Exzentrischer Zug-Druck. Exzentrische Spannung - Kompression. Bestimmung von Spannungen. Festigkeitszustände Beanspruchungen bei exzentrischem Zug und Druck

exzentrische Kompression. Konstruktion des Schnittkerns. Biegen mit Drehung. Berechnungen zur Festigkeit unter komplexem Spannungszustand.

Exzentrische Kompression- Dies ist eine Verformungsart, bei der die Längskraft im Stabquerschnitt nicht im Schwerpunkt angreift. Bei exzentrischer Stauchung treten neben der Längskraft (N) zwei Biegemomente (M x und M y) auf.

Es wird davon ausgegangen, dass die Stange eine hohe Biegesteifigkeit hat, um die Durchbiegung der Stange unter exzentrischer Kompression zu vernachlässigen.

Lassen Sie uns die Formel der Momente für die exzentrische Kompression umwandeln, indem wir die Werte der Biegemomente ersetzen:

Lassen Sie uns die Koordinaten eines bestimmten Punktes der neutralen (Null-)Linie unter exzentrischer Kompression xN, yN bezeichnen und sie in die Formel für Normalspannungen unter exzentrischer Kompression einsetzen. Unter Berücksichtigung, dass die Spannungen an den Punkten der neutralen Linie gleich Null sind, erhalten wir nach der Reduktion um P/F die Gleichung der neutralen Linie unter exzentrischer Kompression:

(35)

Die Nulllinie für exzentrischen Druck und der Angriffspunkt der Last liegen immer auf gegenüberliegenden Seiten des Profilschwerpunkts.

Reis. 43. Exzentrische Kompression

Die durch die Nulllinie von den Koordinatenachsen abgeschnittenen Segmente, bezeichnet mit ax und ay, können leicht aus der Nullliniengleichung für exzentrische Kompression gefunden werden. Nimmt man zunächst xN = 0, yN = ay und dann yN = 0, xN = ax, so findet man die Schnittpunkte der Nulllinie bei exzentrischer Stauchung mit den Hauptmittelachsen:

Reis. 44. Neutrale Linie mit exzentrischer Spannung - Kompression

Die neutrale Linie unter exzentrischer Kompression teilt den Querschnitt in zwei Teile. In einem Teil sind die Spannungen Druckspannungen, in anderen Zugspannungen. Die Festigkeitsberechnung erfolgt wie bei Schrägbiegung nach den Normalspannungen, die an der gefährlichen Stelle des Querschnitts (am weitesten von der Nulllinie entfernt) auftreten.

(36)

Querschnittskern - ein kleiner Bereich um den Schwerpunkt des Querschnitts herum, der dadurch gekennzeichnet ist, dass jede im Inneren des Kerns aufgebrachte Drucklängskraft Druckspannungen an allen Punkten des Querschnitts verursacht.

Beispiele des Schnittkerns für rechteckige und kreisförmige Stabquerschnitte.

Reis. 45. Schnittkernform für Rechteck und Kreis

Biegen mit Drehung. Wellen von Maschinen und Mechanismen sind häufig solchen Belastungen (gleichzeitige Einwirkung von Drehmomenten und Biegemomenten) ausgesetzt. Um den Strahl zu berechnen, müssen zunächst gefährliche Abschnitte festgelegt werden. Dazu werden Diagramme von Biege- und Drehmomentmomenten erstellt.

Unter Anwendung des Prinzips der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung ermitteln wir die auftretenden Spannungen im Stab getrennt für Torsion und Biegung.

Bei Torsion treten in den Querschnitten des Balkens Schubspannungen auf, die an den Punkten der Profilkontur den größten Wert erreichen, beim Biegen entstehen in den Querschnitten des Balkens Normalspannungen, die in den äußersten Fasern den größten Wert erreichen des Balkens.

Stellen Sie sich einen geraden Stab vor, der am Ende mit parallel zur Achse gerichteten Kräften belastet wird Oh. Die Resultierende dieser Kräfte F an der Stelle angewendet MIT. Im lokalen rechtshändigen Koordinatensystem yOz, die mit den Hauptmittelachsen des Abschnitts zusammenfallen, die Koordinaten des Punktes Mit gleich a und b(Abb. 5.18).

Ersetzen wir die aufgebrachte Last durch ein statisch äquivalentes System von Kräften und Momenten. Dazu übertragen wir die resultierende Kraft F zum Schwerpunkt des Abschnitts Ö und die Stange mit zwei Biegemomenten belasten, die gleich dem Produkt der Kraft T^ auf ihre Arme in Bezug auf die Koordinatenachsen sind: Mff = Fa und Mz = Fb.

