Bestimmung der Wurzel des ten Grades aus dem Real. Wurzel von Grad n: grundlegende Definitionen. Die Wurzel des Grades n. Definition

Unterricht und Präsentation zum Thema: „n-te Wurzel einer reellen Zahl“

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Die Wurzel des Grades n. Wiederholung der Vergangenheit.

Leute, das Thema der heutigen Lektion heißt "n-te Wurzel einer reellen Zahl".
Wir haben die Quadratwurzel einer reellen Zahl in der 8. Klasse studiert. Die Quadratwurzel ist mit einer Funktion der Form $y=x^2$ verknüpft. Leute, erinnerst du dich, wie wir die Quadratwurzeln berechnet haben und welche Eigenschaften sie hatten? Wiederholen Sie dieses Thema selbst.
Betrachten wir eine Funktion der Form $y=x^4$ und zeichnen ihren Graphen.

Löse nun grafisch die Gleichung: $x^4=16$.
Lassen Sie uns eine gerade Linie $y=16$ in unseren Graphen der Funktion zeichnen und sehen, an welchen Punkten sich unsere beiden Graphen schneiden.
Der Graph der Funktion zeigt deutlich, dass wir zwei Lösungen haben. Die Funktionen schneiden sich an zwei Punkten mit den Koordinaten (-2;16) und (2;16). Die Abszissen unserer Punkte sind die Lösungen unserer Gleichung: $x_1=-2$ und $x_2=2$. Es ist auch einfach, die Wurzeln der Gleichung $x^4=1$ zu finden, offensichtlich $x_1=-1$ und $x_2=1$.
Was ist, wenn es eine Gleichung $x^4=7$ gibt?
Lassen Sie uns unsere Funktionen plotten:
Unsere Grafik zeigt deutlich, dass die Gleichung auch zwei Wurzeln hat. Sie sind symmetrisch zur y-Achse, also entgegengesetzt. Es ist nicht möglich, die exakte Lösung aus dem Funktionsgraphen zu finden. Wir können nur sagen, dass unsere Lösungen modulo kleiner als 2, aber größer als 1 sind. Wir können auch sagen, dass unsere Wurzeln irrationale Zahlen sind.
Angesichts eines solchen Problems mussten Mathematiker es beschreiben. Sie führten eine neue Notation ein: $\sqrt()$, die sie die vierte Wurzel nannten. Dann werden die Wurzeln unserer Gleichung $x^4=7$ in dieser Form geschrieben: $x_1=-\sqrt(7)$ und $x_2=\sqrt(7)$. Es liest sich wie die vierte Wurzel aus sieben.
Wir sprachen über eine Gleichung der Form $x^4=a$, wobei $a>0$ $(a=1,7,16)$. Wir können Gleichungen der Form betrachten: $x^n=a$, wobei $a>0$, n beliebig ist natürliche Zahl.
Wir sollten auf den Grad bei x achten, ob der Grad gerade oder ungerade ist - die Anzahl der Lösungen ändert sich. Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Lösen wir die Gleichung $x^5=8$. Lassen Sie uns Graphen der Funktion erstellen:
Der Graph der Funktionen zeigt deutlich, dass wir in unserem Fall nur eine Lösung haben. Die Lösung wird normalerweise als $\sqrt(8)$ bezeichnet. Wenn man eine Gleichung der Form $x^5=a$ löst und entlang der gesamten y-Achse läuft, ist es leicht zu verstehen, dass diese Gleichung immer eine Lösung haben wird. In diesem Fall kann der Wert von a kleiner als Null sein.

Die Wurzel des Grades n. Definition

Definition. Die Wurzel n-ten Grades ($n=2,3,4…$) einer nicht negativen Zahl a heißt solche nicht negative Zahl, mit n potenziert ergibt sich die Zahl a.

Diese Zahl wird als $\sqrt[n](a)$ bezeichnet. Die Zahl a heißt Wurzelzahl, n ist der Index der Wurzel.

Die Wurzeln zweiten und dritten Grades heißen Quadrat- bzw. Kubikwurzeln. Wir haben sie in der achten und neunten Klasse studiert.
Wenn $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, dann:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Die Operation, die Wurzel einer nicht negativen Zahl zu finden, wird aufgerufen "Wurzelextraktion".
Exponentiation und Wurzelextraktion sind die gleiche Abhängigkeit:

Leute, bitte beachten Sie, dass in der Tabelle nur positive Zahlen angezeigt werden. In der Definition haben wir festgelegt, dass die Wurzel nur aus einer nicht negativen Zahl a gezogen wird. Als nächstes werden wir klären, wann es möglich ist, die Wurzel aus einer negativen Zahl a zu ziehen.

Die Wurzel des Grades n. Lösungsbeispiele

Berechnung:
a) $\sqrt(64)$.
Lösung: $\sqrt(64)=8$ da $8>0$ und $8^2=64$.

B) $\sqrt(0.064)$.
Lösung: $\sqrt(0.064)=0.4$ da $0.4>0$ und $0.4^3=0.064$.

C) $\sqrt(0)$.
Lösung: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Lösung: In diesem Beispiel können wir den genauen Wert nicht herausfinden, unsere Zahl ist irrational. Aber wir können sagen, dass es größer als 2 und kleiner als 3 ist, da 2 hoch 5 32 und 3 hoch 5 243 ist. 34 liegt zwischen diesen Zahlen. Einen ungefähren Wert finden wir mit einem Taschenrechner, der die Wurzeln $\sqrt(34)≈2,02$ auf Tausendstel genau berechnen kann.
In unserer Definition haben wir uns darauf geeinigt, die Wurzeln n-ten Grades nur aus positiven Zahlen zu berechnen. Zu Beginn der Lektion haben wir ein Beispiel gesehen, dass Sie die Wurzeln des n-ten Grades aus negativen Zahlen ziehen können. Wir haben den ungeraden Exponenten der Funktion betrachtet und wollen nun einige Klarstellungen vornehmen.

