Aus der Schule ist bekannt, dass sich drei Winkelhalbierende der Innenwinkel eines Dreiecks in einem Punkt schneiden - dem Mittelpunkt eines in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.

Satz 1. Winkelhalbierende SONDERN Dreieck ABC der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist teilbar durch , gezählt von der Seite wo a, b, c- Seitenlängen BC, AC, AB bzw.

Nachweisen. Lassen AA 1 und BB 1 - Winkelhalbierende SONDERN und BEIM jeweils in einem Dreieck ABC, l ist ihr Schnittpunkt, a, b, c- Seitenlängen BC, AC, AB(Abb.62). Dann durch den auf das Dreieck angewendeten Winkelhalbierendensatz ABC werde haben

Oder b VA 1 = ac - mit VA 1, bzw VA 1 (b+c)= ac, meint, VA 1 = mit. Nach dem gleichen Satz, angewendet auf das Dreieck AVA 1 bekommen wir SONDERN 1 L : LA = : mit, oder = .

Satz 2. Wenn ein L ABC Kreis, dann

Ð ALV= 90° + RC.

Nachweisen. Angenommen, die Summe der Winkel eines Dreiecks ist 180° und der Mittelpunkt L der einbeschriebene Kreis ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks, wir werden haben (Abb. 62):

Ð ALV= 180° - ( Ð ABL + Ð BAL) = 180° – ( Ð ABC + Ð DU) =

180° - (180° – Р С) = 180° – 90° + RC= 90° + RC.

Satz 3. Wenn ein L- Punkt auf der Winkelhalbierenden Mit Dreieck ABC so dass Ð ALV= 90° + RC, dann L- die Mitte eines einbeschriebenen Dreiecks ABC Kreis.

Nachweisen. Lassen Sie uns beweisen, dass keiner der Punkte L 1 zwischen C und L kann nicht der Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises sein (Abb. 62a).

Wir haben R AL 1 Mit 1 < Ð ALC 1 , da die äußere Ecke des Dreiecks AL 1 L größer als jeder Innenwinkel, der nicht daran angrenzt. Gleicher Weg Р ВL 1 Mit < Ð BLC 1 .

So R AL 1 BEIM < Ð ALV= 90° + RC. Meint, L 1 ist nicht der Innenkreismittelpunkt, da die Bedingung für das Vorzeichen des Innenkreismittelpunktes nicht erfüllt ist (siehe Satz 2).

Wenn der Punkt L 2 auf der Winkelhalbierenden SS 1 gehört nicht zum Segment CL, dann R AL 2 BEIM > Ð ALV= 90° + RC und wieder ist die Bedingung des Vorzeichens des Innenkreismittelpunktes nicht erfüllt. Der Mittelpunkt des Inkreises ist also der Punkt L.

Satz 4. Der Abstand von der Spitze des Dreiecks zum Berührungspunkt des Inkreises mit der Seite, die durch diese Spitze geht, ist gleich dem halben Umfang dieses Dreiecks, reduziert um die gegenüberliegende Seite.

Nachweisen. Lassen SONDERN 1 , BEIM 1 , Mit 1 - Berührungspunkte des eingeschriebenen Kreises mit den Seiten des Dreiecks ABC(Abb. 63), a, b, c- Seitenlängen BC, AC, AB bzw.

Lassen AC 1 = X, Dann AB 1 = X, Sonne 1 = s-x = VA 1 , BEIM 1 Mit = b - x \u003d CA 1 ,

a = BC = BA 1 + SA 1 = (c - x) + (b - x) \u003d c + b – 2 X.

Dann a + a = a + b + c – 2 X, oder 2 a = 2 R – 2 X, oder x = p - a.

Satz 5. In jedem Dreieck ABC durch einen Punkt L der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden seiner beiden äußeren Winkel passiert die Winkelhalbierende des dritten Winkels, während der Punkt L ist in gleichen Abständen von den Linien, die die Seiten des Dreiecks enthalten.

