. Wir können jedoch den Wert dieses Ausdrucks berechnen, indem wir einfache Transformationen durchführen. Zutreffend Differenz der Quadrate Formel: . In Anbetracht bekommen wir . Der Wert des ursprünglichen Ausdrucks ist also 1 .

Antworten:

.

Mit Abschlüssen

Wenn Basis und Exponent Zahlen sind, dann wird ihr Wert durch die Definition des Grads berechnet, zum Beispiel 3 2 =3 3=9 oder 8 −1 =1/8 . Es gibt auch Einträge, wenn die Basis und / oder der Exponent einige Ausdrücke sind. In diesen Fällen müssen Sie den Wert des Ausdrucks in der Basis und den Wert des Ausdrucks im Exponenten finden und dann den Wert des Grades selbst berechnen.

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks mit Potenzen der Form 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Entscheidung.

Der ursprüngliche Ausdruck hat zwei Potenzen 2 3 4−10 und (1−1/2) 3,5−2 1/4 . Ihre Werte müssen berechnet werden, bevor die restlichen Schritte ausgeführt werden.

Beginnen wir mit der Potenz 2 3·4−10 . Sein Indikator enthält einen numerischen Ausdruck, berechnen wir seinen Wert: 3·4−10=12−10=2 . Jetzt können Sie den Wert des Grads selbst finden: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Es gibt Ausdrücke in der Basis und im Exponenten (1−1/2) 3,5−2 1/4, wir berechnen ihre Werte, um später den Gradwert zu finden. Wir haben (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Jetzt kehren wir zum ursprünglichen Ausdruck zurück, ersetzen die Grade darin durch ihre Werte und finden den Wert des Ausdrucks, den wir brauchen: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Antworten:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Es ist erwähnenswert, dass es häufigere Fälle gibt, in denen es ratsam ist, eine Voruntersuchung durchzuführen Vereinfachung des Ausdrucks mit Potenzen in der Basis .

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Entscheidung.

Nach den Exponenten in diesem Ausdruck zu urteilen, können die genauen Werte der Grade nicht erhalten werden. Versuchen wir, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen, vielleicht hilft es, seinen Wert zu finden. Wir haben

Antworten:

.

Potenzen in Ausdrücken gehen oft Hand in Hand mit Logarithmen, aber wir werden darüber sprechen, die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen in einem von zu finden.

Den Wert eines Ausdrucks mit Brüchen ermitteln

Numerische Ausdrücke in ihrer Eingabe können enthalten Brüche. Wenn es erforderlich ist, den Wert eines solchen Ausdrucks zu finden, sollten andere Brüche als gewöhnliche Brüche durch ihre Werte ersetzt werden, bevor andere Schritte ausgeführt werden.

Zähler und Nenner von Brüchen (die sich von gewöhnlichen Brüchen unterscheiden) können sowohl einige Zahlen als auch Ausdrücke enthalten. Um den Wert eines solchen Bruchs zu berechnen, müssen Sie den Wert des Ausdrucks im Zähler berechnen, den Wert des Ausdrucks im Nenner berechnen und dann den Wert des Bruchs selbst berechnen. Diese Reihenfolge erklärt sich aus der Tatsache, dass der Bruch a/b, wobei a und b einige Ausdrücke sind, tatsächlich ein Quotient der Form (a):(b) ist, da .

Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks mit Brüchen .

Entscheidung.

Im ursprünglichen numerischen Ausdruck drei Brüche und . Um den Wert des ursprünglichen Ausdrucks zu finden, brauchen wir zuerst diese Brüche und ersetzen sie durch ihre Werte. Machen wir das.

Zähler und Nenner eines Bruchs sind Zahlen. Um den Wert eines solchen Bruchs zu finden, ersetzen wir den Bruchstrich durch ein Divisionszeichen und führen diese Aktion aus: .

Der Zähler des Bruchs enthält den Ausdruck 7−2 3 , sein Wert ist leicht zu finden: 7−2 3=7−6=1 . Auf diese Weise, . Sie können damit fortfahren, den Wert des dritten Bruchs zu ermitteln.

Der dritte Bruch im Zähler und Nenner enthält numerische Ausdrücke, daher müssen Sie zuerst ihre Werte berechnen, damit Sie den Wert des Bruchs selbst finden können. Wir haben .

Es bleibt, die gefundenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck zu ersetzen und die verbleibenden Schritte auszuführen: .

Antworten:

.

Wenn Sie die Werte von Ausdrücken mit Brüchen finden, müssen Sie häufig etwas leisten Vereinfachung Bruchausdrücke , basierend auf der Ausführung von Aktionen mit Brüchen und auf der Kürzung von Brüchen.

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Entscheidung.

Die Wurzel von fünf wird nicht vollständig gezogen, also vereinfachen wir ihn zuerst, um den Wert des ursprünglichen Ausdrucks zu finden. Dafür die Irrationalität im Nenner loswerden erster Bruchteil: . Danach nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form an . Nach dem Subtrahieren der Brüche verschwinden die Wurzeln, wodurch wir den Wert des ursprünglich angegebenen Ausdrucks finden können:.

Antworten:

.

