Diese Lektion ist zum Selbststudium des Themas „V-Winkel“ gedacht. In dieser Lektion lernen die Schüler eine der wichtigsten geometrischen Formen kennen, den Diederwinkel. Außerdem müssen wir in der Lektion lernen, wie man den linearen Winkel der betrachteten geometrischen Figur bestimmt und was der Flächenwinkel an der Basis der Figur ist.

Lassen Sie uns wiederholen, was ein Winkel in einer Ebene ist und wie er gemessen wird.

Reis. 1. Flugzeug

Betrachten Sie die Ebene α (Abb. 1). Von einem Punkt Ö zwei Strahlen kommen heraus OV und OA.

Definition. Die Figur, die zwei Strahlen bilden, die vom selben Punkt ausgehen, wird als Winkel bezeichnet.

Der Winkel wird in Grad und Bogenmaß gemessen.

Erinnern wir uns, was ein Radiant ist.

Reis. 2. Bogenmaß

Wenn wir einen Zentriwinkel haben, dessen Bogenlänge gleich dem Radius ist, dann wird ein solcher Zentriwinkel als 1-Radiant-Winkel bezeichnet. , ∠ AOB= 1 rad (Abb. 2).

Beziehung zwischen Bogenmaß und Grad.

froh.

Wir verstehen es, glücklich. (). Dann,

Definition. Diederwinkel wird eine Figur genannt, die durch eine gerade Linie gebildet wird a und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze a nicht zur selben Ebene gehören.

Reis. 3. Halbe Flugzeuge

Betrachten Sie zwei Halbebenen α und β (Abb. 3). Ihre gemeinsame Grenze ist a. Diese Figur wird als Flächenwinkel bezeichnet.

Terminologie

Die Halbebenen α und β sind die Flächen des Diederwinkels.

Gerade a ist die Kante eines Diederwinkels.

An einem gemeinsamen Rand a Diederwinkel Wählen Sie einen beliebigen Punkt Ö(Abb. 4). In der Halbebene α vom Punkt Ö die Senkrechte wiederherstellen OA zu einer geraden Linie a. Von der gleichen Stelle Ö in der zweiten Halbebene β konstruieren wir die Senkrechte OV zur Rippe a. Habe eine Ecke AOB, der als linearer Winkel des Diederwinkels bezeichnet wird.

Reis. 4. Messung des Flächenwinkels

Beweisen wir die Gleichheit aller linearen Winkel für einen gegebenen Flächenwinkel.

Angenommen, wir haben einen Diederwinkel (Abb. 5). Wählen Sie einen Punkt aus Ö und Punkt Etwa 1 auf einer geraden Linie a. Lassen Sie uns einen linearen Winkel konstruieren, der dem Punkt entspricht Ö, d.h. wir zeichnen zwei Lote OA und OV in den Ebenen α bzw. β zum Rand a. Wir bekommen den Winkel AOB ist der lineare Winkel des Diederwinkels.

Reis. 5. Darstellung des Beweises

Von einem Punkt Etwa 1 Zeichne zwei Senkrechte OA 1 und AB 1 zur Rippe a in den Ebenen α bzw. β, und wir erhalten den zweiten linearen Winkel A 1 O 1 B 1.

Strahlen O 1 A 1 und OA gleichgerichtet, da sie in derselben Halbebene liegen und parallel zueinander sind wie zwei Senkrechte auf dieselbe Linie a.

Ebenso Strahlen Ungefähr 1 zu 1 und OV ausgerichtet, das heißt ∠ AB =∠ A 1 O 1 B 1 als Winkel mit gleichgerichteten Seiten, was zu beweisen war.

Die Ebene des linearen Winkels steht senkrecht auf der Kante des Diederwinkels.

Beweisen: a ⊥ AOW.

Reis. 6. Darstellung des Beweises

Nachweisen:

OA ⊥ a Durch den Bau, OV ⊥ a durch Konstruktion (Abb. 6).

Wir verstehen, dass die Linie a senkrecht zu zwei sich schneidenden Geraden OA und OV aus der Ebene AOB, was gerade bedeutet a senkrecht zur Ebene OAB, was zu beweisen war.

