Aufgabe 16:

Ist es möglich, 25 Rubel gegen zehn Banknoten im Wert von 1, 3 und 5 Rubel einzutauschen? Entscheidung:

Antwort: Nein

Petya kaufte ein gewöhnliches Notizbuch mit einem Umfang von 96 Blättern und nummerierte alle seine Seiten der Reihe nach mit Zahlen von 1 bis 192. Vasya riss 25 Blätter aus diesem Notizbuch heraus und addierte alle 50 Zahlen, die darauf geschrieben waren. Könnte er 1990 gemacht haben? Entscheidung:

Auf jedem Blatt ist die Summe der Seitenzahlen ungerade, und die Summe der 25 ungeraden Zahlen ist ungerade.

Das Produkt von 22 ganzen Zahlen ist gleich 1. Beweisen Sie, dass ihre Summe ungleich Null ist. Entscheidung:

Unter diesen Zahlen - gerade Zahl"Minuseinheiten", und damit die Summe gleich Null ist, müssen es genau 11 davon sein.

Kann man aus den ersten 36 Primzahlen ein magisches Quadrat machen? Entscheidung:

Unter diesen Zahlen ist eine (2) gerade und der Rest ungerade. Daher ist die Summe der Zahlen in der Zeile, in der es eine Zwei gibt, ungerade und in den anderen gerade.

Zahlen von 1 bis 10 werden in einer Reihe geschrieben.Ist es möglich, die Zeichen „+“ und „-“ dazwischen zu setzen, damit der Wert des resultierenden Ausdrucks gleich Null ist?

Hinweis: Bitte beachten Sie das negative Zahlen sind auch ungerade und gerade. Entscheidung:

Tatsächlich ist die Summe der Zahlen von 1 bis 10 55, und durch Ändern der Vorzeichen darin ändern wir den gesamten Ausdruck in eine gerade Zahl.

Der Grashüpfer springt in einer geraden Linie, und beim ersten Mal sprang er 1 cm in irgendeine Richtung, beim zweiten Mal sprang er 2 cm und so weiter. Beweisen Sie, dass er nach den Sprüngen von 1985 nicht dort sein kann, wo er angefangen hat. Entscheidung:

Hinweis: Die Summe 1 + 2 + … + 1985 ist ungerade.

Auf der Tafel stehen die Zahlen 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Es ist erlaubt, zwei beliebige Zahlen von der Tafel zu streichen und stattdessen den Betrag ihrer Differenz aufzuschreiben. Am Ende bleibt nur eine Zahl auf dem Brett. Kann es Null sein? Entscheidung:

Überprüfen Sie, dass die angezeigten Operationen die Parität der Summe aller auf der Tafel geschriebenen Zahlen nicht ändern.

Kann man ein Schachbrett so mit 1 × 2 Dominosteinen bedecken, dass nur die Felder a1 und h8 frei bleiben? Entscheidung:

Jeder Dominostein bedeckt ein schwarzes und ein weißes Feld, und wenn die Felder a1 und h8 ausgeworfen werden, gibt es 2 schwarze Felder weniger als weiße.

Zu der 17-stelligen Nummer wurde die Nummer hinzugefügt, die mit denselben Ziffern geschrieben wurde, jedoch in umgekehrter Reihenfolge. Beweisen Sie, dass mindestens eine Ziffer der resultierenden Summe gerade ist. Entscheidung:

Analysieren Sie zwei Fälle: Die Summe der ersten und letzten Ziffern der Zahl ist kleiner als 10, und die Summe der ersten und letzten Ziffern der Zahl ist nicht kleiner als 10. Nehmen wir an, dass alle Ziffern der Summe ungerade sind , dann sollte es im ersten Fall keinen einzigen Übertrag in den Ziffern geben (was offensichtlich zu einem Widerspruch führt), und im zweiten Fall wechselt das Vorhandensein eines Übertrags bei der Bewegung von rechts nach links oder von links nach rechts ohne Übertrag, und als Ergebnis erhalten wir, dass die Ziffer der Summe in der neunten Ziffer notwendigerweise gerade ist.

100 Leute hat der Volkstrupp, und jeden Abend gehen drei von ihnen in den Dienst. Kann sich nach einiger Zeit herausstellen, dass jeder genau einmal bei jedem Dienst hatte? Entscheidung:

Da er bei jeder Wache, an der diese Person teilnimmt, mit zwei anderen im Dienst ist, können alle anderen in Paare aufgeteilt werden. Allerdings ist 99 eine ungerade Zahl.

