Der Bewegungsbetrag ist ein Maß für die mechanische Bewegung, wenn die mechanische Bewegung mechanisch wird. Beispielsweise geht die mechanische Bewegung einer Billardkugel (Abb. 22) vor dem Aufprall in die mechanische Bewegung der Kugeln nach dem Aufprall über. Für einen Punkt ist der Impuls gleich dem Produkt.

Das Maß für die Wirkung der Kraft ist in diesem Fall der Impuls der Kraft

. (9.1)

Der Impuls bestimmt die Kraftwirkung für eine Zeitspanne . Für einen materiellen Punkt kann der Impulsänderungssatz in Differentialform verwendet werden
(9.2) oder integrale (endliche) Form
. (9.3)

Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls aller Kräfte, die gleichzeitig auf den Punkt einwirken.

Abbildung 22

Beim Lösen von Problemen wird Satz (9.3) häufiger in Projektionen auf die Koordinatenachsen verwendet
;

; (9.4)

.

Mit dem Satz über die Änderung des Impulses eines Punktes lassen sich Probleme lösen, bei denen ein sich translatorisch bewegender Punkt oder Körper konstanten oder variablen Kräften ausgesetzt ist, die von der Zeit und der Anzahl der gegebenen und gesuchten Werte abhängen beinhaltet die Bewegungszeit und Geschwindigkeit am Anfang und am Ende der Bewegung. Probleme, die den Satz verwenden, werden in der folgenden Reihenfolge gelöst:

1. Wählen Sie ein Koordinatensystem;

2. alle gegebenen (Wirk-)Kräfte und Reaktionen auf einen Punkt darstellen;

3. Schreiben Sie den Satz über die Änderung des Impulses eines Punktes in Projektionen auf die ausgewählten Koordinatenachsen auf;

4. Bestimmen Sie die gewünschten Werte.

BEISPIEL 12.

Ein Hammer mit einem Gewicht von G=2t fällt aus einer Höhe h=1m in einer Zeit t=0,01s auf ein Werkstück und stanzt das Teil (Abb. 23). Bestimmen Sie die durchschnittliche Kraft des Hammers auf das Werkstück.

ENTSCHEIDUNG.

1. Hammerschwerkraft wirkt auf das Werkstück und Unterstützungsreaktion . Der Wert der Auflagerreaktion ändert sich mit der Zeit, betrachten Sie also ihren Durchschnittswert
.

2. Richte die Koordinatenachse y senkrecht nach unten und wende den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in der Projektion auf diese Achse an:
, (1) wo - Geschwindigkeit des Hammers am Ende des Schlags;

- die Anfangsgeschwindigkeit des Hammers im Moment des Kontakts mit dem Werkstück.

3. Um die Geschwindigkeit zu bestimmen stellen wir die Differentialgleichung der Bewegung des Hammers in Projektion auf die y-Achse auf:

. (2)

Variablen trennen, Gleichung (2) zweimal integrieren:
;

;

. Die Integrationskonstanten ' 1 , ' 2 können aus den Anfangsbedingungen ermittelt werden. Bei t = 0 V y = 0, dann C 1 = 0; y \u003d 0, dann C 2 \u003d 0. Daher bewegt sich der Hammer nach dem Gesetz
, (3) und die Geschwindigkeit des Hammers ändert sich gemäß dem Gesetz
. (4) Wir werden die Zeit der Bewegung des Hammers aus (3) ausdrücken und in (4) einsetzen
;
. (5)

4. Wir finden die Projektion des Impulses äußerer Kräfte auf der y-Achse durch die Formel:
. (6) Ersetze (5) und (6) in (1):
, woraus wir die Reaktion des Supports und folglich den gewünschten Druck des Hammers auf das Werkstück finden
t.

Abbildung 24

Zu

wobei M die Masse des Systems ist, V c die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts ist. Der Satz über die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems lässt sich in differentieller und endlicher (integraler) Form schreiben:
;

. (9.7)

Der Bewegungsbetrag eines mechanischen Systems kann als Summe der Bewegungsbeträge der Punkte des Systems definiert werden
. (9.5) Der Betrag der Bewegung eines Systems oder eines starren Körpers kann bestimmt werden, wenn man die Masse des Systems und die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts kennt
, (9.6)

Die Änderung der Bewegungsgröße eines mechanischen Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der Summe der gleichzeitig wirkenden Impulse äußerer Kräfte. Manchmal ist es bequemer, den Satz über die Impulsänderung in der Projektion auf die Koordinatenachsen zu verwenden
; (9.8)
. (9.9)

Das Impulserhaltungsgesetz besagt, dass der Impuls eines mechanischen Systems ohne äußere Kräfte konstant bleibt. Die Wirkung innerer Kräfte kann den Impuls des Systems nicht ändern. Gleichung (9.6) zeigt, dass z
,
.

Wenn ein
, dann
oder
.

D

Propeller oder Propeller, Strahlantrieb. Tintenfische bewegen sich ruckartig und schleudern nach dem Prinzip einer Wasserkanone Wasser aus dem Muskelsack (Abb. 25). Das abgestoßene Wasser hat eine bekannte Rückwärtsbewegung. Der Tintenfisch erhält die entsprechende Geschwindigkeit Vorwärtsbewegung durch reaktiven Schub , denn bevor der Tintenfisch herausspringt, die Kraft durch die Schwerkraft ausgeglichen .

Die Wirkungsweise des Erhaltungssatzes des Impulses eines mechanischen Systems lässt sich am Beispiel des Phänomens des Rückstoßes oder Rückrollens beim Schießen veranschaulichen

Die Anwendung des Impulsänderungssatzes ermöglicht es, alle inneren Kräfte von der Betrachtung auszuschließen.

BEISPIEL 13.

Auf einem Bahnsteig ist freistehend auf den Schienen eine Winde A mit Trommelradius r installiert (Abb. 26). Die Winde ist so ausgelegt, dass sie sich auf der Plattform der Ladung B mit der Masse m 1 bewegt. Gewicht der Plattform mit Winde m 2 . Die Windentrommel dreht sich vorschriftsmäßig
. Zu Beginn war das System mobil. Finden Sie unter Vernachlässigung der Reibung das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung der Plattform nach dem Einschalten der Winde.

R ENTSCHEIDUNG.

1. Betrachten Sie die Plattform, die Winde und die Last als ein einziges mechanisches System, das von äußeren Kräften beeinflusst wird: der Schwerkraft der Last und Plattformen und Reaktionen und
.

2. Da alle äußeren Kräfte senkrecht zur x-Achse stehen, d.h.
, wenden wir den Impulserhaltungssatz eines mechanischen Systems in Projektion auf die x-Achse an:
. Zum Anfangszeitpunkt war das System stationär, daher

Lassen Sie uns den Betrag der Bewegung des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt ausdrücken. Die Plattform bewegt sich mit einer Geschwindigkeit vorwärts führt die Last eine komplexe Bewegung aus, die aus einer Relativbewegung entlang der Plattform mit einer Geschwindigkeit besteht und tragbare Bewegung zusammen mit der Plattform mit einer Geschwindigkeit ., wo
. Die Plattform bewegt sich in die der relativen Bewegung der Last entgegengesetzte Richtung.

