Kalkül der infinitesimalen und großen

Infinitesimalrechnung- Berechnungen mit infinitesimalen Werten, bei denen das abgeleitete Ergebnis als unendliche Summe von infinitesimalen Werten betrachtet wird. Die Infinitesimalrechnung ist ein allgemeiner Begriff für die Differential- und Integralrechnung, die die Grundlage der modernen höheren Mathematik bilden. Das Konzept einer infinitesimalen Größe ist eng mit dem Konzept einer Grenze verwandt.

Unendlich klein

Folge a n namens unendlich klein, Wenn . Beispielsweise ist eine Zahlenfolge unendlich klein.

Die Funktion wird aufgerufen infinitesimal in der Umgebung eines Punktes x 0 wenn .

Die Funktion wird aufgerufen unendlich klein im Unendlichen, Wenn oder .

Auch unendlich klein ist eine Funktion, die die Differenz zwischen einer Funktion und ihrem Grenzwert ist, also wenn , dann f(x) − a = α( x) , .

unendlich groß

Folge a n namens unendlich groß, Wenn .

Die Funktion wird aufgerufen unendlich groß in der Umgebung eines Punktes x 0 wenn .

Die Funktion wird aufgerufen unendlich groß im Unendlichen, Wenn oder .

In allen Fällen wird angenommen, dass die Unendlichkeit nach dem Gleichheitsrecht ein bestimmtes Vorzeichen hat (entweder „Plus“ oder „Minus“). Das ist zum Beispiel die Funktion x Sünde x ist nicht unendlich groß für .

Eigenschaften von Infinitesimalen und Infinitesimalen

Vergleich von Infinitesimalen

Wie vergleicht man unendlich kleine Mengen?
Das Verhältnis unendlich kleiner Größen bildet die sogenannte Unsicherheit.

Definitionen

Angenommen, wir haben unendlich klein für denselben Wert α( x) und β( x) (oder, was für die Definition nicht wichtig ist, infinitesimale Folgen).

Um solche Grenzen zu berechnen, ist es zweckmäßig, die Regel von L'Hospital zu verwenden.

Vergleichsbeispiele

Verwenden Ö-Symbole der erzielten Ergebnisse können in der folgenden Form geschrieben werden x 5 = Ö(x 3). In diesem Fall die Einträge 2x 2 + 6x = Ö(x) und x = Ö(2x 2 + 6x).

Äquivalente Mengen

Definition

Wenn , dann werden infinitesimale Größen α und β genannt gleichwertig ().
Offensichtlich sind äquivalente Größen ein Spezialfall von infinitesimalen Größen derselben Größenordnung.

Für , gelten die folgenden Äquivalenzrelationen: , , .

Satz

Die Grenze des Quotienten (Verhältnis) zweier infinitesimaler Größen ändert sich nicht, wenn eine von ihnen (oder beide) durch einen äquivalenten Wert ersetzt wird.

Dieser Satz ist von praktischer Bedeutung bei der Grenzwertfindung (siehe Beispiel).

Anwendungsbeispiel

Ersetzen sichn 2x Gegenwert 2 x, wir bekommen

Historischer Abriß

Der Begriff „unendlich klein“ wurde in der Antike im Zusammenhang mit dem Begriff der unteilbaren Atome diskutiert, fand aber keinen Eingang in die klassische Mathematik. Wiederbelebt wurde sie mit dem Aufkommen der „Methode der Unteilbarkeit“ im 16. Jahrhundert – der Unterteilung der zu untersuchenden Figur in infinitesimale Abschnitte.

Die Algebraisierung der Infinitesimalrechnung fand im 17. Jahrhundert statt. Sie begannen, als numerische Werte definiert zu werden, die kleiner als jeder endliche Wert (nicht Null) und dennoch nicht gleich Null sind. Die Kunst der Analyse bestand darin, eine Relation aufzustellen, die Infinitesimale (Differentiale) enthielt, und sie dann zu integrieren.

Mathematiker der alten Schule unterwarfen das Konzept unendlich klein harte Kritik. Michel Rolle schrieb, dass der neue Kalkül " Reihe brillanter Fehler»; Voltaire wies giftig darauf hin, dass dieses Kalkül die Kunst ist, Dinge zu berechnen und genau zu messen, deren Existenz nicht bewiesen werden kann. Sogar Huygens gab zu, dass er die Bedeutung von Differentialen höherer Ordnung nicht verstand.

Die Auseinandersetzungen in der Pariser Akademie der Wissenschaften über Fragen der Rechtfertigung von Analysen wurden so skandalös, dass die Akademie ihren Mitgliedern einmal verbot, überhaupt zu diesem Thema zu sprechen (dies betraf hauptsächlich Rolle und Varignon). 1706 zog Rolle seine Einwände öffentlich zurück, aber die Diskussionen gingen weiter.

1734 veröffentlichte der berühmte englische Philosoph, Bischof George Berkeley, eine aufsehenerregende Broschüre, bekannt unter dem abgekürzten Titel „ Analytiker". Sein vollständiger Name lautet: An den ungläubigen Mathematiker gerichteter Analytiker oder Diskurs, der untersucht, ob Gegenstand, Prinzipien und Schlussfolgerungen der modernen Analyse klarer wahrgenommen oder klarer abgeleitet werden als die religiösen Sakramente und Glaubensartikel».

Der Analyst enthielt eine witzige und in vielerlei Hinsicht faire Kritik an der Infinitesimalrechnung. Berkeley hielt die Analysemethode für unvereinbar mit der Logik und schrieb: „ So nützlich es auch sein mag, es kann nur als eine Art Vermutung angesehen werden; Geschicklichkeit, Kunst oder besser Ausflucht, aber nicht als Methode des wissenschaftlichen Beweises". Berkeley zitiert Newtons Satz über die Zunahme aktueller Mengen „ganz am Anfang ihrer Geburt oder ihres Verschwindens“ ironisch: „ sie sind weder endlich, noch infinitesimal, noch gar nichts. Könnten wir sie nicht Gespenster verstorbener Größen nennen? ... Und wie kann man überhaupt von der Beziehung zwischen Dingen sprechen, die keine Größe haben? ... Wer den zweiten oder dritten Fluss [Ableitung] verdauen kann, den zweiten oder dritten es scheint mir etwas in der Theologie zu bemängeln».

Es ist unmöglich, schreibt Berkeley, sich augenblickliche Geschwindigkeit vorzustellen, d. h. Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt und an einem bestimmten Punkt, weil das Konzept der Bewegung Konzepte von (endlichem Nicht-Null-) Raum und Zeit beinhaltet.