Auf der Geraden sind 45 Punkte markiert, die außerhalb der Strecke AB liegen. Beweisen Sie, dass die Summe der Entfernungen von diesen Punkten zu Punkt A nicht gleich der Summe der Entfernungen von diesen Punkten zu Punkt B ist. Entscheidung:

Für jeden Punkt X, der außerhalb von AB liegt, gilt AX - BX = ± AB. Wenn wir davon ausgehen, dass die Summen der Entfernungen gleich sind, dann erhalten wir, dass der Ausdruck ± AB ± AB ± … ± AB, an dem 45 Terme beteiligt sind, gleich Null ist. Aber das ist unmöglich.

Es gibt 9 Zahlen, die in einem Kreis angeordnet sind - 4 Einsen und 5 Nullen. Jede Sekunde wird die folgende Operation an den Zahlen durchgeführt: Null wird zwischen benachbarte Zahlen gesetzt, wenn sie unterschiedlich sind, und Eins, wenn sie gleich sind; Danach werden die alten Nummern gelöscht. Können nach einiger Zeit alle Zahlen gleich werden? Entscheidung:

Es ist klar, dass eine Kombination von neun Einsen vor neun Nullen nicht erhalten werden kann. Wenn es neun Nullen gab, hätten sich beim vorherigen Zug Nullen und Einsen abwechseln müssen, was unmöglich ist, da es nur eine ungerade Anzahl von ihnen gibt.

25 Jungen und 25 Mädchen sitzen an einem runden Tisch. Beweisen Sie, dass eine der Personen, die am Tisch sitzen, beide Nachbarsjungen hat. Entscheidung:

Führen wir unseren Widerspruchsbeweis. Wir nummerieren alle, die am Tisch sitzen, der Reihe nach, beginnend bei einem bestimmten Ort. Wenn an k-te Stelle ein Junge sitzt, ist klar, dass die (k - 2)-ten und (k + 2)-ten Plätze von Mädchen besetzt sind. Da es aber gleich viele Jungen und Mädchen gibt, gilt für jedes Mädchen, das auf dem n-ten Platz sitzt, dass die (n - 2)-ten und (n + 2)-ten Plätze von Jungen besetzt sind. Wenn wir jetzt nur die 25 Personen betrachten, die auf „ebenen“ Plätzen sitzen, dann bekommen wir, dass sich unter ihnen Jungen und Mädchen abwechseln, wenn sie in irgendeiner Richtung um den Tisch herumgehen. Aber 25 ist eine ungerade Zahl.

Die Schnecke kriecht mit konstanter Geschwindigkeit durch das Flugzeug und dreht sich alle 15 Minuten im rechten Winkel. Beweisen Sie, dass es erst nach einer ganzzahligen Anzahl von Stunden zum Ausgangspunkt zurückkehren kann. Entscheidung:

Es ist klar, dass die Anzahl a der Abschnitte, in denen die Schnecke nach oben oder unten gekrochen ist, gleich der Anzahl der Abschnitte ist, in denen sie nach rechts oder nach links gekrochen ist. Es bleibt nur festzuhalten, dass a gerade ist.

Drei Heuschrecken spielen Bockspringen auf einer geraden Linie. Jedes Mal springt einer über den anderen (aber nicht über zwei auf einmal!). Können sie nach dem Sprung von 1991 zu ihren ursprünglichen Positionen zurückkehren? Entscheidung:

Bezeichne die Heuschrecken A, B und C. Nennen wir die Anordnungen der Heuschrecken ABC, BCA und CAB (von links nach rechts) richtig und ACB, BAC und CBA falsch. Es ist leicht einzusehen, dass sich bei jedem Sprung die Art der Anordnung ändert.

Es gibt 101 Münzen, davon 50 Fälschungen, die sich im Gewicht um 1 Gramm von den echten unterscheiden. Petya nahm eine Münze und für eine wiegt er auf der Waage mit einem Pfeil, der den Gewichtsunterschied auf den Bechern anzeigt, er will feststellen, ob es sich um eine Fälschung handelt. Kann er es tun? Entscheidung:

Sie müssen diese Münze beiseite legen und dann die restlichen 100 Münzen in zwei Stapel mit 50 Münzen aufteilen und die Gewichte dieser Stapel vergleichen. Wenn sie sich um eine gerade Anzahl von Gramm unterscheiden, ist die Münze, an der wir interessiert sind, echt. Wenn der Unterschied zwischen den Gewichten ungerade ist, dann ist die Münze gefälscht.

Kann man die Zahlen von 1 bis 9 einmal hintereinander schreiben, so dass zwischen eins und zwei, zwei und drei, ..., acht und neun eine ungerade Stellenzahl entsteht? Entscheidung:

Andernfalls würden alle Zahlen in der Reihe an Stellen mit der gleichen Parität stehen.

