Lyudmila Prokofievna Kalugina (oder einfach „Mymra“) lehrte Novoselzev in dem wunderbaren Film „Office Romance“: „Statistik ist eine Wissenschaft, sie toleriert keine Annäherung.“ Um nicht in die heiße Hand des strengen Chefs Kalugina zu geraten (und gleichzeitig Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen und dem Akademischen Staatsexamen mit Elementen der Statistik problemlos zu lösen), werden wir versuchen, einige der Konzepte der Statistik zu verstehen das kann nicht nur auf dem dornenreichen Weg zur Bewältigung der Prüfung im Einheitlichen Staatsexamen nützlich sein, sondern auch einfach im Alltag.

Was ist also Statistik und warum wird sie benötigt? Das Wort „Statistik“ kommt vom lateinischen Wort „status“ (Zustand), was soviel wie „Stand und Stand der Dinge/Dinge“ bedeutet. Die Statistik befasst sich mit der Untersuchung der quantitativen Seite sozialer Massenphänomene und -prozesse in numerischer Form, wobei besondere Muster aufgedeckt werden. Heute wird Statistik in fast allen Bereichen des öffentlichen Lebens verwendet, von Mode, Kochen, Gartenarbeit bis hin zu Astronomie, Wirtschaft und Medizin.

Wenn Sie sich mit Statistiken vertraut machen, müssen Sie zunächst die wichtigsten statistischen Merkmale untersuchen, die für die Datenanalyse verwendet werden. Nun, fangen wir damit an!

Statistische Merkmale

Die wichtigsten statistischen Merkmale einer Datenstichprobe (was ist eine „Stichprobe“ sonst!? Keine Angst, alles ist unter Kontrolle, das ist ein unverständliches Wort nur zur Einschüchterung, tatsächlich bedeutet das Wort „Stichprobe“ nur die Daten die Sie untersuchen werden) umfassen:

1. Stichprobengröße,
2. Stichprobengröße,
3. arithmetische Mittel,
4. Mode,
5. Median,
6. Frequenz,
7. relative Frequenz.

Halt halt halt! Wie viele neue Wörter! Reden wir über alles der Reihe nach.

Volumen und Spanne

Die folgende Tabelle zeigt beispielsweise die Körpergröße von Fußballspielern:

Dieses Beispiel wird durch Elemente dargestellt. Somit ist die Stichprobengröße gleich.

Die Reichweite der vorgestellten Probe beträgt cm.

Arithmetische Mittel

Nicht sehr klar? Schauen wir uns unsere an Beispiel.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Größe der Spieler.

Na, fangen wir an? Das haben wir bereits herausgefunden; .

Wir können sofort mutig alles in unsere Formel einsetzen:

So beträgt die durchschnittliche Körpergröße eines Nationalspielers cm.

Naja, oder so Beispiel:

Schüler der 9. Klasse sollten eine Woche lang möglichst viele Beispiele aus dem Aufgabenheft lösen. Die Anzahl der von den Schülern in einer Woche gelösten Beispiele ist unten angegeben:

Finde die durchschnittliche Anzahl gelöster Probleme.

In der Tabelle werden uns also Daten zu Studenten präsentiert. Auf diese Weise, . Nun, lassen Sie uns zuerst die Summe (Gesamtzahl) aller gelösten Probleme von zwanzig Schülern finden:

Jetzt können wir sicher mit der Berechnung des arithmetischen Mittels der gelösten Probleme fortfahren, da wir wissen, dass a:

Im Durchschnitt lösten also Schüler der 9. Klasse die Aufgaben.

Hier ist ein weiteres Beispiel zur Verstärkung.

Beispiel.

Auf dem Markt werden Tomaten von Verkäufern verkauft, und die Preise pro kg verteilen sich wie folgt (in Rubel): . Was ist der durchschnittliche Preis für ein Kilogramm Tomaten auf dem Markt?

Lösung.

Was ist also in diesem Beispiel gleich? Richtig: Sieben Verkäufer bieten sieben Preise an, das heißt ! . Nun, wir haben alle Komponenten herausgefunden, jetzt können wir mit der Berechnung des Durchschnittspreises beginnen:

Na, hast du verstanden? Dann zählen Sie selbst arithmetische Mittel in den folgenden Proben:

Antworten: .

Modus und Median

Kommen wir zurück zu unserem Fußballteam-Beispiel:

Was ist der Modus in diesem Beispiel? Was ist die häufigste Zahl in dieser Stichprobe? Das ist richtig, das ist eine Zahl, da zwei Spieler cm groß sind; das Wachstum anderer Spieler wird nicht wiederholt. Hier sollte alles klar und verständlich sein, und das Wort ist bekannt, oder?

