Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Schwierigkeiten. Um das Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungen genau die auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten zu verstehen oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, aber wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie können Sie die Grenzen in der höheren Mathematik verstehen? Verständnis kommt mit Erfahrung, also werden wir gleichzeitig ein paar geben ausführliche Beispiele Lösungsgrenzen mit Erläuterungen.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist die Grenze und die Grenze von was? Wir können über die Grenzen von Zahlenfolgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da die Schüler am häufigsten auf sie stoßen. Aber zuerst die allgemeinste Definition einer Grenze:

Nehmen wir an, es gibt eine Variable. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess auf unbestimmte Zeit einer bestimmten Zahl nähert ein , dann ein ist die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y die Grenze ist die Zahl EIN , zu der die Funktion wann tendiert x zu einem bestimmten Punkt tendieren aber . Punkt aber gehört zu dem Intervall, auf dem die Funktion definiert ist.

Klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Definition des Grenzwerts, aber wir gehen hier nicht auf die Theorie ein, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen x einem Wert zustrebt, bedeutet dies, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich diesem unendlich nahe nähert.

Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Die Herausforderung besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie sich für grundlegende Operationen mit Matrizen interessieren, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In den Beispielen x kann zu jedem beliebigen Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel wann x geht gegen unendlich:

Das ist intuitiv klar mehr Nummer im Nenner, desto kleiner wird der Wert von der Funktion angenommen. Also mit unbegrenztem Wachstum x Bedeutung 1/x nimmt ab und nähert sich Null.

Wie Sie sehen können, müssen Sie zum Lösen des Limits nur den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen x . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder unendlich/unendlich . Was tun in solchen Fällen? Verwenden Sie Tricks!

Unsicherheiten im Innern

Unsicherheit der Form unendlich/unendlich

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir unendlich sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass es eine gewisse Kunst gibt, solche Unsicherheiten aufzulösen: Sie müssen darauf achten, wie Sie die Funktion so transformieren können, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch x im Seniorenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits betrachteten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null gehen. Dann lautet die Lösung für den Grenzwert:

Typenmehrdeutigkeiten aufzudecken unendlich/unendlich Teile Zähler und Nenner durch x im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Substitution in die Wertfunktion x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie ein wenig genauer hin und Sie werden das im Zähler bemerken, den wir haben quadratische Gleichung. Lassen Sie uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also auf Typmehrdeutigkeit stoßen 0/0 - Zähler und Nenner faktorisieren.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, hier eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft innerhalb

Eine weitere leistungsstarke Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheiten zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, nehmen wir die Ableitung von Zähler und Nenner, bis die Unsicherheit verschwindet.

Optisch sieht die Regel von L'Hopital so aus:

Wichtiger Punkt : der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner statt Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt ein echtes Beispiel:

Es gibt eine typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen Sie die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, die Unsicherheit ist schnell und elegant beseitigt.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis gut anwenden können und die Antwort auf die Frage "wie man Grenzen in der höheren Mathematik löst" finden. Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen und für diese Arbeit ab dem Wort „absolut“ keine Zeit bleibt, wenden Sie sich an einen professionellen Studentenservice für eine schnelle und detaillierte Lösung.

Die Definition des endlichen Limes einer Folge ist gegeben. Verwandte Eigenschaften und eine äquivalente Definition werden berücksichtigt. Es wird eine Definition gegeben, dass ein Punkt a kein Grenzwert einer Folge ist. Es werden Beispiele betrachtet, in denen die Existenz einer Grenze anhand der Definition nachgewiesen wird.

Inhalt

Siehe auch: Sequenzgrenze - Grundlegende Sätze und Eigenschaften
Haupttypen von Ungleichungen und ihre Eigenschaften

Hier betrachten wir die Definition des endlichen Limes einer Folge. Der Fall einer gegen unendlich konvergierenden Folge wird auf der Seite "Definition einer unendlich großen Folge" behandelt.

Der Grenzwert einer Folge ist eine Zahl a, wenn für jede positive Zahl ε gilt > 0 es gibt solche natürliche Zahl N ε , abhängig von ε , so dass für alle natürlichen Zahlen n > N ε die Ungleichung
| x n - a|< ε .
Dabei ist x n das Element der Folge mit der Nummer n . Sequenzlimit so bezeichnet:
.
Oder bei .

Transformieren wir die Ungleichung:
;
;
.

ε ist eine Umgebung des Punktes a ist ein offenes Intervall (a - ε, a + ε ). Eine konvergente Folge ist eine Folge, die einen Grenzwert hat. Es wird auch gesagt, dass die Sequenz konvergiert zu einem. Eine divergente Folge ist eine Folge, die keine Grenze hat.

Aus der Definition folgt, dass, wenn die Folge einen Grenzwert a hat, sie unabhängig davon, welche ε - Umgebung des Punktes a wir wählen, nur außerhalb davon liegen kann endliche Zahl Sequenzelemente oder gar keine (leere Menge). Und jede ε - Umgebung enthält unendlich viele Elemente. Indem wir nämlich eine bestimmte Zahl ε setzen, haben wir damit eine Zahl . Also liegen alle Elemente der Folge mit Zahlen per Definition in der ε - Umgebung des Punktes a . Die ersten Elemente können überall sein. Das heißt, außerhalb der ε - Umgebung kann es nicht mehr als Elemente geben - also eine endliche Zahl.

Wir bemerken auch, dass die Differenz nicht monoton gegen Null gehen muss, also ständig abnehmen muss. Es kann nicht monoton gegen Null gehen: Es kann entweder zunehmen oder abnehmen und lokale Maxima haben. Allerdings sollten diese Maxima mit wachsendem n gegen Null gehen (vielleicht auch nicht monoton).

Unter Verwendung der logischen Symbole von Existenz und Universalität kann die Definition der Grenze wie folgt geschrieben werden:
(1) .

Feststellung, dass a kein Grenzwert ist

Betrachten Sie nun die umgekehrte Behauptung, dass die Zahl a nicht der Grenzwert der Folge ist.

Nummer a ist nicht der Grenzwert der Folge, falls es so etwas gibt, dass es zu jedem natürlichen n ein solches natürliches m gibt >n, was
.

Schreiben wir diese Aussage mit logischen Symbolen.
(2) .

Die Behauptung, dass die Zahl a ist nicht der Grenzwert der Folge, bedeutet, dass
Sie können eine solche ε - Umgebung des Punktes a wählen, außerhalb dessen es unendlich viele Elemente der Folge geben wird.

Betrachten Sie ein Beispiel. Gegeben sei eine Folge mit einem gemeinsamen Element
(3)
Jede Umgebung eines Punktes enthält unendlich viele Elemente. Dieser Punkt ist jedoch nicht die Grenze der Folge, da jede Umgebung des Punktes auch unendlich viele Elemente enthält. Nimm ε - eine Umgebung eines Punktes mit ε = 1 . Dies wird das Intervall sein (-1, +1) . Alle Elemente außer dem ersten mit geradem n gehören zu diesem Intervall. Aber alle Elemente mit ungeradem n liegen außerhalb dieses Intervalls, weil sie die Ungleichung x n erfüllen > 2 . Da die Anzahl der ungeraden Elemente unendlich ist, gibt es eine unendliche Anzahl von Elementen außerhalb der ausgewählten Nachbarschaft. Daher ist der Punkt nicht die Grenze der Folge.

Zeigen wir dies nun, indem wir uns strikt an Behauptung (2) halten. Der Punkt ist nicht der Grenzwert der Folge (3), weil es einen solchen gibt, sodass es für jedes natürliche n ein ungerades n gibt, für das die Ungleichung gilt
.

Es kann auch gezeigt werden, dass kein Punkt a der Grenzwert dieser Folge sein kann. Wir können immer eine ε - Umgebung des Punktes a wählen, die weder den Punkt 0 noch den Punkt 2 enthält. Dann gibt es unendlich viele Elemente der Folge außerhalb der gewählten Umgebung.

Äquivalente Definition der Sequenzgrenze

Eine äquivalente Definition des Limes einer Folge können wir geben, wenn wir den Begriff der ε - Nachbarschaft erweitern. Eine äquivalente Definition erhalten wir, wenn statt der ε-Umgebung eine beliebige Umgebung des Punktes a darin erscheint. Die Nachbarschaft eines Punktes ist jedes offene Intervall, das diesen Punkt enthält. Mathematisch Punkt Nachbarschaft ist wie folgt definiert: , wobei ε 1 und ε 2 sind beliebige positive Zahlen.

Dann ist die äquivalente Definition der Grenze wie folgt.

Der Grenzwert einer Folge ist eine solche Zahl a, wenn es für irgendeine ihrer Umgebungen eine solche natürliche Zahl N gibt, sodass alle Elemente der Folge mit Zahlen zu dieser Umgebung gehören.

Diese Definition kann auch in erweiterter Form dargestellt werden.

Der Grenzwert einer Folge ist eine Zahl a, falls es für beliebige positive Zahlen eine natürliche Zahl N gibt, die von und abhängt, sodass die Ungleichungen für alle natürlichen Zahlen gelten
.

Beweis der Äquivalenz von Definitionen

Beweisen wir, dass die beiden obigen Definitionen des Grenzwerts einer Folge äquivalent sind.

Die Zahl a sei der Grenzwert der Folge nach der ersten Definition. Das bedeutet, dass es eine Funktion gibt, sodass für jede positive Zahl ε folgende Ungleichungen gelten:
(4) bei .

Zeigen wir auch durch die zweite Definition, dass die Zahl a der Grenzwert der Folge ist. Das heißt, wir müssen zeigen, dass es eine solche Funktion gibt, sodass für alle positiven Zahlen ε 1 und ε 2 es gelten folgende Ungleichungen:
(5) bei .

Lassen Sie uns zwei positive Zahlen haben: ε 1 und ε 2 . Und sei ε der kleinste von ihnen: . Dann ; ; . Wir verwenden dies in (5):
.
Aber die Ungleichungen gelten für . Dann gelten die Ungleichungen (5) auch für .

Das heißt, wir haben eine Funktion gefunden, bei der die Ungleichungen (5) für alle positiven Zahlen ε gelten 1 und ε 2 .
Der erste Teil ist bewiesen.

Nun sei die Zahl a der Grenzwert der Folge nach der zweiten Definition. Das bedeutet, dass es eine Funktion gibt, sodass für beliebige positive Zahlen ε 1 und ε 2 es gelten folgende Ungleichungen:
(5) bei .

Zeigen wir, dass die Zahl a der Grenzwert der Folge ist und zwar nach der ersten Definition. Dazu müssen Sie setzen. Dann gelten für die folgenden Ungleichungen:
.
Dies entspricht der ersten Definition mit .
Die Äquivalenz der Definitionen ist bewiesen.

Beispiele

Beispiel 1

Beweise das .

(1) .
In unserem Fall ;
.

.
Lassen Sie uns die Eigenschaften von Ungleichungen verwenden. Dann wenn und dann
.

.
Dann
bei .
Das bedeutet, dass die Zahl der Grenzwert der gegebenen Folge ist:
.

Beispiel 2

Beweisen Sie das anhand der Definition des Grenzwertes einer Folge
.

Wir schreiben die Definition des Grenzwerts einer Folge auf:
(1) .
In unserem Fall , ;
.

Wir geben positive Zahlen ein und:
.
Lassen Sie uns die Eigenschaften von Ungleichungen verwenden. Dann wenn und dann
.

Das heißt, für jedes positive können wir jede natürliche Zahl größer oder gleich nehmen:
.
Dann
bei .
.

Beispiel 3

.

Wir führen die Notation , ein.
Transformieren wir den Unterschied:
.
Für natürliches n = 1, 2, 3, ... wir haben:
.

Wir schreiben die Definition des Grenzwerts einer Folge auf:
(1) .
Wir geben positive Zahlen ein und:
.
Dann wenn und dann
.

Das heißt, für jedes positive können wir jede natürliche Zahl größer oder gleich nehmen:
.
Dabei
bei .
Das bedeutet, dass die Zahl der Grenzwert der Folge ist:
.

Beispiel 4

Beweisen Sie das anhand der Definition des Grenzwertes einer Folge
.

Wir schreiben die Definition des Grenzwerts einer Folge auf:
(1) .
In unserem Fall , ;
.

Wir geben positive Zahlen ein und:
.
Dann wenn und dann
.

Das heißt, für jedes positive können wir jede natürliche Zahl größer oder gleich nehmen:
.
Dann
bei .
Das bedeutet, dass die Zahl der Grenzwert der Folge ist:
.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 1983.

Siehe auch:

Die Definitionen des Grenzwerts einer Funktion nach Heine (in Bezug auf Folgen) und in Bezug auf Cauchy (in Bezug auf Epsilon- und Delta-Nachbarschaften) werden angegeben. Die Definitionen sind in einer universellen Form gegeben, die sowohl für bilaterale als auch für einseitige Grenzen an endlichen und unendlichen Punkten anwendbar ist. Die Definition, dass ein Punkt a kein Grenzwert einer Funktion ist, wird betrachtet. Beweis der Äquivalenz der Definitionen nach Heine und nach Cauchy.

Inhalt

Siehe auch: Nachbarschaft eines Punktes
Bestimmen des Grenzwerts einer Funktion am Endpunkt
Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion im Unendlichen

Erste Definition des Grenzwertes einer Funktion (nach Heine)

(x) am Punkt x 0 :
,
wenn
1) es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0
2) für jede Sequenz ( x n ), konvergiert gegen x 0 :
, dessen Elemente zur Nachbarschaft gehören ,
Folge (f(xn)) konvergiert zu a:
.

Hier x 0 und a kann entweder endliche Zahlen oder Punkte im Unendlichen sein. Die Nachbarschaft kann entweder zweiseitig oder einseitig sein.

.

Die zweite Definition des Grenzwertes einer Funktion (nach Cauchy)

Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion f (x) am Punkt x 0 :
,
wenn
1) es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0 auf dem die Funktion definiert ist;
2) für jede positive Zahl ε > 0 es gibt eine Zahl δ ε > 0 , abhängig von ε, das für alle x, die zu einer punktierten δ ε Umgebung des Punktes x gehören 0 :
,
Funktionswerte f (x) gehören zu ε - Umgebungen des Punktes a :
.

Punkte x 0 und a kann entweder endliche Zahlen oder Punkte im Unendlichen sein. Die Nachbarschaft kann auch sowohl zweiseitig als auch einseitig sein.

Wir schreiben diese Definition unter Verwendung der logischen Symbole von Existenz und Universalität:
.

Diese Definition verwendet Nachbarschaften mit äquidistanten Enden. Eine äquivalente Definition kann auch durch beliebige Nachbarschaften von Punkten gegeben werden.

Definition mit beliebigen Nachbarschaften
Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion f (x) am Punkt x 0 :
,
wenn
1) es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0 auf dem die Funktion definiert ist;
2) für jede Nachbarschaft U (ein) Punkt a gibt es eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0 , das für alle x, die zu einer punktierten Umgebung des Punktes x gehören 0 :
,
Funktionswerte f (x) gehören zum Stadtteil U (ein) Punkte a:
.

Unter Verwendung der logischen Symbole von Existenz und Universalität kann diese Definition wie folgt geschrieben werden:
.

Einseitige und beidseitige Grenzen

Die obigen Definitionen sind universell in dem Sinne, dass sie für jede Art von Nachbarschaft verwendet werden können. Wenn wir, da wir die linkshändige punktierte Umgebung des Endpunkts verwenden, dann erhalten wir die Definition des linkshändigen Grenzwerts . Verwenden wir als Nachbarschaft die Umgebung eines Punktes im Unendlichen, so erhalten wir die Definition der Grenze im Unendlichen.

Um den Grenzwert nach Heine zu bestimmen, läuft dies darauf hinaus, dass einer beliebigen Folge, die gegen konvergiert, eine zusätzliche Einschränkung auferlegt wird, dass ihre Elemente zu der entsprechenden punktierten Umgebung des Punktes gehören müssen.

Zur Bestimmung der Cauchy-Grenze ist es jeweils erforderlich, die Ausdrücke und in Ungleichungen umzuwandeln, indem man die entsprechenden Definitionen einer Umgebung eines Punktes verwendet.
Siehe "Nachbarschaft eines Punktes".

Feststellung, dass ein Punkt a nicht der Grenzwert einer Funktion ist

Oft muss die Bedingung verwendet werden, dass der Punkt a nicht der Grenzwert der Funktion für ist. Lassen Sie uns Negationen zu den obigen Definitionen konstruieren. Dabei nehmen wir an, dass die Funktion f (x) ist auf einer punktierten Umgebung des Punktes x definiert 0 . Punkte a und x 0 können sowohl endliche Zahlen als auch unendlich weit entfernt sein. Alles Nachfolgende gilt sowohl für bilaterale als auch für einseitige Limits.

Laut Heine.
Nummer a ist nicht Grenze der Funktion f (x) am Punkt x 0 : ,
wenn es eine solche Folge gibt ( x n ), konvergiert gegen x 0 :
,
dessen Elemente zur Nachbarschaft gehören,
welche Reihenfolge (f(xn)) konvergiert nicht zu a:
.
.

Laut Cauchy.
Nummer a ist nicht Grenze der Funktion f (x) am Punkt x 0 :
,
wenn es eine solche positive Zahl ε gibt > 0 , so dass für jede positive Zahl δ > 0 , gibt es x, das zu einer punktierten δ-Umgebung des Punktes x gehört 0 :
,
dass der Wert der Funktion f (x) gehört nicht zur ε-Umgebung des Punktes a :
.
.

Wenn der Punkt a nicht der Grenzwert der Funktion bei ist, heißt das natürlich nicht, dass sie keinen Grenzwert haben kann. Vielleicht gibt es eine Grenze, aber sie ist nicht gleich a . Es ist auch möglich, dass die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes definiert ist, aber keine Grenze bei hat.

Funktion f(x) = sin(1/x) hat keinen Grenzwert für x → 0.

Beispielsweise ist die Funktion bei definiert, aber es gibt keine Begrenzung. Zum Beweis nehmen wir die Folge . Es konvergiert zu einem Punkt 0 : . Weil dann .
Nehmen wir eine Sequenz. Es konvergiert auch auf den Punkt 0 : . Aber da, dann.
Dann kann der Grenzwert nicht gleich einer beliebigen Zahl a sein. Tatsächlich gibt es für , eine Folge mit . Daher ist jede Zahl ungleich Null keine Grenze. Aber es ist auch keine Grenze, da es eine Folge gibt, mit der .

Äquivalenz der Grenzwertdefinitionen nach Heine und nach Cauchy

Satz
Die Heine- und Cauchy-Definitionen des Grenzwerts einer Funktion sind äquivalent.

Nachweisen

Im Beweis nehmen wir an, dass die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes (endlich oder im Unendlichen) definiert ist. Der Punkt a kann auch endlich oder unendlich sein.

Heine-Beweis ⇒ Cauchy

Eine Funktion habe gemäß der ersten Definition (nach Heine) an einem Punkt einen Grenzwert a. Das heißt, für jede Folge, die zu einer punktierten Umgebung des Punktes gehört und eine Grenze hat
(1) ,
die Grenze der Folge ist a:
(2) .

Zeigen wir, dass die Funktion an einer Stelle einen Cauchy-Grenzwert hat. Das heißt, für jeden gibt es das für alle.

Nehmen wir das Gegenteil an. Seien die Bedingungen (1) und (2) erfüllt, aber die Funktion hat keinen Cauchy-Limit. Das heißt, es existiert so dass für jedes existiert , so dass
.

Nimm , wobei n eine natürliche Zahl ist. Dann existiert und
.
Somit haben wir eine Folge konstruiert, die zu konvergiert, aber der Grenzwert der Folge ist nicht gleich a . Dies widerspricht der Bedingung des Theorems.

Der erste Teil ist bewiesen.

Cauchy-Beweis ⇒ Heine

Eine Funktion habe nach der zweiten Definition (nach Cauchy) in einem Punkt einen Grenzwert a. Das heißt, für jeden gibt es das
(3) für alle .

Zeigen wir, dass die Funktion nach Heine einen Grenzwert a in einem Punkt hat.
Nehmen wir eine beliebige Zahl. Nach Cauchys Definition existiert eine Zahl , also gilt (3).

Nehmen Sie eine willkürliche Sequenz, die zu der punktierten Nachbarschaft gehört und gegen konvergiert. Nach der Definition einer konvergenten Folge existiert für jede eine solche
bei .
Dann folgt aus (3) das
bei .
Da dies für alle gilt, dann
.

Der Satz ist bewiesen.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.

Siehe auch:

Heute in der Lektion werden wir analysieren strenge Reihenfolge Und strenge Definition des Grenzwertes einer Funktion, sowie lernen, die entsprechenden Probleme theoretischer Natur zu lösen. Der Artikel richtet sich in erster Linie an Studienanfänger natur- und ingenieurwissenschaftlicher Fachrichtungen, die begonnen haben, sich mit der Theorie der mathematischen Analysis zu beschäftigen, und auf Schwierigkeiten gestoßen sind, diesen Teil der höheren Mathematik zu verstehen. Darüber hinaus ist das Material für Gymnasiasten gut zugänglich.

Im Laufe der Jahre des Bestehens der Website erhielt ich ein unfreundliches Dutzend Briefe mit ungefähr folgendem Inhalt: „Ich verstehe die mathematische Analyse nicht gut, was soll ich tun?“, „Ich verstehe Matan überhaupt nicht, ich Ich denke darüber nach, mein Studium abzubrechen“, usw. Tatsächlich ist es der Matan, der die Schülergruppe oft nach der allerersten Sitzung ausdünnt. Warum sind die Dinge so? Weil das Thema unvorstellbar komplex ist? Ganz und gar nicht! Die Theorie der mathematischen Analyse ist nicht so schwierig, wie sie eigenartig ist. Und du musst sie so akzeptieren und lieben, wie sie ist =)

Beginnen wir mit dem schwierigsten Fall. In erster Linie nicht die Schule abbrechen. Richtig verstehen, aufhören, Zeit wird es immer haben ;-) Natürlich, wenn es einem in ein oder zwei Jahren von der gewählten Fachrichtung übel wird, dann ja - man sollte darüber nachdenken (und nicht das Fieber schlagen!)über wechselnde Tätigkeiten. Aber jetzt lohnt es sich, weiterzumachen. Und vergessen Sie bitte den Satz "Ich verstehe nichts" - es kommt nicht vor, dass Sie überhaupt nichts verstehen.

Was tun, wenn die Theorie schlecht ist? Das gilt übrigens nicht nur für die mathematische Analyse. Wenn die Theorie schlecht ist, dann müssen Sie zuerst ERNSTHAFT die Praxis anwenden. Gleichzeitig werden gleich zwei strategische Aufgaben gelöst:

- Erstens ein erheblicher Anteil Theoretisches Wissen kam durch Übung zustande. Und so viele Menschen verstehen Theorie durch ... - das stimmt! Nein, nein, daran hast du nicht gedacht.

- Und zweitens werden dich praktische Fähigkeiten sehr wahrscheinlich in der Prüfung „überfordern“, auch wenn …, aber lass uns nicht so einstimmen! Alles ist real und alles wird in relativ kurzer Zeit wirklich „geliftet“. Die mathematische Analyse ist mein Lieblingsbereich der höheren Mathematik, und deshalb konnte ich einfach nicht anders, als Ihnen zu helfen:

Zu Beginn des 1. Semesters vergehen in der Regel Ablauf- und Funktionsgrenzen. Sie verstehen nicht, was es ist und wissen nicht, wie Sie es lösen sollen? Beginnen Sie mit einem Artikel Funktionsgrenzen, in dem das Konzept selbst „an den Fingern“ betrachtet und die einfachsten Beispiele analysiert werden. Arbeiten Sie dann andere Lektionen zum Thema durch, einschließlich einer Lektion über innerhalb von Sequenzen, zu dem ich eigentlich schon eine strenge Definition formuliert habe.

Welche Symbole außer Ungleichheitszeichen und Modul kennst du?

- ein langer senkrechter Stab sieht so aus: „so dass“, „so dass“, „so dass“ oder „so dass“, in unserem Fall sprechen wir offensichtlich von einer Zahl - also „so dass“;

- für alle "en" größer als ;

– Modulzeichen bedeutet Abstand, d.h. Dieser Eintrag sagt uns, dass der Abstand zwischen den Werten kleiner als Epsilon ist.

Nun, ist es tödlich schwierig? =)

Nachdem ich die Praxis gemeistert habe, warte ich im folgenden Absatz auf Sie:

Denken wir in der Tat ein wenig nach - wie formuliert man eine strenge Definition einer Sequenz? ... Das Erste, was mir bei dem Licht in den Sinn kommt praktische Sitzung: "Die Grenze einer Folge ist die Zahl, der sich die Glieder der Folge unendlich nahe nähern."

Gut, schreiben wir Folge :

Das ist leicht zu begreifen Folge nähern sich unendlich nahe an -1 und geradzahlige Terme - zu "Einheit".

Vielleicht zwei Grenzen? Aber warum kann dann eine Sequenz nicht zehn oder zwanzig davon haben? Damit kommst du weit. Insofern ist es logisch, davon auszugehen Wenn die Sequenz eine Grenze hat, dann ist sie eindeutig.

Notiz : Die Folge hat keinen Grenzwert, aber zwei Teilfolgen können davon unterschieden werden (siehe oben), von denen jede ihren eigenen Grenzwert hat.

Damit erweist sich obige Definition als unhaltbar. Ja, es funktioniert für Fälle wie (was ich bei vereinfachten Erklärungen von Praxisbeispielen nicht ganz richtig verwendet habe), aber jetzt müssen wir eine strenge Definition finden.

Versuch zwei: „Die Grenze einer Folge ist die Zahl, der sich ALLE Mitglieder der Folge nähern, mit Ausnahme vielleicht ihres Finale Mengen." Das ist näher an der Wahrheit, aber immer noch nicht ganz richtig. Also zum Beispiel die Reihenfolge die Hälfte der Terme geht überhaupt nicht gegen Null - sie sind einfach gleich =) Übrigens nimmt das "Blinklicht" in der Regel zwei feste Werte an.

Die Formulierung ist nicht schwer zu klären, aber dann stellt sich eine andere Frage: wie schreibt man die Definition hinein mathematische Zeichen? wissenschaftliche Welt lange mit diesem Problem gekämpft, bis die Situation gelöst war berühmter Meister, die im Wesentlichen die klassische mathematische Analyse in ihrer ganzen Strenge formalisierte. Cauchy bot an, zu operieren Umfeld was die Theorie stark vorangebracht hat.

Betrachten Sie einen Punkt und seine willkürlich-Nachbarschaft:

Der Wert von "epsilon" ist immer positiv, und außerdem wir haben das Recht, es selbst zu wählen. Nehmen Sie an, dass die gegebene Nachbarschaft eine Reihe von Begriffen enthält (nicht unbedingt alle) irgendeine Folge. Wie kann man die Tatsache aufschreiben, dass zum Beispiel der zehnte Begriff in die Nachbarschaft fiel? Lassen Sie es auf der rechten Seite davon sein. Dann sollte der Abstand zwischen den Punkten und kleiner als „epsilon“ sein: . Befindet sich das "x Zehntel" jedoch links vom Punkt "a", ist die Differenz negativ, und daher muss das Vorzeichen hinzugefügt werden Modul: .

Definition: Eine Zahl heißt Grenzwert einer Folge, wenn für alle seine Umgebung (vorausgewählt) es gibt eine natürliche Zahl - SOLCHE ALLE Mitglieder der Sequenz mit höheren Nummern befinden sich in der Nachbarschaft:

Oder kürzer: wenn

Mit anderen Worten, egal wie klein wir den Wert von „Epsilon“ nehmen, früher oder später wird der „unendliche Schwanz“ der Sequenz VOLLSTÄNDIG in dieser Nachbarschaft sein.

Also zum Beispiel der "unendliche Schwanz" der Sequenz VOLLSTÄNDIG geht in jede beliebig kleine -Nachbarschaft des Punktes. Somit ist dieser Wert per Definition die Grenze der Folge. Ich erinnere Sie daran, dass eine Folge aufgerufen wird, deren Grenzwert Null ist unendlich klein.

Es ist zu beachten, dass es für die Sequenz nicht mehr möglich ist, "unendlicher Schwanz" zu sagen wird kommen“- Mitglieder mit ungeraden Zahlen sind tatsächlich gleich Null und „gehen nirgendwohin“ =) Deshalb wird das Verb „wird enden“ in der Definition verwendet. Und natürlich gehen die Mitglieder einer solchen Sequenz auch "nirgendwo hin". Überprüfen Sie übrigens, ob die Anzahl ihre Grenze sein wird.

Zeigen wir nun, dass die Folge keinen Grenzwert hat. Betrachten Sie zum Beispiel eine Umgebung des Punktes . Es ist ziemlich klar, dass es keine solche Zahl gibt, danach werden ALLE Mitglieder in der angegebenen Nachbarschaft sein – ungerade Mitglieder werden immer auf „minus eins“ „springen“. Aus einem ähnlichen Grund gibt es am Punkt keine Begrenzung.

Fixieren Sie das Material mit Übung:

Beispiel 1

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der Folge Null ist. Geben Sie die Zahl an, nach der alle Mitglieder der Folge garantiert innerhalb einer beliebig kleinen -Nachbarschaft des Punktes liegen.

Notiz : Bei vielen Folgen hängt die gewünschte natürliche Zahl vom Wert ab - daher die Schreibweise .

Lösung: Erwägen willkürlich wird es geben Nummer - so dass sich ALLE Mitglieder mit höheren Nummern in dieser Nachbarschaft befinden:

Um die Existenz der erforderlichen Zahl zu zeigen, drücken wir in Form von aus.

Da für jeden Wert "en" das Modulzeichen entfernt werden kann:

Wir verwenden "Schul"-Aktionen mit Ungleichungen, die ich im Unterricht wiederholt habe Lineare Ungleichungen Und Funktionsumfang. In diesem Fall ist ein wichtiger Umstand, dass "epsilon" und "en" positiv sind:

Da wir links von natürlichen Zahlen sprechen und die rechte Seite von innen Allgemeiner Fall gebrochen, dann muss gerundet werden:

Notiz : Manchmal wird rechts eine Einheit für die Rückversicherung hinzugefügt, aber das ist tatsächlich ein Overkill. Wenn wir das Ergebnis relativ gesehen auch durch Abrunden abschwächen, wird die nächste passende Zahl („drei“) immer noch die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

Und jetzt schauen wir uns die Ungleichheit an und erinnern uns daran, dass wir anfangs darüber nachgedacht haben willkürlich-Nachbarschaft, d.h. "epsilon" kann gleich sein jeder positive Zahl.

Ausgabe: für jede beliebig kleine -Nachbarschaft des Punktes der Wert . Eine Zahl ist also per Definition der Grenzwert einer Folge. Q.E.D.

Übrigens aus dem Ergebnis ein natürliches Muster ist deutlich erkennbar: Je kleiner die -Nachbarschaft, desto größer die Zahl, nach der ALLE Mitglieder der Sequenz in dieser Nachbarschaft sind. Aber egal wie klein das "Epsilon" ist, es wird immer einen "unendlichen Schwanz" innen und außen geben - auch wenn es groß ist Finale Anzahl der Mitglieder.

Wie sind die Eindrücke? =) Ich stimme zu, dass es seltsam ist. Aber streng! Bitte noch einmal lesen und nachdenken.

Betrachten Sie ein ähnliches Beispiel und lernen Sie andere kennen Techniken:

Beispiel 2

Lösung: Durch die Definition einer Folge muss das bewiesen werden (Sprich laut!!!).

Erwägen willkürlich-Nachbarschaft des Punktes und Kontrolle, existiert es natürliche Zahl - so dass für alle größeren Zahlen folgende Ungleichung gilt:

Um die Existenz eines solchen zu zeigen, müssen Sie "en" durch "epsilon" ausdrücken. Wir vereinfachen den Ausdruck unter dem Modulzeichen:

Das Modul zerstört das Minuszeichen:

Der Nenner ist für jedes "en" positiv, daher können die Stäbchen entfernt werden:

Mischen:

Jetzt müssen wir extrahieren Quadratwurzel, aber der Haken ist, dass für einige Epsilons die rechte Seite negativ ist. Um diesen Ärger zu vermeiden stärken wir uns Ungleichheitsmodul:

Warum ist das möglich? Wenn sich relativ gesehen herausstellt, dass , dann ist die Bedingung umso mehr erfüllt. Das Modul kann einfach erhöhen gesuchte Nummer , und die passt auch zu uns! Grob gesagt, wenn das Hundertstel passt, dann reicht das Zweihundertstel! Laut Definition müssen Sie zeigen die bloße Existenz der Zahl(zumindest einige), danach befinden sich alle Mitglieder der Sequenz in -Nachbarschaft. Deshalb scheuen wir uns übrigens auch nicht vor der abschließenden Rundung der rechten Seite nach oben.

Wurzel ziehen:

Und das Ergebnis runden:

Ausgabe: da der Wert von "Epsilon" wurde willkürlich gewählt, dann für jede willkürlich kleine -Nachbarschaft des Punktes der Wert , so dass die Ungleichung . Auf diese Weise, per Definition. Q.E.D.

ich rate insbesondere die Verstärkung und Abschwächung von Ungleichheiten verstehen - das sind typische und sehr verbreitete Methoden der mathematischen Analyse. Das einzige, was Sie brauchen, um die Richtigkeit dieser oder jener Aktion zu überwachen. Also zum Beispiel die Ungleichheit auf keinen Fall lösen, subtrahieren, sagen wir, eins:

Nochmal Bedingung: Passt die Zahl genau, dann passt die vorherige vielleicht nicht mehr.

Das folgende Beispiel ist für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 3

Beweisen Sie das anhand der Definition einer Folge

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wenn die Reihenfolge unendlich groß, dann wird die Definition des Grenzwerts ähnlich formuliert: Ein Punkt heißt Grenzwert einer Folge, wenn für alle, beliebig groß es gibt eine solche Zahl, dass für alle größeren Zahlen die Ungleichung erfüllt ist. Die Nummer wird angerufen die Nachbarschaft des Punktes "plus unendlich":

Mit anderen Worten, was auch immer sehr wichtig Egal was passiert, der „unendliche Schwanz“ der Folge wird notwendigerweise in die -Nachbarschaft des Punktes gehen, wobei nur eine endliche Anzahl von Termen auf der linken Seite übrig bleibt.

Arbeitsbeispiel:

Und eine abgekürzte Schreibweise: if

Schreiben Sie für den Fall die Definition selbst. Die richtige Version steht am Ende der Lektion.

Nachdem Sie Ihre Hand mit praktischen Beispielen "gefüllt" und die Definition des Grenzwerts einer Folge herausgefunden haben, können Sie sich der Literatur zur mathematischen Analyse und / oder Ihrem Notizbuch mit Vorlesungen zuwenden. Ich empfehle, den ersten Band von Bohan herunterzuladen (einfacher - für Teilzeitstudierende) und Fichtengoltz (detaillierter und gründlicher). Von den anderen Autoren empfehle ich Piskunov, dessen Kurs auf technische Universitäten ausgerichtet ist.

Versuchen Sie, die Sätze, die die Grenze der Folge, ihre Beweise und Konsequenzen betreffen, gewissenhaft zu studieren. Die Theorie mag zunächst „trübe“ erscheinen, aber das ist normal – es ist nur etwas gewöhnungsbedürftig. Und viele kommen sogar auf den Geschmack!

Strenge Definition des Grenzwerts einer Funktion

Beginnen wir mit der gleichen Sache – wie formuliert man dieses Konzept? Die verbale Definition des Grenzwertes einer Funktion ist viel einfacher formuliert: „Eine Zahl ist der Grenzwert einer Funktion, wenn mit „x“ dazu tendiert (sowohl links als auch rechts), die entsprechenden Werte der Funktion tendieren zu » (Zeichnung sehen). Alles scheint normal zu sein, aber Worte sind Worte, Bedeutung ist Bedeutung, ein Symbol ist ein Symbol, und eine strenge mathematische Notation reicht nicht aus. Und im zweiten Absatz werden wir zwei Ansätze zur Lösung dieses Problems kennenlernen.

Lassen Sie die Funktion in einem Intervall definiert sein, außer möglicherweise für den Punkt . IN pädagogische Literatur Es wird allgemein angenommen, dass die Funktion vorhanden ist nicht definiert:

Diese Auswahl hebt hervor das Wesen der Funktionsgrenze: "x" unendlich nah Ansätze , und die entsprechenden Werte der Funktion sind unendlich nah zu . Mit anderen Worten, der Begriff einer Grenze impliziert nämlich keine „exakte Annäherung“ an Punkte unendlich enge Annäherung, spielt es keine Rolle, ob die Funktion an der Stelle definiert ist oder nicht.

Die erste Definition des Grenzwerts einer Funktion wird wenig überraschend mit zwei Sequenzen formuliert. Erstens sind die Konzepte verwandt, und zweitens werden die Grenzen von Funktionen normalerweise nach den Grenzen von Folgen untersucht.

Betrachten Sie die Reihenfolge Punkte (nicht auf der Zeichnung), gehören zum Intervall Und außer, welcher konvergiert zu . Dann bilden die entsprechenden Werte der Funktion ebenfalls eine Zahlenfolge, deren Glieder auf der y-Achse liegen.

Grenze der Heine-Funktion für alle Punktfolgen (zugehörig und verschieden von), die gegen den Punkt konvergiert, konvergiert die entsprechende Folge von Funktionswerten gegen .

Eduard Heine ist ein deutscher Mathematiker. ... Und so etwas braucht man nicht zu denken, es gibt nur einen Schwulen in Europa - das ist Gay-Lussac =)

Die zweite Definition der Grenze wurde gebaut ... ja, ja, Sie haben Recht. Aber schauen wir uns zuerst das Design an. Betrachten Sie eine beliebige -Nachbarschaft des Punktes ("schwarze" Nachbarschaft). Basierend auf dem vorherigen Absatz bedeutet die Notation das irgendein Wert Funktion befindet sich innerhalb der "epsilon"-Umgebung.

Lassen Sie uns nun eine -Nachbarschaft finden, die der gegebenen -Nachbarschaft entspricht (zeichnen Sie im Geiste schwarze gepunktete Linien von links nach rechts und dann von oben nach unten). Beachten Sie, dass der Wert ausgewählt ist entlang der Länge des kleineren Segments, in diesem Fall entlang der Länge des kürzeren linken Segments. Darüber hinaus kann die "karmesinrote" Umgebung eines Punktes sogar reduziert werden, da in der folgenden Definition die bloße Tatsache der Existenz ist wichtig diese Nachbarschaft. Und in ähnlicher Weise bedeutet der Eintrag, dass sich ein Wert innerhalb der „Delta“-Nachbarschaft befindet.

Cauchy-Limit einer Funktion: Die Zahl heißt Grenzwert der Funktion am Punkt if für alle vorausgewählt Nachbarschaft (willkürlich klein), existiert-Nachbarschaft des Punktes , EINE SOLCHE das: ALS NUR Werte (im Besitz) in diesem Bereich enthalten: (rote Pfeile)- SO SOFORT kommen garantiert die entsprechenden Werte der Funktion in die -Nachbarschaft: (blaue Pfeile).

Ich muss Sie warnen, dass ich aus Gründen der Klarheit ein wenig improvisiert habe, also nicht missbrauchen =)

Kurzform: wenn

Was ist die Essenz der Definition? Bildlich gesprochen "begleiten" wir durch die unendliche Verkleinerung der -Nachbarschaft die Werte der Funktion bis an ihre Grenze und lassen ihnen keine Alternative, sich woanders anzunähern. Ziemlich ungewöhnlich, aber wieder streng! Um die Idee richtig zu machen, lesen Sie den Wortlaut noch einmal.

! Aufmerksamkeit: wenn Sie nur formulieren müssen Definition nach Heine oder nur Cauchy-Definition bitte nicht vergessen bedeutsam Vorbemerkung: "Betrachten Sie eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert ist, außer vielleicht einem Punkt". Ich habe das einmal ganz am Anfang gesagt und es nicht jedes Mal wiederholt.

Nach dem entsprechenden Theorem der mathematischen Analyse sind die Definitionen von Heine und Cauchy äquivalent, aber die zweite Variante ist die bekannteste (würde es immer noch!), die auch als „Grenze auf der Zunge“ bezeichnet wird:

Beispiel 4

Beweisen Sie dies anhand der Definition einer Grenze

Lösung: Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl außer dem Punkt definiert. Unter Verwendung der Definition von beweisen wir die Existenz einer Grenze an einem gegebenen Punkt.

Notiz : Die Größe der "Delta"-Nachbarschaft hängt vom "Epsilon" ab, daher die Bezeichnung

Erwägen willkürlich-Nachbarschaft. Die Aufgabe besteht darin, anhand dieses Werts zu prüfen, ob existiert es- Nachbarschaft, EINE SOLCHE, die aus der Ungleichung folgt der Ungleichheit .

Unter der Annahme, dass , transformieren wir die letzte Ungleichung:
(Zerlege das quadratische Trinom)

Definition 1. Lass E- unendlich viele. Wenn irgendeine Nachbarschaft Punkte der Menge enthält E, anders als der Punkt aber, dann aber namens marginal Sollwert E.

Definition 2. (Heinrich Heine (1821-1881)). Lassen Sie die Funktion
am Set definiert x Und ABER namens Grenze Funktionen
am Punkt (oder wann
, wenn für eine beliebige Folge von Argumentwerten
, konvergiert zu , konvergiert die entsprechende Folge von Funktionswerten zur Zahl ABER. Schreiben:
.

Beispiele. 1) Funktion
hat eine Grenze gleich von, an jedem Punkt auf dem Zahlenstrahl.

In der Tat für jeden Punkt und eine beliebige Folge von Argumentwerten
, konvergiert zu und aus anderen Zahlen als bestehen hat die entsprechende Folge von Funktionswerten die Form
, und wir wissen, dass diese Folge gegen konvergiert von. Deshalb
.

2) Für die Funktion

.

Das ist offensichtlich, denn wenn
, dann und
.

3) Dirichlet-Funktion
hat an keiner Stelle eine Begrenzung.

In der Tat, lassen Sie
Und
, und alles sind rationale Zahlen. Dann
für alle n, deshalb
. Wenn
und alle sind also irrationale Zahlen
für alle n, deshalb
. Wir sehen also, dass die Bedingungen von Definition 2 nicht erfüllt sind
existiert nicht.

4)
.

Nehmen Sie in der Tat eine beliebige Sequenz
, konvergiert zu

Nummer 2. Dann . Q.E.D.

Definition 3. (Cauchy (1789-1857)). Lassen Sie die Funktion
am Set definiert x Und ist der Grenzwert dieser Menge. Anzahl ABER namens Grenze Funktionen
am Punkt (oder wann
, falls überhaupt
es wird____geben
, so dass für alle Werte des Arguments x Befriedigung der Ungleichheit

,

die Ungleichheit

.

Schreiben:
.

Die Definition von Cauchy kann auch mit Hilfe von Nachbarschaften gegeben werden, wenn Sie bemerken, dass , a:

lass die funktion
am Set definiert x Und ist der Grenzwert dieser Menge. Anzahl ABER Grenze genannt Funktionen
am Punkt , falls überhaupt -Nachbarschaft eines Punktes ABER
da ist ein durchbohrtes - Nachbarschaft des Punktes
, so dass
.

Es ist sinnvoll, diese Definition mit einer Abbildung zu veranschaulichen.

Beispiel 5.
.

In der Tat, nehmen wir
willkürlich und finden
, so dass für alle x Befriedigung der Ungleichheit
die Ungleichheit
. Die letzte Ungleichung entspricht der Ungleichung
, also sehen wir, dass es genügt zu nehmen
. Die Behauptung ist bewiesen.

Messe

Satz 1. Die Definitionen des Grenzwertes einer Funktion nach Heine und nach Cauchy sind äquivalent.

Nachweisen. 1) Lass
von Cauchy. Beweisen wir, dass die gleiche Zahl auch der Grenzwert nach Heine ist.

Lass uns nehmen
willkürlich. Nach Definition 3 existiert
, so dass für alle
die Ungleichheit
. Lassen
ist eine beliebige Folge, so dass
bei
. Dann gibt es eine Zahl n so dass für alle
die Ungleichheit
, deshalb
für alle
, d.h.

nach Heine.

2) Lassen Sie jetzt
nach Heine. Lassen Sie uns das beweisen
und nach Cauchy.

Nehmen Sie das Gegenteil an, d.h. was
von Cauchy. Dann ist da
so dass für alle
es wird____geben
,
Und
. Betrachten Sie die Reihenfolge
. Für die angegebenen
und alle n existiert

Und
. Das bedeutet es
, obwohl
, d.h. Anzahl ABER ist nicht die Grenze
am Punkt nach Heine. Wir haben einen Widerspruch erhalten, der die Behauptung beweist. Der Satz ist bewiesen.

Satz 2 (zur Eindeutigkeit des Grenzwertes). Wenn es an einem Punkt einen Grenzwert einer Funktion gibt , dann ist es das einzige.

Nachweisen. Ist der Grenzwert im Sinne von Heine definiert, so folgt seine Eindeutigkeit aus der Eindeutigkeit des Grenzwertes der Folge. Ist der Grenzwert von Cauchy definiert, so folgt seine Eindeutigkeit aus der Äquivalenz der Grenzwertdefinitionen von Cauchy und Heine. Der Satz ist bewiesen.

Analog zum Cauchy-Kriterium für Folgen gibt es ein Cauchy-Kriterium für die Existenz eines Grenzwertes einer Funktion. Bevor wir es formulieren, geben wir

Definition 4. Sie sagen, dass die Funktion
erfüllt an dieser Stelle die Cauchy-Bedingung , falls überhaupt
existiert

, so dass
Und
, die Ungleichheit
.

Satz 3 (Cauchys Kriterium für die Existenz eines Grenzwertes). Damit die Funktion
an der Stelle hatte endlicher Grenzwert, es ist notwendig und ausreichend, dass die Funktion an dieser Stelle die Cauchy-Bedingung erfüllt.

Nachweisen.Brauchen. Lassen
. Das müssen wir beweisen
erfüllt an der Stelle die Cauchy-Bedingung.

Lass uns nehmen
willkürlich und gesetzt
. Durch die Definition der Grenze für existiert
, so dass für alle Werte
Befriedigung der Ungleichheiten
Und
, die Ungleichheiten
Und
. Dann

Der Bedarf ist nachgewiesen.

Angemessenheit. Lassen Sie die Funktion
erfüllt an der Stelle die Cauchy-Bedingung. Muss beweisen, dass sie Recht hat Endgrenze.

Lass uns nehmen
willkürlich. Nach Definition 4 gibt es
, so dass aus den Ungleichungen
,
folgt dem
- es ist gegeben.

Zeigen wir das zunächst für eine beliebige Folge
, konvergiert zu , Folge
Funktionswerte konvergieren. In der Tat, wenn
, dann aufgrund der Definition des Grenzwertes der Folge für ein Gegebenes
Es gibt eine Nummer n, so dass für alle

Und
. Soweit
am Punkt die Cauchy-Bedingung erfüllt, haben wir
. Dann, nach dem Cauchy-Kriterium für Folgen, die Folge
konvergiert. Zeigen wir, dass alle diese Folgen
konvergieren gegen die gleiche Grenze. Nehmen Sie das Gegenteil an, d.h. was sind sequenzen
Und
,
,
, so dass. Betrachten wir eine Sequenz. Es ist klar, dass es konvergiert , daher konvergiert die Folge nach obigem, was unmöglich ist, da die Teilfolgen
Und
haben unterschiedliche Grenzen Und . Das zeigt der erhaltene Widerspruch =. Eine Funktion hat also nach Heines Definition einen Punkt Endgrenze. Die Hinlänglichkeit und damit der Satz sind bewiesen.