Wie kommt die Analyse zu den richtigen Ergebnissen? Berkeley kam zu dem Schluss, dass dies auf das Vorhandensein mehrerer Fehler in den analytischen Schlussfolgerungen der gegenseitigen Kompensation zurückzuführen ist, und veranschaulichte dies am Beispiel einer Parabel. Interessanterweise stimmten ihm einige bedeutende Mathematiker (z. B. Lagrange) zu.

Es entstand eine paradoxe Situation, in der Strenge und Fruchtbarkeit in der Mathematik einander überlagerten. Trotz der Verwendung illegaler Aktionen mit schlecht definierten Konzepten war die Anzahl direkter Fehler überraschend gering - die Intuition half. Und doch entwickelte sich die mathematische Analyse im Laufe des 18. Jahrhunderts schnell, ohne im Wesentlichen jede Rechtfertigung. Seine Wirksamkeit war erstaunlich und sprach für sich, aber die Bedeutung des Differentials war noch unklar. Besonders häufig wurden das infinitesimale Inkrement einer Funktion und ihr linearer Anteil verwechselt.

Während des gesamten 18. Jahrhunderts wurden enorme Anstrengungen unternommen, um die Situation zu korrigieren, und die besten Mathematiker des Jahrhunderts beteiligten sich daran, aber nur Cauchy konnte zu Beginn des 19. Jahrhunderts überzeugend die Grundlagen der Analysis schaffen. Er definierte die Grundbegriffe streng – Grenze, Konvergenz, Kontinuität, Differential usw., woraufhin die eigentlichen Infinitesimalzahlen aus der Wissenschaft verschwanden. Einige der verbleibenden Feinheiten werden später erklärt

Unendlich kleine Funktionen

Die Funktion %%f(x)%% wird aufgerufen unendlich klein(b.m.) für %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, wenn der Grenzwert der Funktion gleich Null ist, wenn das Argument dazu tendiert.

Das Konzept von b.m. Funktion ist untrennbar mit einem Hinweis auf eine Änderung ihres Arguments verbunden. Wir können über b.m sprechen. Funktionen für %%a \to a + 0%% und für %%a \to a - 0%%. Normalerweise b.m. Funktionen werden mit den Anfangsbuchstaben des griechischen Alphabets %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%% bezeichnet

Beispiele

1. Die Funktion %%f(x) = x%% ist b.m. bei %%x \to 0%%, weil seine Grenze bei %%a = 0%% Null ist. Nach dem Satz über den Zusammenhang zwischen zweiseitigem und einseitigem Limes ist diese Funktion b.m. sowohl mit %%x \to +0%% als auch mit %%x \to -0%%.
2. Funktion %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. mit %%x \to \infty%% (sowie mit %%x \to +\infty%% und mit %%x \to -\infty%%).

Eine konstante Zahl ungleich Null, egal wie klein ihr absoluter Wert ist, ist kein b.m. Funktion. Bei konstanten Zahlen ist die einzige Ausnahme die Null, da die Funktion %%f(x) \equiv 0%% eine Nullgrenze hat.

Satz

Die Funktion %%f(x)%% hat eine Endgrenze am Punkt %%a \in \overline(\mathbb(R))%% der verlängerten numerischen Linie, die genau dann gleich der Zahl %%b%% ist wenn diese Funktion gleich der Summe dieser Zahl %%b%% und b.m. Funktionen %%\alpha(x)%% mit %%x \to a%%, oder $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R). ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Eigenschaften infinitesimaler Funktionen

Für %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%% folgen nach den Regeln für den Grenzübergang folgende Aussagen:

1. Die Summe der Endzahl b.m. Funktionen für %%x \to a%% ist f.m. mit %%x \zu a%%.
2. Das Produkt einer beliebigen Anzahl von b.m. Funktionen für %%x \to a%% ist f.m. mit %%x \zu a%%.

Das Produkt von b.m. Funktionen bei %%x \to a%% und eine Funktion, die in einer punktierten Umgebung %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% des Punktes a begrenzt ist, ist b.m. mit %%x \zu einer %%-Funktion.

Es ist klar, dass das Produkt einer konstanten Funktion und b.m. bei %%x \to a%% gibt es b.m. Funktion bei %%x \to a%%.

Äquivalente infinitesimale Funktionen

Es werden unendlich kleine Funktionen %%\alpha(x), \beta(x)%% für %%x \to a%% aufgerufen gleichwertig und werden %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% geschrieben, wenn

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Satz über die Ersetzung von b.m. Funktionen gleichwertig

Seien %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. Funktionen bei %%x \to a%% und %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, dann $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ Grenzen_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Äquivalent b.m. Funktionen.

Sei %%\alpha(x)%% b.m. Funktion bei %%x \to a%%, dann

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Beispiel

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Unendlich große Funktionen

Die Funktion %%f(x)%% wird aufgerufen unendlich groß(b.b.) für %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, wenn die Funktion einen unendlichen Grenzwert hat, wie das Argument dazu tendiert.

Wie b.m. funktioniert das Konzept von b.b. Funktion ist untrennbar mit einem Hinweis auf eine Änderung ihres Arguments verbunden. Wir können über b.b sprechen. funktioniert bei %%x \to a + 0%% und %%x \to a - 0%%. Der Begriff "unendlich groß" bedeutet nicht den absoluten Wert der Funktion, sondern die Art ihrer Änderung in der Nähe des betrachteten Punktes. Keine konstante Zahl, wie groß ihr absoluter Wert auch sein mag, ist unendlich groß.

Beispiele

1. Funktion %%f(x) = 1/x%% - b.b. bei %%x \bis 0%%.
2. Funktion %%f(x) = x%% - b.b. bei %%x \to \infty%%.

Wenn die Bedingungen der Definitionen $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(array) $$

dann reden sie darüber positiv oder Negativ bb bei %%a%% Funktion.

Beispiel

Die Funktion %%1/(x^2)%% ist ein positives b.b. bei %%x \bis 0%%.

Die Verbindung zwischen b.b. und b.m. Funktionen

Wenn %%f(x)%% b.b. wenn %%x \to a%% eine Funktion ist, dann ist %%1/f(x)%% b.m.

mit %%x \zu a%%. Wenn %%\alpha(x)%% b.m. denn %%x \to a%% ist eine Funktion ungleich Null in einer punktierten Umgebung des Punktes %%a%%, dann ist %%1/\alpha(x)%% b.b. mit %%x \zu a%%.

Eigenschaften unendlich großer Funktionen

Lassen Sie uns einige Eigenschaften von b.b vorstellen. Funktionen. Diese Eigenschaften folgen direkt aus der Definition von b.b. Funktionen und Eigenschaften von Funktionen, die endliche Grenzen haben, sowie aus dem Verbindungssatz zwischen b.b. und b.m. Funktionen.