Beachten Sie, dass nach der Regel des rechtshändigen Koordinatensystems für den Punkt C, der im ersten Quadranten liegt, die Biegemomente formal wie folgt erhalten werden

Reis. 5.18.Gerader Stab, der am Ende mit parallel zur Achse gerichteten Kräften belastet wirdOh

Schlagzeichen: Meine \u003d Fa und M7 = -Fb. In diesem Fall verursachen im im ersten Viertel liegenden Elementarbereich beide Momente Zugspannungen.

Unter Ausnutzung des Prinzips der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung ermitteln wir die Spannungen am aktuellen Punkt des Schnittes mit Koordinaten beim und z von jedem Leistungsfaktor separat. Die Gesamtspannung ergibt sich aus der Summierung aller drei Spannungskomponenten:

Lassen Sie uns die Position der neutralen Achse bestimmen. Dazu setzen wir gemäß Formel (5.69) den Wert der Normalspannung am aktuellen Punkt zu Null:

Als Ergebnis einfacher Transformationen erhalten wir die neutrale Liniengleichung

wo ich ja und i z - Hauptträgheitsradien bestimmt durch Formeln (3.14).

Bei exzentrischem Zug-Druck geht die neutrale Linie also nicht durch den Querschnittsschwerpunkt (Abb. 5.19), was durch das Vorhandensein eines von Null verschiedenen freien Gliedes in Gleichung (5.70) angezeigt wird.

Die maximalen Spannungen treten an den Stellen des Profils auf SONDERN und BEIM, am weitesten von der neutralen Linie entfernt. Lassen Sie uns die Beziehung zwischen den Koordinaten des Kraftangriffspunkts und der Position der neutralen Linie herstellen. Dazu bestimmen wir die Schnittpunkte der Koordinatenachsen durch diese Gerade:

Reis. 5.19.

Die resultierenden Formeln zeigen, dass die Koordinate des Kraftangriffspunktes a und die Koordinate des Schnittpunkts der neutralen Linie der Koordinatenachse Unze(Punkt r 0) haben entgegengesetzte Vorzeichen. Dasselbe gilt für die Mengen b und bei 0 . Somit liegen der Angriffspunkt der resultierenden Kraft und die neutrale Linie auf gegenüberliegenden Seiten des Ursprungs.

Gemäß den erhaltenen Formeln bewegt sich die neutrale Linie von der Mittelzone weg, wenn sich der Kraftangriffspunkt dem Schwerpunkt des Abschnitts nähert. Im Grenzfall (a = b = 0) kommen wir zum zentralen Zug-Druck-Fall.

Es ist von Interesse, die Zone der Krafteinleitung zu bestimmen, in der die Spannungen im Querschnitt das gleiche Vorzeichen haben. Insbesondere bei dehnungsarmen Materialien ist es sinnvoll, gerade in dieser Zone eine Druckkraft aufzubringen, damit in dem Abschnitt nur Druckspannungen wirken. Eine solche Zone um den Schwerpunkt des Abschnitts wird genannt Abschnitt Kern.

Wenn die Kraft im Kern des Abschnitts aufgebracht wird, schneidet die neutrale Linie den Abschnitt nicht. Wird entlang der Grenze des Profilkerns eine Kraft aufgebracht, berührt die neutrale Linie die Profilkontur. Mit Formel (5.71) kann der Kern des Abschnitts bestimmt werden.

Stellt man die neutrale Linie als Tangente an die Schnittkontur dar und berücksichtigt alle möglichen Positionen der Tangente und die diesen Positionen entsprechenden Kraftangriffspunkte, so umreißen die Kraftangriffspunkte den Kern der Sektion.

Reis. 5.20.

a - Ellipse; 6 - Rechteck

Exzentrische Spannung wird diese Art der Belastung eines Balkens genannt, bei der äußere Kräfte entlang der Längsachse des Balkens wirken, aber nicht mit dieser zusammenfallen (Abb. 8.4). Spannungen werden nach dem Prinzip der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung ermittelt. Die exzentrische Spannung ist eine Kombination aus axialer Spannung und schräger (in bestimmten Fällen - flacher) Biegung. Die Formel für Normalspannungen erhält man als algebraische Summe der Normalspannungen aus jeder Belastungsart:

wo ; ;

yF, zF– Koordinaten des Kraftangriffspunktes F.

Um die gefährlichen Punkte des Abschnitts zu bestimmen, ist es notwendig, die Position der neutralen Linie (n.l.) als Ort der Punkte zu finden, an denen die Spannungen gleich Null sind.

Gleichung n.l. kann als Gleichung einer Geraden in Segmenten geschrieben werden:

wo und sind Segmente abgeschnitten durch n.l. auf den Koordinatenachsen,

, sind die Hauptträgheitsradien des Profils.

Die neutrale Linie unterteilt den Querschnitt in Zonen mit Zug- und Druckspannungen. Das Diagramm der Normalspannungen ist in Abb. 1 dargestellt. 8.4.

Wenn der Schnitt symmetrisch zu den Hauptachsen ist, dann wird die Festigkeitsbedingung für Kunststoffe geschrieben, bei denen [ sc] = [s p] = [s], als

. (8.5)

Für spröde Materialien mit [ sc]¹[ s p] sollte der Festigkeitszustand für die gefährliche Stelle des Abschnitts in der Zugzone separat erfasst werden:

und für die gefährliche Stelle des Abschnitts in der Druckzone:

wo z1, ja 1 und z2, y2- die Koordinaten der Punkte des Abschnitts, die am weitesten von der neutralen Linie entfernt sind, in den gestreckten 1- und komprimierten 2-Zonen des Abschnitts (Abb. 8.4).

Eigenschaften der Nulllinie

1. Die Nulllinie teilt den gesamten Abschnitt in zwei Zonen - Zug und Druck.

2. Die Nulllinie ist gerade, da die x- und y-Koordinaten im ersten Grad liegen.

3. Die Nulllinie geht nicht durch den Ursprung (Abb. 8.4).

4. Liegt der Kraftangriffspunkt auf der Hauptträgheit des Profils, so steht die ihm entsprechende Nulllinie senkrecht auf dieser Achse und verläuft auf der anderen Seite des Ursprungs (Abb. 8.5).

5. Bewegt sich der Angriffspunkt der Kraft entlang des aus dem Ursprung austretenden Strahls, so wandert die ihm entsprechende Nulllinie dahinter (Abb. 8.6):

Reis. 8.5 Abb. 8.6

a) wenn sich der Kraftangriffspunkt entlang des Balkens ausgehend vom Ursprung von Null nach Unendlich bewegt (y F ®∞, z F ®∞), a bei ®0; a z ®0. Der Grenzzustand in diesem Fall: Die Nulllinie verläuft durch den Ursprung (Krümmung);

b) wenn sich der Angriffspunkt der Kraft (t. K) entlang des Balkens ausgehend vom Ursprung von unendlich nach Null bewegt (y F ® 0 und z F ® 0), a y®∞; a z ®∞. Der Grenzzustand in diesem Fall: Die Nulllinie wird ins Unendliche verschoben, und der Körper erfährt eine einfache Dehnung (Stauchung).

6. Wenn sich der Kraftangriffspunkt (Punkt K) entlang einer geraden Linie bewegt, die die Koordinatenachsen schneidet, dreht sich in diesem Fall die Nulllinie um einen bestimmten Mittelpunkt, der sich im gegenüberliegenden Quadranten von Punkt K befindet.

8.2.3. Abschnitt Kernel

Einige Materialien (Beton, Mauerwerk) können sehr kleine Zugspannungen aufnehmen, während andere (wie Erde) einer Dehnung überhaupt nicht widerstehen können. Solche Materialien werden zur Herstellung von Strukturelementen verwendet, bei denen Zugspannungen nicht auftreten, und werden nicht zur Herstellung von Anweisungselementen verwendet, die Biegung, Torsion, zentrale und exzentrische Spannung erfahren.

Aus diesen Werkstoffen können nur zentral verdichtete Elemente hergestellt werden, bei denen keine Zugspannungen auftreten, sowie exzentrisch verdichtete Elemente, wenn sich in ihnen keine Zugspannungen ausbilden. Dies tritt auf, wenn sich der Angriffspunkt der Druckkraft innerhalb oder an der Grenze eines zentralen Bereichs des Querschnitts befindet, der als Kern des Querschnitts bezeichnet wird.

Abschnitt Kernel Ein Balken wird als sein zentraler Bereich bezeichnet, der die Eigenschaft hat, dass die an einem seiner Punkte aufgebrachte Kraft an allen Punkten des Balkenquerschnitts Spannungen mit demselben Vorzeichen verursacht, d.h. die Nulllinie geht nicht durch den Balkenabschnitt.

Liegt der Angriffspunkt der Druckkraft außerhalb des Profilkerns, so entstehen im Querschnitt Druck- und Zugspannungen. In diesem Fall schneidet die Nulllinie den Strahlquerschnitt.

Wird die Kraft am Rand des Profilkerns angesetzt, so berührt die Nulllinie die Kontur des Profils (punktuell oder entlang einer Linie); am Berührungspunkt sind die Normalspannungen gleich Null.

Bei der Berechnung exzentrisch komprimierter Stäbe aus einem Material, das Zugspannungen schlecht wahrnimmt, ist es wichtig, die Form und die Abmessungen des Profilkerns zu kennen. Damit kann ohne Spannungsberechnung festgestellt werden, ob im Querschnitt des Trägers Zugspannungen auftreten (Bild 8.7).

Aus der Definition folgt, dass der Kern eines Abschnitts ein Bereich ist, der sich innerhalb des Abschnitts selbst befindet.

Bei spröden Werkstoffen sollte eine Druckbelastung im Kern des Profils aufgebracht werden, um Zugzonen im Profil auszuschließen (Abb. 8.7).

Um den Kern des Abschnitts zu konstruieren, ist es erforderlich, die Nulllinie nacheinander mit der Kontur des Querschnitts zu kombinieren, damit die Nulllinie den Abschnitt nicht schneidet, und gleichzeitig den entsprechenden Punkt zu berechnen

Aufbringung der Druckkraft K mit

Reis. 8,7 Dinami yF und zF nach den Formeln:

; .

Die resultierenden Kraftangriffspunkte mit Koordinaten yF, zF müssen durch gerade Linien verbunden werden. Der von der resultierenden Polylinie begrenzte Bereich ist der Kern des Abschnitts.

Die Reihenfolge der Konstruktion des Abschnittskerns

1. Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts des Querschnitts und der Hauptträgheitsmittelachsen y und z, sowie die Werte der quadrierten Trägheitsradien ich y, ich z.

2. Zeigen Sie alle möglichen Positionen des n.l. in Bezug auf die Kontur des Abschnitts an.

3. Für jede Position von n.l. Segmente definieren ein j und ein z, dadurch von den Hauptträgheitsachsen y und z abgeschnitten.

4. Für jede Position von n.l. Stellen Sie die Koordinaten des Druckzentrums ein yF, und zF .

5. Die erhaltenen Druckzentren werden durch Liniensegmente verbunden, in denen sich der Kern des Abschnitts befindet.

Torsion mit Biegung

Die Belastungsart, bei der der Stab gleichzeitig durch Torsions- und Biegemomente beaufschlagt wird, nennt man Biegung mit Torsion.

Bei der Berechnung verwenden wir das Prinzip der Unabhängigkeit der Wirkung von Kräften. Bestimmen wir die Spannungen getrennt bei Biegung und Torsion (Abb. 8.8) .

Beim Biegen im Querschnitt entstehen Normalspannungen, die in den äußersten Fasern einen Maximalwert erreichen

Bei Torsion im Querschnitt treten Schubspannungen auf, die an den Stellen des Querschnitts nahe der Wellenoberfläche den höchsten Wert erreichen

Reis. 8.9

Reis. 8.10

Reis. 8.8

An den Stellen erreichen Normal- und Schubspannung gleichzeitig ihren Maximalwert Mit und BEIM Wellenabschnitt (Abb. 8.9). Betrachten Sie den Spannungszustand an diesem Punkt Mit(Abb. 8.10). Es ist ersichtlich, dass der elementare Parallelepiped um den Punkt herum ausgewählt ist Mit, befindet sich in einem ebenen Spannungszustand.

Um die Stärke zu testen, wenden wir daher eine der Stärkehypothesen an.

Festigkeitszustand nach der dritten Festigkeitshypothese (der Hypothese der größten Schubspannungen)

Angesichts dessen , erhalten wir die Bedingung der Wellenfestigkeit

. (8.6)

Wenn sich die Welle in zwei Ebenen biegt, ist die Festigkeitsbedingung

Unter Verwendung der vierten (Energie-)Stärkehypothese

nach Ersatz s und t wir bekommen

. (8.7)

Fragen zur Selbstprüfung

1. Welche Art von Biegung wird als schräg bezeichnet?

2. Welche Kombination von Biegungsarten ist eine Schrägbiegung?

3. Mit welchen Formeln werden die Normalspannungen in den Querschnitten eines Trägers bei Schrägbiegung ermittelt?

4. Wie ist die Lage der neutralen Achse bei Schrägbiegung?

5. Wie werden Gefahrenstellen in einem Abschnitt mit Schrägbiegung ermittelt?

6. Wie werden die Verschiebungen der Balkenachsenpunkte beim Schrägbiegen ermittelt?

7. Welche Art von komplexem Widerstand wird als exzentrische Spannung (oder Kompression) bezeichnet?

8. Mit welchen Formeln werden die Normalspannungen in den Stabquerschnitten bei exzentrischem Zug und Druck ermittelt? Welche Form hat das Diagramm dieser Spannungen?

9. Wie wird die Lage der neutralen Faser bei exzentrischem Zug und Druck bestimmt? Schreiben Sie die entsprechenden Formeln auf.

10. Welche Spannungen treten im Querschnitt des Balkens beim Biegen mit Torsion auf?

11. Wie verhalten sich die gefährlichen Abschnitte eines Rundträgers bei Biegung mit Torsion?

12. Welche Punkte eines kreisförmigen Querschnitts sind beim Biegen mit Torsion gefährlich?

13. Welcher Spannungszustand tritt an diesen Stellen auf?

Viele Elemente von Gebäudestrukturen (Säulen, Gestelle, Stützen) stehen unter dem Einfluss von Druckkräften, die nicht im Schwerpunkt des Abschnitts aufgebracht werden. Auf Abb. 12.9 zeigt die Stütze, auf der der Deckenbalken ruht. Wie man sieht, wirkt die Kraft bezüglich der Stützenachse mit einer Exzentrizität e, und damit in einem beliebigen Abschnitt Ah Spalten zusammen mit Längskraft N = -R es gibt ein Biegemoment, dessen Größe gleich ist Betreff. Die exzentrische Spannung (Stauchung) einer Stange ist eine Verformungsart, bei der die Resultierende äußerer Kräfte entlang einer geraden Linie parallel zur Stangenachse wirkt. Im Folgenden werden hauptsächlich Probleme der exzentrischen Kompression betrachtet. Bei außermittiger Spannung ist bei allen angegebenen Berechnungsformeln das Vorzeichen vor der Kraft zu ändern R zum Gegenteil.

Ein Stab beliebigen Querschnitts (Abb. 12.10) sei am Ende mit einer außermittig aufgebrachten Druckkraft belastet R, parallel zur Achse gerichtet Oh. Positiv annehmen

Richtungen der Hauptträgheitsachsen des Profils OU und Unze damit der Kraftangriffspunkt R lag im ersten Viertel der Koordinatenachsen. Wir bezeichnen die Koordinaten des Kraftangriffspunkts R durch y r und z P -

Schnittgrößen in einem beliebigen Stababschnitt sind gleich

Die Minuszeichen der Biegemomente sind darauf zurückzuführen, dass diese Momente im ersten Viertel der Koordinatenachsen eine Stauchung bewirken. Die Werte der Schnittkräfte in diesem Beispiel ändern sich nicht über die Länge der Stange, und daher ist die Verteilung der Spannungen in Abschnitten, die ausreichend vom Ort der Belastung entfernt sind, gleich.

Durch Einsetzen von (12.11) in (12.1) erhalten wir die Formel für Normalspannungen unter exzentrischem Druck:

Diese Formel kann in die Form umgewandelt werden

wo ich, ich- Hauptträgheitsradien des Profils. Dabei

Setzen wir (12.12) o = 0 ein, erhalten wir die Gleichung Nulllinie:

Hier bei 0 und z 0 - Koordinaten der Punkte der Nulllinie (Abb. 12.11). Gleichung (12.14) ist die Gleichung einer Geraden, die nicht durch den Schwerpunkt des Querschnitts geht. Um eine Nulllinie zu zeichnen, finden wir die Punkte ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Unter der Annahme in (12.14) sukzessive y 0 = 0 und z0= 0 finden wir

wo ein z und Andy- von der Nulllinie abgeschnittene Segmente auf den Koordinatenachsen (Abb. 12.11).

Lassen Sie uns die Merkmale der Position der Nulllinie unter exzentrischer Kompression feststellen.

1. Aus den Formeln (12.15) folgt, dass und bei und ein z haben jeweils entgegengesetzte Vorzeichen y r und z P - Die Nulllinie verläuft also durch die Viertel der Koordinatenachsen, die nicht den Kraftangriffspunkt enthalten (Abb. 12.12).
2. Wenn sich der Angriffspunkt der Kraft nähert R in gerader Linie zum Schwerpunkt des Abschnitts die Koordinaten dieses Punktes y r und z P Abnahme. Aus (12.15) folgt, dass in diesem Fall die Beträge der Längen der Segmente und bei und ein z zunehmen, d. h. die Nulllinie bewegt sich vom Schwerpunkt weg und bleibt parallel zu sich selbst (Abb. 12.13). In der Grenze bei Z P = y P = 0 (Kraft wirkt im Schwerpunkt) wird die Nulllinie ins Unendliche verschoben. In diesem Fall sind die Spannungen im Querschnitt konstant und gleich o = -P/F.
3. Wenn der Angriffspunkt der Kraft R auf einer der Hauptachsen liegt, ist die Nulllinie parallel zur anderen Achse. Tatsächlich setzt man (12.15) beispielsweise ein y r= 0, das bekommen wir und bei= das heißt, die Nulllinie schneidet die Achse nicht OU(Abb. 12.14).
4. Bewegt sich der Angriffspunkt der Kraft entlang einer Geraden, die nicht durch den Schwerpunkt geht, dann dreht sich die Nulllinie um einen bestimmten Punkt. Beweisen wir diese Eigenschaft. Angriffspunkte der Kräfte Rx und R 2, die auf den Koordinatenachsen liegen, entsprechen den achsenparallelen Nulllinien 1-1 und 2-2 (Abb. 12.15), die sich im Punkt schneiden D. Da dieser Punkt zu zwei Nulllinien gehört, ergeben sich die Spannungen an diesem Punkt aus gleichzeitig einwirkenden Kräften Rx und R2 wird gleich null sein. Da jede Kraft R3, deren Angriffspunkt auf einer geraden Linie liegt R ( R 2 , kann

in zwei parallele Komponenten zerlegen, die an den Punkten Pj und angelegt werden R 2, dann folgt daraus, dass die Spannungen an der Stelle liegen D von der Kraft R3 ebenfalls gleich Null sind. Somit entspricht die Nulllinie 3-3 der Stärke R3, geht durch einen Punkt D.

Mit anderen Worten, eine Reihe von Punkten R, auf einer Geraden gelegen R ( R 2 , entspricht einem Linienbündel, das durch einen Punkt verläuft D. Auch die umgekehrte Aussage gilt: Wenn sich die Nulllinie um einen bestimmten Punkt dreht, bewegt sich der Angriffspunkt der Kraft entlang einer Geraden, die nicht durch den Schwerpunkt geht.

Wenn die Nulllinie den Abschnitt kreuzt, dann teilt sie ihn in Druck- und Zugzonen. Wie bei der Schrägbiegung folgt aus der Flachschnitthypothese, dass die Spannungen an den von der Nulllinie am weitesten entfernten Stellen ihre größten Werte erreichen. Die Art des Spannungsdiagramms in diesem Fall ist in Abb. 12.16, a.

Liegt die Nulllinie außerhalb des Schnitts, so haben die Spannungen an allen Stellen des Schnitts das gleiche Vorzeichen (Bild 12.16, b).

Beispiel 12.3. Lassen Sie uns ein Diagramm der Normalspannungen in einem beliebigen Abschnitt einer exzentrisch komprimierten rechteckigen Stütze mit Abmessungen erstellen b X h(Abb. 12.17). Die Quadrate der Trägheitsradien des Schnitts nach (12.22) sind

Die von der Nulllinie auf den Koordinatenachsen abgeschnittenen Segmente werden durch die Formeln (12.15) bestimmt:

Setzen Sie nacheinander in (12.12) die Koordinaten der Punkte C und des am weitesten von der Nulllinie entfernten Punktes ein BEIM(Abb. 12.18)

finden

Plot o ist in Abb. 1 gezeigt. 12.18. Die höchsten Druckspannungen im absoluten Wert sind viermal höher als die Spannungen, die bei einer zentralen Krafteinleitung auftreten würden. Außerdem traten im Querschnitt erhebliche Zugspannungen auf. Beachten Sie, dass aus (12.12) folgt, dass im Schwerpunkt (y = z\u003d 0) die Spannungen sind gleich o \u003d -P/F.

Beispiel 12.4. Mit Zugkraft belasteter Ausschnittstreifen R(Abb. 12.19, a). Vergleichen Sie die Spannungen im Schnitt lv, weit genug vom Ende und der Stelle des Schnitts entfernt, mit Spannungen im Abschnitt CD am Ausschnitt.

im Abschnitt AB(Abb. 12.19, b) Gewalt R verursacht zentrale Spannung und die Spannungen sind a = P/F = P/bh.

im Abschnitt CD(Abb. 12.19, in) Kraftlinie R nicht durch den Schwerpunkt des Abschnitts verläuft, und daher tritt eine exzentrische Spannung auf. Indem man das Vorzeichen in Formel (12.12) ins Gegenteil ändert und nimmt y r= 0 erhalten wir für diesen Abschnitt

Nehmen

Nulllinie im Schnitt CD parallel zur Achse OU und kreuzt die Achse Unze auf Distanz ein =-i 2 y /z P- b/ 12. An den Punkten des Abschnitts, die am weitesten von der Nulllinie entfernt sind C(z - -b/ 4) und D(z - b/ 4) Spannungen nach (12.16) sind gleich

Diagramme der Normalspannungen für Abschnitte LV und CD in Abb. gezeigt. 12.19, b, c.

Also trotz der Tatsache, dass der Querschnitt CD hat eine Fläche, die zweimal kleiner ist als der Querschnitt AB, Durch die außermittige Krafteinleitung erhöhen sich die Zugspannungen im geschwächten Bereich nicht um den Faktor zwei, sondern um den Faktor acht. Außerdem treten in diesem Abschnitt erhebliche Druckspannungen auf.

Es sollte beachtet werden, dass die obige Berechnung keine zusätzlichen lokalen Spannungen berücksichtigt, die nahe dem Punkt C aufgrund des Vorhandenseins einer Aussparung auftreten. Diese Spannungen sind abhängig vom Radius der Hinterschneidung (sie nehmen mit abnehmendem Radius zu) und können den gefundenen Wert deutlich überschreiten ein c = 8P/bh. In diesem Fall unterscheidet sich die Art des Spannungsdiagramms in der Nähe von Punkt C erheblich von der linearen. Die Definition lokaler Spannungen (Spannungskonzentration) wird in Kapitel 18 diskutiert.

Viele Baumaterialien (Beton, Mauerwerk usw.) widerstehen einer Dehnung nicht gut. Ihre Zugfestigkeit ist um ein Vielfaches geringer als die Druckfestigkeit. Daher ist das Auftreten von Zugspannungen in Strukturelementen aus solchen Materialien unerwünscht. Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss die Nulllinie außerhalb des Schnitts liegen. Andernfalls kreuzt die Nulllinie den Abschnitt und es treten Zugspannungen darin auf. Ist die Nulllinie tangential zur Schnittkontur, so ist die entsprechende Position des Kraftangriffspunktes die Grenze. Gemäß Eigenschaft 2 der Nulllinie bewegt sich die Nulllinie davon weg, wenn sich der Kraftangriffspunkt dem Schwerpunkt des Abschnitts nähert. Der Ort der Grenzpunkte, die verschiedenen Tangenten an die Schnittkontur entsprechen, ist die Grenze Abschnitt Kerne. Der Kern des Profils ist ein konvexer Bereich um den Schwerpunkt herum, der folgende Eigenschaft hat: Liegt der Angriffspunkt der Kraft innerhalb oder am Rand dieses Bereichs, dann wirken an allen Stellen des Profils die Spannungen gleiches Zeichen. Der Kern des Schnitts ist eine konvexe Figur, da die Nulllinien die Hüllkurve der Schnittkontur berühren und nicht kreuzen müssen.

Durch den Punkt SONDERN(Abb. 12.20) Sie können unendlich viele Tangenten (Nulllinien) zeichnen; während nur tangential AC tangential zur Hüllkurve ist und ihr ein bestimmter Punkt der Schnittkernkontur entsprechen muss. Gleichzeitig ist es beispielsweise unmöglich, eine Tangente an das Segment zu ziehen AB Abschnittskontur, da sie den Abschnitt schneidet.

Bauen wir einen Schnittkern für ein Rechteck (Abb. 12.21). Für Tangente 1 - 1 a 7 - b/ 2; a= . Aus (12.15) ergibt sich für den dieser Tangente entsprechenden Punkt 1 z P \u003d -i 2 y / a 7 \u003d -b / 6; y r - 0. Für Tangente 2-2 und y - k / 2; a 7 \u003d ° °, und die Koordinaten von Punkt 2 sind gleich beimR- -h/6; z P - 0. Gemäß Eigenschaft 4 der Nulllinie liegen die Kraftangriffspunkte, die unterschiedlichen Tangenten an den unteren rechten Eckpunkt des Schnitts entsprechen, auf der Geraden 1-2. Die Lage der Punkte 3 und 4 wird aus den Symmetriebedingungen bestimmt. Somit ist der Schnittkern für ein Rechteck eine Raute mit Diagonalen b/3 und AUS.

Um einen Schnittkern für einen Kreis zu bilden, genügt es, eine Tangente zu zeichnen (Abb. 12.22). Dabei a = R; a= °o.

„U U ^^

Betrachtet man das für einen Kreis ich y - J y /F - R / 4, aus (12.15) erhalten wir

Der Schnittkern für einen Kreis ist also ein Kreis mit Radius R/4.

Auf Abb. 12.23, a, 6 Abschnittskerne für einen I-Träger und einen Kanal sind gezeigt. Das Vorhandensein von vier Eckpunkten des Querschnittskerns in jedem dieser Beispiele ist darauf zurückzuführen, dass die Einhüllende der Kontur sowohl für den I-Träger als auch für den Kanal ein Rechteck ist.

exzentrische Kompression. Gebäude Abschnitt Kerne. Biegen mit Drehung. Berechnungen zur Festigkeit unter komplexem Spannungszustand.

Außermittige Kompression ist eine Verformungsart, bei der die Längskraft im Stabquerschnitt nicht im Schwerpunkt angreift. Beim exzentrische Kompression, treten neben der Längskraft (N) noch zwei Biegemomente ( und ) auf.

Es wird davon ausgegangen, dass die Stange eine hohe Biegesteifigkeit hat, um die Durchbiegung der Stange unter exzentrischer Kompression zu vernachlässigen.

Lassen Sie uns die Formel der Momente für die exzentrische Kompression umwandeln und die Werte der Biegemomente ersetzen: .

Lassen Sie uns die Koordinaten eines bestimmten Punktes der Nulllinie unter exzentrischer Kompression bezeichnen und sie in die Formel für Normalspannungen unter exzentrischer Kompression einsetzen. Bedenkt man, dass die Spannungen an den Punkten der Nulllinie gleich Null sind, erhält man nach der Reduktion um die Nullliniengleichung für exzentrische Stauchung: .

Die Nulllinie für exzentrischen Druck und der Angriffspunkt der Last liegen immer auf gegenüberliegenden Seiten des Profilschwerpunkts.

Die durch die Nulllinie von den Koordinatenachsen abgeschnittenen Segmente, bezeichnet mit und , können leicht aus der Nullliniengleichung für exzentrische Kompression gefunden werden. Wenn wir zuerst akzeptieren und dann akzeptieren , dann finden wir die Schnittpunkte der Nulllinie unter exzentrischer Stauchung mit den Hauptmittelachsen:

Die Nulllinie unter exzentrischer Kompression teilt den Querschnitt in zwei Teile. In einem Teil sind die Spannungen Druckspannungen, in anderen Zugspannungen. Die Festigkeitsberechnung erfolgt wie bei Schrägbiegung nach den Normalspannungen, die an der gefährlichen Stelle des Querschnitts (am weitesten von der Nulllinie entfernt) auftreten.

Beispiele des Schnittkerns für rechteckige und kreisförmige Stabquerschnitte.

Biegen mit Drehung. Wellen von Maschinen und Mechanismen sind häufig solchen Belastungen (gleichzeitige Einwirkung von Drehmomenten und Biegemomenten) ausgesetzt. Um den Strahl zu berechnen, müssen zunächst gefährliche Abschnitte festgelegt werden. Dazu werden Diagramme von Biege- und Drehmomentmomenten erstellt.

Unter Anwendung des Prinzips der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung ermitteln wir die auftretenden Spannungen im Stab getrennt für Torsion und Biegung.

Bei Torsion in den Querschnitten des Trägers entstehen Schubspannungen, die an den Stellen der Querschnittskontur den höchsten Wert erreichen Beim Biegen in den Balkenquerschnitten entstehen Normalspannungen, die in den äußersten Fasern des Balkens den höchsten Wert erreichen .