Definition. Die Funktion F (x) heißt Stammfunktion für die Funktion f (x) in einem bestimmten Intervall, wenn für jedes x aus dem angegebenen Intervall F "(x) \u003d f (x).

Die Haupteigenschaft von Primitiven.

Wenn F (x) die Stammfunktion der Funktion f (x) ist, dann ist die Funktion F (x) + C , wobei C eine beliebige Konstante ist, auch die Stammfunktion der Funktion f (x) (d. h. alle Stammfunktionen von f(x) werden in der Form F(x) + C geschrieben).

Geometrische Deutung.

Graphen aller Stammfunktionen einer bestimmten Funktion f (x) werden aus dem Graphen einer beliebigen Stammfunktion durch parallele Übertragungen entlang der Oy-Achse erhalten.

Tabelle der Primitiven.

Regeln zum Finden von Stammfunktionen .

Seien F(x) und G(x) die Stammfunktionen der Funktionen f(x) bzw. g(x). Dann:

1.F( x)±G( x) ist Stammfunktion für f(x) ± g(x);

2. a F( x) ist Stammfunktion für af(x);

3. - Stammfunktion für af(kx +b).

Aufgaben und Tests zum Thema "Antiprimitive"

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Studiert haben dieses Thema, Sie müssen wissen, was Stammfunktion genannt wird, ihre Haupteigenschaft, geometrische Interpretation, die Regeln zum Finden von Stammfunktionen; in der Lage sein, alle Stammfunktionen von Funktionen anhand einer Tabelle und Regeln zum Finden von Stammfunktionen sowie einer Durchgangsfunktion für eine Stammfunktion zu finden gegebener Punkt. Erwägen Sie, Probleme zu diesem Thema anhand von Beispielen zu lösen. Achten Sie auf die Gestaltung der Entscheidungen.

Beispiele.

1. Finden Sie heraus, ob die Funktion F ( x) = X 3 – 3X+ 1 Stammfunktion für die Funktion f(x) = 3(X 2 – 1).

Entscheidung: F"( x) = (X 3 – 3X+ 1)′ = 3 X 2 – 3 = 3(X 2 – 1) = f(x), d.h. F"( x) = f(x), also ist F(x) eine Stammfunktion für die Funktion f(x).

2. Finde alle Stammfunktionen f(x) :

a) f(x) = X 4 + 3X 2 + 5

Entscheidung: Unter Verwendung der Tabelle und der Regeln zum Finden von Stammfunktionen erhalten wir:

Antworten:

b) f(x) = Sünde(3 x – 2)

Entscheidung:

Das Lösen von Integralen ist eine leichte Aufgabe, aber nur für die Elite. Dieser Artikel ist für diejenigen, die Integrale verstehen lernen möchten, aber wenig oder gar nichts darüber wissen. Integral... Warum wird es benötigt? Wie berechnet man es? Was sind bestimmte und unbestimmte Integrale? Wenn die einzige Verwendung des Integrals, die Sie kennen, darin besteht, etwas Nützliches von schwer zugänglichen Stellen mit einem Haken in Form eines integralen Symbols zu erhalten, dann herzlich willkommen! Erfahren Sie, wie Sie Integrale lösen und warum Sie nicht darauf verzichten können.

Wir studieren das Konzept des "Integral"

Integration war bereits in bekannt Antikes Ägypten. Natürlich nicht drin moderne Form, aber dennoch. Seitdem haben Mathematiker sehr viele Bücher zu diesem Thema geschrieben. Besonders ausgezeichnet Newton und Leibniz aber das Wesen der Dinge hat sich nicht geändert. Wie kann man Integrale von Grund auf verstehen? Auf keinen Fall! Um dieses Thema zu verstehen, benötigen Sie noch Grundkenntnisse in den Grundlagen der mathematischen Analysis. Informationen zu , die auch für das Verständnis von Integralen notwendig sind, finden Sie bereits in unserem Blog.

Unbestimmtes Integral

Lassen Sie uns eine Funktion haben f(x) .

Das unbestimmte Integral der Funktion f(x) eine solche Funktion wird aufgerufen F(x) , deren Ableitung gleich der Funktion ist f(x) .

Mit anderen Worten, ein Integral ist eine umgekehrte Ableitung oder Stammfunktion. Übrigens, wie man in unserem Artikel liest.

Eine Stammfunktion existiert für alle stetigen Funktionen. Außerdem wird der Stammfunktion häufig ein konstantes Vorzeichen hinzugefügt, da die Ableitungen von Funktionen, die sich durch eine Konstante unterscheiden, zusammenfallen. Der Prozess, ein Integral zu finden, wird als Integration bezeichnet.