BEISPIEL 14.

M

ENTSCHEIDUNG.

1. Wende den Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Projektion auf die x-Achse an. Da also alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte vertikal sind
, dann
, wo
. (1)

2. Wir drücken die Projektion des Bewegungsbetrags auf die x-Achse für das betrachtete mechanische System aus
,

Das mechanische System besteht aus einer rechteckigen vertikalen Platte 1 mit einer Masse m 1 = 18 kg, die sich entlang horizontaler Führungen bewegt, und einer Last D mit einer Masse m 2 = 6 kg. Zum Zeitpunkt t 0 =0, als sich die Platte mit einer Geschwindigkeit u 0 =2m/s bewegte, begann sich die Last entlang der Rutsche gemäß der Gleichung S=AD=0,4sin( t 2) (S-in Meter, t-in Sekunden), (Abb. 26). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Platte zum Zeitpunkt t 1 =1s mit Hilfe des Satzes über die Impulsänderung des mechanischen Systems.

wo ,
-- das Ausmaß der Bewegung der Platte bzw. der Last.

;
, wo --absolute Geschwindigkeit der LastD. Aus Gleichung (1) folgt, dass K 1x + K 2x \u003d C 1 oder m 1 u x + m 2 V Dx \u003d C 1. (2) Um V Dx zu bestimmen, betrachten wir die Bewegung der Last D als komplex, indem wir ihre Bewegung relativ zur Platte als relativ und die Bewegung der Platte selbst als tragbar betrachten
, (3)
; oder in der Projektion auf die x-Achse: . (4) Ersetze (4) in (2):
. (5) Die Integrationskonstante C 1 wird aus den Anfangsbedingungen bestimmt: bei t=0 u=u 0 ; (m 1 + m 2) u 0 \u003d C 1. (6) Durch Einsetzen des Werts der Konstanten C 1 in Gleichung (5) erhalten wir

Frau.

Bestehend aus n materielle Punkte. Lassen Sie uns einen Punkt aus diesem System herausgreifen Mj mit Masse mj. Es ist bekannt, dass auf diesen Punkt äußere und innere Kräfte einwirken.

Auf einen Punkt anwenden Mj Resultierende aller inneren Kräfte F j i und die Resultierende aller äußeren Kräfte Fj e(Abbildung 2.2). Für ausgewählten Materialpunkt Mj(wie für einen freien Punkt) schreiben wir den Satz über die Impulsänderung in Differentialform (2.3):

Wir schreiben ähnliche Gleichungen für alle Punkte des mechanischen Systems (j=1,2,3,…,n).

Abbildung 2.2

Lassen Sie uns alles zusammenfügen n Gleichungen:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j ich, (2.9)

d∑(m j × V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j ich. (2.10)

Hier ∑mj ×Vj =Q ist der Impuls des mechanischen Systems;
∑ F j e = R e ist der Hauptvektor aller auf das mechanische System wirkenden äußeren Kräfte;
∑ F j ich = R ich = 0- der Hauptvektor der inneren Kräfte des Systems (gemäß der Eigenschaft der inneren Kräfte ist er gleich Null).

Schließlich erhalten wir für das mechanische System

dQ/dt = Re. (2.11)

Ausdruck (2.11) ist ein Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Differentialform (in Vektorform): die zeitliche Ableitung des Impulsvektors eines mechanischen Systems ist gleich dem Hauptvektor aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Projiziert man die Vektorgleichung (2.11) auf die kartesischen Koordinatenachsen, erhält man Ausdrücke für den Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in einem Koordinaten-(Skalar-)Ausdruck:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

jene. Die zeitliche Ableitung der Projektion des Impulses eines mechanischen Systems auf eine beliebige Achse ist gleich der Projektion des Hauptvektors aller auf dieses mechanische System wirkenden äußeren Kräfte auf diese Achse.

Multiplizieren beider Seiten der Gleichheit (2.12) mit dt, erhalten wir den Satz in einer anderen Differentialform:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

jene. Das Differential des Impulses eines mechanischen Systems ist gleich dem Elementarimpuls des Hauptvektors (der Summe der Elementarimpulse) aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

Integrationsgleichheit (2.13) im Zeitbereich von 0 bis t erhalten wir einen Satz über die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems in endlicher (integraler) Form (in Vektorform):

Q - Q 0 \u003d S e,

jene. Die Änderung der Bewegungsgröße eines mechanischen Systems über einen endlichen Zeitraum ist gleich dem Gesamtimpuls des Hauptvektors (der Summe der Gesamtimpulse) aller äußeren Kräfte, die im selben Zeitraum auf das System einwirken.

Projizieren wir die Vektorgleichheit (2.14) auf die kartesischen Koordinatenachsen, so erhalten wir Ausdrücke für den Satz in Projektionen (in einem skalaren Ausdruck):

jene. Die Änderung der Projektion des Impulses des mechanischen Systems auf eine beliebige Achse über einen endlichen Zeitraum ist gleich der Projektion des Gesamtimpulses des Hauptvektors (der Summe der Gesamtimpulse) aller äußeren Kräfte auf dieselbe Achse gleich lange auf die Mechanik einwirken.

Aus dem betrachteten Satz (2.11) - (2.15) folgen die folgenden Folgerungen:

1. Wenn ein R. e = ∑ F. j. e = 0, dann Q = konst– wir haben das Erhaltungsgesetz des Impulsvektors des mechanischen Systems: wenn der Hauptvektor Betreff aller auf ein mechanisches System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann bleibt der Impulsvektor dieses Systems in Größe und Richtung konstant und gleich seinem Anfangswert Q0, d.h. Q = Q0.
2. Wenn ein R x e = ∑X j e = 0 (R e ≠ 0), dann Q x = konst- Wir haben das Erhaltungsgesetz der Projektion auf die Achse des Impulses des mechanischen Systems: Wenn die Projektion des Hauptvektors aller auf das mechanische System wirkenden Kräfte auf einer beliebigen Achse Null ist, dann ist die Projektion auf dieselbe Achse von der Impulsvektor dieses Systems ist ein konstanter Wert und gleich der Projektion auf diese Achse des anfänglichen Impulsvektors, d.h. Qx = Q0x.

Die Differentialform des Satzes über die Impulsänderung eines materiellen Systems hat wichtige und interessante Anwendungen in der Kontinuumsmechanik. Aus (2.11) erhält man den Satz von Euler.

Der Betrag der Bewegung eines materiellen Punktes heißt Vektorgröße mv, gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und dem Vektor seiner Geschwindigkeit. Vektor mV an einem beweglichen Punkt befestigt.

Menge der Systembewegung heißt Vektorgröße Q, gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses aller Punkte des Systems:

Vektor Q ist ein freier Vektor. Im SI-Einheitensystem wird der Impulsmodul in kg m/s oder N s gemessen.

In der Regel sind die Geschwindigkeiten aller Punkte des Systems unterschiedlich (siehe z. B. die in Abb. 6.21 dargestellte Verteilung der Geschwindigkeiten der Punkte eines rollenden Rades), daher die direkte Summierung der Vektoren auf der rechten Seite der Gleichheit (17.2) ist schwierig. Lassen Sie uns eine Formel finden, mit deren Hilfe die Menge Q viel einfacher zu berechnen. Aus Gleichheit (16.4) folgt, dass

Nehmen wir die zeitliche Ableitung beider Teile, erhalten wir Unter Berücksichtigung der Gleichheit (17.2) finden wir das also

d.h. der Bewegungsbetrag des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts.

Beachten Sie, dass der Vektor Q, wie der Hauptkraftvektor in der Statik ist ein verallgemeinerter Vektor charakteristisch für die Bewegung des gesamten mechanischen Systems. Im allgemeinen Fall der Bewegung eines Systems ist sein Impuls Q kann als Merkmal des translatorischen Anteils der Bewegung des Systems zusammen mit seinem Massenmittelpunkt angesehen werden. Wenn während der Bewegung des Systems (Körpers) der Massenschwerpunkt stationär ist, ist der Impuls des Systems gleich Null. Dies ist beispielsweise der Impuls eines Körpers, der sich um eine feste Achse dreht, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft.

Beispiel. Bestimmen Sie den Bewegungsbetrag des mechanischen Systems (Abb. 17.1, a), bestehend aus Ladung SONDERN Last t A - 2 kg, homogener Block BEIM Gewicht 1 kg und Räder D Last MD-4 kg. Ladung SONDERN sich mit einer Geschwindigkeit bewegen VA - 2 m/s, Rad D rollt ohne zu rutschen, der Faden ist undehnbar und schwerelos. Entscheidung. Die Bewegungsmenge des Körpersystems

Körper SONDERN vorwärts gehen und Q A \u003d m A V A(numerisch Qualitätssicherung= 4 kg m/s, Vektorrichtung Qualitätssicherung stimmt mit der Richtung überein VA). Block BEIM führt eine Drehbewegung um eine feste Achse aus, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft; somit, QB- 0. Rad D macht eine Planparallelität

Bewegung; sein momentaner Geschwindigkeitsschwerpunkt liegt an diesem Punkt Zu, also die Geschwindigkeit seines Schwerpunkts (Punkte E) entspricht VE = VA /2= 1 m/s. Anzahl der Radbewegungen Q D - m D V E - 4 kgm/s; Vektor Q D horizontal nach links gerichtet.

Vektoren darstellen Qualitätssicherung und Q D in Abb. 17.1, b, finden Sie den Schwung Q Systeme gemäß Formel (a). Unter Berücksichtigung der Richtungen und Zahlenwerte der Größen erhalten wir Q ~^Q A +Q E=4l/2~kg m/s, Vektorrichtung Q in Abb. gezeigt. 17.1, b.

Angesichts dessen a-dV/dt, Gleichung (13.4) des Grundgesetzes der Dynamik lässt sich darstellen als

Gleichung (17.4) drückt den Satz über die Änderung des Impulses eines Punktes in Differentialform aus: Zu jedem Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung des Impulses des Punktes gleich der auf den Punkt wirkenden Kraft. (Im Wesentlichen ist dies eine andere Formulierung des Grundgesetzes der Dynamik, die der von Newton gegebenen nahe kommt.) Wirken mehrere Kräfte auf einen Punkt, so steht auf der rechten Seite der Gleichheit (17.4) eine Resultierende der Kräfte auf den materiellen Punkt angewendet.

Wenn beide Seiten der Gleichung multipliziert werden mit dt, dann bekommen wir

Der Vektorwert auf der rechten Seite dieser Gleichheit charakterisiert die Krafteinwirkung auf den Körper in einer elementaren Zeitspanne dt dieser Wert wird bezeichnet dS und Ruf an elementarer Kraftimpuls, d.h.

Impuls S Stärke Füber ein endliches Zeitintervall /, - / 0 ist definiert als die Grenze der integralen Summe der entsprechenden Elementarimpulse, d.h.

Im Einzelfall, wenn die Kraft F konstant in Modul und Richtung, dann S = F(t| -/0) und S- F(t l -/ 0). Im allgemeinen Fall lässt sich der Betrag des Kraftimpulses aus seinen Projektionen auf die Koordinatenachsen berechnen:

Integrieren Sie nun beide Gleichheitsteile (17.5) mit t= const, erhalten wir

Gleichung (17.9) drückt den Satz über die Änderung des Impulses eines Punktes in endlicher (integraler) Form aus: Die Änderung des Impulses eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der auf den Punkt wirkenden Kraft (oder dem Impuls der Resultierenden aller auf ihn wirkenden Kräfte) für denselben Zeitraum.

Beim Lösen von Problemen werden die Gleichungen dieses Theorems in Projektionen auf die Koordinatenachsen verwendet

Betrachten Sie nun ein mechanisches System bestehend aus P materielle Punkte. Dann können wir für jeden Punkt den Impulsänderungssatz in der Form (17.4) anwenden, wobei wir die auf die Punkte wirkenden äußeren und inneren Kräfte berücksichtigen:

Wenn wir diese Gleichheiten zusammenfassen und berücksichtigen, dass die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist, erhalten wir

Da durch die Eigenschaft der inneren Kräfte H.F.k=0 und per Definition des Impulses ^ fn k V / c = Q, dann finden wir endlich

Gleichung (17.11) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in Differentialform aus: Zu jedem Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Projiziert man Gleichheit (17.11) auf die Koordinatenachsen, erhält man

Multiplizieren beider Seiten von (17.11) mit dt und integrieren, erhalten wir

wo 0, Q0 - die zeitweise Bewegung des Systems bzw. / 0 .

Gleichung (17.13) drückt den Satz über die Änderung des Impulses des Systems in integraler Form aus: Die Änderung des Impulses des Systems über einen beliebigen Zeitpunkt ist gleich der Summe der Impulse aller äußeren Kräfte, die gleichzeitig auf das System einwirken.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen erhalten wir

Aus dem Satz über die Änderung des Impulses des Systems können die folgenden wichtigen Konsequenzen gezogen werden, die zum Ausdruck kommen Gesetz der Impulserhaltung des Systems.

• 1. Wenn die geometrische Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist (LF k=0), so folgt aus Gleichung (17.11) in diesem Fall Q= const, d.h. der Impulsvektor des Systems wird in Betrag und Richtung konstant sein.
• 2. Wenn die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte so sind, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine beliebige Achse Null ist (z. B. Ich e kx = 0), dann folgt aus den Gleichungen (17.12) in diesem Fall Q x = const, d.h. die Projektion des Impulses des Systems auf diese Achse bleibt unverändert.

Beachten Sie, dass die inneren Kräfte des Systems nicht an der Gleichung des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems teilnehmen. Diese Kräfte beeinflussen zwar den Impuls einzelner Punkte des Systems, können aber den Impuls des Systems als Ganzes nicht verändern. Unter diesen Umständen ist es bei der Lösung von Problemen zweckmäßig, das betrachtete System so zu wählen, dass die unbekannten Kräfte (alle oder ein Teil davon) intern sind.

Das Impulserhaltungsgesetz lässt sich bequem in Fällen anwenden, in denen die Änderung der Geschwindigkeit eines Teils des Systems erforderlich ist, um die Geschwindigkeit eines anderen Teils davon zu bestimmen.

Aufgabe 17.1. Zu Wagen wiegen t x- 12 kg, die sich auf einer glatten horizontalen Ebene an einem Punkt bewegen SONDERN Eine schwerelose Stange wird mit Hilfe eines zylindrischen Scharniers befestigt ANZEIGE Länge /= 0,6 m mit Last D Last t 2 - 6 kg am Ende (Abb. 17.2). Zum Zeitpunkt / 0 = 0, wenn die Geschwindigkeit der Laufkatze und () - 0,5 m/s, Stab ANZEIGE beginnt sich um die Achse zu drehen SONDERN, senkrecht zur Zeichenebene nach dem Gesetz φ \u003d (tg / 6) (3 ^ 2 - 1) rad (/- in Sekunden). Definieren: u=f.

§ 17.3. Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes

Der Satz über die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems kann in einer anderen Form ausgedrückt werden, die als Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts bezeichnet wird.

Einsetzen in Gleichung (17.11) der Gleichheit Q=MV C , wir bekommen

Wenn Masse M System konstant ist, bekommen wir

wo und mit - Beschleunigung des Massenmittelpunktes des Systems.

Gleichung (17.15) drückt den Satz über die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems aus: das Produkt aus der Masse des Systems und der Beschleunigung seines Massenschwerpunkts ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Projiziert man Gleichheit (17.15) auf die Koordinatenachsen, erhält man

wo x c , y c , z c - Koordinaten des Schwerpunkts des Systems.

Diese Gleichungen sind Differentialgleichungen der Bewegung des Massenschwerpunkts in Projektionen auf die Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Lassen Sie uns die Ergebnisse besprechen. Erinnern wir uns zunächst daran, dass der Schwerpunkt des Systems ein geometrischer Punkt ist, der sich manchmal außerhalb der geometrischen Grenzen des Körpers befindet. Die auf das mechanische System wirkenden Kräfte (extern und intern) wirken auf alle materiellen Punkte des Systems. Die Gleichungen (17.15) ermöglichen es, die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems zu bestimmen, ohne die Bewegung seiner einzelnen Punkte zu bestimmen. Vergleicht man die Gleichungen (17.15) des Satzes über die Bewegung des Massenschwerpunkts mit der Gleichung (13.5) des zweiten Newtonschen Gesetzes für einen materiellen Punkt, so kommt man zu dem Schluss: der Massenmittelpunkt eines mechanischen Systems bewegt sich als materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des gesamten Systems ist, und zwar so, als ob alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte auf diesen Punkt wirken würden. Die Lösungen, die wir erhalten, wenn wir einen gegebenen Körper als materiellen Punkt betrachten, bestimmen also das Bewegungsgesetz des Massenmittelpunkts dieses Körpers.

Bewegt sich der Körper insbesondere nach vorne, dann sind die kinematischen Eigenschaften aller Punkte des Körpers und seines Schwerpunkts gleich. So ein fortschreitend bewegter Körper kann immer als ein materieller Punkt betrachtet werden, dessen Masse gleich der Masse des gesamten Körpers ist.

Wie aus (17.15) ersichtlich ist, wirken sich die auf die Punkte des Systems wirkenden Schnittgrößen nicht auf die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems aus. Innere Kräfte können die Bewegung des Massenschwerpunkts dann beeinflussen, wenn sich äußere Kräfte unter ihrem Einfluss ändern. Beispiele hierfür werden unten angegeben.

Aus dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes lassen sich folgende wichtige Folgerungen ziehen, die das Erhaltungsgesetz der Bewegung des Massenschwerpunktes des Systems ausdrücken.

1. Wenn die geometrische Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte Null ist (LF k=0), dann folgt aus Gleichung (17.15),

wie wäre es mit ein c = 0 bzw V c = const, also der Schwerpunkt dieses Systems

bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in Betrag und Richtung (ansonsten gleichmäßig und geradlinig). In einem Sonderfall, wenn zu Beginn der Schwerpunkt in Ruhe war ( Vc=0), dann bleibt es in Ruhe; wo

Spur sagt voraus, dass sich seine Position im Raum nicht ändern wird, d.h. rc = konst.

2. Wenn die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte so sind, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B. die Achse X) Null (?F e kx= 0), dann folgt aus Gleichung (17.16) in diesem Fall x s=0 oder V Cx \u003d x c \u003d const, d. h. die Projektion der Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Systems auf diese Achse ist ein konstanter Wert. In einem besonderen Fall, wenn im ersten Moment Ärgern= 0, dann wird dieser Wert zu jedem späteren Zeitpunkt beibehalten, und daraus folgt, dass die Koordinate x s der Schwerpunkt des Systems ändert sich nicht, d.h. x s - konst.

Betrachten Sie Beispiele, die das Bewegungsgesetz des Massenschwerpunkts veranschaulichen.

Beispiele. 1. Wie bereits erwähnt, hängt die Bewegung des Massenmittelpunkts nur von äußeren Kräften ab, innere Kräfte können die Position des Massenmittelpunkts nicht verändern. Aber die inneren Kräfte des Systems können äußere Einflüsse hervorrufen. Die Bewegung einer Person auf einer horizontalen Fläche erfolgt also unter Einwirkung von Reibungskräften zwischen den Sohlen ihrer Schuhe und der Straßenoberfläche. Mit der Kraft seiner Muskeln (innere Kräfte) stößt eine Person mit ihren Füßen von der Fahrbahnoberfläche ab, was an den Kontaktpunkten mit der Straße eine Reibungskraft (äußere für eine Person) verursacht, die in Richtung ihrer Bewegung gerichtet ist.

• 2. Das Auto bewegt sich auf die gleiche Weise. Die inneren Druckkräfte in seinem Motor bringen die Räder zum Drehen, da diese aber Traktion haben, „schieben“ die entstehenden Reibungskräfte das Auto nach vorne (dadurch drehen sich die Räder nicht, sondern bewegen sich planparallel) . Wenn die Straße absolut glatt ist, ist der Schwerpunkt des Autos stationär (bei einer Anfangsgeschwindigkeit von Null) und die Räder werden ohne Reibung rutschen, dh sich drehen.
• 3. Bewegung mit Hilfe eines Propellers, Propellers, Ruders erfolgt durch die Ablehnung einer bestimmten Luftmasse (oder Wasser). Wenn wir die weggeworfene Masse und den sich bewegenden Körper als ein System betrachten, dann können die Wechselwirkungskräfte zwischen ihnen als innere Kräfte den Gesamtimpuls dieses Systems nicht ändern. Jeder der Teile dieses Systems bewegt jedoch zum Beispiel das Boot vorwärts und das Wasser, das die Ruder zurückwerfen.
• 4. Im luftleeren Raum, wenn sich die Rakete bewegt, sollte die „ausgeworfene Masse“ „mitgenommen“ werden: Das Strahltriebwerk informiert die Rakete über die Bewegung, indem es die Verbrennungsprodukte des Treibstoffs, mit dem die Rakete gefüllt ist, zurückwirft.
• 5. Wenn Sie mit einem Fallschirm absteigen, können Sie die Bewegung des Massenschwerpunkts des Mann-Fallschirm-Systems steuern. Wenn eine Person durch Muskelkraft die Fallschirmleinen so zieht, dass sich die Form ihrer Kappe oder der Anstellwinkel des Luftstroms ändert, dann wird dies eine Änderung der äußeren Beeinflussung des Luftstroms bewirken und dadurch den Fallschirm beeinflussen Bewegung des gesamten Systems.

