Lassen Sie uns die Möglichkeiten des Ostrogradsky-Gauß-Theorems anhand einiger Beispiele demonstrieren.

Feld einer unendlichen, gleichmäßig geladenen Ebene

Die Oberflächenladungsdichte auf einer beliebigen Ebene mit der Fläche S wird durch die Formel bestimmt:

wobei dq die auf die Fläche dS konzentrierte Ladung ist; dS ist ein physikalisch unendlich kleiner Bereich der Oberfläche.

Sei σ an allen Punkten der Ebene S gleich. Die Ladung q ist positiv. Die Spannung an allen Punkten hat eine Richtung senkrecht zur Ebene S(Abb. 2.11).

Offensichtlich wird die Spannung an symmetrischen Punkten relativ zur Ebene die gleiche Größe und entgegengesetzte Richtung haben.

Stellen Sie sich einen Zylinder mit Generatoren senkrecht zur Ebene und Basen Δ vor S, symmetrisch zur Ebene angeordnet (Abb. 2.12).

	Reis. 2.11	Reis. 2.12

Wir wenden den Satz von Ostrogradsky-Gauß an. Der Durchfluss F E durch die Seitenfläche des Zylinders ist Null, weil für den Boden des Zylinders

Der Gesamtdurchfluss durch eine geschlossene Fläche (Zylinder) ist gleich:

In der Oberfläche befindet sich eine Ladung. Daher erhalten wir aus dem Satz von Ostrogradsky-Gauß:

;

woraus ersichtlich ist, dass die Feldstärke der Ebene S gleich ist:

(2.5.1)

Das erzielte Ergebnis hängt nicht von der Länge des Zylinders ab. Das heißt, in beliebiger Entfernung vom Flugzeug

Feld zweier gleichmäßig geladener Ebenen

Zwei unendliche Ebenen seien mit entgegengesetzten Ladungen gleicher Dichte σ beladen (Abb. 2.13).

Das resultierende Feld wird, wie oben erwähnt, als Überlagerung der Felder gefunden, die von jeder der Ebenen erzeugt werden.

Dann innerhalb von Flugzeugen

(2.5.2)

Raus aus Flugzeugen Feldstärke

Das erhaltene Ergebnis gilt auch für Ebenen mit endlichen Abmessungen, wenn der Abstand zwischen den Ebenen viel kleiner ist als die linearen Abmessungen der Ebenen (flacher Kondensator).

Zwischen den Platten des Kondensators wirkt die Kraft der gegenseitigen Anziehung (pro Flächeneinheit der Platten):

wobei S die Fläche der Kondensatorplatten ist. weil , dann

.

(2.5.5)

Dies ist die Formel zur Berechnung der pondermotorischen Kraft.

Das Feld eines aufgeladenen unendlich langen Zylinders (Faden)

Das Feld sei durch eine unendliche zylindrische Oberfläche mit Radius R erzeugt, die mit einer konstanten linearen Dichte geladen ist, wobei dq die auf einem Segment des Zylinders konzentrierte Ladung ist (Abb. 2.14).

Aus Symmetrieüberlegungen folgt, dass E an jedem Punkt entlang des Radius gerichtet sein wird, senkrecht zur Achse des Zylinders.

Stellen Sie sich um einen Zylinder vor (Faden) koaxial geschlossene Oberfläche ( Zylinder im Zylinder) Radius r und Länge l (die Basen der Zylinder stehen senkrecht zur Achse). Für Zylinderböden für Mantelfläche d.h. hängt von der Entfernung ab r.

Daher ist der Vektorfluss durch die betrachtete Fläche gleich

Wenn es eine Ladung auf der Oberfläche geben wird, also nach dem Satz von Ostrogradsky-Gauß

.

(2.5.6)

Wenn, weil innerhalb einer geschlossenen Oberfläche gibt es keine Ladungen (Abb. 2.15).

Verkleinert man den Radius des Zylinders R (bei ), so erhält man nahe der Oberfläche ein Feld mit sehr hoher Stärke und bei , ein Filament.

Feld zweier koaxialer Zylinder mit gleicher linearer Dichte λ, aber unterschiedlichem Vorzeichen

Innerhalb des kleineren Zylinders und außerhalb des größeren Zylinders gibt es kein Feld (Abb. 2.16).

In der Lücke zwischen den Zylindern wird das Feld auf die gleiche Weise wie im vorherigen Fall bestimmt:

Dies gilt für einen unendlich langen Zylinder und für Zylinder endlicher Länge, wenn der Abstand zwischen den Zylindern viel kleiner ist als die Länge der Zylinder (Zylinderkondensator).

Das Feld einer geladenen Hohlkugel

Eine Hohlkugel (oder Kugel) mit dem Radius R ist mit einer positiven Ladung der Oberflächendichte σ geladen. Das Feld ist in diesem Fall zentralsymmetrisch - es geht an jedem Punkt durch die Mitte des Balls. , und die Kraftlinien stehen an jedem Punkt senkrecht zur Oberfläche. Stellen Sie sich um den Ball herum eine Kugel mit dem Radius r vor (Abb. 2.17).

Feldpotential

Feldpotential

Feldpotential

Feldpotentiale

Elektrisches Feldpotential Punktladung Q an einem Punkt:

Das Feld eines aufgeladenen unendlich langen Zylinders (Faden)

Das Feld sei durch einen unendlichen Zylinder erzeugt Fläche mit Radius R, geladen mit konstanter linearer Dichte , wobei d q- Auf ein Segment des Zylinders konzentrierte Ladung (Abb. 2.14).

Aus Symmetrieüberlegungen folgt, dass E an jedem Punkt wird entlang des Radius gerichtet, senkrecht zur Achse des Zylinders.

Stellen Sie sich um einen Zylinder vor (Faden) koaxial geschlossene Oberfläche ( Zylinder im Zylinder) Radius r und Länge l(Die Basen der Zylinder stehen senkrecht zur Achse). Für Zylinderböden für Mantelfläche d.h. hängt von der Entfernung ab r.

Daher ist der Vektorfluss durch die betrachtete Fläche gleich

Wenn es eine Ladung auf der Oberfläche geben wird, also nach dem Satz von Ostrogradsky-Gauß

.

(2.5.6)

Wenn, weil innerhalb einer geschlossenen Oberfläche gibt es keine Ladungen (Abb. 2.15).

Wenn wir den Radius des Zylinders verringern R(bei ), dann ist es möglich, ein Feld mit sehr hoher Stärke in der Nähe der Oberfläche zu erhalten und bei , ein Filament zu erhalten.

27. Das Potenzial des Feldes, das von einer gleichmäßig geladenen unendlichen Ebene erzeugt wird.

Feldpotential- Dies ist die Energiecharakteristik des Feldes, charakterisiert die potenzielle Energie, die eine positive Einheitsladung haben würde, platziert an einem bestimmten Punkt im Feld.

Die Einheit des elektrischen Potentials ist das Volt (V).

Feldpotential ist gleich dem Verhältnis der potentiellen Energie der Ladung zu dieser Ladung:

Feldpotential ist die Energiecharakteristik des elektrischen Feldes und kann als skalare Größe positive oder negative Werte annehmen.

Die physikalische Bedeutung ist der Unterschied Feldpotentiale, da sich hierdurch die Arbeit der Feldkräfte an der Ladungsbewegung ausdrückt.

Das Feld einer gleichmäßig geladenen unendlichen Ebene.

Lassen Sie uns das Konzept der Oberflächenladungsdichte > 0 einführen, die numerisch gleich der Ladung pro Flächeneinheit ist:

Aufgrund der Homogenität und Isotropie des Raumes müssen die Feldlinien des Feldes einer gleichmäßig geladenen unendlichen Ebene senkrecht dazu stehen und eine gleichmäßige Dichte haben, was der Definition der Feldhomogenität entspricht E= konst. Als "bequeme" geschlossene Fläche wählen wir einen geraden Zylinder, dessen Mantelfläche parallel zu den Kraftlinien ist (überall darauf ist 0 und daher der Fluss durch ihn 0), und die Endflächen der Fläche S sind parallel zur geladenen Ebene (so dass überall auf ihnen 1):

Gleichmäßiger Feldfluss E durch beide dazu senkrechten Endflächen ist S einfach E 2S, und die auf den Bereich S der geladenen Oberfläche konzentrierte Ladung ist gleich S:

Oberflächenladungsdichte auf einer beliebigen Ebene mit einer Fläche S wird durch die Formel bestimmt:

wo d q ist die auf der Fläche d konzentrierte Ladung S; d S ist ein physikalisch infinitesimal kleiner Bereich der Oberfläche.

Sei σ an allen Punkten der Ebene S ist dasselbe. Aufladen q- positiv. Die Spannung an allen Punkten hat eine Richtung senkrecht zur Ebene S(Abb. 2.11).

Offensichtlich wird die Spannung an symmetrischen Punkten relativ zur Ebene die gleiche Größe und entgegengesetzte Richtung haben.

Stellen Sie sich einen Zylinder mit Generatoren senkrecht zur Ebene und Basen Δ vor S, symmetrisch zur Ebene angeordnet (Abb. 2.12).

	Reis. 2.11	Reis. 2.12

Wir wenden den Satz von Ostrogradsky-Gauß an. Fluss F E durch den seitlichen Teil der Zylinderoberfläche ist Null, weil . Für Zylinderfuß

Der Gesamtdurchfluss durch eine geschlossene Fläche (Zylinder) ist gleich:

In der Oberfläche befindet sich eine Ladung. Daher erhalten wir aus dem Satz von Ostrogradsky-Gauß:

;

woraus ersichtlich ist, dass die Feldstärke des Flugzeugs S entspricht:

Ein elektrostatisches Feld hat eine wichtige Eigenschaft: Die Arbeit der Kräfte eines elektrostatischen Feldes beim Bewegen einer Ladung von einem Punkt des Feldes zu einem anderen hängt nicht von der Form der Flugbahn ab, sondern wird nur durch die Position des Startpunkts bestimmt Endpunkte und die Größe der Ladung. Das Gravitationsfeld hat eine ähnliche Eigenschaft, und daran ist nichts Überraschendes, da die Gravitations- und Coulomb-Kräfte durch die gleichen Verhältnisse beschrieben werden. Die Konsequenz aus der Unabhängigkeit der Arbeit von der Form der Bahn ist die folgende Aussage: Die Arbeit der Kräfte des elektrostatischen Feldes beim Bewegen der Ladung entlang einer beliebigen geschlossenen Bahn ist gleich Null. Kraftfelder mit dieser Eigenschaft werden aufgerufen Potenzial oder konservativ. Auf Abb. 1.4.2 zeigt die Kraftlinien des Coulomb-Feldes einer Punktladung Q und zwei verschiedene Testladungsbahnen q vom Startpunkt (1) zum Endpunkt (2). Auf einer der Trajektorien wird eine kleine Verschiebung Work Δ unterschieden EIN Coulomb-Kräfte auf diese Verschiebung ist gleich Das erhaltene Ergebnis hängt nicht von der Form der Flugbahn ab. Auf den Bahnen I und II, die in den Fign. 1.4.2 ist die Arbeit der Coulomb-Kräfte dieselbe. Wenn wir auf einer der Trajektorien die Richtung der Ladungsbewegung ändern q ins Gegenteil, dann wechselt das Werk das Vorzeichen. Dies impliziert, dass die Arbeit der Coulomb-Kräfte auf einer geschlossenen Bahn gleich Null ist. Wenn das elektrostatische Feld durch eine Reihe von Punktladungen erzeugt wird, dann beim Bewegen der Testladung q Arbeit EIN das resultierende Feld nach dem Superpositionsprinzip wird aus der Arbeit der Coulomb-Felder von Punktladungen bestehen: Da jeder Term der Summe nicht von der Form der Flugbahn abhängt, dann die Gesamtarbeit EIN Das resultierende Feld ist unabhängig vom Pfad und wird nur durch die Position der Start- und Endpunkte bestimmt. Die Potentialitätseigenschaft des elektrostatischen Feldes ermöglicht es uns, das Konzept einzuführen potenzielle Energie Ladung in einem elektrischen Feld. Dazu wird ein bestimmter Punkt (0) im Raum ausgewählt und die potentielle Energie der Ladung q an diesem Punkt platziert wird gleich Null genommen. Potenzielle Ladeenergie q, platziert an einem beliebigen Punkt (1) des Raums, in Bezug auf einen festen Punkt (0), ist gleich der Arbeit EIN 10 , die das elektrostatische Feld beim Bewegen der Ladung erzeugt q von Punkt (1) bis Punkt (0): W p1 = EIN 10 . (In der Elektrostatik wird Energie normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet W, seit dem Brief E geben die Feldstärke an.) Wie in der Mechanik wird die potentielle Energie je nach Wahl des Bezugspunktes (0) bis auf einen konstanten Wert definiert. Eine solche Mehrdeutigkeit in der Definition der potentiellen Energie führt zu keinem Missverständnis, da nicht die potentielle Energie selbst eine physikalische Bedeutung hat, sondern der Unterschied ihrer Werte an zwei Punkten im Raum. Ihre Meinung ist uns wichtig! War das veröffentlichte Material hilfreich? Ja | Nein SEITENSUCHE:

Zhidkevich V. I. Das elektrische Feld des Flugzeugs // Physik: Probleme des Layouts. - 2009. - Nr. 6. - S. 19-23.

Probleme der Elektrostatik lassen sich in zwei Gruppen einteilen: Probleme zu Punktladungen und Probleme zu geladenen Körpern, deren Dimensionen nicht vernachlässigt werden können.

Die Lösung von Problemen bei der Berechnung elektrischer Felder und Wechselwirkungen von Punktladungen basiert auf der Anwendung des Coulombschen Gesetzes und bereitet keine besonderen Schwierigkeiten. Schwieriger ist die Bestimmung der Feldstärke und der Wechselwirkung geladener Körper endlicher Dimensionen: Kugeln, Zylinder, Ebenen. Bei der Berechnung der Stärke elektrostatischer Felder verschiedener Konfigurationen sollte man die Bedeutung des Überlagerungsprinzips hervorheben und es verwenden, wenn man Felder betrachtet, die nicht nur durch Punktladungen, sondern auch durch über die Oberfläche und das Volumen verteilte Ladungen erzeugt werden. Betrachtet man die Wirkung eines Feldes auf eine Ladung, so gilt die Formel F=qE sie gilt im allgemeinen für punktuell geladene Körper und nur in einem einheitlichen Bereich für geladene Körper beliebiger Größe und Form q.

Das elektrische Feld eines Kondensators wird durch Überlagerung der beiden von jeder Platte erzeugten Felder erhalten.

In einem flachen Kondensator kann eine Platte als Körper mit einer Ladung betrachtet werdenq 1in ein elektrisches Kraftfeld gebracht E2, von einer anderen Platte erstellt.

Betrachten wir mehrere Aufgaben.

1. Unendliche Ebene, aufgeladen mit Flächendichte σ >0. Finde die Feldstärke E und Potenzial ϕ auf beiden Seiten der Ebene, wobei angenommen wird, dass das Potential der Ebene Null ist. Plot-Abhängigkeits-Plots Ex), ϕ (X). x-Achse senkrecht zur Ebene steht, liegt der Punkt x=0 auf der Ebene.

Entscheidung. Das elektrische Feld einer unendlichen Ebene ist gleichmäßig und symmetrisch in Bezug auf die Ebene. Seine Spannungsverhältnis zwischen Intensität und Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten eines homogenen elektrostatischen Feldes wird durch die Formel ausgedrückt wo x - Abstand zwischen Punkten, gemessen entlang der Kraftlinie. Dann ϕ 2 = ϕ 1 -Ex. Bei x<0 при х>0 Abhängigkeiten Е(х) und ϕ (x) sind in Abbildung 1 dargestellt.

2. Zwei in geringem Abstand angeordnete planparallele dünne Platten d voneinander, gleichmäßig aufgeladen mit einer Ladung der Flächendichteσ 1 und σ 2. Finden Sie die Feldstärken an den zwischen den Platten liegenden Punkten und außen. Zeichnen Sie die Spannungsabhängigkeit E(x) und Potential ϕ (x), zählen ϕ (0)=0. Betrachten Sie Fälle, in denen: a)σ 1 \u003d-σ 2; b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 \u003d 3 σ 2 -

Entscheidung. Da der Abstand zwischen den Platten klein ist, können sie als unendliche Ebenen betrachtet werden.

Die Feldstärke einer positiv geladenen Ebene ist und gerichtet von ihr; die Feldstärke einer negativ geladenen Ebene ist darauf gerichtet.

Nach dem Superpositionsprinzip wird das Feld an jedem betrachteten Punkt durch jede der Ladungen separat erzeugt.

a) Die Felder zweier gleich und entgegengesetzt geladener Ebenen (Flachkondensator) addieren sich im Bereich zwischen den Ebenen und heben sich in den äußeren Bereichen auf (Abb. 2, a).

Beim X<0 E= 0, ϕ =0; bei 0 d E= 0, Graphen Abhängigkeit von Spannung und Potential von der Entfernung X in Abbildung 2 gezeigt, b, c.