Ein Diederwinkel wird durch seinen linearen Winkel gemessen. Das bedeutet, dass in einem linearen Winkel so viele Grad im Bogenmaß enthalten sind, wie in seinem Flächenwinkel so viele Grad im Bogenmaß enthalten sind. Dementsprechend werden die folgenden Typen von Diederwinkeln unterschieden.

Scharf (Abb. 6)

Ein Flächenwinkel ist spitz, wenn sein linearer Winkel spitz ist, d.h. .

Gerade (Abb. 7)

Der Flächenwinkel ist richtig, wenn sein linearer Winkel 90 ° beträgt - stumpf (Abb. 8)

Ein Flächenwinkel ist stumpf, wenn sein linearer Winkel stumpf ist, d.h. .

Reis. 7. Rechter Winkel

Reis. 8. Stumpfer Winkel

Beispiele für die Konstruktion linearer Winkel in realen Figuren

ABCD- Tetraeder.

1. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante AB.

Reis. 9. Illustration für das Problem

Gebäude:

Wir sprechen von einem Diederwinkel, der durch eine Kante gebildet wird AB und Gesichter ABD und ABC(Abb. 9).

Lassen Sie uns eine gerade Linie ziehen DH senkrecht zur Ebene ABC, H ist die Basis der Senkrechten. Lassen Sie uns eine Schräge zeichnen DM senkrecht zur Linie AB,M- geneigte Basis. Durch den Satz der drei Senkrechten schließen wir, dass die Projektion der Schrägen NM auch senkrecht zur Linie AB.

Das heißt, vom Punkt M zwei Senkrechte zum Rand wiederhergestellt AB auf zwei Seiten ABD und ABC. Wir haben einen linearen Winkel DMN.

beachte das AB, die Kante des Diederwinkels, senkrecht zur Ebene des linearen Winkels, dh der Ebene DMN. Problem gelöst.

Kommentar. Ein Diederwinkel kann wie folgt bezeichnet werden: DABC, wo

AB- Kante und Punkte D und Mit liegen auf verschiedenen Seiten der Ecke.

2. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante AC.

Zeichnen wir eine Senkrechte DH zum Flugzeug ABC und schräg DN senkrecht zur Linie ALS. Durch den Satz der drei Senkrechten erhalten wir das HN- Schrägprojektion DN zum Flugzeug ABC, auch senkrecht zur Linie ALS.DNH- linearer Winkel eines Diederwinkels mit einer Rippe AC.

in einem Tetraeder DABC alle Kanten sind gleich. Punkt M- Mitte der Rippe AC. Beweisen Sie, dass der Winkel DMV- linearer Winkel des Flächenwinkels SIED, d. h. ein Flächenwinkel mit einer Kante AC. Eine seiner Kanten ist ACD, zweite - DIA(Abb. 10).

Reis. 10. Illustration für das Problem

Entscheidung:

Dreieck ADC- gleichseitig, DM ist der Median und damit die Höhe. Meint, DM ⊥ ALS. Ebenso das Dreieck EINBEIMC- gleichseitig, BEIMM ist der Median und damit die Höhe. Meint, VM ⊥ ALS.

Also vom Punkt her M Rippen AC Diederwinkel stellte zwei Senkrechte wieder her DM und VM zu dieser Kante in den Flächen des Diederwinkels.

Also ∠ DMBEIM ist der lineare Winkel des zu beweisenden Flächenwinkels.

Wir haben also den Flächenwinkel definiert, den linearen Winkel des Flächenwinkels.

In der nächsten Lektion werden wir die Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen betrachten und dann lernen, was ein Diederwinkel an der Basis der Figuren ist.

Literatur zum Thema "Diederwinkel", "Diederwinkel an der Basis geometrischer Figuren"

1. Geometrie. Klasse 10-11: ein Lehrbuch für allgemeine Bildungseinrichtungen / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 S.: ill.
2. Geometrie. Klasse 10: Ein Lehrbuch für allgemeinbildende Bildungseinrichtungen mit Vertiefungs- und Profilstudium Mathematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Auflage, Stereotyp. - M.: Bustard, 2008. - 233 S.: Abb.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Hausaufgabe zum Thema "Diederwinkel", Bestimmung des Diederwinkels an der Basis der Figuren

Geometrie. Klasse 10-11: ein Lehrbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen (Grund- und Profilniveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Auflage, korrigiert und ergänzt - M.: Mnemozina, 2008. - 288 S.: mit Abb.