Aufgabe 17.2. BEIM Aufgabe 17.1 (siehe Bild 17.2) ermitteln: 1) Bewegungsgesetz der Laufkatze X (= /)(/), wenn dies zum Anfangszeitpunkt bekannt ist t 0 = Etwa war das System in Ruhe und die Koordinate x 10 = 0; 2) das Gesetz der zeitlichen Änderung des Gesamtwerts der normalen Reaktion N (N = N" + N") horizontale Ebene, d.h. N = f 2 (t).

Entscheidung. Wir betrachten hier wie in Aufgabe 17.1 ein System bestehend aus einer Laufkatze und einer Last D, in einer beliebigen Position unter Einwirkung äußerer Kräfte (siehe Abb. 17.2). Koordinatenachsen Ohu Zeichnen Sie so, dass die x-Achse horizontal ist und die x-Achse beim durch den Punkt gegangen A 0 , d.h. die Position des Punktes SONDERN damals t-t 0 - 0.

1. Bestimmung des Bewegungsgesetzes des Wagens. Um x, = /, (0 zu bestimmen, wenden wir den Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems an. Stellen wir eine Differentialgleichung seiner Bewegung in Projektion auf die x-Achse auf:

Da also alle äußeren Kräfte vertikal sind T, F und kx = 0 und daher

Wenn wir diese Gleichung integrieren, finden wir das Mx c \u003d B, d.h. die Projektion der Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Systems auf die x-Achse ist ein konstanter Wert. Da im ersten Moment der Zeit

Integrieren der Gleichung Mx s= 0 erhalten wir

d.h. koordinieren x s der Schwerpunkt des Systems ist konstant.

Lassen Sie uns den Ausdruck schreiben Mx s für eine beliebige Position des Systems (siehe Abb. 17.2) unter Berücksichtigung dessen xA-x { , x D - x 2 und x 2 - x ( - ich Sünde f. Gemäß Formel (16.5), die in diesem Fall die Koordinate des Massenmittelpunkts des Systems bestimmt Mx s - t(x( + t 2 x 2".

für einen beliebigen Zeitpunkt

für Zeitpunkt / () = 0, X (= 0 und

In Übereinstimmung mit Gleichheit (b), die Koordinate x s der Massenschwerpunkt des Gesamtsystems bleibt unverändert, d.h. x c (t). Daher erhalten wir durch Gleichsetzen der Ausdrücke (c) und (d) die Abhängigkeit der x-Koordinate von der Zeit.

Antworten: X - 0,2 m, wo t- in Sekunden.

2. Reaktionsdefinition N. Zum Bestimmen N=f2 (t) stellen wir die Differentialgleichung der Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems in Projektion auf die vertikale Achse auf beim(siehe Abb. 17.2):

Daher bezeichnet N=N+N", wir bekommen

Nach der Formel, die die Ordinate bestimmt uns der Massenmittelpunkt des Systems, Mus = t (yx + t 2 und 2, wo y, = bei C1,um 2= yD = Beima ~ 1 cos Ф» bekommen wir

Differenziert man diese Gleichheit zweimal zeitlich (unter Berücksichtigung dessen bei C1 und an einer die Größen sind konstant und folglich sind ihre Ableitungen gleich Null), finden wir

Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in Gleichung (e) bestimmen wir die erforderliche Abhängigkeit N aus t.

Antworten: N- 176,4 + 1,13,

wo φ \u003d (i / 6) (3 / -1), t- in Sekunden N- in Newton.

Aufgabe 17.3. Masse Elektromotor t x mit Schrauben an der horizontalen Oberfläche des Fundaments befestigt (Abb. 17.3). Auf der Motorwelle im rechten Winkel zur Rotationsachse ist an einem Ende eine schwerelose Stange der Länge / befestigt, am anderen Ende der Stange ist eine Punktlast montiert SONDERN Last t 2 . Die Welle dreht sich gleichmäßig mit einer Winkelgeschwindigkeit o. Ermitteln Sie den horizontalen Druck des Motors auf die Schrauben. Entscheidung. Stellen Sie sich ein mechanisches System vor, das aus einem Motor und einem Punktgewicht besteht SONDERN, in einer beliebigen Position. Stellen wir uns die äußeren Kräfte vor, die auf das System einwirken: die Schwerkraft R x, R 2, Fundamentreaktion in Form einer vertikalen Kraft N und Horizontalkraft R. Zeichnen Sie die x-Achse horizontal.

Um den horizontalen Druck des Motors auf die Bolzen zu bestimmen (und er ist numerisch gleich der Reaktion R und dem Vektor entgegengesetzt gerichtet R ) stellen wir die Gleichung des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in Projektion auf die horizontale Achse x auf:

Für das betrachtete System in seiner beliebigen Position erhalten wir unter der Voraussetzung, dass der Bewegungsbetrag des Motorgehäuses Null ist Qx = - t 2 U A col. Unter Berücksichtigung dessen VA = ein s/, φ = ω/ (gleichmäßige Rotation des Motors) erhalten wir Q x - - m 2 co/cos co/. differenzieren Qx in der Zeit und Einsetzen in Gleichheit (a), finden wir R- m 2 co 2 /sin co/.

Beachten Sie, dass genau solche Kräfte erzwingen (siehe § 14.3), wenn sie wirken, treten erzwungene Schwingungen von Strukturen auf.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

• 1. Wie nennt man den Impuls eines Punktes und eines mechanischen Systems?
• 2. Wie ändert sich der Impuls eines Punktes, der sich gleichmäßig um einen Kreis bewegt?
• 3. Was charakterisiert den Kraftimpuls?
• 4. Beeinflussen die inneren Kräfte des Systems seinen Impuls? Auf die Bewegung seines Massenmittelpunkts?
• 5. Wie wirken sich darauf einwirkende Kräftepaare auf die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems aus?
• 6. Unter welchen Bedingungen ruht der Schwerpunkt des Systems? gleichmäßig und geradlinig bewegen?

7. In einem stehenden Boot sitzt bei fehlendem Wasserfluss ein Erwachsener am Heck und ein Kind am Bug des Bootes. In welche Richtung bewegt sich das Boot, wenn sie die Plätze tauschen?

In diesem Fall wird das Verdrängungsmodul des Bootes groß sein: 1) wenn das Kind zum Erwachsenen im Heck geht; 2) wenn ein Erwachsener zum Kind am Bug des Bootes geht? Wie groß werden die Verschiebungen des Schwerpunkts des Systems „Boot und zwei Personen“ während dieser Bewegungen sein?

Differentialgleichung der Bewegung eines materiellen Punktes unter Krafteinwirkung F kann in der folgenden Vektorform dargestellt werden:

Da die Masse eines Punktes m als konstant angenommen wird, kann sie unter dem Vorzeichen der Ableitung eingeführt werden. Dann

Formel (1) drückt den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in Differentialform aus: Die erste zeitliche Ableitung des Impulses eines Punktes ist gleich der auf den Punkt wirkenden Kraft.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen (1) lassen sich so darstellen

Wenn beide Seiten von (1) multipliziert werden mit dt, dann erhalten wir eine andere Form desselben Satzes - den Impulssatz in Differentialform:

jene. das Differential des Impulses eines Punktes ist gleich dem Elementarimpuls der auf den Punkt wirkenden Kraft.

Projiziert man beide Teile von (2) auf die Koordinatenachsen, erhält man

Wenn wir beide Teile von (2) von Null bis t (Abb. 1) integrieren, haben wir

wo ist die Geschwindigkeit des Punktes im Moment t; - Geschwindigkeit bei t = 0;

S- Momentum der Kraft im Laufe der Zeit t.

Der Ausdruck in der Form (3) wird oft als Impulssatz in endlicher (oder ganzzahliger) Form bezeichnet: Die Änderung des Impulses eines Punktes über einen beliebigen Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft über denselben Zeitraum.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen lässt sich dieser Satz in folgender Form darstellen:

Für einen materiellen Punkt unterscheidet sich der Satz über die Änderung des Impulses in keiner der Formen im Wesentlichen von den Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes.

Satz über die Änderung des Impulses des Systems

Der Betrag der Bewegung des Systems wird als Vektorgröße bezeichnet Q, gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses aller Punkte des Systems.

Stellen Sie sich ein System vor, bestehend aus n materielle Punkte. Lassen Sie uns Differentialgleichungen der Bewegung für dieses System aufstellen und sie Term für Term addieren. Dann bekommen wir:

Die letzte Summe durch die Eigenschaft der inneren Kräfte ist gleich Null. Außerdem,

Endlich finden wir:

Gleichung (4) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in differentieller Form aus: die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Lassen Sie uns einen anderen Ausdruck des Theorems finden. Lassen Sie im Moment t= 0 ist der Impuls des Systems Q0, und im Moment t1 gleich wird Q1. Dann werden beide Seiten der Gleichheit (4) mit multipliziert dt und Integration erhalten wir:

Oder wo:

(S-Kraftimpuls)

da die Integrale rechts die Impulse äußerer Kräfte angeben,

Gleichung (5) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in integraler Form aus: Die Änderung der Bewegungsgröße des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der Summe der Impulse äußerer Kräfte, die im selben Zeitraum auf das System einwirken.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen haben wir:

Impulserhaltungssatz

Aus dem Satz über die Änderung des Impulses des Systems lassen sich folgende wichtige Konsequenzen ableiten:

1. Die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte sei gleich Null:

Dann folgt aus Gleichung (4), dass in diesem Fall Q=konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist der Impulsvektor des Systems in Betrag und Richtung konstant.

2. Die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte seien so, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B. Ox) gleich Null ist:

Dann folgt aus den Gleichungen (4`), dass in diesem Fall Q = konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses des Systems auf diese Achse ein konstanter Wert.

Diese Ergebnisse drücken aus Gesetz der Impulserhaltung des Systems. Daraus folgt, dass innere Kräfte den Gesamtimpuls des Systems nicht verändern können.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

· Ph e n i e des Rückstoßes oder Rückstoßes. Wenn wir ein Gewehr und eine Kugel als ein System betrachten, dann ist der Druck der Pulvergase beim Abfeuern eine innere Kraft. Diese Kraft kann den Gesamtimpuls des Systems nicht ändern. Da aber die Treibgase, die auf das Geschoss einwirken, diesem eine gewisse nach vorne gerichtete Bewegung verleihen, müssen sie dem Gewehr gleichzeitig die gleiche Bewegung in die entgegengesetzte Richtung mitteilen. Dadurch bewegt sich das Gewehr rückwärts, d.h. sogenannte Rücksendung. Ein ähnliches Phänomen tritt auf, wenn aus einer Waffe geschossen wird (Rollback).

· Betrieb des Propellers (Propeller). Der Propeller informiert eine bestimmte Masse Luft (oder Wasser) über Bewegung entlang der Achse des Propellers und wirft diese Masse zurück. Wenn wir die ausgestoßene Masse und das Flugzeug (oder Schiff) als ein System betrachten, dann können die Wechselwirkungskräfte des Propellers und des Mediums als interne den Gesamtimpuls dieses Systems nicht ändern. Wenn also eine Luftmasse (Wasser) zurückgeworfen wird, erhält das Flugzeug (oder Schiff) die entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit, so dass der Gesamtimpuls des betrachteten Systems gleich Null bleibt, da er vor Beginn der Bewegung Null war .

Ein ähnlicher Effekt wird durch die Wirkung von Rudern oder Schaufelrädern erzielt.

· Raketenantrieb: In einem Raketenprojektil (Rakete) werden gasförmige Verbrennungsprodukte von Kraftstoff mit hoher Geschwindigkeit aus einem Loch im Heck der Rakete (aus der Düse eines Strahltriebwerks) ausgestoßen. Die in diesem Fall wirkenden Druckkräfte sind innere Kräfte und können den Gesamtimpuls des Raketen-Pulvergas-Systems nicht ändern. Da aber die austretenden Gase eine gewisse nach hinten gerichtete Bewegung haben, erhält die Rakete in diesem Fall die entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit.

Satz der Momente um die Achse.

Betrachten Sie einen materiellen Massenpunkt m sich unter dem Einfluss einer Kraft bewegen F. Finden wir dafür die Abhängigkeit zwischen dem Moment der Vektoren mV und Füber eine feste Z-Achse.

mz (F) = xF - yF (7)

Ebenso für die Menge m (mV), falls herausgenommen m Klammer wird

m z (mV) \u003d m (xV - yV)(7`)

Nehmen wir Zeitableitungen beider Seiten dieser Gleichheit, finden wir

Auf der rechten Seite des resultierenden Ausdrucks ist die erste Klammer 0, da dx/dt=V und dу/dt=V, während die zweite Klammer gemäß Formel (7) gleich ist

mz (F), denn nach dem Grundgesetz der Dynamik gilt:

Endlich haben wir (8)

Die resultierende Gleichung drückt den Satz der Momente um die Achse aus: die zeitliche Ableitung des Drehimpulses eines Punktes um eine Achse ist gleich dem Moment der wirkenden Kraft um dieselbe Achse. Ein ähnlicher Satz gilt auch für Momente um jedes Zentrum O.

(Fragmente einer mathematischen Symphonie)

Der Zusammenhang des Kraftimpulses mit der Grundgleichung der Newtonschen Dynamik wird durch den Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes ausgedrückt.

Satz. Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes für einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft (), die für denselben Zeitraum auf den materiellen Punkt wirkt. Der mathematische Beweis dieses Theorems kann als Fragment einer mathematischen Symphonie bezeichnet werden. Da ist er.

Der Differenzimpuls eines materiellen Punktes ist gleich dem Elementarimpuls der auf den materiellen Punkt wirkenden Kraft. Wenn wir den Ausdruck (128) für das Impulsdifferential eines materiellen Punktes integrieren, haben wir

(129)

Das Theorem ist bewiesen und Mathematiker betrachten ihre Mission als erfüllt, und Ingenieure, deren Schicksal es ist, Mathematikern heilig zu glauben, haben Fragen, wenn sie die bewiesene Gleichung (129) verwenden. Aber sie sind fest blockiert durch die Abfolge und Schönheit mathematischer Handlungen (128 und 129), die uns faszinieren und uns ermutigen, sie als Fragment einer mathematischen Symphonie zu bezeichnen. Wie viele Generationen von Ingenieuren stimmten den Mathematikern zu und zitterten vor dem Geheimnis ihrer mathematischen Symbole! Aber dann gab es einen Ingenieur, der den Mathematikern widersprach und ihnen Fragen stellte.

Liebe Mathematiker! Wie kommt es, dass keines Ihrer Lehrbücher zur theoretischen Mechanik den Prozess der Anwendung Ihres symphonischen Ergebnisses (129) in der Praxis behandelt, beispielsweise bei der Beschreibung des Beschleunigungsprozesses eines Autos? Die linke Seite von Gleichung (129) ist extrem klar. Das Auto beginnt mit der Beschleunigung ab einer Geschwindigkeit und beendet sie beispielsweise bei einer Geschwindigkeit von . Es ist ganz natürlich, dass Gleichung (129) wird

Und sofort stellt sich die erste Frage: Wie lässt sich aus Gleichung (130) die Kraft ermitteln, unter deren Einfluss das Auto auf eine Geschwindigkeit von 10 m/s beschleunigt wird? Auf diese Frage gibt es in keinem der unzähligen Lehrbücher der Theoretischen Mechanik eine Antwort. Gehen wir weiter. Nach dem Beschleunigen beginnt sich das Auto gleichmäßig mit der erreichten Geschwindigkeit von 10m/s zu bewegen. Welche Kraft treibt das Auto an? Mir bleibt nichts anderes übrig, als mit den Mathematikern rot zu werden. Das erste Gesetz der Newtonschen Dynamik besagt, dass, wenn sich ein Auto gleichmäßig bewegt, keine Kräfte auf es einwirken, und das Auto, bildlich gesprochen, auf dieses Gesetz niest, Benzin verbraucht und arbeitet, indem es beispielsweise eine Strecke von 100 km zurücklegt. Und wo ist die Kraft, die das Auto 100 km weit bewegt hat? Die symphonische mathematische Gleichung (130) schweigt, aber das Leben geht weiter und verlangt nach einer Antwort. Wir fangen an, danach zu suchen.

Da sich das Auto in einer geraden Linie und gleichmäßig bewegt, ist die Kraft, die es bewegt, in Größe und Richtung konstant, und Gleichung (130) wird

(131)

Gleichung (131) beschreibt in diesem Fall also die beschleunigte Bewegung des Körpers. Wie groß ist die Kraft? Wie kann man seine Veränderung im Laufe der Zeit ausdrücken? Mathematiker ziehen es vor, diese Frage zu umgehen und sie den Ingenieuren zu überlassen, weil sie glauben, dass sie nach der Antwort auf diese Frage suchen sollten. Ingenieuren bleibt eine Möglichkeit übrig - zu berücksichtigen, dass, wenn nach Beendigung der beschleunigten Bewegung des Körpers eine Phase gleichförmiger Bewegung einsetzt, die von einer konstanten Kraft begleitet wird, Gleichung (131) für den Moment des Übergangs aus darstellt in dieser Form zu einer gleichförmigen Bewegung beschleunigt

(132)

Der Pfeil in dieser Gleichung bedeutet nicht das Ergebnis der Integration dieser Gleichung, sondern den Prozess des Übergangs von ihrer integralen Form zu einer vereinfachten Form. Die Kraft in dieser Gleichung entspricht der durchschnittlichen Kraft, die den Impuls des Körpers von Null auf den Endwert geändert hat. Also, liebe Mathematiker und theoretische Physiker, das Fehlen Ihrer Methode zur Bestimmung der Größe Ihres Impulses zwingt uns, das Verfahren zur Bestimmung der Kraft zu vereinfachen, und das Fehlen einer Methode zur Bestimmung der Dauer dieser Kraft bringt uns im Allgemeinen in eine hoffnungslose Situation Situation und wir sind gezwungen, den Ausdruck zu verwenden, um den Prozess der Veränderung des Schwungs des Körpers zu analysieren. Je länger also die Kraft wirkt, desto größer ist ihr Impuls. Dies widerspricht eindeutig den althergebrachten Vorstellungen, dass der Kraftimpuls umso größer ist, je kürzer die Zeit seiner Einwirkung ist.

Beachten wir, dass die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes (Kraftimpuls) während seiner beschleunigten Bewegung unter der Wirkung der Newtonschen Kraft und der Widerstandskräfte gegen die Bewegung in Form von Kräften erfolgt, die durch mechanische Widerstände gebildet werden und die Trägheitskraft. Aber die Newtonsche Dynamik ignoriert bei der überwiegenden Mehrheit der Probleme die Trägheitskraft, und die Mechanodynamik behauptet, dass die Änderung des Impulses eines Körpers während seiner beschleunigten Bewegung auf den Überschuss der Newtonschen Kraft über die Widerstandskräfte gegen die Bewegung zurückzuführen ist, einschließlich der Trägheitskraft.

Wenn sich ein Körper in Zeitlupe bewegt, zum Beispiel ein Auto mit ausgeschaltetem Gang, gibt es keine Newtonsche Kraft, und die Änderung des Impulses des Autos erfolgt aufgrund des Überschusses der Widerstandskräfte gegen die Bewegung über die Trägheitskraft die das Auto während seiner Zeitlupe bewegt.

Wie kann man nun die Ergebnisse der erwähnten "symphonischen" mathematischen Operationen (128) in den Kanal der Ursache-Wirkungs-Beziehungen zurückführen? Es gibt nur einen Ausweg - eine neue Definition für die Begriffe "Kraftimpuls" und "Stoßkraft" zu finden. Dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung (132) durch die Zeit t. Als Ergebnis werden wir haben

. (133)

Beachten wir, dass der Ausdruck mV / t die Änderungsrate des Impulses (mV / t) eines materiellen Punktes oder Körpers ist. Wenn wir berücksichtigen, dass V / t die Beschleunigung ist, dann ist mV / t eine Kraft, die den Impuls des Körpers ändert. Die gleiche Dimension links und rechts vom Gleichheitszeichen gibt uns das Recht, die Kraft F als Stoßkraft zu bezeichnen und mit dem Symbol zu bezeichnen, und den Impuls S- als Stoßimpuls und mit dem Symbol zu bezeichnen. Daraus folgt eine neue Definition der Stoßkraft. Die Stoßkraft, die auf einen materiellen Punkt oder Körper wirkt, ist gleich dem Verhältnis der Impulsänderung des materiellen Punktes oder Körpers zum Zeitpunkt dieser Änderung.

Achten wir besonders darauf, dass nur die Newtonsche Kraft an der Bildung des Stoßimpulses (134) beteiligt ist, der die Geschwindigkeit des Autos von Null auf den Maximalwert verändert hat - daher gehört Gleichung (134) vollständig dazu Newtonsche Dynamik. Da es viel einfacher ist, den Geschwindigkeitswert experimentell festzulegen als Beschleunigungen, ist Formel (134) für Berechnungen sehr praktisch.

Gleichung (134) impliziert solch ein ungewöhnliches Ergebnis.

Beachten wir, dass nach den neuen Gesetzen der Mechanodynamik der Erzeuger des Kraftimpulses bei der beschleunigten Bewegung eines materiellen Punktes oder Körpers die Newtonsche Kraft ist. Es erzeugt eine Beschleunigung der Bewegung eines Punktes oder Körpers, bei der automatisch eine Trägheitskraft entsteht, die der Newtonschen Kraft entgegengerichtet ist, und die auftreffende Newtonsche Kraft muss die Wirkung der Trägheitskraft überwinden, daher muss die Trägheitskraft in dargestellt werden das Kräftegleichgewicht auf der linken Seite von Gleichung (134). Da die Trägheitskraft gleich der Masse eines Punktes oder Körpers ist, multipliziert mit der Verzögerung , die er bildet, wird Gleichung (134).

(136)

Liebe Mathematiker! Sie können sehen, wie das mathematische Modell den Stoßimpuls angenommen hat, der die Bewegung des getroffenen Körpers von der Geschwindigkeit null auf das maximale V beschleunigt (11). Lassen Sie uns nun seine Arbeit bei der Bestimmung des Aufprallimpulses überprüfen, der gleich der Aufprallkraft ist, die das 2. UGS-Triebwerk (Abb. 120) abgefeuert hat, und wir überlassen Ihnen Ihre nutzlose Gleichung (132). Um die Darstellung nicht zu erschweren, lassen wir die Formel (134) vorerst in Ruhe und verwenden die Formeln, die die gemittelten Werte der Kräfte liefern. Sie sehen, in welche Position Sie einen Ingenieur bringen, der ein bestimmtes Problem lösen möchte.

Beginnen wir mit der Newtonschen Dynamik. Die Experten stellten fest, dass das 2. Triebwerk auf eine Höhe von 14 m aufstieg. Da es im Gravitationsfeld aufstieg, stellte sich heraus, dass seine potenzielle Energie in einer Höhe von h = 14 m gleich war

und die durchschnittliche kinetische Energie war

Reis. 120. Foto des Maschinenraums vor der Katastrophe

Aus der Gleichheit von kinetischer (138) und potentieller (137) Energie folgt die mittlere Hubgeschwindigkeit des Triebwerks (Abb. 121, 122)

Reis. 121. Photon des Maschinenraums nach der Katastrophe

Nach den neuen Gesetzen der Mechanodynamik bestand der Anstieg des Triebwerks aus zwei Phasen (Abb. 123): der ersten Phase OA - beschleunigter Anstieg und der zweiten Phase AB - langsamer Anstieg , , .

Die Zeit und Entfernung ihrer Aktion sind ungefähr gleich (). Dann wird die kinematische Gleichung der beschleunigten Hubphase des Triebwerks geschrieben als

. (140)

Reis. 122. Blick auf den Brunnen des Triebwerks und das Triebwerk selbst nach der Katastrophe

Das Änderungsgesetz der Hubgeschwindigkeit des Antriebsaggregats in der ersten Phase hat die Form

. (141)

Reis. 123. Das Änderungsmuster der Geschwindigkeit V des Fluges des Triebwerks

Durch Einsetzen der Zeit aus Gleichung (140) in Gleichung (141) haben wir

. (142)

Die Blockhebezeit in der ersten Phase wird aus der Formel (140) bestimmt

. (143)

Dann beträgt die Gesamtzeit zum Anheben des Antriebsaggregats auf eine Höhe von 14 m . Die Masse des Triebwerks und der Abdeckung beträgt 2580 Tonnen. Nach Newtons Dynamik ist die Kraft, die das Triebwerk anhebt, gleich

Liebe Mathematiker! Wir folgen Ihren symphonischen mathematischen Ergebnissen und schreiben Ihre Formel (129) auf, die aus der Newtonschen Dynamik folgt, um den Stoßimpuls zu bestimmen, der das 2. Triebwerk gezündet hat

und eine elementare Frage stellen: Wie bestimmt man die Dauer des Stoßimpulses, der das 2. Triebwerk gezündet hat????????????

Lieb!!! Denken Sie daran, wie viel Kreide die Generationen Ihrer Kollegen in die Bildungstafeln geschrieben haben, indem sie den Schülern abstrus beigebracht haben, wie man den Schlagimpuls bestimmt, und niemand erklärt hat, wie man die Dauer des Schlagimpulses in jedem einzelnen Fall bestimmt. Sie werden sagen, die Dauer des Aufprallimpulses ist gleich dem Zeitintervall für die Änderung der Geschwindigkeit des Triebwerks von Null auf, nehmen wir an, den Maximalwert von 16,75 m/s (139). Sie steht in Formel (143) und ist gleich 0,84 s. Wir stimmen Ihnen vorerst zu und ermitteln den Mittelwert des Stoßimpulses

Es stellt sich sofort die Frage: Warum ist die Größe des Stoßimpulses (146) kleiner als die Newtonsche Kraft von 50600 Tonnen? Die Antwort, Sie, liebe Mathematiker, nein. Gehen wir weiter.

Nach Newtons Dynamik ist die Hauptkraft, die dem Anheben des Triebwerks Widerstand leistet, die Schwerkraft. Da diese Kraft gegen die Bewegung des Triebwerks gerichtet ist, erzeugt sie eine Verzögerung, die gleich der Fallbeschleunigung ist. Dann ist die auf das nach oben fliegende Triebwerk wirkende Gravitationskraft gleich

Die Dynamik von Newton berücksichtigt keine anderen Kräfte, die die Wirkung der Newtonschen Kraft von 50600 Tonnen (144) verhinderten, und die Mechanodynamik behauptet, dass die Trägheitskraft gleich ist

Es stellt sich sofort die Frage: Wie kann man die Größe der Verzögerung der Bewegung des Triebwerks ermitteln? Newtons Dynamik schweigt, und die Mechanodynamik antwortet: Im Moment der Wirkung der Newtonschen Kraft, die das Triebwerk anhob, wurde ihr Widerstand geleistet: Schwerkraft und Trägheit, daher lautet die Gleichung der Kräfte, die in diesem Moment auf das Triebwerk wirken, wie folgt.