Wenn die Ebenen endliche Dimensionen haben, ist das Feld zwischen den Ebenen nicht streng gleichförmig, und das Feld außerhalb der Ebenen ist nicht genau null.

b) Felder von Ebenen, die mit Ladungen gleichen Betrags und Vorzeichens (σ1 = σ2 ), kompensieren sich im Raum zwischen den Ebenen und addieren sich in den Außenbereichen (Abb. 3, a). Bei x<0 при 0d

Verwenden des Diagramms Ex) (Abb. 3, b) konstruieren wir einen qualitativen Abhängigkeitsgraphen ϕ (x) (Abb. 3, c).

c) Wenn σ 1 = σ 2 , dann finden wir unter Berücksichtigung der Richtungen der Felder und der Wahl der Richtung nach rechts als positiv:

Die Abhängigkeit der Spannung E vom Abstand ist in Bild 4 dargestellt.

3. Auf einer der Platten eines flachen Kondensators mit einer Kapazität Mit Es gibt eine Gebührq 1=+3q, und auf der anderen Seite q2 =+ q. Bestimmen Sie die Potentialdifferenz zwischen den Platten des Kondensators.

Entscheidung. 1. Weg. Lassen Sie den Bereich der Kondensatorplatte S, und der Abstand zwischen ihnen d. Das Feld innerhalb des Kondensators ist gleichmäßig, sodass die Potentialdifferenz (Spannung) über dem Kondensator durch die Formel bestimmt werden kann U=E*d, wobei E ist die Feldstärke im Kondensator.

wo E 1, E 2 - Feldstärke, die von den Kondensatorplatten erzeugt wird.

Dann

2. Weg. Fügen Sie jeder Platte Ladung hinzu Dann werden die Platten verdichtet Satora wird Anklage erheben + q und -q. Die Felder gleicher Ladungen der Platten innerhalb des Kondensators heben sich gegenseitig auf. Die hinzugefügten Ladungen veränderten das Feld zwischen den Platten und damit die Potentialdifferenz nicht Kondensator. U= q/C .

4. In den Plattenzwischenraum eines ungeladenen Flachkondensators wird eine dünne Metallplatte mit einer Ladung + eingebracht. q. Bestimmen Sie die Potentialdifferenz zwischen den Kondensatorplatten.

Entscheidung. Da der Kondensator nicht aufgeladen ist, wird das elektrische Feld nur durch eine geladene Platte erzeugt q (Abb. 5). Dieses Feld ist gleichmäßig, symmetrisch in Bezug auf die Platte und ihre IntensitätDas Potential der Metallplatte sei ϕ . Dann die Potentiale der Platten SONDERN und BEIM Kondensatoren werden gleich sein ϕ- ϕ A = ϕ El 1 ; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕB = ϕ-El 2 ; ϕB = ϕ-El 2 .

Potentialunterschied zwischen KondensatorplattenWenn die Platte den gleichen Abstand zu den Kondensatorplatten hat, dann ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten Null.

5. In ein gleichmäßiges elektrisches Feld mit Stärke E 0 Eine geladene Metallplatte wird senkrecht zu den Kraftlinien mit einer Ladungsdichte auf der Oberfläche jeder Seite der Platte platziert σ (Abb. 6). Bestimmen Sie die Feldstärke E" innerhalb und außerhalb der Platte und die Oberflächenladungsdichteσ1 und σ2 , die auf der linken und rechten Seite der Platte erscheinen.

Entscheidung. Das Feld innerhalb der Platte ist Null und ist eine Überlagerung von drei Feldern: das externe Feld E 0, das von den Ladungen erzeugte Feld auf der linken Seite der Platte und das von den Ladungen erzeugte Feld auf der rechten Seite der Platte. Somit,wobei σ 1 und σ 2 - Oberflächenladungsdichte auf der linken und rechten Seite der Platte, die auftritt, nachdem die Platte in das Feld eingeführt wurde E 0 . Die Gesamtladung der Platte ändert sich also nichtσ 1 + σ 2 =2 σ, daher σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Das Feld außerhalb der Platte ist eine Überlagerung des Feldes E 0 und die Felder der geladenen Platte E. Links von Platten Rechts von der Platte

6. In einem flachen Luftkondensator beträgt die Feldstärke E \u003d 10 4 V / m. Abstand zwischen den Platten d= 2 cm Wie groß ist die Potentialdifferenz, wenn ein Blech mit einer Dicke vond0\u003d 0,5 cm (Abb. 7)?

Entscheidung. Da das elektrische Feld zwischen den Platten dann gleichförmig ist U=Ed, U=200 V.

Markiert man zwischen den Platten ein Blech, so erhält man ein System aus zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren mit Abstand zwischen den Plattend1 und d2. Die Kapazitäten dieser KondensatorenIhre Gesamtkapazität

Da der Kondensator von der Stromquelle getrennt ist, ändert sich die Ladung des Kondensators beim Einbringen des Blechs nicht: q"=CU=C"U 1 ; wo ist die kapazität sator, bevor Sie ein Blech darin einführen. Wir bekommen:

U 1= 150 V.

7. Auf Tellern SONDERN und C, in einem Abstand parallel angeordnet d= 8 cm auseinander, Potentiale erhalten φ 1= 60 V und ϕ 2 =- 60 V bzw. Dazwischen wurde eine geerdete Platte gelegt. D im Abstand d 1 = 2 cm von Platte A. Wie stark hat sich die Feldstärke in den Abschnitten AD und geändert CD? Plot-Abhängigkeits-Plots ϕ (x) und E(x).

Eine unendliche Ebene, die mit einer Oberflächenladungsdichte geladen ist: Um die Stärke des elektrischen Felds zu berechnen, das von einer unendlichen Ebene erzeugt wird, wählen wir einen Zylinder im Raum aus, dessen Achse senkrecht zur geladenen Ebene steht und dessen Basen parallel dazu und sind eine der Basen führt durch das für uns interessante Feld. Nach dem Satz von Gauß ist der Fluss des elektrischen Feldstärkevektors durch eine geschlossene Oberfläche:

Ф=, andererseits ist es: Ф=E

Gleichsetzen Sie die rechten Teile der Gleichungen:

Wir drücken = - durch die Oberflächenladungsdichte aus und finden die elektrische Feldstärke:

Finden Sie die elektrische Feldstärke zwischen entgegengesetzt geladenen Platten mit gleicher Oberflächendichte:

(3)

Finden Sie das Feld außerhalb der Platten:

; ; (4)

Feldstärke einer geladenen Kugel

(1)

Ф= (2) t. Gauß

für r< R

; , da (es gibt keine Ladungen innerhalb der Kugel)

Für r = R

( ; ; )

Für r > R

Die Intensität des Feldes, das von einer gleichmäßig über das Volumen aufgeladenen Kugel erzeugt wird

Volumetrische Ladungsdichte,

über die Kugel verteilt:

Für r< R

( ; Ф= )

Für r = R

Für r > R

DIE ARBEIT DES ELEKTROSTATISCHEN FELDES AUF DIE BEWEGUNG DER LADUNG

elektrostatisches Feld- Email stationäres Ladungsfeld.
Fel reagiert auf die Ladung, bewegt sie, verrichtet Arbeit.
In einem gleichförmigen elektrischen Feld ist Fel = qE ein konstanter Wert

Feldarbeit (elektronische Kraft) hängt nicht ab auf der Form der Trajektorie und auf einer geschlossenen Trajektorie = Null.

Bewegt sich eine andere Punktladung Q 0 entlang einer beliebigen Trajektorie (Abb. 1) im elektrostatischen Feld einer Punktladung Q von Punkt 1 nach Punkt 2, dann verrichtet die auf die Ladung ausgeübte Kraft etwas Arbeit. Die Arbeit der Kraft F an der Elementarverschiebung dl ist Da d l/cosα=dr, dann Die Arbeit beim Bewegen der Ladung Q 0 von Punkt 1 nach Punkt 2 (1) hängt nicht von der Bewegungsbahn ab, sondern wird nur durch die Positionen der ersten 1 und letzten 2 Punkte bestimmt. Dies bedeutet, dass das elektrostatische Feld einer Punktladung potentiell ist und die elektrostatischen Kräfte konservativ sind Aus Formel (1) ist ersichtlich, dass die Arbeit, die verrichtet wird, wenn sich eine elektrische Ladung in einem externen elektrostatischen Feld entlang eines beliebigen geschlossenen Feldes bewegt Weg L ist gleich Null, d.h. (2) Nehmen wir eine positive Punktladung als Ladung, die in einem elektrostatischen Feld bewegt wird, dann ist die Elementararbeit der Feldkräfte auf dem Weg dl gleich Ådl = E l d l, wo e l= Ecosα - die Projektion des Vektors E auf die Richtung der elementaren Verschiebung. Dann kann Formel (2) dargestellt werden als (3) Integral wird Zirkulation des Spannungsvektors genannt. Dies bedeutet, dass die Zirkulation des elektrostatischen Feldstärkevektors entlang einer beliebigen geschlossenen Schleife gleich Null ist. Ein Kraftfeld mit Eigenschaft (3) heißt Potential. Aus der Nullgleichheit der Zirkulation des Vektors E folgt, dass die Linien des elektrostatischen Felds nicht geschlossen werden können, sie beginnen und enden notwendigerweise mit Ladungen (positiv oder negativ) oder gehen ins Unendliche. Formel (3) gilt nur für ein elektrostatisches Feld. Im Folgenden wird gezeigt, dass die Bedingung (3) im Fall eines Feldes bewegter Ladungen nicht gilt (dafür ist die Zirkulation des Intensitätsvektors ungleich Null).

Der Zirkulationssatz für ein elektrostatisches Feld.

Da das elektrostatische Feld zentral ist, sind die auf eine Ladung in einem solchen Feld wirkenden Kräfte konservativ. Da es die elementare Arbeit darstellt, die die Feldkräfte an einer Einheitsladung leisten, ist die Arbeit der konservativen Kräfte an einem geschlossenen Kreislauf gleich

Potenzial

Das System "Ladung - elektrostatisches Feld" oder "Ladung - Ladung" hat potentielle Energie, genauso wie das System "Gravitationsfeld - Körper" potentielle Energie hat.

Die physikalische skalare Größe, die den Energiezustand des Feldes charakterisiert, wird genannt Potenzial angegebenen Punkt im Feld. Eine Ladung q wird in das Feld eingebracht, sie hat eine potentielle Energie W. Potential ist eine Eigenschaft eines elektrostatischen Feldes.

Betrachten Sie potentielle Energie in der Mechanik. Die potentielle Energie ist Null, wenn der Körper auf dem Boden liegt. Und wenn der Körper auf eine bestimmte Höhe angehoben wird, dann sagt man, der Körper habe potentielle Energie.

In Bezug auf die potenzielle Energie in Elektrizität gibt es kein Nullniveau der potenziellen Energie. Er wird zufällig ausgewählt. Daher ist das Potential eine relative physikalische Größe.

Die potentielle Energie eines Feldes ist die Arbeit, die eine elektrostatische Kraft verrichtet, wenn sich eine Ladung von einem bestimmten Punkt im Feld zu einem Punkt mit Nullpotential bewegt.

Betrachten wir einen Spezialfall, in dem ein elektrostatisches Feld durch eine elektrische Ladung Q erzeugt wird. Um das Potential eines solchen Feldes zu untersuchen, ist es nicht erforderlich, eine Ladung q in es einzuführen. Sie können das Potential eines beliebigen Punktes eines solchen Feldes berechnen, der sich im Abstand r von der Ladung Q befindet.

Die Dielektrizitätskonstante des Mediums hat einen bekannten Wert (Tabelle), sie charakterisiert das Medium, in dem das Feld vorhanden ist. Für Luft ist es gleich eins.

Potenzieller unterschied

Die Arbeit des Feldes, um die Ladung von einem Punkt zum anderen zu bewegen, wird als Potentialdifferenz bezeichnet

Diese Formel kann in einer anderen Form dargestellt werden

Prinzip der Superposition

Das Potenzial des Feldes, das durch mehrere Ladungen erzeugt wird, ist gleich der algebraischen (unter Berücksichtigung des Vorzeichens des Potenzials) Summe der Potenziale der Felder jedes Feldes separat

Dies ist die Energie eines Systems von Festpunktladungen, die Energie eines einzelnen geladenen Leiters und die Energie eines geladenen Kondensators.

Wenn es ein System aus zwei geladenen Leitern (Kondensator) gibt, dann ist die Gesamtenergie des Systems gleich der Summe der intrinsischen potentiellen Energien der Leiter und der Energie ihrer Wechselwirkung:

Elektrostatische Feldenergie System der Punktgebühren ist gleich:

Ein gleichmäßig geladenes Flugzeug.
Die elektrische Feldstärke, die von einer unendlichen Ebene erzeugt wird, die mit einer Oberflächenladungsdichte beladen ist, kann mit dem Gauß-Theorem berechnet werden.

Aus den Symmetriebedingungen folgt, dass der Vektor Eüberall senkrecht zur Ebene. Außerdem an symmetrischen Punkten zur Ebene der Vektor E wird in der Größe gleich und in der Richtung entgegengesetzt sein.
Als geschlossene Fläche wählen wir einen Zylinder, dessen Achse senkrecht zur Ebene steht und dessen Basen symmetrisch zur Ebene angeordnet sind, wie in der Abbildung gezeigt.
Da die Spannungslinien parallel zu den Generatoren der Mantelfläche des Zylinders verlaufen, ist die Strömung durch die Mantelfläche Null. Daher der Fluss des Vektors E durch die Oberfläche des Zylinders

,

wo ist die Fläche der Basis des Zylinders. Der Zylinder schneidet die Ladung aus dem Flugzeug heraus. Wenn sich die Ebene in einem homogenen isotropen Medium mit relativer Permittivität befindet, dann

Wenn die Feldstärke nicht vom Abstand zwischen den Ebenen abhängt, wird ein solches Feld als homogen bezeichnet. Abhängigkeitsgraph E (x) für ein Flugzeug.

Potentialdifferenz zwischen zwei weit entfernten Punkten R 1 und R 2 von der geladenen Ebene ist gleich

Beispiel 2. Zwei gleichmäßig geladene Ebenen.
Lassen Sie uns die Stärke des elektrischen Feldes berechnen, das von zwei unendlichen Ebenen erzeugt wird. Die elektrische Ladung ist gleichmäßig verteilt mit Flächendichten und . Wir finden die Feldstärke als Überlagerung der Feldstärken jeder der Ebenen. Das elektrische Feld ist nur im Raum zwischen den Ebenen von Null verschieden und gleich .

Potentialunterschied zwischen Ebenen , wo d- Abstand zwischen Flugzeugen.
Die erhaltenen Ergebnisse können für eine ungefähre Berechnung der Felder verwendet werden, die von flachen Platten mit endlichen Abmessungen erzeugt werden, wenn die Abstände zwischen ihnen viel kleiner als ihre linearen Abmessungen sind. Bemerkenswerte Fehler in solchen Berechnungen treten auf, wenn Felder in der Nähe der Plattenränder betrachtet werden. Abhängigkeitsgraph E (x) für zwei Flugzeuge.

Beispiel 3. Ein dünner geladener Stab.
Um die Stärke des elektrischen Feldes zu berechnen, das von einem sehr langen Stab erzeugt wird, der mit einer linearen Ladungsdichte geladen ist, verwenden wir das Gaußsche Theorem.
Bei ausreichend großen Abständen von den Stabenden sind die elektrischen Feldlinien radial von der Stabachse gerichtet und liegen in Ebenen senkrecht zu dieser Achse. An allen von der Stabachse äquidistanten Punkten sind die Zahlenwerte der Festigkeit gleich, wenn sich der Stab in einem homogenen isotropen Medium mit relativem Dielektrikum befindet
Permeabilität.

Zur Berechnung der Feldstärke an einem beliebigen entfernten Punkt r Zeichnen Sie von der Achse der Stange eine zylindrische Fläche durch diesen Punkt
(siehe Bild). Der Radius dieses Zylinders ist r, und seine Höhe h.
Die Flüsse des Spannungsvektors durch die obere und untere Basis des Zylinders sind gleich Null, da die Kraftlinien keine Komponenten senkrecht zu den Oberflächen dieser Basen haben. An allen Stellen der Mantelfläche des Zylinders
E= konst.
Daher der Gesamtfluss des Vektors E durch die Oberfläche des Zylinders wird gleich sein

,

Nach dem Satz von Gauß der Fluss des Vektors E ist gleich der algebraischen Summe der elektrischen Ladungen, die sich innerhalb der Oberfläche (in diesem Fall des Zylinders) befinden, dividiert durch das Produkt aus der elektrischen Konstante und der relativen Permittivität des Mediums

wo ist die Ladung des Teils der Stange, der sich im Zylinder befindet? Daher die elektrische Feldstärke

Die Potentialdifferenz des elektrischen Feldes zwischen zwei weit entfernten Punkten R 1 und R 2 von der Stabachse finden wir anhand der Beziehung zwischen Stärke und Potential des elektrischen Feldes. Da sich die Feldstärke also nur in radialer Richtung ändert

Beispiel 4. Geladene sphärische Oberfläche.
Das durch eine Kugeloberfläche erzeugte elektrische Feld, über das eine elektrische Ladung mit einer Flächendichte gleichmäßig verteilt ist, hat zentralsymmetrischen Charakter.