Aufgaben 2, 3 S. 67.

Was ist der lineare Winkel eines Diederwinkels? Wie baut man es?

ABCD- Tetraeder. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante:

a) BEIMD b) DMIT.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - Würfel Zeichnen Sie den linearen Winkel des Diederwinkels Ein 1-ABC mit Rippe AB. Bestimme sein Gradmaß.

Zurück vorwärts

Beachtung! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Unterrichtsziele: das Konzept eines Diederwinkels und seines linearen Winkels einführen;

Aufgaben zur Anwendung dieser Konzepte erwägen;

eine konstruktive Fähigkeit zu entwickeln, den Winkel zwischen Ebenen zu finden;

betrachten Aufgaben zur Anwendung dieser Konzepte.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

Informieren Sie über das Thema des Unterrichts, formulieren Sie die Ziele des Unterrichts.

II. Aktualisierung des Wissens der Schüler (Folie 2, 3).

1. Vorbereitung auf das Studium neuen Materials.

Wie nennt man einen Winkel in einer Ebene?

Wie nennt man den Winkel zwischen Linien im Raum?

Wie heißt der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene?

Formulieren Sie den Drei-Senkrechten-Satz

III. Neues Material lernen.

• Das Konzept eines Diederwinkels.

Die Figur, die von zwei Halbebenen gebildet wird, die durch die Linie MN gehen, wird als Flächenwinkel bezeichnet (Folie 4).

Halbebenen sind Flächen, Gerade MN ist eine Kante eines Flächenwinkels.

Welche Gegenstände des Alltags haben die Form eines V-Winkels? (Folie 5)

• Der Winkel zwischen den Ebenen ACH und CHD ist der Flächenwinkel ACND, wobei CH eine Kante ist. Die Punkte A und D liegen auf den Flächen dieses Winkels. Der Winkel AFD ist der lineare Winkel des Flächenwinkels ACHD (Folie 6).

• Algorithmus zur Konstruktion eines linearen Winkels (Folie 7).

1 Weg. Nehmen Sie an der Kante einen beliebigen Punkt O und zeichnen Sie Senkrechte zu diesem Punkt (PO DE, KO DE) und erhalten Sie den Winkel ROCK - linear.

2-Wege. Nehmen Sie einen Punkt K in einer Halbebene und lassen Sie zwei Senkrechte von ihm auf die andere Halbebene und eine Kante (KO und KR) fallen, dann durch das inverse TTP-Theorem PODE

• Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind gleich (Folie 8). Beweis: Strahlen OA und O 1 A 1 sind gleich gerichtet, Strahlen OB und O 1 B 1 sind auch gleich gerichtet, Winkel BOA und B 1 O 1 A 1 sind gleich wie Winkel mit gleich gerichteten Seiten.

• Das Gradmaß eines Flächenwinkels ist das Gradmaß seines linearen Winkels (Folie 9).

IV. Konsolidierung des studierten Materials.

• Problemlösung (mündlich nach vorgefertigten Zeichnungen). (Folien 10-12)

1. RAVS - Pyramide; der Winkel ACB beträgt 90°, die Gerade PB steht senkrecht auf der Ebene ABC. Beweisen Sie, dass der Winkel PCB ein linearer Winkel eines Flächenwinkels mit ist

2. RAVS - Pyramide; AB \u003d BC, D ist der Mittelpunkt des Segments AC, die gerade Linie PB steht senkrecht auf der Ebene ABC. Beweisen Sie, dass der Winkel PDB ein linearer Winkel eines Flächenwinkels mit der Kante AC ist.

3. PABCD - Pyramide; Linie PB ist senkrecht zur Ebene ABC, BC ist senkrecht zu DC. Beweisen Sie, dass der Winkel PKB ein linearer Winkel eines Flächenwinkels mit der Kante CD ist.

• Aufgaben zur Konstruktion eines linearen Winkels (Folie 13-14).

1. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante AC, wenn in der Pyramide RABC die Fläche ABC ein regelmäßiges Dreieck ist, O der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist, die Gerade RO senkrecht zur Ebene ABC steht

2. Rhombus ABCD ist gegeben, die Gerade PC steht senkrecht auf der Ebene ABCD.

Konstruiere einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit der Kante BD und einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit der Kante AD.