Kommen wir zum Median, den solltest du aus dem Geometriekurs kennen. Aber es fällt mir nicht schwer, mich daran in der Geometrie zu erinnern Median(übersetzt aus dem Lateinischen - „Mitte“) - ein Segment innerhalb eines Dreiecks, das die Spitze des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet. Stichwort MITTE. Wenn Sie diese Definition kennen, können Sie sich leicht daran erinnern, was ein Median in der Statistik ist.

Nun, zurück zu unserer Stichprobe von Fußballspielern?

Ist Ihnen bei der Definition des Medians ein wichtiger Punkt aufgefallen, dem wir hier noch nicht begegnet sind? Natürlich "wenn diese Reihe bestellt wird"! Sollen wir Ordnung schaffen? Um Ordnung in der Zahlenreihe zu haben, ist es möglich, die Höhenwerte der Spieler sowohl absteigend als auch aufsteigend anzuordnen. Es ist bequemer für mich, diese Reihe in aufsteigender Reihenfolge (vom kleinsten zum größten) aufzubauen. Das ist, was ich tat:

Also, die Reihe wurde geordnet, was ist sonst noch ein wichtiger Punkt bei der Bestimmung des Medians? Richtige, gerade und ungerade Anzahl von Mitgliedern in der Stichprobe. Ist Ihnen aufgefallen, dass sogar die Definitionen für gerade und ungerade Zahlen unterschiedlich sind? Ja, du hast Recht, es ist schwer, es nicht zu bemerken. Und wenn ja, dann müssen wir entscheiden, ob die Anzahl der Spieler in unserer Stichprobe gerade oder ungerade ist? Das ist richtig - Spieler, also ist die Zahl ungerade! Jetzt können wir auf unsere Stichprobe eine weniger knifflige Definition des Medians für eine ungerade Anzahl von Mitgliedern in der Stichprobe anwenden. Wir suchen eine Nummer, die sich in unserer geordneten Serie als in der Mitte herausgestellt hat:

Nun, wir haben Zahlen, was bedeutet, dass fünf Zahlen an den Rändern verbleiben, und die Höhe cm wird der Median in unserer Stichprobe sein. Nicht so schwierig, oder?

Und jetzt schauen wir uns ein Beispiel mit unseren verzweifelten Jungs aus der 9. Klasse an, die unter der Woche Beispiele gelöst haben:

Sind Sie bereit, in dieser Serie nach Modus und Median zu suchen?

Lassen Sie uns zuerst diese Reihe von Zahlen anordnen (von der kleinsten Zahl zur größten anordnen). Das Ergebnis ist diese Zeile:

Jetzt können wir die Mode in diesem Beispiel sicher bestimmen. Welche Nummer ist die häufigste? Alles ist richtig, ! Auf diese Weise, Mode in diesem Beispiel ist gleich.

Wir haben die Mode gefunden, jetzt können wir anfangen, den Median zu finden. Aber sagen Sie mir zuerst: Was ist die fragliche Stichprobengröße? Hast du gezählt? Das ist richtig, die Stichprobengröße ist die gleiche. Und das gerade Zahl. Wir wenden also die Definition des Medians für eine Reihe von Zahlen mit einer geraden Anzahl von Elementen an. Das heißt, wir müssen in unserer geordneten Serie finden arithmetische Mittel zwei Zahlen in der Mitte. Welche zwei Zahlen liegen in der Mitte? Das ist richtig, und!

Der Median dieser Reihe wird also sein arithmetische Mittel Zahlen und:

- Median als Muster angesehen.

Häufigkeit und relative Häufigkeit

Also Frequenz legt fest, wie oft der eine oder andere Wert in der Probe wiederholt wird.

Schauen wir uns unser Beispiel mit Fußballspielern an. Vor uns liegt eine solche geordnete Reihe:

Frequenz ist die Anzahl der Wiederholungen eines Parameterwerts. In unserem Fall kann es so betrachtet werden. Wie viele Spieler sind groß? Das ist richtig, ein Spieler. Daher ist die Häufigkeit, einen Spieler mit Körpergröße in unserer Stichprobe zu treffen, gleich. Wie viele Spieler sind groß? Ja, wieder ein Spieler. Die Häufigkeit, einen Spieler mit Körpergröße in unserer Stichprobe zu treffen, ist gleich. Indem Sie diese Fragen stellen und beantworten, können Sie eine Tabelle wie diese erstellen:

Nun, alles ist ganz einfach. Denken Sie daran, dass die Summe der Häufigkeiten gleich der Anzahl der Elemente in der Stichprobe (Stichprobengröße) sein muss. Das heißt in unserem Beispiel:

Kommen wir zum nächsten Merkmal – der relativen Häufigkeit.