Die Spannungslinien sind entlang der Radien vom Mittelpunkt der Kugel und dem Modul des Vektors gerichtet E hängt nur von der Entfernung ab r vom Mittelpunkt der Kugel. Um das Feld zu berechnen, wählen wir eine geschlossene Kugeloberfläche mit Radius r.
Wenn r o E = 0.
Die Feldstärke ist Null, da innerhalb der Kugel keine Ladung vorhanden ist.
Für r > R (außerhalb der Kugel) nach dem Satz von Gauß

,

wo ist die relative Dielektrizitätskonstante des Mediums, das die Kugel umgibt.

.

Die Intensität nimmt nach demselben Gesetz ab wie die Feldstärke einer Punktladung, also nach dem Gesetz.
Wenn r o .
Für r > R (außerhalb der Kugel) .
Abhängigkeitsgraph E (r) für die Kugel.

Beispiel 5. Volumengeladene dielektrische Kugel.
Wenn eine Kugel mit einem Radius R aus einem homogenen isotropen Dielektrikum mit relativer Permeabilität gleichmäßig über das Volumen mit einer Dichte aufgeladen wird, dann ist auch das von ihm erzeugte elektrische Feld zentralsymmetrisch.
Wie im vorherigen Fall wählen wir eine geschlossene Fläche, um den Vektorfluss zu berechnen E in Form einer konzentrischen Kugel, deren Radius r kann von 0 bis variieren.
Beim r < R Flussvektor E durch diese Oberfläche wird durch die Ladung bestimmt

So dass

Beim r < R(in der Kugel) .
Im Inneren des Balls steigt die Spannung direkt proportional zum Abstand vom Ballmittelpunkt. Außerhalb des Balls (at r > R) in einem Medium mit Permittivität , dem Flussvektor Eüber der Oberfläche wird durch die Ladung bestimmt.
Wenn r o > R o (außerhalb des Balls) .
An der Grenze „Kugel – Umgebung“ ändert sich schlagartig die elektrische Feldstärke, deren Wert vom Verhältnis der Dielektrizitätskonstanten von Kugel und Medium abhängt. Abhängigkeitsgraph E (r) für ball().

Außerhalb des Balls ( r > R) variiert das Potential des elektrischen Feldes je nach Gesetz

.

im Ball ( r < R) wird das Potential durch den Ausdruck beschrieben

Abschließend geben wir Ausdrücke zur Berechnung der Feldstärken geladener Körper verschiedener Formen an

Potenzieller unterschied
Stromspannung- die Differenz zwischen den Werten des Potentials am Anfangs- und Endpunkt der Flugbahn. Stromspannung numerisch gleich der Arbeit des elektrostatischen Feldes, wenn eine Einheit positiver Ladung entlang der Kraftlinien dieses Feldes bewegt wird. Die Potentialdifferenz (Spannung) hängt nicht von der Wahl ab Koordinatensystem!
Einheit der Potentialdifferenz Die Spannung beträgt 1 V, wenn, wenn sich eine positive Ladung von 1 C entlang der Kraftlinien bewegt, das Feld eine Arbeit von 1 J leistet.

Dirigent ist ein fester Körper, in dem sich „freie Elektronen“ innerhalb des Körpers bewegen.

Metallische Leiter sind im Allgemeinen neutral: Sie haben eine gleiche Anzahl negativer und positiver Ladungen. Positiv geladen sind Ionen in den Knoten des Kristallgitters, negativ sind Elektronen, die sich frei entlang des Leiters bewegen. Wenn dem Leiter eine überschüssige Anzahl von Elektronen gegeben wird, wird er negativ geladen, aber wenn ihm eine bestimmte Menge an Elektronen „weggenommen“ wird, wird er positiv geladen.

Überschüssige Ladung wird nur über die äußere Oberfläche des Leiters verteilt.

1 . Die Feldstärke an jedem Punkt innerhalb des Leiters ist Null.

2 . Der Vektor auf der Oberfläche des Leiters ist entlang der Normalen zu jedem Punkt auf der Oberfläche des Leiters gerichtet.

Aus der Tatsache, dass die Oberfläche des Leiters äquipotential ist, folgt, dass direkt an dieser Oberfläche das Feld an jedem Punkt entlang der Normalen zu ihr gerichtet ist (die Bedingung 2 ). Wenn dies nicht der Fall wäre, würden sich die Ladungen unter der Wirkung der Tangentialkomponente entlang der Oberfläche des Leiters bewegen. jene. Ladungsgleichgewicht auf einem Leiter wäre unmöglich.

Aus 1 daraus folgt seit

Es gibt keine überschüssigen Ladungen innerhalb des Leiters.

Ladungen werden nur auf der Oberfläche des Leiters mit einer bestimmten Dichte verteilt s und befinden sich in einer sehr dünnen Oberflächenschicht (ihre Dicke beträgt etwa ein oder zwei Atomabstände).

Ladungsdichte- das ist die Ladungsmenge pro Längen-, Flächen- oder Volumeneinheit, bestimmt also die lineare, Oberflächen- und Volumenladungsdichte, die im SI-System gemessen wird: in Coulomb pro Meter [C/m], in Coulomb pro Quadratmeter [ C/m² ] bzw. in Coulomb pro Kubikmeter [C/m³] angegeben. Im Gegensatz zur Materiedichte kann die Ladungsdichte sowohl positive als auch negative Werte annehmen, da es positive und negative Ladungen gibt.

Allgemeines Problem der Elektrostatik

Spannungsvektor,

nach dem Satz von Gauß

- Poisson-Gleichung.

In dem Fall - es gibt keine Ladungen zwischen den Leitern, bekommen wir

- Laplace-Gleichung.

Die Randbedingungen an den Oberflächen der Leiter seien bekannt: die Werte ; dann hat dieses Problem eine eindeutige Lösung gem Eindeutigkeitssatz.

Bei der Lösung des Problems wird der Wert bestimmt und dann das Feld zwischen den Leitern durch die Verteilung der Ladungen auf den Leitern (gemäß dem Intensitätsvektor in der Nähe der Oberfläche) bestimmt.

Betrachten Sie ein Beispiel. Finden Sie die Spannung im leeren Hohlraum des Leiters.

Das Potential im Hohlraum erfüllt die Laplace-Gleichung;

Potenzial an den Wänden des Leiters.

Die Lösung der Laplace-Gleichung ist in diesem Fall trivial, und nach dem Eindeutigkeitssatz gibt es keine anderen Lösungen

, d.h. es gibt kein Feld im Leiterhohlraum.

Poisson-Gleichung ist eine elliptische partielle Differentialgleichung, die unter anderem beschreibt

das elektrostatische Feld

ein stationäres Temperaturfeld,

Das Druckfeld

· Geschwindigkeitspotentialfeld in der Hydrodynamik.

Es ist nach dem berühmten französischen Physiker und Mathematiker Simeon Denis Poisson benannt.

Diese Gleichung sieht so aus:

wobei der Laplace-Operator oder Laplace-Operator ist und eine reelle oder komplexe Funktion auf einer Mannigfaltigkeit ist.

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem hat die Gleichung die Form:

Im kartesischen Koordinatensystem schreibt man den Laplace-Operator in der Form und die Poisson-Gleichung hat die Form:

Wenn ein f gegen Null geht, dann wird aus der Poisson-Gleichung die Laplace-Gleichung (die Laplace-Gleichung ist ein Spezialfall der Poisson-Gleichung):

Die Poisson-Gleichung kann mit der Green-Funktion gelöst werden; siehe zum Beispiel den Artikel Gesiebte Poisson-Gleichung. Es gibt verschiedene Methoden, um numerische Lösungen zu erhalten. Beispielsweise wird ein iterativer Algorithmus verwendet – die „Relaxationsmethode“.