• Rechenaufgabe. (Folie 15)

Im Parallelogramm ABCD beträgt der Winkel ADC 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, Gerade PC steht senkrecht auf der Ebene ABC, PC = 9 cm.

Finden Sie den Wert des Diederwinkels mit der Kante AD und der Fläche des Parallelogramms.

V. Hausaufgaben (Folie 16).

S. 22, Nr. 168, 171.

Gebrauchte Bücher:

1. Geometrie 10-11 L. S. Atanasyan.
2. Das Aufgabensystem zum Thema „Diederwinkel“ von M. V. Sevostyanova (Murmansk), Zeitschrift Mathematik in der Schule 198 ...

Zwischen Senkrechten zum Rand eines V-Winkels, in beiden Flächen vom selben Punkt aus wiederhergestellt.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradov. 1977-1985.

Sehen Sie, was "LINEARWINKEL" in anderen Wörterbüchern ist:

Moltke-Kreuzer "Moltke" in New York im Jahr 1912 Grundlegende Informationen Typ ... Wikipedia

Ehemann. Fraktur, Fraktur, Knie, Ellbogen, Vorwölbung oder Spalte (Mulde) auf einer Seite. Der Winkel ist linear, zwei beliebige Gegenschläge und deren Intervall; Winkel eben oder in Ebenen, Treffen zweier Ebenen oder Wände; eine dicke, korpulente Ecke, ein Treffen in einem ... Dahls erklärendes Wörterbuch

Schlachtschiff ... Wikipedia

Andererseits gibt es im Vektorraum L eine Abbildung, die jedem Vektor e das Jahrhundert-Poro der Menge D (in L enthalten und als Definitionsbereich des L. o. bezeichnet) mit einem anderen Vektor zuordnet, der mit Ae bezeichnet wird (und den Wert des L. o. auf dem Vektor e genannt). Als nächstes fertig. Bedingungen … Physikalische Enzyklopädie

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Battleship (Bedeutungen). "Dreadnought" Vorfahr der Klasse der Schlachtschiffe ... Wikipedia

Es ist notwendig, den Inhalt dieses Artikels auf den Artikel "Ruhm (Gürteltier)" zu übertragen. Sie können dem Projekt helfen, indem Sie die Artikel zusammenfassen. Wenn Sie die Ratsamkeit des Zusammenführens diskutieren müssen, ersetzen Sie diese Vorlage durch die Vorlage ((zum Zusammenführen)) ... Wikipedia

"Diederwinkel" - Ermitteln Sie den Abstand von Punkt B zur Ebene. Winkel C ist spitz. Das Dreieck ABC ist ein stumpfes Dreieck. Winkel C ist stumpf. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie. In einem Tetraeder DABC sind alle Kanten gleich. Winkel zwischen Hängen. Der Abstand zwischen den Basen der geneigten. Die linearen Winkel eines Diederwinkels sind gleich. Algorithmus zur Konstruktion eines linearen Winkels.

"Diederwinkel-Geometrie" - Winkel RSV - linear für einen Diederwinkel mit Kante AC. Finden (sehen) Sie die Kante und die Flächen des Diederwinkels. Das Modell kann sowohl dreidimensional als auch faltbar sein. Schnitt eines Diederwinkels durch eine senkrecht zur Kante stehende Ebene. Facetten. die Linie CP steht senkrecht auf der Kante CA (nach dem Satz der drei Senkrechten). Winkel RKV - linear für einen Flächenwinkel mit RSAV.

"Triederwinkel" - Zeichen der Gleichheit von Triederwinkeln. Gegeben: Оabc – Dreikantwinkel; ?(b;c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lektion 6 1) Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen, gilt die Formel: Formel der drei Kosinusse. . Gegeben sei ein dreiflächiger Winkel Oabc. dreieckiger Winkel. Satz. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der flache Winkel an der Spitze weniger als 120°.

"Trieder- und Polyederwinkel" - Triederwinkel des Dodekaeders. Trieder- und Tetraederwinkel des Rhombendodekaeders. Tetraederecken des Oktaeders. Triederecken eines Tetraeders. Messung von Polyederwinkeln. Aufgabe. Facettenreiche Ecken. Fünfseitige Winkel des Ikosaeders. Vertikale Polyederwinkel. Dreiflächige Ecke der Pyramide. Sei SA1…An ein konvexer Winkel mit n Seiten.

