Dieser Artikel ist über Transformation rationaler Ausdrücke, meist fraktional rational, ist eine der Leitfragen des Algebrakurses für die 8. Klasse. Zunächst erinnern wir uns, welche Art von Ausdrücken als rational bezeichnet werden. Als nächstes konzentrieren wir uns auf die Durchführung von Standardtransformationen mit rationalen Ausdrücken, wie das Gruppieren von Termen, das Entfernen gemeinsamer Faktoren aus Klammern, das Reduzieren ähnlicher Terme usw. Schließlich lernen wir, wie man gebrochene rationale Ausdrücke als rationale Brüche darstellt.

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Definition und Beispiele rationaler Ausdrücke

Rationale Ausdrücke sind eine der Ausdrucksarten, die im Algebraunterricht in der Schule gelernt werden. Lassen Sie uns eine Definition geben.

Definition.

Es werden Ausdrücke genannt, die aus Zahlen, Variablen, Klammern, Graden mit ganzzahligen Exponenten bestehen, die mit den Vorzeichen der arithmetischen Operationen +, −, · und: verbunden sind, wobei die Division durch einen Bruchstrich angezeigt werden kann rationale Ausdrücke.

Hier sind einige Beispiele für rationale Ausdrücke: .

Rationale Ausdrücke werden ab der 7. Klasse gezielt studiert. Darüber hinaus werden in der 7. Klasse die Grundlagen der Arbeit mit den sogenannten ganze rationale Ausdrücke, also mit rationalen Ausdrücken, die keine Unterteilung in Ausdrücke mit Variablen enthalten. Dazu werden konsequent Monome und Polynome sowie die Prinzipien für die Durchführung von Aktionen mit ihnen untersucht. All dieses Wissen ermöglicht es Ihnen schließlich, die Transformation ganzzahliger Ausdrücke durchzuführen.

In Klasse 8 gehen sie zum Studium rationaler Ausdrücke über, die die Division durch einen Ausdruck mit Variablen enthalten, die aufgerufen werden gebrochene rationale Ausdrücke. Dabei wird besonderes Augenmerk auf die sog rationale Brüche(auch genannt algebraische Brüche), also Brüche, deren Zähler und Nenner Polynome enthalten. Damit ist es letztlich möglich, die Transformation rationaler Brüche durchzuführen.

Die erworbenen Fähigkeiten ermöglichen es uns, mit der Transformation rationaler Ausdrücke beliebiger Form fortzufahren. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass jeder rationale Ausdruck als ein Ausdruck angesehen werden kann, der aus rationalen Brüchen und ganzzahligen Ausdrücken besteht, die durch Vorzeichen arithmetischer Operationen verbunden sind. Und wir wissen bereits, wie man mit ganzzahligen Ausdrücken und algebraischen Brüchen arbeitet.

Die Haupttypen von Transformationen rationaler Ausdrücke

Mit rationalen Ausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen durchführen, sei es eine Gruppierung von Begriffen oder Faktoren, das Einbringen ähnlicher Begriffe, das Ausführen von Operationen mit Zahlen usw. Typischerweise ist der Zweck dieser Transformationen rationale Ausdrucksvereinfachung.

Beispiel.

.

Entscheidung.

Es ist klar, dass dieser rationale Ausdruck die Differenz zweier Ausdrücke ist, und außerdem sind diese Ausdrücke ähnlich, da sie denselben wörtlichen Teil haben. Somit können wir eine Reduktion gleicher Terme durchführen:

Antworten:

.

Es ist klar, dass man bei der Durchführung von Transformationen mit rationalen Ausdrücken, wie auch bei allen anderen Ausdrücken, im Rahmen der akzeptierten Handlungsreihenfolge bleiben muss.

Beispiel.

Transformieren Sie den rationalen Ausdruck.

Entscheidung.

Wir wissen, dass die Aktionen in Klammern zuerst ausgeführt werden. Deshalb formen wir zunächst den Klammerausdruck um: 3 x − x=2 x .

Jetzt können Sie das Ergebnis in den ursprünglichen rationalen Ausdruck einsetzen: . So kamen wir zu einem Ausdruck, der die Aktionen einer Stufe enthält - Addition und Multiplikation.

Lassen Sie uns die Klammern am Ende des Ausdrucks loswerden, indem wir die Division-by-Product-Eigenschaft anwenden: .

Schließlich können wir numerische Faktoren und Faktoren mit der Variablen x gruppieren und dann die entsprechenden Operationen mit Zahlen durchführen und anwenden: .

Damit ist die Transformation des rationalen Ausdrucks abgeschlossen, und als Ergebnis erhalten wir ein Monom.

Antworten:

Beispiel.

Transformieren Sie den rationalen Ausdruck .

Entscheidung.

Zuerst wandeln wir Zähler und Nenner um. Diese Reihenfolge der Umwandlung von Brüchen erklärt sich aus der Tatsache, dass der Strich eines Bruchs im Wesentlichen eine andere Teilungsbezeichnung ist und der ursprüngliche rationale Ausdruck im Wesentlichen eine bestimmte Form ist , und die Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt.

Im Zähler führen wir also Operationen mit Polynomen durch, zuerst Multiplikation, dann Subtraktion, und im Nenner gruppieren wir die numerischen Faktoren und berechnen ihr Produkt: .

Stellen wir uns Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs auch als Produkt vor: Plötzlich ist es möglich, den algebraischen Bruch zu kürzen. Dazu verwenden wir im Zähler Differenz der Quadrate Formel, und im Nenner nehmen wir die Zwei aus Klammern heraus, wir haben .

Antworten:

.

Die anfängliche Bekanntschaft mit der Transformation rationaler Ausdrücke kann also als abgeschlossen betrachtet werden. Wir gehen sozusagen zu den süßesten über.

Darstellung als rationaler Bruch

Das häufigste Endziel beim Transformieren von Ausdrücken ist die Vereinfachung ihrer Form. In diesem Licht ist die einfachste Form, in die ein gebrochen rationaler Ausdruck umgewandelt werden kann, ein rationaler (algebraischer) Bruch und in einem bestimmten Fall ein Polynom, ein Monom oder eine Zahl.

Ist es möglich, jeden rationalen Ausdruck in der Form darzustellen rationaler Bruch? Die Antwort ist ja. Lassen Sie uns erklären, warum das so ist.

Wie wir bereits gesagt haben, kann jeder rationale Ausdruck als Polynome und rationale Brüche betrachtet werden, die durch Plus-, Minuszeichen verbunden sind, multiplizieren und dividieren. Alle relevanten Operationen auf Polynomen liefern ein Polynom oder einen rationalen Bruch. Jedes Polynom lässt sich wiederum in einen algebraischen Bruch umwandeln, indem man es mit dem Nenner 1 schreibt. Und Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division rationaler Brüche ergeben einen neuen rationalen Bruch. Nachdem wir also alle Operationen mit Polynomen und rationalen Brüchen in einem rationalen Ausdruck durchgeführt haben, erhalten wir einen rationalen Bruch.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck als rationalen Bruch aus .

Entscheidung.

Der ursprüngliche rationale Ausdruck ist die Differenz zwischen einem Bruch und einem Produkt von Brüchen der Form . Gemäß der Reihenfolge der Operationen müssen wir zuerst die Multiplikation durchführen und erst dann die Addition.

Wir beginnen mit der Multiplikation algebraischer Brüche:

Wir setzen das erhaltene Ergebnis in den ursprünglichen rationalen Ausdruck ein: .

Damit sind wir bei der Subtraktion von algebraischen Brüchen angelangt verschiedene Nenner:

Nachdem wir Aktionen mit rationalen Brüchen durchgeführt hatten, die den ursprünglichen rationalen Ausdruck ausmachen, präsentierten wir ihn als rationalen Bruch.

Antworten:

.

Um das Material zu festigen, werden wir die Lösung eines anderen Beispiels analysieren.

Beispiel.

Drücken Sie einen rationalen Ausdruck als rationalen Bruch aus.

Irgendein gebrochener Ausdruck(Punkt 48) kann geschrieben werden als , wobei P und Q rationale Ausdrücke sind und Q notwendigerweise Variablen enthält. Einen solchen Bruch nennt man rationalen Bruch.

Beispiele für rationale Brüche:

Die Haupteigenschaft eines Bruchs wird durch eine unter den hier gegebenen Bedingungen gültige Identität ausgedrückt - ein ganzer rationaler Ausdruck. Das bedeutet, dass Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit derselben Zahl ungleich Null, einem Monom oder einem Polynom, multipliziert oder dividiert werden können.

Beispielsweise kann die Eigenschaft eines Bruchs verwendet werden, um die Vorzeichen der Glieder eines Bruchs zu ändern. Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit -1 multipliziert werden, erhalten wir also: Der Wert des Bruchs ändert sich nicht, wenn die Vorzeichen von Zähler und Nenner gleichzeitig geändert werden. Wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert der Bruch sein Vorzeichen:

Zum Beispiel,

60. Reduktion rationaler Brüche.

Einen Bruch kürzen bedeutet, Zähler und Nenner eines Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren. Die Möglichkeit einer solchen Reduzierung ergibt sich aus der Haupteigenschaft der Fraktion.

Um einen rationalen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner faktorisieren. Wenn sich herausstellt, dass Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, kann der Bruch gekürzt werden. Wenn es keine gemeinsamen Teiler gibt, ist die Umrechnung des Bruchs durch Kürzung nicht möglich.

Beispiel. Bruchteil reduzieren

Entscheidung. Wir haben

Die Kürzung des Bruchs erfolgt unter der Bedingung .

61. Rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der gemeinsame Nenner mehrerer rationaler Brüche ist der gesamte rationale Ausdruck, der durch den Nenner jedes Bruchs geteilt wird (siehe Punkt 54).

Zum Beispiel dient ein Polynom als gemeinsamer Nenner von Brüchen, da es durch und durch und durch und durch ein Polynom und ein Polynom und ein Polynom usw. teilbar ist. Normalerweise wird ein solcher gemeinsamer Nenner genommen, durch den jeder andere gemeinsame Nenner teilbar ist Echosen. Dieser einfachste Nenner wird manchmal auch als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.

Im obigen Beispiel ist der gemeinsame Nenner Wir haben

Bringt man diese Brüche zu gemeinsamer Nenner erreicht durch Multiplikation des Zählers und Nenners des ersten Bruchs mit 2. und des Zählers und Nenners des zweiten Bruchs mit Polynomen werden zusätzliche Faktoren für den ersten bzw. zweiten Bruch genannt. Der zusätzliche Faktor für einen gegebenen Bruch ist gleich dem Quotienten aus der Division des gemeinsamen Nenners durch den Nenner des gegebenen Bruchs.

Um mehrere rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, benötigen Sie:

1) den Nenner jedes Bruchs in Faktoren zerlegen;

2) einen gemeinsamen Nenner bilden, indem alle Faktoren, die in Absatz 1) der Erweiterungen erhalten wurden, als Faktoren darin enthalten sind; wenn ein bestimmter Faktor in mehreren Erweiterungen existiert, dann wird er mit einem Exponenten genommen, der gleich dem größten der verfügbaren ist;

3) Auffinden zusätzlicher Faktoren für jeden der Brüche (dazu wird der gemeinsame Nenner durch den Nenner des Bruchs dividiert);

4) Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren, den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Beispiel. Reduzieren Sie auf einen gemeinsamen Nenner eines Bruchs

Entscheidung. Faktorisieren wir die Nenner:

Folgende Faktoren müssen in den gemeinsamen Nenner aufgenommen werden: und das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12, 18, 24, also . Der gemeinsame Nenner ist also

Zusätzliche Multiplikatoren: für den ersten Bruch für den zweiten für den dritten Also erhalten wir:

62. Addition und Subtraktion rationaler Brüche.

Die Summe von zwei (und im Allgemeinen jeder endliche Zahl) rationale Brüche mit gleiche Nenner identisch gleich einem Bruch mit gleichem Nenner und Zähler, gleich der Summe Zähler addierter Brüche:

Ähnlich verhält es sich bei der Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner:

Beispiel 1: Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Entscheidung.

Um rationale Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie zuerst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und dann Operationen mit den resultierenden Brüchen mit denselben Nennern durchführen.

Beispiel 2: Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Entscheidung. Wir haben

63. Multiplikation und Division rationaler Brüche.

Das Produkt zweier (und im Allgemeinen jeder endlichen Zahl) rationaler Brüche ist identisch gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem Produkt der Zähler ist, und der Nenner ist das Produkt der Nenner der multiplizierten Brüche:

Der Quotient der Division zweier rationaler Brüche ist identisch gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem Produkt des Zählers des ersten Bruchs durch den Nenner des zweiten Bruchs ist, und dessen Nenner das Produkt des Nenners des ersten Bruchs durch ist Zähler des zweiten Bruchs:

Die formulierten Regeln für Multiplikation und Division gelten auch für den Fall der Multiplikation oder Division mit einem Polynom: Es genügt, dieses Polynom als Bruch mit dem Nenner 1 zu schreiben.

Angesichts der Möglichkeit, einen rationalen Bruch zu kürzen, der durch Multiplizieren oder Dividieren rationaler Brüche erhalten wird, wird normalerweise versucht, die Zähler und Nenner der ursprünglichen Brüche zu faktorisieren, bevor diese Operationen durchgeführt werden.

Beispiel 1. Multiplizieren

Entscheidung. Wir haben

Unter Verwendung der Regel der Multiplikation von Brüchen erhalten wir:

Beispiel 2: Division durchführen

Entscheidung. Wir haben

Mit der Divisionsregel erhalten wir:

64. Erhöhen eines rationalen Bruchs auf eine ganzzahlige Potenz.

Um einen rationalen Bruch zu erhöhen natürlichen Grad, müssen Sie Zähler und Nenner des Bruchs separat potenzieren; der erste Ausdruck ist der Zähler und der zweite Ausdruck der Nenner des Ergebnisses:

Beispiel 1. Wandle eine Potenz von 3 in einen Bruch um.

Lösung Lösung.

Beim Potenzieren eines Bruchs mit einer negativen ganzzahligen Potenz wird eine Identität verwendet, die für alle Werte der Variablen gültig ist, für die .

Beispiel 2. Ausdruck in Bruch umwandeln

65. Transformation rationaler Ausdrücke.

Die Transformation eines jeden rationalen Ausdrucks läuft auf das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von rationalen Brüchen sowie das Potenzieren eines Bruchs mit einer natürlichen Potenz hinaus. Jeder rationale Ausdruck kann in einen Bruch umgewandelt werden, dessen Zähler und Nenner ganzzahlige rationale Ausdrücke sind; das ist normalerweise das Ziel identische Transformationen rationale Ausdrücke.

Beispiel. Ausdruck vereinfachen

66. Die einfachsten Transformationen arithmetischer Wurzeln (Wurzeln).

Bei der Umrechnung arithmetischer Coria werden deren Eigenschaften verwendet (siehe Punkt 35).

Betrachten wir einige Beispiele für die Anwendung der Eigenschaften von arithmetischen Wurzeln für die einfachsten Transformationen von Radikalen. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass alle Variablen nur nicht negative Werte annehmen.

Beispiel 1. Extrahieren Sie die Wurzel des Produkts

Entscheidung. Wenn wir die Eigenschaft 1° anwenden, erhalten wir:

Beispiel 2. Nehmen Sie den Faktor unter dem Wurzelzeichen heraus

Entscheidung.

Eine solche Transformation wird als Ausklammern unter dem Wurzelzeichen bezeichnet. Der Zweck der Transformation besteht darin, den Wurzelausdruck zu vereinfachen.

Beispiel 3: Vereinfachen.

Entscheidung. Gemäß Eigenschaft 3° versuchen wir normalerweise, den Wurzelausdruck zu vereinfachen, wofür sie die Multiplikatoren jenseits des Coriumzeichens herausnehmen. Wir haben

Beispiel 4: Vereinfachen

Entscheidung. Wir wandeln den Ausdruck um, indem wir unter dem Vorzeichen der Wurzel einen Faktor einführen: Nach Eigenschaft 4° haben wir

Beispiel 5: Vereinfachen

Entscheidung. Nach Eigenschaft 5° haben wir das Recht, den Exponenten der Wurzel und den Exponenten des Wurzelausdrucks in denselben zu teilen natürliche Zahl. Wenn wir im betrachteten Beispiel die angegebenen Indikatoren durch 3 teilen, erhalten wir .

Beispiel 6. Ausdrücke vereinfachen:

Lösung a) Durch die Eigenschaft 1° erhalten wir, dass es zum Multiplizieren von Wurzeln gleichen Grades ausreicht, die Wurzelausdrücke zu multiplizieren und die Wurzel desselben Grades aus dem erhaltenen Ergebnis zu ziehen. Meint,

b) Zunächst müssen wir die Radikale auf einen Index reduzieren. Nach Eigenschaft 5° können wir den Exponenten der Wurzel mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren. Als nächstes haben wir nun das Ergebnis, das wir erhalten, indem wir die Indikatoren der Wurzel und den Grad des Wurzelausdrucks durch 3 dividieren, wir erhalten .

Der Artikel erzählt von der Transformation rationaler Ausdrücke. Betrachten Sie die Arten rationaler Ausdrücke, ihre Transformationen, Gruppierungen und Klammern des gemeinsamen Faktors. Lassen Sie uns lernen, wie man gebrochene rationale Ausdrücke als rationale Brüche darstellt.

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Definition und Beispiele rationaler Ausdrücke

Bestimmung 1

Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Klammern, Graden mit den Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division mit Vorhandensein eines Bruchstrichs bestehen, werden aufgerufen rationale Ausdrücke.

Zum Beispiel haben wir das 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Das heißt, dies sind Ausdrücke, die nicht in Ausdrücke mit Variablen unterteilt sind. Das Studium rationaler Ausdrücke beginnt mit Klasse 8, wo sie als gebrochene rationale Ausdrücke bezeichnet werden.Besonderes Augenmerk wird auf Brüche im Zähler gelegt, die mithilfe von Transformationsregeln umgewandelt werden.

Dies ermöglicht uns, mit der Transformation rationaler Brüche beliebiger Form fortzufahren. Ein solcher Ausdruck kann als Ausdruck mit dem Vorhandensein von rationalen Brüchen und ganzzahligen Ausdrücken mit Aktionszeichen betrachtet werden.

Die Haupttypen von Transformationen rationaler Ausdrücke

Rationale Ausdrücke werden verwendet, um identische Transformationen, Gruppierungen, Umformungen wie Einsen und andere Operationen mit Zahlen durchzuführen. Der Zweck solcher Ausdrücke ist die Vereinfachung.

Beispiel 1

Konvertieren Sie den rationalen Ausdruck 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Entscheidung

Man sieht, dass ein solcher rationaler Ausdruck die Differenz 3 · x x · y – 1 und 2 · x x · y – 1 ist. Beachten Sie, dass sie denselben Nenner haben. Dies bedeutet, dass die Reduktion ähnlicher Begriffe die Form annimmt

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Antworten: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Beispiel 2

Führen Sie die Transformation 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) durch.

Entscheidung

Zunächst führen wir Aktionen in Klammern 3 · x − x = 2 · x aus. Dieser Ausdruck darstellen in der Form 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) \u003d 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Wir gelangen zu einem Ausdruck, der Aktionen mit einer Stufe enthält, also Addition und Subtraktion.

Befreien Sie sich von Klammern, indem Sie die Divisionseigenschaft anwenden. Dann erhalten wir das 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Wir gruppieren die numerischen Faktoren mit der Variablen x, danach können wir Operationen mit Potenzen durchführen. Das verstehen wir

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Antworten: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Beispiel 3

Wandeln Sie einen Ausdruck der Form x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 um.

Entscheidung

Zuerst konvertieren wir Zähler und Nenner. Dann erhalten wir einen Ausdruck der Form (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, und die Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt. Im Zähler werden Aktionen ausgeführt und Faktoren gruppiert. Dann erhalten wir einen Ausdruck der Form x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Wir wandeln die Formel für die Differenz der Quadrate in den Zähler um, dann bekommen wir das

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Antworten: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Darstellung als rationaler Bruch

Ein algebraischer Bruch wird beim Lösen meistens einer Vereinfachung unterzogen. Jede Rationale wird auf unterschiedliche Weise dazu gebracht. Es ist notwendig, alle notwendigen Operationen mit Polynomen durchzuführen, damit der rationale Ausdruck schließlich einen rationalen Bruch ergeben kann.

Beispiel 4

Drücke als rationalen Bruch a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a aus.

Entscheidung

Dieser Ausdruck kann als 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a dargestellt werden. Die Multiplikation wird zunächst nach den Regeln durchgeführt.

Wir sollten mit der Multiplikation beginnen, dann bekommen wir das hin

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Wir erstellen eine Darstellung des mit dem Original erzielten Ergebnisses. Das verstehen wir

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Jetzt machen wir die Subtraktion:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Danach ist es offensichtlich, dass der ursprüngliche Ausdruck die Form 16 a 2 - 9 annehmen wird.

Antworten: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Beispiel 5

Drücken Sie x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x als rationalen Bruch aus.

Entscheidung

Der gegebene Ausdruck wird als Bruch geschrieben, in dessen Zähler x x + 1 + 1 und in dessen Nenner 2 x - 1 1 + x steht. Es ist notwendig, Transformationen x x + 1 + 1 vorzunehmen. Dazu müssen Sie einen Bruch und eine Zahl addieren. Wir erhalten, dass x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Daraus folgt, dass x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Der resultierende Bruch kann als 2 x + 1 x + 1 geschrieben werden: 2 x - 1 1 + x .

Nach der Division erhalten wir einen rationalen Bruch der Form

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Du kannst es anders lösen.

Statt durch 2 x - 1 1 + x zu dividieren, multiplizieren wir mit dem Kehrwert von 1 + x 2 x - 1 . Wenden wir die Verteilungseigenschaft an, erhalten wir das

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Antworten: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

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Diese Lektion behandelt die grundlegenden Informationen über rationale Ausdrücke und ihre Transformationen sowie Beispiele für die Transformation rationaler Ausdrücke. Dieses Thema als ob wir die Themen zusammenfassen würden, die wir bisher studiert haben. Transformationen rationaler Ausdrücke umfassen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren mit algebraischen Brüchen, Reduktion, Faktorisierung usw. Als Teil der Lektion werden wir uns ansehen, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch Beispiele für ihre Transformation analysieren .

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Grundlegende Informationen zu rationalen Ausdrücken und deren Transformationen

Definition

rationaler Ausdruck ist ein Ausdruck bestehend aus Zahlen, Variablen, Rechenoperationen und Potenzierungsoperationen.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen rationalen Ausdruck:

Sonderfälle rationaler Ausdrücke:

1. Grad: ;

2. Monom: ;

3. Fraktion: .

Rationale Ausdruckstransformation ist eine Vereinfachung eines rationalen Ausdrucks. Die Reihenfolge der Operationen beim Konvertieren rationaler Ausdrücke: Zuerst gibt es Aktionen in Klammern, dann Multiplikations- (Divisions-) und dann Additions- (Subtraktions-) Operationen.

Betrachten wir einige Beispiele zur Transformation rationaler Ausdrücke.

Beispiel 1

Entscheidung:

Lassen Sie uns dieses Beispiel Schritt für Schritt lösen. Die Aktion in Klammern wird zuerst ausgeführt.

Antworten:

Beispiel 2

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 3

Entscheidung:

Antworten: .

Notiz: vielleicht ist Ihnen beim Anblick dieses Beispiels eine Idee gekommen: kürzen Sie den Bruch vor dem Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner. In der Tat ist es absolut richtig: Zuerst ist es wünschenswert, den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen und ihn dann umzuwandeln. Versuchen wir, dasselbe Beispiel auf die zweite Art zu lösen.

Wie Sie sehen, war die Antwort absolut ähnlich, aber die Lösung war etwas einfacher.

In dieser Lektion haben wir uns angesehen rationale Ausdrücke und ihre Transformationen, sowie mehrere spezifische Beispiele dieser Transformationen.

Referenzliste

1. Bashmakov M.I. Algebra Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 8. - 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.

Diese Lektion behandelt die grundlegenden Informationen über rationale Ausdrücke und ihre Transformationen sowie Beispiele für die Transformation rationaler Ausdrücke. Dieses Thema fasst die Themen zusammen, die wir bisher untersucht haben. Transformationen rationaler Ausdrücke umfassen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren mit algebraischen Brüchen, Reduktion, Faktorisierung usw. Als Teil der Lektion werden wir uns ansehen, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch Beispiele für ihre Transformation analysieren .

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Grundlegende Informationen zu rationalen Ausdrücken und deren Transformationen

Definition

rationaler Ausdruck ist ein Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, arithmetischen Operationen und Potenzierung besteht.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen rationalen Ausdruck:

Sonderfälle rationaler Ausdrücke:

1. Grad: ;

2. Monom: ;

3. Fraktion: .

Rationale Ausdruckstransformation ist eine Vereinfachung eines rationalen Ausdrucks. Die Reihenfolge der Operationen beim Konvertieren rationaler Ausdrücke: Zuerst gibt es Aktionen in Klammern, dann Multiplikations- (Divisions-) und dann Additions- (Subtraktions-) Operationen.

Betrachten wir einige Beispiele zur Transformation rationaler Ausdrücke.

Beispiel 1

Entscheidung:

Lassen Sie uns dieses Beispiel Schritt für Schritt lösen. Die Aktion in Klammern wird zuerst ausgeführt.

Antworten:

Beispiel 2

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 3

Entscheidung:

Antworten: .

Notiz: vielleicht ist Ihnen beim Anblick dieses Beispiels eine Idee gekommen: kürzen Sie den Bruch vor dem Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner. In der Tat ist es absolut richtig: Zuerst ist es wünschenswert, den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen und ihn dann umzuwandeln. Versuchen wir, dasselbe Beispiel auf die zweite Art zu lösen.

Wie Sie sehen, war die Antwort absolut ähnlich, aber die Lösung war etwas einfacher.

In dieser Lektion haben wir uns angesehen rationale Ausdrücke und ihre Transformationen, sowie mehrere spezifische Beispiele dieser Transformationen.

Referenzliste

1. Bashmakov M.I. Algebra Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 8. - 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.