Wir betrachten einen Einzelleiter, d. h. einen Leiter, der deutlich von anderen Leitern, Körpern und Ladungen entfernt ist. Wie Sie wissen, ist sein Potential direkt proportional zur Ladung des Leiters. Aus Erfahrung ist bekannt, dass unterschiedliche Leiter bei gleicher Ladung unterschiedliche Potentiale haben. Daher können Sie für einen Einzelleiter den Wert (1) schreiben, der als elektrische Kapazität (oder einfach Kapazität) eines Einzelleiters bezeichnet wird. Die Kapazität eines einzelnen Leiters ist durch eine Ladung gegeben, deren Übertragung auf den Leiter sein Potential um eins ändert. Die Kapazität eines Einzelleiters hängt von seiner Größe und Form ab, nicht aber von Material, Form und Größe der Hohlräume im Inneren des Leiters sowie von seinem Aggregatzustand. Der Grund dafür ist, dass überschüssige Ladungen auf der äußeren Oberfläche des Leiters verteilt werden. Die Kapazität hängt auch nicht von der Ladung des Leiters oder von seinem Potential ab. Die Einheit der elektrischen Kapazität ist Farad (F): 1 F ist die Kapazität eines solchen Einzelleiters, bei dem sich das Potential um 1 V ändert, wenn ihm eine Ladung von 1 C aufgeprägt wird. Nach der Formel für das Potential einer Punktladung ist das Potential einer einsamen Kugel mit Radius R, die sich in einem homogenen Medium mit einer Dielektrizitätskonstante ε befindet, gleich Durch Anwendung von Formel (1) erhält man, dass die Kapazität der Kugel (2) Daraus folgt, dass eine einzelne Kugel eine Kapazität von 1 F hätte, die sich im Vakuum befindet und einen Radius R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km hat, der ungefähr 1400-mal größer ist als die Radius der Erde (elektrische Kapazität der Erde C≈0,7 mF). Folglich ist Farad ein ziemlich großer Wert, daher werden in der Praxis Untereinheiten verwendet - Millifarad (mF), Mikrofarad (μF), Nanofarad (nF), Picofarad (pF). Aus Formel (2) folgt auch, dass die Einheit der elektrischen Konstante ε 0 ein Farad pro Meter (F/m) ist (siehe (78.3)).

Kondensator(von lat. Kondensat- „kompakt“, „verdicken“) - ein Zweipol-Netzwerk mit einem bestimmten Kapazitätswert und niederohmiger Leitfähigkeit; eine Vorrichtung zum Akkumulieren von Ladung und Energie eines elektrischen Feldes. Der Kondensator ist ein passives elektronisches Bauteil. Besteht in der Regel aus zwei plattenförmigen Elektroden (sog Verkleidungen), getrennt durch ein Dielektrikum, dessen Dicke im Vergleich zu den Abmessungen der Platten gering ist.

Kapazität

Das Hauptmerkmal eines Kondensators ist seine Kapazität Charakterisierung der Fähigkeit eines Kondensators, eine elektrische Ladung zu speichern. Der Wert der Nennkapazität erscheint in der Bezeichnung des Kondensators, während die tatsächliche Kapazität in Abhängigkeit von vielen Faktoren erheblich variieren kann. Die tatsächliche Kapazität eines Kondensators bestimmt seine elektrischen Eigenschaften. Per Definition der Kapazität ist die Ladung auf der Platte also proportional zur Spannung zwischen den Platten ( q=CU). Typische Kapazitätswerte reichen von Picofarad bis zu Tausenden von Mikrofarad. Es gibt jedoch Kondensatoren (Ionistoren) mit einer Kapazität von bis zu mehreren zehn Farad.

Kapazität eines Flachkondensators, bestehend aus zwei parallelen Metallplatten mit einer Fläche S jeweils in einiger Entfernung d voneinander, im SI-System wird durch die Formel ausgedrückt: Diese Formel ist nur gültig, wenn d viel kleiner als die linearen Abmessungen der Platten.

Um große Kapazitäten zu erhalten, werden Kondensatoren parallel geschaltet. In diesem Fall ist die Spannung zwischen den Platten aller Kondensatoren gleich. Gesamtkapazität der Batterie parallel angeschlossenen Kondensatoren ist gleich der Summe der Kapazitäten aller in der Batterie enthaltenen Kondensatoren.

Wenn alle parallel geschalteten Kondensatoren den gleichen Plattenabstand und die Eigenschaften des Dielektrikums haben, können diese Kondensatoren als ein großer Kondensator dargestellt werden, der in Fragmente kleinerer Fläche unterteilt ist.

Wenn Kondensatoren in Reihe geschaltet werden, sind die Ladungen aller Kondensatoren gleich, da sie von der Stromquelle nur den Außenelektroden zugeführt werden und an den Innenelektroden nur aufgrund der Trennung von Ladungen erhalten werden, die sich zuvor gegenseitig neutralisiert haben . Gesamtkapazität der Batterie nacheinander angeschlossenen Kondensatoren ist

Oder

Diese Kapazität ist immer kleiner als die Mindestkapazität des in der Batterie enthaltenen Kondensators. Bei einer Reihenschaltung wird jedoch die Möglichkeit des Zusammenbruchs von Kondensatoren verringert, da jeder Kondensator nur einen Teil der Potentialdifferenz der Spannungsquelle ausmacht.

Wenn die Fläche der Platten aller in Reihe geschalteten Kondensatoren gleich ist, können diese Kondensatoren als ein großer Kondensator dargestellt werden, zwischen dessen Platten sich ein Stapel dielektrischer Platten aller Kondensatoren befindet, aus denen er besteht.

[Bearbeiten] Spezifische Kapazität

Kondensatoren sind auch durch eine spezifische Kapazität gekennzeichnet - das Verhältnis der Kapazität zum Volumen (oder Masse) des Dielektrikums. Der maximale Wert der spezifischen Kapazität wird bei der minimalen Dicke des Dielektrikums erreicht, jedoch nimmt seine Durchbruchspannung ab.

Elektrische Schaltungen verwenden eine Vielzahl von Möglichkeiten, Kondensatoren anzuschließen. Anschluss von Kondensatoren kann gemacht werden: nacheinander, parallel und serien-parallel(Letzteres wird manchmal als gemischte Kondensatorverbindung bezeichnet). Die bestehenden Anschlussarten von Kondensatoren sind in Bild 1 dargestellt.

Abbildung 1. Methoden zum Anschließen von Kondensatoren.

In einem gleichförmigen elektrischen Feld ist die auf ein geladenes Teilchen wirkende Kraft sowohl in Größe als auch in Richtung konstant. Daher ist die Bewegung eines solchen Teilchens völlig analog zur Bewegung eines Körpers im Schwerefeld der Erde ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Die Flugbahn des Teilchens ist in diesem Fall flach, liegt in der Ebene, die die Vektoren der Anfangsgeschwindigkeit des Teilchens und der elektrischen Feldstärke enthält

Das Potential des elektrostatischen Feldes. Ein allgemeiner Ausdruck, der Potenzial mit Spannung in Verbindung bringt.

Das Potential φ an jedem Punkt des elektrostatischen Feldes ist eine physikalische Größe, die durch die potentielle Energie einer einzelnen positiven Ladung an diesem Punkt bestimmt wird. Das Potential des von einer Punktladung Q erzeugten Feldes ist

Potential - eine physikalische Größe, die durch die Arbeit bestimmt wird, eine einzelne positive elektrische Ladung zu bewegen, wenn sie von einem bestimmten Punkt des Feldes ins Unendliche entfernt wird. Diese Arbeit ist numerisch gleich der Arbeit, die von externen Kräften (gegen die Kräfte des elektrostatischen Feldes) geleistet wird, um eine positive Einheitsladung von unendlich zu einem bestimmten Punkt im Feld zu bewegen.

Die Einheit des Potentials ist Volt (V): 1 V entspricht dem Potential eines solchen Punktes im Feld, an dem eine Ladung von 1 C eine potentielle Energie von 1 J hat (1 V = 1 J/C). Betrachtet man die Dimension Volt, so lässt sich zeigen, dass die zuvor eingeführte Einheit der elektrostatischen Feldstärke tatsächlich 1 V/m ist: 1 N/Cl=1 N·m/(Cl·m)=1 J/(Cl·m)=1 V/m.

Aus den Formeln (3) und (4) folgt, dass, wenn das Feld durch mehrere Ladungen erzeugt wird, das Potential des gegebenen Feldes des Ladungssystems gleich der algebraischen Summe der Potentiale der Felder aller dieser Ladungen ist:

Die Stärke an jedem Punkt des elektrischen Feldes ist gleich dem Potentialgradienten an diesem Punkt, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Das Minuszeichen zeigt an, dass die Intensität E in Richtung abnehmenden Potentials gerichtet ist.

E = - Grad Phi = - N Phi.

