\(\blacktriangleright\) Um das Größte zu finden/ kleinster Wert Funktion auf dem Segment \(\) , ist es notwendig, den Graphen der Funktion auf diesem Segment schematisch darzustellen.
In den Aufgaben aus diesem Unterthema kann dies mit der Ableitung erfolgen: Finden Sie die Intervalle der Zunahme (\(f">0\) ) und Abnahme (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Vergessen Sie nicht, dass die Funktion den maximalen/kleinsten Wert nicht nur an den inneren Punkten des Segments \(\) annehmen kann, sondern auch an seinen Enden.

\(\blacktriangleright\) Der größte/kleinste Wert der Funktion ist der Wert der Koordinate \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Die Ableitung einer komplexen Funktion \(f(t(x))\) wird nach folgender Regel gesucht: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

Aufgabe 1 #2357

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finde den kleinsten Wert der Funktion \(y = e^(x^2 - 4)\) im Intervall \([-10; -2]\) .

ODZ: \(x\) - willkürlich.

1) \

\ Also \(y" = 0\) wenn \(x = 0\) .

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) auf dem betrachteten Segment \([-10; -2]\) :

4) Skizze des Graphen auf dem Segment \([-10; -2]\) :

Somit erreicht die Funktion ihren kleinsten Wert auf \([-10; -2]\) bei \(x = -2\) .

\ Summe: \(1\) ist der kleinste Wert der Funktion \(y\) auf \([-10; -2]\) .

Antwort 1

Aufgabe 2 #2355

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) auf dem Segment \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) - willkürlich.

1) \

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden (d. h. die internen Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, in denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Die Ableitung existiert für jedes \(x\) .

2) Finden Sie die Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) :

3) Finden wir Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) auf dem betrachteten Segment \([-1; 1]\) :

4) Skizze des Graphen auf dem Segment \([-1; 1]\) :

Somit erreicht die Funktion ihren Maximalwert auf \([-1; 1]\) in \(x = -1\) oder in \(x = 1\) . Vergleichen wir die Werte der Funktion an diesen Punkten.

\ Gesamt: \(2\) ist der größte Wert der Funktion \(y\) auf \([-1; 1]\) .

Antwort: 2

Aufgabe 3 #2356

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion \(y = \cos 2x\) auf dem Intervall \(\) .

ODZ: \(x\) - willkürlich.

1) \

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden (d. h. die internen Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, in denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Die Ableitung existiert für jedes \(x\) .

2) Finden Sie die Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) :

(hier gibt es unendlich viele Intervalle, in denen sich die Vorzeichen der Ableitung abwechseln).

3) Finden wir Konstanzintervalle \(y"\) auf dem betrachteten Segment \(\) :

4) Skizze des Graphen auf dem Segment \(\) :

Somit erreicht die Funktion ihren kleinsten Wert auf \(\) bei \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .

\ Summe: \(-1\) ist der kleinste Wert der Funktion \(y\) auf \(\) .

Antwort 1

Aufgabe 4 #915

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den größten Wert einer Funktion

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Entscheiden wir uns für ODZ:

1) Bezeichne \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , dann \(y(t)=-\log_(17)t\) .

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden (d. h. die internen Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, in denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– auf der ODZ, wo wir die Wurzel \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) finden. Die Ableitung der Funktion \(y\) existiert nicht für \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , aber gegebene Gleichung negative Diskriminante, hat also keine Lösungen. Um den größten / kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie verstehen, wie ihr Diagramm schematisch aussieht.

2) Finden Sie die Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) :

3) Grafische Skizze:

Somit erreicht die Funktion ihren Maximalwert bei \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),

Gesamt: \(0\) ist der größte Wert der Funktion \(y\) .

Antwort: 0

Aufgabe 5 #2344

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Entscheiden wir uns für ODZ:

1) Bezeichne \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , dann \(y(t)=\log_(3)t\) .

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden (d. h. die internen Punkte des Definitionsbereichs der Funktion, in denen ihre Ableitung gleich \(0\) ist oder nicht existiert): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]- auf der ODZ, von wo aus wir die Wurzel finden \ (x \u003d -4 \) . Die Ableitung der Funktion \(y\) existiert nicht für \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , aber diese Gleichung hat eine negative Diskriminante, daher hat sie keine Lösungen. Um den größten / kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie verstehen, wie ihr Diagramm schematisch aussieht.

2) Finden Sie die Intervalle mit konstantem Vorzeichen \(y"\) :

3) Grafische Skizze:

Somit ist \(x = -4\) der Minimalpunkt der Funktion \(y\) und der kleinste Wert wird darin erreicht:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Summe: \(1\) ist der kleinste Wert der Funktion \(y\) .

Antwort 1

Aufgabe 6 #917

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Finden Sie den größten Wert einer Funktion

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

Aus praktischer Sicht ist die Verwendung der Ableitung am interessantesten, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden. Womit ist es verbunden? Gewinne maximieren, Kosten minimieren, die optimale Auslastung der Ausrüstung bestimmen ... Mit anderen Worten, in vielen Lebensbereichen muss man das Problem lösen, einige Parameter zu optimieren. Und das ist das Problem, den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden.

Es sei darauf hingewiesen, dass der größte und kleinste Wert einer Funktion normalerweise in einem bestimmten Intervall X gesucht wird, das entweder der gesamte Bereich der Funktion oder ein Teil des Bereichs ist. Das Intervall X selbst kann ein Liniensegment, ein offenes Intervall sein , ein unendliches Intervall .

In diesem Artikel werden wir explizit über das Finden der größten und kleinsten Werte sprechen. gegebene Funktion eine Variable y=f(x) .

Seitennavigation.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion - Definitionen, Illustrationen.

Lassen Sie uns kurz auf die wichtigsten Definitionen eingehen.

Der größte Wert der Funktion , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Der kleinste Wert der Funktion y=f(x) auf dem Intervall X heißt ein solcher Wert , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Diese Definitionen sind intuitiv: Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) Wert, der im betrachteten Intervall mit der Abszisse akzeptiert wird.

Stationäre Punkte sind die Werte des Arguments, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet.

Warum brauchen wir stationäre Punkte, um die größten und kleinsten Werte zu finden? Die Antwort auf diese Frage liefert der Satz von Fermat. Aus diesem Satz folgt: Wenn eine differenzierbare Funktion irgendwann ein Extremum (lokales Minimum oder lokales Maximum) hat, dann ist dieser Punkt stationär. Daher nimmt die Funktion oft ihren maximalen (kleinsten) Wert auf dem Intervall X an einem der stationären Punkte aus diesem Intervall an.

Auch kann eine Funktion oft die größten und kleinsten Werte an Stellen annehmen, an denen die erste Ableitung dieser Funktion nicht existiert, und die Funktion selbst definiert ist.

Lassen Sie uns gleich eine der häufigsten Fragen zu diesem Thema beantworten: "Ist es immer möglich, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu bestimmen"? Nein nicht immer. Manchmal fallen die Grenzen des Intervalls X mit den Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion zusammen, oder das Intervall X ist unendlich. Und einige Funktionen im Unendlichen und an den Grenzen des Definitionsbereichs können sowohl unendlich große als auch unendlich kleine Werte annehmen. In diesen Fällen kann nichts über den größten und kleinsten Wert der Funktion gesagt werden.

Zur Verdeutlichung geben wir eine grafische Darstellung. Schauen Sie sich die Bilder an - und vieles wird deutlich.

Auf dem Segment

In der ersten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des Segments [-6;6] an.

Betrachten Sie den in der zweiten Abbildung gezeigten Fall. Ändern Sie das Segment in . In diesem Beispiel wird der kleinste Wert der Funktion an einem stationären Punkt und der größte an einem Punkt erreicht, dessen Abszisse der rechten Grenze des Intervalls entspricht.

In Abbildung Nr. 3 sind die Randpunkte des Segments [-3; 2] die Abszissen der Punkte, die dem größten und kleinsten Wert der Funktion entsprechen.

Im offenen Bereich

In der vierten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des offenen Intervalls (-6;6) an.

Über das Intervall lassen sich keine Rückschlüsse auf den größten Wert ziehen.