Definition. Die Wurzel eines ungeraden Grades n (n = 3,5,7,9 ...) aus einer negativen Zahl a ist eine solche negative Zahl, wenn man sie mit n potenziert, erhält man a.

Die Bezeichnung wird meist gleich verwendet.
Wenn $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Eine gerade Wurzel macht nur bei einer positiven Wurzelzahl Sinn, eine ungerade Wurzel macht bei jeder Wurzelzahl Sinn.

Beispiele.
a) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Lösung: Wenn $\sqrt(y)=-3$ dann $y=-27$. Das heißt, beide Seiten unserer Gleichung müssen dreifach geteilt werden.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

B) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(2x-1)=1$.
Erhebe beide Teile in die vierte Potenz:
$2x-1=1$.
$2x=2$.
$x=1$.

C) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Lösung: Nach unserer Definition kann die Wurzel eines geraden Grades nur aus einer positiven Zahl gezogen werden, und wir bekommen eine negative, dann gibt es keine Wurzeln.

D) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Lösung: Erhöhen Sie beide Seiten der Gleichung in die fünfte Potenz:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ und $x_2=3$.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1. Berechnen:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0.0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Lösen Sie die Gleichungen:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

X 4 =1 und löse es grafisch. Dazu konstruieren wir in einem Koordinatensystem einen Graphen der Funktion y \u003d x n eine gerade Linie y \u003d 1 (Abb. 164 a). Sie schneiden sich an zwei Punkten:

Sie sind die Wurzeln der Gleichung x 4 \u003d 1.
Auf die gleiche Weise finden wir die Wurzeln der Gleichung x 4 \u003d 16:

Und jetzt versuchen wir, die Gleichung x 4 \u003d 5 zu lösen; die geometrische darstellung ist in abb. 164 b. Es ist klar, dass die Gleichung zwei Wurzeln x 1 und x 2 hat, und diese Zahlen, wie in den beiden vorherigen Fällen, einander entgegengesetzt sind. Aber für die ersten beiden Gleichungen Wurzeln wurden ohne Schwierigkeiten gefunden (sie konnten ohne Verwendung von Graphen gefunden werden), aber es gibt Probleme mit der Gleichung x 4 \u003d 5: Gemäß der Zeichnung geben wir die Werte der Wurzeln nicht an, aber wir können nur Stellen Sie fest, dass sich eine Wurzel links vom Punkt -1 und die zweite - rechts von Punkt 1 befindet.
Es kann bewiesen werden (ähnlich wie in unserem Algebra-8-Lehrbuch für die Zahl l / b), dass x 1 und x 2 irrationale Zahlen sind (d. h. unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche).

Als Mathematiker zum ersten Mal mit einer solchen Situation konfrontiert wurden, erkannten sie, dass sie einen Weg finden mussten, sie in Begriffen von zu beschreiben mathematische Sprache. Sie führten ein neues Symbol in Betracht, das sie Wurzel vierten Grades nannten, und mit Hilfe dieses Symbols wurden die Wurzeln der Gleichung x 4 \u003d 5 wie folgt geschrieben: (gelesen: "vierte Wurzel aus fünf").

Bemerkung 1. Vergleichen Sie diese Argumente mit ähnlichen Argumenten in § 17, 32 und 38. Neue Begriffe und neue Notationen in der Mathematik erscheinen, wenn sie zur Beschreibung einer neuen Mathematik erforderlich sind Modelle. Dies spiegelt die Besonderheiten der mathematischen Sprache wider: Ihre Hauptfunktion ist nicht kommunikativ – für die Kommunikation, sondern organisierend – für die Organisation erfolgreiche Arbeit mit mathematischen Modellen in verschiedene Bereiche Wissen.

Wir haben über die Gleichung x 4 \u003d a gesprochen, wobei a > 0 ist. Mit gleichem Erfolg könnten wir auch über die Gleichung x 4 \u003d a sprechen, wobei a > 0 und n eine beliebige natürliche Zahl ist. Wenn wir beispielsweise die Gleichung x 5 \u003d 1 grafisch lösen, finden wir x \u003d 1 (Abb. 165); Wenn wir die Gleichung x 5 "= 7 lösen, stellen wir fest, dass die Gleichung eine Wurzel xr hat, die sich auf der x-Achse etwas rechts von Punkt 1 befindet (siehe Abb. 165). Für die Zahl xx führen wir die Notation Hh ein .

Im Allgemeinen erhalten wir beim Lösen der Gleichung x n \u003d a, wobei a> 0, n e N, n> 1, im Fall von geradem n zwei Wurzeln: (Abb. 164, c); im Fall von ungeraden n - eine Wurzel (sprich: "root nter Grad ab Ziffer a). Wenn wir die Gleichung x p \u003d 0 lösen, erhalten wir die einzige Wurzel x \u003d 0.

Bemerkung 2. In der mathematischen Sprache kommt es wie in der gewöhnlichen Sprache vor, dass derselbe Begriff auf verschiedene Begriffe angewendet wird; Daher wird das Wort "Wurzel" im vorherigen Satz in zwei Bedeutungen verwendet: als Wurzel der Gleichung (Sie sind an eine solche Interpretation seit langem gewöhnt) und als Wurzel l-ter Grad aus einer Zahl (Neuinterpretation). Aus dem Kontext geht meist hervor, welche Auslegung des Begriffs gemeint ist.

Wir sind jetzt bereit, eine genaue Definition zu geben.