Um einen Zusammenhang zwischen der Leistungscharakteristik des elektrischen Feldes – der Stärke und seiner Energiecharakteristik – dem Potential herzustellen, betrachte man die elementare Arbeit der elektrischen Feldkräfte an einer unendlich kleinen Verschiebung einer Punktladung q: dA = q E dl, die Die gleiche Arbeit ist gleich der Abnahme der potentiellen Energie der Ladung q: dA = - dWп = - q dphi, wobei d phi die Änderung des Potentials des elektrischen Feldes über die Wegstrecke dl ist. Durch Gleichsetzen der rechten Teile der Ausdrücke erhalten wir: E dl = -d phi oder im kartesischen Koordinatensystem

Bsp. dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

wobei Ex, Ey, Ez die Projektionen des Intensitätsvektors auf die Achsen des Koordinatensystems sind. Da der Ausdruck ein totales Differential ist, haben wir für die Projektionen des Intensitätsvektors

Der Ausdruck in Klammern ist der Gradient des Phi-Potentials.

Superpositionsprinzip als grundlegende Eigenschaft von Feldern. Allgemeine Ausdrücke für die Stärke und das Potenzial des Feldes, das an einem Punkt mit einem Radiusvektor durch ein System von Punktladungen erzeugt wird, die sich an Punkten mit Koordinaten befinden (siehe Punkt 4).

Wenn wir das Prinzip der Überlagerung im allgemeinsten Sinne betrachten, dann ist die Summe der Auswirkungen äußerer Kräfte, die auf ein Teilchen einwirken, die Summe der Einzelwerte jedes einzelnen von ihnen. Dieses Prinzip gilt für verschiedene lineare Systeme, d.h. Systeme, deren Verhalten durch lineare Beziehungen beschrieben werden kann. Ein Beispiel ist eine einfache Situation, wenn sich eine lineare Welle in einem bestimmten Medium ausbreitet, wobei in diesem Fall ihre Eigenschaften selbst unter dem Einfluss von Störungen, die von der Welle selbst herrühren, erhalten bleiben. Diese Eigenschaften sind als spezifische Summe der Wirkungen jeder der harmonischen Komponenten definiert.

Das Superpositionsprinzip kann auch andere Formulierungen annehmen, die der oben angegebenen völlig äquivalent sind:

· Die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen ändert sich nicht, wenn ein drittes Teilchen eingeführt wird, das ebenfalls mit den ersten beiden wechselwirkt.

· Die Wechselwirkungsenergie aller Teilchen in einem Vielteilchensystem ist einfach die Summe der Energien von Paarwechselwirkungen zwischen allen möglichen Teilchenpaaren. Es gibt keine Mehrteilchenwechselwirkungen im System.

· Die Gleichungen, die das Verhalten eines Mehrteilchensystems beschreiben, sind linear in der Anzahl der Teilchen.

6 Die Zirkulation des Spannungsvektors ist die Arbeit, die elektrische Kräfte verrichten, wenn sie eine einzelne positive Ladung entlang eines geschlossenen Weges L bewegen

Da die Arbeit der elektrostatischen Feldkräfte in einem geschlossenen Kreislauf null ist (die Arbeit der potentiellen Feldkräfte), ist daher die Zirkulation der elektrostatischen Feldstärke in einem geschlossenen Kreislauf null.

Feldpotential. Die Arbeit eines elektrostatischen Feldes beim Bewegen eines geladenen Körpers von einem Punkt zum anderen hängt ebenfalls nicht von der Form der Flugbahn sowie der Arbeit eines gleichmäßigen Feldes ab. Auf einer geschlossenen Bahn ist die Arbeit des elektrostatischen Feldes immer Null. Felder mit dieser Eigenschaft werden Potentialfelder genannt. Insbesondere das elektrostatische Feld einer Punktladung hat Potentialcharakter.
Die Arbeit eines Potentialfeldes kann in Form einer Änderung der potentiellen Energie ausgedrückt werden. Die Formel gilt für jedes elektrostatische Feld.

7-11 Wenn die Kraftlinien eines gleichförmigen elektrischen Feldes eine gewisse Fläche S durchdringen, dann wird der Fluss des Intensitätsvektors (wir haben früher die Anzahl der Kraftlinien durch die Fläche genannt) durch die Formel bestimmt:

wobei En das Produkt aus dem Vektor und der Flächennormalen ist (Abb. 2.5).

Reis. 2.5

Die Gesamtzahl der durch die Fläche S verlaufenden Kraftlinien wird als Fluss des Intensitätsvektors FU durch diese Fläche bezeichnet.

In Vektorform können Sie schreiben - das Skalarprodukt zweier Vektoren, wobei der Vektor .

Der Vektorfluss ist also ein Skalar, der je nach Winkel α positiv oder negativ sein kann.

Betrachten Sie die Beispiele in den Abbildungen 2.6 und 2.7.

	Reis. 2.6	Reis. 2.7

Für Abbildung 2.6 ist die Fläche A1 von einer positiven Ladung umgeben und die Strömung ist hier nach außen gerichtet, d.h. Die A2–-Fläche ist von einer negativen Ladung umgeben und hier nach innen gerichtet. Der Gesamtdurchfluss durch die Fläche A ist Null.

Für Abbildung 2.7 ist der Fluss ungleich Null, wenn die Gesamtladung innerhalb der Oberfläche ungleich Null ist. Für diese Konfiguration ist der Fluss durch die Fläche A negativ (zählen Sie die Anzahl der Feldlinien).

Somit hängt der Intensitätsvektorfluss von der Ladung ab. Dies ist die Bedeutung des Ostrogradsky-Gauß-Theorems.

Satz von Gauß

Das experimentell nachgewiesene Coulombsche Gesetz und das Superpositionsprinzip ermöglichen es, das elektrostatische Feld eines gegebenen Ladungssystems im Vakuum vollständig zu beschreiben. Die Eigenschaften des elektrostatischen Feldes können jedoch in einer anderen, allgemeineren Form ausgedrückt werden, ohne auf das Konzept des Coulomb-Feldes einer Punktladung zurückzugreifen.

Führen wir eine neue physikalische Größe ein, die das elektrische Feld charakterisiert – den Fluss Φ des elektrischen Feldstärkevektors. In dem Raum, in dem das elektrische Feld erzeugt wird, befinde sich eine ausreichend kleine Fläche ΔS. Das Produkt aus dem Vektormodul und der Fläche ΔS und dem Kosinus des Winkels α zwischen Vektor und Ortsnormale heißt Elementarfluss des Intensitätsvektors durch den Ort ΔS (Abb. 1.3.1):

Betrachten wir nun eine beliebige geschlossene Fläche S. Teilen wir diese Fläche in kleine Flächen ΔSi auf, bestimmen die Elementarflüsse ΔΦi des Feldes durch diese kleinen Flächen und summieren sie dann auf, so erhalten wir als Ergebnis den Fluss Φ der Vektor durch die geschlossene Fläche S (Abb. 1.3.2 ):

Der Satz von Gauß besagt:

Der Fluss des elektrostatischen Feldstärkevektors durch eine beliebige geschlossene Fläche ist gleich der algebraischen Summe der innerhalb dieser Fläche befindlichen Ladungen dividiert durch die elektrische Konstante ε0.

wobei R der Radius der Kugel ist. Der Fluss Φ durch die Kugeloberfläche ist gleich dem Produkt von E und der Fläche der Kugel 4πR2. Somit,

Umgeben wir nun die Punktladung mit einer beliebigen geschlossenen Fläche S und betrachten wir eine Hilfskugel vom Radius R0 (Abb. 1.3.3).

Betrachten Sie einen Kegel mit einem kleinen Raumwinkel ΔΩ an der Spitze. Dieser Kegel wählt eine kleine Fläche ΔS0 auf der Kugel und eine Fläche ΔS auf der Oberfläche S aus. Die Elementarflüsse ΔΦ0 und ΔΦ durch diese Bereiche sind gleich. Wirklich,

Auf ähnliche Weise kann man zeigen, dass, wenn die geschlossene Oberfläche S keine Punktladung q umschließt, die Strömung Φ = 0 ist. Ein solcher Fall ist in Abb. 1 dargestellt. 1.3.2. Alle Kraftlinien des elektrischen Feldes einer Punktladung durchdringen die geschlossene Fläche S durch und durch. Innerhalb der Oberfläche S gibt es keine Ladungen, daher brechen die Kraftlinien in diesem Bereich nicht und entstehen nicht.

Die Verallgemeinerung des Satzes von Gauß auf den Fall einer beliebigen Ladungsverteilung folgt aus dem Superpositionsprinzip. Das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung kann als Vektorsumme elektrischer Felder von Punktladungen dargestellt werden. Der Fluss Φ eines Ladungssystems durch eine beliebige geschlossene Fläche S ist die Summe der Flüsse Φi der elektrischen Felder einzelner Ladungen. Wenn sich herausstellt, dass sich die Ladung qi innerhalb der Oberfläche S befindet, leistet sie einen Beitrag zum Fluss, der gleich ist, wenn sich herausstellt, dass sich diese Ladung außerhalb der Oberfläche befindet, dann ist der Beitrag ihres elektrischen Felds zum Fluss gleich Null.