Nachweisen. Lassen L- der Schnittpunkt zweier Außenecken BEIM und Mit dreieck ABC(Abb. 64). Da jeder Punkt der Winkelhalbierenden den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels hat, dann der Punkt L AB und Sonne, da es zur Winkelhalbierenden gehört BL. Es hat auch den gleichen Abstand von den geraden Linien. Sonne und AC, da es zur Winkelhalbierenden gehört CL. Daher der Punkt L gleich weit von den Geraden entfernt ist UND SIE und Sonne. Seit dem Punkt L gleich weit von den Linien entfernt ist AB und AC, dann JSC- Winkelhalbierende SIE.

Ein Kreis, der eine Seite eines Dreiecks und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berührt, wird als in diesem Dreieck beschriebener Kreis bezeichnet.

Folge 1. Die Mittelpunkte der im Dreieck beschriebenen Kreise befinden sich an den Schnittpunkten von Paaren von Winkelhalbierenden seiner Außenwinkel.

Satz 6. Der Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ist gleich dem Verhältnis der Seite dieses Dreiecks und des Kosinus der Hälfte des gegenüberliegenden Winkels, multipliziert mit den Sinus der Hälften der anderen beiden Winkel.

"Arten von Dreiecken" - Arten von Dreiecken. Entsprechend der Vergleichslänge der Seiten werden die folgenden Arten von Dreiecken unterschieden. Die folgenden Typen unterscheiden sich durch die Größe der Winkel. Punkte werden Scheitelpunkte genannt und Segmente werden Seiten genannt.

"Winkel eines Dreiecks" - Ein spitzes Dreieck. Kann ein Dreieck zwei rechte Winkel haben? Gleichseitiges Dreieck. Gleichschenkligen Dreiecks. Rechtwinkliges Dreieck. Stumpfes Dreieck. Kann ein Dreieck zwei stumpfe Winkel haben? In einem gleichseitigen Dreieck betragen die Winkel 60°. In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck betragen die spitzen Winkel jeweils 45°.

"Geometrieunterricht in Klasse 7" - Problemlösung. Beine BC und SA. Arbeiten Sie nach vorgefertigten Zeichnungen. Die Summe der Winkel eines Dreiecks. Neues Material. Rechtwinkliges Dreieck. Aufgabe Nummer 1. Problemlösung nach vorgefertigten Zeichnungen. Nr. 232 (mündlich), Nr. 231. Beweisen Sie, dass der Winkel ABC kleiner ist als der Winkel ADC. mündlicher Test. Geometrieunterricht in der 7. Klasse. Hypotenuse AB.

"Rechtes Dreieck" - Informationen über Euklid sind äußerst spärlich. Ein Dreieck ist ein Vieleck mit drei Seiten (oder drei Ecken). Euklid ist Autor von Werken über Astronomie, Optik, Musik usw. Der Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der Innenwinkel, die nicht daran angrenzen. Euklid ist der erste Mathematiker der alexandrinischen Schule. Definitionen. Kontrolltest.

"Gleichschenkliges Dreieck und seine Eigenschaften" - Nennen Sie die Basis und die Seiten dieser Dreiecke. Finden Sie den Wert von Winkel 1, wenn der Wert von Winkel 2 40 Grad beträgt? A, C - Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks. Sind die Dreiecke gleich? Wo im Leben findet man gleichschenklige Dreiecke? AM ist der Median. Ein DREIECK, dessen Seiten alle gleich sind, heißt gleichseitiges Dreieck.

"Geometry Right Triangle" - Ägyptische Zahlen: Berechnen Sie die Fläche des Grundstücks der dreieckigen Form eines ägyptischen Bauern. Gutachter. Wie nannten die Ägypter ein rechtwinkliges Dreieck? Ägyptische Baumeister: Bein und Hypotenuse in Ägypten Pythagoräer: Bein und Hypotenuse in der Geometrie. Fragen der Landvermesser: - Das Bein ist größer als die Hypotenuse. Das dem 60-Grad-Winkel gegenüberliegende Bein entspricht der Hälfte der Hypotenuse.

• die studierten Theoreme wiederholen und verallgemeinern;
• erwägen Sie ihre Anwendung bei der Lösung einer Reihe von Problemen;
• Vorbereitung der Studierenden auf die Hochschulaufnahmeprüfungen;
• erziehen die ästhetische Ausführung von Zeichnungen für Aufgaben.

Ausstattung: Multimedia-Projektor. Anhang 1 .

Während des Unterrichts:

1. Organisatorischer Moment.

2. Kontrolle der Hausaufgaben:

• Beweis von Theoremen - 2 Studenten + 2 Studenten - Berater (Verifizierer);
• Lösen von Hausproblemen - 3 Studenten;
• Arbeit mit der Klasse - mündliche Problemlösung:

Punkt C 1 teilt die Seite AB des Dreiecks ABC in Bezug auf 2: 1. Punkt B 1 liegt auf der Fortsetzung der Seite AC über Punkt C hinaus und AC \u003d CB 1. In welchem ​​Verhältnis teilt die Linie B 1 C 1 die Seite BC? (auf Folie 2).

Lösung: Durch Bedingung Unter Verwendung des Satzes von Menelaos finden wir: .

Im Dreieck ABC ist AD der Median, Punkt O ist der Mittelpunkt des Medians. Die Linie BO schneidet die Seite AC am Punkt K.

In welchem ​​Verhältnis teilt Punkt K AC, von Punkt A aus gezählt? (auf Folie 3).

Entscheidung: Sei ВD = DC = a, AO = ОD = m. Die Linie BK schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des Dreiecks ADC. Nach dem Satz von Menelaos .

Im Dreieck ABC auf der Seite BC wird der Punkt N genommen, so dass NC = 3BN; auf der Verlängerung der Seite AC wird Punkt M als Punkt A genommen, so dass MA = AC. Die Linie MN schneidet die Seite AB am Punkt F. Finden Sie das Verhältnis. (auf Folie 4).

Lösung: Je nach Zustand des Problems ist MA = AC, NC = 3 BN. Sei MA = AC = b, BN = k, NC = 3k. Die Linie MN schneidet zwei Seiten des Dreiecks ABC und die Verlängerung der dritten. Nach dem Satz von Menelaos

Punkt N wird auf der Seite PQ des Dreiecks PQR genommen, und Punkt L wird auf der Seite PR genommen, und NQ = LR. Der Schnittpunkt der Segmente QL und NR teilt den QR im Verhältnis m: n, gezählt ab dem Punkt Q. Finde PN: PR. (auf Folie 5).

Lösung: Nach Bedingung NQ = LR, . Sei NA = LR = a, QF = km, LF = kn. Die Linie NR schneidet zwei Seiten des Dreiecks PQL und die Verlängerung der dritten. Nach dem Satz von Menelaos

3. Entwicklung praktischer Fähigkeiten.

1. Problemlösung:

Beweisen Sie den Satz: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt; der Schnittpunkt teilt sie jeweils im Verhältnis 2:1, von oben gezählt. (Abbildung 1 Folie 6).

Beweis: Seien AM 1 , VM 2 , CM 3 die Mediane des Dreiecks ABC. Um zu beweisen, dass sich diese Segmente in einem Punkt schneiden, genügt es, dies zu zeigen Dann schneiden sich nach dem (umgekehrten) Ceva-Theorem die Segmente AM 1 , VM 2 und CM 3 an einem Punkt. Wir haben:

Es ist also bewiesen, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Sei O der Schnittpunkt der Mediane. Die Linie M 3 C schneidet zwei Seiten des Dreiecks AVM 2 und die Fortsetzung der dritten Seite dieses Dreiecks. Nach dem Satz von Menelaos

oder .

Wenn wir den Satz von Menelaos für die Dreiecke AM 1 C und AM 2 C betrachten, erhalten wir das

. Der Satz ist bewiesen.

Beweisen Sie den Satz: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.(Abbildung 2 Folie 6).

Beweis: Es genügt, das zu zeigen . Dann schneiden sich nach dem (umgekehrten) Ceva-Theorem AL 1, BL 2, CL 3 an einem Punkt. Nach der Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks:

. Durch Multiplizieren der erhaltenen Gleichheiten Term für Term erhalten wir: . Für die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist also Cevas Gleichheit erfüllt, daher schneiden sie sich an einem Punkt. Der Satz ist bewiesen.