Bestimmung 1. Wurzel l-th Grad aus einer nicht negativen Zahl a (n = 2, 3,4, 5, ...) ist eine nicht negative Zahl, die mit n potenziert die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird bezeichnet, die Zahl a wird Wurzelzahl genannt und die Zahl n ist Wurzelindex.
Wenn n \u003d 2, dann sagen sie normalerweise nicht "Wurzel zweiten Grades", sondern ""Quadratwurzel". Schreiben Sie in diesem Fall nicht Das ist der eine besonderer Fall, die Sie im Algebrakurs der 8. Klasse gezielt studiert haben.

Wenn n \u003d 3, dann sagen sie anstelle von "Wurzel dritten Grades" oft "Würfelwurzel". Ihre erste Bekanntschaft mit der Kubikwurzel fand auch im Algebrakurs der 8. Klasse statt. Wir haben die Kubikwurzel in § 36 beim Lösen von Beispiel 6 verwendet.

Eigentlich ist es dasselbe mathematisches Modell(die gleiche Beziehung zwischen den nicht negativen Zahlen a und b), aber nur die zweite wird näher beschrieben einfache Sprache(verwendet einfachere Zeichen) als die erste.

Die Operation, die Wurzel einer nicht negativen Zahl zu finden, wird normalerweise als Wurzelziehen bezeichnet. Diese Operation ist die Umkehrung des Potenzierens mit der entsprechenden Potenz. Vergleichen:

Manchmal wird der Ausdruck als Radikal bezeichnet (vom lateinischen Wort gadix - "Wurzel"). Im Russischen wird der Begriff radikal oft verwendet, zum Beispiel bedeutet „radikale Veränderungen“ „radikale Veränderungen“. Übrigens erinnert schon die Bezeichnung der Wurzel an das Wort gadix: Das Symbol ist ein stilisierter Buchstabe r.

Beispiel 1 Berechnung:

d) Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen können wir den genauen Wert der Zahl nicht angeben.Es ist nur klar, dass sie größer als 2, aber kleiner als 3 ist, da 2 4 \u003d 16 (das ist weniger als 17) und 3 4 \u003d 81 (das sind mehr als 17). Beachten Sie, dass 24 viel näher an 17 liegt als 34, daher gibt es einen Grund, ein ungefähres Gleichheitszeichen zu verwenden:

Ein genauerer Näherungswert der Zahl kann jedoch mit einem Taschenrechner gefunden werden, der die Wurzelziehoperation enthält, die ungefähr gleich ist
Auch bei negativer Wurzelzahl wird das Wurzelziehen bestimmt, aber nur bei ungeradem Wurzelexponenten. Mit anderen Worten, die Gleichheit (-2)5 =-32 kann in äquivalenter Form als umgeschrieben werden. Hier wird die folgende Definition verwendet.

Bestimmung 2. Die Wurzel eines ungeraden Grads l aus einer negativen Zahl a (n \u003d 3,5, ...) ist eine negative Zahl, die, wenn sie mit n potenziert wird, die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird wie in Definition 1 mit bezeichnet, die Zahl a ist die Wurzelzahl, die Zahl n ist der Wurzelindex.
So,

Daher ist eine gerade Wurzel nur für einen nicht negativen Radikalausdruck sinnvoll (d. h. definiert); eine ungerade Wurzel ist für jeden radikalen Ausdruck sinnvoll.
Beispiel 2. Gleichungen lösen:

Entscheidung: und wenn Eigentlich beide Teile gegebene Gleichung wir müssen würfeln. Wir bekommen:

b) Wir argumentieren wie in Beispiel a) und erheben beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz. Wir bekommen:

AG Mordkovich Algebra Klasse 10

Unterrichtsinhalt Lektion Zusammenfassung Unterstützungsrahmen Unterrichtspräsentation beschleunigende Methoden interaktive Technologien Trainieren Aufgaben und Übungen Selbstprüfung Workshops, Trainings, Fälle, Quests Hausaufgaben Diskussion Fragen rhetorische Fragen von Studenten Illustrationen Audio, Videoclips und Multimedia Fotografien, Bilder, Grafiken, Tabellen, Schemata, Humor, Anekdoten, Witze, Comics, Parabeln, Sprüche, Kreuzworträtsel, Zitate Add-Ons Zusammenfassungen Artikel Chips für Neugierige Spickzettel Lehrbücher Grund- und Zusatzwörterbuch Sonstiges Verbesserung von Lehrbüchern und UnterrichtKorrektur von Fehlern im Lehrbuch Aktualisierung eines Fragments in den Lehrbuchelementen der Innovation im Unterricht Ersetzen von veraltetem Wissen durch neues Nur für Lehrer perfekter Unterricht Kalenderplan für ein Jahr Richtlinien Diskussionsprogramme Integrierter Unterricht

Unterrichtsskript in Klasse 11 zum Thema:

Die n-te Wurzel einer reellen Zahl. »

Das Ziel des Unterrichts: Bildung einer ganzheitlichen Sicht auf die Wurzel bei Studenten n Grad und die arithmetische Wurzel des n-ten Grades, die Bildung von Rechenfähigkeiten, Fähigkeiten des Bewusstseins und rationelle Nutzung Eigenschaften der Wurzel bei der Lösung verschiedener Probleme, die ein Radikal enthalten. Überprüfung des Niveaus der Beherrschung der Fragen des Themas durch die Schüler.

Gegenstand:schaffen sinnvolle und organisatorische Voraussetzungen für die Aneignung von Stoffen zum Thema " Numerische und alphabetische Ausdrücke » auf der Ebene der Wahrnehmung, des Verständnisses und des primären Auswendiglernens; um die Fähigkeit zu bilden, diese Informationen in der Berechnung anzuwenden Wurzel n Grad von einer reellen Zahl;

Metasubjekt: Förderung der Entwicklung von Computerkenntnissen; die Fähigkeit zu analysieren, zu vergleichen, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen;

Persönlich: die Fähigkeit zu kultivieren, den eigenen Standpunkt zu äußern, den Antworten anderer zuzuhören, am Dialog teilzunehmen, die Fähigkeit zur positiven Zusammenarbeit zu entwickeln.

Geplantes Ergebnis.

Gegenstand: in der Lage sein, die Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades aus einer reellen Zahl im Prozess einer realen Situation beim Berechnen der Wurzeln und beim Lösen von Gleichungen anzuwenden.

Persönlich: Achtsamkeit und Genauigkeit in Berechnungen zu entwickeln, eine anspruchsvolle Haltung gegenüber sich selbst und der eigenen Arbeit zu entwickeln, ein Gefühl der gegenseitigen Unterstützung zu kultivieren.

Unterrichtstyp: Lernunterricht und primäre Festigung des neuen Wissens

Motivation für Lernaktivitäten:

Die östliche Weisheit sagt: "Du kannst ein Pferd zum Wasser führen, aber du kannst es nicht zum Trinken bringen." Und es ist unmöglich, jemanden zu zwingen, gut zu lernen, wenn er selbst nicht versucht, mehr zu lernen, keine Lust hat, an seinem zu arbeiten geistige Entwicklung. Wissen ist schließlich nur dann Wissen, wenn es durch eigene Denkanstrengungen und nicht allein durch Erinnerung erworben wird.

Unser Unterricht steht unter dem Motto: „Wir werden jeden Gipfel erobern, wenn wir danach streben.“ Während des Unterrichts müssen Sie und ich Zeit haben, mehrere Gipfel zu überwinden, und jeder von Ihnen muss alle Anstrengungen unternehmen, um diese Gipfel zu erobern.

„Heute haben wir eine Lektion, in der wir uns mit einem neuen Konzept vertraut machen müssen: „n-te Wurzel“ und lernen, wie man dieses Konzept auf die Transformation verschiedener Ausdrücke anwendet.

Ihr Ziel ist es, vorhandenes Wissen anhand verschiedener Arbeitsformen zu aktivieren, zum Studium des Stoffes beizutragen und gute Noten zu bekommen.
Wir haben die Quadratwurzel einer reellen Zahl in der 8. Klasse studiert. Die Quadratwurzel hängt mit der Ansichtsfunktion zusammen j=x 2. Leute, erinnerst du dich, wie wir die Quadratwurzeln berechnet haben und welche Eigenschaften sie hatten?
a) Einzelbefragung:

was ist das für ein ausdruck

was ist eine quadratwurzel

was ist die arithmetische quadratwurzel

Eigenschaften der Quadratwurzel auflisten

b) Paararbeit: rechnen.

2. Wissen aktualisieren und Problemsituation schaffen: Lösen Sie die Gleichung x 4 =1. Wie können wir es lösen? (Analytisch und grafisch). Lösen wir es grafisch. Dazu konstruieren wir in einem Koordinatensystem einen Graphen der Funktion y \u003d x 4 Gerade y \u003d 1 (Abb. 164 a). Sie schneiden sich an zwei Punkten: A (-1;1) und B(1;1). Die Abszissen der Punkte A und B, d.h. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1 sind die Wurzeln der Gleichung x 4 \u003d 1.
Auf die gleiche Weise finden wir die Wurzeln der Gleichung x 4 \u003d 16: Versuchen wir nun, die Gleichung x 4 \u003d 5 zu lösen; die geometrische darstellung ist in abb. 164 b. Es ist klar, dass die Gleichung zwei Wurzeln x 1 und x 2 hat, und diese Zahlen, wie in den beiden vorherigen Fällen, einander entgegengesetzt sind. Aber für die ersten beiden Gleichungen wurden die Wurzeln problemlos gefunden (sie könnten auch ohne Verwendung von Graphen gefunden werden), und es gibt Probleme mit der Gleichung x 4 \u003d 5: Laut Zeichnung können wir die Werte \ nicht angeben u200b\u200bder Wurzeln, aber wir können nur feststellen, dass sich eine Wurzel am linken Punkt -1 und die zweite - rechts von Punkt 1 befindet.

x 2 \u003d - (sprich: "vierte Wurzel von fünf").

Wir sprachen über die Gleichung x 4 \u003d a, wobei a 0. Mit gleichem Erfolg könnten wir über die Gleichung x 4 \u003d a sprechen, wobei a 0 und n eine beliebige natürliche Zahl ist. Wenn wir beispielsweise die Gleichung x 5 \u003d 1 grafisch lösen, finden wir x \u003d 1 (Abb. 165); Wenn wir die Gleichung x 5 "= 7 lösen, stellen wir fest, dass die Gleichung eine Wurzel x 1 hat, die sich auf der x-Achse etwas rechts von Punkt 1 befindet (siehe Abb. 165). Für die Zahl x 1 führen wir die ein Notation.

Bestimmung 1. Die Wurzel des n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a (n = 2, 3,4, 5, ...) ist eine nicht negative Zahl, die mit n potenziert die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird bezeichnet, die Zahl a wird Wurzelzahl genannt und die Zahl n ist Wurzelindex.
Wenn n = 2, dann heißt es meistens nicht „Wurzel 2. Grades“, sondern „Quadratwurzel". In diesem Fall schreiben sie nicht. Das ist der Sonderfall, den Sie im 8. besonders studiert haben Klasse Algebra Kurs.

Also, wenn a ≥ 0, n = 2,3,4,5,…, dann 1) ≥ 0; 2) () n = ein.

Im Allgemeinen gilt =b und b n =a - die gleiche Beziehung zwischen den nicht negativen Zahlen a und b, aber die zweite wird in einer einfacheren Sprache beschrieben (verwendet einfachere Symbole) als die erste.

Achten Sie noch einmal darauf: In der Tabelle erscheinen nur positive Zahlen, da dies in Definition 1 festgelegt ist. Und obwohl beispielsweise (-6) 6 \u003d 36 die korrekte Gleichheit ist, gehen Sie davon zur Notation mit der Quadratwurzel aus, d. H. schreib was du nicht kannst. Per Definition - eine positive Zahl, also = 6 (und nicht -6). Auf die gleiche Weise müssen wir, obwohl 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, zu den Zeichen der Wurzeln übergehen, \u003d 2 (und gleichzeitig ≠-2) schreiben.

Auch bei negativer Wurzelzahl wird das Wurzelziehen bestimmt, aber nur bei ungeradem Wurzelexponenten. Mit anderen Worten, die Gleichung (–2) 5 = –32 kann in die äquivalente Form als =–2 umgeschrieben werden. Hier wird die folgende Definition verwendet.

Bestimmung 2. Die Wurzel eines ungeraden Grads n aus einer negativen Zahl a (n = 3,5, ...) ist eine negative Zahl, die mit n potenziert die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird wie in Definition 1 mit bezeichnet, die Zahl a ist die Wurzelzahl, die Zahl n ist der Wurzelindex.
Also, wenn a, n=,5,7,…, dann: 1) 0; 2) () n = ein.

Daher ist eine gerade Wurzel nur für einen nicht negativen Radikalausdruck sinnvoll (d. h. definiert); eine ungerade Wurzel ist für jeden radikalen Ausdruck sinnvoll.

5. Primäre Wissensverfestigung:

1. Berechnen: Nr. Nr. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 oral a) ; b) ; in) ; G) .

Setzen Sie den entsprechenden Buchstaben neben das Beispiel.

Ein paar Informationen über den großen Wissenschaftler. René Descartes (1596-1650), französischer Adliger, Mathematiker, Philosoph, Physiologe, Denker. René Descartes legte den Grundstein Analytische Geometrie, die Buchstabenbezeichnungen x 2 , y 3 eingeführt. Jeder weiß Kartesischen Koordinaten, Definieren einer Funktion einer Variablen.

3 . Gleichungen lösen: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Entscheidung: a) Wenn = -2, dann y = -8. Tatsächlich müssen wir beide Teile der gegebenen Gleichung würfeln. Wir erhalten: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Wir argumentieren wie in Beispiel a) und erheben beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz. Wir erhalten: x=1.

c) Hier muss nicht in die vierte Potenz erhoben werden, diese Gleichung hat keine Lösungen. Wieso den? Denn nach Definition 1 ist die Wurzel eines geraden Grades eine nicht negative Zahl.
Es gibt mehrere Aufgaben für Ihre Aufmerksamkeit. Wenn Sie diese Aufgaben erledigen, lernen Sie den Vor- und Nachnamen des großen Mathematikers kennen. Dieser Wissenschaftler war 1637 der erste, der das Zeichen der Wurzel einführte.

6. Ruhen wir uns aus.

Die Klasse hebt die Hände - das ist "Zeit".

Der Kopf drehte sich - es ist "zwei".

Hände runter, nach vorne schauen - das ist "drei".

Hände bei "Vier" weiter zur Seite gedreht,

Sie mit Kraft gegen die Hände zu drücken, ist „fünf“.

Alle Jungs müssen sich hinsetzen - das ist "sechs".

7. Selbstständige Arbeit:

Variante: 2 Variante:

b) 3-. b) 12-6.

2. Lösen Sie die Gleichung: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02 x 6 - 1,28 = 0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3 x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c) = 2

8. Wiederholung: Finden Sie die Wurzel der Gleichung = - x. Wenn die Gleichung mehr als eine Wurzel hat, schreibe die kleinere der Wurzeln in die Antwort.

9. Reflexion: Was hast du im Unterricht gelernt? Was war interessant? Was war schwierig?

Um die Operation zum Extrahieren der Wurzel in der Praxis erfolgreich einzusetzen, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen.
Alle Eigenschaften werden nur für nicht negative Werte von Variablen formuliert und bewiesen, die unter Wurzelzeichen enthalten sind.

Satz 1. Die n-te Wurzel (n = 2, 3, 4, ...) des Produkts zweier nicht negativer Chipsätze ist gleich dem Produkt Wurzeln des n Grad aus diesen Nummern:

Kommentar:

1. Satz 1 bleibt gültig für den Fall, dass der Wurzelausdruck das Produkt von mehr als zwei nicht negativen Zahlen ist.

Satz 2.Wenn ein, und n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann ist die Gleichheit

Knapp(wenn auch ungenaue) Formulierung, die in der Praxis bequemer zu verwenden ist: Die Wurzel des Bruchs ist gleich dem Bruch der Wurzeln.

Satz 1 erlaubt uns, m zu multiplizieren nur Wurzeln gleichen Grades , d.h. nur Wurzeln mit gleichem Exponenten.

Satz 3. Wenn ,k ist eine natürliche Zahl und n ist eine natürliche Zahl größer als 1, dann ist die Gleichheit

Mit anderen Worten, um sich zu verwurzeln natürlichen Grad, genügt es, den radikalen Ausdruck zu dieser Macht zu erheben.
Dies ist eine Folgerung aus Satz 1. Tatsächlich erhalten wir zum Beispiel für k = 3

Satz 4. Wenn ,k, n sind natürliche Zahlen größer als 1, dann ist die Gleichheit

Mit anderen Worten, um eine Wurzel aus einer Wurzel zu ziehen, reicht es aus, die Exponenten der Wurzeln zu multiplizieren.
Zum Beispiel,

Seien Sie aufmerksam! Wir haben gelernt, dass vier Operationen mit Wurzeln durchgeführt werden können: Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen (aus der Wurzel). Aber was ist mit der Addition und Subtraktion von Wurzeln? Auf keinen Fall.
Sie können beispielsweise nicht anstelle von Indeed schreiben, aber das ist offensichtlich

Satz 5. Wenn die Indikatoren der Wurzel und des Wurzelausdrucks werden mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht, d.h.

Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 1 Berechnung

Entscheidung. Unter Verwendung der ersten Eigenschaft der Nullstellen (Satz 1) erhalten wir:

Beispiel 2 Berechnung
Entscheidung. Reversibel gemischte Zahl in einen unechten Bruch.
Wir haben die Verwendung der zweiten Eigenschaft der Wurzeln ( Satz 2 ), wir bekommen:

Beispiel 3 Berechnung:

Entscheidung. Wie Sie wissen, wird jede Formel in der Algebra nicht nur "von links nach rechts", sondern auch "von rechts nach links" verwendet. Die erste Eigenschaft der Wurzeln bedeutet also, dass sie dargestellt werden kann als und umgekehrt durch den Ausdruck ersetzt werden kann. Dasselbe gilt für die zweite Eigenschaft von Wurzeln. Lassen Sie uns in diesem Sinne die Berechnungen durchführen.

In diesem Artikel stellen wir vor das Konzept der Wurzel einer Zahl. Wir werden der Reihe nach vorgehen: Wir beginnen mit der Quadratwurzel, von dort aus gehen wir zur Beschreibung der Kubikwurzel über, danach verallgemeinern wir das Konzept der Wurzel, indem wir die Wurzel n-ten Grades definieren. Gleichzeitig führen wir Definitionen und Notationen ein, geben Beispiele für Wurzeln und geben die notwendigen Erklärungen und Kommentare.

Quadratwurzel, arithmetische Quadratwurzel

Um die Definition der Wurzel einer Zahl und insbesondere der Quadratwurzel zu verstehen, muss man haben. An dieser Stelle begegnen wir oft der zweiten Potenz einer Zahl – dem Quadrat einer Zahl.

Lass uns beginnen mit Quadratwurzel Definitionen.

Definition

Die Quadratwurzel von a ist die Zahl, deren Quadrat a ist.

Um zu bringen Beispiele für Quadratwurzeln, nehmen Sie mehrere Zahlen, zum Beispiel 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , und quadrieren Sie sie, wir erhalten die Zahlen 25 , 0.09 , 0.09 bzw. 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (–0,3) 2 = (–0,3) (–0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 und 0 2 =0 0=0 ). Dann ist nach obiger Definition 5 die Quadratwurzel von 25, −0,3 und 0,3 sind die Quadratwurzeln von 0,09 und 0 ist die Quadratwurzel von Null.

Es sei darauf hingewiesen, dass es für keine Zahl a gibt, deren Quadrat gleich a ist. Für jede negative Zahl a gibt es nämlich keine reelle Zahl b, deren Quadrat gleich a ist. Tatsächlich ist die Gleichheit a=b 2 für jedes negative a unmöglich, da b 2 für jedes b eine nicht-negative Zahl ist. Auf diese Weise, Auf der Menge der reellen Zahlen gibt es keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Mit anderen Worten, auf der Menge der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert und hat keine Bedeutung.

Dies führt zu einer logischen Frage: „Gibt es eine Quadratwurzel aus a für jedes nicht negative a“? Die Antwort ist ja. Die Begründung für diese Tatsache kann als konstruktive Methode angesehen werden, die verwendet wird, um den Wert der Quadratwurzel zu finden.

Dann stellt sich folgende logische Frage: "Wie viele Quadratwurzeln hat eine gegebene nicht-negative Zahl a - eins, zwei, drei oder noch mehr"? Hier ist die Antwort darauf: Wenn a null ist, dann ist die einzige Quadratwurzel aus null null; Wenn a eine positive Zahl ist, dann ist die Anzahl der Quadratwurzeln aus der Zahl a gleich zwei, und die Wurzeln sind . Lassen Sie uns das begründen.

Beginnen wir mit dem Fall a=0 . Lassen Sie uns zuerst zeigen, dass Null tatsächlich die Quadratwurzel von Null ist. Dies folgt aus der offensichtlichen Gleichheit 0 2 =0·0=0 und der Definition der Quadratwurzel.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist. Wenden wir die umgekehrte Methode an. Nehmen wir an, es gibt eine von Null verschiedene Zahl b, die die Quadratwurzel von Null ist. Dann muss die Bedingung b 2 = 0 erfüllt sein, was unmöglich ist, da für jedes von Null verschiedene b der Wert des Ausdrucks b 2 positiv ist. Wir sind auf einen Widerspruch gestoßen. Dies beweist, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist.

Kommen wir zu Fällen, in denen a eine positive Zahl ist. Oben haben wir gesagt, dass es immer eine Quadratwurzel jeder nicht negativen Zahl gibt, sei b die Quadratwurzel von a. Nehmen wir an, es gibt eine Zahl c , die auch die Quadratwurzel von a ist. Dann gelten nach Definition der Quadratwurzel die Gleichungen b 2 = a und c 2 = a, woraus folgt, dass b 2 − c 2 = a − a = 0, aber da b 2 − c 2 =( b−c) ( b+c) , dann (b−c) (b+c)=0 . Die daraus resultierende Gleichstellung in Kraft Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen nur möglich wenn b−c=0 oder b+c=0 . Somit sind die Zahlen b und c gleich oder entgegengesetzt.

Wenn wir annehmen, dass es eine Zahl d gibt, die eine weitere Quadratwurzel aus der Zahl a ist, dann ist durch ähnliche Überlegungen wie die bereits angegebenen bewiesen, dass d gleich der Zahl b oder der Zahl c ist. Die Anzahl der Quadratwurzeln einer positiven Zahl ist also zwei, und die Quadratwurzeln sind entgegengesetzte Zahlen.

Um bequem mit Quadratwurzeln arbeiten zu können, wird die negative Wurzel von der positiven "getrennt". Dazu führt es ein Definition der arithmetischen Quadratwurzel.

Definition

Arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Für die arithmetische Quadratwurzel der Zahl a wird die Notation akzeptiert. Das Zeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet. Es wird auch das Zeichen des Radikals genannt. Daher hört man teilweise sowohl „Root“ als auch „Radical“, was dasselbe Objekt bedeutet.

Die Zahl unter dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen wird aufgerufen Stammnummer, und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen - radikaler Ausdruck, während der Begriff "Radikalzahl" oft durch "Radikalausdruck" ersetzt wird. Beispielsweise ist in der Notation die Zahl 151 eine Wurzelzahl, und in der Notation ist der Ausdruck a ein Wurzelausdruck.

Beim Lesen wird das Wort "Arithmetik" oft weggelassen, zum Beispiel wird die Eingabe als "die Quadratwurzel aus sieben Komma neunundzwanzig Hundertstel" gelesen. Das Wort "Arithmetik" wird nur verwendet, wenn sie das betonen wollen wir redenüber die positive Quadratwurzel einer Zahl.

Im Lichte der eingeführten Notation folgt aus der Definition der arithmetischen Quadratwurzel, dass für jede nicht negative Zahl a .

Die Quadratwurzeln einer positiven Zahl a werden mit dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen als und geschrieben. Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln von 13 und . Die arithmetische Quadratwurzel von Null ist Null, also . Für negative Zahlen a werden wir den Einträgen keine Bedeutung beimessen, bis wir sie studieren komplexe Zahlen . Beispielsweise sind die Ausdrücke und bedeutungslos.

Anhand der Definition einer Quadratwurzel werden Eigenschaften von Quadratwurzeln bewiesen, die in der Praxis oft verwendet werden.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts bemerken wir, dass die Quadratwurzeln einer Zahl Lösungen der Form x 2 = a in Bezug auf die Variable x sind.

Kubikwurzel von

Definition der Kubikwurzel der Zahl a ist ähnlich wie bei der Definition der Quadratwurzel gegeben. Nur basiert es auf dem Konzept eines Würfels einer Zahl, nicht eines Quadrats.

Definition

Die Kubikwurzel von a eine Zahl, deren Kubikzahl gleich a ist, wird genannt.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Kubikwurzeln. Nehmen Sie dazu mehrere Zahlen, zum Beispiel 7 , 0 , −2/3 , und würfeln Sie sie: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Dann können wir basierend auf der Definition der Kubikwurzel sagen, dass die Zahl 7 die Kubikwurzel von 343 ist, 0 die Kubikwurzel von Null ist und –2/3 die Kubikwurzel von –8/27 ist.

Man kann zeigen, dass die Kubikwurzel der Zahl a im Gegensatz zur Quadratwurzel immer existiert, und zwar nicht nur für nicht negative a, sondern auch für jede reelle Zahl a. Dazu kannst du die gleiche Methode anwenden, die wir beim Studium der Quadratwurzel erwähnt haben.

Außerdem gibt es nur eine Kubikwurzel einer gegebenen Zahl a. Beweisen wir die letzte Behauptung. Betrachten Sie dazu drei Fälle getrennt: a ist eine positive Zahl, a=0 und a ist eine negative Zahl.

Es ist leicht zu zeigen, dass für positives a die Kubikwurzel von a weder negativ noch null sein kann. In der Tat, sei b die Kubikwurzel von a , dann können wir per Definition die Gleichheit b 3 =a schreiben. Es ist klar, dass diese Gleichheit nicht für negatives b und für b = 0 gelten kann, da in diesen Fällen b 3 = b·b·b eine negative Zahl bzw. Null sein wird. Die Kubikwurzel einer positiven Zahl a ist also eine positive Zahl.

Nehmen wir nun an, dass es neben der Zahl b noch eine Kubikwurzel aus der Zahl a gibt, nennen wir sie c. Dann ist c 3 = a. Daher ist b 3 – c 3 =a – a=0 , aber b 3 − c 3 = (b − c) (b 2 + b c + c 2)(Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel Unterschied von Würfeln), womit (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Die resultierende Gleichheit ist nur möglich, wenn b − c = 0 oder b 2 + b c + c 2 = 0 ist. Von der ersten Gleichheit haben wir b=c , und die zweite Gleichheit hat keine Lösungen, da ihre linke Seite eine positive Zahl für alle positiven Zahlen b und c als Summe von drei positiven Termen b 2 , b c und c 2 ist. Dies beweist die Eindeutigkeit der Kubikwurzel einer positiven Zahl a.

Für a=0 ist die einzige Kubikwurzel von a Null. Wenn wir nämlich annehmen, dass es eine Zahl b gibt, die eine von Null verschiedene Kubikwurzel von Null ist, dann muss die Gleichheit b 3 =0 gelten, was nur möglich ist, wenn b=0 .

Für negatives a kann man ähnlich argumentieren wie für positives a. Zuerst zeigen wir, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl nicht gleich einer positiven Zahl oder Null sein kann. Zweitens nehmen wir an, dass es eine zweite Kubikwurzel einer negativen Zahl gibt und zeigen, dass diese zwangsläufig mit der ersten zusammenfällt.

Es gibt also immer eine Kubikwurzel jeder gegebenen reellen Zahl a, und zwar nur eine.

Geben wir Definition der arithmetischen Kubikwurzel.

Definition

Arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a eine nicht negative Zahl, deren Würfel gleich a ist, wird aufgerufen.

Die arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a wird als bezeichnet, das Vorzeichen heißt Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel, die Zahl 3 in dieser Schreibweise heißt Root-Indikator. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist Stammnummer, der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck.

Obwohl die Kubikwurzel arithmetisch nur für nicht negative Zahlen a definiert ist, bietet es sich an, auch Einträge zu verwenden, in denen die arithmetische Kubikwurzel das Zeichen enthält negative Zahlen. Wir werden sie wie folgt verstehen: , wobei a eine positive Zahl ist. Zum Beispiel, .

Wir werden über die Eigenschaften von Kubikwurzeln im allgemeinen Artikel Eigenschaften von Wurzeln sprechen.

Das Berechnen des Wertes einer Kubikwurzel wird als Kubikwurzel ziehen bezeichnet, diese Aktion wird im Artikel Wurzeln ziehen: Methoden, Beispiele, Lösungen beschrieben.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts sagen wir, dass die Kubikwurzel von a eine Lösung der Form x 3 = a ist.

N-te Wurzel, arithmetische Wurzel von n

Wir verallgemeinern das Konzept einer Wurzel aus einer Zahl - wir führen ein Bestimmung der n-ten Wurzel für n.

Definition

n-te Wurzel von a ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Aus dieser Definition geht hervor, dass die Wurzel des ersten Grades aus der Zahl a die Zahl a selbst ist, da wir beim Studium des Grades mit einem natürlichen Indikator eine 1 = a genommen haben.

Oben haben wir Sonderfälle der Wurzel n-ten Grades für n=2 und n=3 betrachtet - die Quadratwurzel und die Kubikwurzel. Das heißt, die Quadratwurzel ist die Wurzel zweiten Grades und die Kubikwurzel ist die Wurzel dritten Grades. Um die Wurzeln des n-ten Grades für n = 4, 5, 6, ... zu untersuchen, ist es zweckmäßig, sie in zwei Gruppen zu unterteilen: die erste Gruppe - die Wurzeln gerader Grade (d. h. für n = 4, 6 , 8, ...), die zweite Gruppe - die Wurzeln der ungeraden Potenzen (dh für n = 5, 7, 9, ... ). Dies liegt daran, dass die Wurzeln von geraden Graden der Quadratwurzel ähneln und die Wurzeln von ungeraden Graden der Kubikwurzel ähneln. Lassen Sie uns der Reihe nach mit ihnen umgehen.

Wir beginnen mit Wurzeln, deren Kräfte sind gerade Zahlen 4, 6, 8, ... Wie wir bereits gesagt haben, sind sie analog zur Quadratwurzel von a. Das heißt, die Wurzel eines geraden Grades aus der Zahl a existiert nur für nicht negative a. Wenn a = 0, dann ist die Wurzel von a eindeutig und gleich Null, und wenn a > 0, dann gibt es zwei Wurzeln mit geradem Grad von der Zahl a, und sie sind entgegengesetzte Zahlen.

Begründen wir die letzte Behauptung. Sei b eine Wurzel geraden Grades (wir bezeichnen sie als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist) aus a. Angenommen, es gibt eine Zahl c - weitere 2 m Wurzel von a . Dann b 2 m − c 2 m = a − a=0 . Aber wir kennen die Form b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), dann (b−c) (b+c) (b 2 m−2 + b 2 m−4 c 2 + b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Aus dieser Gleichheit folgt b−c=0 , oder b+c=0 , oder b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Die ersten beiden Gleichheiten bedeuten, dass die Zahlen b und c gleich sind oder b und c entgegengesetzt sind. Und die letzte Gleichheit gilt nur für b=c=0 , da ihre linke Seite einen Ausdruck enthält, der für jedes b und c als Summe nicht negativer Zahlen nicht negativ ist.

Die Wurzeln n-ten Grades für ungerade n ähneln der Kubikwurzel. Das heißt, die Wurzel jedes ungeraden Grades aus der Zahl a existiert für jede reelle Zahl a, und für eine gegebene Zahl a ist sie eindeutig.

Die Eindeutigkeit der Wurzel ungeraden Grades 2·m+1 aus der Zahl a beweist man analog zum Beweis der Eindeutigkeit der Kubikwurzel aus a . Nur hier statt Gleichberechtigung a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + c 2) eine Gleichheit der Form b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Der Ausdruck in der letzten Klammer kann umgeschrieben werden als b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Zum Beispiel haben wir für m=2 b 5 − c 5 = (b − c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4)= (b − c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind, ist ihr Produkt eine positive Zahl, dann der Ausdruck b 2 +c 2 +b c , der selbst in Klammern steht hochgradig Die Verschachtelung ist als Summe positiver Zahlen positiv. Gehen wir nun sukzessive zu den Klammerausdrücken der vorherigen Verschachtelungsgrade und vergewissern uns, dass sie als Summen positiver Zahlen ebenfalls positiv sind. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichheit b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m + b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 nur möglich wenn b−c=0 , also wenn die Zahl b gleich der Zahl c ist.

Es ist an der Zeit, sich mit der Notation der Wurzeln des n-ten Grades zu beschäftigen. Dafür ist es gegeben Bestimmung der Rechenwurzel n-ten Grades.

Definition

Die arithmetische Wurzel des n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a wird eine nicht negative Zahl genannt, deren n-te Potenz gleich a ist.