"Der Winkel zwischen der Linie und der Ebene" - Finden Sie im regulären 6. Prisma A ... F1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen der Linie AC1 und der Ebene ADE1. Finden Sie im richtigen 6. Prisma A…F1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen der Linie AA1 und der Ebene ACE1. Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene. Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen der Linie AB1 und der Ebene ADE1.

"Polyederwinkel" - Konvexe Polyederwinkel. Facettenreiche Ecken. Abhängig von der Anzahl der Flächen sind Polyederwinkel dreiflächig, tetraedrisch, pentaedrisch usw. B) Ikosaeder. Die beiden ebenen Winkel eines Dreikantwinkels sind 70° und 80°. Somit, ? ASB+? BSC+? ASC< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Insgesamt gibt es 9 Vorträge zum Thema

Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Google-Konto (Konto) und melden Sie sich an: https://accounts.google.com

Beschriftungen der Folien:

DOPPELTER WINKEL Mathematiklehrer GOU Mittelschule №10 Eremenko M.A.

Die Hauptziele der Lektion: Einführung in das Konzept eines V-Winkels und seines linearen Winkels. Überlegung von Aufgaben zur Anwendung dieser Konzepte

Definition: Ein V-Winkel ist eine Figur, die durch zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenzlinie gebildet wird.

Der Wert eines Diederwinkels ist der Wert seines linearen Winkels. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB ist der lineare Winkel des Flächenwinkels ACD B

Beweisen wir, dass alle linearen Winkel eines Diederwinkels einander gleich sind. Betrachten Sie zwei lineare Winkel AOB und A 1 OB 1 . Die Strahlen OA und OA 1 liegen auf derselben Fläche und sind senkrecht zu OO 1, so dass sie gemeinsam gerichtet sind. Die Strahlen OB und OB 1 werden ebenfalls gemeinsam gerichtet. Daher ist ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (als Winkel mit gleichgerichteten Seiten).

Beispiele für Diederwinkel:

Definition: Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen ist der kleinste der von diesen Ebenen gebildeten Flächenwinkel.

Aufgabe 1: Finde im Würfel A ... D 1 den Winkel zwischen den Ebenen ABC und CDD 1 . Antwort: 90o.

Aufgabe 2: Finde im Würfel A ... D 1 den Winkel zwischen den Ebenen ABC und CDA 1 . Antwort: 45o.

Aufgabe 3: Finde im Würfel A ... D 1 den Winkel zwischen den Ebenen ABC und BDD 1 . Antwort: 90o.

Aufgabe 4: Finde im Würfel A ... D 1 den Winkel zwischen den Ebenen ACC 1 und BDD 1 . Antwort: 90o.

Aufgabe 5: Finde im Würfel A ... D 1 den Winkel zwischen den Ebenen BC 1 D und BA 1 D . Lösung: Sei O der Mittelpunkt von B D. A 1 OC 1 ist der lineare Winkel des Flächenwinkels A 1 B D C 1 .

Aufgabe 6: Im Tetraeder DABC sind alle Kanten gleich, Punkt M ist Mittelpunkt der Kante AC. Beweisen Sie, dass ∠ DMB ein linearer Winkel des Flächenwinkels BACD ist.

Lösung: Die Dreiecke ABC und ADC sind regulär, also ist BM ⊥ AC und DM ⊥ AC und somit ist ∠ DMB ein linearer Winkel des Flächenwinkels DACB .

Aufgabe 7: Von der Ecke B des Dreiecks ABC, dessen Seite AC in der Ebene α liegt, wird eine Senkrechte BB 1 auf diese Ebene gezogen. Ermitteln Sie den Abstand von Punkt B zur Geraden AC und zur Ebene α, wenn AB=2, ∠BAC=150 0 und der Flächenwinkel BACB 1 45 0 beträgt.

Lösung: ABC ist ein stumpfes Dreieck mit einem stumpfen Winkel A, also liegt die Basis der Höhe BK auf der Verlängerung der Seite AC. VC ist der Abstand von Punkt B zu AC. BB 1 - Abstand vom Punkt B zur Ebene α

2) Da AS ⊥VK, dann ist AS⊥KV 1 (nach dem Satz umgekehrt zum Drei-Loch-Satz). Daher ist ∠VKV 1 der lineare Winkel des Flächenwinkels BACB 1 und ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d