Aufgabe 7

Beweisen Sie den Satz: Die Höhen eines spitzwinkligen Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.(Abbildung 3 Folie 6).

Beweis: Seien AH 1 , AH 2, AH 3 die Höhen des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b, c. Aus den rechtwinkligen Dreiecken ABH 2 und BCH 2 drücken wir gemäß dem Satz des Pythagoras jeweils das Quadrat des gemeinsamen Beins BH 2 aus, das AH 2 = x, CH 2 = b - x bezeichnet.

(BH 2) 2 \u003d c 2 - x 2 und (BH 2) 2 \u003d a 2 - (b - x) 2. Wenn wir die rechten Teile der erhaltenen Gleichheiten gleichsetzen, erhalten wir mit 2 - x 2 \u003d a 2 - (b - x) 2, woher x \u003d.

Dann ist b –x = b - = .

Also, AH 2 = , CH 2 = .

Wenn wir ähnlich für die rechtwinkligen Dreiecke ACH 2 und BCH 3 , VAN 1 und SAN 1 argumentieren, erhalten wir AN 3 = , VN 3 = und VN 1 = ,

Um den Satz zu beweisen, genügt es, dies zu zeigen . Dann schneiden sich nach dem (inversen) Satz von Ceva die Segmente AN 1 , VN 2 und CH 3 an einem Punkt. Indem wir auf der linken Seite der Gleichung die Ausdrücke für die Längen der Segmente AN 3, VN 3, VN 1, CH 1, CH 2 und AN 2 durch a, b, c ersetzen, stellen wir sicher, dass Cevas Gleichheit für die Höhen von Das Dreieck ist erfüllt. Der Satz ist bewiesen.

Aufgaben 5 - 7 Eigenständige Entscheidung von 3 Studierenden. (Bildschirmzeichnungen).

2. andere:

Beweisen Sie den Satz: Wenn einem Dreieck ein Kreis eingeschrieben ist, dann schneiden sich die Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Berührungspunkten der gegenüberliegenden Seiten verbinden, in einem Punkt. (in Abbildung 4 Folie 6).

Beweis: Seien A 1 , B 1 und C 1 die Tangentenpunkte des Innenkreises des Dreiecks ABC. Um zu beweisen, dass sich die Segmente AA 1, BB 1 und CC 1 in einem Punkt schneiden, genügt es zu zeigen, dass die Ceva-Gleichung erfüllt ist:

. Unter Verwendung der Eigenschaft von Tangenten, die von einem Punkt gezogen werden, führen wir die Notation ein: BC 1 = BA 1 = x, CA 1 = CB 1 = y, AB 1 = AC 1 = z.

. Die Ceva-Gleichheit ist erfüllt, was bedeutet, dass sich die angegebenen Segmente (Dreieckshalbierenden) in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt wird Gergon-Punkt genannt. Der Satz ist bewiesen.

3. Analyse der Aufgaben 5, 6, 7.

Aufgabe 9

Sei AD der Median des Dreiecks ABC. Ein Punkt K wird auf der Seite AD genommen, so dass AK: KD = 3: 1. Die Gerade BK teilt das Dreieck ABC in zwei Teile. Finden Sie das Verhältnis der Flächen dieser Dreiecke. (auf Folie 7 Abbildung 1)

Lösung: Sei AD = DC = a, KD = m, dann AK = 3m. Sei P der Schnittpunkt der Linie VC mit der Seite AC. Sie müssen eine Beziehung finden. Da die Dreiecke ABP und PBC vom Scheitelpunkt B aus gleich hoch sind, gilt = . Nach dem Satz von Menelaos gilt für das Dreieck ADC und die Sekante PB: . Also = .

Aufgabe 10

In einem um einen Kreis umschriebenen Dreieck ABC sind AB \u003d 8, BC \u003d 5, AC \u003d 4. A 1 und C 1 sind die Berührungspunkte, die zu den Seiten BC bzw. BA gehören. P - der Schnittpunkt der Segmente AA 1 und SS 1. Der Punkt P liegt auf der Winkelhalbierenden BB 1 . Finden Sie AR: RA 1 .

