Mathematische Modellierung

1. Was ist mathematische Modellierung?

Seit Mitte des 20. Jahrhunderts. In verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit begannen mathematische Methoden und Computer weit verbreitet zu sein. Neue Disziplinen wie "mathematische Ökonomie", "mathematische Chemie", "mathematische Linguistik" usw. sind entstanden, die mathematische Modelle relevanter Objekte und Phänomene sowie Methoden zum Studium dieser Modelle untersuchen.

Mathematisches Modell- Dies ist eine ungefähre Beschreibung jeder Klasse von Phänomenen oder Objekten der realen Welt in der Sprache der Mathematik. Der Hauptzweck der Modellierung besteht darin, diese Objekte zu erforschen und die Ergebnisse zukünftiger Beobachtungen vorherzusagen. Die Modellierung ist aber auch eine Methode der Wahrnehmung der Umwelt, die es ermöglicht, sie zu kontrollieren.

Die mathematische Modellierung und das damit verbundene Computerexperiment sind unverzichtbar, wenn ein Experiment in Originalgröße aus dem einen oder anderen Grund unmöglich oder schwierig ist. Zum Beispiel ist es unmöglich, ein umfassendes Experiment in der Geschichte durchzuführen, um zu überprüfen, „was passieren würde, wenn ...“. Es ist unmöglich, die Richtigkeit dieser oder jener kosmologischen Theorie zu überprüfen. Prinzipiell ist es möglich, aber kaum sinnvoll, ein Experiment zur Ausbreitung einer Krankheit, etwa der Pest, aufzusetzen oder durchzuführen Nukleare Explosion seine Implikationen zu studieren. All dies kann jedoch auf einem Computer durchgeführt werden, nachdem zuvor mathematische Modelle der untersuchten Phänomene erstellt wurden.

2. Hauptstufen der mathematischen Modellierung

1) Modellbau. In diesem Stadium wird ein "nicht mathematisches" Objekt angegeben - ein Naturphänomen, eine Konstruktion, ein Wirtschaftsplan, ein Produktionsprozess usw. In diesem Fall ist eine klare Beschreibung der Situation in der Regel schwierig. Zunächst werden die Hauptmerkmale des Phänomens und die Beziehung zwischen ihnen auf qualitativer Ebene identifiziert. Dann werden die gefundenen qualitativen Abhängigkeiten in der Sprache der Mathematik formuliert, das heißt, es wird ein mathematisches Modell aufgebaut. Dies ist der schwierigste Teil der Modellierung.

2) Lösung mathematisches Problem, zu dem das Modell führt. In dieser Phase wird viel Aufmerksamkeit auf die Entwicklung von Algorithmen und numerischen Methoden zur Lösung des Problems auf einem Computer gelegt, mit deren Hilfe das Ergebnis mit der erforderlichen Genauigkeit und innerhalb der zulässigen Zeit gefunden werden kann.

3) Interpretation der erhaltenen Konsequenzen aus dem mathematischen Modell. Die aus dem Modell abgeleiteten Konsequenzen in der Sprache der Mathematik werden in der in diesem Bereich akzeptierten Sprache interpretiert.

4) Überprüfung der Angemessenheit des Modells. In diesem Stadium wird festgestellt, ob die Ergebnisse des Experiments mit den theoretischen Konsequenzen aus dem Modell innerhalb einer gewissen Genauigkeit übereinstimmen.

5) Modellmodifikation. In diesem Stadium wird das Modell entweder komplexer, um der Realität besser gerecht zu werden, oder es wird vereinfacht, um eine praktisch akzeptable Lösung zu erreichen.

3. Klassifizierung von Modellen

Modelle können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Beispielsweise können Modelle je nach Art der zu lösenden Probleme in funktionale und strukturelle Modelle unterteilt werden. Im ersten Fall werden alle Größen, die ein Phänomen oder Objekt charakterisieren, quantitativ ausgedrückt. Gleichzeitig werden einige von ihnen als unabhängige Variablen betrachtet, während andere als Funktionen dieser Größen betrachtet werden. Ein mathematisches Modell ist normalerweise ein System von Gleichungen verschiedener Art (Differential, algebraisch usw.), die quantitative Beziehungen zwischen den betrachteten Größen herstellen. Im zweiten Fall charakterisiert das Modell die Struktur eines komplexen Objekts, das aus einzelnen Teilen besteht, zwischen denen bestimmte Verbindungen bestehen. Typischerweise sind diese Beziehungen nicht quantifizierbar. Um solche Modelle zu erstellen, ist es zweckmäßig, die Graphentheorie zu verwenden. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt, bei dem es sich um eine Menge von Punkten (Scheitelpunkten) auf einer Ebene oder im Raum handelt, von denen einige durch Linien (Kanten) verbunden sind.

Je nach Art der Ausgangsdaten und Vorhersageergebnisse lassen sich die Modelle in deterministische und probabilistisch-statistische einteilen. Modelle des ersten Typs geben bestimmte, eindeutige Vorhersagen. Modelle des zweiten Typs basieren auf statistischen Informationen, und die mit ihrer Hilfe gewonnenen Vorhersagen sind probabilistischer Natur.

4. Beispiele für mathematische Modelle

1) Probleme mit der Bewegung des Geschosses.

Betrachten Sie das folgende Problem in der Mechanik.

Das Projektil wird von der Erde mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 30 m/s in einem Winkel a = 45° zu ihrer Oberfläche abgefeuert; es ist erforderlich, die Trajektorie seiner Bewegung und den Abstand S zwischen den Start- und Endpunkten dieser Trajektorie zu finden.

Dann wird, wie aus dem Schulphysikkurs bekannt, die Bewegung des Geschosses durch die Formeln beschrieben:

wo t - Zeit, g = 10 m / s 2 - Beschleunigung des freien Falls. Diese Formeln geben das mathematische Modell der Aufgabe wieder. Wenn wir t durch x aus der ersten Gleichung ausdrücken und in die zweite einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Flugbahn des Projektils:

Diese Kurve (Parabel) schneidet die x-Achse an zwei Punkten: x 1 \u003d 0 (Beginn der Flugbahn) und (der Ort, an dem das Projektil gefallen ist). Setzen wir die gegebenen Werte v0 und a in die erhaltenen Formeln ein, erhalten wir

antwort: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Beachten Sie, dass bei der Konstruktion dieses Modells eine Reihe von Annahmen verwendet wurden: Beispielsweise wird angenommen, dass die Erde flach ist und die Luft und die Rotation der Erde die Bewegung des Projektils nicht beeinflussen.

2) Das Problem eines Tanks mit der kleinsten Oberfläche.

Es ist erforderlich, die Höhe h 0 und den Radius r 0 eines Zinnbehälters mit einem Volumen V = 30 m 3 zu finden, der die Form eines geschlossenen Kreiszylinders hat, bei dem seine Oberfläche S minimal (in diesem Fall am kleinsten) ist Menge an Zinn wird zu seiner Herstellung verwendet).

Schreiben wir auf die folgenden Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders der Höhe h und des Radius r:

V = p r 2 h, S = 2 p r (r + h).

Wenn wir h durch r und V aus der ersten Formel ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in die zweite einsetzen, erhalten wir:

Somit reduziert sich das Problem aus mathematischer Sicht darauf, den Wert von r zu bestimmen, bei dem die Funktion S(r) ihr Minimum erreicht. Lassen Sie uns die Werte von r 0 finden, für die die Ableitung gilt

geht auf null: Sie können überprüfen, dass die zweite Ableitung der Funktion S(r) das Vorzeichen von Minus zu Plus ändert, wenn das Argument r durch den Punkt r 0 geht. Daher hat die Funktion S(r) am Punkt r0 ein Minimum. Der entsprechende Wert h 0 = 2r 0 . Wenn wir den gegebenen Wert V in den Ausdruck für r 0 und h 0 einsetzen, erhalten wir den gewünschten Radius und Höhe

3) Transportaufgabe.

Es gibt zwei Mehllager und zwei Bäckereien in der Stadt. Jeden Tag werden 50 Tonnen Mehl aus dem ersten Lager und 70 Tonnen aus dem zweiten in die Fabriken exportiert, 40 Tonnen an das erste und 80 Tonnen an das zweite.

Bezeichne mit a ij Kosten für den Transport von 1 Tonne Mehl vom i-ten Lager nach j-te Anlage(i, j = 1,2). Lassen

a 11 \u003d 1,2 S., a 12 \u003d 1,6 S., a 21 \u003d 0,8 S., a 22 = 1 p.

Wie sollte der Transport geplant werden, damit seine Kosten minimal sind?

Geben wir die Aufgabe mathematische Form Ausrichtung. Lassen Sie uns mit x 1 und x 2 die Mehlmenge bezeichnen, die vom ersten Lager in die erste und zweite Fabrik transportiert werden soll, und mit x 3 und x 4 - vom zweiten Lager in die erste bzw. zweite Fabrik. Dann:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Die Gesamtkosten aller Transporte werden durch die Formel bestimmt

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Aus mathematischer Sicht besteht die Aufgabe darin, vier Zahlen x 1 , x 2 , x 3 und x 4 zu finden, die alle gegebenen Bedingungen erfüllen und das Minimum der Funktion f ergeben. Lösen wir das Gleichungssystem (1) nach xi (i = 1, 2, 3, 4) nach der Methode der Unbekannteneliminierung. Das verstehen wir

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

und x 4 nicht eindeutig bestimmt werden können. Da x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), folgt aus den Gleichungen (2), dass 30J x 4 J 70. Durch Einsetzen des Ausdrucks für x 1 , x 2 , x 3 in die Formel für f erhalten wir

f \u003d 148 - 0,2 x 4.

Es ist leicht zu erkennen, dass das Minimum dieser Funktion beim maximal möglichen Wert von x 4 erreicht wird, also bei x 4 = 70. Die entsprechenden Werte anderer Unbekannter werden durch Formeln (2) bestimmt: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Das Problem des radioaktiven Zerfalls.

Sei N(0) die Anfangszahl der Atome der radioaktiven Substanz und N(t) die Zahl der nicht zerfallenen Atome zum Zeitpunkt t. Es wurde experimentell festgestellt, dass die Änderungsrate der Anzahl dieser Atome N "(t) proportional zu N (t) ist, dh N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 ist die Radioaktivitätskonstante einer bestimmten Substanz. Im Schulkurs Mathematische Analysis wird gezeigt, dass die Lösung dieser Differentialgleichung die Form N(t) = N(0)e –l t hat. Die Zeit T, in der sich die Zahl der Ausgangsatome halbiert hat, wird Halbwertszeit genannt und ist ein wichtiges Merkmal der Radioaktivität eines Stoffes. Um T zu bestimmen, muss die Formel eingegeben werden Dann Beispielsweise ist für Radon l = 2,084 · 10–6 und damit T = 3,15 Tage.

5) Das Problem des Handlungsreisenden.

Ein Handlungsreisender, der in der Stadt A 1 lebt, muss die Städte A 2 , A 3 und A 4 besuchen, jede Stadt genau einmal, und dann nach A 1 zurückkehren. Es ist bekannt, dass alle Städte paarweise durch Straßen verbunden sind, und die Längen der Straßen b ij zwischen den Städten A i und A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sind wie folgt:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Es ist notwendig, die Reihenfolge der besuchten Städte zu bestimmen, in der die Länge des entsprechenden Pfades minimal ist.

Stellen wir jede Stadt als Punkt auf der Ebene dar und markieren sie mit dem entsprechenden Label Ai (i = 1, 2, 3, 4). Verbinden wir diese Punkte mit Liniensegmenten: Sie stellen Straßen zwischen Städten dar. Für jede „Straße“ geben wir ihre Länge in Kilometern an (Abb. 2). Das Ergebnis ist ein Graph – ein mathematisches Objekt, das aus einer bestimmten Menge von Punkten auf der Ebene (Scheitelpunkte genannt) und einer bestimmten Menge von Linien besteht, die diese Punkte verbinden (Kanten genannt). Außerdem ist dieser Graph beschriftet, da seinen Scheitelpunkten und Kanten einige Beschriftungen zugeordnet sind - Zahlen (Kanten) oder Symbole (Eckpunkte). Ein Zyklus in einem Graphen ist eine Folge von Scheitelpunkten V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 , so dass die Scheitelpunkte V 1 , ..., V k unterschiedlich sind, und jedes Paar von Scheitelpunkten V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) und das Paar V 1 , V k sind durch eine Kante verbunden. Das betrachtete Problem besteht also darin, einen solchen Zyklus auf dem Graphen zu finden, der durch alle vier Knoten geht, für den die Summe aller Kantengewichte minimal ist. Lassen Sie uns alle verschiedenen Zyklen durchsuchen, die durch vier Scheitelpunkte gehen und bei A 1 beginnen:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Finden wir nun die Längen dieser Zyklen (in km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Die Route mit der kleinsten Länge ist also die erste.

Beachten Sie: Wenn ein Graph n Ecken hat und alle Ecken paarweise durch Kanten verbunden sind (ein solcher Graph heißt vollständig), dann ist die Anzahl der Zyklen, die durch alle Ecken gehen, gleich, also gibt es in unserem Fall genau drei Zyklen .

6) Das Problem, einen Zusammenhang zwischen Struktur und Eigenschaften von Stoffen zu finden.

Betrachten Sie einige Chemische Komponenten normale Alkane genannt. Sie bestehen aus n Kohlenstoffatomen und n + 2 Wasserstoffatomen (n = 1, 2 ...), die wie in Abbildung 3 für n = 3 gezeigt miteinander verbunden sind. Die experimentellen Werte der Siedepunkte dieser Verbindungen seien bekannt:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Für diese Verbindungen muss ein ungefährer Zusammenhang zwischen dem Siedepunkt und der Zahl n gefunden werden. Wir nehmen an, dass diese Abhängigkeit die Form hat

ja » a n+b

wo a, b - zu bestimmende Konstanten. Zur Findung a und b setzen wir in diese Formel nacheinander n = 3, 4, 5, 6 und die entsprechenden Werte der Siedepunkte ein. Wir haben:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Um das Beste zu bestimmen a und b gibt es viele verschiedene Methoden. Lassen Sie uns die einfachsten von ihnen verwenden. Wir drücken b durch aus a aus diesen Gleichungen:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Nehmen wir als gewünschtes b das arithmetische Mittel dieser Werte, d. h. wir setzen b » 16 - 4,5 a. Lassen Sie uns diesen Wert b in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen und berechnen a, bekommen wir für a folgende Werte: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a den Durchschnittswert dieser Zahlen, das heißt, wir setzen a» 34. Die gesuchte Gleichung hat also die Form

y » 34n – 139.

Lassen Sie uns die Genauigkeit des Modells an den ersten vier Verbindungen überprüfen, für die wir die Siedepunkte mit der erhaltenen Formel berechnen:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Somit überschreitet der Berechnungsfehler dieser Eigenschaft für diese Verbindungen 5° nicht. Wir verwenden die resultierende Gleichung, um den Siedepunkt einer Verbindung mit n = 7 zu berechnen, die nicht in der Anfangsmenge enthalten ist, für die wir n = 7 in diese Gleichung einsetzen: y ð (7) = 99°. Das Ergebnis erwies sich als ziemlich genau: Es ist bekannt, dass der experimentelle Wert des Siedepunkts y e (7) = 98 ° beträgt.

7) Das Problem der Bestimmung der Zuverlässigkeit des Stromkreises.

Hier betrachten wir ein Beispiel eines probabilistischen Modells. Lassen Sie uns zunächst einige Informationen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie geben - einer mathematischen Disziplin, die die Muster zufälliger Phänomene untersucht, die während der wiederholten Wiederholung eines Experiments beobachtet werden. Nennen wir ein zufälliges Ereignis A ein mögliches Ergebnis einer Erfahrung. Die Ereignisse A 1 , ..., A k bilden eine vollständige Gruppe, wenn eines davon notwendigerweise als Ergebnis des Experiments eintritt. Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten können. Das Ereignis A trete während der n-fachen Wiederholung des Experiments m-mal auf. Die Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl W = . Offensichtlich kann der Wert von W nicht genau vorhergesagt werden, bis eine Reihe von n Experimenten durchgeführt wurde. Die Natur zufälliger Ereignisse ist jedoch so, dass in der Praxis manchmal der folgende Effekt beobachtet wird: Mit einer Erhöhung der Anzahl von Experimenten hört der Wert praktisch auf, zufällig zu sein, und stabilisiert sich um eine nicht zufällige Zahl P(A), die als bezeichnet wird Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Für ein unmögliches Ereignis (das im Experiment nie eintritt) ist P(A)=0, und für ein bestimmtes Ereignis (das im Experiment immer eintritt) P(A)=1. Wenn die Ereignisse A 1 , ..., A k eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bilden, dann ist P(A 1)+...+P(A k) = 1.

Nehmen wir zum Beispiel an, die Erfahrung besteht darin, einen Würfel zu werfen und die Anzahl der gefallenen Punkte X zu beobachten. Dann können wir die folgenden zufälligen Ereignisse einführen: A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Sie bilden sich eine vollständige Gruppe inkompatibler gleichwahrscheinlicher Ereignisse, also P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Die Summe der Ereignisse A und B ist das Ereignis A + B, das darin besteht, dass mindestens eines davon im Experiment auftritt. Das Produkt der Ereignisse A und B ist das Ereignis AB, das im gleichzeitigen Auftreten dieser Ereignisse besteht. Für die unabhängigen Ereignisse A und B gelten die Formeln

P(AB) = P(A)P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Betrachten Sie nun das Folgende Aufgabe. Angenommen, drei Elemente sind in einem Stromkreis in Reihe geschaltet und arbeiten unabhängig voneinander. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten des 1., 2. und 3. Elements sind jeweils P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Wir betrachten die Schaltung als zuverlässig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass kein Strom in der Schaltung fließt, nicht mehr als 0,4 beträgt. Es muss festgestellt werden, ob die gegebene Kette zuverlässig ist.

Da die Elemente in Reihe geschaltet sind, fließt kein Strom im Stromkreis (Ereignis A), wenn mindestens eines der Elemente ausfällt. Sei A i das Ereignis dass i-tes Element funktioniert (i = 1, 2, 3). Dann ist P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Offensichtlich ist A 1 A 2 A 3 das Ereignis, dass alle drei Elemente gleichzeitig arbeiten, und

P(EIN 1 EIN 2 EIN 3) = P(EIN 1) P(EIN 2) P(EIN 3) = 0,612.

Dann ist P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, also P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Abschließend stellen wir fest, dass die obigen Beispiele mathematischer Modelle (darunter funktionale und strukturelle, deterministische und probabilistische) illustrativ sind und offensichtlich nicht die gesamte Vielfalt mathematischer Modelle erschöpfen, die in den Natur- und Geisteswissenschaften auftreten.

Vortrag 1

METHODISCHE GRUNDLAGEN DER MODELLIERUNG

Der aktuelle Stand des Problems der Systemmodellierung

Konzepte der Modellierung und Simulation

Modellieren kann als Ersatz des untersuchten Objekts (Original) durch sein bedingtes Bild, Beschreibung oder ein anderes Objekt, bezeichnet werden Modell und Bereitstellen eines Verhaltens nahe dem Original innerhalb bestimmter Annahmen und akzeptabler Fehler. Die Modellierung wird normalerweise mit dem Ziel durchgeführt, die Eigenschaften des Originals durch Untersuchung seines Modells und nicht des Objekts selbst zu kennen. Das Modellieren ist natürlich dann gerechtfertigt, wenn es einfacher ist, als das Original selbst zu erstellen, oder wenn letzteres aus irgendeinem Grund besser gar nicht erstellt werden sollte.

Unter Modell wird ein physisches oder abstraktes Objekt verstanden, dessen Eigenschaften in gewisser Weise den Eigenschaften des zu untersuchenden Objekts ähneln, wobei die Anforderungen an das Modell durch das zu lösende Problem und die zur Verfügung stehenden Mittel bestimmt werden. Es gibt eine Reihe allgemeiner Anforderungen an Modelle:

2) Vollständigkeit – Bereitstellung aller erforderlichen Informationen für den Empfänger

über das Objekt;

3) Flexibilität - die Fähigkeit, verschiedene Situationen in allem zu reproduzieren

Bereich sich ändernder Bedingungen und Parameter;

4) Die Komplexität der Entwicklung sollte für das Bestehende akzeptabel sein

Zeit und Software.

Modellieren ist der Prozess, ein Modell eines Objekts zu erstellen und seine Eigenschaften durch Untersuchung des Modells zu untersuchen.

Daher umfasst die Modellierung zwei Hauptphasen:

1) Modellentwicklung;

2) Untersuchung des Modells und Schlussfolgerungen ziehen.

Gleichzeitig werden in jeder Phase verschiedene Aufgaben gelöst und

wesentlich unterschiedliche Methoden und Mittel.

In der Praxis werden verschiedene Modellierungsmethoden verwendet. Je nach Implementierungsmethode können alle Modelle in zwei große Klassen eingeteilt werden: physikalisch und mathematisch.

Mathematische Modellierung Es ist üblich, es als Mittel zum Studium von Prozessen oder Phänomenen mit Hilfe ihrer mathematischen Modelle zu betrachten.

Unter physikalische Modellierung ist die Untersuchung von Gegenständen und Phänomenen an physikalischen Modellen zu verstehen, wenn der untersuchte Vorgang unter Beibehaltung seiner physikalischen Natur reproduziert oder ein anderes physikalisches Phänomen, das dem untersuchten ähnlich ist, verwendet wird. Dabei physikalische Modelle Sie übernehmen in der Regel die reale Verkörperung jener physikalischen Eigenschaften des Originals, die in einer bestimmten Situation wesentlich sind: So entsteht beispielsweise beim Entwurf eines neuen Flugzeugs dessen Modell mit den gleichen aerodynamischen Eigenschaften; Bei der Planung eines Gebäudes erstellen Architekten einen Grundriss, der die räumliche Anordnung seiner Elemente widerspiegelt. In diesem Zusammenhang wird auch Physical Modeling genannt Prototyp entwickeln.

HIL-Modellierung ist eine Untersuchung von Regelstrecken auf Simulationskomplexen unter Einbeziehung realer Anlagen in das Modell. Das geschlossene Modell umfasst neben realen Geräten Aufprall- und Interferenzsimulatoren, mathematische Modelle der äußeren Umgebung und Prozesse, für die eine hinreichend genaue mathematische Beschreibung nicht bekannt ist. Die Einbeziehung realer Geräte oder realer Systeme in die Schaltung zur Modellierung komplexer Prozesse ermöglicht es, a priori Unsicherheiten zu reduzieren und Prozesse zu untersuchen, für die es keine exakte mathematische Beschreibung gibt. Mit Hilfe der naturnahen Simulation werden Studien unter Berücksichtigung kleiner Zeitkonstanten und Nichtlinearitäten realer Geräte durchgeführt. Bei der Untersuchung von Modellen unter Einbeziehung realer Geräte wird das Konzept verwendet dynamische Simulation, in der Studie komplexe Systeme und Phänomene - evolutionär, Nachahmung und Kybernetische Simulation.

Offensichtlich kann der wirkliche Nutzen der Modellierung nur erzielt werden, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) Das Modell liefert eine korrekte (angemessene) Darstellung von Eigenschaften

das Original, das aus Sicht der untersuchten Operation von Bedeutung ist;

2) Das Modell ermöglicht es, die oben aufgeführten Probleme zu beseitigen, die inhärent sind

Recherche an realen Objekten.

2. Grundkonzepte der mathematischen Modellierung

Die Lösung praktischer Probleme durch mathematische Methoden wird konsequent durchgeführt, indem das Problem formuliert (Entwicklung eines mathematischen Modells), eine Methode zum Studium des erhaltenen mathematischen Modells ausgewählt und das erhaltene mathematische Ergebnis analysiert wird. Die mathematische Formulierung des Problems wird üblicherweise in Form von geometrischen Bildern, Funktionen, Gleichungssystemen usw. dargestellt. Die Beschreibung eines Objekts (Phänomens) kann durch kontinuierliche oder diskrete, deterministische oder stochastische und andere mathematische Formen dargestellt werden.

Theorie der mathematischen Modellierung gewährleistet durch deren mathematische Beschreibung und Modellierung ohne Feldversuche die Identifizierung von Regelmäßigkeiten im Ablauf verschiedener Phänomene der umgebenden Welt oder der Funktionsweise von Systemen und Geräten. Dabei werden die Bestimmungen und Gesetze der Mathematik verwendet, die die simulierten Phänomene, Systeme oder Geräte auf einer bestimmten Stufe ihrer Idealisierung beschreiben.

Mathematisches Modell (MM) ist eine formalisierte Beschreibung eines Systems (oder einer Operation) in einer abstrakten Sprache, beispielsweise in Form einer Reihe mathematischer Beziehungen oder eines Algorithmusschemas, d.h. h. eine solche mathematische Beschreibung, die eine Nachahmung des Betriebs von Systemen oder Geräten auf einem Niveau bietet, das ihrem realen Verhalten, das während umfassender Tests von Systemen oder Geräten erhalten wird, hinreichend nahe kommt.

Jedes MM beschreibt ein reales Objekt, Phänomen oder einen Prozess mit einem gewissen Grad an Annäherung an die Realität. Die Art von MM hängt sowohl von der Natur ab echtes Objekt, sowie zu den Zielen der Studie.

Mathematische Modellierung soziale, wirtschaftliche, biologische und physikalische Phänomene, Objekte, Systeme und verschiedene Geräte ist eines der wichtigsten Mittel, um die Natur zu verstehen und eine Vielzahl von Systemen und Geräten zu entwerfen. Es gibt bekannte Beispiele für den effektiven Einsatz von Modellen bei der Entwicklung von Nukleartechnologien, Luft- und Raumfahrtsystemen, bei der Vorhersage atmosphärischer und ozeanischer Phänomene, des Wetters usw.

Solche ernsthaften Bereiche der Modellierung erfordern jedoch oft Supercomputer und jahrelange Arbeit großer Wissenschaftlerteams, um Daten für die Modellierung und deren Fehlersuche vorzubereiten. Dennoch spart auch in diesem Fall die mathematische Modellierung komplexer Systeme und Geräte nicht nur Geld für Forschung und Erprobung, sondern kann auch Umweltkatastrophen verhindern – beispielsweise ermöglicht sie den Verzicht auf die Erprobung nuklearer und thermonuklearer Waffen zugunsten von ihre mathematische Modellierung oder das Testen von Luft- und Raumfahrtsystemen vor ihren realen Flügen.Inzwischen hat sich die mathematische Modellierung auf der Ebene der Lösung einfacherer Probleme, beispielsweise aus dem Bereich der Mechanik, Elektrotechnik, Elektronik, Funktechnik und vielen anderen Bereichen der Wissenschaft und Technik, etabliert jetzt für die Ausführung auf modernen PCs verfügbar. Und wenn verallgemeinerte Modelle verwendet werden, wird es möglich, ziemlich komplexe Systeme zu modellieren, zum Beispiel Telekommunikationssysteme und -netzwerke, Radar- oder Funknavigationssysteme.

Der Zweck der mathematischen Modellierung ist die Analyse realer Vorgänge (in Natur oder Technik) mit mathematischen Methoden. Dies erfordert wiederum die Formalisierung des zu untersuchenden MM-Prozesses.Das Modell kann ein mathematischer Ausdruck sein, der Variablen enthält, derenVerhalten ähnlich dem Verhalten eines realen Systems ist.Das Modell kann Zufälligkeitselemente enthalten, die die Wahrscheinlichkeitenvon berücksichtigen mögliche Aktionen von zwei oder mehr„Spieler“, wie zum Beispiel in der Spieltheorie; oder es kann die realen Variablen der miteinander verbundenen Teile des Betriebssystems darstellen.

Die mathematische Modellierung zur Untersuchung der Eigenschaften von Systemen kann in Analyse, Simulation und Kombination unterteilt werden. MM wiederum sind in Simulation und Analytik unterteilt.

Analytische Modellierung

Für Analytische Modellierung Es ist charakteristisch, dass die Prozesse des Funktionierens des Systems in Form einiger funktionaler Beziehungen (algebraische, Differential-, Integralgleichungen) geschrieben werden. Das analytische Modell kann mit folgenden Methoden untersucht werden:

1) analytisch, wenn sie bestrebt sind, allgemein explizite Abhängigkeiten für die Eigenschaften von Systemen zu erhalten;

2) numerisch, wenn es nicht möglich ist, eine Lösung für Gleichungen in allgemeiner Form zu finden, und sie für bestimmte Anfangsdaten gelöst werden;

3) qualitativ, wenn in Abwesenheit einer Lösung einige ihrer Eigenschaften gefunden werden.

Analytische Modelle können nur für relativ einfache Systeme erhalten werden. Bei komplexen Systemen ergeben sich oft große mathematische Probleme. Um die analytische Methode anzuwenden, geht man zu einer deutlichen Vereinfachung des ursprünglichen Modells über. Eine Studie an einem vereinfachten Modell hilft jedoch, nur indikative Ergebnisse zu erhalten. Analytische Modelle geben die Beziehung zwischen Eingabe- und Ausgabevariablen und -parametern mathematisch korrekt wieder. Ihre Struktur spiegelt jedoch nicht die interne Struktur des Objekts wider.

Bei der analytischen Modellierung werden ihre Ergebnisse in Form von analytischen Ausdrücken dargestellt. Zum Beispiel durch Verbinden RC- Schaltung an eine Konstantspannungsquelle E(R, C und E sind die Komponenten dieses Modells), können wir einen analytischen Ausdruck für die Zeitabhängigkeit der Spannung machen u(t) auf dem Kondensator C:

Dies ist eine lineare Differentialgleichung (DE) und ein analytisches Modell dieser einfachen linearen Schaltung. Seine analytische Lösung unter der Anfangsbedingung u(0) = 0 , was einen entladenen Kondensator bedeutet C zu Beginn der Simulation, ermöglicht es Ihnen, die benötigte Abhängigkeit zu finden - in Form einer Formel:

u(t) = E(1− Exp(- t/RC)). (2)

Allerdings sind auch bei diesem einfachsten Beispiel gewisse Anstrengungen erforderlich, um die Differentialgleichung (1) zu lösen bzw. anzuwenden Computermathematische Systeme(SCM) mit symbolischen Berechnungen - Computeralgebrasysteme. Für diesen recht trivialen Fall ist die Lösung des Problems eine lineare Modellierung RC-Schaltkreis gibt einen analytischen Ausdruck (2) von ziemlich allgemeiner Form - er eignet sich zur Beschreibung des Betriebs des Schaltkreises für beliebige Komponentenwerte R, C und E, und beschreibt die exponentielle Ladung des Kondensators Cüber einen Widerstand R aus einer Konstantspannungsquelle E.

Das Finden analytischer Lösungen in der analytischen Modellierung erweist sich zweifellos als äußerst wertvoll, um die allgemeinen theoretischen Gesetze einfacher linearer Schaltungen, Systeme und Geräte aufzudecken, jedoch nimmt ihre Komplexität stark zu, wenn die Auswirkungen auf das Modell komplexer werden und die Reihenfolge und Anzahl von Zustandsgleichungen, die das modellierte Objekt beschreiben, steigen. Sie können mehr oder weniger sichtbare Ergebnisse erzielen, wenn Sie Objekte zweiter oder dritter Ordnung modellieren, aber selbst bei einer höheren Ordnung werden analytische Ausdrücke übermäßig umständlich, komplex und schwer verständlich. Beispielsweise enthält selbst ein einfacher elektronischer Verstärker oft Dutzende von Komponenten. Viele moderne SCMs, wie Systeme der symbolischen Mathematik Ahorn, Mathematica oder Mittwoch MATLAB sind in der Lage, die Lösung komplexer Probleme der analytischen Modellierung weitgehend zu automatisieren.

Eine Art der Modellierung ist numerische Simulation, die darin besteht, die erforderlichen quantitativen Daten über das Verhalten von Systemen oder Geräten durch ein geeignetes numerisches Verfahren wie das Euler- oder das Runge-Kutta-Verfahren zu erhalten. In der Praxis ist die Modellierung nichtlinearer Systeme und Geräte mit numerischen Methoden wesentlich effizienter als die analytische Modellierung einzelner privater linearer Schaltungen, Systeme oder Geräte. Um beispielsweise DE (1) oder DE-Systeme in komplexeren Fällen zu lösen, wird die Lösung nicht in analytischer Form erhalten, aber numerische Simulationsdaten können ausreichend vollständige Daten über das Verhalten der simulierten Systeme und Geräte sowie Diagramme liefern Diagramme, die dieses Verhalten von Abhängigkeiten beschreiben.

Simulation

Beim Nachahmung Bei der Modellierung reproduziert der Algorithmus, der das Modell implementiert, den Prozess des Funktionierens des Systems in der Zeit. Die elementaren Phänomene, die den Prozess ausmachen, werden unter Beibehaltung ihrer logischen Struktur und der zeitlichen Abfolge nachgeahmt.

Der Hauptvorteil von Simulationsmodellen gegenüber analytischen Modellen ist die Fähigkeit, komplexere Probleme zu lösen.

Simulationsmodelle machen es einfach, das Vorhandensein von diskreten oder kontinuierlichen Elementen, nichtlinearen Eigenschaften, Zufallseffekten usw. zu berücksichtigen. Daher wird diese Methode häufig in der Entwurfsphase komplexer Systeme verwendet. Das Hauptwerkzeug für die Implementierung der Simulationsmodellierung ist ein Computer, der die digitale Modellierung von Systemen und Signalen ermöglicht.

In diesem Zusammenhang definieren wir den Ausdruck " Computermodellierung“, die zunehmend in der Literatur verwendet wird. Davon gehen wir aus Computermodellierung- Dies ist eine mathematische Modellierung mit Computertechnologie. Dementsprechend umfasst die Computersimulationstechnologie die folgenden Aktionen:

1) Definition des Zwecks der Modellierung;

2) Entwicklung eines konzeptionellen Modells;

3) Formalisierung des Modells;

4) Softwareimplementierung des Modells;

5) Planung von Modellversuchen;

6) Umsetzung des Versuchsplans;

7) Analyse und Interpretation von Simulationsergebnissen.

Beim Simulationsmodellierung Das verwendete MM reproduziert den Algorithmus („Logik“) der Funktionsweise des untersuchten Systems rechtzeitig für verschiedene Kombinationen von Werten der Parameter des Systems und der Umgebung.

Ein Beispiel für das einfachste analytische Modell ist die Gleichung der gleichförmigen geradlinigen Bewegung. Bei der Untersuchung eines solchen Prozesses mit einem Simulationsmodell sollte die Beobachtung der Änderung des zurückgelegten Weges über die Zeit implementiert werden, wobei offensichtlich in manchen Fällen eine analytische Modellierung vorzuziehen ist, in anderen eine Simulation (oder eine Kombination aus beidem). Um eine gute Wahl zu treffen, müssen zwei Fragen beantwortet werden.

Was ist der Zweck der Modellierung?

Welcher Klasse kann das simulierte Phänomen zugeordnet werden?

Antworten auf diese beiden Fragen können während der Ausführung der ersten beiden Stufen der Modellierung erhalten werden.

Simulationsmodelle entsprechen nicht nur in ihren Eigenschaften, sondern auch in ihrer Struktur dem zu modellierenden Objekt. Dabei besteht eine eindeutige und eindeutige Übereinstimmung zwischen den am Modell erhaltenen Prozessen und den am Objekt ablaufenden Prozessen. Der Nachteil der Simulationsmodellierung besteht darin, dass es lange dauert, das Problem zu lösen, um eine gute Genauigkeit zu erhalten.

Die Ergebnisse der Simulationsmodellierung der Arbeit eines stochastischen Systems sind Realisierungen von Zufallsvariablen oder Prozessen. Um die Eigenschaften des Systems zu finden, ist daher eine mehrfache Wiederholung und anschließende Datenverarbeitung erforderlich. Meistens wird in diesem Fall eine Art Simulation verwendet - statistisch

Modellieren(oder die Monte-Carlo-Methode), d.h. Reproduktion in Modellen von Zufallsfaktoren, Ereignissen, Mengen, Prozessen, Feldern.

Gemäß den Ergebnissen der statistischen Modellierung werden Schätzungen von allgemeinen und besonderen probabilistischen Qualitätskriterien bestimmt, die das Funktionieren und die Effizienz des gesteuerten Systems charakterisieren. Statistische Modellierung wird häufig verwendet, um wissenschaftliche und angewandte Probleme in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie zu lösen. Methoden der statistischen Modellierung werden häufig bei der Untersuchung komplexer dynamischer Systeme und der Bewertung ihrer Funktionsweise und Effizienz eingesetzt.

Die letzte Stufe der statistischen Modellierung basiert auf der mathematischen Verarbeitung der erhaltenen Ergebnisse. Dabei kommen Methoden der mathematischen Statistik zum Einsatz (parametrische und nichtparametrische Schätzung, Hypothesentest). Ein Beispiel für eine parametrische Bewertung ist der Stichprobenmittelwert einer Leistungskennzahl. Unter den nichtparametrischen Methoden die am weitesten verbreitete Histogramm-Methode.

Das betrachtete Schema basiert auf mehreren statistischen Tests des Systems und der Methoden der Statistik unabhängiger Zufallsvariablen.Dieses Schema ist in der Praxis bei weitem nicht immer natürlich und in Bezug auf die Kosten optimal. Eine Reduzierung der Systemtestzeit kann durch die Verwendung genauerer Schätzverfahren erreicht werden. Wie aus der mathematischen Statistik bekannt ist, haben effektive Schätzungen die höchste Genauigkeit für eine gegebene Stichprobengröße. Optimale Filterung und die Maximum-Likelihood-Methode geben allgemeine Methode Erhalten solcher Schätzungen Bei den Problemen der statistischen Modellierung ist die Verarbeitung von Realisierungen zufälliger Prozesse nicht nur für die Analyse von Ausgabeprozessen notwendig.

Es ist auch sehr wichtig, die Eigenschaften von Eingangszufallseffekten zu steuern. Die Kontrolle besteht darin, zu prüfen, ob die Verteilungen der generierten Prozesse den vorgegebenen Verteilungen entsprechen. Diese Aufgabe wird oft formuliert als Hypothesentestaufgabe.

Der allgemeine Trend in der computergestützten Simulation komplexer Regelstrecken ist der Wunsch, die Simulationszeit zu verkürzen sowie in Echtzeit zu forschen. Computeralgorithmen werden bequem in einer wiederkehrenden Form dargestellt, die ihre Implementierung im Tempo aktueller Informationen ermöglicht.

PRINZIPIEN EINES SYSTEMANSATZES IN DER MODELLIERUNG

Grundlagen der Systemtheorie

Die wesentlichen Grundlagen der Systemtheorie sind im Zuge der Erforschung dynamischer Systeme und ihrer Funktionselemente entstanden. Unter einem System versteht man eine Gruppe miteinander verbundener Elemente, die zusammenwirken, um eine vorgegebene Aufgabe zu erfüllen. Mit der Systemanalyse können Sie am meisten feststellen echte Wege Erfüllung der gestellten Aufgabe, Sicherstellung der maximalen Erfüllung der gestellten Anforderungen.

Die Elemente, die der Systemtheorie zugrunde liegen, werden nicht mit Hilfe von Hypothesen geschaffen, sondern experimentell entdeckt. Um mit dem Aufbau eines Systems zu beginnen, müssen allgemeine Merkmale technologischer Prozesse vorliegen. Gleiches gilt für die Grundsätze zur Erstellung mathematisch formulierter Kriterien, denen ein Prozess bzw. dessen theoretische Beschreibung genügen muss. Modellierung ist eine der wichtigsten Methoden des wissenschaftlichen Forschens und Experimentierens.

Beim Erstellen von Modellen von Objekten wird ein systematischer Ansatz verwendet, bei dem es sich um eine Methode zur Lösung komplexer Probleme handelt, die auf der Betrachtung eines Objekts als System basiert, das in einer bestimmten Umgebung arbeitet. Der Systemansatz beinhaltet die Offenlegung der Integrität des Objekts, die Identifizierung und Untersuchung seiner internen Struktur sowie Verbindungen mit der externen Umgebung. In diesem Fall wird das Objekt als Teil der realen Welt präsentiert, die im Zusammenhang mit dem zu lösenden Problem des Bauens eines Modells identifiziert und untersucht wird. Neben, systemischer Ansatz beinhaltet einen konsequenten Übergang vom Allgemeinen zum Besonderen, wenn der Betrachtung das Gestaltungsziel zugrunde liegt und das Objekt in Bezug zur Umgebung betrachtet wird.

Ein komplexes Objekt kann in Subsysteme unterteilt werden, die Teile des Objekts sind, die die folgenden Anforderungen erfüllen:

1) Das Subsystem ist ein funktional unabhängiger Teil des Objekts. Es ist mit anderen Subsystemen verbunden, tauscht mit ihnen Informationen und Energie aus;

2) für jedes Teilsystem können Funktionen oder Eigenschaften definiert werden, die nicht mit den Eigenschaften des Gesamtsystems übereinstimmen;

3) Jedes der Subsysteme kann weiter bis auf Elementebene unterteilt werden.

Unter einem Element wird dabei ein Teilsystem der unteren Ebene verstanden, dessen weitere Aufteilung aus Sicht der zu lösenden Aufgabe unzweckmäßig ist.

Somit kann ein System als Darstellung eines Objekts in Form einer Reihe von Subsystemen, Elementen und Beziehungen zum Zweck seiner Erstellung, Erforschung oder Verbesserung definiert werden. Gleichzeitig wird eine vergrößerte Darstellung des Systems, die die wichtigsten Subsysteme und Verbindungen zwischen ihnen enthält, als Makrostruktur bezeichnet, und eine detaillierte Offenlegung der internen Struktur des Systems bis auf die Ebene der Elemente wird als Mikrostruktur bezeichnet.

Neben dem System gibt es normalerweise ein Supersystem - ein System einer höheren Ebene, das das betrachtete Objekt enthält, und die Funktion eines Systems kann nur durch das Supersystem bestimmt werden.

Es ist notwendig, das Konzept der Umwelt als eine Menge von Objekten der Außenwelt herauszustellen, die die Effizienz des Systems erheblich beeinflussen, aber nicht Teil des Systems und seines Supersystems sind.

Im Zusammenhang mit der systematischen Herangehensweise an Gebäudemodelle wird der Begriff der Infrastruktur verwendet, der die Beziehung des Systems zu seiner Umgebung (Environment) beschreibt, in diesem Fall die Auswahl, Beschreibung und Untersuchung der wesentlichen Eigenschaften eines Objekts innerhalb einer bestimmten Aufgabe wird die Schichtung eines Objekts genannt, und jedes Modell eines Objekts ist seine geschichtete Beschreibung.

Für einen systematischen Ansatz ist es wichtig, die Struktur des Systems zu bestimmen, d.h. Reihe von Verbindungen zwischen den Elementen des Systems, die ihre Wechselwirkung widerspiegeln. Dazu betrachten wir zunächst die strukturellen und funktionalen Ansätze zur Modellierung.

Mit einem strukturellen Ansatz werden die Zusammensetzung der ausgewählten Elemente des Systems und die Verbindungen zwischen ihnen offengelegt. Die Gesamtheit der Elemente und Beziehungen ermöglicht es, die Struktur des Systems zu beurteilen. Die allgemeinste Beschreibung einer Struktur ist eine topologische Beschreibung. Es ermöglicht Ihnen, die Komponenten des Systems und ihre Beziehungen mithilfe von Diagrammen zu definieren. Weniger allgemein ist die Funktionsbeschreibung, wenn einzelne Funktionen betrachtet werden, also Algorithmen für das Verhalten des Systems. Gleichzeitig wird ein funktionaler Ansatz implementiert, der die Funktionen bestimmt, die das System ausführt.

Auf der Grundlage eines systematischen Ansatzes kann eine Abfolge der Modellentwicklung vorgeschlagen werden, wenn zwei Hauptphasen des Entwurfs unterschieden werden: Makroentwurf und Mikroentwurf.

In der Phase des Makrodesigns wird ein Modell der externen Umgebung erstellt, Ressourcen und Einschränkungen werden identifiziert, ein Systemmodell und Kriterien zur Bewertung der Angemessenheit werden ausgewählt.

Die Phase des Mikrodesigns hängt weitgehend von der spezifischen Art des gewählten Modells ab. Im Allgemeinen geht es um die Erstellung von Informationen, mathematischer, technischer und softwaretechnischer Unterstützung für das Modellierungssystem. In dieser Phase werden die wichtigsten technischen Merkmale des erstellten Modells festgelegt, die Zeit für die Arbeit damit und die Ressourcenkosten zum Erreichen der angegebenen Qualität des Modells geschätzt.

Unabhängig von der Art des Modells müssen Sie sich bei der Erstellung an einer Reihe von Prinzipien eines systematischen Ansatzes orientieren:

1) konsistenter Fortschritt durch die Phasen der Erstellung eines Modells;

2) Koordinierung von Informationen, Ressourcen, Zuverlässigkeit und anderen Merkmalen;

3) das richtige Verhältnis verschiedener Ebenen des Modellbaus;

4) die Integrität der einzelnen Phasen des Modelldesigns.

Anweisung

Die Methode der statistischen Modellierung (statistische Tests) ist allgemein als "Monte-Carlo"-Methode bekannt. Diese Methode ist ein Spezialfall der mathematischen Modellierung und basiert auf der Erstellung von Wahrscheinlichkeitsmodellen von Zufallsphänomenen. Die Basis jedes Zufalls ist eine Zufallsvariable oder ein Zufallsprozess. Dabei wird ein Zufallsprozess aus probabilistischer Sicht als n-dimensionale Zufallsvariable bezeichnet. Volle Wahrscheinlichkeit zufällige Variable gibt seine Wahrscheinlichkeitsdichte an. Die Kenntnis dieses Verteilungsgesetzes ermöglicht es, digitale Modelle von Zufallsprozessen auf einem Computer zu erhalten, keine groß angelegten Experimente mit ihnen. All dies ist nur in diskreter Form und in diskreter Zeit möglich, was bei der Erstellung statischer Modelle berücksichtigt werden muss.

Bei der statischen Modellierung sollte man sich von der Betrachtung eines bestimmten Phänomens entfernen und sich nur auf seine Eigenschaften konzentrieren. Dies ermöglicht es, die einfachsten Phänomene, die probabilistische Indikatoren haben, mit dem simulierten Phänomen zur Modellierung zu verwenden. Beispielsweise kann jedes Ereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 eintritt, durch einfaches Werfen einer symmetrischen Münze simuliert werden. Jede einzelne Phase der statistischen Modellierung wird als Verlosung bezeichnet. Um also die Schätzung der mathematischen Erwartung zu bestimmen, sind N Ziehungen einer Zufallsvariablen (CV) X erforderlich.

Das Hauptwerkzeug für die Modellierung auf einem Computer sind die Sensoren für Zufallszahlen, die im Intervall (0, 1) einheitlich sind. In der Pascal-Umgebung wird eine solche Zufallszahl also mit dem Random-Befehl aufgerufen. Bei Taschenrechnern ist für diesen Fall die RND-Taste vorgesehen. Es gibt auch Tabellen mit solchen Zufallszahlen (bis zu einer Größe von 1.000.000). Der Wert des einheitlichen auf (0, 1) SW Z wird mit z bezeichnet.

Betrachten Sie eine Technik zum Modellieren einer beliebigen Zufallsvariablen unter Verwendung einer nichtlinearen Transformation der Verteilungsfunktion. Diese Methode weist keine methodischen Fehler auf. Das Verteilungsgesetz der stetigen SW X sei durch die Wahrscheinlichkeitsdichte W(x) gegeben. Beginnen Sie von hier aus mit der Vorbereitung der Simulation und ihrer Implementierung.

Finden Sie die Verteilungsfunktion X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Nimm Z=z und löse die Gleichung z=F(x) nach x (das ist immer möglich, da sowohl Z als auch F(x) von Null bis Eins reichen.) Schreibe die Lösung x=F^(-1) auf. (Z.). Dies ist der Modellierungsalgorithmus. F^(-1) ist die Umkehrung von F. Es bleibt nur, mit diesem Algorithmus konsistent die Werte xi des digitalen Modells X* CD X zu erhalten.

Beispiel. SW ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte W(x)=λexp(-λx), x≥0 (Exponentialverteilung). Finde ein digitales Modell Lösung.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1-exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Da sowohl z als auch 1-z Werte im Intervall (0, 1) haben und einheitlich sind, kann (1-z) durch z ersetzt werden. 3. Das Vorgehen zur Modellierung exponentieller SW erfolgt nach der Formel x=(-1/λ)∙lnz. Genauer gesagt, xi=(-1/λ)ln(zi).

Was ist ein mathematisches Modell?

Das Konzept eines mathematischen Modells.

Ein mathematisches Modell ist ein sehr einfaches Konzept. Und sehr wichtig. Es sind mathematische Modelle, die Mathematik und reales Leben verbinden.

sprechen einfache Sprache, Ein mathematisches Modell ist eine mathematische Beschreibung einer beliebigen Situation. Und alle. Das Modell kann primitiv sein, es kann superkomplex sein. Was ist die Situation, was ist das Modell.)

In jedem (ich wiederhole - auf jeden!) Geschäft, wo Sie etwas berechnen und berechnen müssen - wir beschäftigen uns mit mathematischer Modellierung. Auch wenn wir es nicht wissen.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Diese Aufzeichnung wird das mathematische Modell der Ausgaben für unsere Einkäufe sein. Das Modell berücksichtigt nicht die Farbe der Verpackung, das Verfallsdatum, die Höflichkeit der Kassierer usw. Deshalb sie Modell, kein echter kauf. Aber die Kosten, dh. was wir brauchen- Wir werden es sicher wissen. Wenn das Modell stimmt, natürlich.

Es ist nützlich, sich vorzustellen, was ein mathematisches Modell ist, aber das reicht nicht aus. Das Wichtigste ist, diese Modelle bauen zu können.

Zusammenstellung (Konstruktion) eines mathematischen Modells des Problems.

Ein mathematisches Modell zu erstellen bedeutet, die Bedingungen des Problems in eine mathematische Form zu übersetzen. Jene. Verwandeln Sie Wörter in eine Gleichung, Formel, Ungleichung usw. Drehen Sie es außerdem so, dass diese Mathematik genau dem Originaltext entspricht. Andernfalls erhalten wir am Ende ein mathematisches Modell eines anderen uns unbekannten Problems.)

Genauer gesagt, Sie brauchen

Es gibt unendlich viele Aufgaben auf der Welt. Daher eine klare vorschlagen Schritt für Schritt Anweisungen bei der Erstellung eines mathematischen Modells irgendein Aufgaben sind unmöglich.

Aber es gibt drei Hauptpunkte, auf die Sie achten müssen.

1. In jeder Aufgabe gibt es seltsamerweise einen Text.) Dieser Text hat in der Regel explizite, offene Informationen. Zahlen, Werte usw.

2. In jeder Aufgabe gibt es versteckte Informationen. Dies ist ein Text, der das Vorhandensein von zusätzlichem Wissen im Kopf voraussetzt. Ohne sie - nichts. Außerdem verstecken sich oft mathematische Informationen dahinter in einfachen Worten und ... entgleitet der Aufmerksamkeit.

3. Bei jeder Aufgabe muss es gegeben sein Kommunikation zwischen Daten. Dieser Zusammenhang kann im Klartext angegeben werden (etwas ist gleich etwas), oder er kann sich hinter einfachen Worten verstecken. Aber einfache und klare Tatsachen werden oft übersehen. Und das Modell ist in keiner Weise kompiliert.

Ich muss gleich sagen, dass um diese drei Punkte anzuwenden, das Problem mehrmals (und sorgfältig!) gelesen werden muss. Das Übliche.

Und jetzt - Beispiele.

Beginnen wir mit einem einfachen Problem:

Petrovich kehrte vom Fischfang zurück und präsentierte stolz seinen Fang seiner Familie. Bei näherer Betrachtung stellte sich heraus, dass 8 Fische davon stammen Nordmeere, 20 % aller Fische stammen aus dem Süden, und es gibt keinen einzigen aus dem örtlichen Fluss, in dem Petrovich gefischt hat. Wie viele Fische hat Petrovich im Seafood Store gekauft?

All diese Wörter müssen in eine Art Gleichung umgewandelt werden. Um dies zu tun, wiederhole ich, Stellen Sie eine mathematische Beziehung zwischen allen Daten des Problems her.

Wo soll man anfangen? Zuerst werden wir alle Daten aus der Aufgabe extrahieren. Beginnen wir der Reihe nach:

Konzentrieren wir uns auf den ersten Punkt.

Was ist hier explizit mathematische Informationen? 8 Fische und 20%. Nicht viel, aber wir brauchen nicht viel.)

Achten wir auf den zweiten Punkt.

Sind auf der Suche nach verdeckt Information. Sie ist hier. Das sind die Worte: „20 % aller Fische". Hier müssen Sie verstehen, was Prozente sind und wie sie berechnet werden. Andernfalls ist die Aufgabe nicht gelöst. Dies sind genau die zusätzlichen Informationen, die im Kopf vorhanden sein sollten.

Hier gibt es auch mathematisch Informationen, die völlig unsichtbar sind. Das Aufgabe Frage: "Wie viele Fische hast du gekauft? Es ist auch eine Zahl. Und ohne sie wird kein Modell kompiliert. Lassen Sie uns daher diese Nummer mit dem Buchstaben bezeichnen "X". Wir wissen noch nicht, was x ist, aber eine solche Bezeichnung wird uns sehr nützlich sein. Weitere Informationen darüber, was man für x nimmt und wie man damit umgeht, finden Sie in der Lektion Wie löst man mathematische Probleme? Schreiben wir es gleich auf:

x Stück - die Gesamtzahl der Fische.

In unserer Aufgabe werden Südfische in Prozent angegeben. Wir müssen sie in Stücke übersetzen. Wozu? Was ist dann drin irgendein die Aufgabe des Modells sein sollte in gleichen Mengen. Stücke - also ist alles in Stücke. Wenn uns, sagen wir, Stunden und Minuten gegeben sind, übersetzen wir alles in eine Sache – entweder nur Stunden oder nur Minuten. Egal was. Es ist wichtig alle Werte waren gleich.

Zurück zur Offenlegung. Wer nicht weiß, was ein Prozentsatz ist, wird es nie verraten, ja ... Und wer weiß, er wird sofort sagen, dass hier Interesse besteht Gesamtzahl Fische werden geschenkt. Wir kennen diese Nummer nicht. Es wird nichts daraus!

Die Gesamtzahl der Fische (in Stücken!) ist mit dem Brief nicht umsonst "X" festgelegt. Es wird nicht funktionieren, den südlichen Fisch in Stücken zu zählen, aber können wir es aufschreiben? So:

0,2 x Stück - die Anzahl der Fische aus den Südmeeren.

Jetzt haben wir alle Informationen aus der Aufgabe heruntergeladen. Sowohl explizit als auch versteckt.

Achten wir auf den dritten Punkt.

Sind auf der Suche nach mathematische Verbindung zwischen Auftragsdaten. Diese Verbindung ist so einfach, dass viele sie nicht bemerken... Das kommt oft vor. Hier ist es hilfreich, die gesammelten Daten einfach in einem Bündel aufzuschreiben und zu sehen, was was ist.

Was haben wir? Es gibt 8 Stück nördlicher Fisch, 0,2 x Stück- Südlicher Fisch und x Fisch- insgesamt. Kann man diese Daten irgendwie miteinander verknüpfen? Ja einfach! Gesamtzahl der Fische gleich Summe aus Süd und Nord! Tja, wer hätte das gedacht ...) Also schreiben wir auf:

x = 8 + 0,2x

Dies wird die Gleichung sein mathematisches Modell unseres Problems.

Bitte beachten Sie das bei diesem Problem Wir werden nicht aufgefordert, etwas zu falten! Wir selbst waren es, die aus unseren Köpfen erkannten, dass die Summe der südlichen und nördlichen Fische uns die Gesamtzahl geben würde. Das Ding ist so offensichtlich, dass es der Aufmerksamkeit entgeht. Aber ohne diese Beweise kann kein mathematisches Modell erstellt werden. So.

Jetzt können Sie die ganze Kraft der Mathematik anwenden, um diese Gleichung zu lösen). Dafür wurde das mathematische Modell entwickelt. Wir lösen diese lineare Gleichung und erhalten die Antwort.

Antworten: x=10

Lassen Sie uns ein mathematisches Modell eines anderen Problems erstellen:

Petrovich wurde gefragt: "Wie viel Geld haben Sie?" Petrovich weinte und antwortete: "Ja, nur ein bisschen. Wenn ich die Hälfte des Geldes und die Hälfte des Restes ausgeben würde, dann habe ich nur noch einen Beutel Geld ..." Wie viel Geld hat Petrovich?

Auch hier arbeiten wir Punkt für Punkt.

1. Wir suchen nach eindeutigen Informationen. Sie werden es nicht sofort finden! Explizite Informationen sind ein Geldtasche. Es gibt einige andere Hälften ... Nun, wir werden es im zweiten Absatz klären.

2. Wir suchen nach versteckten Informationen. Das sind Hälften. Was? Nicht sehr klar. Auf der Suche nach mehr. Es gibt ein weiteres Problem: "Wie viel Geld hat Petrowitsch?" Lassen Sie uns den Geldbetrag mit dem Buchstaben bezeichnen "X":

X- all das Geld

Und lies das Problem nochmal. Bereits wissend, dass Petrovich X von Geld. Hier arbeiten die Hälften! Wir schreiben auf:

0,5 x- die Hälfte aller Gelder.

Der Rest wird auch die Hälfte sein, d.h. 0,5 x. Und die Hälfte der Hälfte kann so geschrieben werden:

0,5 0,5 x = 0,25 x- die Hälfte des Restes.

Jetzt werden alle verborgenen Informationen aufgedeckt und aufgezeichnet.

3. Wir suchen nach einem Zusammenhang zwischen den aufgezeichneten Daten. Hier können Sie die Leiden von Petrovich einfach nachlesen und mathematisch aufschreiben):

Wenn ich die Hälfte des Geldes ausgeben würde...

Lassen Sie uns diesen Prozess aufschreiben. Alles Geld - X. Halb - 0,5 x. Ausgeben heißt wegnehmen. Der Satz wird:

x - 0,5 x

und die Hälfte vom Rest...

Subtrahiere eine weitere Hälfte des Rests:

x - 0,5 x - 0,25 x

dann bleibt mir nur noch ein Beutel Geld ...

Und es gibt Gleichberechtigung! Nach all den Subtraktionen bleibt ein Beutel Geld übrig:

x - 0,5 x - 0,25 x \u003d 1

Hier ist es, das mathematische Modell! Dies ist wieder eine lineare Gleichung, wir lösen, wir erhalten:

Frage zur Überlegung. Vier ist was? Rubel, Dollar, Yuan? Und in welchen Einheiten haben wir Geld im mathematischen Modell? In Taschen! Also vier Tasche Petrowitschs Geld. Auch nicht schlecht.)

Die Aufgaben sind natürlich elementar. Dies dient speziell dazu, das Wesen der Erstellung eines mathematischen Modells zu erfassen. Bei einigen Aufgaben können viel mehr Daten vorhanden sein, bei denen es leicht zu Verwechslungen kommt. Dies geschieht häufig in der sog. Kompetenzaufgaben. Anhand von Beispielen wird gezeigt, wie man mathematische Inhalte aus einem Haufen Wörter und Zahlen herauszieht

Noch eine Anmerkung. Bei klassischen Schulproblemen (Rohre füllen den Pool, Boote fahren irgendwo hin usw.) werden alle Daten in der Regel sehr sorgfältig ausgewählt. Es gibt zwei Regeln:
- das Problem enthält genügend Informationen, um es zu lösen,
- Die Aufgabe enthält keine zusätzlichen Informationen.

Dies ist ein Hinweis. Wenn das mathematische Modell einen ungenutzten Wert enthält, überlegen Sie, ob ein Fehler vorliegt. Wenn in irgendeiner Weise nicht genügend Daten vorhanden sind, wurden höchstwahrscheinlich nicht alle verborgenen Informationen aufgedeckt und aufgezeichnet.

Bei Kompetenz und anderen Lebensaufgaben werden diese Regeln nicht strikt eingehalten. Ich habe keinen Hinweis. Aber auch solche Probleme lassen sich lösen. Es sei denn natürlich, man übt auf dem Klassiker.)

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Laut dem Lehrbuch von Sovetov und Yakovlev: "Ein Modell (lateinischer Modul - Maß) ist ein Objektersatz des ursprünglichen Objekts, das die Untersuchung einiger Eigenschaften des Originals ermöglicht." (S. 6) „Das Ersetzen eines Objekts durch ein anderes, um mit Hilfe eines Modellobjekts Informationen über die wichtigsten Eigenschaften des ursprünglichen Objekts zu erhalten, nennt man Modellieren.“ (S. 6) „Unter mathematischer Modellierung verstehen wir den Prozess der Herstellung einer Entsprechung zu einem gegebenen realen Objekt eines mathematischen Objekts, das als mathematisches Modell bezeichnet wird, und das Studium dieses Modells, das es ermöglicht, die Eigenschaften des betrachteten realen Objekts zu erhalten . Die Art des mathematischen Modells hängt sowohl von der Art des realen Objekts als auch von den Aufgaben der Untersuchung des Objekts und der erforderlichen Zuverlässigkeit und Genauigkeit zur Lösung dieses Problems ab.

Zum Schluss die prägnanteste Definition eines mathematischen Modells: "Eine Gleichung, die die Idee ausdrückt».

Modellklassifizierung

Formale Klassifizierung von Modellen

Die formale Klassifizierung von Modellen basiert auf der Klassifizierung der verwendeten mathematischen Werkzeuge. Oft in Form von Dichotomien aufgebaut. Einer der beliebtesten Sätze von Dichotomien ist beispielsweise:

usw. Jedes konstruierte Modell ist linear oder nichtlinear, deterministisch oder stochastisch, ... Natürlich sind auch Mischtypen möglich: in einer Hinsicht konzentriert (in Bezug auf Parameter), in einer anderen verteilte Modelle usw.

Klassifikation nach der Art der Darstellung des Objekts

Neben der formalen Einordnung unterscheiden sich die Modelle in der Darstellung des Objekts:

• Struktur- oder Funktionsmodelle

Strukturelle Modelle stellen ein Objekt als ein System mit einer eigenen Vorrichtung und einem eigenen Funktionsmechanismus dar. Funktionsmodelle verwenden Sie keine solchen Darstellungen und spiegeln Sie nur das äußerlich wahrgenommene Verhalten (Funktionieren) des Objekts wider. In ihrer extremen Ausprägung werden sie auch „Black Box“-Modelle genannt. Es sind auch kombinierte Typen von Modellen möglich, die manchmal als "Modelle" bezeichnet werden. grauer Kasten».

Inhaltliche und formale Modelle

Fast alle Autoren, die den Prozess der mathematischen Modellierung beschreiben, geben an, dass zuerst eine spezielle ideale Konstruktion gebaut wird, Inhaltsmodell. Es gibt hier keine etablierte Terminologie, und andere Autoren nennen dies ideales Objekt konzeptionelles Modell , spekulatives Modell oder Vormodell. In diesem Fall wird die endgültige mathematische Konstruktion aufgerufen formales Modell oder nur ein mathematisches Modell, das als Ergebnis der Formalisierung dieses Inhaltsmodells (Vormodell) erhalten wird. Die Konstruktion eines aussagekräftigen Modells kann anhand einer Reihe vorgefertigter Idealisierungen erfolgen, wie in der Mechanik, wo ideale Federn, feste Körper, Idealpendel, elastische Medien etc. Fertige geben Strukturelemente für aussagekräftige Modellierung. In Wissensgebieten, in denen es keine vollständig abgeschlossenen, formalisierten Theorien gibt (an der Spitze von Physik, Biologie, Wirtschaftswissenschaften, Soziologie, Psychologie und den meisten anderen Bereichen), ist die Erstellung aussagekräftiger Modelle jedoch dramatisch komplizierter.

Sinnvolle Klassifizierung von Modellen

Keine Hypothese in der Wissenschaft kann ein für alle Mal bewiesen werden. Richard Feynman hat es sehr deutlich ausgedrückt:

„Wir haben immer die Möglichkeit, eine Theorie zu widerlegen, aber beachten Sie, dass wir niemals beweisen können, dass sie richtig ist. Nehmen wir an, Sie haben eine erfolgreiche Hypothese aufgestellt, berechnet, wohin sie führt, und festgestellt, dass alle ihre Konsequenzen experimentell bestätigt werden. Bedeutet dies, dass Ihre Theorie richtig ist? Nein, es bedeutet einfach, dass Sie es versäumt haben, es zu widerlegen.

Wenn ein Modell des ersten Typs gebaut wird, bedeutet dies, dass es vorübergehend als wahr erkannt wird und man sich auf andere Probleme konzentrieren kann. Dies kann jedoch kein Forschungspunkt sein, sondern nur eine vorübergehende Pause: Der Status des Modells des ersten Typs kann nur vorübergehend sein.

Typ 2: Phänomenologisches Modell (verhalten, als ob…)

Das phänomenologische Modell enthält einen Mechanismus zur Beschreibung des Phänomens. Dieser Mechanismus ist jedoch nicht überzeugend genug, kann durch die verfügbaren Daten nicht ausreichend bestätigt werden oder stimmt nicht gut mit den verfügbaren Theorien und dem gesammelten Wissen über das Objekt überein. Daher haben phänomenologische Modelle den Status von Übergangslösungen. Es wird angenommen, dass die Antwort noch unbekannt ist und die Suche nach "wahren Mechanismen" fortgesetzt werden muss. Peierls bezieht beispielsweise das kalorische Modell und das Quarkmodell der Elementarteilchen auf den zweiten Typ.

Die Rolle des Modells in der Forschung kann sich im Laufe der Zeit ändern, es kann vorkommen, dass neue Daten und Theorien phänomenologische Modelle bestätigen und sie in den Status einer Hypothese gehoben werden. Ebenso können neue Erkenntnisse allmählich mit Modellhypothesen des ersten Typs in Konflikt geraten und auf den zweiten übertragen werden. Damit bewegt sich das Quark-Modell allmählich in die Kategorie der Hypothesen; Der Atomismus in der Physik entstand als Übergangslösung, ging aber im Laufe der Geschichte in den ersten Typus über. Aber die Äthermodelle sind von Typ 1 zu Typ 2 übergegangen und befinden sich nun außerhalb der Wissenschaft.

Der Gedanke der Vereinfachung ist beim Bau von Modellen sehr beliebt. Aber Vereinfachung geht anders. Peierls unterscheidet drei Arten von Vereinfachungen bei der Modellierung.

Typ 3: Annäherung (etwas wird als sehr groß oder sehr klein angesehen)

Wenn es möglich ist, Gleichungen aufzustellen, die das untersuchte System beschreiben, bedeutet dies nicht, dass sie auch mit Hilfe eines Computers gelöst werden können. Eine gängige Technik in diesem Fall ist die Verwendung von Approximationen (Modelle des Typs 3). Unter ihnen lineare Reaktionsmodelle. Die Gleichungen werden durch lineare ersetzt. Das Standardbeispiel ist das Ohmsche Gesetz.

Und hier ist Typ 8, der in mathematischen Modellen biologischer Systeme weit verbreitet ist.

Typ 8: Möglichkeitsdemonstration (die Hauptsache ist, die innere Konsistenz der Möglichkeit zu zeigen)

Auch das sind Gedankenexperimente. mit imaginären Wesenheiten, die das demonstrieren vermeintliches Phänomen mit den Grundprinzipien vereinbar und in sich stimmig. Dies ist der Hauptunterschied zu Modellen des Typs 7, die versteckte Widersprüche offenbaren.

Eines der berühmtesten dieser Experimente ist Lobachevskys Geometrie (Lobachevsky nannte sie „imaginäre Geometrie“). Ein weiteres Beispiel ist die Massenproduktion von formal kinetischen Modellen chemischer und biologischer Schwingungen, Autowellen usw. Das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon wurde als Typ-7-Modell konzipiert, um Inkonsistenzen zu demonstrieren Quantenmechanik. Auf völlig ungeplante Weise wurde es schließlich zu einem Typ-8-Modell – eine Demonstration der Möglichkeit der Quantenteleportation von Informationen.

Beispiel

Betrachten wir ein mechanisches System bestehend aus einer Feder, die an einem Ende befestigt ist, und einer Last mit einer Masse, die am freien Ende der Feder befestigt ist. Wir gehen davon aus, dass sich die Last nur in Richtung der Federachse bewegen kann (z. B. erfolgt die Bewegung entlang der Stange). Konstruieren wir ein mathematisches Modell dieses Systems. Wir werden den Zustand des Systems durch den Abstand vom Zentrum der Last zu ihrer Gleichgewichtslage beschreiben. Lassen Sie uns das Zusammenspiel einer Feder und einer Last beschreiben Hookesches Gesetz() Danach verwenden wir das zweite Newtonsche Gesetz, um es in Form einer Differentialgleichung auszudrücken:

wobei bedeutet die zweite Ableitung von nach der Zeit: .

Die resultierende Gleichung beschreibt das mathematische Modell des betrachteten physikalischen Systems. Dieses Muster wird als "harmonischer Oszillator" bezeichnet.

Nach der formalen Einteilung ist dieses Modell linear, deterministisch, dynamisch, konzentriert, kontinuierlich. Bei seiner Konstruktion haben wir viele Annahmen getroffen (über das Fehlen äußerer Kräfte, das Fehlen von Reibung, die geringen Abweichungen usw.), die in der Realität möglicherweise nicht erfüllt werden.

In Bezug auf die Realität handelt es sich meistens um ein Typ-4-Modell. Vereinfachung(„Wir lassen einige Details der Übersichtlichkeit halber weg“), da einige wesentliche universelle Merkmale (z. B. Dissipation) weggelassen werden. In einiger Näherung (also solange die Abweichung der Last vom Gleichgewicht klein ist, mit geringer Reibung, für eine nicht allzu lange Zeit und unter bestimmten anderen Bedingungen) beschreibt ein solches Modell ein reales mechanisches System ziemlich gut, da die verworfene Faktoren haben einen vernachlässigbaren Einfluss auf sein Verhalten. Das Modell kann jedoch verfeinert werden, indem einige dieser Faktoren berücksichtigt werden. Dies wird zu einem neuen Modell mit einem breiteren (wenn auch wiederum begrenzten) Anwendungsbereich führen.

Wenn das Modell jedoch verfeinert wird, kann die Komplexität seiner mathematischen Untersuchung erheblich zunehmen und das Modell praktisch unbrauchbar machen. Oft ermöglicht Ihnen ein einfacheres Modell eine bessere und tiefere Erforschung des realen Systems als ein komplexeres (und formal „korrekteres“) Modell.

Wenn wir das harmonische Oszillatormodell auf Objekte anwenden, die weit von der Physik entfernt sind, kann sein sinnvoller Status ein anderer sein. Wenn Sie dieses Modell beispielsweise auf biologische Populationen anwenden, sollte es höchstwahrscheinlich Typ 6 zugeordnet werden Analogie(„Lassen Sie uns nur einige Merkmale berücksichtigen“).

Harte und weiche Modelle

Der harmonische Oszillator ist ein Beispiel für ein sogenanntes "hartes" Modell. Es wird als Ergebnis einer starken Idealisierung eines realen physikalischen Systems erhalten. Um das Problem seiner Anwendbarkeit zu lösen, ist es notwendig zu verstehen, wie wichtig die Faktoren sind, die wir vernachlässigt haben. Mit anderen Worten, es ist notwendig, das "weiche" Modell zu untersuchen, das durch eine kleine Störung des "harten" Modells erhalten wird. Sie kann beispielsweise durch die folgende Gleichung angegeben werden:

Hier - einige Funktionen, die die Reibungskraft oder die Abhängigkeit des Steifigkeitskoeffizienten der Feder vom Grad ihrer Dehnung berücksichtigen können - einige kleine Parameter. Die explizite Form der Funktion interessiert uns im Moment nicht. Wenn wir beweisen, dass sich das Verhalten eines weichen Modells nicht grundlegend von dem Verhalten eines harten unterscheidet (unabhängig von der expliziten Form der Störfaktoren, wenn sie klein genug sind), reduziert sich das Problem auf die Untersuchung des harten Modells. Andernfalls erfordert die Anwendung der bei der Untersuchung des starren Modells erzielten Ergebnisse zusätzliche Forschung. Beispielsweise sind die Lösungen der Gleichung eines harmonischen Oszillators Funktionen der Form , also Schwingungen mit konstanter Amplitude. Folgt daraus, dass ein realer Oszillator auf unbestimmte Zeit mit konstanter Amplitude schwingt? Nein, denn wenn wir ein System mit beliebig kleiner Reibung betrachten (in einem realen System immer vorhanden), erhalten wir gedämpfte Schwingungen. Das Verhalten des Systems hat sich qualitativ verändert.

Wenn ein System sein qualitatives Verhalten bei einer kleinen Störung beibehält, wird es als strukturell stabil bezeichnet. Der harmonische Oszillator ist ein Beispiel für ein strukturell instabiles (nicht raues) System. Dieses Modell kann jedoch verwendet werden, um Prozesse über begrenzte Zeitintervalle zu untersuchen.

Universalität der Modelle

Die wichtigsten mathematischen Modelle haben in der Regel wichtige Eigenschaft Universalität: Grundlegend unterschiedliche reale Phänomene können durch dasselbe mathematische Modell beschrieben werden. Nehmen wir an, dass der harmonische Oszillator nicht nur das Verhalten der Belastung der Feder beschreibt, sondern auch anderes oszillierende Prozesse, die oft ganz anderer Natur sind: kleine Schwingungen eines Pendels, Schwankungen des Flüssigkeitsspiegels in einem -förmigen Gefäß oder eine Änderung der Stromstärke in einem Schwingkreis. Wenn wir also ein mathematisches Modell studieren, studieren wir gleichzeitig eine ganze Klasse von Phänomenen, die von ihm beschrieben werden. Es ist dieser Isomorphismus von Gesetzen, der durch mathematische Modelle in verschiedenen Segmenten ausgedrückt wird wissenschaftliches Wissen, Ludwig von Bertalanffys Kunststück, die "Allgemeine Systemtheorie" zu schaffen.

Direkte und inverse Probleme der mathematischen Modellierung

Mit der mathematischen Modellierung sind viele Probleme verbunden. Zunächst ist es notwendig, das Grundschema des zu modellierenden Objekts zu finden, um es im Rahmen der Idealisierungen dieser Wissenschaft zu reproduzieren. So verwandelt sich ein Waggon in ein System von Platten und komplexeren Körpern aus verschiedenen Materialien, jedes Material wird als seine standardmäßige mechanische Idealisierung (Dichte, Elastizitätsmodul, standardmäßige Festigkeitseigenschaften) angegeben, wonach auf dem Weg Gleichungen aufgestellt werden manche Details werden als unbedeutend verworfen, Berechnungen angestellt, mit Messungen verglichen, das Modell verfeinert und so weiter. Für die Entwicklung mathematischer Modellierungstechnologien ist es jedoch sinnvoll, diesen Prozess in seine Hauptbestandteile zu zerlegen.

Traditionell gibt es zwei Hauptklassen von Problemen, die mit mathematischen Modellen verbunden sind: direkte und inverse.

Direktes Problem: Die Struktur des Modells und alle seine Parameter gelten als bekannt, die Hauptaufgabe besteht darin, das Modell zu untersuchen, um nützliches Wissen über das Objekt zu extrahieren. Welche statische Belastung hält die Brücke aus? Wie es auf eine dynamische Belastung reagiert (z. B. auf den Marsch einer Soldatenkompanie oder auf die Durchfahrt eines Zuges mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten), wie das Flugzeug die Schallmauer überwindet, ob es durch Flattern auseinanderfällt - dies sind typische Beispiele für eine direkte Aufgabe. Das Stellen des richtigen direkten Problems (das Stellen der richtigen Frage) erfordert besondere Fähigkeiten. Wenn nicht die richtigen Fragen gestellt werden, kann die Brücke zusammenbrechen, selbst wenn ein gutes Modell für ihr Verhalten gebaut wurde. So stürzte 1879 in Großbritannien eine Metallbrücke über den Fluss Tey ein, deren Konstrukteure ein Brückenmodell bauten, es mit einem 20-fachen Sicherheitsspielraum für die Nutzlast berechneten, aber vergaßen, dass an diesen Stellen ständig Winde wehen . Und nach anderthalb Jahren brach es zusammen.

Im einfachsten Fall (beispielsweise einer Oszillatorgleichung) ist das direkte Problem sehr einfach und reduziert sich auf eine explizite Lösung dieser Gleichung.

Umgekehrtes Problem: Viele mögliche Modelle sind bekannt, es ist notwendig, ein bestimmtes Modell basierend auf zusätzlichen Daten über das Objekt auszuwählen. Meistens ist die Struktur des Modells bekannt und einige unbekannte Parameter müssen bestimmt werden. Zusätzliche Informationen können in zusätzlichen empirischen Daten oder in den Anforderungen an das Objekt bestehen ( Gestaltungsaufgabe). Zusätzliche Daten können unabhängig vom Lösungsprozess des inversen Problems ( passive Beobachtung) oder das Ergebnis eines speziell während der Lösung geplanten Experiments sein ( aktive Überwachung).

Eines der ersten Beispiele für eine virtuose Lösung eines inversen Problems unter möglichst vollständiger Nutzung verfügbarer Daten war die von I. Newton konstruierte Methode zur Rekonstruktion von Reibungskräften aus beobachteten gedämpften Schwingungen.

Ein weiteres Beispiel ist die mathematische Statistik. Die Aufgabe dieser Wissenschaft ist die Entwicklung von Methoden zur Aufzeichnung, Beschreibung und Analyse von Beobachtungs- und experimentellen Daten, um probabilistische Modelle von Massenzufallsphänomenen zu erstellen. Jene. die Menge möglicher Modelle wird durch probabilistische Modelle begrenzt. Bei spezifischen Problemen ist der Satz von Modellen begrenzter.

Computersimulationssysteme

Zur Unterstützung der mathematischen Modellierung wurden Computermathematiksysteme entwickelt, z. B. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim usw. Sie ermöglichen es Ihnen, formale und Blockmodelle sowohl einfacher als auch komplexer Prozesse und Geräte zu erstellen und Modellparameter währenddessen einfach zu ändern Simulation. Blockmodelle werden durch Blöcke (meistens grafisch) dargestellt, deren Menge und Verbindung durch das Modelldiagramm festgelegt werden.

Weitere Beispiele

Malthus-Modell

Die Wachstumsrate ist proportional zur aktuellen Bevölkerungsgröße. Sie wird durch die Differentialgleichung beschrieben

wo ist ein bestimmter Parameter, der durch die Differenz zwischen der Geburtenrate und der Sterberate bestimmt wird. Die Lösung dieser Gleichung ist Exponentialfunktion. Übersteigt die Geburtenrate die Sterberate (), wächst die Populationsgröße unendlich und sehr schnell. Es ist klar, dass dies in Wirklichkeit aufgrund begrenzter Ressourcen nicht geschehen kann. Ab einer bestimmten kritischen Populationsgröße reicht das Modell nicht mehr aus, da es die begrenzten Ressourcen nicht berücksichtigt. Eine Verfeinerung des Malthus-Modells kann das logistische Modell sein, das durch die Verhulst-Differentialgleichung beschrieben wird

wo ist die "gleichgewichtige" Bevölkerungsgröße, bei der die Geburtenrate genau durch die Sterberate kompensiert wird. Die Populationsgröße in einem solchen Modell tendiert zum Gleichgewichtswert , und dieses Verhalten ist strukturell stabil.

Räuber-Beute-System

Nehmen wir an, dass in einem bestimmten Gebiet zwei Arten von Tieren leben: Kaninchen (fressen Pflanzen) und Füchse (fressen Kaninchen). Lassen Sie die Anzahl der Kaninchen die Anzahl der Füchse. Unter Verwendung des Malthus-Modells mit den notwendigen Korrekturen unter Berücksichtigung des Kaninchenfressens durch Füchse gelangen wir zu dem folgenden System, das den Namen trägt Tablettmodelle - Volterra:

Dieses System hat einen Gleichgewichtszustand, in dem die Anzahl der Kaninchen und Füchse konstant ist. Eine Abweichung von diesem Zustand führt zu Schwankungen in der Anzahl von Kaninchen und Füchsen, ähnlich wie Schwankungen im harmonischen Oszillator. Wie im Fall des harmonischen Oszillators ist dieses Verhalten nicht strukturell stabil: Eine kleine Änderung im Modell (z. B. unter Berücksichtigung des begrenzten Ressourcenbedarfs von Kaninchen) kann zu einer qualitativen Verhaltensänderung führen. Beispielsweise kann der Gleichgewichtszustand stabil werden und Populationsschwankungen verblassen. Auch die umgekehrte Situation ist möglich, wenn jede kleine Abweichung von der Gleichgewichtslage zu katastrophalen Folgen führt, bis hin zum vollständigen Aussterben einer der Arten. Auf die Frage, welches dieser Szenarien verwirklicht wird, gibt das Volterra-Lotka-Modell keine Antwort: Hier besteht weiterer Forschungsbedarf.

Anmerkungen

1. "Eine mathematische Darstellung der Realität" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Ö philosophische Fragen Kybernetische Simulation. M., Wissen, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Jakowlew S. A., Systemmodellierung: Proc. für Universitäten - 3. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich - M.: Höher. Schule, 2001. - 343 S. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Mathematische Modellierung. Ideen. Methoden. Beispiele. - 2. Aufl., korrigiert. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myschkis A.D., Elemente der Theorie mathematischer Modelle. - 3. Aufl., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 mit ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modellierung technologischer Prozesse: Lehrbuch / A.G. Sevostyanov, P.A. Sewostjanow. - M.: Leicht- und Lebensmittelindustrie, 1984. - 344 p.
7. Wiktionary: mathematische Modelle
8. CliffsNotes.com. Glossar der Erdwissenschaften. 20. September 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 S. ISBN 3-540-35885-4
10. „Eine Theorie wird als linear oder nichtlinear angesehen, je nachdem, welchen – linearen oder nichtlinearen – mathematischen Apparat, welche – linearen oder nichtlinearen – mathematischen Modelle sie verwendet. ... ohne letzteres zu leugnen. Ein moderner Physiker würde höchstwahrscheinlich anders handeln, wenn er eine so wichtige Entität wie Nichtlinearität neu definieren würde, und würde, da er die Nichtlinearität als den wichtigeren und gemeinsamen der beiden Gegensätze bevorzugt, Linearität als „Nicht-Nicht-Linearität“ definieren. Linearität“. Danilow Yu. A., Vorlesungen über nichtlineare Dynamik. Elementare Einführung. Synergetik: Von der Vergangenheit zur Zukunft Serie. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 S. ISBN 5-484-00183-8
11. "Dynamische Systeme modelliert endliche Zahl Gewöhnliche Differentialgleichungen werden als konzentrierte oder Punktsysteme bezeichnet. Sie werden durch einen endlichdimensionalen Phasenraum beschrieben und zeichnen sich durch endlich viele Freiheitsgrade aus. Das gleiche System in verschiedene Bedingungen kann als konzentriert oder verteilt betrachtet werden. Mathematische Modelle verteilter Systeme sind Differentialgleichung in partiellen Ableitungen, Integralgleichungen oder gewöhnlichen Gleichungen mit verzögertem Argument. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines verteilten Systems ist unendlich, und es werden unendlich viele Daten benötigt, um seinen Zustand zu bestimmen. Anischtschenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, Nr. 11, p. 77-84.
12. „Abhängig von der Art der untersuchten Prozesse im System S können alle Arten der Modellierung in deterministische und stochastische, statische und dynamische, diskrete, kontinuierliche und diskret-kontinuierliche unterteilt werden. Die deterministische Modellierung bildet deterministische Prozesse ab, also Prozesse, bei denen die Abwesenheit jeglicher zufälliger Einflüsse angenommen wird; Stochastische Modellierung bildet probabilistische Prozesse und Ereignisse ab. … Die statische Modellierung wird verwendet, um das Verhalten eines Objekts zu jedem Zeitpunkt zu beschreiben, während die dynamische Modellierung das Verhalten eines Objekts über die Zeit widerspiegelt. Die diskrete Modellierung dient der Beschreibung von Prozessen, die als diskret angenommen werden, bzw. die kontinuierliche Modellierung ermöglicht es Ihnen, kontinuierliche Prozesse in Systemen abzubilden, und die diskret-kontinuierliche Modellierung wird verwendet, wenn Sie das Vorhandensein von diskreten und kontinuierlichen Prozessen hervorheben möchten. Sovetov B. Ya., Jakowlew S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Normalerweise spiegelt das mathematische Modell die Struktur (das Gerät) des zu modellierenden Objekts, die Eigenschaften und Verbindungen der Komponenten dieses Objekts wider, die für die Zwecke der Studie wesentlich sind; ein solches Modell wird als strukturell bezeichnet. Wenn das Modell nur widerspiegelt, wie das Objekt funktioniert – zum Beispiel wie es auf äußere Einflüsse reagiert – dann spricht man von einer funktionalen oder bildlich gesprochen von einer Black Box. Auch kombinierte Modelle sind möglich. Myschkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Natürlich, aber die wichtigste Anfangsphase beim Erstellen oder Auswählen eines mathematischen Modells besteht darin, eine möglichst klare Vorstellung vom zu modellierenden Objekt zu erhalten und sein Inhaltsmodell auf der Grundlage informeller Diskussionen zu verfeinern. Zeit und Mühe sollten in dieser Phase nicht gescheut werden, davon hängt maßgeblich der Erfolg der gesamten Studie ab. Mehr als einmal kam es vor, dass sich ein beträchtlicher Arbeitsaufwand für die Lösung eines mathematischen Problems als unwirksam oder sogar als verschwendet herausstellte, weil dieser Seite der Sache nicht genügend Aufmerksamkeit geschenkt wurde. Myschkis A.D., Elemente der Theorie mathematischer Modelle. - 3. Aufl., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 mit ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « Beschreibung des konzeptionellen Modells des Systems. In dieser Unterstufe des Aufbaus eines Systemmodells: a) wird das konzeptionelle Modell M in abstrakten Begriffen und Konzepten beschrieben; b) eine Beschreibung des Modells anhand typischer mathematischer Schemata gegeben wird; c) Hypothesen und Annahmen endgültig akzeptiert werden; d) die Wahl eines Verfahrens zur Annäherung realer Prozesse bei der Modellbildung wird begründet. Sovetov B. Ya., Jakowlew S. A., Systemmodellierung: Proc. für Universitäten - 3. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich - M.: Höher. Schule, 2001. - 343 S. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,