Im Unendlichen

In dem in der siebten Abbildung gezeigten Beispiel nimmt die Funktion den größten Wert (max y ) an einem stationären Punkt mit der Abszisse x=1 an, und der kleinste Wert (min y ) wird am rechten Rand des Intervalls erreicht. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y=3 .

Auf dem Intervall erreicht die Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert. Da x=2 nach rechts tendiert, tendieren die Funktionswerte gegen minus unendlich (die Gerade x=2 ist eine vertikale Asymptote), und da die Abszisse gegen plus unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y=3 . Eine grafische Darstellung dieses Beispiels ist in Abbildung 8 dargestellt.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf dem Segment.

Wir schreiben einen Algorithmus, der es uns ermöglicht, den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden.

1. Wir finden den Definitionsbereich der Funktion und prüfen, ob er das gesamte Segment enthält.
2. Wir finden alle Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert und die im Segment enthalten sind (normalerweise kommen solche Punkte in Funktionen mit einem Argument unter dem Modulzeichen und in vor Machtfunktionen mit einem gebrochenen rationalen Exponenten). Wenn es keine solchen Punkte gibt, fahren Sie mit dem nächsten Punkt fort.
3. Wir bestimmen alle stationären Punkte, die in das Segment fallen. Dazu setzen wir es mit Null gleich, lösen die resultierende Gleichung und wählen die passenden Wurzeln. Wenn es keine stationären Punkte gibt oder keiner von ihnen in das Segment fällt, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
4. Wir berechnen die Werte der Funktion an den ausgewählten stationären Punkten (falls vorhanden), an Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), und auch bei x=a und x=b .
5. Aus den erhaltenen Werten der Funktion wählen wir den größten und den kleinsten aus - sie sind die gewünschten maximalen bzw. kleinsten Werte der Funktion.

Lassen Sie uns den Algorithmus analysieren, wenn Sie ein Beispiel zum Auffinden der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem Segment lösen.

Beispiel.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

• auf dem Segment;
• im Intervall [-4;-1] .

Entscheidung.

Der Definitionsbereich der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, also . Beide Segmente fallen in den Definitionsbereich.

Wir finden die Ableitung der Funktion nach:

Offensichtlich existiert die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente und [-4;-1] .

Stationäre Punkte werden aus der Gleichung bestimmt. das einzige echte Wurzel ist x=2 . Dieser stationäre Punkt fällt in das erste Segment.

Für den ersten Fall berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments und an einem stationären Punkt, also für x=1 , x=2 und x=4 :

Daher der größte Wert der Funktion wird bei x=1 erreicht und dem kleinsten Wert – bei x=2 .

Für den zweiten Fall berechnen wir die Werte der Funktion nur an den Enden des Segments [-4;-1] (da es keinen einzigen stationären Punkt enthält):

Entscheidung.

Beginnen wir mit dem Funktionsumfang. Quadratisches Trinom der Nenner eines Bruchs darf nicht verschwinden:

Es ist leicht zu überprüfen, dass alle Intervalle von der Bedingung des Problems zum Definitionsbereich der Funktion gehören.

Differenzieren wir die Funktion:

Offensichtlich existiert die Ableitung im gesamten Definitionsbereich der Funktion.

Lassen Sie uns stationäre Punkte finden. Die Ableitung verschwindet bei . Dieser stationäre Punkt fällt in die Intervalle (-3;1] und (-3;2) .

Und jetzt können Sie die an jedem Punkt erhaltenen Ergebnisse mit dem Graphen der Funktion vergleichen. Die blau gepunkteten Linien zeigen die Asymptoten.

Dies kann damit enden, den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden. Die in diesem Artikel besprochenen Algorithmen ermöglichen es Ihnen, mit einem Minimum an Aktionen Ergebnisse zu erzielen. Es kann jedoch sinnvoll sein, zunächst die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion zu bestimmen und erst danach Rückschlüsse auf den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem beliebigen Intervall zu ziehen. Dies ergibt ein klareres Bild und eine strenge Begründung der Ergebnisse.

Variante 1. beim

1. Graph einer Funktion y=f(x) in der Abbildung gezeigt.

Geben Sie den größten Wert dieser Funktion an 1

auf dem Segment [ a; b]. a 0 1 bx

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funktionen y=f(x) auf das Segment setzen [ a; b]. beim

Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung

y=f ´(x). Suche nach Extremen 1 b

Funktion y=f(x). Bitte geben Sie die Menge in Ihrer Antwort an. a 0 1x

Mindestpunktzahl.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Finden Sie den größten Wert einer Funktion y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Finde den kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Finde den kleinsten Wert einer Funktion y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> hat an der Stelle ein Minimum xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.beim

9. Geben Sie den größten Wert der Funktion an y=f(x) ,

1x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Finde den kleinsten Wert einer Funktion y=2Sünde-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Prüfung 14 Der größte (kleinste) Wert der Funktion.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Graph der Funktion y=f(x) in der Abbildung gezeigt.

Geben Sie den kleinsten Wert dieser Funktion an 1

auf dem Segment [ a; b]. a b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. beim Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x).

Wie viele Maximalpunkte hat die Funktion?

1

0 1x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. An welcher Stelle ist die Funktion y \u003d 2x2 + 24x -25 den kleinsten Wert annimmt?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> auf dem Segment [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> hat an der Stelle ein Minimum xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.beim

9. Geben Sie den kleinsten Wert der Funktion an y=f(x) ,

dessen Graph in der Abbildung dargestellt ist. 1x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Finden Sie den größten Wert einer Funktion y=Protokoll11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Finden Sie den größten Wert einer Funktion y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Antworten :

In diesem Artikel werde ich darüber sprechen Algorithmus zum Finden des größten und kleinsten Werts Funktion, minimale und maximale Punkte.

Von der Theorie werden wir auf jeden Fall brauchen Ableitungstabelle und Unterscheidungsregeln. Es ist alles in diesem Board:

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte.

Ich finde es einfacher zu erklären mit einem konkreten Beispiel. Prüfen:

Beispiel: Finden Sie den größten Wert der Funktion y=x^5+20x^3–65x auf dem Segment [–4;0].

Schritt 1. Wir nehmen die Ableitung.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Schritt 2 Extrempunkte finden.

Extrempunkt wir nennen solche Punkte, an denen die Funktion ihren maximalen oder minimalen Wert erreicht.

Um die Extrempunkte zu finden, ist es notwendig, die Ableitung der Funktion mit Null gleichzusetzen (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Jetzt lösen wir diese biquadratische Gleichung und die gefundenen Wurzeln sind unsere Extrempunkte.

Ich löse solche Gleichungen, indem ich t = x^2 ersetze, dann 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Reduzieren Sie die Gleichung um 5, erhalten wir: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Wir machen die umgekehrte Substitution x^2 = t:

X_(1 und 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 und 4) = ±sqrt(-13) (wir schließen aus, unter der Wurzel kann nicht sein negative Zahlen(es sei denn, wir sprechen natürlich von komplexen Zahlen)

Summe: x_(1) = 1 und x_(2) = -1 - das sind unsere Extremumspunkte.

Schritt 3 Bestimme den größten und kleinsten Wert.

Substitutionsmethode.

In der Bedingung wurde uns das Segment [b][–4;0] gegeben. Der Punkt x=1 ist in diesem Segment nicht enthalten. Also ziehen wir es nicht in Betracht. Aber neben dem Punkt x=-1 müssen wir noch die linke und rechte Grenze unseres Segments berücksichtigen, also die Punkte -4 und 0. Dazu setzen wir alle diese drei Punkte in die ursprüngliche Funktion ein. Beachten Sie, dass das Original dasjenige ist, das in der Bedingung angegeben ist (y = x ^ 5 + 20 x ^ 3–65 x), einige beginnen mit der Substitution in die Ableitung ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Das bedeutet, dass der Maximalwert der Funktion [b]44 ist und an den Punkten [b]-1 erreicht wird, was als Maximalpunkt der Funktion auf dem Segment [-4; 0].

Wir haben uns entschieden und eine Antwort bekommen, uns geht es super, ihr könnt euch entspannen. Aber halt! Findest du nicht, dass das Zählen von y(-4) irgendwie zu kompliziert ist? Bei begrenzter Zeit ist es besser, eine andere Methode zu verwenden, ich nenne sie so:

Durch Intervalle der Beständigkeit.