Einfaches Beispiel:

Um nicht ständig die Primitiven zu berechnen elementare Funktionen, ist es bequem, sie in einer Tabelle zusammenzufassen und vorgefertigte Werte zu verwenden.

Vollständige Tabelle der Integrale für Studenten

Bestimmtes Integral

Wenn wir uns mit dem Konzept eines Integrals befassen, haben wir es mit infinitesimalen Größen zu tun. Das Integral hilft bei der Berechnung der Fläche der Figur, der Masse eines durchlaufenen inhomogenen Körpers ungleichmäßige Bewegung Weg und mehr. Es sollte daran erinnert werden, dass das Integral die Summe von Unendlich ist eine große Anzahl unendlich kleine Terme.

Stellen Sie sich als Beispiel einen Graphen einer Funktion vor. Wie findet man die Fläche einer Figur, die durch einen Funktionsgraphen begrenzt ist?

Mit Hilfe eines Integrals! Lassen Sie uns das krummlinige Trapez, begrenzt durch die Koordinatenachsen und den Graphen der Funktion, in unendlich kleine Segmente aufteilen. Somit wird die Figur in dünne Säulen unterteilt. Die Summe der Flächen der Säulen ist die Fläche des Trapezes. Denken Sie jedoch daran, dass eine solche Berechnung ein ungefähres Ergebnis liefert. Je kleiner und schmaler jedoch die Segmente sind, desto genauer wird die Berechnung. Wenn wir sie so weit reduzieren, dass die Länge gegen Null tendiert, tendiert die Summe der Flächen der Segmente zur Fläche der Figur. Dies ist das bestimmte Integral, das wie folgt geschrieben wird:

Die Punkte a und b heißen Integrationsgrenzen.

Bari Alibasov und die Gruppe "Integral"

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Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Wie löst man unbestimmte Integrale? Hier werden wir die Eigenschaften des unbestimmten Integrals betrachten, die beim Lösen von Beispielen nützlich sein werden.

• Die Ableitung des Integrals ist gleich dem Integranden:

• Die Konstante kann unter dem Integralzeichen entnommen werden:

• Das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale. Auch für den Unterschied gilt:

Eigenschaften des bestimmten Integrals

• Linearität:

• Das Vorzeichen des Integrals ändert sich, wenn man die Integrationsgrenzen umkehrt:

• Beim irgendein Punkte a, b und mit:

Wir haben bereits herausgefunden, dass das bestimmte Integral der Grenzwert der Summe ist. Aber wie erhält man einen bestimmten Wert beim Lösen eines Beispiels? Dafür gibt es die Newton-Leibniz-Formel:

Beispiele zum Lösen von Integralen

Im Folgenden betrachten wir einige Beispiele für das Finden unbestimmter Integrale. Wir bieten Ihnen an, die Feinheiten der Lösung selbstständig zu verstehen, und wenn etwas nicht klar ist, stellen Sie Fragen in den Kommentaren.

Um das Material zu festigen, sehen Sie sich ein Video an, wie Integrale in der Praxis gelöst werden. Verzweifeln Sie nicht, wenn das Integral nicht sofort gegeben ist. Wenden Sie sich an einen professionellen Studentendienst, und jedes dreifache oder krummlinige Integral über einer geschlossenen Fläche liegt in Ihrer Macht.

Stammfunktion f(x) zwischen (a;b) eine solche Funktion wird aufgerufen F(x), dass die Gleichheit für alle gilt X aus dem angegebenen Intervall.

Wenn wir die Tatsache berücksichtigen, dass die Ableitung der Konstante Mit gleich Null ist, dann gilt die Gleichheit. Also die Funktion f(x) hat viele Prototypen F(x)+C, für eine beliebige Konstante Mit, und diese Stammfunktionen unterscheiden sich voneinander um einen beliebigen konstanten Wert.

Definition des unbestimmten Integrals.

Die ganze Menge der Stammfunktionen einer Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral dieser Funktion und wird mit bezeichnet .

Der Ausdruck wird aufgerufen Integrand, a f(x) – Integrand. Der Integrand ist das Differential der Funktion f(x).

Die Aktion, eine unbekannte Funktion durch ihr gegebenes Differential zu finden, wird aufgerufen unsicher Integration, weil das Ergebnis der Integration mehr als eine Funktion ist F(x), und die Menge seiner Grundelemente F(x)+C.