Diese Arbeit Petya kaufte ein gemeinsames Notizbuch mit einem Volumen von 96 Blättern und nummerierte alle Seiten der Reihe nach mit Nummern von 1 bis 192. Vasya zog (Control) im Thema (AHD and die Finanzanalyse), wurde von den Spezialisten unseres Unternehmens nach Maß gefertigt und hat seine Verteidigung erfolgreich bestanden. Arbeit - Petya kaufte ein gemeinsames Notizbuch mit einem Volumen von 96 Blättern und nummerierte alle seine Seiten der Reihe nach mit Nummern von 1 bis 192. Vasya zog sich zum Thema AHD und Finanzanalyse zurück, was sein Thema und die logische Komponente seiner Offenlegung widerspiegelt Das Wesen des untersuchten Themas wird offengelegt, die wichtigsten Bestimmungen und Leitideen werden zu diesem Thema hervorgehoben.
Arbeit - Petya kaufte ein gemeinsames Notizbuch mit einem Volumen von 96 Blättern und nummerierte alle Seiten der Reihe nach mit Nummern von 1 bis 192. Vasya riss es heraus, enthält: Tabellen, Zeichnungen, die neuesten literarischen Quellen, das Jahr der Einreichung und Verteidigung von die Arbeit - 2017. In der Arbeit kaufte Petya ein gemeinsames Notizbuch mit 96 Blättern und nummerierte alle seine Seiten in der Reihenfolge der Nummern von 1 bis 192. Vasya zog heraus (AHD und Finanzanalyse) die Relevanz des Forschungsthemas wird offenbart, Der Grad der Entwicklung des Problems wird reflektiert, basierend auf einer tiefen Einschätzung und Analyse von wissenschaftlichen und Methodische Literatur, in der Arbeit zum Thema AHD und Finanzanalyse der Analysegegenstand und seine Fragestellungen umfassend betrachtet werden, sowohl von der theoretischen als auch von der praktischen Seite, das Ziel und konkrete Aufgabenstellungen des betrachteten Themas formuliert werden, gibt es eine Logik von Präsentation des Materials und seiner Abfolge.

Abschnitte: Mathematik

Liebe Teilnehmer der Olympiade!

Die Schulmathematik-Olympiade wird in einer Runde ausgetragen.
Es gibt 5 Aufgaben mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden.
Es gibt keine besonderen Anforderungen an die Gestaltung der Arbeit. Die Form der Präsentation der Lösung von Problemen sowie die Lösungsmethoden können beliebig sein. Wenn Sie einzelne Gedanken zu einer bestimmten Aufgabe haben, aber die Lösung nicht zu Ende bringen können, zögern Sie nicht, alle Ihre Gedanken zu äußern. Auch teilweise gelöste Aufgaben werden mit der entsprechenden Punktzahl bewertet.
Beginnen Sie mit der Lösung von Aufgaben, die Ihnen leichter erscheinen, und fahren Sie dann mit den anderen fort. So sparen Sie Zeit.

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

Schulstufe Allrussische Olympiade Schulkinder in Mathematik

Klasse 5

Übung 1. Ersetzen Sie im Ausdruck 1*2*3*4*5 das „*“ durch Aktionszeichen und setzen Sie die Klammern so. Um einen Ausdruck zu erhalten, dessen Wert 100 ist.

Aufgabe 2. Es ist erforderlich, den Datensatz der arithmetischen Gleichheit zu entschlüsseln, in dem die Zahlen durch Buchstaben ersetzt werden und verschiedene Zahlen durch verschiedene Buchstaben ersetzt werden, die gleichen sind gleich.

FÜNF - DREI \u003d ZWEI Es ist bekannt, dass anstelle des Briefes SONDERN Sie müssen die Zahl 2 eingeben.

Aufgabe 3. Wie teilt man 80 kg Nägel mit einer Pfannenwaage ohne Gewichte in zwei Teile - 15 kg und 65 kg?

Aufgabe 4. Schneiden Sie die in der Abbildung gezeigte Figur in zwei gleiche Teile, sodass jeder Teil einen Stern hat. Sie können nur entlang von Rasterlinien schneiden.

Aufgabe 5. Eine Tasse und eine Untertasse kosten zusammen 25 Rubel, während 4 Tassen und 3 Untertassen 88 Rubel kosten. Finden Sie den Preis der Tasse und den Preis der Untertasse heraus.

6. Klasse.

Übung 1. Brüche vergleichen, ohne sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Aufgabe 2. Es ist erforderlich, den Datensatz der arithmetischen Gleichheit zu entschlüsseln, in dem die Zahlen durch Buchstaben ersetzt werden und verschiedene Zahlen durch verschiedene Buchstaben ersetzt werden, die gleichen sind gleich. Es wird angenommen, dass die ursprüngliche Gleichheit wahr ist und nach den üblichen Rechenregeln geschrieben wird.