1. Das Produkt einer endlichen Zahl b.b. Funktionen für %%x \to a%% sind b.b. Funktion bei %%x \to a%%. In der Tat, wenn %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% ist b.b. funktioniert bei %%x \to a%%, dann in einer punktierten Nachbarschaft des Punktes %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, und nach dem Verbindungssatz b.b. und b.m. Funktionen %%1/f_k(x)%% - b.m. Funktion bei %%x \to a%%. Es stellt sich heraus, dass %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% eine b.m-Funktion für %%x \to a%% ist und %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. Funktion bei %%x \to a%%.
2. Das Produkt von b.b. Funktionen bei %%x \to a%% und eine Funktion, deren Absolutwert größer als eine positive Konstante in einer punktierten Umgebung des Punktes %%a%% ist, ist ein b.b. Funktion bei %%x \to a%%. Insbesondere das Produkt von b.b. Funktionen bei %%x \to a%% und eine Funktion, die eine endliche Grenze ungleich Null am Punkt %%a%% hat, wird b.b. Funktion bei %%x \to a%%.

Die Summe einer Funktion, die in einer punktierten Umgebung des Punktes %%a%% und b.b. Funktionen bei %%x \to a%% sind b.b. Funktion bei %%x \to a%%.

Beispielsweise sind die Funktionen %%x - \sin x%% und %%x + \cos x%% b.b. bei %%x \to \infty%%.

3. Die Summe von zwei b.b. Funktionen bei %%x \to a%% gibt es Unsicherheit. Je nach Vorzeichen der Terme kann die Art der Veränderung einer solchen Summe sehr unterschiedlich sein.

   Beispiel

   Seien die Funktionen %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funktioniert bei %%x \to \infty%%. Dann:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. Funktion bei %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. Funktion bei %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% hat keine Begrenzung bei %%x \to \infty%%.

Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Unendlich klein- eine numerische Funktion oder Folge, die gegen Null geht.

unendlich groß- eine numerische Funktion oder Folge, die dazu tendiert Unendlichkeit ein bestimmtes Zeichen.

Kalkül der infinitesimalen und großen

Infinitesimalrechnung- Berechnungen mit infinitesimalen Werten, bei denen das abgeleitete Ergebnis als unendlich betrachtet wird Summe unendlich klein. Infinitesimalrechnung ist ein allgemeines Konzept für Differential und Integralrechnung, die die Grundlage der modernen bilden höhere Mathematik. Der Begriff einer infinitesimalen Größe ist eng mit dem Begriff verwandt Grenze.

Unendlich klein

Folge $ein$ namens unendlich klein, Wenn $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=0$. Zum Beispiel die Zahlenfolge $a\_n=\backslash dfrac(1)(n)$- unendlich klein.

Die Funktion wird aufgerufen infinitesimal in der Umgebung eines Punktes $x\_0$, Wenn $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=0$.

Die Funktion wird aufgerufen unendlich klein im Unendlichen, Wenn $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=0$ oder $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=0$.

Auch unendlich klein ist eine Funktion, die die Differenz zwischen einer Funktion und ihrem Grenzwert ist, also wenn $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=a$, dann $f(x)-a=\backslash alpha(x)$, $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)(f(x)-a)=0$.

Wir betonen, dass eine infinitesimale Menge verstanden werden sollte als Variable(Funktion), die nur ist im Veränderungsprozess[beim Streben $x$ zu $a$(aus $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)f(x)=0$)] kleiner als eine beliebige Zahl ( $\backslash varepsilon$). Daher ist beispielsweise eine Aussage wie „ein Millionstel ist eine unendlich kleine Größe“ falsch: o einschließlich[Absolutwert] es macht keinen Sinn zu sagen, dass es infinitesimal ist.

unendlich groß

In allen folgenden Formeln impliziert die Unendlichkeit rechts von der Gleichheit ein bestimmtes Vorzeichen (entweder „Plus“ oder „Minus“). Das ist zum Beispiel die Funktion $x\backslash sin\; x$, auf beiden Seiten unbeschränkt, ist nicht unendlich groß für $x\backslash to+\backslash infty$.

Folge $ein$ namens unendlich groß, Wenn $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=\backslash infty$.

Die Funktion wird aufgerufen unendlich groß in der Umgebung eines Punktes $x\_0$, Wenn $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=\backslash infty$.

Die Funktion wird aufgerufen unendlich groß im Unendlichen, Wenn $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash bis+\backslash infty)f(x)=\backslash infty$ oder $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=\backslash infty$.

Wie bei den Infinitesimalen ist zu beachten, dass kein einzelner Wert einer unendlich großen Menge als „unendlich groß“ bezeichnet werden kann – eine unendlich große Menge ist es Funktion, das ist nur im Veränderungsprozess kann größer als eine beliebige Zahl sein.

Eigenschaften von Infinitesimalen

• Die algebraische Summe endlich vieler unendlich kleiner Funktionen ist eine unendlich kleine Funktion.
• Das Produkt von Infinitesimalen ist Infinitesimal.
• Das Produkt einer infinitesimalen Folge durch eine beschränkte ist infinitesimal. Folglich ist das Produkt eines Infinitesimal durch eine Konstante ein Infinitesimal.
• Wenn ein $ein$ ist dann eine infinitesimale vorzeichenerhaltende Folge $b\_n=\backslash dfrac(1)(a\_n)$ ist eine unendlich große Folge.

Vergleich von Infinitesimalen

Definitionen

Angenommen, wir haben Infinitesimale für dasselbe $x\backslash zu\; a$ Mengen $\backslash alpha(x)$ und $\backslash beta(x)$(oder, was für die Definition nicht wichtig ist, infinitesimale Folgen).

• Wenn ein $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=0$, dann $\backslash Beta$- unendlich klein höhere Ordnung der Kleinheit, wie $\backslash Alpha$. benennen $\backslash beta=o(\backslash alpha)$ oder $\backslash beta\backslash prec\backslash alpha$.
• Wenn ein $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=\backslash infty$, dann $\backslash Beta$- unendlich klein die niedrigste Ordnung der Kleinheit, wie $\backslash Alpha$. Bzw $\backslash alpha=o(\backslash beta)$ oder $\backslash alpha\backslash prec\backslash beta$.
• Wenn ein $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=c$(die Grenze ist endlich und ungleich 0), dann $\backslash Alpha$ und $\backslash Beta$ sind infinitesimale Größen eine Größenordnung. Dies wird als bezeichnet $\backslash alpha\backslash asymp\backslash beta$ oder als gleichzeitige Ausführung von Beziehungen $\backslash beta=O(\backslash alpha)$ und $\backslash alpha=O(\backslash beta)$. Es sei darauf hingewiesen, dass man in einigen Quellen auf eine Bezeichnung stoßen kann, wenn die Gleichheit von Ordnungen in Form nur eines „großen o“-Verhältnisses geschrieben wird, was eine freie Verwendung dieses Symbols ist.
• Wenn ein $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha^m)=c$(die Grenze ist endlich und ungleich 0), dann die infinitesimale Menge $\backslash Beta$ Es hat $m$-te Ordnung der Kleinheit relativ verschwindend klein $\backslash Alpha$.

Um solche Grenzen zu berechnen, ist es bequem zu verwenden Die Regel von L'Hopital.

Vergleichsbeispiele

• Beim $(x\backslash bis\; 0)$ Größe $x^5$ hat die höchste Ordnung der Kleinheit in Bezug auf $x^3$, als $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^5)(x^3)=0$. Andererseits, $x^3$ hat die niedrigste Ordnung der Kleinheit in Bezug auf $x^5$, als $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^3)(x^5)=\backslash infty$.

Verwenden Ö-Symbole die erhaltenen Ergebnisse können in der folgenden Form geschrieben werden $x^5=o(x^3)$.

• $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^2+6x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x+6)(1)=\backslash lim\backslash limits\_(x\; \backslash bis\; 0)(2x+6)=6,$ das ist wenn $x\; auf\; 0$ Funktionen $f(x)=2x^2+6x$ und $g(x)=x$ sind infinitesimale Mengen derselben Größenordnung.

In diesem Fall die Einträge $2x^2+6x\; =\; O(x)$ und $x\; =\; O(2x^2+6x).$

• Beim $(x\backslash bis\; 0)$ unendlich klein $2x^3$ hat die dritte Ordnung der Kleinheit in Bezug auf $x$, soweit $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^3)(x^3)=2$, unendlich klein $0(,)7x^2$- zweiter Ordnung, infinitesimal $\backslash sqrt(x)$- Bestellung 0,5.

Äquivalente Mengen

Definition

Wenn ein $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=1$, dann unendlich kleine oder unendlich große Mengen $\backslash Alpha$ und $\backslash Beta$ namens gleichwertig(bezeichnet als $\backslash alpha\backslash thicksim\backslash beta$).

Äquivalente Mengen sind offensichtlich ein Sonderfall unendlich kleiner (unendlich großer) Mengen gleicher Kleinheitsordnung.

Beim $$ es gelten die folgenden Äquivalenzrelationen (als Folge der sog wunderbare Grenzen):

• $\backslash sin\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash arcsin(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(arctg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash log\_a(1+\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash frac(1)(\backslash ln(a))$, wo $a>0$;
• $\backslash ln(1+\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $a^(\backslash alpha(x))-1\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash ln(a)$, wo $a>0$;
• $e^(\backslash alpha(x))-1\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $1-\backslash cos(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash frac(\backslash alpha^2(x))(2);$
• $(1+\backslash alpha(x))^\backslash mu-1\backslash thicksim\backslash mu\backslash cdot\backslash alpha(x),\backslash quad\backslash mu\backslash in\backslash R$, verwenden Sie also den Ausdruck:

$\backslash sqrt[n](1+\backslash alpha(x))\backslash approx\backslash frac(\backslash alpha(x))(n)+1$, wo $\backslash alpha(x)\backslash xrightarrow()0$.

Satz

Die Grenze des Quotienten (Verhältnis) zweier unendlich kleiner oder unendlich großer Größen ändert sich nicht, wenn eine von ihnen (oder beide) durch einen äquivalenten Wert ersetzt wird.

Dieser Satz ist von praktischer Bedeutung bei der Grenzwertfindung (siehe Beispiel).

Anwendungsbeispiele

• Finden $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x).$

Ersetzen $\backslash sin\; 2x$ gleichwertiger Wert $2x$, wir bekommen $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x)(x)=2.$

• Finden $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x).$

Als $\backslash sin(4\backslash cos\; x)\backslash thicksim(4\backslash cos\; x)$ beim $x\backslash to\backslash dfrac(\backslash pi)(2)$ wir bekommen $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; \backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)\; (2))\backslash dfrac(4\backslash cos\; x)(\backslash cos\; x)=4.$

• Berechnung $\backslash sqrt(1(,)2)$.

Mit der Formel : $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash approx\; 1+\backslash frac(0(,)2)(2)=1(,)1$, während dem Benutzen Taschenrechner(genauere Berechnungen) erhalten wir: $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash approx\; 1(,)095$, somit betrug der Fehler 0,005 (weniger als 1 %), d. h. die Methode ist aufgrund ihrer Einfachheit für eine grobe Abschätzung geeignet arithmetische Wurzeln der Einigkeit nahe.

Geschichte

Mathematiker der alten Schule unterwarfen das Konzept unendlich klein harte Kritik. Michelle Rolle schrieb, dass der neue Kalkül " Reihe brillanter Fehler»; Voltaire wies darauf hin, dass dieser Kalkül die Kunst ist, Dinge zu berechnen und genau zu messen, deren Existenz nicht bewiesen werden kann. Sogar Huygens gab zu, den Sinn nicht verstanden zu haben Differentiale höherer Ordnung.

Als Ironie des Schicksals kann man den Auftritt in der Mitte betrachten XX Jahrhundert nicht standardmäßige Analyse, der bewies, dass die ursprüngliche Sichtweise – die eigentlichen Infinitesimalen – ebenfalls konsistent ist und die Grundlage der Analyse sein könnte. Mit dem Aufkommen der Nicht-Standard-Analyse wurde klar, warum Mathematiker des 18. Jahrhunderts, die aus Sicht der klassischen Theorie illegale Handlungen durchführten, dennoch korrekte Ergebnisse erhielten.

siehe auch

Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Infinitesimal und unendlich groß"

Anmerkungen

Literatur

• // Enzyklopädisches Wörterbuch von Brockhaus und Efron: in 86 Tonnen (82 Tonnen und 4 zusätzliche). - St. Petersburg. , 1890-1907.