Damit ist der Satz von Gauß bewiesen.

Der Satz von Gauß ist eine Konsequenz aus dem Coulombschen Gesetz und dem Superpositionsprinzip. Wenn wir aber die in diesem Theorem enthaltene Aussage als ein erstes Axiom akzeptieren, dann wird sich das Coulombsche Gesetz als seine Konsequenz herausstellen. Daher wird der Satz von Gauß manchmal als alternative Formulierung des Coulomb-Gesetzes bezeichnet.

Mit Hilfe des Satzes von Gauß lässt sich in einigen Fällen die elektrische Feldstärke um einen geladenen Körper leicht berechnen, wenn die gegebene Ladungsverteilung eine Art Symmetrie aufweist und die allgemeine Struktur des Feldes im Voraus erraten werden kann.

Ein Beispiel ist das Problem der Berechnung des Feldes eines dünnwandigen, hohlen, gleichmäßig geladenen langen Zylinders mit Radius R. Dieses Problem ist axialsymmetrisch. Aus Symmetriegründen muss das elektrische Feld entlang des Radius gerichtet sein. Um den Satz von Gauß anzuwenden, empfiehlt es sich daher, eine geschlossene Fläche S in Form eines koaxialen Zylinders mit einem Radius r und einer Länge l zu wählen, der an beiden Enden geschlossen ist (Abb. 1.3.4).

Für r ≥ R fließt der gesamte Fluss des Intensitätsvektors durch die Seitenfläche des Zylinders, dessen Fläche gleich 2πrl ist, da der Fluss durch beide Basen Null ist. Die Anwendung des Satzes von Gauß ergibt:

Dieses Ergebnis hängt nicht vom Radius R des aufgeladenen Zylinders ab, es gilt also auch für das Feld eines langen, gleichmäßig aufgeladenen Fadens.

Um die Feldstärke innerhalb eines geladenen Zylinders zu bestimmen, muss für den Fall r eine geschlossene Fläche konstruiert werden< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

In ähnlicher Weise kann der Satz von Gauß angewendet werden, um das elektrische Feld in einer Reihe anderer Fälle zu bestimmen, in denen die Ladungsverteilung eine Art Symmetrie aufweist, beispielsweise eine Symmetrie um das Zentrum, die Ebene oder die Achse. In jedem dieser Fälle ist es notwendig, eine geschlossene Gauß-Fläche zweckmäßiger Form zu wählen. Beispielsweise ist es im Fall der zentralen Symmetrie zweckmäßig, eine Gaußsche Fläche in Form einer Kugel zu wählen, die an einem Symmetriepunkt zentriert ist. Bei Axialsymmetrie muss eine geschlossene Fläche in Form eines beidseitig geschlossenen koaxialen Zylinders gewählt werden (wie im oben diskutierten Beispiel). Wenn die Ladungsverteilung keine Symmetrie hat und die allgemeine Struktur des elektrischen Feldes nicht erraten werden kann, kann die Anwendung des Gauß-Theorems das Problem der Bestimmung der Feldstärke nicht vereinfachen.

Betrachten Sie ein weiteres Beispiel für eine symmetrische Ladungsverteilung - die Definition des Feldes einer gleichmäßig geladenen Ebene (Abb. 1.3.5).

In diesem Fall empfiehlt es sich, die Gaußsche Fläche S in Form eines an beiden Enden geschlossenen Zylinders von einiger Länge zu wählen. Die Achse des Zylinders ist senkrecht zur geladenen Ebene gerichtet, und seine Enden befinden sich im gleichen Abstand von ihr. Aus Symmetriegründen muss das Feld einer gleichmäßig geladenen Ebene überall entlang der Normalen gerichtet sein. Die Anwendung des Satzes von Gauß ergibt:

wobei σ die Oberflächenladungsdichte ist, d. h. die Ladung pro Flächeneinheit.

Der resultierende Ausdruck für das elektrische Feld einer gleichmäßig geladenen Ebene gilt auch für ebene Ladungsgebiete endlicher Größe. In diesem Fall muss der Abstand von der Stelle, an der die Feldstärke bestimmt wird, zur aufgeladenen Fläche deutlich kleiner sein als die Größe der Fläche.

Und Zeitpläne für 7 - 11

1. Die Intensität des elektrostatischen Feldes, das von einer gleichmäßig geladenen Kugeloberfläche erzeugt wird.

Auf einer Kugeloberfläche vom Radius R (Abb. 13.7) trage eine gleichverteilte Ladung q, d.h. Die Oberflächenladungsdichte an jedem Punkt der Kugel ist gleich.

a. Wir schließen unsere Kugeloberfläche in eine Symmetriefläche S mit Radius r>R ein. Der Intensitätsvektorfluss durch die Oberfläche S ist gleich

Nach dem Satz von Gauß

Somit

c. Zeichnen wir durch den Punkt B, der sich innerhalb der geladenen Kugeloberfläche befindet, die Kugel S mit dem Radius r

2. Elektrostatisches Feld des Balls.

Nehmen wir an, wir haben eine Kugel mit Radius R, die gleichmäßig mit Schüttdichte beladen ist.

An jedem Punkt A, der außerhalb des Balls in einem Abstand r von seinem Zentrum liegt (r > R), ist sein Feld ähnlich dem Feld einer Punktladung, die sich im Zentrum des Balls befindet. Dann außerhalb des Balls

(13.10)

und auf seiner Oberfläche (r=R)

(13.11)

Am Punkt B, der im Abstand r vom Mittelpunkt der Kugel liegt (r > R), wird das Feld nur durch die in der Kugel mit Radius r eingeschlossene Ladung bestimmt. Der Intensitätsvektorfluss durch diese Kugel ist gleich

andererseits nach dem Satz von Gauß

Nach dem Satz von Gauß

Aus den letzten beiden Ausdrücken bestimmen wir die Feldstärke, die von einem gleichmäßig geladenen Faden erzeugt wird:

(13.13)

Die Ebene habe eine unendliche Ausdehnung und die Ladung pro Flächeneinheit sei gleich σ. Aus den Symmetriegesetzen folgt, dass das Feld überall senkrecht zur Ebene gerichtet ist, und wenn keine anderen äußeren Ladungen vorhanden sind, sollten die Felder auf beiden Seiten der Ebene gleich sein. Beschränken wir einen Teil der geladenen Ebene auf einen imaginären zylindrischen Kasten, so dass der Kasten in zwei Hälften geschnitten wird und seine Generatoren senkrecht stehen und zwei Basen mit jeweils einer Fläche S parallel zur geladenen Ebene stehen (Abbildung 1.10).

12. Feld einer gleichförmig geladenen Kugel.

Das elektrische Feld soll durch die Ladung erzeugt werden Q, gleichmäßig über die Oberfläche einer Kugel mit Radius verteilt R(Abb. 190). Das Feldpotential an einem beliebigen entfernten Punkt zu berechnen r vom Mittelpunkt der Kugel aus muss die Arbeit berechnet werden, die das Feld verrichtet, wenn es eine Einheit positiver Ladung von einem bestimmten Punkt ins Unendliche bewegt. Wir haben bereits bewiesen, dass die Feldstärke einer gleichförmig geladenen Kugel außerhalb derselben dem Feld einer Punktladung entspricht, die sich im Zentrum der Kugel befindet. Daher fällt außerhalb der Kugel das Potential des Feldes der Kugel mit dem Potential des Feldes einer Punktladung zusammen

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Insbesondere auf der Oberfläche einer Kugel ist das Potential gleich φ 0=Q 4πε 0R. Innerhalb der Kugel gibt es kein elektrostatisches Feld, daher ist die Arbeit, eine Ladung von einem beliebigen Punkt innerhalb der Kugel zu ihrer Oberfläche zu bewegen, Null EIN= 0, daher ist die Potentialdifferenz zwischen diesen Punkten auch gleich Null Δ φ = -EIN= 0. Daher haben alle Punkte innerhalb der Kugel das gleiche Potential, das mit dem Potential ihrer Oberfläche zusammenfällt φ 0=Q 4πε 0R .

Die Verteilung des Feldpotentials einer gleichmäßig geladenen Kugel hat also die Form (Abb. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Bitte beachten Sie, dass sich innerhalb der Kugel kein Feld befindet und das Potential von Null verschieden ist! Dieses Beispiel veranschaulicht anschaulich, dass das Potential durch den Wert des Feldes von einem gegebenen Punkt bis unendlich bestimmt wird.