Kommen wir zurück zu unserem Fußballspieler-Beispiel. Wir haben die Häufigkeiten für jeden Wert berechnet, wir kennen auch die Gesamtdatenmenge in der Reihe. Wir berechnen die relative Häufigkeit für jeden Wachstumswert und erhalten die folgende Tabelle:

Und jetzt machen Sie selbst Tabellen mit Häufigkeiten und relativen Häufigkeiten für ein Beispiel mit 9-Klässlern, die Probleme lösen.

Grafische Darstellung der Daten

Sehr oft werden Daten der Übersichtlichkeit halber in Form von Diagrammen / Grafiken dargestellt. Werfen wir einen Blick auf die wichtigsten:

1. Balkendiagramm,
2. Kuchendiagramm,
3. Balkendiagramm,
4. Polygon

Balkendiagramm

Säulendiagramme werden verwendet, wenn sie die Dynamik von Datenänderungen im Laufe der Zeit oder die Verteilung von Daten zeigen möchten, die als Ergebnis einer statistischen Studie erhalten wurden.

Zum Beispiel haben wir folgende Daten über die Noten eines schriftlichen Kontrollarbeit in einer Klasse:

Die Anzahl derjenigen, die eine solche Bewertung erhalten haben, ist das, was wir haben Frequenz. Wenn wir das wissen, können wir eine Tabelle wie diese erstellen:

Jetzt können wir visuelle Balkendiagramme basierend auf einem solchen Indikator wie erstellen Frequenz(die horizontale Achse zeigt die Noten; die vertikale Achse zeigt die Anzahl der Studierenden, die die entsprechenden Noten erhalten haben):

Oder wir können das entsprechende Balkendiagramm basierend auf der relativen Häufigkeit zeichnen:

Betrachten Sie ein Beispiel des Aufgabentyps B3 aus der Prüfung.

Beispiel.

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Erdölförderung in den Ländern der Welt (in Tonnen) für das Jahr 2011. Unter den Ländern wurde der erste Platz in der Ölförderung von besetzt Saudi-Arabien, siebter Platz - die Vereinigten Arabischen Emirate. Wo waren die USA?

Antworten: Dritter.

Kuchendiagramm

Für eine visuelle Darstellung der Beziehung zwischen Teilen der untersuchten Probe ist es bequem zu verwenden Kreisdiagramme.

Aus unserer Platte mit den relativen Häufigkeiten der Notenverteilung in der Klasse können wir ein Tortendiagramm erstellen, indem wir den Kreis in Sektoren aufteilen, die proportional zu den relativen Häufigkeiten sind.

Das Tortendiagramm behält seine Sichtbarkeit und Aussagekraft nur bei wenigen Teilen der Bevölkerung. In unserem Fall gibt es vier solcher Teile (nach möglichen Schätzungen), daher ist die Verwendung dieser Art von Diagramm recht effektiv.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Art von Aufgabe 18 aus dem GIA.

Beispiel.

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Familienausgaben während eines Badeurlaubs. Bestimmen Sie, wofür die Familie am meisten ausgegeben hat?

Antworten: Unterkunft.

Vieleck

Die Dynamik von Änderungen statistischer Daten im Laufe der Zeit wird oft mit einem Polygon dargestellt. Um ein Polygon zu erstellen, markieren Sie in Koordinatenebene Punkte, deren Abszisse Zeitmomente und deren Ordinaten die entsprechenden statistischen Daten sind. Indem diese Punkte in Reihe mit Segmenten verbunden werden, wird eine unterbrochene Linie erhalten, die als Polygon bezeichnet wird.

Hier sind zum Beispiel die durchschnittlichen monatlichen Lufttemperaturen in Moskau angegeben.

Machen wir die gegebenen Daten visueller - bauen wir ein Polygon.

Monate sind auf der horizontalen Achse dargestellt, Temperaturen sind auf der vertikalen Achse dargestellt. Wir bauen die entsprechenden Punkte und verbinden sie. Folgendes ist passiert:

Stimmen Sie zu, es wurde sofort klarer!

Ein Polygon wird auch verwendet, um die Verteilung von Daten zu visualisieren, die als Ergebnis einer statistischen Studie erhalten wurden.

Hier ist das konstruierte Polygon basierend auf unserem Beispiel mit der Verteilung der Punkte:

Erwägen typische Aufgabe B3 von der Prüfung.

Beispiel.

Die fetten Punkte in der Abbildung zeigen den Aluminiumpreis zum Börsenschluss an allen Werktagen von August bis August. Horizontal sind die Monatsdaten angegeben, vertikal der Preis einer Tonne Aluminium in US-Dollar. Zur Verdeutlichung sind fettgedruckte Punkte in der Figur durch eine Linie verbunden. Bestimmen Sie anhand der Zahl, an welchem ​​Datum der Aluminiumpreis bei Handelsschluss für einen bestimmten Zeitraum am niedrigsten war.

