Konzentration der Aufmerksamkeit:

Definition. Funktion Art heißt Exponentialfunktion .

Kommentar. Basisausschluss a Zahlen 0; 1 und negative Werte a durch folgende Umstände erklärt:

Der analytische Ausdruck selbst ein x in diesen Fällen behält es seine Bedeutung und kann bei der Problemlösung angetroffen werden. Zum Beispiel für den Ausdruck x y Punkt x = 1; j = 1 im Bereich enthalten zulässige Werte.

Erstellen Sie Funktionsgraphen: und .

Graph einer Exponentialfunktion
y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Eigenschaften der Exponentialfunktion	y= a x, a > 1	y= a x , 0< a < 1
Funktionsumfang
2. Bereich der Funktionswerte
3. Vergleichsintervalle mit der Einheit	beim x> 0, ein x > 1	beim x > 0, 0< a x < 1
	beim x < 0, 0< a x < 1	beim x < 0, a x > 1
4. Gerade, ungerade.	Die Funktion ist weder gerade noch ungerade (function Gesamtansicht).
5. Monotonie.	steigt monoton um R	nimmt monoton um ab R
6. Extreme.	Die Exponentialfunktion hat keine Extrema.
7.Asymptote	Achse O x ist eine horizontale Asymptote.
8. Für alle realen Werte x und j;

Wenn der Tisch gefüllt ist, werden Aufgaben parallel zum Füllen gelöst.

Aufgabe Nummer 1. (Um den Definitionsbereich der Funktion zu finden).

Welche Argumentwerte gelten für Funktionen:

Aufgabe Nummer 2. (Um den Bereich der Funktion zu finden).

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion. Legen Sie Umfang und Umfang der Funktion fest:

Aufgabennummer 3. (Um die Vergleichsintervalle mit der Einheit anzugeben).

Vergleichen Sie jede der folgenden Kräfte mit einer:

Aufgabe Nummer 4. (Um die Funktion für Monotonie zu untersuchen).

Vergleichen Sie reelle Zahlen nach Größe m und n Wenn:

Aufgabe Nummer 5. (Um die Funktion für Monotonie zu untersuchen).

Machen Sie eine Schlussfolgerung über die Basis a, Wenn:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

Wie verhalten sich die Graphen der Exponentialfunktionen zueinander für x > 0, x = 0, x< 0?

Ein Koordinatenebene Funktionsgraphen werden aufgebaut:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .

Wie verhalten sich die Graphen der Exponentialfunktionen zueinander für x > 0, x = 0, x< 0?

Anzahl eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Per Definition, es gleich dem Grenzwert der Folge mit unbegrenzt zunehmend n . Bezeichnung e eingeführt Leonhard Euler im Jahr 1736. Er berechnete die ersten 23 Ziffern dieser Zahl in Dezimalschreibweise, und die Zahl selbst wurde nach Napier "Nicht-Peer-Nummer" benannt. Anzahl e spielt eine besondere Rolle in der mathematischen Analyse. Exponentialfunktion mit basis e, heißt Exponent und bezeichnet y = e x. Erste Anzeichen Zahlen e leicht zu erinnern: zwei, ein Komma, sieben, das Geburtsjahr von Leo Tolstoi - zweimal, fünfundvierzig, neunzig, fünfundvierzig.

Hausaufgaben:

Kolmogorow S. 35; Nr. 445-447; 451; 453.

Wiederholen Sie den Algorithmus zum Erstellen von Graphen von Funktionen, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten.

Wissen grundlegende Elementarfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen nicht weniger wichtig als die Kenntnis des Einmaleins. Sie sind wie ein Fundament, alles basiert auf ihnen, alles ist darauf aufgebaut, und alles hängt von ihnen ab.

In diesem Artikel listen wir alle wichtigen Elementarfunktionen auf, geben ihre Graphen an und geben sie ohne Herleitung und Beweise an. Eigenschaften elementarer Grundfunktionen nach Schema:

• Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereichs, vertikale Asymptoten (siehe ggf. Artikel Klassifikation von Knickstellen einer Funktion);
• geraden und ungeraden;
• Konvexität (Konvexität nach oben) und Konkavität (Konvexität nach unten) Intervalle, Wendepunkte (siehe ggf. Artikel Funktion Konvexität, Konvexitätsrichtung, Wendepunkte, Konvexität und Wendebedingungen);
• schräge und horizontale Asymptoten;
• singuläre Punkte von Funktionen;
• besondere Eigenschaften einiger Funktionen (z. B. die kleinste positive Periode für trigonometrische Funktionen).

Wenn Sie an oder interessiert sind, können Sie zu diesen Abschnitten der Theorie gehen.

Grundlegende elementare Funktionen sind: konstante Funktion (constant), Wurzel n-ten Grades, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, logarithmische Funktion, trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen.

Seitennavigation.

Dauerhafte Funktion.

Eine konstante Funktion ist auf der Menge aller reellen Zahlen durch die Formel gegeben, wobei C eine reelle Zahl ist. Die konstante Funktion weist jedem reellen Wert der unabhängigen Variablen x denselben Wert der abhängigen Variablen y zu - den Wert С. Eine konstante Funktion wird auch als Konstante bezeichnet.

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine gerade Linie, die parallel zur x-Achse verläuft und durch einen Punkt mit den Koordinaten (0,C) verläuft. Lassen Sie uns zum Beispiel Graphen der konstanten Funktionen y=5 , y=-2 und zeigen, die in der Abbildung unten den schwarzen, roten bzw. blauen Linien entsprechen.

Eigenschaften einer konstanten Funktion.

• Definitionsbereich: die Gesamtheit der reellen Zahlen.
• Die konstante Funktion ist gerade.
• Wertebereich: Set bestehend aus Singular MIT .
• Eine konstante Funktion ist nicht steigend und nicht fallend (deshalb ist sie konstant).
• Es macht keinen Sinn, über die Konvexität und Konkavität der Konstanten zu sprechen.
• Es gibt keine Asymptote.
• Die Funktion geht durch den Punkt (0,C) der Koordinatenebene.

Die Wurzel des n-ten Grades.

Betrachten Sie die elementare Hauptfunktion, die durch die Formel gegeben ist, wobei n ist natürliche Zahl, größer als eins.

Die Wurzel des n-ten Grades, n ist eine gerade Zahl.

Beginnen wir mit der n-ten Wurzelfunktion für gerade Werte des Wurzelexponenten n .

Zum Beispiel geben wir ein Bild mit Bildern von Funktionsgraphen und entsprechen schwarzen, roten und blauen Linien.

Die Diagramme der Funktionen der Wurzel eines geraden Grades sehen für andere Werte des Indikators ähnlich aus.

Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades für gerade n .

Die Wurzel des n-ten Grades, n ist eine ungerade Zahl.

Die Wurzelfunktion n-ten Grades mit ungeradem Exponenten der Wurzel n ist auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definiert. Zum Beispiel präsentieren wir Funktionsgraphen und entsprechen ihnen die schwarzen, roten und blauen Kurven.

Für andere ungerade Werte des Wurzelexponenten sehen die Graphen der Funktion ähnlich aus.

Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades für ungerade n .

Power-Funktion.

Die Potenzfunktion wird durch eine Formel der Form gegeben.

Betrachten Sie die Art der Diagramme Machtfunktion und Eigenschaften der Potenzfunktion in Abhängigkeit vom Wert des Exponenten.

Beginnen wir mit einer Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten a . In diesem Fall hängen die Form von Graphen von Potenzfunktionen und die Eigenschaften von Funktionen vom geraden oder ungeraden Exponenten sowie von seinem Vorzeichen ab. Daher betrachten wir zunächst Potenzfunktionen für ungerade positive Werte des Exponenten a , dann für gerade positive, dann für ungerade negative Exponenten und schließlich für gerade negative a .

Die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten (sowie die Art der Graphen solcher Potenzfunktionen) hängen vom Wert des Exponenten a ab. Wir betrachten sie erstens, wenn a von null bis eins reicht, zweitens, wenn a größer als eins ist, drittens, wenn a von minus eins bis null reicht, und viertens, wenn a kleiner als minus eins ist.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts beschreiben wir der Vollständigkeit halber eine Potenzfunktion mit Exponent Null.

Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten, also mit a=1,3,5,… .

Die folgende Abbildung zeigt Diagramme von Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie, - grüne Linie. Für a=1 haben wir lineare Funktion y=x .

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten.

Potenzfunktion mit geradem positiven Exponenten.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit geradem positiven Exponenten, also für a=2,4,6,… .

Nehmen wir als Beispiel Graphen von Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie. Für a=2 haben wir quadratische Funktion, dessen Graph ist quadratische Parabel.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit geradem positivem Exponenten.

Potenzfunktion mit ungeradem negativem Exponenten.

Betrachten Sie die Diagramme der Potenzfunktion für ungerade negative Werte Exponent, also wenn a=-1,-3,-5,… .

Die Abbildung zeigt beispielhaft Graphen von Exponentialfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie, - grüne Linie. Für a=-1 haben wir umgekehrte Proportionalität, dessen Graph ist Hyperbel.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit ungeradem negativem Exponenten.

Potenzfunktion mit geradem negativen Exponenten.

Kommen wir zur Potenzfunktion bei a=-2,-4,-6,….

Die Abbildung zeigt Graphen der Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit geradem negativen Exponenten.

Eine Potenzfunktion mit einem rationalen oder irrationalen Exponenten, dessen Wert größer als null und kleiner als eins ist.

Beachten Sie! Wenn a ein positiver Bruch mit ungeradem Nenner ist, dann betrachten einige Autoren das Intervall als den Bereich der Potenzfunktion. Gleichzeitig wird festgelegt, dass der Exponent a ein irreduzibler Bruch ist. Jetzt DEFINIEREN die Autoren vieler Lehrbücher über Algebra und die Anfänge der Analyse keine Potenzfunktionen mit einem Exponenten in Form eines Bruchs mit einem ungeraden Nenner für negative Werte des Arguments. Wir werden an genau einer solchen Ansicht festhalten, das heißt, wir werden die Bereiche von Potenzfunktionen mit gebrochenen positiven Exponenten als die Menge betrachten. Wir ermutigen die Schüler, die Perspektive Ihres Lehrers zu diesem subtilen Punkt einzuholen, um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit rationalem oder irrationalem Exponenten a , und .

Wir präsentieren Graphen von Potenzfunktionen für a=11/12 (schwarze Linie), a=5/7 (rote Linie), (blaue Linie), a=2/5 (grüne Linie).

Eine Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen rationalen oder irrationalen Exponenten größer als eins.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen rationalen oder irrationalen Exponenten a , und .

Lassen Sie uns die Graphen der Potenzfunktionen präsentieren, die durch die Formeln gegeben sind (jeweils schwarze, rote, blaue und grüne Linien).

>

Für andere Werte des Exponenten a sehen die Graphen der Funktion ähnlich aus.

Potenzfunktionseigenschaften für .

Eine Potenzfunktion mit einem reellen Exponenten, der größer als minus eins und kleiner als null ist.

Beachten Sie! Wenn a ein negativer Bruch mit ungeradem Nenner ist, betrachten einige Autoren das Intervall . Gleichzeitig wird festgelegt, dass der Exponent a ein irreduzibler Bruch ist. Jetzt DEFINIEREN die Autoren vieler Lehrbücher über Algebra und die Anfänge der Analyse keine Potenzfunktionen mit einem Exponenten in Form eines Bruchs mit einem ungeraden Nenner für negative Werte des Arguments. Wir werden an genau einer solchen Ansicht festhalten, das heißt, wir werden die Bereiche von Potenzfunktionen mit gebrochenen gebrochenen negativen Exponenten jeweils als die Menge betrachten. Wir ermutigen die Schüler, die Perspektive Ihres Lehrers zu diesem subtilen Punkt einzuholen, um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden.

Wir gehen zur Potenzfunktion über, wo .

Um eine gute Vorstellung von der Art der Potenzfunktionsgraphen für zu bekommen, geben wir Beispiele für Funktionsgraphen (jeweils schwarze, rote, blaue und grüne Kurven).

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit Exponent a , .

Eine Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen reellen Exponenten, der kleiner als minus eins ist.

Lassen Sie uns Beispiele für Graphen von Potenzfunktionen für geben , sie sind in schwarzen, roten, blauen bzw. grünen Linien dargestellt.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen negativen Exponenten kleiner als minus eins.

Wenn a = 0 und wir haben eine Funktion - dies ist eine gerade Linie, von der der Punkt (0; 1) ausgeschlossen ist (dem Ausdruck 0 0 wurde zugestimmt, keine Bedeutung beizumessen).

Exponentialfunktion.

Eine der wichtigsten elementaren Funktionen ist Exponentialfunktion.

Der Graph der Exponentialfunktion, wobei und je nach Wert der Basis a eine andere Form annimmt. Finden wir es heraus.

Betrachten Sie zunächst den Fall, dass die Basis der Exponentialfunktion einen Wert von Null bis Eins annimmt, also .

Zum Beispiel präsentieren wir die Graphen der Exponentialfunktion für a = 1/2 - die blaue Linie, a = 5/6 - die rote Linie. Die Graphen der Exponentialfunktion haben ein ähnliches Aussehen für andere Werte der Basis aus dem Intervall .

Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit einer Basis kleiner als eins.

Wir wenden uns dem Fall zu, wenn die Basis der Exponentialfunktion größer als eins ist, also .

Zur Veranschaulichung präsentieren wir Graphen von Exponentialfunktionen - die blaue Linie und - die rote Linie. Für andere Werte der Basis, größer als eins, haben die Graphen der Exponentialfunktion ein ähnliches Aussehen.

Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit einer Basis größer als eins.

Logarithmische Funktion.

nächste Hauptsache elementare Funktion ist die logarithmische Funktion , wobei , . Die logarithmische Funktion ist nur für positive Werte des Arguments definiert, also für .

Plan Logarithmische Funktion nimmt je nach Wert der Basis a eine andere Form an.

Mehrheitsbeschluss Mathe Probleme irgendwie mit der Transformation von numerischen, algebraischen oder funktionalen Ausdrücken verbunden. Dies gilt insbesondere für die Lösung. In den USE-Varianten Mathematik gehört zu diesem Aufgabentyp insbesondere die Aufgabe C3. Das Erlernen der Lösung von C3-Aufgaben ist nicht nur für den Erfolg wichtig Bestehen der Prüfung, sondern auch aus dem Grund, dass diese Fähigkeit für das Studium eines Mathematikstudiums an Hochschulen nützlich ist.

Bei den Aufgaben C3 müssen Sie verschiedene Arten von Gleichungen und Ungleichungen lösen. Darunter sind rationale, irrationale, exponentielle, logarithmische, trigonometrische, enthaltende Module ( absolute Werte) sowie kombinierte. In diesem Artikel werden die wichtigsten Arten von Exponentialgleichungen und -ungleichungen sowie verschiedene Methoden zu ihrer Lösung beschrieben. Lesen Sie mehr über das Lösen anderer Arten von Gleichungen und Ungleichungen in der Überschrift "" in Artikeln, die Methoden zum Lösen von C3-Problemen gewidmet sind USE-Optionen Mathematik.

Bevor Sie mit der Analyse von spezifischen fortfahren Exponentialgleichungen und Ungleichungen, als Mathe-Nachhilfelehrer schlage ich vor, dass Sie einiges an theoretischem Material auffrischen, das wir brauchen werden.

Exponentialfunktion

Was ist eine Exponentialfunktion?

Ansichtsfunktion j = ein x, wo a> 0 und a≠ 1, genannt Exponentialfunktion.

Hauptsächlich Exponentialfunktion Eigenschaften j = ein x:

Graph einer Exponentialfunktion

Der Graph der Exponentialfunktion ist Aussteller:

Graphen von Exponentialfunktionen (Exponenten)

Lösung von Exponentialgleichungen

indikativ werden Gleichungen genannt, in denen die unbekannte Variable nur in Exponenten beliebiger Potenzen vorkommt.

Für Lösungen Exponentialgleichungen Sie müssen den folgenden einfachen Satz kennen und anwenden können:

Satz 1. Exponentialgleichung a f(x) = a g(x) (wo a > 0, a≠ 1) entspricht der Gleichung f(x) = g(x).

Darüber hinaus ist es nützlich, sich die grundlegenden Formeln und Aktionen mit Abstufungen zu merken:

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Beispiel 1 Löse die Gleichung:

Entscheidung: Verwenden Sie die obigen Formeln und Substitution:

Die Gleichung lautet dann:

Diskriminante erhalten quadratische Gleichung positiv:

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Das bedeutet es gegebene Gleichung hat zwei Wurzeln. Wir finden sie:

Zurück zur Substitution erhalten wir:

Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, da die Exponentialfunktion über den gesamten Definitionsbereich streng positiv ist. Lösen wir die zweite:

Unter Berücksichtigung dessen, was in Theorem 1 gesagt wurde, gehen wir zur äquivalenten Gleichung über: x= 3. Dies ist die Antwort auf die Aufgabe.

Antworten: x = 3.

Beispiel 2 Löse die Gleichung:

Entscheidung: Die Gleichung hat keine Einschränkungen im Bereich der zulässigen Werte, da der Wurzelausdruck für jeden Wert sinnvoll ist x(Exponentialfunktion j = 9 4 -x positiv und ungleich Null).

Wir lösen die Gleichung durch äquivalente Transformationen unter Verwendung der Regeln der Multiplikation und Division von Potenzen:

Der letzte Übergang wurde gemäß Theorem 1 durchgeführt.

Antworten:x= 6.

Beispiel 3 Löse die Gleichung:

Entscheidung: beide Seiten der ursprünglichen Gleichung können durch 0,2 geteilt werden x. Dieser Übergang ist äquivalent, da dieser Ausdruck für jeden Wert größer als Null ist x(Die Exponentialfunktion ist in ihrem Bereich streng positiv). Dann nimmt die Gleichung die Form an:

Antworten: x = 0.

Beispiel 4 Löse die Gleichung:

Entscheidung: Wir vereinfachen die Gleichung durch äquivalente Transformationen zu einer elementaren Gleichung, indem wir die Regeln der Division und Multiplikation von Potenzen verwenden, die am Anfang des Artikels angegeben sind:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 4 x, wie im vorherigen Beispiel, ist eine äquivalente Transformation, da gegebenen Ausdruck für keinen Wert gleich Null x.

Antworten: x = 0.

Beispiel 5 Löse die Gleichung:

Entscheidung: Funktion j = 3x, die auf der linken Seite der Gleichung steht, nimmt zu. Funktion j = —x-2/3, auf der rechten Seite der Gleichung stehend, nimmt ab. Das heißt, wenn sich die Graphen dieser Funktionen schneiden, dann höchstens an einem Punkt. In diesem Fall ist leicht zu erraten, dass sich die Graphen an diesem Punkt schneiden x= -1. Es wird keine anderen Wurzeln geben.

Antworten: x = -1.

Beispiel 6 Löse die Gleichung:

Entscheidung: Wir vereinfachen die Gleichung durch äquivalente Transformationen, wobei wir überall berücksichtigen, dass die Exponentialfunktion für jeden Wert strikt größer als Null ist x und unter Verwendung der am Anfang des Artikels angegebenen Regeln zur Berechnung des Produkts und der Teilpotenzen:

Antworten: x = 2.

Exponentielle Ungleichungen lösen

indikativ Ungleichungen genannt, bei denen die unbekannte Variable nur in den Exponenten einiger Potenzen enthalten ist.

Für Lösungen exponentielle Ungleichungen Voraussetzung ist die Kenntnis des folgenden Satzes:

Satz 2. Wenn ein a> 1, dann die Ungleichung a f(x) > a g(x) entspricht einer gleichbedeutenden Ungleichung: f(x) > g(x). Wenn 0< a < 1, то exponentielle Ungleichheit a f(x) > a g(x) entspricht einer Ungleichung der entgegengesetzten Bedeutung: f(x) < g(x).

Beispiel 7 Lösen Sie die Ungleichung:

Entscheidung: Stellen Sie die ursprüngliche Ungleichung in der Form dar:

Teilen Sie beide Seiten dieser Ungleichung durch 3 2 x, und (aufgrund der Positivität der Funktion j= 3 2x) ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht:

Lassen Sie uns eine Substitution verwenden:

Dann nimmt die Ungleichung die Form an:

Die Lösung der Ungleichung ist also das Intervall:

Wenn wir zur umgekehrten Substitution übergehen, erhalten wir:

Die linke Ungleichung ist aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion automatisch erfüllt. Unter Verwendung der bekannten Eigenschaft des Logarithmus gehen wir zur äquivalenten Ungleichung über:

Da die Basis des Grads eine Zahl größer als eins ist, wird Äquivalent (nach Satz 2) der Übergang zu der folgenden Ungleichung sein:

Also bekommen wir endlich Antworten:

Beispiel 8 Lösen Sie die Ungleichung:

Entscheidung: Unter Verwendung der Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen schreiben wir die Ungleichung in die Form um:

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:

Mit dieser Substitution nimmt die Ungleichung die Form an:

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit 7, erhalten wir die folgende äquivalente Ungleichung:

Die Ungleichung wird also durch die folgenden Werte der Variablen erfüllt t:

Wenn wir dann zur Substitution zurückkehren, erhalten wir:

Da die Basis des Grades hier größer als eins ist, geht man (nach Satz 2) äquivalent zur Ungleichung über:

Endlich bekommen wir Antworten:

Beispiel 9 Lösen Sie die Ungleichung:

Entscheidung:

Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch den Ausdruck:

Es ist immer größer als Null (weil die Exponentialfunktion positiv ist), sodass das Ungleichheitszeichen nicht geändert werden muss. Wir bekommen:

t , die im Intervall liegen:

Beim Übergang zur umgekehrten Substitution stellen wir fest, dass sich die ursprüngliche Ungleichung in zwei Fälle aufteilt:

Die erste Ungleichung hat wegen der Positivität der Exponentialfunktion keine Lösungen. Lösen wir die zweite:

Beispiel 10 Lösen Sie die Ungleichung:

Entscheidung:

Parabelzweige j = 2x+2-x 2 sind nach unten gerichtet, also nach oben begrenzt durch den Wert, den sie an ihrer Spitze erreicht:

Parabelzweige j = x 2 -2x+2, die im Indikator stehen, sind nach oben gerichtet, was bedeutet, dass er von unten durch den Wert begrenzt wird, den er oben erreicht:

Gleichzeitig erweist sich die Funktion als nach unten beschränkt j = 3 x 2 -2x+2 auf der rechten Seite der Gleichung. Sie erreicht sie der kleinste Wert an der gleichen Stelle wie die Parabel im Exponenten, und dieser Wert ist 3 1 = 3. Die ursprüngliche Ungleichung kann also nur wahr sein, wenn die linke und die rechte Funktion an einem Punkt den Wert 3 annehmen (durch der Schnittpunkt der Bereiche dieser Funktionen ist nur diese Zahl). Diese Bedingung ist an einem einzigen Punkt erfüllt x = 1.

Antworten: x= 1.

Um zu lernen, wie man löst Exponentialgleichungen und Ungleichungen, Sie müssen ihre Lösung ständig trainieren. In dieser schwierigen Angelegenheit, verschiedene Lehrmittel, Aufgabenbücher der Grundmathematik, Sammlungen von Wettbewerbsaufgaben, Mathematikunterricht in der Schule, sowie Einzelsitzungen mit einem professionellen Tutor. Ich wünsche Ihnen von Herzen viel Erfolg bei der Vorbereitung und glänzende Ergebnisse bei der Prüfung.

Sergej Walerjewitsch

P.S. Liebe Gäste! Bitte schreiben Sie keine Anfragen zur Lösung Ihrer Gleichungen in die Kommentare. Dafür habe ich leider überhaupt keine Zeit. Solche Nachrichten werden gelöscht. Bitte lesen Sie den Artikel. Vielleicht finden Sie darin Antworten auf Fragen, mit denen Sie Ihre Aufgabe nicht alleine lösen konnten.

1. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form y(x) \u003d a x, abhängig vom Exponenten x, mit einem konstanten Wert der Basis des Grades a, wobei a > 0, a ≠ 0, xϵR (R ist die Menge der reellen Zahlen).

Prüfen Graph der Funktion, wenn die Basis die Bedingung nicht erfüllt: a>0
a) a< 0
Wenn ein< 0 – возможно возведение в целую степень или в rationaler Grad mit einer ungeraden Punktzahl.
a = -2

Wenn a = 0 - die Funktion y = ist definiert und hat einen konstanten Wert 0

c) ein \u003d 1
Wenn a = 1 - die Funktion y = ist definiert und hat einen konstanten Wert von 1

2. Betrachten Sie die Exponentialfunktion genauer:

0

Funktionsdomäne (OOF)

Bereich zulässiger Funktionswerte (ODZ)

3. Nullstellen der Funktion (y = 0)

4. Schnittpunkte mit der y-Achse (x = 0)

5. Zunehmende, abnehmende Funktion

Wenn , dann steigt die Funktion f(x).
Wenn , dann nimmt die Funktion f(x) ab
Funktion y= , bei 0 Die Funktion y \u003d steigt für a> 1 monoton an
Dies folgt aus den Monotonieeigenschaften des Grades c echter Indikator.

6. Gerade, ungerade Funktionen

Die Funktion y = ist nicht symmetrisch zur 0y-Achse und zum Ursprung, also weder gerade noch ungerade. (allgemeine Funktion)

7. Die Funktion y \u003d hat keine Extrema

8. Eigenschaften eines Grades mit reellem Exponenten:

Sei a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

Dann gilt für xϵR; yϵR:

Eigenschaften der Gradmonotonie:

wenn, dann
Zum Beispiel:

Wenn a > 0, dann .
Die Exponentialfunktion ist an jedem Punkt ϵ R stetig.

9. Relative Position der Funktion

Je größer die Basis a, desto näher an der x- und y-Achse

a > 1, a = 20

Wenn a0, dann nimmt die Exponentialfunktion eine Form nahe y = 0 an.
Wenn a1, dann weiter von der x- und y-Achse entfernt, und der Graph nimmt die Form nahe der Funktion y \u003d 1 an.

Beispiel 1
Zeichne y=

Exponentialfunktion

Funktion der Form y = a x , wobei a größer Null und a ungleich Eins ist, heißt Exponentialfunktion. Die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion:

1. Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist die Menge der reellen Zahlen.

2. Der Wertebereich der Exponentialfunktion ist die Menge aller positiven reellen Zahlen. Manchmal wird dieser Satz der Kürze halber als R+ bezeichnet.

3. Wenn in einer Exponentialfunktion die Basis a größer als eins ist, dann wird die Funktion über den gesamten Definitionsbereich wachsen. Wenn wir in der Exponentialfunktion zur Basis a haben nächste Bedingung 0

4. Alle grundlegenden Eigenschaften von Graden sind gültig. Die Haupteigenschaften von Graden werden durch die folgenden Gleichheiten dargestellt:

a x *a j = ein (x+y) ;

(a x )/(a j ) = ein (x-y) ;

(ein*b) x = (ein x )*(a j );

(a/b) x = ein x /b x ;

(a x ) j = ein (x*y) .

Diese Gleichheiten gelten für alle reellen Werte von x und y.

5. Der Graph der Exponentialfunktion geht immer durch den Punkt mit den Koordinaten (0;1)

6. Abhängig davon, ob die Exponentialfunktion zunimmt oder abnimmt, hat ihr Graph einen von zwei Typen.

Die folgende Abbildung zeigt einen Graphen einer steigenden Exponentialfunktion: a>0.

Die folgende Abbildung ist ein Diagramm einer abnehmenden Exponentialfunktion: 0

Sowohl der Graph der steigenden Exponentialfunktion als auch der Graph der fallenden Exponentialfunktion gehen gemäß der im fünften Absatz beschriebenen Eigenschaft durch den Punkt (0; 1).

7. Eine Exponentialfunktion hat keine Extrempunkte, dh mit anderen Worten, sie hat keine Minimal- und Maximalpunkte der Funktion. Wenn wir die Funktion für ein bestimmtes Segment betrachten, nimmt die Funktion die Minimal- und Maximalwerte an den Enden dieses Intervalls an.

8. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. Eine Exponentialfunktion ist eine allgemeine Funktion. Dies ist auch aus den Graphen ersichtlich, keiner von ihnen ist symmetrisch, weder um die Oy-Achse noch um den Ursprung.

Logarithmus

Logarithmen wurden immer berücksichtigt schwieriges Thema in Schulkurs Mathematik. Da sind viele unterschiedliche Definitionen Logarithmus, aber aus irgendeinem Grund verwenden die meisten Lehrbücher die komplexesten und erfolglosesten von ihnen.

Wir werden den Logarithmus einfach und klar definieren. Lassen Sie uns dafür eine Tabelle erstellen:

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz finden, mit der Sie eine Zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei in die vierte Potenz erheben. Und um 64 zu bekommen, musst du zwei hoch sechs potenzieren. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und jetzt - tatsächlich die Definition des Logarithmus:

Definition

Logarithmus Basis a aus Argument x ist die Potenz, zu der die Zahl erhoben werden muss a um die Nummer zu bekommen x.

Bezeichnung

Loga x = b
wobei a die Basis ist, x das Argument ist, b Was genau ist der Logarithmus.

Zum Beispiel 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Könnte genauso gut 2 64 = 6 loggen, weil 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu finden, wird aufgerufenLogarithmus . Also fügen wir unserer Tabelle eine neue Zeile hinzu:

Leider werden nicht alle Logarithmen so einfach berücksichtigt. Versuchen Sie zum Beispiel, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik diktiert, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Segment liegen wird. Denn 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können unbegrenzt geschrieben werden, und sie wiederholen sich nie. Wenn sich herausstellt, dass der Logarithmus irrational ist, belassen Sie ihn besser so: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass der Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen ist (Basis und Argument). Zuerst verwechseln viele Leute, wo die Basis und wo das Argument ist. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, werfen Sie einfach einen Blick auf das Bild:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition des Logarithmus. Denken Sie daran: Der Logarithmus ist eine Potenz , auf die Sie die Basis erhöhen müssen, um das Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die potenziert wird – im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Diese wunderbare Regel sage ich meinen Schülern in der allerersten Stunde – und es gibt keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden - es bleibt zu lernen, wie man Logarithmen zählt, d.h. das "log"-Zeichen loswerden. Das bemerken wir zunächst Aus der Definition ergeben sich zwei wichtige Tatsachen:

Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies folgt aus der Definition des Grades durch einen rationalen Exponenten, auf den sich die Definition des Logarithmus reduziert.

Die Basis muss sich von der Einheit unterscheiden, da eine Einheit für jede Macht immer noch eine Einheit ist. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Potenz muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Beschränkungen namens gültiger Bereich(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log ein x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachte das keine Begrenzung der Anzahl b (Logarithmuswert) nicht überlappt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1 .

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die ODZ des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden bereits von den Compilern der Probleme berücksichtigt. Aber wenn logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden die DHS-Anforderungen obligatorisch. Tatsächlich kann es in der Grundlage und Argumentation sehr starke Konstruktionen geben, die nicht unbedingt den obigen Einschränkungen entsprechen.

Jetzt Betrachten Sie das Allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen. Es besteht aus drei Schritten:

Stiftung einreichen a und Argument x als Potenz mit der kleinstmöglichen Basis größer als eins. Unterwegs ist es besser, Dezimalbrüche loszuwerden;

Entscheiden Sie sich für eine Variable b Gleichung: x = a b ;

Nummer erhalten b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Erweist sich der Logarithmus als irrational, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr relevant: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich zu Dezimalstellen: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche übersetzen, treten um ein Vielfaches weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Berechne den Logarithmus: log 5 25

Stellen wir die Basis und das Argument als Fünferpotenz dar: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Antwort erhalten: 2.

Berechnen Sie den Logarithmus:

Stellen wir die Basis und das Argument als Potenz von drei dar: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:

Habe die Antwort: -4.

−4

Berechne den Logarithmus: log 4 64

Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Antwort erhalten: 3.

Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Antwort erhalten: 0.

Berechne den Logarithmus: log 7 14

Stellen wir die Basis und das Argument als Potenz von sieben dar: 7 = 7 1 ; 14 wird nicht als Siebenerpotenz dargestellt, weil 7 1< 14 < 7 2 ;

Aus dem vorigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht berücksichtigt wird;

Die Antwort ist keine Änderung: log 7 14.

Protokoll 7 14

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicherstellen, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Ganz einfach - einfach in Primfaktoren zerlegen. Wenn die Zerlegung mindestens zwei enthält anderer Multiplikator, die Zahl ist keine exakte Potenz.

Finden Sie heraus, ob die genauen Potenzen der Zahl sind: 8; 48; 81; 35; vierzehn.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - der genaue Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - genauer Grad;
35 = 7 5 - wieder kein exakter Grad;
14 \u003d 7 2 - wieder kein genauer Grad;

8, 81 - exakter Grad; 48, 35, 14 - nr.

Beachten Sie auch, dass die Primzahlen selbst immer exakte Potenzen ihrer selbst sind.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so verbreitet, dass sie einen besonderen Namen und eine besondere Bezeichnung haben.

Definition

Dezimaler Logarithmus aus Argument x ist der Logarithmus zur Basis 10, d.h. die Potenz, mit der Sie die Zahl 10 erhöhen müssen, um die Zahl zu erhalten x.

Bezeichnung

lg x

Zum Beispiel log 10 = 1; Protokoll 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ im Lehrbuch erscheint, wissen Sie, dass dies kein Tippfehler ist. Das ist der dezimale Logarithmus. Wenn Sie eine solche Bezeichnung jedoch nicht gewohnt sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für Dezimalzahlen.

natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus mit eigener Notation. In gewisser Weise ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Es geht umüber den natürlichen Logarithmus.

Definition

natürlicher Logarithmus aus Argument x ist der Basislogarithmus e , d.h. die Potenz, zu der die Zahl erhoben werden muss e um die Nummer zu bekommen x.

Bezeichnung

In x

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e? Dies ist eine irrationale Zahl, ihr genauer Wert kann nicht gefunden und aufgeschrieben werden. Hier nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht näher darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass z ist die Basis des natürlichen Logarithmus:
ln x = log e x

Also ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus von jedem Rationale Zahl irrational. Außer natürlich Eins: ln 1 = 0.

Für Natürliche Logarithmen alle Regeln, die für gewöhnliche Logarithmen gelten, sind gültig.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die Grundeigenschaften genannt werden.

Diese Regeln müssen bekannt sein – kein einziges ernsthaftes Problem wird ohne sie gelöst. Logarithmisches Problem. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und log a y . Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

Protokoll ein x +log ein j = anmelden a ( x · j );

Protokoll ein x −log ein j = anmelden a ( x : j ).

So, Die Summe der Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier sind die gleichen Basen. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion " "). Schauen Sie sich die Beispiele an - und sehen Sie:

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 6 4 + log 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Basierend auf dieser Tatsache, viele Prüfungsunterlagen. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann der Exponent dieses Grads kann nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

Natürlich all diese Regeln machen Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0 Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Satz

Lass den Logarithmus loggen ein x . Dann für eine beliebige Zahl c so dass c > 0 und c ≠ 1 gilt die Gleichheit:

Insbesondere, wenn wir setzen c = x erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen zu finden numerische Ausdrücke. Wie bequem sie sind, kann man erst bei der Entscheidung beurteilen logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Jetzt lass uns loswerden dezimaler Logarithmus, Umzug in eine neue Basis:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall die Nummer n wird zum Exponenten des Arguments. Anzahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:grundlegende logarithmische Identität.

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele "hängen" daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe

Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Entscheidung

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 ist 8 - habe gerade das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

200

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Prüfungsaufgabe :)

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

log a a = 1 ist logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.

log a 1 = 0 ist logarithmische Null. Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Weil eine 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen!