In diesem Artikel geben wir eine Definition der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene und analysieren die Koordinatenmethode, mit der Sie die Entfernung finden können gegebener Punkt zu einem bestimmten Flugzeug hinein dreidimensionaler Raum. Nach der Präsentation der Theorie werden wir die Lösungen einiger typischer Beispiele und Probleme im Detail analysieren.

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Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene ist eine Definition.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wird bestimmt durch , von denen einer ein gegebener Punkt und der andere die Projektion eines gegebenen Punktes auf eine gegebene Ebene ist.

Gegeben sei ein Punkt M 1 und eine Ebene im dreidimensionalen Raum. Zeichnen wir eine Gerade a durch den Punkt M 1 senkrecht zur Ebene. Lassen Sie uns den Schnittpunkt der Linie a und der Ebene als H 1 bezeichnen. Das Segment M 1 H 1 heißt aufrecht, abgesenkt vom Punkt M 1 auf die Ebene , und der Punkt H 1 - die Basis der Senkrechten.

Definition.

ist der Abstand von einem gegebenen Punkt zur Basis einer Senkrechten, die von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Ebene gezogen wird.

Die Definition des Abstandes von einem Punkt zu einer Ebene ist gebräuchlicher in der folgenden Form.

Definition.

Abstand von Punkt zu Ebene ist die Länge der Senkrechten, die von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Ebene fällt.

Es ist anzumerken, dass der auf diese Weise bestimmte Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene 10 der kleinste der Abstände von dem gegebenen Punkt M 1 zu irgendeinem Punkt der Ebene 10 ist. Der Punkt H 2 liege nämlich in der Ebene und sei von dem Punkt H 1 verschieden. Offensichtlich ist das Dreieck M 2 H 1 H 2 rechteckig, darin ist M 1 H 1 ein Bein und M 1 H 2 ist die Hypotenuse, daher . Übrigens heißt das Segment M 1 H 2 schräg vom Punkt M 1 zur Ebene gezogen. Die von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Ebene fallende Senkrechte ist also immer kleiner als die geneigte, die von demselben Punkt auf eine gegebene Ebene gezogen wird.

Abstand von einem Punkt zu einer Ebene - Theorie, Beispiele, Lösungen.

Bei einigen geometrischen Problemen ist es in einem bestimmten Stadium der Lösung erforderlich, den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu ermitteln. Die Methode hierfür wird abhängig von den Quelldaten gewählt. Normalerweise ist das Ergebnis entweder der Satz des Pythagoras oder die Zeichen der Gleichheit und Ähnlichkeit von Dreiecken. Wenn Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene finden müssen, die im dreidimensionalen Raum gegeben sind, dann kommt die Koordinatenmethode zur Hilfe. In diesem Absatz des Artikels werden wir es nur analysieren.

Zunächst formulieren wir die Bedingung des Problems.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz im dreidimensionalen Raum ist ein Punkt gegeben , Ebene, und es ist erforderlich, den Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene zu finden.

Sehen wir uns zwei Möglichkeiten an, um dieses Problem zu lösen. Die erste Methode, mit der Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene berechnen können, basiert darauf, die Koordinaten des Punktes H 1 zu finden - die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M 1 auf die Ebene fällt, und dann den Abstand zwischen den zu berechnen Punkte M 1 und H 1 . Die zweite Möglichkeit, die Entfernung von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene zu ermitteln, besteht darin, die Normalengleichung für eine bestimmte Ebene zu verwenden.

Die erste Möglichkeit, die Entfernung von einem Punkt zu berechnen zum Flugzeug.

Sei H 1 die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M 1 zur Ebene gezogen wird. Wenn wir die Koordinaten des Punktes H 1 bestimmen, dann kann der erforderliche Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene als Abstand zwischen den Punkten berechnet werden und nach der formel. Somit bleibt es, die Koordinaten des Punktes H 1 zu finden.

So, Algorithmus zum Finden der Entfernung von einem Punkt bis zum Flugzeug nächste:

Die zweite Methode, geeignet zum Ermitteln der Entfernung von einem Punkt zum Flugzeug.

Da uns eine Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz gegeben ist, können wir die Normalengleichung der Ebene in der Form erhalten. Dann die Entfernung vom Punkt zur Ebene wird nach der Formel berechnet. Die Gültigkeit dieser Formel zum Ermitteln des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene wird durch den folgenden Satz begründet.

Satz.

Ein rechteckiges Koordinatensystem Oxyz sei im dreidimensionalen Raum fixiert, ein Punkt und die normale Gleichung der Ebene der Form . Der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene ist gleich dem Absolutwert des Werts des Ausdrucks auf der linken Seite der Normalengleichung der Ebene, berechnet bei , dh .

Nachweisen.

Der Beweis dieses Satzes ist absolut ähnlich dem Beweis eines ähnlichen Satzes, der im Abschnitt Finden der Entfernung von einem Punkt zu einer Linie gegeben wurde.

Es ist leicht zu zeigen, dass der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene gleich dem Modul der Differenz zwischen der numerischen Projektion M 1 und dem Abstand vom Ursprung zur Ebene ist, d.h. , wo - Normalenvektor der Ebene , ist gleich eins, - in die durch den Vektor bestimmte Richtung.

und per Definition ist , aber in Koordinatenform . Daher und wie erforderlich, um zu beweisen.

Auf diese Weise, Abstand vom Punkt zur Ebene kann berechnet werden, indem man auf der linken Seite der Normalengleichung der Ebene anstelle von x, y und z die Koordinaten x 1 , y 1 und z 1 des Punktes M 1 einsetzt und nimmt absoluter Wert erhaltenen Wert.

Beispiele für die Ermittlung der Entfernung von einem Punkt zum Flugzeug.

Beispiel.

Finden Sie die Entfernung vom Punkt zum Flugzeug.

Lösung.

Erster Weg.

In der Bedingung des Problems ist uns eine allgemeine Gleichung der Ebene der Form gegeben, aus der ersichtlich ist, dass ist der Normalenvektor dieser Ebene. Dieser Vektor kann als Richtungsvektor der Geraden a genommen werden, die senkrecht auf der gegebenen Ebene steht. Dann können wir die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum schreiben, die durch den Punkt geht und hat einen Richtungsvektor mit Koordinaten, wie sie aussehen.

Fangen wir an, die Koordinaten des Schnittpunkts der Linie zu finden und Flugzeuge. Nennen wir es H 1 . Dazu vollziehen wir zunächst den Übergang von den kanonischen Gleichungen der Geraden zu den Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen:

Lösen wir nun das Gleichungssystem (ggf. siehe Artikel). Wir gebrauchen:

Auf diese Weise, .

Es bleibt, den erforderlichen Abstand von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Ebene als Abstand zwischen Punkten zu berechnen und :
.

Die zweite Lösung.

Lassen Sie uns die Normalgleichung der gegebenen Ebene erhalten. Dazu müssen wir die allgemeine Ebenengleichung in Normalform bringen. Nachdem der Normalisierungsfaktor bestimmt wurde , erhalten wir die Normalgleichung der Ebene . Es bleibt, den Wert der linken Seite der resultierenden Gleichung für zu berechnen und nehmen Sie das Modul des erhaltenen Werts - dies ergibt die gewünschte Entfernung vom Punkt zum Flugzeug:

Also habe ich etwas auf dieser Seite gelesen (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

wobei vP1 ein Punkt auf der Ebene und vNormal die Normale zur Ebene ist. Ich bin gespannt, wie dies Ihnen die Entfernung vom Beginn der Welt gibt, da das Ergebnis immer 0 sein wird. Um es klar zu sagen (da ich im D-Teil der 2D-Gleichung noch etwas verschwommen bin), ist d in der 2D-Gleichung der Abstand von der Linie durch den Anfang der Welt vor dem Anfang der Ebene?

Mathematik

3 Antworten

6

BEI Allgemeiner Fall der abstand zwischen einem punkt p und einer ebene kann mit der formel berechnet werden

wo -Punktproduktoperation

= ax*bx + ay*by + az*bz

und wobei p0 ein Punkt in der Ebene ist.

Wenn n Einheitslänge hat, dann ist das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und ihm die (vorzeichenbehaftete) Länge der Projektion des Vektors auf die Normale

Die von Ihnen gemeldete Formel ist nur ein Sonderfall, bei dem der Punkt p der Ursprung ist. In diesem Fall

Abstand = = -

Diese Gleichheit ist technisch falsch, weil es beim Punktprodukt um Vektoren geht, nicht um Punkte ... aber immer noch numerisch gilt. Indem Sie eine explizite Formel schreiben, erhalten Sie dies

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

es ist dasselbe wie

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

Das Ergebnis ist nicht immer Null. Das Ergebnis ist nur dann Null, wenn die Ebene durch den Ursprung geht. (Nehmen wir hier an, dass das Flugzeug nicht durch den Ursprung geht.)

Grundsätzlich wird Ihnen eine Linie vom Ursprung zu einem Punkt in der Ebene gegeben. (d.h. Sie haben einen Vektor vom Ursprung zu vP1). Das Problem bei diesem Vektor ist, dass er höchstwahrscheinlich schief ist und auf einen entfernten Ort im Flugzeug zusteuert, anstatt auf den nächstgelegenen Punkt im Flugzeug. Wenn Sie also nur die vP1-Länge genommen haben, erhalten Sie zu viel Abstand.

Was Sie tun müssen, ist die Projektion von vP1 auf einen Vektor, von dem Sie wissen, dass er senkrecht zur Ebene steht. Es ist natürlich vNormal. Nehmen Sie also das Skalarprodukt von vP1 und vNormal und teilen Sie es durch die Länge von vNormal, und Sie haben Ihre Antwort. (Wenn sie so freundlich sind, Ihnen ein vNormal zu geben, das bereits eine Größenordnung hat, besteht keine Notwendigkeit, es aufzuteilen.)

1

Sie können dieses Problem mit Lagrange-Multiplikatoren lösen:

Sie wissen, dass der nächste Punkt auf dem Flugzeug so aussehen sollte:

C=p+v

Wobei c der nächstgelegene Punkt und v ein Vektor entlang der Ebene ist (die somit orthogonal zur Normalen von n ist). Sie versuchen, c mit der kleinsten Norm (oder quadrierten Norm) zu finden. Sie versuchen also, Punkt (c, c) zu minimieren, solange v orthogonal zu n ist (also Punkt (v, n) = 0).

Setzen Sie also die Lagrange-Funktion:

L = Punkt(c,c) + Lambda * (Punkt(v,n)) L = Punkt(p+v,p+v) + Lambda * (Punkt(v,n)) L = Punkt(p,p) + 2*Punkt(p,v) + Punkt(v,v) * Lambda * (Punkt(v,n))

Und nehmen Sie die Ableitung in Bezug auf v (und setzen Sie sie auf 0), um zu erhalten:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Du kannst das Lambda in der obigen Gleichung lösen, indem du gepunktet stellst, wodurch beide Seiten auf n kommen

2 * Punkt(p,n) + 2 * Punkt(v,n) + Lambda * Punkt(n,n) = 0 2 * Punkt(p,n) + Lambda = 0 Lambda = - 2 * Punkt(p,n ) )

Beachte noch einmal, dass Punkt(n,n) = 1 und Punkt(v,n) = 0 (da v in der Ebene liegt und n orthogonal dazu ist). Das Ersatz-Lambda kehrt dann zurück, um Folgendes zu erhalten:

2 * p + 2 * v - 2 * Punkt(p,n) * n = 0

und löse nach v auf, um zu erhalten:

V = Punkt(p,n) * n - p

Setzen Sie das dann wieder in c = p + v ein, um Folgendes zu erhalten:

C = Punkt(p,n) * n

Die Länge dieses Vektors ist |dot(p,n)| , und das Vorzeichen sagt Ihnen, ob der Punkt in Richtung des Normalenvektors vom Ursprung oder in der entgegengesetzten Richtung vom Ursprung liegt.

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In diesem Artikel geht es um die Bestimmung der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene. Analysieren wir die Koordinatenmethode, mit der wir die Entfernung von einem bestimmten Punkt im dreidimensionalen Raum ermitteln können. Betrachten Sie zur Konsolidierung Beispiele für mehrere Aufgaben.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wird durch einen bekannten Abstand von einem Punkt zu einem Punkt gefunden, wobei einer davon gegeben ist und der andere eine Projektion auf eine gegebene Ebene ist.

Wenn ein Punkt M 1 mit einer Ebene χ im Raum gegeben ist, dann kann durch den Punkt eine senkrecht zur Ebene stehende Gerade gezogen werden. H 1 ist ein gemeinsamer Punkt ihres Schnittpunkts. Daraus ergibt sich, dass die Strecke M 1 H 1 eine Senkrechte ist, die vom Punkt M 1 zur Ebene χ gezogen wurde, wobei der Punkt H 1 die Basis der Senkrechten ist.

Bestimmung 1

Sie nennen den Abstand von einem bestimmten Punkt zur Basis der Senkrechten, die von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene gezogen wurde.

Die Definition kann in verschiedenen Formulierungen geschrieben werden.

Bestimmung 2

Abstand von Punkt zu Ebene wird die Länge der Senkrechten genannt, die von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene gezogen wird.

Der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene χ ist wie folgt definiert: Der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene χ ist der kleinste von einem gegebenen Punkt zu irgendeinem Punkt in der Ebene. Wenn sich der Punkt H 2 in der χ-Ebene befindet und nicht gleich dem Punkt H 2 ist, erhalten wir rechtwinkliges Dreieck Typ M 2 H 1 H 2 , die rechteckig ist, wo es ein Bein M 2 H 1, M 2 H 2 gibt - Hypotenuse. Daraus folgt also, dass M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 als geneigt betrachtet, die vom Punkt M 1 zur Ebene χ gezogen wird. Wir haben festgestellt, dass die von einem gegebenen Punkt zu einer Ebene gezogene Senkrechte kleiner ist als die von einem Punkt zu einer gegebenen Ebene gezogene Senkrechte. Betrachten Sie diesen Fall in der Abbildung unten.

Abstand von einem Punkt zu einer Ebene - Theorie, Beispiele, Lösungen

Es gibt eine Reihe geometrische Probleme, deren Lösungen den Abstand vom Punkt zur Ebene enthalten müssen. Die Möglichkeiten, dies zu erkennen, können unterschiedlich sein. Verwenden Sie zur Auflösung den Satz des Pythagoras oder die Ähnlichkeit von Dreiecken. Wenn es gemäß der Bedingung erforderlich ist, die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene zu berechnen, die in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums gegeben ist, lösen sie sie mit der Koordinatenmethode. Dieser Absatz befasst sich mit dieser Methode.

Gemäß der Bedingung des Problems haben wir, dass ein Punkt im dreidimensionalen Raum mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) mit der Ebene χ gegeben ist, es ist notwendig, die Entfernung von M 1 zu zu bestimmen die Ebene χ. Zur Lösung werden mehrere Lösungen verwendet.

Erster Weg

Dieses Verfahren basiert auf dem Finden des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene unter Verwendung der Koordinaten des Punktes H 1 , die die Basis der Senkrechten von dem Punkt M 1 zu der Ebene χ sind. Als nächstes müssen Sie den Abstand zwischen M 1 und H 1 berechnen.

Um das Problem auf dem zweiten Weg zu lösen, wird die Normalengleichung einer gegebenen Ebene verwendet.

Zweiter Weg

Als Bedingung haben wir, dass H 1 die Basis der Senkrechten ist, die vom Punkt M 1 auf die Ebene χ abgesenkt wurde. Dann bestimmen wir die Koordinaten (x 2, y 2, z 2) des Punktes H 1. Der gewünschte Abstand von M 1 zur χ-Ebene wird durch die Formel M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 ermittelt, wobei M 1 (x 1, y 1 , z 1) und H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Zum Lösen müssen Sie die Koordinaten des Punktes H 1 kennen.

Wir haben, dass H 1 der Schnittpunkt der Ebene χ mit der Linie a ist, die durch den senkrecht zur Ebene χ liegenden Punkt M 1 verläuft. Daraus folgt, dass es notwendig ist, die Gleichung einer geraden Linie zu formulieren, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene verläuft. Dann können wir die Koordinaten des Punktes H 1 bestimmen. Es ist notwendig, die Koordinaten des Schnittpunkts der Linie und der Ebene zu berechnen.

Algorithmus zum Ermitteln des Abstands von einem Punkt mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) zur χ-Ebene:

Bestimmung 3

• komponieren Sie die Gleichung einer geraden Linie a, die durch den Punkt M 1 und gleichzeitig geht
• senkrecht zur χ-Ebene;
• Finde und berechne die Koordinaten (x 2, y 2, z 2) des Punktes H 1, die Punkte sind
• Schnittpunkt der Geraden a mit der Ebene χ ;
• Berechnen Sie den Abstand von M 1 zu χ mit der Formel M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Dritter Weg

In einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem O x y z gibt es eine Ebene χ, dann erhalten wir eine Normalengleichung der Ebene der Form cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Daraus ergibt sich, dass der Abstand M 1 H 1 mit dem Punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) zur Ebene χ gezogen wird, berechnet nach der Formel M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Diese Formel ist gültig, da sie dank des Satzes aufgestellt ist.

Satz

Wenn ein Punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) im dreidimensionalen Raum gegeben ist, mit einer Normalengleichung der χ-Ebene der Form cos α x + cos β y + cos γ z – p = 0, dann wird die Berechnung des Abstands vom Punkt zur Ebene M 1 H 1 aus der Formel M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p abgeleitet, da x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Nachweisen

Der Beweis des Satzes reduziert sich darauf, den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden zu bestimmen. Daraus erhalten wir, dass der Abstand von M 1 zur χ-Ebene der Betrag der Differenz zwischen der numerischen Projektion des Radiusvektors M 1 mit dem Abstand vom Ursprung zur χ-Ebene ist. Dann erhalten wir den Ausdruck M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Der Normalenvektor der Ebene χ hat die Form n → = cos α , cos β , cos γ , und seine Länge ist gleich eins, n p n → O M → ist die numerische Projektion des Vektors O M → = (x 1 , y 1 , z 1) in der durch den Vektor n → bestimmten Richtung.

Wenden wir die Formel zur Berechnung von Skalarvektoren an. Dann erhalten wir einen Ausdruck zum Finden eines Vektors der Form n → , OM → = n → n p n → OM → = 1 n p n → OM → = n p n → OM → , da n → = cos α , cos β , cos γ z und OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . Die Koordinatenform der Notation hat die Form n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, dann M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Der Satz ist bewiesen.

Daraus ergibt sich, dass der Abstand vom Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) zur Ebene χ durch Einsetzen in die linke Seite der Normalgleichung der Ebene cos α x + cos β y + cos berechnet wird γ z - p = 0 statt x, y, z Koordinaten x 1 , y 1 und z1 bezogen auf den Punkt M 1 , wobei der Absolutwert des erhaltenen Werts genommen wird.

Betrachten Sie Beispiele zum Ermitteln der Entfernung von einem Punkt mit Koordinaten zu einer bestimmten Ebene.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (5 , - 3 , 10) zur Ebene 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Lösung

Lassen Sie uns das Problem auf zwei Arten lösen.

Die erste Methode beginnt mit der Berechnung des Richtungsvektors der Linie a . Als Bedingung haben wir, dass die gegebene Gleichung 2 x - y + 5 z - 3 = 0 die Gleichung der Ebene ist Gesamtansicht, und n → = (2, - 1, 5) ist der Normalenvektor der gegebenen Ebene. Er dient als Richtungsvektor für die Gerade a, die senkrecht auf der gegebenen Ebene steht. Sie sollten die kanonische Gleichung einer geraden Linie im Raum schreiben, die durch M 1 (5, - 3, 10) mit einem Richtungsvektor mit den Koordinaten 2, - 1, 5 verläuft.

Die Gleichung sieht folgendermaßen aus: x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Schnittpunkte sollten definiert werden. Kombinieren Sie dazu die Gleichungen vorsichtig zu einem System für den Übergang von der kanonischen zu den Gleichungen zweier sich schneidender Linien. gegebener Punkt nehme für H 1. Das verstehen wir

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Dann müssen Sie das System aktivieren

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Wenden wir uns der Regel zur Lösung des Systems nach Gauß zu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Wir erhalten das H 1 (1, - 1, 0) .

Wir berechnen die Entfernung von einem bestimmten Punkt zu einer Ebene. Wir nehmen die Punkte M 1 (5, - 3, 10) und H 1 (1, - 1, 0) und erhalten

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Die zweite Lösung besteht darin, zunächst die gegebene Gleichung 2 x - y + 5 z - 3 = 0 in Normalform zu bringen. Wir bestimmen den Normierungsfaktor und erhalten 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Daraus leiten wir die Gleichung der Ebene 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 ab. Die linke Seite der Gleichung wird berechnet, indem x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 ersetzt wird, und Sie müssen den Abstand von M 1 (5, - 3, 10) bis 2 x - y + nehmen 5 z - 3 = 0 modulo. Wir erhalten den Ausdruck:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Antwort: 2 30 .

Wenn die χ-Ebene durch eine der Methoden im Abschnitt Methoden zur Ebenendefinition gegeben ist, müssen Sie zuerst die Gleichung der χ-Ebene erhalten und die gewünschte Entfernung mit einer beliebigen Methode berechnen.

Beispiel 2

Punkte mit Koordinaten M 1 (5, –3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, – 1) werden im dreidimensionalen Raum gesetzt. Berechne den Abstand von M 1 zur Ebene A B C.

Lösung

Zuerst müssen Sie die Gleichung der Ebene aufschreiben, die durch die gegebenen drei Punkte mit den Koordinaten M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - eins) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Daraus folgt, dass das Problem eine ähnliche Lösung wie das vorherige hat. Daher beträgt der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene A B C 2 30 .

Antwort: 2 30 .

Um den Abstand von einem bestimmten Punkt auf einer Ebene oder zu einer Ebene, zu der sie parallel sind, zu ermitteln, ist es bequemer, die Formel M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p anzuwenden . Daraus ergibt sich, dass die Normalgleichungen der Ebenen in mehreren Schritten erhalten werden.

Beispiel 3

Finden Sie die Entfernung von einem gegebenen Punkt mit den Koordinaten M 1 (- 3 , 2 , - 7) bis KoordinatenebeneÜber x y z und Ebene, durch die Gleichung gegeben 2y - 5 = 0 .

Lösung

Die Koordinatenebene O y z entspricht einer Gleichung der Form x = 0. Für die O y z-Ebene ist es normal. Daher ist es notwendig, die Werte x \u003d - 3 auf der linken Seite des Ausdrucks einzusetzen und den Absolutwert der Entfernung vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (- 3, 2, - 7) zur Ebene zu nehmen . Wir erhalten den Wert gleich -3 = 3 .

Nach der Transformation nimmt die Normalgleichung der Ebene 2 y - 5 = 0 die Form y - 5 2 = 0 an. Dann können Sie den erforderlichen Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (- 3 , 2 , - 7) zur Ebene 2 y - 5 = 0 finden. Durch Einsetzen und Rechnen erhalten wir 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Antworten: Der gewünschte Abstand von M 1 (–3, 2, –7) zu O y z hat einen Wert von 3 und zu 2 y – 5 = 0 hat einen Wert von 5 2 – 2 .

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