Unterrichtsziele

Machen Sie die Schüler darauf aufmerksam mathematisches Konzept, als Modul einer Zahl;
Schulkindern die Fähigkeit beizubringen, Zahlenmodule zu finden;
Konsolidieren Sie das gelernte Material, indem Sie verschiedene Aufgaben ausführen.

Aufgaben

Festigen Sie das Wissen der Kinder über den Modul der Zahl;
Mit Lösung Testgegenstände um zu überprüfen, wie die Studenten den studierten Stoff gelernt haben;
Weiterhin Interesse am Mathematikunterricht wecken;
Den Schülern logisches Denken, Neugier und Ausdauer beizubringen.

Unterrichtsplan

1. Allgemeine Konzepte und Bestimmung des Moduls der Zahl.
2. geometrischen Sinn Modul.
3. Der Modul der Anzahl seiner Eigenschaften.
4. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die den Betrag einer Zahl enthalten.
5. Geschichtlicher Bezugüber den Begriff "Modul einer Zahl".
6. Aufgabe zur Festigung des Wissens über das behandelte Thema.
7. Hausaufgaben.

Allgemeine Konzepte über den Modul einer Zahl

Der Modul einer Zahl wird normalerweise die Zahl selbst genannt, wenn sie keinen negativen Wert hat oder dieselbe Zahl negativ ist, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Das heißt, der Modul einer nicht negativen reellen Zahl a ist die Zahl selbst:

Und der Modul einer negativen reellen Zahl x ist die entgegengesetzte Zahl:

Schriftlich sieht das so aus:

Nehmen wir zum besseren Verständnis ein Beispiel. So ist zum Beispiel der Modul der Zahl 3 3, und auch der Modul der Zahl -3 ist 3.

Daraus folgt, dass der Modul einer Zahl einen absoluten Wert bedeutet, dh ihren absoluten Wert, jedoch ohne Berücksichtigung ihres Vorzeichens. Um es noch einfacher auszudrücken, muss das Vorzeichen aus der Zahl entfernt werden.

Der Betrag einer Zahl kann bezeichnet werden und so aussehen: |3|, |x|, |a| usw.

So wird zum Beispiel der Betrag der Zahl 3 mit |3| bezeichnet.

Denken Sie auch daran, dass der Betrag einer Zahl niemals negativ ist: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 usw.

Die geometrische Bedeutung des Moduls

Der Betrag einer Zahl ist die Entfernung, die in Einheitssegmenten vom Ursprung bis zum Punkt gemessen wird. Diese Definition erweitert das Modul um geometrischer Punkt Vision.

Nehmen wir eine Koordinatenlinie und bezeichnen zwei Punkte darauf. Lassen Sie diese Punkte Zahlen wie -4 und 2 entsprechen.

Schauen wir uns nun dieses Bild an. Wir sehen, dass der auf der Koordinatenlinie angegebene Punkt A der Zahl -4 entspricht, und wenn Sie genau hinsehen, werden Sie sehen, dass dieser Punkt in einer Entfernung von 4 Einheitssegmenten vom Bezugspunkt 0 liegt. Daraus folgt, dass die Länge des Segments OA gleich vier Einheiten ist. In diesem Fall ist die Länge des Segments OA, d. h. die Zahl 4, der Modul der Zahl –4.

In diesem Fall wird der Betrag der Zahl wie folgt bezeichnet und geschrieben: |−4| = 4.

Nehmen Sie nun und bezeichnen Sie auf der Koordinatenlinie den Punkt B.

Dieser Punkt B entspricht der Zahl +2 und befindet sich, wie wir sehen können, in einer Entfernung von zwei Einheitssegmenten vom Ursprung. Daraus folgt, dass die Länge des Segments OB gleich zwei Einheiten ist. In diesem Fall ist die Zahl 2 der Modul der Zahl +2.

Schriftlich sieht das so aus: |+2| = 2 oder |2| = 2.

Und jetzt fassen wir es zusammen. Wenn wir eine unbekannte Zahl a nehmen und sie auf der Koordinatenlinie mit Punkt A bezeichnen, dann ist in diesem Fall die Entfernung von Punkt A zum Ursprung, d. h. die Länge der Strecke OA, genau der Betrag der Zahl „a ".

Schriftlich sieht das so aus: |a| = O.A.

Modul der Anzahl seiner Eigenschaften

Und jetzt versuchen wir, die Eigenschaften des Moduls hervorzuheben, alle möglichen Fälle zu berücksichtigen und sie mit wörtlichen Ausdrücken zu schreiben:

Erstens ist der Modul einer Zahl eine nicht negative Zahl, was bedeutet, dass der Modul einer positiven Zahl gleich der Zahl selbst ist: |a| = a wenn a > 0;

Zweitens sind Module, die aus entgegengesetzten Zahlen bestehen, gleich: |a| = |–a|. Das heißt, diese Eigenschaft sagt uns, dass entgegengesetzte Zahlen immer gleiche Module haben, das heißt, dass sie auf der Koordinatenlinie, obwohl sie entgegengesetzte Zahlen haben, den gleichen Abstand vom Bezugspunkt haben. Daraus folgt, dass die Module dieser entgegengesetzten Zahlen gleich sind.

Drittens ist der Modul von Null gleich Null, wenn diese Zahl Null ist: |0| = 0, wenn a = 0. Hier können wir mit Sicherheit sagen, dass der Nullbetrag per Definition Null ist, da er dem Ursprung der Koordinatenlinie entspricht.

Die vierte Eigenschaft des Moduls ist, dass der Modul des Produkts zweier Zahlen gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen ist. Schauen wir uns nun genauer an, was das bedeutet. Wenn Sie der Definition folgen, dann wissen Sie und ich, dass der Betrag des Produkts der Zahlen a und b gleich a b oder − (a b), wenn, a in ≥ 0, oder – (a c), wenn, a ist in ist größer als 0. In Datensätzen sieht das so aus: |a b| = |a| |b|.

Die fünfte Eigenschaft ist, dass der Modul des Zahlenquotienten gleich dem Verhältnis der Module dieser Zahlen ist: |a:b| = |a| : |b|.

Und die folgenden Eigenschaften des Moduls der Zahl:

Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die den Betrag einer Zahl enthalten

Wenn Sie mit der Lösung von Problemen mit einem Zahlenmodul beginnen, sollten Sie daran denken, dass es zur Lösung einer solchen Aufgabe erforderlich ist, das Vorzeichen des Moduls anhand der Kenntnis der Eigenschaften, denen diese Aufgabe entspricht, aufzudecken.

Übung 1

Wenn also zum Beispiel unter dem Modulzeichen ein Ausdruck steht, der von einer Variablen abhängt, dann soll der Modul entsprechend der Definition erweitert werden:

Beim Lösen von Problemen gibt es natürlich Fälle, in denen das Modul eindeutig aufgedeckt wird. Wenn wir zum Beispiel nehmen

, hier sehen wir, dass ein solcher Ausdruck unter dem Moduluszeichen für beliebige Werte von x und y nicht negativ ist.

Oder nehmen Sie zum Beispiel

, sehen wir, dass dieser Modulausdruck für keinen Wert von z positiv ist.

Aufgabe 2

Vor Ihnen befindet sich eine Koordinatenlinie. In dieser Zeile müssen die Zahlen markiert werden, deren Modul gleich 2 ist.

Entscheidung

Zuerst müssen wir eine Koordinatenlinie zeichnen. Sie wissen bereits, dass Sie dazu zuerst auf der Geraden den Ursprung, die Richtung und das Einheitssegment auswählen müssen. Als nächstes müssen wir Punkte vom Ursprung setzen, die gleich dem Abstand von zwei Einheitssegmenten sind.

Wie Sie sehen können, gibt es auf der Koordinatenlinie zwei solcher Punkte, von denen einer der Zahl -2 und der andere der Zahl 2 entspricht.

Historische Informationen über den Modul der Zahl

Der Begriff „Modulus“ kommt vom lateinischen Namen Modulus, was übersetzt das Wort „Maß“ bedeutet. Der Begriff wurde von dem englischen Mathematiker Roger Cotes geprägt. Aber das Modulzeichen wurde dank des deutschen Mathematikers Karl Weierstraß eingeführt. Beim Schreiben wird ein Modul mit folgendem Symbol gekennzeichnet: | |.

Fragen zur Festigung des Stoffwissens

In der heutigen Lektion haben wir ein solches Konzept wie den Modul einer Zahl kennengelernt. Lassen Sie uns nun überprüfen, wie Sie dieses Thema gelernt haben, indem Sie die gestellten Fragen beantworten:

1. Wie heißt die Zahl, die das Gegenteil einer positiven Zahl ist?
2. Wie heißt die Zahl, die das Gegenteil einer negativen Zahl ist?
3. Nennen Sie die Zahl, die das Gegenteil von Null ist. Gibt es eine solche Nummer?
4. Nennen Sie die Zahl, die nicht das Modul der Zahl sein kann.
5. Definieren Sie den Modul einer Zahl.

Hausaufgaben

1. Vor Ihnen sind Zahlen, die Sie in absteigender Reihenfolge der Module anordnen müssen. Wenn Sie die Aufgabe richtig lösen, erkennen Sie den Namen der Person, die den Begriff „Modul“ erstmals in die Mathematik eingeführt hat.

2. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie und ermitteln Sie den Abstand von M (-5) und K (8) zum Ursprung.

Fächer > Mathematik > Mathematik Klasse 6

Diese Lektion führt in das Konzept des Moduls einer reellen Zahl ein und stellt einige seiner grundlegenden Definitionen vor, gefolgt von Beispielen, die die Anwendung verschiedener dieser Definitionen demonstrieren.

Gegenstand:Reale Nummern

Lektion:Modul der reellen Zahl

1. Moduldefinitionen

Betrachten Sie ein solches Konzept als Modul einer reellen Zahl, es gibt mehrere Definitionen.

Definition 1. Der Abstand von einem Punkt auf einer Koordinatenlinie zum Nullpunkt wird genannt Modul der Zahl, das ist die Koordinate des gegebenen Punktes (Abb. 1).

Beispiel 1 . Beachten Sie, dass die Module entgegengesetzter Zahlen gleich und nicht negativ sind, da dies ein Abstand ist und nicht negativ sein kann, und der Abstand von Zahlen, die um Null symmetrisch zum Ursprung sind, gleich ist.

Bestimmung 2. .

Beispiel 2. Betrachten Sie eine der Aufgaben aus dem vorherigen Beispiel, um die Äquivalenz der eingeführten Definitionen zu demonstrieren. , wie wir sehen, mit einer negativen Zahl unter dem Modulzeichen ergibt das Hinzufügen eines weiteren Minus davor ein nicht negatives Ergebnis, wie aus der Definition des Moduls hervorgeht.

Folge. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit Koordinaten auf der Koordinatenlinie kann wie folgt ermittelt werden trotzdem relative Position Punkte (Abb. 2).

2. Grundlegende Eigenschaften des Moduls

1. Der Modul jeder Zahl ist nicht negativ

2. Das Modul des Produkts ist das Produkt der Module

3. Modul privat – das sind private Module

3. Problemlösung

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Verwenden wir die zweite Moduldefinition: und schreibe unsere Gleichung als Gleichungssystem für Verschiedene Optionen Modulerweiterung.

Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Ähnlich wie bei der Lösung des vorherigen Beispiels erhalten wir das .

Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Lassen Sie uns durch die Folgerung aus der ersten Definition des Moduls lösen: . Lassen Sie uns dies auf der numerischen Achse darstellen und berücksichtigen, dass die gewünschte Wurzel einen Abstand von 2 von Punkt 3 hat (Abb. 3).

Basierend auf der Abbildung erhalten wir die Wurzeln der Gleichung: , weil die Punkte mit diesen Koordinaten den Abstand 2 vom Punkt 3 haben, wie in der Gleichung gefordert.

Antworten. .

Beispiel 6. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Im Vergleich zum vorherigen Problem gibt es nur eine Komplikation - nämlich, dass es keine vollständige Ähnlichkeit mit der Formulierung des Korollars über den Abstand zwischen Zahlen auf der Koordinatenachse gibt, da das Pluszeichen unter dem Modulzeichen steht, nicht das Minuszeichen . Aber es ist nicht schwer, es in die erforderliche Form zu bringen, was wir tun werden:

Stellen wir dies auf der numerischen Achse ähnlich wie bei der vorherigen Lösung dar (Abb. 4).

Gleichung Wurzeln .

Antworten. .

Beispiel 7. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Diese Gleichung ist etwas komplizierter als die vorige, weil die Unbekannte an zweiter Stelle steht und mit Minuszeichen, zusätzlich noch mit einem Zahlenfaktor. Um das erste Problem zu lösen, verwenden wir eine der Eigenschaften des Moduls und erhalten:

Um das zweite Problem zu lösen, führen wir eine Variablenänderung durch: , was uns zur einfachsten Gleichung führt. Gemäß der zweiten Definition des Moduls . Wir setzen diese Wurzeln in die Ersatzgleichung ein und erhalten zwei lineare Gleichungen:

Antworten. .

4. Quadratwurzel und Modul

Sehr oft entstehen im Zuge der Lösung von Problemen mit Wurzeln Module, und man sollte auf die Situationen achten, in denen sie auftreten.

Beim ersten Blick auf diese Identität können Fragen auftauchen: „Warum ist das Modul da?“ und "Warum ist die Identität falsch?". Es stellt sich heraus, dass man zur zweiten Frage ein einfaches Gegenbeispiel geben kann: Wenn dann wahr sein muss, was äquivalent ist, und dies keine Identität ist.

Danach stellt sich vielleicht die Frage: „Löst eine solche Identität das Problem?“, aber es gibt auch ein Gegenbeispiel für diesen Vorschlag. Wenn dann wahr sein muss, was äquivalent ist, und dies eine falsche Identität ist.

Dementsprechend, wenn wir uns daran erinnern Quadratwurzel aus einer nicht-negativen Zahl eine nicht-negative Zahl, und der Wert des Moduls nicht-negativ ist, wird klar, warum die obige Aussage wahr ist:

.

Beispiel 8. Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks .

Entscheidung. Bei solchen Aufgaben ist es wichtig, die Wurzel nicht gleich gedankenlos loszuwerden, sondern die obige Identität zu verwenden, da .

Als Sonderzahl hat sie kein Vorzeichen.

Beispiele für das Schreiben von Zahlen: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) letzte Zahl hat kein Vorzeichen und ist daher positiv.

Beachten Sie, dass Plus und Minus das Vorzeichen für Zahlen angeben, aber nicht für Literalvariablen oder algebraische Ausdrücke. Zum Beispiel in Formeln −t; a+b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) die Plus- und Minuszeichen geben nicht das Vorzeichen des vorangestellten Ausdrucks an, sondern das Vorzeichen Arithmetische Operation, sodass das Vorzeichen des Ergebnisses beliebig sein kann, wird es erst bestimmt, nachdem der Ausdruck ausgewertet wurde.

Neben der Arithmetik wird der Zeichenbegriff auch in anderen Zweigen der Mathematik verwendet, unter anderem für nicht-numerische mathematische Objekte (siehe unten). Das Konzept eines Zeichens ist auch in jenen Zweigen der Physik wichtig, in denen physikalische Größen in zwei Klassen unterteilt werden, die bedingt positiv und negativ genannt werden - zum Beispiel elektrische Ladungen, positive und negative Rückkopplung, verschiedene Anziehungs- und Abstoßungskräfte.

Nummernschild

Positive und negative Zahlen

Null ist also kein Vorzeichen zugeordnet + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) ist die gleiche Zahl in der Arithmetik. In der mathematischen Analyse die Bedeutung von Symbolen + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) kann variieren, sehen Sie sich das an. Negative und positive Null ; In der Informatik kann die Computercodierung von zwei Nullen (ganzzahliger Typ) unterschiedlich sein, siehe direkter Code.

Im Zusammenhang mit dem oben Gesagten werden einige weitere nützliche Begriffe eingeführt:

• Anzahl nicht negativ wenn es größer oder gleich Null ist.
• Anzahl nicht positiv wenn es kleiner oder gleich Null ist.
• Positive Zahlen ohne Null und negative Zahlen ohne Null werden manchmal (um zu betonen, dass sie nicht Null sind) als "streng positiv" bzw. "streng negativ" bezeichnet.

Dieselbe Terminologie wird manchmal für reelle Funktionen verwendet. Beispielsweise wird die Funktion aufgerufen positiv wenn alle seine Werte positiv sind, nicht negativ, wenn alle seine Werte nicht negativ sind usw. Sie sagen auch, dass die Funktion in einem bestimmten Intervall ihrer Definition positiv/negativ ist.

Ein Beispiel für die Verwendung der Funktion finden Sie im Artikel Quadratwurzel#Komplexe Zahlen .

Modul (Absolutwert) einer Zahl

Wenn die Nummer x (\displaystyle x) das Vorzeichen fallen lassen, wird der resultierende Wert aufgerufen Modul oder Absolutwert Zahlen x (\displaystyle x), es ist bezeichnet | x | . (\displaystyle |x|.) Beispiele: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Für beliebige reelle Zahlen a , b (\displaystyle a,b) die folgenden Eigenschaften gelten.

Vorzeichen von nicht numerischen Objekten

Winkelzeichen

Der Wert des Winkels in der Ebene gilt als positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, andernfalls ist er negativ. Zwei Rotationsfälle werden ähnlich klassifiziert:

• Drehung auf einer Ebene – z. B. Drehung um (–90°) im Uhrzeigersinn;
• eine Drehung im Raum um eine orientierte Achse wird in der Regel als positiv gewertet, wenn die „Gimlet-Regel“ erfüllt ist, andernfalls als negativ.

Richtungszeichen

In der analytischen Geometrie und Physik werden Fortschritte entlang einer bestimmten geraden Linie oder Kurve oft bedingt in positive und negative unterteilt. Eine solche Einteilung kann von der Problemstellung oder dem gewählten Koordinatensystem abhängen. Wenn Sie beispielsweise die Länge eines Bogens einer Kurve berechnen, ist es oft praktisch, dieser Länge ein Minuszeichen in einer von zwei möglichen Richtungen zuzuweisen.

Computing anmelden

höchstwertiges Bit
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Um das Vorzeichen einer ganzen Zahl darzustellen, verwenden die meisten Computer

Heute, Freunde, wird es keinen Rotz und keine Sentimentalität geben. Stattdessen schicke ich Sie kurzerhand in den Kampf mit einem der gefährlichsten Gegner im Algebrakurs der 8.-9. Klasse.

Ja, Sie haben alles richtig verstanden: Wir sprechen von Ungleichungen mit Modul. Wir werden uns vier grundlegende Techniken ansehen, mit denen Sie lernen werden, etwa 90 % dieser Probleme zu lösen. Was ist mit den anderen 10 %? Nun, wir werden in einer separaten Lektion darüber sprechen. :)

Bevor ich jedoch irgendwelche Tricks analysiere, möchte ich an zwei Tatsachen erinnern, die Sie bereits wissen müssen. Andernfalls laufen Sie Gefahr, den Stoff der heutigen Lektion überhaupt nicht zu verstehen.

Was Sie bereits wissen müssen

Captain Evidence weist sozusagen darauf hin, dass Sie zwei Dinge wissen müssen, um Ungleichungen mit einem Modul zu lösen:

1. Wie werden Ungleichheiten gelöst?
2. Was ist ein Modul.

Beginnen wir mit dem zweiten Punkt.

Moduldefinition

Hier ist alles einfach. Es gibt zwei Definitionen: algebraisch und graphisch. Beginnen wir mit der Algebra:

Definition. Der Modul der Zahl $x$ ist entweder die Zahl selbst, wenn sie nicht negativ ist, oder die ihr entgegengesetzte Zahl, wenn das ursprüngliche $x$ noch negativ ist.

Es ist so geschrieben:

\[\links| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

reden einfache Sprache, ist der Modul "eine Zahl ohne Minus". Und in dieser Dualität (irgendwo müssen Sie nichts mit der ursprünglichen Zahl tun, aber irgendwo müssen Sie dort ein Minus entfernen) und all die Schwierigkeiten für Anfänger liegen.

Gibt es noch mehr geometrische Definition. Es ist auch nützlich, es zu wissen, aber wir werden uns nur in komplexen und einigen Spezialfällen darauf beziehen, wo der geometrische Ansatz bequemer ist als der algebraische (Spoiler: heute nicht).

Definition. Lassen Sie den Punkt $a$ auf der reellen Linie markieren. Dann das Modul $\left| x-a \right|$ ist der Abstand vom Punkt $x$ zum Punkt $a$ auf dieser Linie.

Wenn Sie ein Bild zeichnen, erhalten Sie so etwas:

Grafische Definition Modul

Auf die eine oder andere Weise folgt seine Schlüsseleigenschaft sofort aus der Definition des Moduls: Der Modul einer Zahl ist immer ein nicht negativer Wert. Diese Tatsache wird sich heute wie ein roter Faden durch unsere gesamte Geschichte ziehen.

Lösung von Ungleichungen. Abstandsmethode

Lassen Sie uns nun mit Ungleichheiten umgehen. Es gibt sehr viele davon, aber unsere Aufgabe ist es jetzt, zumindest die einfachsten zu lösen. Die, auf die es ankommt Lineare Ungleichungen, sowie auf die Methode der Intervalle.

Ich habe zwei große Tutorials zu diesem Thema (übrigens sehr, SEHR nützlich - ich empfehle das Studium):

1. Die Intervallmethode für Ungleichungen(insbesondere das Video ansehen);
2. Bruchrationale Ungleichungen- eine sehr umfangreiche Lektion, aber danach werden Sie überhaupt keine Fragen mehr haben.

Wenn Sie das alles wissen, wenn der Satz "Lass uns von der Ungleichheit zur Gleichung übergehen" Sie nicht vage dazu bringt, sich an der Wand umzubringen, dann sind Sie bereit: Willkommen in der Hölle zum Hauptthema der Lektion. :)

1. Ungleichungen der Form „Baustein kleiner als Funktion“

Dies ist eine der am häufigsten vorkommenden Aufgaben bei Modulen. Es ist erforderlich, eine Ungleichung der Form zu lösen:

\[\links| f\richtig| \ltg\]

Alles kann als Funktionen $f$ und $g$ fungieren, aber normalerweise sind sie Polynome. Beispiele für solche Ungleichheiten:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\rechts| \ltx+7; \\ & \links| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \links| ((x)^(2))-2\links| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alle werden buchstäblich in einer Zeile nach dem Schema gelöst:

\[\links| f\richtig| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \richtig richtig)\]

Es ist leicht zu sehen, dass wir den Modul loswerden, aber stattdessen eine doppelte Ungleichung erhalten (oder, was dasselbe ist, ein System von zwei Ungleichungen). Aber dieser Übergang berücksichtigt absolut alle möglichen Probleme: Wenn die Zahl unter dem Modul positiv ist, funktioniert die Methode; wenn negativ, funktioniert es immer noch; und selbst mit der ungeeignetsten Funktion anstelle von $f$ oder $g$ funktioniert die Methode immer noch.

Da stellt sich natürlich die Frage: Geht es nicht einfacher? Leider können Sie nicht. Dies ist der springende Punkt des Moduls.

Aber genug des Philosophierens. Lassen Sie uns ein paar Probleme lösen:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| 2x+3\rechts| \ltx+7\]

Entscheidung. Wir haben also eine klassische Ungleichung der Form „der Modul ist kleiner als“ – es gibt sogar nichts zu transformieren. Wir arbeiten nach dem Algorithmus:

\[\begin(align) & \left| f\richtig| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \links| 2x+3\rechts| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Beeilen Sie sich nicht, die Klammern zu öffnen, denen ein „Minus“ vorangestellt ist: Es ist durchaus möglich, dass Sie aufgrund der Eile einen offensiven Fehler machen.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Das Problem wurde auf zwei elementare Ungleichungen reduziert. Wir notieren ihre Lösungen auf parallelen reellen Linien:

Schnittmenge von vielen

Die Schnittmenge dieser Mengen wird die Antwort sein.

Antwort: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Entscheidung. Diese Aufgabe ist etwas schwieriger. Zunächst isolieren wir den Modul, indem wir den zweiten Term nach rechts verschieben:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\links(x+1 \rechts)\]

Offensichtlich haben wir wieder eine Ungleichung der Form „der Modul ist kleiner“, also werden wir den Modul nach dem bereits bekannten Algorithmus los:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Jetzt Achtung: Jemand wird sagen, dass ich mit all diesen Klammern ein bisschen pervers bin. Aber noch einmal erinnere ich Sie daran, dass unser wichtigstes Ziel ist Lösen Sie die Ungleichung richtig und erhalten Sie die Antwort. Später, wenn Sie alles, was in dieser Lektion beschrieben wird, perfekt beherrschen, können Sie sich nach Belieben pervertieren: Klammern öffnen, Minuszeichen hinzufügen usw.

Und für den Anfang entfernen wir einfach das doppelte Minus auf der linken Seite:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\links(x+1\rechts)\]

Öffnen wir nun alle Klammern in der doppelten Ungleichung:

Kommen wir zur doppelten Ungleichheit. Diesmal werden die Berechnungen ernster:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rechts ausrichten.\]

Beide Ungleichungen sind quadratisch und werden nach der Intervallmethode gelöst (deshalb sage ich: wer nicht weiß, was das ist, sollte die Module besser noch nicht übernehmen). Wir gehen zur Gleichung in der ersten Ungleichung über:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\links(x+5 \rechts)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen, war die Ausgabe unvollständig. quadratische Gleichung, die elementar gelöst ist. Kommen wir nun zur zweiten Ungleichung des Systems. Dort müssen Sie den Satz von Vieta anwenden:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \links(x-3 \rechts)\links(x+2 \rechts)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Wir markieren die erhaltenen Zahlen auf zwei parallelen Linien (getrennt für die erste Ungleichung und getrennt für die zweite):

Da wir wiederum ein Ungleichungssystem lösen, interessiert uns der Schnittpunkt der schattierten Mengen: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Das ist die Antwort.

Antwort: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Ich denke, nach diesen Beispielen ist das Lösungsschema sehr klar:

1. Isolieren Sie den Modul, indem Sie alle anderen Terme auf die gegenüberliegende Seite der Ungleichung verschieben. Damit erhalten wir eine Ungleichung der Form $\left| f\richtig| \ltg$.
2. Lösen Sie diese Ungleichung, indem Sie das Modul wie oben beschrieben entfernen. Irgendwann wird es notwendig sein, von einer doppelten Ungleichung zu einem System von zwei unabhängigen Ausdrücken überzugehen, von denen jeder bereits separat gelöst werden kann.
3. Schließlich bleibt es nur noch, die Lösungen dieser beiden unabhängigen Ausdrücke zu kreuzen - und das war's, wir werden die endgültige Antwort erhalten.

Ein ähnlicher Algorithmus existiert für Ungleichungen des folgenden Typs, wenn der Modul größer als die Funktion ist. Es gibt jedoch ein paar ernste "Aber". Über diese „aber“ sprechen wir jetzt.

2. Ungleichungen der Form „Baustein ist größer als Funktion“

Sie sehen so aus:

\[\links| f\richtig| \gt g\]

Ähnlich wie beim Vorgänger? Scheinen. Trotzdem werden solche Aufgaben ganz anders gelöst. Formal sieht das Schema wie folgt aus:

\[\links| f\richtig| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Mit anderen Worten, wir betrachten zwei Fälle:

1. Zuerst ignorieren wir einfach das Modul - wir lösen die übliche Ungleichung;
2. Dann öffnen wir den Modul tatsächlich mit dem Minuszeichen und multiplizieren dann beide Teile der Ungleichung mit −1, mit einem Vorzeichen.

In diesem Fall werden die Optionen mit einer eckigen Klammer kombiniert, d.h. Wir haben eine Kombination aus zwei Anforderungen.

Nochmals aufgepasst: Vor uns liegt also kein System, sondern ein Aggregat In der Antwort werden die Sätze kombiniert, nicht geschnitten. Dies ist ein grundlegender Unterschied zum vorherigen Absatz!

Im Allgemeinen haben viele Studenten eine Menge Verwirrung mit Gewerkschaften und Schnittmengen, also lassen Sie uns dieses Problem ein für alle Mal untersuchen:

• "∪" ist ein Verkettungszeichen. Tatsächlich handelt es sich dabei um einen stilisierten Buchstaben „U“, der zu uns kam auf Englisch und ist eine Abkürzung für „Union“, d.h. "Verbände".
• "∩" ist das Schnittpunktzeichen. Dieser Mist kam nicht von irgendwoher, sondern erschien nur als Gegensatz zu "∪".

Um es noch einfacher zu merken, fügen Sie diesen Zeichen einfach Beine hinzu, um eine Brille herzustellen (beschuldigen Sie mich jetzt nicht, Drogensucht und Alkoholismus zu fördern: Wenn Sie diese Lektion ernsthaft studieren, dann sind Sie bereits drogenabhängig):

Unterschied zwischen Durchschnitt und Vereinigung von Mengen

Ins Russische übersetzt bedeutet dies Folgendes: Die Vereinigung (Sammlung) enthält Elemente aus beiden Mengen, daher nicht weniger als jede von ihnen; aber die Schnittmenge (System) enthält nur diejenigen Elemente, die sowohl in der ersten als auch in der zweiten Menge sind. Daher ist die Schnittmenge von Mengen niemals größer als die Quellmengen.

Also wurde es klarer? Das ist großartig. Fahren wir mit der Praxis fort.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| 3x+1 \rechts| \gt 5-4x\]

Entscheidung. Wir handeln nach dem Schema:

\[\links| 3x+1 \rechts| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Rechts.\]

Wir lösen jede Populationsungleichung:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Wir markieren jede resultierende Menge auf dem Zahlenstrahl und kombinieren sie dann:

Vereinigung von Mengen

Offensichtlich lautet die Antwort $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Antwort: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Entscheidung. Und was? Nein, es ist alles gleich. Wir gehen von einer Ungleichung mit einem Modul zu einer Menge von zwei Ungleichungen über:

\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Wir lösen jede Ungleichung. Leider werden die Wurzeln dort nicht sehr gut sein:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Bei der zweiten Ungleichung ist auch ein bisschen Spiel drin:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Jetzt müssen wir diese Zahlen auf zwei Achsen markieren – eine Achse für jede Ungleichung. Allerdings müssen Punkte eingetragen werden richtige Reihenfolge: wie mehr Nummer, desto weiter verschieben wir den Punkt nach rechts.

Und hier warten wir auf ein Setup. Wenn alles klar ist mit den Zahlen $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (die Terme im Zähler der ersten Bruch sind kleiner als die Glieder im Zähler des zweiten , also ist auch die Summe kleiner), wobei die Zahlen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ wird es auch keine Schwierigkeiten geben (eine positive Zahl natürlich negativer), dann ist beim letzten Paar alles nicht so einfach. Was ist größer: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ oder $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Die Anordnung der Punkte auf den Zahlengeraden und tatsächlich die Antwort hängt von der Antwort auf diese Frage ab.

Also vergleichen wir:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Wir haben die Wurzel isoliert, haben nicht negative Zahlen auf beiden Seiten der Ungleichung, also haben wir das Recht, beide Seiten zu quadrieren:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Ich denke, es ist ein Kinderspiel, dass $4\sqrt(13) \gt 3$, also $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, schließlich werden die Punkte auf den Achsen so angeordnet:

Fall von hässlichen Wurzeln

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir eine Sammlung lösen, sodass die Antwort die Vereinigung und nicht die Schnittmenge der schattierten Mengen sein wird.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Wie Sie sehen können, funktioniert unser Schema für beide hervorragend einfache Aufgaben, und für sehr starre. Der einzige „Schwachpunkt“ bei diesem Ansatz ist, dass Sie irrationale Zahlen richtig vergleichen müssen (und glauben Sie mir: Das sind nicht nur Wurzeln). Aber eine separate (und sehr ernsthafte) Lektion wird Fragen des Vergleichs gewidmet sein. Und wir gehen weiter.

3. Ungleichungen mit nicht-negativen "Schwänzen"

So kamen wir zu den interessantesten. Dies sind Ungleichungen der Form:

\[\links| f\richtig| \gt\links| g\richtig|\]

Im Allgemeinen gilt der Algorithmus, über den wir jetzt sprechen werden, nur für das Modul. Es funktioniert in allen Ungleichungen, bei denen links und rechts garantiert nicht negative Ausdrücke vorhanden sind:

Was tun mit diesen Aufgaben? Denk dran:

Bei Ungleichungen mit nicht-negativen Enden können beide Seiten beliebig hochgesetzt werden natürlichen Grad. Es wird keine zusätzlichen Einschränkungen geben.

Zunächst werden wir uns für die Quadrierung interessieren - sie verbrennt Module und Wurzeln:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Verwechseln Sie dies nur nicht mit dem Wurzelziehen aus dem Quadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Unzählige Fehler wurden gemacht, wenn ein Student vergessen hat, ein Modul zu installieren! Aber das ist eine ganz andere Geschichte (es ist wie irrationale Gleichungen), also gehen wir darauf jetzt nicht ein. Lassen Sie uns besser ein paar Probleme lösen:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| x+2 \rechts|\ge \links| 1-2x \right|\]

Entscheidung. Zwei Dinge fallen uns sofort auf:

1. Dies ist eine nicht-strikte Ungleichung. Punkte auf dem Zahlenstrahl werden ausgestanzt.
2. Beide Seiten der Ungleichung sind offensichtlich nichtnegativ (dies ist eine Eigenschaft des Moduls: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Daher können wir beide Seiten der Ungleichung quadrieren, um den Modul loszuwerden und das Problem mit der üblichen Intervallmethode zu lösen:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Im letzten Schritt habe ich ein wenig geschummelt: Ich habe die Reihenfolge der Terme geändert, indem ich die Parität des Moduls verwendet habe (tatsächlich habe ich den Ausdruck $1-2x$ mit −1 multipliziert).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ rechts)\rechts)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Wir lösen nach der Intervallmethode. Gehen wir von der Ungleichung zur Gleichung über:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Wir markieren die gefundenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl. Noch einmal: Alle Punkte sind schattiert, weil die ursprüngliche Ungleichung nicht streng ist!

Das Modulschild loswerden

Ich erinnere für besonders Hartnäckige daran: Wir nehmen die Vorzeichen von der letzten Ungleichung, die aufgeschrieben wurde, bevor wir zur Gleichung übergehen. Und wir übermalen die benötigten Bereiche in der gleichen Ungleichheit. In unserem Fall ist dies $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Das ist es. Problem gelöst.

Antwort: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Entscheidung. Wir machen alles gleich. Ich werde nicht kommentieren - schauen Sie sich nur die Abfolge der Aktionen an.

Lassen Sie uns quadrieren:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \rechts))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ rechts))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Abstandsmethode:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rechtspfeil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Auf dem Zahlenstrahl gibt es nur eine Wurzel:

Die Antwort ist eine ganze Reihe

Antwort: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Eine kleine Anmerkung zur letzten Aufgabe. Wie einer meiner Studenten treffend bemerkte, sind beide Untermodulausdrücke in dieser Ungleichung offensichtlich positiv, sodass das Modulzeichen ohne gesundheitliche Schäden weggelassen werden kann.

Dies ist jedoch bereits eine völlig andere Denkebene und ein anderer Ansatz - es kann bedingt als Methode der Konsequenzen bezeichnet werden. Über ihn - in einer separaten Lektion. Und jetzt lasst uns zum letzten Teil der heutigen Lektion übergehen und darüber nachdenken universeller Algorithmus was immer geht. Auch wenn alle bisherigen Ansätze machtlos waren. :)

4. Methode der Aufzählung von Optionen

Was, wenn all diese Tricks nicht funktionieren? Wenn Ungleichheit nicht auf nicht-negative Schwänze reduziert werden kann, wenn es unmöglich ist, das Modul zu isolieren, wenn überhaupt Schmerz-Traurigkeit-Sehnsucht?

Dann tritt die „schwere Artillerie“ aller Mathematik in Erscheinung – die Aufzählungsmethode. Bezüglich Ungleichungen mit dem Modul sieht das so aus:

1. Schreiben Sie alle Submodulausdrücke aus und setzen Sie sie mit Null gleich;
2. Lösen Sie die resultierenden Gleichungen und markieren Sie die gefundenen Wurzeln auf einem Zahlenstrahl;
3. Die Gerade wird in mehrere Abschnitte unterteilt, innerhalb derer jedes Modul ein festes Vorzeichen hat und sich somit eindeutig ausdehnt;
4. Lösen Sie die Ungleichung in jedem dieser Abschnitte (Sie können die in Absatz 2 erhaltenen Grenzwurzeln separat betrachten - für die Zuverlässigkeit). Kombiniere die Ergebnisse - das wird die Antwort sein. :)

Und wie? Schwach? Leicht! Nur für lange Zeit. Mal sehen in der Praxis:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\links| x+2 \rechts| \lt\links| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Entscheidung. Dieser Mist läuft nicht auf Ungleichungen wie $\left| hinaus f\richtig| \lt g$, $\links| f\richtig| \gt g$ oder $\left| f\richtig| \lt\links| g \right|$, also machen wir weiter.

Wir schreiben Submodulausdrücke, setzen sie mit Null gleich und finden die Wurzeln:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rechtspfeil x=1. \\\end(align)\]

Insgesamt haben wir zwei Wurzeln, die den Zahlenstrahl in drei Abschnitte unterteilen, in denen sich jedes Modul eindeutig offenbart:

Aufteilung des Zahlenstrahls durch Nullen von submodularen Funktionen

Betrachten wir jeden Abschnitt einzeln.

1. Sei $x \lt -2$. Dann sind beide Submodulausdrücke negativ, und die ursprüngliche Ungleichung wird wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Wir haben eine ziemlich einfache Einschränkung. Lassen Sie es uns mit der ursprünglichen Annahme überschneiden, dass $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Offensichtlich kann die Variable $x$ nicht gleichzeitig kleiner als −2, aber größer als 1,5 sein. In diesem Bereich gibt es keine Lösungen.

1.1. Betrachten wir den Grenzfall separat: $x=-2$. Lassen Sie uns einfach diese Zahl in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen und prüfen: gilt sie?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \links| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rechtspfeil \varnothing . \\\end(align)\]

Offensichtlich hat uns die Rechenkette auf die falsche Ungleichung geführt. Daher ist auch die ursprüngliche Ungleichung falsch, und $x=-2$ ist nicht in der Antwort enthalten.

2. Nun sei $-2 \lt x \lt 1$. Das linke Modul öffnet sich bereits mit einem „Plus“, das rechte noch mit einem „Minus“. Wir haben:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Wieder treffen wir auf die ursprüngliche Anforderung:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Und wieder die leere Lösungsmenge, da es keine Zahlen gibt, die sowohl kleiner als −2,5 als auch größer als −2 sind.

2.1. Und wieder besonderer Fall: $x=1$. Wir setzen in die ursprüngliche Ungleichung ein:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \links| 3\richtig| \lt\links| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Ähnlich wie beim vorigen "Sonderfall" ist die Zahl $x=1$ eindeutig nicht in der Antwort enthalten.

3. Das letzte Stück der Zeile: $x \gt 1$. Hier werden alle Module mit einem Pluszeichen erweitert:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Und wieder schneiden wir die gefundene Menge mit der ursprünglichen Einschränkung:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \Rechts)\]

Na endlich! Wir haben das Intervall gefunden, das die Antwort sein wird.

Antwort: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Zum Schluss noch eine Anmerkung, die Sie vor dummen Fehlern beim Lösen echter Probleme bewahren kann:

Lösungen von Ungleichungen mit Moduln sind normalerweise kontinuierliche Mengen auf dem Zahlenstrahl - Intervalle und Segmente. Isolierte Punkte sind viel seltener. Und noch seltener kommt es vor, dass die Grenzen der Lösung (das Ende des Segments) mit der Grenze des betrachteten Bereichs zusammenfallen.

Wenn folglich die Grenzen (dieselben „Sonderfälle“) nicht in der Antwort enthalten sind, werden die Bereiche links-rechts dieser Grenzen mit ziemlicher Sicherheit auch nicht in der Antwort enthalten sein. Und umgekehrt: Die als Antwort eingegebene Grenze, was bedeutet, dass einige Bereiche darum herum auch Antworten sein werden.

Denken Sie daran, wenn Sie Ihre Lösungen überprüfen.