Antworten: .

Balkendiagramm

Intervalldatenreihen werden mit einem Histogramm dargestellt. Das Histogramm ist eine Stufenfigur aus geschlossenen Rechtecken. Die Basis jedes Rechtecks ​​ist gleich der Länge des Intervalls und die Höhe ist gleich der Häufigkeit oder relativen Häufigkeit. Bei einem Histogramm sind also, anders als bei einem normalen Balkendiagramm, die Basen des Rechtecks ​​nicht willkürlich gewählt, sondern streng durch die Länge des Intervalls bestimmt.

Hier liegen uns beispielsweise folgende Daten zum Zuwachs an Spielern vor, die in die Nationalmannschaft berufen wurden:

Also sind wir gegeben Frequenz(Anzahl Spieler mit entsprechender Körpergröße). Wir können die Tabelle vervollständigen, indem wir die relative Häufigkeit berechnen:

Nun, jetzt können wir Histogramme erstellen. Zunächst bauen wir auf der Grundlage der Frequenz auf. Folgendes ist passiert:

Nun, basierend auf den relativen Häufigkeitsdaten:

Beispiel.

zur Ausstellung auf innovative Technologien Firmenvertreter kamen. Die Grafik zeigt die Verteilung dieser Unternehmen nach Anzahl der Beschäftigten. Die horizontale Linie zeigt die Anzahl der Mitarbeiter im Unternehmen und die vertikale Linie die Anzahl der Unternehmen mit einer bestimmten Anzahl von Mitarbeitern.

Wie viel Prozent sind Unternehmen mit einer Gesamtzahl von Mitarbeitern mehr Menschen?

Antworten: .

Kurze Zusammenfassung

Stichprobengröße- die Anzahl der Elemente in der Probe.

Probenbereich- die Differenz zwischen den Maximal- und Minimalwerten der Probenelemente.

Arithmetisches Mittel einer Reihe von Zahlen ist der Quotient aus der Division der Summe dieser Zahlen durch ihre Anzahl (Stichprobengröße).

Zahlenreihe Mode- die Nummer, die in dieser Serie am häufigsten vorkommt.

Medianeine geordnete Zahlenreihe mit ungerader Mitgliederzahl ist die Zahl in der Mitte.

Median einer geordneten Zahlenreihe mit gerader Gliederzahl- das arithmetische Mittel zweier in der Mitte geschriebener Zahlen.

Frequenz- die Anzahl der Wiederholungen eines bestimmten Parameterwerts in der Probe.

Relative Frequenz

Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist es zweckmäßig, Daten in Form geeigneter Diagramme / Grafiken darzustellen

• ELEMENTE DER STATISTIK. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE.

Statistische Stichproben- eine bestimmte Anzahl von Forschungsobjekten, ausgewählt aus der Gesamtzahl der Objekte.

Die Stichprobengröße ist die Anzahl der Elemente in der Stichprobe.

Der Bereich der Probe ist die Differenz zwischen den maximalen und minimalen Werten der Probenelemente.

Oder Probenbereich

Arithmetische Mittel eine Reihe von Zahlen ist der Quotient der Division der Summe dieser Zahlen durch ihre Anzahl

Der Modus einer Zahlenreihe ist die Zahl, die in einer gegebenen Reihe am häufigsten vorkommt.

Der Median einer Zahlenreihe mit gerader Gliederzahl ist das arithmetische Mittel zweier in der Mitte geschriebener Zahlen, wenn diese Reihe sortiert ist.

Die Häufigkeit ist die Anzahl der Wiederholungen, wie oft während eines bestimmten Zeitraums ein Ereignis aufgetreten ist, sich eine bestimmte Eigenschaft eines Objekts manifestiert hat oder ein beobachteter Parameter einen bestimmten Wert erreicht hat.

Relative Frequenz ist das Verhältnis von Frequenz zu Gesamtzahl Daten hintereinander.

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

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Aber das ist nicht die Hauptsache.

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Verbreitungsgebiet- Dies ist eine Zahlenfolge, die den qualitativen oder quantitativen Wert des Merkmals und die Häufigkeit seines Auftretens angibt.

Die Arten von Ausschüttungsreihen werden nach unterschiedlichen Prinzipien klassifiziert.

Je nach Ordnungsgrad sind die Zeilen unterteilt in:

ungeordnet

bestellt

Ungeordnete Reihe- Dies ist eine Serie, in der die Werte des Attributs in der Reihenfolge aufgezeichnet werden, in der die Varianten während der Studie eingehen.