Die geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals. Der Graph der Stammfunktion D(x) heißt Integralkurve. Im x0y-Koordinatensystem stellen die Graphen aller Stammfunktionen einer bestimmten Funktion eine Schar von Kurven dar, die vom Wert der Konstanten C abhängen und voneinander durch eine Parallelverschiebung entlang der 0y-Achse erhalten werden. Für das obige Beispiel haben wir:

J 2 x^x = x2 + C.

Die Familie der Stammfunktionen (x + C) wird geometrisch als Satz von Parabeln interpretiert.

Wenn Sie eine aus der Familie der Stammfunktionen finden müssen, werden zusätzliche Bedingungen festgelegt, mit denen Sie die Konstante C bestimmen können. Normalerweise werden zu diesem Zweck Anfangsbedingungen festgelegt: Für den Wert des Arguments x = x0 hat die Funktion der Wert D(x0) = y0.

Beispiel. Es ist erforderlich, die Stammfunktion der Funktion y \u003d 2 x zu finden, die bei x0 \u003d 1 den Wert 3 annimmt.

Die gesuchte Stammfunktion: D(x) = x2 + 2.

Entscheidung. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion selbst und einer beliebigen Konstante:

4. Aus dem Integralzeichen kann ein konstanter Faktor herausgenommen werden:

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Die Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

7. Die Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn ein , dann

8. Eigentum:

Wenn ein , dann

Tatsächlich handelt es sich bei dieser Eigenschaft um einen Sonderfall der Integration nach der Methode der Variablenänderung, die im nächsten Abschnitt ausführlicher behandelt wird.

Betrachten Sie ein Beispiel:

3. Integrationsmethode, in dem das gegebene Integral durch identische Transformationen des Integranden (oder Ausdrucks) und Anwendung der Eigenschaften des unbestimmten Integrals auf ein oder mehrere Tabellenintegrale reduziert wird, heißt direkte Einbindung. Beim Reduzieren dieses Integrals auf ein tabellarisches Integral werden häufig die folgenden Transformationen des Differentials verwendet (die Operation " unter das Vorzeichen des Differentials bringen»):

Allgemein, f'(u)du = d(f(u)). diese (Formel wird sehr oft bei der Berechnung von Integralen verwendet.

Finde das Integral

Entscheidung. Wir nutzen die Eigenschaften des Integrals und reduzieren dieses Integral auf mehrere tabellarische.

4. Integration nach der Substitutionsmethode.

Das Wesen der Methode besteht darin, dass wir eine neue Variable einführen, den Integranden durch diese Variable ausdrücken und als Ergebnis zu einer tabellarischen (oder einfacheren) Form des Integrals gelangen.

Sehr oft hilft die Substitutionsmethode bei der Integration von trigonometrischen Funktionen und Funktionen mit Radikalen.

Beispiel.

Finden Sie das unbestimmte Integral .

Entscheidung.

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen. Äußern X durch z:

Wir führen die Substitution der erhaltenen Ausdrücke in das ursprüngliche Integral durch:

Aus der Tabelle der Stammfunktionen haben wir .

Es bleibt, zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren X:

Antworten:

Lektion und Präsentation zum Thema: "Stammfunktion. Graph einer Funktion"

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primitive Funktion. Einführung

Leute, ihr könnt Ableitungen von Funktionen finden, indem ihr verschiedene Formeln und Regeln verwendet. Heute werden wir die Operation studieren, Umkehrung der Berechnung Derivat. Das Konzept eines Derivats wird häufig in verwendet wahres Leben. Zur Erinnerung: Die Ableitung ist die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Die Prozesse, die mit Bewegung und Geschwindigkeit verbunden sind, sind mit diesen Begriffen gut beschrieben.

Betrachten wir folgende Aufgabe: „Die Geschwindigkeit der Bewegung eines Objekts entlang einer geraden Linie wird durch die Formel $V=gt$ beschrieben. Sie wird benötigt, um das Bewegungsgesetz wiederherzustellen.
Entscheidung.
Wir kennen die Formel gut: $S"=v(t)$, wobei S das Bewegungsgesetz ist.
Unser Problem reduziert sich darauf, eine Funktion $S=S(t)$ zu finden, deren Ableitung gleich $gt$ ist. Wenn Sie genau hinsehen, können Sie erraten, dass $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Prüfen wir die Korrektheit der Lösung dieses Problems: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Da wir die Ableitung der Funktion kennen, haben wir die Funktion selbst gefunden, das heißt, wir haben die Umkehroperation durchgeführt.
Aber es lohnt sich, auf diesen Moment zu achten. Die Lösung unseres Problems bedarf der Klärung, wenn der gefundenen Funktion eine beliebige Zahl (Konstante) hinzugefügt wird, ändert sich der Wert der Ableitung nicht: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Jungs, aufgepasst: Unsere Aufgabe hat unendlicher Satz Lösungen!
Wenn das Problem keine Anfangs- oder andere Bedingung hat, vergessen Sie nicht, der Lösung eine Konstante hinzuzufügen. Beispielsweise kann in unserer Aufgabe die Position unseres Körpers ganz am Anfang der Bewegung festgelegt werden. Dann ist es nicht schwierig, die Konstante zu berechnen, indem wir Null in die resultierende Gleichung einsetzen, wir erhalten den Wert der Konstante.

Wie heißt eine solche Operation?
Die zur Differentiation umgekehrte Operation heißt Integration.
Finden einer Funktion durch eine gegebene Ableitung - Integration.
Die Funktion selbst wird Stammfunktion genannt, d. h. das Bild, aus dem die Ableitung der Funktion erhalten wurde.
Die Stammfunktion wird normalerweise mit einem Großbuchstaben $y=F"(x)=f(x)$ geschrieben.

Definition. Die Funktion $y=F(x)$ heißt die Stammfunktion $y=f(x)$ auf dem Intervall X, wenn $F’(x)=f(x)$ für jedes $xϵX$ wahr ist.

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Stammfunktionen für erstellen verschiedene Funktionen. Es sollte als Erinnerung ausgedruckt und auswendig gelernt werden.

In unserer Tabelle wurden keine Anfangsbedingungen angegeben. Das bedeutet, dass jedem Ausdruck auf der rechten Seite der Tabelle eine Konstante hinzugefügt werden muss. Wir werden diese Regel später verfeinern.

Regeln zum Finden von Stammfunktionen

Lassen Sie uns einige Regeln aufschreiben, die uns beim Auffinden von Stammfunktionen helfen werden. Sie alle ähneln den Differenzierungsregeln.

Regel 1 Die Stammfunktion einer Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Beispiel.
Finden Sie die Stammfunktion für die Funktion $y=4x^3+cos(x)$.
Entscheidung.
Die Stammfunktion der Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen, dann müssen Sie die Stammfunktion für jede der vorgestellten Funktionen finden.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sünde(x)$.
Dann lautet die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion: $y=x^4+sin(x)$ oder eine beliebige Funktion der Form $y=x^4+sin(x)+C$.

Regel 2 Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$ ist, dann ist $k*F(x)$ eine Stammfunktion zu $k*f(x)$.(Wir können den Koeffizienten getrost aus der Funktion nehmen).

Beispiel.
Finden Sie Stammfunktionen von Funktionen:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Entscheidung.
a) Die Stammfunktion von $sin(x)$ ist minus $cos(x)$. Dann nimmt die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion die Form an: $y=-8cos(x)$.

B) Die Stammfunktion für $cos(x)$ ist $sin(x)$. Dann nimmt die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion die Form an: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) Die Stammfunktion für $x^2$ ist $\frac(x^3)(3)$. Die Stammfunktion für x ist $\frac(x^2)(2)$. Die Stammfunktion für 1 ist x. Dann nimmt die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion die Form an: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regel 3 Wenn $y=F(x)$ die Stammfunktion der Funktion $y=f(x)$ ist, dann ist die Stammfunktion der Funktion $y=f(kx+m)$ die Funktion $y=\frac(1). )(k)* F(kx+m)$.

Beispiel.
Finden Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sünde(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Entscheidung.
a) Die Stammfunktion für $cos(x)$ ist $sin(x)$. Dann ist die Stammfunktion für die Funktion $y=cos(7x)$ die Funktion $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Die Stammfunktion für $sin(x)$ ist minus $cos(x)$. Dann ist die Stammfunktion für die Funktion $y=sin(\frac(x)(2))$ die Funktion $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) (2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Die Stammfunktion für $x^3$ ist $\frac(x^4)(4)$, dann ist die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion $y=-\frac(1)(2)*\frac((( -2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Wir vereinfachen den Ausdruck leicht hoch $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist sie selbst Exponentialfunktion. Die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion ist $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Satz. Wenn $y=F(x)$ die Stammfunktion für die Funktion $y=f(x)$ auf dem Intervall X ist, dann hat die Funktion $y=f(x)$ unendlich viele Stammfunktionen, und alle haben die Form $y=F(x)+C$.

Wenn es in allen oben betrachteten Beispielen erforderlich wäre, die Menge aller Stammfunktionen zu finden, dann müsste die Konstante C überall hinzugefügt werden.
Für die Funktion $y=cos(7x)$ haben alle Stammfunktionen die Form: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Für die Funktion $y=(-2x+3)^3$ haben alle Stammfunktionen die Form: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Beispiel.
Finden Sie nach dem gegebenen Gesetz der Änderung der Körpergeschwindigkeit ab dem Zeitpunkt $v=-3sin(4t)$ das Bewegungsgesetz $S=S(t)$, wenn der Körper zum Anfangszeitpunkt eine Koordinate von 1,75 hatte.
Entscheidung.
Da $v=S'(t)$, müssen wir die Stammfunktion für eine gegebene Geschwindigkeit finden.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Bei diesem Problem wird eine zusätzliche Bedingung angegeben - der anfängliche Zeitpunkt. Das bedeutet, dass $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Dann wird das Bewegungsgesetz durch die Formel: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$ beschrieben.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1. Finden Sie Stammfunktionen von Funktionen:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Finden Sie Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sünde(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Finden Sie nach dem gegebenen Gesetz der Änderung der Körpergeschwindigkeit ab dem Zeitpunkt $v=4cos(6t)$ das Bewegungsgesetz $S=S(t)$, wenn der Körper zum Anfangszeitpunkt eine Koordinate gleich 2 hatte .

Zu jeder mathematischen Wirkung gibt es eine Umkehrwirkung. Für die Aktion der Differentiation (Finden von Ableitungen von Funktionen) gibt es auch eine umgekehrte Aktion - Integration. Mittels Integration wird eine Funktion durch ihre gegebene Ableitung oder ihr Differential gefunden (wiederhergestellt). Die gefundene Funktion wird aufgerufen Primitive.

Definition. Differenzierbare Funktion F(x) heißt Stammfunktion für die Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall, wenn für alle X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit: F'(x)=f(x).

Beispiele. Finde Stammfunktionen für Funktionen: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Da (x²)′=2x, dann ist per Definition die Funktion F (x)=x² die Stammfunktion für die Funktion f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Wenn wir f (x)=3cos3x und F (x)=sin3x bezeichnen, dann haben wir nach der Definition der Stammfunktion: F′(x)=f (x), und daher ist F (x)=sin3x eine Stammfunktion für f ( x)=3cos3x.

Beachten Sie, dass und (sin3x +5 )′= 3cos3x, und (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... in allgemeiner Form können wir schreiben: (sin3x +C)′= 3cos3x, wo Mit- etwas Konstante. Diese Beispiele sprechen von der Mehrdeutigkeit der Integrationswirkung im Gegensatz zur Differenzierungswirkung, wenn jede differenzierbare Funktion eine einzige Ableitung hat.

Definition. Wenn die Funktion F(x) ist die Stammfunktion für die Funktion f(x) In einem bestimmten Intervall hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form:

F(x)+C wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.

Die Menge aller Stammfunktionen F (x) + C der Funktion f (x) auf dem betrachteten Intervall heißt unbestimmtes Integral und wird mit dem Symbol bezeichnet ∫ (Integralzeichen). Aufschreiben: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ausdruck ∫f(x)dx lesen: "das Integral ef von x nach de x".

f(x)dx ist der Integrand,

f(x) ist der Integrand,

X ist die Integrationsvariable.

F(x) ist die Stammfunktion für die Funktion f(x),

Mit ist ein konstanter Wert.

Nun können die betrachteten Beispiele wie folgt geschrieben werden:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Was bedeutet das Zeichen d?

d- Differentialzeichen - hat einen doppelten Zweck: Erstens trennt dieses Zeichen den Integranden von der Integrationsvariablen; zweitens wird alles nach diesem Vorzeichen standardmäßig differenziert und mit dem Integranden multipliziert.

Beispiele. Integrale finden: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Nach Differentialsymbol d Kosten XX, a R

∫ 2хрdx=px²+С. Vergleiche mit Beispiel 1).

Lassen Sie uns einen Check machen. F′(x)=(px²+C)′=p (x²)′+C′=p 2x=2px=f (x).

4) Nach Differentialsymbol d Kosten R. Also die Integrationsvariable R, und der Multiplikator X sollte als konstanter Wert betrachtet werden.

∫ 2хрdр=р²х+С. Vergleichen Sie mit Beispielen 1) und 3).

Lassen Sie uns einen Check machen. F′(p)=(p²x+C)′=x (p²)′+C′=x 2p=2px=f (p).