Diese Lücken findet man bei der Ableitung der Funktion, also bei unserer biquadratischen Gleichung.

Ich mache es auf folgende Weise. Ich zeichne eine Richtungslinie. Ich setze die Punkte: -4, -1, 0, 1. Obwohl die 1 nicht im angegebenen Segment enthalten ist, sollte sie dennoch notiert werden, um die Konstanzintervalle korrekt zu bestimmen. Nehmen wir eine Zahl, die um ein Vielfaches größer als 1 ist, sagen wir 100, setzen Sie sie gedanklich in unsere biquadratische Gleichung 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ein. Selbst ohne etwas zu zählen, wird es offensichtlich, dass am Punkt 100 Die Funktion hat ein Pluszeichen. Das bedeutet, dass es für Intervalle von 1 bis 100 ein Pluszeichen hat. Beim Durchlaufen von 1 (wir gehen von rechts nach links) ändert die Funktion das Vorzeichen in Minus. Beim Durchgang durch den Punkt 0 behält die Funktion ihr Vorzeichen, da dies nur die Grenze des Segments und nicht die Wurzel der Gleichung ist. Beim Durchlaufen von -1 ändert die Funktion wieder das Vorzeichen auf Plus.

Aus der Theorie wissen wir, wo die Ableitung der Funktion ist (und wir haben das dafür gezeichnet) ändert das Vorzeichen von Plus auf Minus (Punkt -1 in unserem Fall) Funktion erreicht sein lokales Maximum (y(-1)=44 wie zuvor berechnet) auf diesem Segment (das ist logisch sehr klar, die Funktion hat aufgehört zu steigen, da sie ihr Maximum erreicht hat und zu fallen begann).

Dementsprechend wo die Ableitung der Funktion ändert das Vorzeichen von Minus auf Plus, erreicht lokales Minimum einer Funktion. Ja, ja, wir haben auch den lokalen Minimalpunkt gefunden, der 1 ist, und y(1) ist der Minimalwert der Funktion auf dem Intervall, sagen wir von -1 bis +∞. Bitte beachten Sie, dass dies nur ein LOKALES MINIMUM ist, d. h. ein Minimum auf einem bestimmten Segment. Denn irgendwo dort, in -∞, wird die eigentliche (globale) Minimumfunktion liegen.

Meiner Meinung nach ist die erste Methode theoretisch einfacher und die zweite arithmetisch einfacher, aber theoretisch viel schwieriger. Immerhin gibt es Fälle, in denen die Funktion beim Durchgang durch die Wurzel der Gleichung das Vorzeichen nicht ändert, und tatsächlich kann man mit diesen lokalen, globalen Maxima und Minima verwechselt werden, obwohl man das sowieso gut beherrschen muss, wenn man plant betreten Technische Universität(und warum sonst die Profilprüfung ablegen und diese Aufgabe lösen). Aber Übung und nur Übung wird dich lehren, solche Probleme ein für alle Mal zu lösen. Und Sie können auf unserer Website trainieren. Hier .

Wenn Sie Fragen haben oder etwas nicht klar ist, fragen Sie unbedingt nach. Ich werde Ihnen gerne antworten und Änderungen und Ergänzungen des Artikels vornehmen. Denken Sie daran, dass wir diese Seite gemeinsam erstellen!

Sehen wir uns an, wie man eine Funktion mithilfe eines Diagramms untersucht. Es stellt sich heraus, dass Sie mit Blick auf die Grafik alles herausfinden können, was uns interessiert, nämlich:

• Funktionsumfang
• Funktionsumfang
• Funktion Nullen
• Perioden des Zu- und Abstiegs
• Höhepunkte und Tiefpunkte
• der größte und kleinste Wert der Funktion im Intervall.

Lassen Sie uns die Terminologie klären:

Abszisse ist die horizontale Koordinate des Punktes.
Ordinate- vertikale Koordinate.
Abszisse- die horizontale Achse, am häufigsten als Achse bezeichnet.
Y-Achse- vertikale Achse oder Achse.

Streit ist eine unabhängige Variable, von der die Werte der Funktion abhängen. Meist angegeben.
Mit anderen Worten, wir selbst wählen , ersetzen in der Funktionsformel und erhalten .

Domain Funktionen - die Menge dieser (und nur dieser) Werte des Arguments, für die die Funktion existiert.
Bezeichnung: oder .

In unserer Abbildung ist der Definitionsbereich der Funktion ein Segment. Auf diesem Segment wird der Graph der Funktion gezeichnet. Nur hier gibt es diese Funktion.

Funktionsumfang ist die Menge von Werten, die die Variable annimmt. In unserer Abbildung ist dies ein Segment - vom niedrigsten zum höchsten Wert.

Funktion Nullen- Punkte, an denen der Wert der Funktion gleich Null ist, d.h. In unserer Abbildung sind dies die Punkte und .

Funktionswerte sind positiv wo . In unserer Abbildung sind dies die Intervalle und .
Funktionswerte sind negativ wo . Wir haben dieses Intervall (oder Intervall) von bis.

Die wichtigsten Konzepte - zunehmende und abnehmende Funktionen auf irgendeinem Satz. Als Menge können Sie ein Segment, ein Intervall, eine Vereinigung von Intervallen oder den gesamten Zahlenstrahl nehmen.

Funktion erhöht sich

Mit anderen Worten, je mehr , desto mehr , das heißt, der Graph geht nach rechts und oben.

Funktion abnehmend auf der menge wenn für alle und die gehörigkeit zur menge impliziert die ungleichheit die ungleichheit .

Bei einer abnehmenden Funktion entspricht ein größerer Wert einem kleineren Wert. Der Graph geht nach rechts und unten.

In unserer Abbildung nimmt die Funktion im Intervall zu und im Intervall und ab.

Lassen Sie uns definieren, was ist Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

Höchstpunkt- Dies ist ein interner Punkt des Definitionsbereichs, so dass der Wert der Funktion in ihm größer ist als in allen Punkten, die ihm ausreichend nahe kommen.
Mit anderen Worten, der Maximalpunkt ist ein solcher Punkt, an dem der Wert der Funktion liegt mehr als in benachbarten. Dies ist ein lokaler "Hügel" auf der Karte.

In unserer Abbildung - der maximale Punkt.

Tiefpunkt- ein interner Punkt des Definitionsbereichs, so dass der Wert der Funktion darin kleiner ist als in allen Punkten, die ihm ausreichend nahe kommen.
Das heißt, der Minimalpunkt ist so, dass der Wert der Funktion darin kleiner ist als in benachbarten. In der Grafik ist dies ein lokales „Loch“.

In unserer Abbildung - der Mindestpunkt.

Der Punkt ist die Grenze. Es ist kein innerer Punkt des Definitionsbereichs und passt daher nicht zur Definition eines Maximalpunkts. Schließlich hat sie keine Nachbarn auf der linken Seite. Ebenso kann es auf unserem Chart keinen Minimalpunkt geben.

Die maximalen und minimalen Punkte werden gemeinsam aufgerufen Extrempunkte der Funktion. In unserem Fall ist dies und .

Aber was ist, wenn Sie zum Beispiel suchen müssen, Funktion minimal am Schnitt? In diesem Fall lautet die Antwort: Weil Funktion minimal ist sein Wert am Minimalpunkt.

Ebenso ist das Maximum unserer Funktion . Es wird am Punkt erreicht.

Wir können sagen, dass die Extrema der Funktion gleich und sind.

Manchmal in Aufgaben, die Sie finden müssen die größten und kleinsten Werte der Funktion auf einem bestimmten Segment. Sie fallen nicht unbedingt mit Extremen zusammen.

In unserem Fall kleinster Funktionswert auf dem Intervall gleich dem Minimum der Funktion ist und mit diesem zusammenfällt. Aber sein größter Wert in diesem Segment ist gleich . Er wird am linken Ende des Segments erreicht.

In jedem Fall werden die größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf einer Strecke entweder an den Extrempunkten oder an den Enden der Strecke erreicht.