Ein Auszug, der das Infinitesimale und das unendlich Große charakterisiert

"Nun, mein Freund, ich fürchte, Sie und der Mönch verschwenden Ihr Schießpulver", sagte Prinz Andrei spöttisch, aber liebevoll.
- Ach! Mein Freund. [SONDERN! Mein Freund.] Ich bete nur zu Gott und hoffe, dass er mich hört. Andre“, sagte sie schüchtern nach einem Moment des Schweigens, „ich habe eine große Bitte an dich.
- Was mein Freund?
Nein, versprich mir, dass du nicht ablehnen wirst. Es wird dich keine Arbeit kosten, und es wird nichts Unwürdiges daran sein. Nur du kannst mich trösten. Versprich es, Andryusha, - sagte sie und steckte ihre Hand in die Handtasche und hielt etwas darin, aber noch nicht sichtbar, als ob das, was sie hielt, Gegenstand der Bitte war und als ob sie das Versprechen in Erfüllung der Bitte erhalten hätte konnte es nicht aus der Handtasche entfernen Es ist etwas.
Sie sah ihren Bruder schüchtern und flehentlich an.
"Wenn es mich viel Arbeit kosten würde ...", antwortete Prinz Andrei, als würde er erraten, was los war.
- Was immer Sie wollen, denken Sie! Ich weiß, du bist genauso wie mon pere. Denken Sie, was Sie wollen, aber tun Sie es für mich. Mach es bitte! Der Vater meines Vaters, unser Großvater, trug es in allen Kriegen ... - Sie bekam immer noch nicht, was sie aus ihrer Handtasche hielt. "Also versprichst du es mir?"
"Natürlich, was ist los?"
- Andre, ich werde dich mit dem Bild segnen, und du versprichst mir, dass du es niemals abnehmen wirst. Versprechen?
"Wenn er seinen Hals nicht auf zwei Pfund herunterzieht ... Um Ihnen zu gefallen ...", sagte Prinz Andrei, aber im selben Moment bemerkte er den verzweifelten Ausdruck, den das Gesicht seiner Schwester bei diesem Witz annahm, und bereute. „Sehr froh, wirklich sehr froh, mein Freund“, fügte er hinzu.
„Gegen deinen Willen wird Er dich erretten und sich deiner erbarmen und dich zu sich wenden, denn in Ihm allein ist Wahrheit und Friede“, sagte sie mit vor Aufregung zitternder Stimme, mit einer feierlichen Geste, die sie in beiden Händen vor sich hielt Bruder eine ovale antike Ikone des Erlösers mit schwarzem Gesicht in silberner Kasel an einer silbernen Kette von feiner Verarbeitung.
Sie bekreuzigte sich, küsste die Ikone und reichte sie Andrej.
– Bitte, Andre, für mich …
Strahlen freundlichen und schüchternen Lichts strahlten aus ihren großen Augen. Diese Augen erleuchteten das ganze kränkliche, magere Gesicht und machten es schön. Der Bruder wollte das Skapulier nehmen, aber sie hinderte ihn daran. Andrei verstand, bekreuzigte sich und küsste die Ikone. Sein Gesicht war gleichzeitig sanft (er war gerührt) und spöttisch.
- Merci, mein Freund. [Danke mein Freund.]
Sie küsste ihn auf die Stirn und setzte sich wieder auf das Sofa. Sie schwiegen.
- Also habe ich dir gesagt, Andre, sei freundlich und großzügig, wie du es immer warst. Verurteile Lise nicht hart, begann sie. - Sie ist so süß, so nett, und ihre Lage ist jetzt sehr schwierig.
- Es scheint, dass ich dir nichts gesagt habe, Mascha, damit ich meiner Frau irgendetwas vorwerfe oder mit ihr unzufrieden bin. Warum erzählst du mir das alles?
Prinzessin Mary errötete stellenweise und verstummte, als hätte sie Schuldgefühle.
„Ich habe dir nichts gesagt, aber es wurde dir schon gesagt. Und es macht mich traurig.
Auf Stirn, Hals und Wangen von Prinzessin Marya traten noch stärker rote Flecken auf. Sie wollte etwas sagen und konnte es nicht aussprechen. Der Bruder riet richtig: Die kleine Prinzessin weinte nach dem Abendessen, sagte, sie sehe eine unglückliche Geburt voraus, habe Angst vor ihnen und klagte über ihr Schicksal, ihren Schwiegervater und ihren Ehemann. Nachdem sie geweint hatte, schlief sie ein. Prinz Andrei hatte Mitleid mit seiner Schwester.
- Wisse eines, Mascha, ich kann meiner Frau keinen Vorwurf machen, habe ihr keinen Vorwurf gemacht und werde sie nie vorwerfen, und ich selbst kann mir nichts in Bezug auf sie vorwerfen; und es wird immer so sein, unter welchen Umständen ich auch sein mag. Aber wenn du die Wahrheit wissen willst... willst du wissen, ob ich glücklich bin? Nein. Ist sie glücklich? Nein. Warum ist das? Weiß nicht…
Mit diesen Worten stand er auf, ging zu seiner Schwester, beugte sich nieder und küßte sie auf die Stirn. Seine schönen Augen leuchteten mit einem intelligenten und freundlichen, ungewohnten Glanz, aber er blickte nicht auf seine Schwester, sondern durch ihren Kopf in das Dunkel der offenen Tür.
- Gehen wir zu ihr, wir müssen uns verabschieden. Oder geh alleine, wecke sie auf und ich komme sofort. Petersilie! rief er dem Kammerdiener zu: „Komm her, mach sauber.“ Es ist im Sitz, es ist auf der rechten Seite.
Prinzessin Marya stand auf und ging zur Tür. Sie stoppte.
Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu "il vous donne l" amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Wenn du Glauben hättest, würdest du dich mit einem Gebet an Gott wenden, damit Er dir Liebe gibt, die du nicht fühlst, und dein Gebet erhört wird.]
- Ja, ist es! - sagte Prinz Andrew. - Geh, Mascha, ich komme gleich.
Auf dem Weg zum Zimmer seiner Schwester, in der Galerie, die ein Haus mit dem anderen verband, traf Prinz Andrej eine süß lächelnde m lle Bourienne, zum dritten Mal an diesem Tag mit einem begeisterten und naiven Lächeln, das ihm in abgelegenen Gängen begegnete.
- Ach! je vous croyais chez vous, [Ah, ich dachte, du wärst in deinem Zimmer], sagte sie, errötete aus irgendeinem Grund und senkte die Augen.
Prinz Andrei sah sie streng an. Wut erschien plötzlich auf dem Gesicht von Prinz Andrei. Er sagte nichts zu ihr, sondern betrachtete ihre Stirn und ihr Haar, ohne ihr in die Augen zu sehen, so verächtlich, daß die Französin errötete und wortlos ging.
Als er sich dem Zimmer seiner Schwester näherte, war die Prinzessin schon wach, und ihre fröhliche Stimme, ein Wort nach dem anderen eilend, hörte man von der offenen Tür. Sie sprach, als wolle sie nach langer Abstinenz Versäumtes nachholen.
- Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees ... [Nein, stellen Sie sich vor, alte Gräfin Zubova, mit falschen Locken, mit falschen Zähnen, als würde man die Jahre verspotten…] Xa, xa, xa, Marieie!
Genau den gleichen Satz über Gräfin Zubova und das gleiche Lachen hatte Prinz Andrei von seiner Frau bereits fünfmal vor Fremden gehört.
Leise betrat er den Raum. Die Prinzessin, rundlich, rot, mit Arbeit in den Händen, saß auf einem Sessel und redete ununterbrochen, sortierte Petersburger Erinnerungen und sogar Phrasen. Prinz Andrej kam heran, strich ihr über den Kopf und fragte, ob sie sich von der Reise ausgeruht habe. Sie antwortete und setzte das gleiche Gespräch fort.
Der Rollstuhl stand am Eingang. Draußen war es eine dunkle Herbstnacht. Der Kutscher sah die Deichsel des Wagens nicht. Leute mit Laternen wuselten auf der Veranda herum. Das riesige Haus brannte mit Lichtern durch seine großen Fenster. In der Halle drängten sich die Höfe, die sich von dem jungen Prinzen verabschieden wollten; der ganze Haushalt stand in der Halle: Michail Iwanowitsch, m lle Bourienne, Prinzessin Mary und die Prinzessin.
Prinz Andrei wurde in das Büro seines Vaters gerufen, der sich von Angesicht zu Angesicht von ihm verabschieden wollte. Alle warteten darauf, dass sie herauskamen.
Als Fürst Andrej das Büro betrat, saß der alte Fürst mit einer Greisebrille und in seinem weißen Kittel, in dem er außer seinem Sohn niemanden empfing, am Tisch und schrieb. Er blickte zurück.
- Werden Sie? Und er fing wieder an zu schreiben.
- Ich bin gekommen, um mich zu verabschieden.
- Kuss hier, - er zeigte seine Wange, - danke, danke!
- Wofür danken Sie mir?
- Weil du nicht zu lange bleibst, hältst du dich nicht am Rock einer Frau fest. Dienst zuerst. Danke Danke! Und er schrieb weiter, so dass die Gischt aus der knisternden Feder flog. - Wenn Sie etwas sagen müssen, sagen Sie es. Diese beiden Dinge kann ich zusammen tun“, fügte er hinzu.
„Über meine Frau … ich schäme mich so, dass ich sie in deinen Armen lasse …“
- Was lügst du? Sagen Sie, was Sie brauchen.
- Wenn Ihre Frau Zeit hat, zu gebären, schicken Sie einen Geburtshelfer nach Moskau ... Damit er hier ist.
Der alte Prinz blieb stehen und starrte seinen Sohn, als verstünde er ihn nicht, mit strengen Augen an.
„Ich weiß, dass niemand helfen kann, wenn die Natur nicht hilft“, sagte Prinz Andrej offenbar verlegen. „Ich stimme zu, dass einer von einer Million Fällen unglücklich ist, aber das ist ihre Fantasie und meine. Sie sagten ihr, sie habe es in einem Traum gesehen und sie habe Angst.
„Hm … hm …“, sagte der alte Prinz zu sich selbst und schrieb weiter. - Ich werde.
Er strich die Unterschrift durch, drehte sich plötzlich schnell zu seinem Sohn um und lachte.
- Es ist schlecht, nicht wahr?
- Was ist los, Vater?
- Ehefrau! sagte der alte Prinz kurz und bedeutend.
"Ich verstehe nicht", sagte Prinz Andrei.
"Ja, es gibt nichts zu tun, mein Freund", sagte der Prinz, "sie sind alle so, du wirst nicht heiraten." Sei nicht ängstlich; Ich werde es niemandem erzählen; und du selbst weißt es.
Er ergriff seine Hand mit seinem knochigen Händchen, schüttelte sie, sah seinem Sohn mit seinen schnellen Augen, die den Mann zu durchschauen schienen, direkt ins Gesicht und lachte wieder sein kaltes Lachen.
Der Sohn seufzte und gestand damit, dass sein Vater ihn verstand. Der alte Mann faltete und druckte weiterhin Briefe mit seiner gewohnten Geschwindigkeit, schnappte und warf Siegelwachs, Siegel und Papier.
- Was zu tun ist? Wunderschönen! Ich werde alles tun. Du bleibst ruhig“, sagte er knapp, während er tippte.
Andrey schwieg: es war ihm sowohl angenehm als auch unangenehm, dass sein Vater ihn verstand. Der alte Mann stand auf und reichte den Brief seinem Sohn.
„Hören Sie“, sagte er, „machen Sie sich keine Sorgen um Ihre Frau: Was getan werden kann, wird getan werden.“ Hören Sie jetzt zu: Geben Sie Michail Ilarionowitsch den Brief. Ich schreibe, er wird Sie an guten Stellen einsetzen und Sie nicht lange als Adjutanten behalten: eine schlechte Stellung! Sag ihm, dass ich mich an ihn erinnere und ihn liebe. Ja, schreiben Sie, wie er Sie akzeptieren wird. Wenn es gut ist, servieren. Der Sohn von Nikolai Andreich Bolkonsky wird aus Gnade niemandem dienen. Nun, jetzt komm her.
Er sprach so schnell, dass er nicht einmal die Hälfte der Worte zu Ende brachte, aber der Sohn war daran gewöhnt, ihn zu verstehen. Er führte seinen Sohn zur Kommode, schlug den Deckel zurück, zog eine Schublade heraus und nahm ein Notizbuch heraus, das mit seiner großen, langen, prägnanten Handschrift bedeckt war.
„Ich muss vor dir sterben.“ Wisse, dass hier meine Notizen sind, um sie nach meinem Tod dem Souverän zu übergeben. Jetzt hier - hier ist ein Pfandschein und ein Brief: Dies ist ein Preis für denjenigen, der die Geschichte der Suworow-Kriege schreibt. Bei der Akademie einreichen. Hier sind meine Bemerkungen, nachdem ich selbst gelesen habe, werden Sie etwas Nützliches finden.
Andrei sagte seinem Vater nicht, dass er wahrscheinlich noch lange leben würde. Er wusste, dass er das nicht sagen musste.
„Ich werde alles tun, Vater“, sagte er.
- Nun, auf Wiedersehen! Er ließ sich von seinem Sohn die Hand küssen und umarmte ihn. „Denken Sie an eines, Prinz Andrei: Wenn sie Sie töten, wird der alte Mann mich verletzen ...“ Er verstummte plötzlich und fuhr plötzlich mit lauter Stimme fort: „Und wenn ich herausfinde, dass Sie sich nicht wie der Sohn von benommen haben Nikolai Bolkonsky, ich werde mich schämen! er schrie.
„Das kannst du mir nicht sagen, Vater“, sagte der Sohn lächelnd.
Der alte Mann schwieg.
"Ich wollte Sie auch fragen", fuhr Prinz Andrei fort, "wenn sie mich töten und wenn ich einen Sohn habe, lassen Sie ihn nicht von Ihnen gehen, wie ich Ihnen gestern gesagt habe, damit er bei Ihnen aufwächst ... bitte.
- Geben Sie es Ihrer Frau nicht? sagte der alte Mann und lachte.
Sie standen einander schweigend gegenüber. Die flinken Augen des alten Mannes waren direkt auf die Augen seines Sohnes gerichtet. Etwas zuckte im unteren Teil des Gesichts des alten Prinzen.
- Auf Wiedersehen ... gehen! sagte er plötzlich. - Aufstehen! rief er mit wütender und lauter Stimme und öffnete die Tür zum Arbeitszimmer.
- Was ist was? fragten die Prinzessin und die Prinzessin und sahen Prinz Andrei und für einen Moment die Gestalt eines alten Mannes in einem weißen Mantel, ohne Perücke und mit einer Brille eines alten Mannes, der sich mit wütender Stimme vorbeugte und mit wütender Stimme schrie.
Prinz Andrei seufzte und antwortete nicht.
„Nun“, sagte er und wandte sich an seine Frau.
Und dieses „gut“ klang wie ein kalter Hohn, als würde er sagen: „jetzt machst du deine Tricks.“
André, deja! [Andrey, schon!] - sagte die kleine Prinzessin, wurde blass und sah ihren Mann mit Angst an.
Er umarmte sie. Sie schrie und fiel bewusstlos auf seine Schulter.
Er zog sanft die Schulter zurück, auf der sie lag, sah ihr ins Gesicht und setzte sie vorsichtig auf einen Stuhl.
- Adieu, Marieie, [Leb wohl, Mascha,] - sagte er leise zu seiner Schwester, küsste sie Hand in Hand und verließ schnell das Zimmer.
Die Prinzessin lag in einem Sessel, Mlle Bourienne rieb sich die Schläfen. Prinzessin Mary, die ihre Schwiegertochter mit tränenreichen, schönen Augen stützte, blickte immer noch auf die Tür, durch die Prinz Andrei hinausging und ihn taufte. Aus dem Arbeitszimmer hörte man wie Schüsse die oft wiederholten wütenden Geräusche des Naseputzens des alten Mannes. Sobald Prinz Andrei gegangen war, öffnete sich schnell die Tür des Büros und eine strenge Gestalt eines alten Mannes in einem weißen Kittel schaute heraus.
- Links? OK gut! sagte er, sah die gefühllose kleine Prinzessin böse an, schüttelte vorwurfsvoll den Kopf und knallte die Tür zu.

Im Oktober 1805 besetzten russische Truppen die Dörfer und Städte des Erzherzogtums Österreich, und weitere neue Regimenter kamen aus Russland und bedrängten die Bewohner mit Einquartierungen und wurden in der Nähe der Festung Braunau stationiert. In Braunau befand sich die Hauptwohnung des Oberbefehlshabers Kutuzov.
Am 11. Oktober 1805 stand eines der Infanterieregimenter, die gerade in Braunau angekommen waren und auf die Überprüfung des Oberbefehlshabers warteten, eine halbe Meile vor der Stadt. Trotz des nichtrussischen Geländes und der Situation (Obstgärten, Steinzäune, Ziegeldächer, in der Ferne sichtbare Berge) sah das Regiment für die nichtrussischen Leute, die die Soldaten neugierig ansahen, genau so aus wie jedes russische Regiment, das sich vorbereitete für eine Show irgendwo mitten in Russland.

Definitionen und Eigenschaften von unendlich kleinen und unendlich großen Funktionen an einem Punkt. Beweise von Eigenschaften und Theoremen. Zusammenhang zwischen infinitesimalen und unendlich großen Funktionen.

Inhalt

Siehe auch: Unendlich kleine Sequenzen - Definition und Eigenschaften
Eigenschaften unendlich großer Folgen

Definition von infinitesimalen und unendlich großen Funktionen

Sei x 0 ist ein endlicher oder unendlicher Punkt: ∞ , -∞ oder +∞ .

Definition einer infinitesimalen Funktion
Funktion α (x) namens unendlich klein da x zu x tendiert 0 0 , und es ist gleich Null:
.

Definition einer unendlichen Funktion
Funktion f (x) namens unendlich groß da x zu x tendiert 0 , wenn die Funktion für x → x einen Grenzwert hat 0 , und es ist gleich unendlich:
.

Eigenschaften infinitesimaler Funktionen

Eigenschaft von Summe, Differenz und Produkt von infinitesimalen Funktionen

Summe, Differenz und Produkt eine endliche Anzahl unendlich kleiner Funktionen für x → x 0 ist eine infinitesimale Funktion für x → x 0 .

Diese Eigenschaft ist eine direkte Folge der arithmetischen Eigenschaften der Grenzen einer Funktion.

Satz über das Produkt einer beschränkten Funktion durch ein Infinitesimal

Das Produkt einer beschränkten Funktion auf einer punktierten Umgebung des Punktes x 0 , zu einem infinitesimalen, da x → x 0 , ist eine infinitesimale Funktion für x → x 0 .

Eigenschaft zur Darstellung einer Funktion als Summe einer Konstanten und einer infinitesimalen Funktion

Damit die Funktion f (x) hat eine endliche Grenze, es ist notwendig und ausreichend, dass
,
wo ist eine infinitesimale Funktion als x → x 0 .

Eigenschaften unendlich großer Funktionen

Satz über die Summe einer beschränkten Funktion und einer unendlich großen

Die Summe oder Differenz einer beschränkten Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes x 0 , und eine unendlich große Funktion, da x → x 0 , ist eine unendliche Funktion für x → x 0 .

Der Quotientensatz für eine durch eine unendlich große beschränkte Funktion

Wenn die Funktion f (x) ist unendlich für x → x 0 , und die Funktion g (x)- Begrenzt auf eine punktierte Umgebung des Punktes x 0 , dann
.

Satz über den Quotienten der Teilung einer nach unten durch eine infinitesimale Funktion begrenzten Funktion

Wenn die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes von unten durch eine positive Zahl im Absolutwert begrenzt wird:
,
und die Funktion ist infinitesimal für x → x 0 :
,
und es gibt eine punktierte Umgebung des Punktes, auf dem dann
.

Eigenschaft von Ungleichungen unendlich großer Funktionen

Wenn die Funktion unendlich groß ist für:
,
und Funktionen und erfüllen in einer punktierten Umgebung des Punktes die Ungleichung:
,
dann ist die Funktion auch unendlich groß für:
.

Diese Eigenschaft hat zwei Spezialfälle.

Lassen Sie auf einer punktierten Umgebung des Punktes die Funktionen und die Ungleichung erfüllen:
.
Dann wenn , dann und .
Wenn , dann und .

Zusammenhang zwischen unendlich großen und unendlich kleinen Funktionen

Der Zusammenhang zwischen unendlich großen und unendlich kleinen Funktionen folgt aus den beiden vorherigen Eigenschaften.

Wenn eine Funktion bei unendlich groß ist, dann ist die Funktion bei unendlich klein.

Wenn die Funktion für und unendlich klein ist, dann ist die Funktion für unendlich groß.

Der Zusammenhang zwischen einer infinitesimalen und einer unendlich großen Funktion lässt sich symbolisch ausdrücken:
, .

Wenn eine infinitesimale Funktion ein bestimmtes Vorzeichen bei hat, das heißt, sie ist positiv (oder negativ) in einer punktierten Umgebung des Punktes , dann kann sie wie folgt geschrieben werden:
.
Wenn eine unendlich große Funktion ein bestimmtes Vorzeichen bei hat, schreiben sie in ähnlicher Weise:
, oder .

Dann kann der symbolische Zusammenhang zwischen unendlich kleinen und unendlich großen Funktionen durch folgende Relationen ergänzt werden:
, ,
, .

Weitere Formeln zu Unendlichkeitszeichen finden Sie auf der Seite
"Punkte im Unendlichen und ihre Eigenschaften".

Beweis von Eigenschaften und Theoremen

Beweis des Satzes über das Produkt einer beschränkten Funktion durch ein Infinitesimal

Um diesen Satz zu beweisen, verwenden wir . Wir nutzen auch die Eigenschaft von infinitesimalen Folgen, wonach

Lassen Sie die Funktion bei unendlich klein sein und die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes begrenzt sein:
beim .

Da es einen Grenzwert gibt, gibt es eine punktierte Umgebung des Punktes, an dem die Funktion definiert ist. Es gebe eine Schnittmenge von Nachbarschaften und . Darauf werden dann die Funktionen und definiert.

.
,
eine Folge ist infinitesimal:
.

Wir nutzen die Tatsache, dass das Produkt einer beschränkten Folge durch eine infinitesimale Folge eine infinitesimale Folge ist:
.
.

Der Satz ist bewiesen.

Beweis einer Eigenschaft über die Darstellung einer Funktion als Summe einer Konstanten und einer infinitesimalen Funktion

Brauchen. Die Funktion habe an einem Punkt einen endlichen Grenzwert
.
Betrachten Sie eine Funktion:
.
Unter Verwendung der Eigenschaft des Grenzwerts der Differenz von Funktionen haben wir:
.
Das heißt, es gibt eine infinitesimale Funktion für .

Angemessenheit. Lassen Sie und . Wenden wir die Grenzwerteigenschaft der Summe von Funktionen an:
.

Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.

Beweis des Satzes über die Summe einer beschränkten und einer unendlich großen Funktion

Um den Satz zu beweisen, verwenden wir die Heine-Definition des Grenzwerts einer Funktion

beim .

Da es einen Grenzwert gibt, gibt es eine punktierte Umgebung des Punktes, an dem die Funktion definiert ist. Es gebe eine Schnittmenge von Nachbarschaften und . Darauf werden dann die Funktionen und definiert.

Es gebe eine beliebige Folge, die gegen konvergiert, deren Elemente zur Nachbarschaft gehören:
.
Dann werden Sequenzen und definiert. Und die Reihenfolge ist begrenzt:
,
Eine Folge ist unendlich:
.

Da die Summe oder Differenz einer beschränkten Folge und einer unendlich großen
.
Dann gilt nach der Heine-Definition des Grenzwertes einer Folge
.

Der Satz ist bewiesen.

Beweis des Quotientensatzes für eine durch eine unendlich große beschränkte Funktion

Für den Beweis verwenden wir Heines Definition des Grenzwertes einer Funktion. Wir nutzen auch die Eigenschaft unendlich großer Folgen, wonach eine unendlich kleine Folge ist.

Lassen Sie die Funktion für unendlich groß sein und die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes begrenzt sein:
beim .

Da die Funktion unendlich groß ist, gibt es eine punktierte Umgebung des Punktes, an dem sie definiert ist, und verschwindet nicht:
beim .
Es gebe eine Schnittmenge von Nachbarschaften und . Darauf werden dann die Funktionen und definiert.

Es gebe eine beliebige Folge, die gegen konvergiert, deren Elemente zur Nachbarschaft gehören:
.
Dann werden Sequenzen und definiert. Und die Reihenfolge ist begrenzt:
,
Eine Folge ist unendlich mit Nicht-Null-Termen:
, .

Da der Quotient der Division einer beschränkten Folge durch eine unendlich große Folge eine infinitesimale Folge ist
.
Dann gilt nach der Heine-Definition des Grenzwertes einer Folge
.

Der Satz ist bewiesen.

Beweis des Satzes über den Quotienten der Teilung einer unten durch eine infinitesimale Funktion begrenzten Funktion

Um diese Eigenschaft zu beweisen, verwenden wir Heines Definition des Grenzwerts einer Funktion. Wir nutzen auch die Eigenschaft unendlich großer Folgen, wonach eine unendlich große Folge ist.

Lassen Sie die Funktion bei unendlich klein sein und die Funktion im Absolutwert von unten durch eine positive Zahl in einer punktierten Umgebung des Punktes begrenzt werden:
beim .

Nach Annahme gibt es eine punktierte Umgebung des Punktes, an dem die Funktion definiert ist und nicht verschwindet:
beim .
Es gebe eine Schnittmenge von Nachbarschaften und . Darauf werden dann die Funktionen und definiert. Und und.

Es gebe eine beliebige Folge, die gegen konvergiert, deren Elemente zur Nachbarschaft gehören:
.
Dann werden Sequenzen und definiert. Außerdem ist die Folge nach unten beschränkt:
,
und die Folge ist infinitesimal mit Nicht-Null-Termen:
, .

Da der Quotient der Division einer unten begrenzten Folge durch eine unendlich kleine Folge eine unendlich große Folge ist
.
Und lass es eine punktierte Umgebung des Punktes geben, an dem
beim .

Nehmen Sie eine beliebige Sequenz, die gegen konvergiert. Dann gehören die Elemente der Folge ausgehend von einer Zahl N zu dieser Nachbarschaft:
beim .
Dann
beim .

Nach Heines Definition des Grenzwertes einer Funktion gilt:
.
Dann gilt aufgrund der Ungleichungseigenschaft unendlich großer Folgen
.
Da die Folge willkürlich ist und gegen konvergiert, gilt nach der Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine
.

Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.

Siehe auch: