Für zwei Ebenen sind folgende Varianten der gegenseitigen Anordnung möglich: Sie sind parallel oder schneiden sich auf einer Geraden.
Aus der Stereometrie ist bekannt, dass zwei Ebenen parallel sind, wenn zwei Schnittgeraden der einen Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittgeraden der anderen Ebene sind. Dieser Zustand wird aufgerufen ein Zeichen für parallele Ebenen.
Wenn zwei Ebenen parallel sind, dann schneiden sie eine dritte Ebene entlang paralleler Linien. Darauf aufbauend parallele Ebenen R Und Q ihre Spuren sind parallele gerade Linien (Abb. 50).
Wenn zwei Flugzeuge R Und Q parallel zur Achse x, werden ihre horizontalen und frontalen Spuren bei einer beliebigen gegenseitigen Anordnung der Ebenen parallel zur x-Achse, d. h. zueinander parallel sein. Folglich ist unter solchen Bedingungen die Parallelität der Spuren ein ausreichendes Zeichen, das die Parallelität der Ebenen selbst kennzeichnet. Für die Parallelität solcher Ebenen müssen Sie darauf achten, dass ihre Profilspuren ebenfalls parallel sind. P w und Q w. Flugzeuge R Und Q in Abbildung 51 sind parallel, und in Abbildung 52 sind sie nicht parallel, obwohl dies der Fall ist P v || Q v, und P h y || Q h .
Wenn die Ebenen parallel sind, sind die Horizontalen einer Ebene parallel zu den Horizontalen der anderen. In diesem Fall müssen die Fronten einer Ebene parallel zu den Fronten der anderen sein, da diese Ebenen parallele Spuren mit demselben Namen haben.
Um zwei sich schneidende Ebenen zu konstruieren, ist es notwendig, die Linie zu finden, entlang der sich die beiden Ebenen schneiden. Um diese Linie zu konstruieren, genügt es, zwei zugehörige Punkte zu finden.
Manchmal, wenn die Ebene durch Spuren gegeben ist, ist es einfach, diese Punkte anhand eines Diagramms und ohne zusätzliche Konstruktionen zu finden. Hier ist die Richtung der definierten geraden Linie bekannt und ihre Konstruktion basiert auf der Verwendung eines Punktes auf dem Diagramm.
Feierabend -
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Darstellende Geometrie. Vorlesungsskript Vorlesung. Über Projektionen
Vorlesungsinformationen über Projektionen Das Konzept der Projektionen Lesen einer Zeichnung .. Zentralprojektion .. Eine Vorstellung von der Zentralprojektion kann durch Untersuchung des Bildes erhalten werden, das das menschliche Auge liefert ..
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Das Konzept der Projektionen
Darstellende Geometrie ist eine Wissenschaft, die die theoretische Grundlage des Zeichnens darstellt. In dieser Wissenschaft werden Methoden zur Darstellung verschiedener Körper und ihrer Elemente auf einer Ebene untersucht.
Parallelprojektion
Parallelprojektion ist eine Projektionsart, die parallel projizierende Strahlen verwendet. Beim Konstruieren von Parallelprojektionen müssen Sie ansetzen
Projektionen eines Punktes auf zwei Projektionsebenen
Betrachten Sie die Projektionen von Punkten auf zwei Ebenen, für die wir zwei senkrechte Ebenen nehmen (Abb. 4), die wir die horizontalen Frontal- und Ebenen nennen. Flache Datenschnittlinie
Fehlende Projektionsachse
Um zu erklären, wie man am Modell Projektionen eines Punktes auf senkrechte Projektionsebenen erhält (Abb. 4), muss man ein dickes Stück Papier in Form eines länglichen Rechtecks nehmen. Es muss dazwischen gebogen werden
Projektionen eines Punktes auf drei Projektionsebenen
Betrachten Sie die Profilebene von Projektionen. Projektionen auf zwei senkrechte Ebenen bestimmen normalerweise die Position der Figur und ermöglichen es, ihre tatsächlichen Abmessungen und ihre Form herauszufinden. Aber es gibt Zeiten, in denen
Punktkoordinaten
Die Position eines Punktes im Raum kann anhand von drei Zahlen, den sogenannten Koordinaten, bestimmt werden. Jede Koordinate entspricht dem Abstand eines Punktes von einer Ebene pr
Projektion einer geraden Linie
Zwei Punkte werden benötigt, um eine Linie zu definieren. Ein Punkt wird durch zwei Projektionen auf die horizontale und frontale Ebene definiert, d. h. eine Gerade wird durch die Projektionen ihrer beiden Punkte auf die Horizontale bestimmt
Gerade Spuren
Die Spur einer geraden Linie ist der Schnittpunkt mit einer Ebene oder Oberfläche (Abb. 20). Die horizontale Spur einer Linie ist ein Punkt H
Verschiedene Positionen der Linie
Eine gerade Linie wird als gerade Linie bezeichnet allgemeine Stellung, wenn sie zu keiner der Projektionsebenen parallel oder senkrecht ist. Die Projektionen einer Linie in allgemeiner Position sind auch weder parallel noch senkrecht.
Gegenseitige Anordnung zweier Geraden
Drei Fälle der Anordnung von Linien im Raum sind möglich: 1) die Linien schneiden sich, dh sie haben einen gemeinsamen Punkt; 2) Die Linien sind parallel, das heißt, sie haben keinen gemeinsamen Punkt, sondern liegen in derselben Ebene
Senkrechte Linien
Betrachten Sie den Satz: Wenn eine Seite rechter Winkel parallel zur Projektionsebene (oder darin liegt), dann wird der rechte Winkel unverzerrt auf diese Ebene projiziert. Wir präsentieren einen Beweis für
Bestimmung der Position des Flugzeugs
Für eine beliebig angeordnete Projektionsebene füllen ihre Punkte alle drei Projektionsebenen. Daher macht es keinen Sinn, über die Projektion der gesamten Ebene zu sprechen, Sie müssen nur Projektionen berücksichtigen
Ebenenspuren
Die Spur der Ebene P ist die Schnittlinie mit einer gegebenen Ebene oder Fläche (Abb. 36). Die Schnittlinie der Ebene P mit der horizontalen Ebene wird genannt
Ebene Konturen und Fronten
Unter den Linien, die in einer bestimmten Ebene liegen, können zwei Klassen von Linien unterschieden werden, die bei der Lösung verschiedener Probleme eine wichtige Rolle spielen. Dies sind gerade Linien, die als Horizontale bezeichnet werden.
Konstruktion von Flugzeugspuren
Betrachten Sie die Konstruktion von Spuren der Ebene P, die durch ein Paar sich schneidender Linien I und II gegeben ist (Abb. 45). Befindet sich eine Gerade in der Ebene P, so liegen ihre Spuren auf den gleichnamigen Spuren
Verschiedene Positionen des Flugzeugs
Eine Ebene in allgemeiner Position ist eine Ebene, die weder parallel noch senkrecht zu einer der Projektionsebenen ist. Auch die Spuren einer solchen Ebene sind weder parallel noch senkrecht.
Gerade parallel zur Ebene
Es kann mehrere Positionen einer Geraden relativ zu einer bestimmten Ebene geben. 1. Die Linie liegt in einer Ebene. 2. Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene. 3. Direktüberweisung
Eine gerade Linie, die eine Ebene schneidet
Um den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene zu finden, ist es notwendig, Schnittlinien zweier Ebenen zu konstruieren. Betrachten Sie die Linie I und die Ebene P (Abb. 54).
Prisma und Pyramide
Stellen Sie sich ein gerades Prisma vor, das auf einer horizontalen Ebene steht (Abb. 56). Ihre Seitenkörner
Zylinder und Kegel
Ein Zylinder ist eine Figur, deren Oberfläche durch Drehen der geraden Linie m um die i-Achse erhalten wird, die sich in derselben Ebene wie diese gerade Linie befindet. Für den Fall, dass die Linie m
Kugel, Torus und Ring
Wenn eine Rotationsachse I den Durchmesser eines Kreises hat, dann erhält man eine sphärische Oberfläche (Abb. 66).
Beim Zeichnen verwendete Linien
Beim Zeichnen werden drei Haupttypen von Linien (durchgezogen, gestrichelt und strichpunktiert) unterschiedlicher Dicke verwendet (Abb. 76).
Lage der Ansichten (Projektionen)
Beim Zeichnen werden sechs Typen verwendet, die in Abbildung 85 dargestellt sind. Die Abbildung zeigt die Projektionen des Buchstabens "L".
Abweichung von den obigen Regeln für die Anordnung von Ansichten
In einigen Fällen sind Abweichungen von den Regeln für die Erstellung von Projektionen zulässig. Unter diesen Fällen kann unterschieden werden: Teilansichten und Ansichten, die ohne Projektionsverbindung mit anderen Ansichten angeordnet sind.
Anzahl der Vorsprünge, die diesen Körper definieren
Die Lage von Körpern im Raum, Form und Größe werden üblicherweise durch eine kleine Anzahl geeignet ausgewählter Punkte bestimmt. Wenn Sie eine Projektion eines Körpers darstellen, achten Sie darauf
Drehung eines Punktes um eine Achse senkrecht zur Projektionsebene
Abbildung 91 zeigt die Rotationsachse I, die senkrecht auf der horizontalen Ebene steht, und einen willkürlich im Raum gelegenen Punkt A. Bei Rotation um die Achse I beschreibt sich dieser Punkt
Bestimmung der natürlichen Länge eines Segments durch Rotation
Darauf wird unverzerrt ein Segment parallel zu einer beliebigen Projektionsebene projiziert. Wenn Sie das Segment so drehen, dass es parallel zu einer der Projektionsebenen wird, können Sie es definieren
Die Konstruktion von Projektionen der Schnittfigur kann auf zwei Arten erfolgen
1. Sie können die Treffpunkte der Kanten des Polyeders mit der Schnittebene finden und dann die Projektionen der gefundenen Punkte verbinden. Als Ergebnis davon werden Projektionen des gewünschten Polygons erhalten. In diesem Fall,
Pyramide
98 zeigt den Schnittpunkt der Pyramidenfläche mit der Frontalprojektionsebene P. 98b zeigt die Frontalprojektion a des Treffpunkts der Rippe KS mit der Ebene
schräge Abschnitte
Unter Schrägschnitten versteht man eine Reihe von Aufgaben zur Konstruktion natürlicher Typen von Schnitten des betrachteten Körpers durch die projizierte Ebene. Um einen Schrägschnitt durchzuführen, ist es notwendig, zu zerstückeln
Hyperbel als Schnitt der Oberfläche eines Kegels durch die Frontalebene
Es sei erforderlich, einen Schnitt durch die Oberfläche eines Kegels zu konstruieren, der auf einer horizontalen Ebene durch die Ebene P steht, die parallel zur Ebene V ist. Abbildung 103 zeigt die Stirnseite
Abschnitt der Oberfläche des Zylinders
Es gibt die folgenden Fälle eines Schnitts der Oberfläche eines geraden Kreiszylinders durch eine Ebene: 1) ein Kreis, wenn die Sekantenebene P senkrecht zur Achse des Zylinders steht und parallel zu den Grundflächen ist
Schnitt durch die Oberfläche des Kegels
Im allgemeinen Fall enthält eine Kreiskegelfläche zwei völlig identische Hohlräume, die eine gemeinsame Spitze haben (Abb. 107c). Die Generatoren eines Hohlraums sind eine Fortsetzung der
Ausschnitt der Kugeloberfläche
Jeder Schnitt der Kugeloberfläche durch eine Ebene ist ein Kreis, der nur dann unverzerrt projiziert wird, wenn die Schnittebene parallel zur Projektionsebene liegt. Im Allgemeinen wir
schräge Abschnitte
Es sei erforderlich, durch die frontal hervortretende Körperebene eine natürliche Schnittansicht zu konstruieren. Abbildung 110a betrachtet einen von drei zylindrischen Flächen (1, 3 und 6) begrenzten Körper, die Fläche
Pyramide
Spuren einer Linie auf der Oberfläche einiger zu finden geometrischer Körper, müssen Sie durch eine gerade Hilfsebene zeichnen und dann den Schnitt der Körperoberfläche durch diese Ebene finden. Das Gewünschte wird sein
Zylindrische Wendel
Bildung einer Spirale. Betrachten Sie Abbildung 113a, wo sich der Punkt M gleichmäßig entlang eines bestimmten Kreises bewegt, der ein Schnitt eines kreisförmigen Zylinders durch die Ebene P ist. Hier diese Ebene
Zwei Revolutionskörper
Die Methode des Zeichnens von Hilfsebenen wird verwendet, wenn eine Schnittlinie der Oberflächen zweier Rotationskörper konstruiert wird. Das Wesentliche dieser Methode ist wie folgt. Führen Sie eine Hilfsebene durch
Abschnitte
Es gibt einige Definitionen und Regeln, die für Abschnitte gelten. Der Abschnitt ist flache Figur, die als Ergebnis der Überschneidung dieses Körpers mit einigen erhalten wurde
Schnitte
Definitionen und Regeln, die für Schnitte gelten. Ein Schnitt ist ein solches bedingtes Bild eines Objekts, wenn sich sein Teil zwischen dem Auge des Betrachters und der Schnittebene befindet
Teilweiser Schnitt oder Riss
Der Schnitt wird als vollständig bezeichnet, wenn das dargestellte Objekt vollständig geschnitten ist, die verbleibenden Schnitte werden als Teilschnitte oder Schnitte bezeichnet. In Abbildung 120 sind in der linken Ansicht und auf dem Plan Vollschnitte gemacht. Frisur
Ebene, Linie, Punkt - die Grundbegriffe der Geometrie. Es fällt uns schwer, ihnen klare Definitionen zu geben, aber intuitiv verstehen wir, was sie sind. Das Flugzeug hat nur zwei Dimensionen. Sie hat keine Tiefe. Eine gerade Linie hat nur eine Dimension, und ein Punkt hat überhaupt keine Dimensionen – keine Länge, keine Breite, keine Höhe.
Das Flugzeug ist unendlich. Daher zeichnen wir in Aufgaben nur einen Teil des Flugzeugs. Irgendwie muss man das darstellen.
Und wie sieht das alles im Weltall aus? Sehr einfach. Ein dickes Blatt Papier dient als "Modell" des Flugzeugs. Sie können einen anderen flachen Gegenstand nehmen, zum Beispiel eine CD, eine Plastikkarte. Bleistifte können durchaus gerade Linien darstellen. Alle Axiome und Theoreme der Stereometrie können "an den Fingern" gezeigt werden, dh mit Hilfe von improvisierten Materialien. Lesen - und gleich so ein "Modell" bauen.
Zwei Ebenen im Raum sind entweder parallel oder schneiden sich. Beispiele in der Umgebung sind leicht zu finden.
Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann schneiden sie sich in einer geraden Linie.
Den Fall „Ebenen koinzidieren“ betrachten wir nicht gesondert. Da sie zusammenfallen, bedeutet dies, dass dies eine Ebene ist, nicht zwei.
Winkel zwischen Ebenen
Die Ebenen und seien durch die Gleichungen bzw. gegeben. Es ist erforderlich, den Winkel zwischen diesen Ebenen zu finden.
Die sich schneidenden Ebenen bilden vier Flächenwinkel (Abb. 11.6): zwei stumpfe und zwei spitze oder vier gerade Linien, wobei beide stumpfen Winkel einander gleich sind und beide spitzen Winkel ebenfalls einander gleich sind. Wir werden immer nach einem spitzen Winkel suchen. Um seinen Wert zu bestimmen, nehmen wir einen Punkt auf der Schnittlinie der Ebenen und zeichnen an diesem Punkt in jeder der Ebenen Senkrechte auf die Schnittlinie. Wir zeichnen auch Normalenvektoren und Ebenen und mit Ursprung in einem Punkt (Abb. 11.6).
Abb. 11.6 Winkel zwischen Ebenen
Wenn eine Ebene durch einen Punkt senkrecht zur Schnittlinie der Ebenen und gezogen wird, dann liegen die Linien und und Bilder der Vektoren und in dieser Ebene. Machen wir eine Zeichnung in einer Ebene (zwei Möglichkeiten sind möglich: Abb. 11.7 und 11.8).
Abb. 11.7: Der Winkel zwischen Normalenvektoren ist spitz
Abb. 11.8: Der Winkel zwischen Normalenvektoren ist stumpf
In einer Version (Abb. 11.7) und ist daher der Winkel zwischen den Normalenvektoren gleich dem Winkel , der der lineare Winkel des spitzen Flächenwinkels zwischen den Ebenen und ist.
In der zweiten Variante (Abb. 11.8) beträgt , und der Winkel zwischen den Normalenvektoren . Als
dann in beiden Fällen 
.
Per Definition des Skalarprodukts 
. Woher
und entsprechend
Wenn die Ebenen parallel sind, dann sind ihre Normalenvektoren kollinear. Wir erhalten die Bedingung paralleler Ebenen
| (11.6) |
wo ist irgendeine Zahl.
23. Verschiedene Arten von Gleichungen einer geraden Linie im Raum Vektorparametrische Gleichung einer Geraden wo  - ein Fixpunkt, der auf einer geraden Linie liegt; - Richtungsvektor. In Koordinaten (parametrische Gleichungen): Gleichungen einer Geraden an zwei Punkten
 24. Verschiedene Arten von Gleichungen einer geraden Linie im Raum Kanonische Gleichungen der Geraden
 Parametrische Gleichungen gerade wir erhalten, indem wir jede der Beziehungen (3.4) mit dem Parameter t gleichsetzen: x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t . 25. Gegenseitige Lage von Geraden Zwei Geraden im Raum können sich schneiden, schneiden und parallel sein. 1. Schnittlinien
Schnittlinien sind Linien, die einen gemeinsamen Punkt haben. Aus der unveränderlichen Eigenschaft 5 folgt, dass die Projektion des Schnittpunktes der Projektionen der Geraden a und b der Schnittpunkt dieser Geraden ist (Abb. 3.4).  . Reis. 3.4. Schnittlinien 2. Parallele Linien
Auf Abb. 3.5 zeigt parallele Linien – Linien, die sich an einem ungeeigneten Punkt schneiden (Linien, die in derselben Ebene liegen und sich an einem Punkt im Unendlichen schneiden). Aus der invarianten Eigenschaft 6 folgt, dass die Projektionen der Parallelen a und b parallel sind. 3. Gekreuzte Linien
Sich kreuzende Linien sind Linien, die nicht in derselben Ebene liegen; sie sind Linien, die keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben. In der komplexen Zeichnung (Abb. 3.6) liegen die Schnittpunkte der Projektionen dieser Linien nicht auf derselben Senkrechten zur X-Achse (im Gegensatz zu sich schneidenden Linien, siehe Abb. 3.4).  . Reis. 3.5. Bild von parallelen Linien  . Reis. 3.6. Sich schneidende Geraden Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist gleich der Länge der Senkrechten, die von dem Punkt auf die Gerade fällt. Wenn die Linie parallel zur Projektionsebene ist (h | | P 1), muss zur Bestimmung des Abstands von Punkt A zur Linie h die Senkrechte von Punkt A auf die Horizontale h abgesenkt werden.
|
Zwei Ebenen im Raum können entweder zueinander parallel sein, im Einzelfall zusammenfallen oder sich schneiden. Aufeinander senkrecht stehende Ebenen sind besonderer Fall sich schneidende Ebenen.
1. Parallele Ebenen. Ebenen sind parallel, wenn zwei Schnittgeraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittgeraden einer anderen Ebene sind.
Diese Definition wird gut veranschaulicht durch die Aufgabe, durch den Punkt B eine Ebene parallel zu der Ebene zu zeichnen, die durch zwei sich schneidende gerade Linien ab gegeben ist (Abb. 61).
Eine Aufgabe. Gegeben: eine Ebene in allgemeiner Position, die durch zwei sich schneidende gerade Linien ab und Punkt B gegeben ist.
Es ist erforderlich, durch den Punkt B eine Ebene parallel zur Ebene ab zu zeichnen und sie durch zwei sich schneidende Linien c und d festzulegen.
Wenn zwei Schnittgeraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittgeraden einer anderen Ebene sind, so sind diese Ebenen definitionsgemäß parallel zueinander.
Um parallele Linien im Diagramm zu zeichnen, muss die Eigenschaft der parallelen Projektion verwendet werden - die Projektionen paralleler Linien sind parallel zueinander
d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.
Abbildung 61. Parallele Ebenen
2. sich schneidende Ebenen, ein Sonderfall - zueinander senkrechte Ebenen. Die Schnittlinie zweier Ebenen ist eine gerade Linie, für deren Konstruktion es ausreicht, ihre beiden gemeinsamen Punkte oder einen Punkt und die Richtung der Schnittlinie der Ebenen zu bestimmen.
Betrachten Sie die Konstruktion der Schnittlinie zweier Ebenen, wenn eine von ihnen hervorsteht (Abb. 62).
Eine Aufgabe. Gegeben: Die Ebene in allgemeiner Position ist durch das Dreieck ABC gegeben, und die zweite Ebene projiziert a horizontal.
Es ist erforderlich, eine Schnittlinie von Ebenen zu konstruieren.
Die Lösung des Problems besteht darin, zwei diesen Ebenen gemeinsame Punkte zu finden, durch die eine gerade Linie gezogen werden kann. Die durch das Dreieck ABC definierte Ebene kann als gerade Linien (AB), (AC), (BC) dargestellt werden. Der Schnittpunkt der Linie (AB) mit der Ebene a - Punkt D, Linie (AC) -F. Das Segment definiert die Schnittlinie der Ebenen. Da a eine horizontal projizierte Ebene ist, fällt die Projektion D1F1 mit der Spur der Ebene aP1 zusammen, so dass nur noch die fehlenden Projektionen auf P2 und P3 konstruiert werden müssen.
Abbildung 62. Schnittpunkt einer Ebene der allgemeinen Position mit einer horizontal projizierenden Ebene
Lass uns weitergehen zu Allgemeiner Fall. Gegeben seien zwei generische Ebenen a(m,n) und b(ABC) im Raum (Abb.63)
Abbildung 63. Schnittpunkt von Ebenen in allgemeiner Position
Betrachten Sie die Reihenfolge der Konstruktion der Schnittlinie der Ebenen a(m//n) und b(ABC). Um die Schnittlinie dieser Ebenen zu finden, zeichnen wir in Analogie zum vorherigen Problem Hilfssektantenebenen g und d. Finden wir die Schnittlinien dieser Ebenen mit den betrachteten Ebenen. Ebene g schneidet Ebene a entlang einer geraden Linie (12) und Ebene b - entlang einer geraden Linie (34). Punkt K - der Schnittpunkt dieser Linien gehört gleichzeitig zu drei Ebenen a, b und g und ist somit ein Punkt, der zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehört. Die Ebene d schneidet die Ebenen a und b entlang der Linien (56) bzw. (7C), ihr Schnittpunkt M liegt gleichzeitig in drei Ebenen a, b, d und gehört zur Schnittgeraden der Ebenen a und b. Somit werden zwei Punkte gefunden, die zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehören - eine gerade Linie (KM).
Eine gewisse Vereinfachung beim Konstruieren der Schnittlinie der Ebenen kann erreicht werden, wenn die Hilfssektantenebenen durch die geraden Linien gezogen werden, die die Ebene definieren.
Zueinander senkrechte Ebenen. Aus der Stereometrie ist bekannt, dass zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen, wenn eine von ihnen durch eine Senkrechte auf die andere geht. Durch den Punkt A können Sie eine Reihe von Ebenen senkrecht zur gegebenen Ebene a (f, h) zeichnen. Diese Ebenen bilden im Raum ein Bündel von Ebenen, deren Achse die vom Punkt A auf die Ebene a fallende Senkrechte ist. Um eine Ebene senkrecht zu der Ebene zu zeichnen, die durch zwei sich schneidende Linien hf von Punkt A gegeben ist, ist es notwendig, eine gerade Linie n senkrecht zu der Ebene hf von Punkt A zu zeichnen (die horizontale Projektion n ist senkrecht zur horizontalen Projektion der horizontal h, die Frontalprojektion n steht senkrecht auf der Frontalprojektion der Frontalprojektion f). Jede Ebene, die durch die Linie n verläuft, steht senkrecht zur Ebene hf. Um die Ebene durch die Punkte A zu legen, zeichnen wir daher eine beliebige Linie m. Die durch zwei sich schneidende Geraden mn gegebene Ebene steht senkrecht auf der Ebene hf (Abb.64).
Abbildung 64. Zueinander senkrechte Ebenen
GEGENSEITIGE POSITION VON ZWEI EBENE.
| Parametername | Bedeutung |
| Betreff des Artikels: | GEGENSEITIGE POSITION VON ZWEI EBENE. |
| Rubrik (thematische Kategorie) | Geologie |
Zwei Ebenen im Raum können entweder parallel zueinander sein oder sich schneiden.
Parallele Ebenen. Bei Projektionen mit numerischen Markierungen ist die Parallelität der Ebenen auf dem Plan die Parallelität ihrer horizontalen Linien, die Gleichheit der Fundamente und die Übereinstimmung der Einfallsrichtungen der Ebenen: pl. S || sq. L- h S || h L l S= l L, Polster. I. (Abb. 3.11).
In der Geologie wird ein flacher homogener Körper, der aus einem beliebigen Gestein besteht, als Schicht bezeichnet. Die Schicht wird von zwei Flächen begrenzt, von denen die obere als Dach und die untere als Sohle bezeichnet wird. Betrachtet man die Schicht über eine relativ kleine Ausdehnung, so werden Dach und Sohle Ebenen gleichgesetzt, wodurch man im Raum ein geometrisches Modell zweier paralleler schiefer Ebenen erhält.
Ebene S ist das Dach und Ebene L ist der Boden der Schicht (Abb. 3.12, aber). In der Geologie kürzeste Distanz zwischen dem Dach und der Sohle heißt wahre Kraft (in Abb. 3.12, aber wahre Macht wird durch den Buchstaben H angezeigt). Neben der wahren Mächtigkeit werden in der Geologie auch andere Parameter der Gesteinsschicht verwendet: vertikale Mächtigkeit – H in, horizontale Mächtigkeit – L, scheinbare Mächtigkeit – H view. vertikale Kraft in der Geologie nennen sie den Abstand vom Dach zum Boden der Schicht, vertikal gemessen. Horizontale Kraft Schicht ist der kürzeste Abstand zwischen Dach und Sohle, gemessen in horizontaler Richtung. Scheinleistung - der kürzeste Abstand zwischen dem sichtbaren Fall des Daches und der Sohle (der sichtbare Fall wird als geradlinige Richtung auf der Strukturebene bezeichnet, dh die zur Ebene gehörende gerade Linie). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, die scheinbare Kraft ist immer größer als die wahre Kraft. Es sollte beachtet werden, dass in horizontalen Schichten die wahre Dicke, die vertikale und die scheinbare Dicke gleich sind.
Betrachten Sie die Methode, parallele Ebenen S und L zu konstruieren, die in einem bestimmten Abstand voneinander beabstandet sind (Abb. 3.12, B).
Auf dem Plan kreuzende Linien m Und n gegeben ist die Ebene S. Es ist notwendig, eine Ebene L parallel zur Ebene S zu konstruieren und einen Abstand von ihr in einem Abstand von 12 m zu haben (d. h. die wahre Mächtigkeit beträgt H = 12 m). Ebene L befindet sich unter Ebene S (Ebene S ist die Oberseite der Schicht, Ebene L ist die Basis).
1) Die Ebene S wird durch Projektionen von Höhenlinien auf den Plan gesetzt.
2) Auf der Skala der Fundamente wird eine Einfallslinie der Ebene S gebaut - u S. Senkrecht zur Linie u S einen gegebenen Abstand von 12 m einzeichnen (wahre Schichtdicke H). Unterhalb der Einfallslinie der Ebene S und parallel dazu ist eine Einfallslinie der Ebene L gezeichnet - u L. Der Abstand zwischen den Einfallslinien beider Ebenen in horizontaler Richtung wird bestimmt, d. h. die horizontale Dicke der Schicht L.
3) Die horizontale Kraft aus der Horizontalen auf den Plan setzen h S, eine horizontale Linie der Ebene L wird parallel dazu mit der gleichen numerischen Markierung gezeichnet h L. Beachten Sie, dass, wenn sich die L-Ebene unter der S-Ebene befindet, die horizontale Leistung in Richtung des Anstiegs der S-Ebene aufgebracht werden sollte.
4) Basierend auf der Bedingung der Parallelität zweier Ebenen werden horizontale Linien der Ebene L auf dem Plan gezeichnet.
Sich schneidende Ebenen. Ein Zeichen für den Schnittpunkt zweier Ebenen ist normalerweise die Parallelität der Projektionen ihrer Höhenlinien auf den Plan. Die Schnittlinie zweier Ebenen wird in diesem Fall durch die Schnittpunkte zweier Paare ähnlicher (mit denselben Ziffern gekennzeichneter) Höhenlinien bestimmt (Abb. 3.13): ; . Verbinde die erhaltenen Punkte N und M mit einer geraden Linie m, bestimmen Sie die Projektion der erforderlichen Schnittlinie. Wenn die Ebenen S (A, B, C) und L(mn) nicht horizontal auf dem Plan angegeben sind, dann ihre Schnittlinie konstruieren T Es ist äußerst wichtig, zwei Konturlinienpaare mit denselben numerischen Markierungen zu erstellen, die am Schnittpunkt die Projektionen der Punkte R und F der gewünschten Linie bestimmen T(Abb.3.14). Abbildung 3.15 zeigt den Fall, wenn sich zwei schneiden
Ebenen S und L, die Horizontalen sind parallel. Die Schnittlinie solcher Ebenen ist eine horizontale Linie h. Es ist erwähnenswert, dass, um den zu dieser Linie gehörenden Punkt A zu finden, eine beliebige Hilfsebene T gezeichnet wird, die die Ebenen S und L schneidet. Die Ebene T schneidet die Ebene S entlang der Geraden aber(C 1 D 2) und die Ebene L - in einer geraden Linie B(K 1 L 2).
Schnittpunkt von Linien aber Und B, die jeweils zu den Ebenen S und L gehören, wird für diese Ebenen gemeinsam sein: =A. Die Höhe des Punktes A kann durch Interpolation der Linien bestimmt werden ein Und B. Es bleibt eine horizontale Linie durch A zu ziehen h 2.9, was die Schnittlinie der S- und L-Ebenen ist.
Betrachten Sie ein weiteres Beispiel (Abb. 3.16) für die Konstruktion einer Schnittlinie einer geneigten Ebene S mit einer vertikalen Ebene T. Die gewünschte Linie m wird durch die Punkte A und B bestimmt, wo die Horizontalen h 3 und h 4 Ebenen S schneiden die vertikale Ebene T. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Projektion der Schnittlinie mit der Projektion der vertikalen Ebene zusammenfällt: mº T. Bei der Lösung geologischer Explorationsprobleme wird ein Abschnitt einer oder einer Gruppe von Ebenen (Oberflächen) durch eine vertikale Ebene normalerweise als Abschnitt bezeichnet. Die im betrachteten Beispiel konstruierte zusätzliche vertikale Projektion der Geraden m wird das Profil eines Schnitts genannt, der von der Ebene T in einer bestimmten Richtung ausgeführt wird.
GEGENSEITIGE POSITION VON ZWEI EBENE. - Konzept und Typen. Klassifikation und Merkmale der Kategorie "GEGENSEITIGE ANORDNUNG ZWEI EBENE". 2017, 2018.
Winkel zwischen zwei Ebenen. Bedingungen Parallelität und Rechtwinkligkeit zwei Flugzeuge:
seien zwei Ebenen Q 1 und Q 2 gegeben:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Unter einem Winkel zwischen Ebenen wird einer der von diesen Ebenen gebildeten Flächenwinkel verstanden.
Wenn die Ebenen senkrecht sind, dann sind ihre Normalen gleich, d.h. . Aber dann, d.h.
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Die resultierende Gleichheit ist Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen.
Wenn die Ebenen parallel sind, dann sind auch ihre Normalen parallel. Aber wie Sie wissen, sind die Koordinaten der Vektoren proportional: 
. Das ist es Zustand der Parallelität zweier Ebenen.
Gegenseitige Anordnung von Linien.
Winkel zwischen Linien. Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien.
Der halbe Winkel zwischen diesen Linien versteht den Winkel zwischen den Richtungsvektoren S 1 und S 2 .
Zur Findung spitzer Winkel zwischen den Zeilen L 1 und L 2 ist der Zähler der rechten Seite der Formel modulo zu nehmen.
Wenn die Leitungen L 1 und L 2 aufrecht, dann haben wir in diesem und nur diesem Fall cos =0. daher ist der Zähler des Bruchs = 0, d.h. 
=0.
Wenn die Leitungen L 1 und L 2 parallel, dann sind ihre Richtungsvektoren S 1 und S 2 parallel. daher sind die Koordinaten dieser Vektoren proportional: .
Die Bedingung, unter der zwei Geraden in derselben Ebene liegen:
=0.
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, liegen die Linien entweder in derselben Ebene, dh sie schneiden sich entweder.
Gegenseitige Anordnung einer Geraden und einer Ebene.
Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene. Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene.
Die Ebene sei durch die Gleichung Ax + By + Cz + D=0 und die Linie L durch die Gleichungen gegeben 
. Ein Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist einer von zwei benachbarten Winkeln, die durch eine Linie und ihre Projektion auf die Ebene gebildet werden. Geben Sie den Winkel zwischen der Ebene und der Linie an.
.
Wenn die Linie L parallel zur Ebene Q ist, dann sind die Vektoren n und S senkrecht und daher , d.h.
0 ist Parallelitätsbedingung gerade und eben.
Steht die Gerade L senkrecht auf der Ebene Q, so sind die Vektoren n und S parallel. Daher die Gleichberechtigung
Gibt Rechtwinkligkeitsbedingungen gerade und eben.
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. Der Zustand der Zugehörigkeit zu einer geraden Ebene:
Betrachten Sie die Linie und Ebene Ax + By + Cz + D=0.
Gleichzeitige Erfüllung von Gleichheiten:
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D=0 sind der Zustand der Zugehörigkeit zu einer geraden Ebene.
Ellipse.
Als Ortskurve wird die Summe der Abstände bezeichnet, von denen aus zwei feste Punkte der Ebene (meist Brennpunkte genannt) konstant sind Ellipse.
Wenn die Koordinatenachsen so angeordnet sind, dass Ox durch die Brennpunkte F 1 (C,0) und F 2 (-C,0) verläuft und O(0,0) mit der Mitte des Segments F 1 F 2 zusammenfällt, dann nach F 1 M + F 2 M erhalten wir:
Kanonische Gleichung der Ellipse 
,
b 2 \u003d - (c 2 -a 2).
a und b sind die Halbachsen der Ellipse., a-groß, b-kleiner.
Exzentrizität. , (wenn a>b)
(wenn ein Exzentrizität charakterisiert die Konvexität der Ellipse. Die Ellipse hat eine Exzentrizität von 0. Der Fall =0 tritt nur auf, wenn c=0, und dies ist der Fall eines Kreises – es ist eine Ellipse mit Null-Exzentrizität. Schulleiterinnen (D) Der Ort der Punkte, das Verhältnis der Entfernungen von dem Punkt der Ellipse zum Abstand von diesem Punkt der Ellipse zum Fokus ist konstant und gleich dem Wert Direktoren. . Hinweis: Der Kreis hat keine Leitlinie. Hyperbel. Als Ortskurve wird der Betrag der Abstandsdifferenz zu zwei festen Punkten der Ebene konstant bezeichnet Hyperbel. Die kanonische Gleichung einer Hyperbel lautet: Eine Hyperbel ist eine Gerade zweiter Ordnung. Eine Hyperbel hat 2 Asymptoten: und Die Übertreibung heißt gleichseitig wenn seine Halbachsen gleich sind. (a=b). Kanonische Gleichung: Exzentrizität ist das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zum Wert der reellen Achse der Hyperbel: Da für eine Hyperbel c>a, dann ist die Exzentrizität der Hyperbel >1. Exzentrizität charakterisiert die Form einer Hyperbel: . Die Exzentrizität einer gleichseitigen Hyperbel ist . Schulleiterinnen- gerade. Fokusradien: Es gibt Hyperbeln, die gemeinsame Asymptoten haben. Solche Hyperbeln werden genannt konjugiert. Parabel. Parabel- die Menge aller Punkte der Ebene, von denen jeder gleich weit von einem bestimmten Punkt, genannt Brennpunkt, und einer bestimmten geraden Linie, genannt Leitlinie, entfernt ist. Entfernung vom Fokus zur Leitlinie Parabelparameter(p>0).- halbfokaler Durchmesser. Eine Parabel ist eine Gerade zweiter Ordnung. M(x,y) ist ein beliebiger Punkt der Parabel. Verbinde den Punkt M mit F, zeichne die Strecke MN senkrecht zur Leitlinie. Nach Definition der Parabel MF=MN. Nach der Formel für den Abstand zwischen 2 Punkten finden wir: Kanonische Parabelgleichung: Ellipsoid. Erkundung der Oberfläche durch die Gleichung gegeben: Betrachten Sie Abschnitte der Oberfläche mit Ebenen parallel zur xOy-Ebene. Gleichungen solcher Ebenen: z=h, wobei h eine beliebige Zahl ist. Die im Schnitt erhaltene Linie wird durch zwei Gleichungen bestimmt: Untersuchung der Oberfläche: A) wenn dann Schnittlinie der Fläche mit den Ebenen z=h existiert nicht. B) Wenn , degeneriert die Schnittlinie in zwei Punkte (0,0,s) und (0,0,-s). Die Ebene z = c, z = - c berührt die gegebene Fläche. C) Wenn , dann können die Gleichungen umgeschrieben werden als: Die betrachteten Schnitte erlauben uns, die Fläche als geschlossene ovale Fläche darzustellen. Die Fläche nennt man Ellipsoide: Wenn alle Halbachsen gleich sind, verwandelt sich das dreiachsige Ellipsoid in ein Rotationsellipsoid, und wenn a=b=c, dann in eine Kugel. Hyperboloid und Kegel.
, wo .
Und 
.
=> 
= =>
=>
y2 = 2px.
, wie Sie sehen können, ist die Schnittlinie eine Ellipse mit den Halbachsen a1 = , b1 = . In diesem Fall ist die Halbachse umso größer, je kleiner h ist. Bei n=0 erreichen sie ihre höchste Werte. a1=a, b1=b. Die Gleichungen nehmen die Form an: 