Mit Logarithmen

Wenn der numerische Ausdruck enthält und wenn es möglich ist, sie loszuwerden, wird dies vor der Durchführung anderer Aktionen durchgeführt. Wenn Sie beispielsweise den Wert des Ausdrucks log 2 4+2 3 finden, wird der Logarithmus von log 2 4 durch seinen Wert 2 ersetzt, wonach die restlichen Operationen in der üblichen Reihenfolge ausgeführt werden, dh log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Wenn numerische Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus und / oder an seiner Basis stehen, werden zuerst ihre Werte gefunden, wonach der Wert des Logarithmus berechnet wird. Betrachten Sie beispielsweise einen Ausdruck mit einem Logarithmus der Form . An der Basis des Logarithmus und unter seinem Vorzeichen stehen numerische Ausdrücke, wir finden ihre Werte: . Jetzt finden wir den Logarithmus, danach vervollständigen wir die Berechnungen: .

Wenn die Logarithmen nicht genau berechnet werden, dann ihre vorläufige Vereinfachung mit . In diesem Fall müssen Sie das Material des Artikels gut beherrschen. Transformation logarithmischer Ausdrücke.

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks mit Logarithmen .

Entscheidung.

Beginnen wir mit der Berechnung von log 2 (log 2 256) . Da 256=2 8 , dann log 2 256=8 , daher log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Die Logarithmen log 6 2 und log 6 3 können gruppiert werden. Die Summe der Logarithmen log 6 2+log 6 3 ist gleich dem Logarithmus des Produkts log 6 (2 3) , also Log 6 2+Log 6 3=Log 6 (2 3)=Log 6 6=1.

Jetzt beschäftigen wir uns mit Brüchen. Zunächst schreiben wir die Basis des Logarithmus in den Nenner der Form um gemeinsamer Bruchteil als 1/5 , danach verwenden wir die Eigenschaften von Logarithmen, die es uns ermöglichen, den Wert des Bruchs zu erhalten:
.

Es bleibt nur, die erhaltenen Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck einzusetzen und seinen Wert zu finden:

Antworten:

Wie findet man den Wert eines trigonometrischen Ausdrucks?

Wenn ein numerischer Ausdruck oder usw. enthält, werden ihre Werte berechnet, bevor andere Aktionen ausgeführt werden. Wenn es numerische Ausdrücke unter dem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen gibt, werden zuerst ihre Werte berechnet, wonach die Werte trigonometrischer Funktionen gefunden werden.

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Entscheidung.

Wenn wir uns dem Artikel zuwenden, bekommen wir und cosπ=−1 . Wir ersetzen diese Werte in den ursprünglichen Ausdruck, er nimmt die Form an . Um seinen Wert zu finden, müssen Sie zuerst potenzieren und dann die Berechnungen abschließen: .

Antworten:

.

Es ist zu beachten, dass die Berechnung der Werte von Ausdrücken mit Sinus, Cosinus usw. erfordert oft vorherige Transformationen trigonometrischer Ausdruck .

Beispiel.

Welchen Wert hat der trigonometrische Ausdruck .

Entscheidung.

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck mit transformieren, in diesem Fall benötigen wir die Doppelwinkel-Cosinus-Formel und die Summen-Cosinus-Formel:

Die durchgeführten Transformationen halfen uns, den Wert des Ausdrucks zu finden.

Antworten:

.

Allgemeiner Fall

Im Allgemeinen kann ein numerischer Ausdruck Wurzeln, Grade, Brüche und beliebige Funktionen sowie Klammern enthalten. Das Finden der Werte solcher Ausdrücke besteht darin, die folgenden Aktionen auszuführen:

• erste Wurzeln, Grade, Brüche usw. werden durch ihre Werte ersetzt,
• weitere Aktionen in Klammern,
• und in der Reihenfolge von links nach rechts werden die verbleibenden Operationen ausgeführt - Multiplikation und Division, gefolgt von Addition und Subtraktion.

Die oben genannten Aktionen werden durchgeführt, bis das Endergebnis erreicht ist.

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Entscheidung.

Die Form dieses Ausdrucks ist ziemlich kompliziert. In diesem Ausdruck sehen wir einen Bruch, Wurzeln, Grade, Sinus und Logarithmus. Wie findet man seine Bedeutung?

Wenn wir den Datensatz von links nach rechts entlanggehen, stoßen wir auf einen Bruchteil des Formulars . Das kennen wir vom Umgang mit Brüchen komplexer Typ, müssen wir den Wert des Zählers separat berechnen, den Nenner separat berechnen und schließlich den Wert des Bruchs finden.

Im Zähler haben wir eine Wurzel der Form . Um seinen Wert zu bestimmen, müssen Sie zuerst den Wert des Wurzelausdrucks berechnen . Hier gibt es einen Sinus. Wir können seinen Wert erst finden, nachdem wir den Wert des Ausdrucks berechnet haben . Das können wir tun: . Dann von wo und .

Mit dem Nenner ist alles einfach: .

Auf diese Weise, .

Nachdem Sie dieses Ergebnis in den ursprünglichen Ausdruck eingesetzt haben, nimmt es die Form an. Der resultierende Ausdruck enthält den Grad. Um seinen Wert zu finden, müssen Sie zuerst den Wert des Indikators finden, den wir haben .

So, .

Antworten:

.

Wenn es nicht möglich ist, die genauen Werte von Wurzeln, Graden usw. zu berechnen, können Sie versuchen, sie durch Transformationen zu beseitigen, und dann zur Berechnung des Werts gemäß dem angegebenen Schema zurückkehren.

Rationale Wege zur Berechnung von Werten von Ausdrücken

Die Berechnung der Werte numerischer Ausdrücke erfordert Konsistenz und Genauigkeit. Ja, es ist notwendig, die in den vorherigen Abschnitten aufgezeichnete Reihenfolge der Aktionen einzuhalten, aber dies sollte nicht blind und mechanisch erfolgen. Damit meinen wir, dass es oft möglich ist, den Prozess der Bestimmung des Werts eines Ausdrucks zu rationalisieren. Beispielsweise können Sie mit einigen Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen das Auffinden des Werts eines Ausdrucks erheblich beschleunigen und vereinfachen.

Wir kennen zum Beispiel diese Eigenschaft der Multiplikation: Wenn einer der Faktoren im Produkt Null ist, dann ist der Wert des Produkts Null. Mit dieser Eigenschaft können wir sofort sagen, dass der Wert des Ausdrucks 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) ist Null. Wenn wir der Standardreihenfolge folgen würden, müssten wir zuerst die Werte umständlicher Ausdrücke in Klammern berechnen, was viel Zeit in Anspruch nehmen würde, und das Ergebnis wäre immer noch Null.

Es ist auch praktisch, die Eigenschaft des Subtrahierens gleicher Zahlen zu verwenden: Wenn Sie eine gleiche Zahl von einer Zahl subtrahieren, ist das Ergebnis Null. Diese Eigenschaft kann allgemeiner betrachtet werden: Die Differenz zweier identischer numerischer Ausdrücke ist gleich Null. Ohne den Wert von Ausdrücken in Klammern zu berechnen, können Sie beispielsweise den Wert des Ausdrucks ermitteln (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ist er gleich Null, da der ursprüngliche Ausdruck die Differenz identischer Ausdrücke ist.

Die rationale Berechnung der Werte von Ausdrücken kann erleichtert werden durch identische Transformationen. Es ist zum Beispiel nützlich Gruppierung von Begriffen und Faktoren, nicht seltener verwendet indem man den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnimmt. Der Wert des Ausdrucks 53 5+53 7−53 11+5 ist also sehr einfach zu finden, nachdem man den Faktor 53 aus der Klammer genommen hat: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Eine direkte Berechnung würde viel mehr Zeit in Anspruch nehmen.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Absatzes auf den rationalen Ansatz zur Berechnung der Werte von Ausdrücken mit Brüchen achten - dieselben Faktoren im Zähler und Nenner des Bruchs werden reduziert. Zum Beispiel dieselben Ausdrücke im Zähler und Nenner eines Bruchs kürzen ermöglicht es Ihnen, sofort seinen Wert zu finden, der 1/2 ist.

Ermitteln des Werts eines Literalausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen

Bedeutung von wörtlichen und variablen Ausdrücken wird für bestimmte gegebene Werte von Buchstaben und Variablen gefunden. Also, wir redenüber das Finden des Werts eines wörtlichen Ausdrucks für gegebene Buchstabenwerte oder über das Finden des Werts eines Ausdrucks mit Variablen für ausgewählte Variablenwerte.

Regel Den Wert eines wörtlichen Ausdrucks oder eines Ausdrucks mit Variablen für bestimmte Werte von Buchstaben oder ausgewählte Werte von Variablen zu finden, ist wie folgt: Im ursprünglichen Ausdruck müssen Sie die angegebenen Werte von Buchstaben oder Variablen ersetzen und Berechnen Sie den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks, es ist der gewünschte Wert.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 0,5 x−y für x=2,4 und y=5 .

Entscheidung.

Um den erforderlichen Wert des Ausdrucks zu finden, müssen Sie zuerst diese Variablenwerte in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen und dann die folgenden Aktionen ausführen: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Antworten:

−3,8 .

Abschließend stellen wir fest, dass Sie manchmal durch die Transformation von wörtlichen Ausdrücken und Ausdrücken mit Variablen ihre Werte erhalten können, unabhängig von den Werten von Buchstaben und Variablen. Beispielsweise kann der Ausdruck x+3−x zu 3 vereinfacht werden. Daraus können wir schließen, dass der Wert des Ausdrucks x+3−x für beliebige Werte der Variablen x gleich 3 ist Bereich akzeptabler Werte (ODZ). Ein weiteres Beispiel: Der Wert des Ausdrucks ist für alle positiven Werte x gleich 1, daher ist der Bereich der akzeptablen Werte für die Variable x im ursprünglichen Ausdruck die Menge der positiven Zahlen, und in diesem Bereich findet Gleichheit statt .

Referenzliste.

• Mathematik: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.
• Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [N. Ya. Vilenkin und andere]. - 22. Aufl., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.