Beispiel: Bei der Untersuchung der Körpergröße einer Gruppe von Studenten wurden ihre Werte in cm (175.170.168.173.179) aufgezeichnet.

geordnete Reihe ist eine Reihe, die aus einer ungeordneten Reihe gewonnen wird, in der die Merkmalswerte in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge überschrieben werden. Eine geordnete Serie wird als Rangfolge bezeichnet, und das Rangfolgeverfahren

(Ordnen) heißt Sortieren.

Beispiel: (Höhe 168,170,173,175,179)

Je nach Art des Merkmals werden die Verteilungsserien unterteilt in:

attributiv

variabel.

Attributserie- Dies ist eine Serie, die auf der Grundlage eines qualitativen Merkmals zusammengestellt wurde.

Variationsreihe- Dies ist eine Reihe, die auf der Grundlage eines quantitativen Attributs zusammengestellt wurde.

Variationsreihen werden in diskrete, kontinuierliche und Intervallreihen unterteilt.

Variationsdiskrete, kontinuierliche und Intervallreihen werden nach dem entsprechenden Merkmal benannt, das der Reihenbildung zugrunde liegt. Zum Beispiel ist eine Reihe nach Schuhgröße diskret nach Körpergewicht - kontinuierlich.

Methoden zur Darstellung von Reihen in der praktischen und wissenschaftlichen Medizin werden in drei Gruppen eingeteilt:

Tabellenansicht;

Analytische Darstellung (in Form einer Formel);

Grafische Darstellung.

1. Die einfachste Tabelle besteht aus zwei Spalten oder zwei Zeilen, von denen eine die Werte des Attributs enthält x ich in einer geordneten Form und in der anderen - die relative oder absolute Häufigkeit ihres Auftretens n ich , F ich .

Beispiel: Tabellarische Ansicht der Noten in einer Gruppe x ich und die Anzahl der Studenten, die sie erhalten haben n ich .

x ich
n ich

2. Die grafische Darstellung der Reihe basiert auf tabellarischen Daten. Diagramme werden in einem rechteckigen Koordinatensystem erstellt, in dem die Werte des Merkmals immer horizontal aufgetragen werden x ich , und vertikal absolute oder relative Häufigkeit n ich .

Die wichtigsten Möglichkeiten zur Darstellung von Diagrammen:

Balkendiagramm.

Balkendiagramm

Frequenzpolygon.

Variations-(Frequenz-)Kurve.

Balkendiagramm- Dies ist ein Diagramm der Darstellung einer Reihe in Form von vertikalen geraden Liniensegmenten, deren Position auf der Horizontalen durch den Wert des Merkmals bestimmt wird und deren Länge proportional zu seinem absoluten oder relativen ist Frequenz.

Beispiel: ein Balkendiagramm für Gruppennoten.

n ich

5 4 3 2XI

Typischerweise werden Balkendiagramme für diskret gegebene Features mit einer kleinen Anzahl von Optionen erstellt.

Balkendiagramm- Dies ist ein Diagramm in Form einer abgestuften Figur aus nebeneinander liegenden Rechtecken, deren Basen die Intervalle von Merkmalswerten sind und deren Höhen proportional zur Häufigkeit oder Häufigkeit (der Anzahl der fallenden Objekte) sind ins Intervall). Die Flächen der Rechtecke entsprechen der Anzahl der Gruppen im gegebenen Intervall.

Histogramme sind Diagramme von Intervallreihen. Sie werden hauptsächlich für große Bevölkerungszahlen gebaut.

Beispiel: Histogramm der Normalverteilung roter Blutkörperchen im menschlichen Blut. Horizontal - Zellendurchmesser x ich (mk), vertikal - Frequenz n ich die Anzahl der Zellen im Intervall.

n ich

2 4 6 8 10 12 x ich

POligon (Polygon) Frequenzen- ein Diagramm einer Reihe, dargestellt durch eine gestrichelte Linie eines Punktes - dessen Scheitelpunkte den Mittelpunkten der Intervalle entsprechen und die Höhe des Punktes über der Horizontalen proportional zur Frequenz oder Frequenz ist.

Polygone werden für kontinuierliche und diskrete Variationsreihen in den Fällen erstellt, in denen die Durchschnittswerte des Attributs in den Intervallen zugewiesen werden. Für kontinuierliche Verteilungsreihen sind Polygone Histogrammen vorzuziehen

Beispiel: ein Polygon von Häufigkeiten basierend auf einem Histogramm der Verteilung von Erythrozyten im menschlichen Blut.

n ich

2 4 6 8 10 12 x ich

Variations-(Frequenz-)Kurve- Reihendiagramm, das unter der Bedingung erhalten wird, dass das Volumen der Population gegen unendlich geht ( n→∞) , und die Länge des Intervalls selbst geht gegen Null (Δ x→0) .

Für praktische statistische Berechnungen werden vier Gruppen von Häufigkeitsverteilungen als Standards identifiziert:

1. Rechteckige Verteilung.

   Glockenförmige unimodale (Single-Top) Verteilung.

   Bimodale (two-top) Verteilung.

   Exponentialverteilung:

wachsend,

abnehmend.

n ich

x ich

x ich

x ich

x ich

Die rechteckige Verteilung unterliegt zufälligen gleichwahrscheinlichen Ereignissen.

Eine breite Klasse von Phänomenen unterliegt einer glockenförmigen symmetrischen Verteilung (Indikatoren für geistige und körperliche Entwicklung, Größe, Gewicht usw.). In der Praxis wird die häufigste symmetrische unimodale Verteilung, also ihre klassische Form, als Normalverteilung bezeichnet.

Die bimodale Verteilung entspricht beispielsweise den Leistungen von Studierenden mit und ohne längere Studienunterbrechung.

Eine exponentiell abnehmende Verteilung entspricht der Einkommensverteilung in einer kapitalistischen Gesellschaft (Häufigkeit nimmt mit steigendem Einkommen ab).

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Zusammenfassung der Algebrastunde in der 7. Klasse

Thema der Lektion: "MEDIAN DER BESTELLTEN REIHE".

Eremenko Tatyana Alekseevna, Lehrer der Lake School-Zweigstelle der MKOU Burkovskaya-Sekundarschule
Ziele:
das Konzept des Medians als statistisches Merkmal einer geordneten Reihe; um die Fähigkeit zu bilden, den Median für geordnete Reihen mit gerader und ungerader Anzahl von Mitgliedern zu finden; die Fähigkeit zu bilden, die Werte des Medians in Abhängigkeit von der praktischen Situation zu interpretieren, das Konzept der arithmetischen Mittelmenge von Zahlen zu festigen. Entwickeln Sie selbstständige Arbeitsfähigkeiten. Bauen Sie ein Interesse an Mathematik auf.
Während des Unterrichts

Mündliche Arbeit.
Zeilen sind gegeben: 1) 4; ein; 8; fünf; ein; 2) ; neun; 3; 0,5; ; 3) 6; 0,2; ; 4; 6; 7.3; 6. Finden Sie: a) die größte und kleinster Wert jede Reihe; b) der Bereich jeder Reihe; c) die Mode jeder Reihe.
II. Erklärung des neuen Materials.
Lehrbucharbeit. 1. Betrachten Sie das Problem aus Absatz 10 des Lehrbuchs. Was bedeutet geordnete Reihe? Ich betone, dass Sie die Datenreihen immer sortieren müssen, bevor Sie den Median finden. 2. An der Tafel lernen wir die Regeln zur Medianbildung für Reihen mit gerader und ungerader Gliederzahl kennen:
Median

ordentlich

Reihe
Zahlen
von

seltsam

Anzahl

Mitglieder
rief die in der Mitte geschriebene Nummer an und
Median

geordnete Reihe
Zahlen
mit gerader Mitgliederzahl
heißt das arithmetische Mittel zweier in der Mitte geschriebener Zahlen.
Median

willkürlich

Reihe
wird Median 1 3 1 7 5 4 genannt

entsprechende bestellte Serie.
Ich stelle fest, dass die Indikatoren das arithmetische Mittel, der Modus und der Median für sind

anders

charakterisieren

Daten,

empfangen

Ergebnis

Beobachtungen.

III. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.
1. Gruppe. Übungen zur Anwendung von Formeln zur Bestimmung des Medians einer geordneten und einer ungeordneten Reihe. ein.
№ 186.
Lösung: a) Anzahl der Mitglieder der Reihe P= 9; Median Mir= 41; B) P= 7, die Zeile ist geordnet, Mir= 207; in) P= 6, die Zeile ist geordnet, Mir== 21; G) P= 8, die Zeile ist geordnet, Mir== 2.9. Antwort: a) 41; b) 207; mit 21; d) 2.9. Die Schüler kommentieren, wie der Median ermittelt wird. 2. Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und den Median einer Reihe von Zahlen: a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; in) ; 1. b) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Lösung: Um den Median zu finden, muss jede Zeile sortiert werden: a) 21, 23, 27, 29, 31, 34. P = 6; x = = 27,5; Mir = = 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 +

b) 56, 58, 62, 64, 66, 74. P = 6; x = 63,3; Mir== 63; in) ; ein. P = 5; x = : 5 = 3: 5 = 0,6; Mir = . 3.
№ 188
(oral). Antwort: ja; b) nein; c) nein; d) ja. 4. Zu wissen, dass die bestellte Serie enthält T Zahlen, wo T eine ungerade Zahl ist, geben Sie die Zahl des Terms an, der der Median ist, wenn T ist gleich: a) 5; b) 17; c) 47; d) 201. Antwort: a) 3; b) 9; c) 24; d) 101. 2. Gruppe. Praktische Aufgaben zur Ermittlung des Medians der entsprechenden Reihe und Interpretation des Ergebnisses. ein.
№ 189.
Lösung: Anzahl der Zeilenmitglieder P= 12. Um den Median zu finden, muss die Reihe geordnet werden: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Median der Reihe Mir= = 176. Die monatliche Produktion war größer als der Median für die folgenden Mitglieder des Artels: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 22 xx + + =

1) Kwitko; 4) Bobkow; 2) Baranow; 5) Rylow; 3) Antonow; 6) Astafjew. Antwort: 176. 2.
№ 192.
Lösung: Lassen Sie uns die Datenreihen anordnen: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; Anzahl der Zeilenmitglieder P= 20. Streichen EIN = x max- x min = 42 - 30 = 12. Modus Mo= 32 (dieser Wert kommt 6 mal vor - häufiger als andere). Median Mir= = 35. In diesem Fall zeigt der Bereich die größte Zeitspreizung für die Bearbeitung des Teils; der Modus zeigt den typischsten Wert der Verarbeitungszeit; Median ist die Bearbeitungszeit, die die Hälfte der Wender nicht überschritten hat. Antwort: 12; 32; 35.
IV. Zusammenfassung der Lektion.
Was ist der Median einer Reihe von Zahlen? – Kann der Median einer Zahlenreihe mit keiner der Zahlen der Reihe übereinstimmen? – Welche Zahl ist der Median einer geordneten Reihe, die 2 enthält P Zahlen? 2 P– 1 Zahlen? Wie findet man den Median einer ungeordneten Reihe?
Hausaufgaben:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

Als Ergebnis der Systematisierung und Verarbeitung von Primärmaterialien der statistischen Beobachtung werden geordnete Reihen digitaler Indikatoren erhalten, die entweder die Veränderung der Größe eines Phänomens im Laufe der Zeit charakterisieren (eine Reihe von Dynamiken, die im Thema "Serien von Dynamik") oder die Verteilung von Bevölkerungseinheiten nach verschiedenen unterschiedlichen Merkmalen in der Statik (Verteilungsreihen).

Verbreitungsgebiet- Dies ist eine Reihe digitaler Indikatoren, die die Verteilung von Bevölkerungseinheiten nach einem Merkmal darstellen, deren Sorten in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind.

Die Elemente der Verteilungsreihe sind: Optionen und Frequenzen.

Optionen ( ) Die einzelnen Werte des Gruppierungsattributs, die es in der Variationsreihe annimmt, werden aufgerufen. Varianten können durch positive und negative Zahlen ausgedrückt werden, absolut und relativ. Zahlen, die angeben, wie oft bestimmte Optionen in einer Verteilungsreihe vorkommen, nennt man Häufigkeiten (). Die Anzahl der Einheiten in jeder Gruppe kann nicht nur durch die Anzahl der Einheiten ausgedrückt werden (Frequenzen), sondern auch in Anteilen (Prozent) an der Gesamtzahl der Bevölkerungseinheiten (häufig). Die Summe der Häufigkeiten ist 1, wenn sie als Bruchteil von eins ausgedrückt wird, und 100 %, wenn sie als Prozentsatz ausgedrückt wird.

Je nach statistischer Natur der Varianten werden zwei Arten von Verteilungsreihen unterschieden: attributiv und variabel.

Zeilen basierend auf qualitatives Merkmal, namens attributiv(z. B. die Verteilung der Bevölkerung nach Geschlecht, die Verteilung von Unternehmen nach Eigentumsform usw.).

Die Verteilungsreihen nach einem quantitativen Merkmal werden genannt variabel(Verteilung der Bevölkerung nach Einkommen, Verteilung der Banken nach Vermögen).

Da die Variation eines Merkmals diskret (diskontinuierlich) und kontinuierlich sein kann, gibt es diskrete und kontinuierliche (Intervall-) Variationsreihen. Bei diskreten Variationsreihen werden die Werte der Varianten als ganze Zahlen ausgedrückt und unterscheiden sich durch einen genau definierten Wert (eine oder mehrere Einheiten). Beispiele für diskrete Variationsreihen sind: die Verteilung der Familien nach der Anzahl der Kinder, die Verteilung der Wohnungen nach der Anzahl der Zimmer usw.

Bei einer kontinuierlichen Variation eines Zeichens kann sein Wert sowohl ganzzahlige als auch gebrochene Werte annehmen, dh beliebige Werte in einem bestimmten Intervall (Alter, Betriebszugehörigkeit, Gewinn usw.). Bei Verteilungsreihen mit gleichen Intervallen geben die Häufigkeiten eine Vorstellung davon, wie stark das Intervall mit Bevölkerungseinheiten gefüllt ist. Für Verteilungsreihen mit ungleichen Intervallen wird zum Vergleich der Belegung der Intervalle die Verteilungsdichte berechnet, also die Anzahl der Bevölkerungseinheiten (Häufigkeit, Häufigkeit) pro Einheit der Intervallbreite im Mittel. Die Verteilungsdichte kann absolut (das Verhältnis der Häufigkeit zur Breite des Intervalls) und relativ (das Verhältnis der Häufigkeit zur Breite des Intervalls) sein.

Auf den kumulierten Häufigkeiten (Häufigkeiten) kann die Verteilungsreihe aufgebaut werden, die zeigt, wie viele Einheiten einen Variantenwert haben, der nicht größer als ein gegebener ist. Solche Verteilungsreihen werden kumulativ genannt.

Zur Darstellung von Verteilungsreihen werden verschiedene Grafiken verwendet.

So lässt sich die Verteilung der Bevölkerung der Region nach Wohnort anhand eines Tortendiagramms darstellen (Abb. 5.1).

Reis. 5.1. Verteilung der Bevölkerung der Region nach Orten

Lineare und planare Diagramme, die in einem rechteckigen Koordinatensystem konstruiert sind, werden verwendet, um Variationsreihen darzustellen.

Diskrete Variationsreihen, deren Varianten als ganze Zahlen ausgedrückt werden, werden als dargestellt Verbreitungsgebiet. Das Verteilungspolygon ist ein geschlossenes Polygon, dessen Abszissen die Werte des variierenden Attributs und die Ordinaten die ihnen entsprechenden Häufigkeiten oder Häufigkeiten sind (Abb. 5.2).

Abb.5.2. Verteilung der Singles und Familien der Stadt nach der Anzahl der

Leben.

Die grafische Darstellung fortlaufender Variationsreihen erfolgt über das sogenannte Histogramm. Um ein Histogramm auf der Abszissenachse zu erstellen, legen Sie gemäß dem akzeptierten Maßstab die Grenzen der Intervalle fest, auf denen die Rechtecke erstellt werden. Die Höhen dieser Rechtecke sind proportional zu den Verteilungsdichten der entsprechenden Intervalle. Auf Abb. 4.3 zeigt ein Histogramm der Verteilung der Bevölkerung der Region in Bezug auf das durchschnittliche monatliche Pro-Kopf-Gesamteinkommen im Jahr 2000.

Abb.5.3. Verteilung der Bevölkerung der Region nach der Größe des Durchschnitts pro Kopf

Gesamteinkommen pro Monat im Jahr 2000. (je nach Budget

Familienbefragung).

Bei ungleichen Intervallen wird das Histogramm nur aus der Verteilungsdichte aufgebaut.

Eine Summenkurve (kumulativ) wird auch zur grafischen Darstellung von Variationsreihen verwendet. Um es aufzubauen, wird der Wert eines diskreten Merkmals (oder der Intervallgrenze) auf der Abszissenachse aufgetragen, und die inkrementellen Summen von Häufigkeiten oder Häufigkeiten, die diesen Merkmalswerten (oder den oberen Grenzen des Intervalls) entsprechen, werden aufgetragen die Ordinatenachse. Die kumulierte Verteilung der Bevölkerung der Region nach der Größe des durchschnittlichen Pro-Kopf-Gesamteinkommens pro Monat ist in Abbildung 5.4 dargestellt.

Abb.5.4. Kumulative Verteilung der Bevölkerung der Region nach Größe

durchschnittliches Pro-Kopf-Gesamteinkommen pro Monat im Jahr 2000.

(nach Haushaltserhebungen bei Familien).

Mit Hilfe von Summenkurven lässt sich der Konzentrationsprozess grafisch darstellen. Zur grafischen Darstellung des Konzentrationsphänomens werden kumulative Summen von Indikatoren verwendet. Dazu ist es notwendig, in der Gruppentabelle neben den Summen der kumulierten Häufigkeiten auch die Summen der kumulierten Werte der wichtigsten Merkmale (Gruppierung an erster Stelle) in Prozent ausgedrückt zu haben von allen. Die kumulativen Summen der Häufigkeiten sind auf der Abszissenachse aufgetragen, und die entsprechenden kumulativen Summen der Indikatoren sind auf der Ordinatenachse aufgetragen. Durch die Verbindung der so gefundenen Punkte mit Liniensegmenten erhält man unterbrochene Linien, die als Konzentrationskurven bezeichnet werden.

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