ARBEIT
+ WIRD
GLÜCK

Aufgabe 3. Drei Freunde kamen ins Sommerlager, um sich auszuruhen: Misha, Volodya und Petya. Es ist bekannt, dass jeder von ihnen einen der folgenden Nachnamen hat: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Mischa ist nicht Gerasimov. Wolodjas Vater ist Ingenieur. Wolodja ist in der 6. Klasse. Gerasimov ist in der 5. Klasse. Ivanovs Vater ist Lehrer. Wie heißt jeder der drei Freunde mit Nachnamen?

Aufgabe 4. Teilen Sie die Figur entlang der Gitterlinien in vier identische Teile, sodass jeder Teil einen Punkt hat.

Aufgabe 5. Die springende Libelle schlief jeden Tag des roten Sommers die Hälfte der Zeit, tanzte jeden Tag ein Drittel der Zeit und sang für den sechsten Teil. Den Rest der Zeit beschloss sie, sich auf den Winter vorzubereiten. Wie viele Stunden am Tag bereitete sich die Libelle auf den Winter vor?

7. Klasse.

Übung 1. Lösen Sie den Rebus, wenn Sie wissen, dass die größte Ziffer in der Zahl STRONG 5 ist:

ENTSCHEIDEN
WENN
STARK

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung│7 - x│ = 9,3

Aufgabe 3. Nach sieben Wäschen hatte sich die Länge, Breite und Dicke der Seife halbiert. Wie viele der gleichen Wäschen reichen für die verbleibende Seife?

Aufgabe 4 . Teilen Sie das Rechteck aus 4 × 9 Zellen entlang der Seiten der Zellen in zwei gleiche Teile, damit Sie daraus ein Quadrat machen können.

Aufgabe 5. Ein Holzwürfel wurde allseitig mit weißer Farbe bemalt und anschließend in 64 identische Würfel gesägt. Wie viele Würfel waren auf drei Seiten farbig? Von zwei Seiten?
Einerseits? Wie viele Würfel sind nicht gefärbt?

8. Klasse.

Übung 1. Mit welchen zwei Ziffern endet die Zahl 13!

Aufgabe 2. Bruch kürzen:

Aufgabe 3. Der Theaterkreis der Schule, der sich auf die Produktion eines Auszugs aus dem Märchen von A.S. Puschkin über Zar Saltan, beschloss, die Rollen zwischen den Teilnehmern zu verteilen.
- Ich werde Chernomor sein, - sagte Yura.
- Nein, ich werde Chernomor sein, - sagte Kolya.
- In Ordnung, - Yura räumte ihm ein, - ich kann Gvidon spielen.
- Nun, ich kann Saltan werden, - Kolya zeigte auch Nachgiebigkeit.
- Ich stimme zu, nur Guidon zu sein! sagte Mischa.
Die Wünsche der Jungs wurden erfüllt. Wie waren die Rollen verteilt?

Aufgabe 4. BEIM gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Basis AB = 8m Median AD wird gezeichnet. Der Umfang des Dreiecks ACD ist um 2 m größer als der Umfang des Dreiecks ABD. AS finden.

Aufgabe 5. Nikolai kaufte ein gewöhnliches Notizbuch mit 96 Blättern und nummerierte die Seiten von 1 bis 192. Sein Neffe Arthur riss 35 Blätter aus diesem Notizbuch heraus und addierte alle 70 Zahlen, die darauf geschrieben waren. Könnte er 2010 bekommen.

Klasse 9

Übung 1. Finde die letzte Ziffer von 1989 1989 .

Aufgabe 2. Die Summe der Wurzeln einiger quadratische Gleichung ist 1 und die Summe ihrer Quadrate ist 2. Was ist die Summe ihrer Würfel?

Aufgabe 3. Unter Verwendung von drei Medianen m a , m b und m c ∆ ABC finden Sie die Länge der Seite AC = b.

Aufgabe 4. Reduziere den Bruch .

Aufgabe 5. Auf wie viele Arten kann man einen Vokal und einen Konsonanten im Wort „kamzol“ wählen?

10. Klasse.

Übung 1. Derzeit gibt es Münzen von 1, 2, 5, 10 Rubel. Geben Sie alle Geldbeträge an, die sowohl mit einer geraden als auch mit einer ungeraden Anzahl von Münzen bezahlt werden können.

Aufgabe 2. Beweisen Sie, dass 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 durch 6 teilbar ist.

Aufgabe 3. In einem Viereck A B C D Diagonalen schneiden sich in einem Punkt M. Es ist bekannt, dass AM = 1,
VM = 2, CM = 4. Zu welchen Werten DM Viereck A B C D ist ein Trapez?

Aufgabe 4. Gleichungssystem lösen

Aufgabe 5. Dreißig Schulkinder – Zehntklässler und Elftklässler – gaben sich die Hand. Gleichzeitig stellte sich heraus, dass jeder Zehntklässler acht Elftklässlern und jeder Elftklässler sieben Zehntklässlern die Hand gab. Wie viele Zehntklässler und wie viele Elftklässler?