(auf Folie 7 Abbildung 2)

Lösung: Der Berührungspunkt des Kreises mit der Seite AC fällt nicht mit B 1 zusammen, da das Dreieck ABC ungleichmäßig ist. Sei C 1 B \u003d x, dann führen wir unter Verwendung der Eigenschaft von Tangenten, die von einem Punkt an den Kreis gezogen werden, die Notation ein (siehe Abbildung) 8 - x + 5 - x \u003d 4, x \u003d.

Daher C 1 B \u003d VA 1 \u003d, A 1 C \u003d 5 - \u003d, AC 1 \u003d 8 - \u003d.

Im Dreieck ABA 1 schneidet die Linie C 1 C zwei seiner Seiten und die Verlängerung der dritten Seite. Nach dem Satz von Menelaos .

Antwort: 70:9.

Die Seiten des Dreiecks sind 5, 6 und 7. Finden Sie das Verhältnis der Segmente, in die die Winkelhalbierende des größeren Winkels dieses Dreiecks durch den Mittelpunkt des in das Dreieck einbeschriebenen Kreises geteilt wird. (auf Folie 7).

Lösung: Seien im Dreieck ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Der Winkel BAC liegt der größeren Seite im Dreieck ABC gegenüber, was bedeutet, dass der Winkel BAC der größere Winkel des Dreiecks ist. Der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises des Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Sei O der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Es ist notwendig, AO: OD zu finden. Da AD ​​die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC ist, ist , dh BD = 5k, DC = 6k. Da BF die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC ist, ist , also AF = 5m, FC = 7m. Die Linie BF schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des Dreiecks ADC. Nach dem Satz von Menelaos .

4. Selbständiges Lösen der Aufgaben 9, 10, 11.– 3 Studenten.

Aufgabe 12 (für alle übrigen Schüler der Klasse):

Die Winkelhalbierenden BE und AD des Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt Q. Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABC, wenn die Fläche des Dreiecks BQD = 1, 2AC = 3 AB, 3BC = 4 AB ist. (Abbildung 4 auf Folie 7).

Lösung: Sei AB = a, dann AC = , BC = . AD ist also die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC , also BD = 2p, DC = 3p. BE ist also die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC , AE = 3k, EC = 4k. Im Dreieck BEC schneidet die Linie AD zwei seiner Seiten und die Verlängerung der dritten Seite. Nach dem Satz von Menelaos , , , d.h. EQ = 9m, QB = 14m. Dreiecke QBD und EBC haben also einen gemeinsamen Winkel , S EBC = .

Die Dreiecke ABC und BEC haben gleiche Höhen, die vom Scheitelpunkt B gezogen werden, also , dann ist S ABC = .

5. Analyse der Probleme 9, 10, 11.

Problemlösung - Workshop:

A. Auf den Seiten BC, CA, AB eines gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Basis AB werden die Punkte A 1, B 1, C 1 genommen, so dass die Linien AA 1, BB 1, CC 1 konkurrieren.

Beweise das

Nachweisen:

Nach dem Satz von Ceva gilt: (1).

Nach dem Sinussatz: , woher CA 1 = CA.,

, womit A 1 B = AB. , ,

womit AB 1 = AB. , , woher B 1 C = BC. , da CA = BC durch Bedingung. Durch Einsetzen der erhaltenen Gleichheiten in Gleichheit (1) erhalten wir:

Q.E.D.

B. Auf der AC-Seite des Dreiecks ABC wird ein Punkt M genommen, so dass AM = ?AC, und auf der Verlängerung der Seite BC wird ein Punkt N genommen, so dass BN = CB. In welcher Beziehung teilt der Punkt P - der Schnittpunkt der Segmente AB und MN jedes dieser Segmente?

Nach dem Satz von Menelaos gilt für das Dreieck ABC und die Sekante MN:

. Nach Zustand somit ,

seit 0.5. (-2) . x \u003d 1, - 2x \u003d - 2, x \u003d 1.

Für das Dreieck MNC und die Sekante AB gilt nach dem Satz von Menelaos: nach Zustand

bedeutet - , woher, .

8. Eigenständige Problemlösung: Option 1:

1. An den Verlängerungen der Seiten AB, BC, AC des Dreiecks ABC werden jeweils die Punkte C 1, A 1, B 1 genommen, so dass AB \u003d BC 1, BC \u003d CA 1, CA \u003d AB 1. Finden Sie das Verhältnis, in dem die Linie AB 1 die Seite A 1 C 1 des Dreiecks A 1 B 1 C 1 teilt. (3 Punkte).

2. Punkt M liegt auf dem Median CC 1 des Dreiecks ABC. Gerade Linien AM und VM schneiden die Seiten des Dreiecks jeweils an den Punkten A 1 und B 1. Beweisen Sie, dass die Geraden AB und A 1 B 1 parallel sind. (3 Punkte).

3. Die Punkte C 1 , A 1 und B 1 liegen jeweils auf der Fortsetzung der Seiten AB, BC und AC des Dreiecks ABC.Beweise, dass die Punkte A 1 , B 1, C 1 auf einer Geraden liegen, wenn und nur wenn die Gleichheit . (4 Punkte).

6. Die Punkte C 1 , A 1 und B 1 seien auf den Seiten AB, BC bzw. AC des Dreiecks ABC genommen, so dass sich die Geraden AA 1 , BB 1 , CC 1 im Punkt O schneiden. Beweise das die Gleichheit . (5 Punkte).

7 . Nehmen wir die Punkte A 1 , B 1 , C 1 , D 1 auf den Kanten AB, BC, CD bzw. AD des Tetraeders ABCD und beweisen Sie, dass die Punkte A 1 , B 1 , C 1 , D 1 in liegen die gleiche Ebene genau dann, wenn wenn die Gleichheit (5 Punkte).

Option 2:

1. Die Punkte A 1 und B 1 teilen die Seiten BC und AC des Dreiecks ABC im Verhältnis 2: 1 und 1: 2. Die Linien AA 1 und BB 1 schneiden sich am Punkt O. Die Fläche des Dreiecks ABC ist 1. Finden Sie die Bereich des Dreiecks OBC. (3 Punkte).

2. Das Segment MN, das die Mittelpunkte der Seiten AD und BC des Vierecks ABCD verbindet, wird diagonal in drei gleiche Teile geteilt. Beweisen Sie, dass ABCD ein Trapez ist, eine der Basen von AB oder CD, die doppelt so groß ist wie die andere. (3 Punkte).

3. Die Punkte C 1 , A 1 und B 1 seien jeweils auf der Seite AB und der Fortsetzung der Seiten BC und AC des Dreiecks ABC genommen. Beweisen Sie, dass die Linien AA 1 , BB 1 , СС 1 sich in einem Punkt schneiden oder genau dann parallel sind, wenn die Gleichheit gilt . (4 Punkte).

4. Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von Ceva, dass sich die Höhen eines Dreiecks oder seine Verlängerungen in einem Punkt schneiden. (4 Punkte).

5. Beweisen Sie, dass die Geraden, die durch die Eckpunkte des Dreiecks verlaufen, und die Tangentenpunkte der Exkreise sich in einem Punkt (dem Nagel-Punkt) schneiden. (Ein Kreis heißt in einem Dreieck beschrieben, wenn er eine Seite dieses Dreiecks und die Verlängerungen der anderen beiden seiner Seiten berührt.) (5 Punkte).

6. Die Punkte C 1 , A 1 , B 1 seien auf den Seiten AB, BC bzw. AC des Dreiecks ABC genommen, so dass sich die Geraden AA 1 , BB 1 und CC 1 im Punkt O schneiden. Beweise das die Gleichberechtigung . (5 Punkte).

7. Nehmen Sie die Punkte A 1 , B 1 , C 1 , D 1 auf den Kanten AB, BC, CD bzw. AD des Tetraeders ABCD und beweisen Sie, dass die Punkte A 1 , B 1 , C 1 , D 1 liegen dann und nur bei Gleichheit (5 Punkte) in der gleichen Ebene.

9. Hausaufgaben: Lehrbuch § 3, Nr. 855, Nr. 861, Nr. 859.