Betrachten Sie eine Ebene π und einen beliebigen Punkt M 0 im Raum. Entscheiden wir uns für das Flugzeug Einheitsnormalenvektor n s Anfang an einem Punkt M 1 ∈ π, und p(M 0 ,π) sei der Abstand vom Punkt M 0 zur Ebene π. Dann (Abb. 5.5)

p(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

seit |n| = 1.

Wenn die Ebene π angegeben ist rechtwinkliges Koordinatensystem mit seiner allgemeinen Gleichung Ax + By + Cz + D = 0, dann ist sein Normalenvektor der Vektor mit den Koordinaten (A; B; C) und als Einheitsnormalenvektor können wir wählen

Seien (x 0 ; y 0 ; z 0) und (x 1 ; y 1 ; z 1) die Koordinaten der Punkte M 0 und M 1 . Dann ist die Gleichheit Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 erfüllt, da der Punkt M 1 zur Ebene gehört, und Sie können die Koordinaten des Vektors M 1 M 0 finden: M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Aufschreiben Skalarprodukt nM 1 M 0 in Koordinatenform und Transformation (5.8) erhalten wir

da Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Um also den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu berechnen, müssen Sie die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Gleichung der Ebene einsetzen und dann den Absolutwert von teilen das Ergebnis um einen Normierungsfaktor gleich der Länge des entsprechenden Normalenvektors.

, Wettbewerb "Präsentation für den Unterricht"

Klasse: 11

Präsentation für den Unterricht

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Ziele:

• Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen und Fähigkeiten der Studierenden;
• Entwicklung von Fähigkeiten zum Analysieren, Vergleichen, Schlussfolgerungen ziehen.

Ausrüstung:

• Multimedia-Projektor;
• Computer;
• Aufgabenblätter

STUDIENPROZESS

I. Organisatorischer Moment

II. Die Phase der Wissensaktualisierung(Folie 2)

Wir wiederholen, wie die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene bestimmt wird

III. Vorlesung(Folien 3-15)

In der Lektion werden wir uns verschiedene Methoden ansehen, um die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene zu bestimmen.

Erste Methode: Schritt für Schritt rechnerisch

Abstand vom Punkt M zur Ebene α:
– ist gleich dem Abstand zur Ebene α von einem beliebigen Punkt P, der auf der Linie a liegt, die durch den Punkt M geht und parallel zur Ebene α ist;
– ist gleich dem Abstand zur Ebene α von einem beliebigen Punkt P, der auf der Ebene β liegt, die durch den Punkt M geht und parallel zur Ebene α ist.

Wir werden folgende Aufgaben lösen:

№1. Finden Sie im Würfel A ... D 1 die Entfernung vom Punkt C 1 zur Ebene AB 1 C.

Es bleibt der Wert der Länge des Segments O 1 N zu berechnen.

№2. Finden Sie in einem regelmäßigen sechseckigen Prisma A ... F 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von Punkt A zur Ebene DEA 1.

Nächste Methode: Volumenmethode.

Wenn das Volumen der Pyramide ABCM V ist, dann wird der Abstand vom Punkt M zur Ebene α, die ∆ABC enthält, durch die Formel ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = berechnet
Bei der Lösung von Problemen verwenden wir die Gleichheit der Volumina einer Figur, die auf zwei verschiedene Arten ausgedrückt wird.

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen:

№3. Die Kante AD der Pyramide DABC steht senkrecht auf der Ebene der Basis ABC. Finden Sie den Abstand von A zu der Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten AB, AC und AD verläuft, wenn.

Beim Lösen von Problemen koordinieren methode der Abstand vom Punkt M zur Ebene α kann nach der Formel ρ(M; α) = berechnet werden , wobei M(x 0; y 0; z 0) und die Ebene durch die Gleichung ax + by + cz + d = 0 gegeben ist

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen:

№4. Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand vom Punkt A 1 zur Ebene BDC 1 .

Lassen Sie uns ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt A einführen, die y-Achse verläuft entlang der Kante AB, die x-Achse - entlang der Kante AD, die z-Achse - entlang der Kante AA 1. Dann sind die Koordinaten der Punkte B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Lassen Sie uns die Gleichung der Ebene aufstellen, die durch die Punkte B, D, C 1 verläuft.

Dann ist – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Also ρ =

Die folgende Methode, die zur Lösung von Problemen dieser Art verwendet werden kann - Methode der Referenzaufgaben.

Die Anwendung dieser Methode besteht in der Anwendung bekannter Referenzprobleme, die als Theoreme formuliert sind.

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen:

№5. Finden Sie in einem Einheitswürfel A ... D 1 den Abstand vom Punkt D 1 zur Ebene AB 1 C.

Betrachten Sie die Anwendung Vektormethode.

№6. Finden Sie in einem Einheitswürfel A ... D 1 den Abstand vom Punkt A 1 zur Ebene BDC 1.

Daher haben wir verschiedene Methoden in Betracht gezogen, die zur Lösung dieser Art von Problem verwendet werden können. Die Wahl der einen oder anderen Methode hängt von der konkreten Aufgabe und Ihren Vorlieben ab.

IV. Gruppenarbeit

Versuchen Sie, das Problem auf unterschiedliche Weise zu lösen.

№1. Die Kante des Würfels А…D 1 ist gleich . Finden Sie den Abstand vom Scheitelpunkt C zur Ebene BDC 1 .

№2. Finden Sie in einem regelmäßigen Tetraeder ABCD mit einer Kante den Abstand von Punkt A zur Ebene BDC

№3. Finden Sie in einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von A zur Ebene BCA 1.

№4. Finden Sie in einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD, deren Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand von A zur Ebene SCD.

V. Zusammenfassung der Lektion, Hausaufgaben, Reflexion

Lass es ein Flugzeug geben . Lassen Sie uns eine Normale zeichnen
durch den Ursprung O. Let
sind die Winkel, die von der Normalen gebildet werden mit Koordinatenachsen.
. Lassen ist die Länge des normalen Segments
vor dem Überqueren des Flugzeugs. Angenommen, die Richtungskosinusse der Normalen sind bekannt , leiten wir die Gleichung der Ebene her .

Lassen
) ist ein beliebiger Punkt der Ebene. Der Einheitsnormalenvektor hat Koordinaten. Finden wir die Projektion des Vektors
zu normal.

Seit dem Punkt M gehört dann zum Flugzeug

.

Dies ist die Gleichung für eine gegebene Ebene, genannt normal .

Abstand von Punkt zu Ebene

Lassen Sie ein Flugzeug gegeben werden ,M*
- ein Punkt im Raum d ist seine Entfernung von der Ebene.

Definition. Abweichung Punkte M* aus dem Flugzeug heißt die Zahl ( + d), wenn M* liegt auf der anderen Seite der Ebene, wo die positive Richtung der Normalen zeigt , und Zahl (- d) wenn der Punkt auf der anderen Seite der Ebene liegt:

.

Satz. Lassen Sie das Flugzeug mit Einheit normal gegeben durch die Normalgleichung:

Lassen M*
– Raumpunkt Abweichung t. M* aus der Ebene ist durch den Ausdruck gegeben

Nachweisen. Projektion t.
* bezeichnen die Normalität Q. Punktabweichung M* aus dem Flugzeug ist

.

Regel. Finden Abweichung t. M* aus der Ebene müssen Sie die Koordinaten t in die Normalgleichung der Ebene einsetzen. M* . Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene ist .

Reduktion der allgemeinen Ebenengleichung auf Normalform

Dieselbe Ebene sei durch zwei Gleichungen gegeben:

Allgemeine Gleichung,

normale Gleichung.

Da beide Gleichungen dieselbe Ebene definieren, sind ihre Koeffizienten proportional:

Wir quadrieren die ersten drei Gleichheiten und addieren:

Ab hier finden wir ist der Normalisierungsfaktor:

. (10)

Durch Multiplikation der allgemeinen Ebenengleichung mit dem Normierungsfaktor erhalten wir die Normalgleichung der Ebene:

Beispiele für Aufgaben zum Thema "Flugzeug".

Beispiel 1 Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf einen bestimmten Punkt passieren
(2,1,-1) und parallel zur Ebene.

Lösung. Normal bis plan :
. Da die Ebenen parallel sind, ist die Normale ist auch die Normale zur gewünschten Ebene . Unter Verwendung der Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt (3) geht, erhalten wir für die Ebene Die gleichung:

Antworten:

Beispiel 2 Die Basis der Senkrechten fiel vom Ursprung zur Ebene , ist ein Punkt
. Finde die Gleichung der Ebene .

Lösung. Vektor
ist die Normale zur Ebene . Punkt M 0 gehört zum Flugzeug. Sie können die Gleichung einer Ebene verwenden, die durch einen bestimmten Punkt verläuft (3):

Antworten:

Beispiel 3 Flugzeug bauen durch die Punkte gehen

und senkrecht zur Ebene :.

Daher irgendwann M (x, j, z) gehörte zum Flugzeug , ist es notwendig, dass drei Vektoren
waren koplanar:

=0.

Es bleibt, die Determinante zu öffnen und den resultierenden Ausdruck in die Form der allgemeinen Gleichung (1) zu bringen.

Beispiel 4 Ebene gegeben durch die allgemeine Gleichung:

Punktabweichung finden
aus einem bestimmten Flugzeug.

Lösung. Wir bringen die Ebenengleichung auf Normalform.

,

.

Setzen Sie in die resultierende Normalengleichung die Koordinaten des Punktes ein M*.

.

Antworten:
.

Beispiel 5 Ob das Segment die Ebene schneidet.

Lösung. Schneiden ABüberquerte das Flugzeug, Abweichungen und aus dem Flugzeug muss verschiedene Vorzeichen haben:

.

Beispiel 6 Der Schnittpunkt dreier Ebenen an einem Punkt.

.

Das System hat eine eindeutige Lösung, daher haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Punkt.

Beispiel 7 Finden der Winkelhalbierenden eines Diederwinkels, der durch zwei gegebene Ebenen gebildet wird.

Lassen und - Abweichung von einem Punkt
aus der ersten und zweiten Ebene.

Auf einer der Winkelhalbierenden (entsprechend dem Winkel, in dem der Koordinatenursprung liegt) sind diese Abweichungen in Betrag und Vorzeichen gleich, auf der anderen in Betrag und Vorzeichen gleich.

Dies ist die Gleichung der ersten Winkelhalbierenden.

Dies ist die Gleichung der zweiten Winkelhalbierenden.

Beispiel 8 Finden der Position von zwei Datenpunkten und relativ zu den von diesen Ebenen gebildeten Diederwinkeln.

Lassen
. Bestimmen Sie: in einer, in benachbarten oder in senkrechten Ecken gibt es Punkte und .

a). Wenn ein und auf einer Seite liegen und von , dann liegen sie im gleichen Flächenwinkel.

b). Wenn ein und auf einer Seite liegen und anders als , dann liegen sie in benachbarten Ecken.

in). Wenn ein und liegen auf gegenüberliegenden Seiten von und , dann liegen sie in senkrechten Winkeln.

Koordinatensysteme 3

Linien auf Ebene 8

Linien erster Ordnung. Gerade Linien in einem Flugzeug. zehn

Winkel zwischen Linien 12

Allgemeine Geradengleichung 13

Unvollständige Gleichung ersten Grades 14

Gleichung einer Geraden „in Segmenten“ 14

Gemeinsames Studium der Gleichungen zweier Linien 15

Normal bis Zeile 15

Winkel zwischen zwei Geraden 16

Kanonische Geradengleichung 16

Parametrische Gleichungen einer Geraden 17

Normale (normierte) Gleichung einer Geraden 18

Abstand vom Punkt zur Linie 19

Leitungsbündelgleichung 20

Beispielaufgaben zum Thema „Gerade Linie im Flugzeug“ 22

Kreuzprodukt der Vektoren 24

Produktübergreifende Eigenschaften 24

Geometrische Eigenschaften 24

Algebraische Eigenschaften 25

Ausdruck des Kreuzprodukts durch die Koordinaten der Faktoren 26

Mischprodukt aus drei Vektoren 28

Die geometrische Bedeutung des Mischprodukts 28

Das Mischprodukt in Vektorkoordinaten ausdrücken 29

Beispiele für Problemlösungen

In diesem Artikel geht es um die Bestimmung der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene. Analysieren wir die Koordinatenmethode, mit der wir die Entfernung von einem bestimmten Punkt im dreidimensionalen Raum ermitteln können. Betrachten Sie zur Konsolidierung Beispiele für mehrere Aufgaben.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wird durch einen bekannten Abstand von einem Punkt zu einem Punkt gefunden, wobei einer davon gegeben ist und der andere eine Projektion auf eine gegebene Ebene ist.

Wenn ein Punkt M 1 mit einer Ebene χ im Raum gegeben ist, dann kann durch den Punkt eine senkrecht zur Ebene stehende Gerade gezogen werden. H 1 ist ein gemeinsamer Punkt ihres Schnittpunkts. Daraus ergibt sich, dass die Strecke M 1 H 1 eine Senkrechte ist, die vom Punkt M 1 zur Ebene χ gezogen wurde, wobei der Punkt H 1 die Basis der Senkrechten ist.

Bestimmung 1

Sie nennen den Abstand von einem bestimmten Punkt zur Basis der Senkrechten, die von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene gezogen wurde.

Die Definition kann in verschiedenen Formulierungen geschrieben werden.

Bestimmung 2

Abstand von Punkt zu Ebene wird die Länge der Senkrechten genannt, die von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene gezogen wird.

Der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene χ ist wie folgt definiert: Der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene χ ist der kleinste von einem gegebenen Punkt zu irgendeinem Punkt in der Ebene. Wenn sich der Punkt H 2 in der χ-Ebene befindet und nicht gleich dem Punkt H 2 ist, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck der Form M 2 H 1 H 2 , die rechteckig ist, wo es ein Bein M 2 H 1, M 2 H 2 gibt - Hypotenuse. Daraus folgt also, dass M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 als geneigt betrachtet, die vom Punkt M 1 zur Ebene χ gezogen wird. Wir haben festgestellt, dass die von einem gegebenen Punkt zu einer Ebene gezogene Senkrechte kleiner ist als die von einem Punkt zu einer gegebenen Ebene gezogene Senkrechte. Betrachten Sie diesen Fall in der Abbildung unten.

Abstand von einem Punkt zu einer Ebene - Theorie, Beispiele, Lösungen

Es gibt eine Reihe geometrischer Probleme, deren Lösungen den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene enthalten müssen. Die Möglichkeiten, dies zu erkennen, können unterschiedlich sein. Verwenden Sie zur Auflösung den Satz des Pythagoras oder die Ähnlichkeit von Dreiecken. Wenn es gemäß der Bedingung erforderlich ist, die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene zu berechnen, die in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums gegeben ist, lösen sie sie mit der Koordinatenmethode. Dieser Absatz befasst sich mit dieser Methode.

Gemäß der Bedingung des Problems haben wir, dass ein Punkt im dreidimensionalen Raum mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) mit der Ebene χ gegeben ist, es ist notwendig, die Entfernung von M 1 zu zu bestimmen die Ebene χ. Zur Lösung werden mehrere Lösungen verwendet.

Erster Weg

Dieses Verfahren basiert auf dem Finden des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene unter Verwendung der Koordinaten des Punktes H 1 , die die Basis der Senkrechten von dem Punkt M 1 zu der Ebene χ sind. Als nächstes müssen Sie den Abstand zwischen M 1 und H 1 berechnen.

Um das Problem auf dem zweiten Weg zu lösen, wird die Normalengleichung einer gegebenen Ebene verwendet.

Zweiter Weg

Als Bedingung haben wir, dass H 1 die Basis der Senkrechten ist, die vom Punkt M 1 auf die Ebene χ abgesenkt wurde. Dann bestimmen wir die Koordinaten (x 2, y 2, z 2) des Punktes H 1. Der gewünschte Abstand von M 1 zur χ-Ebene wird durch die Formel M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 ermittelt, wobei M 1 (x 1, y 1 , z 1) und H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Zum Lösen müssen Sie die Koordinaten des Punktes H 1 kennen.

Wir haben, dass H 1 der Schnittpunkt der Ebene χ mit der Linie a ist, die durch den senkrecht zur Ebene χ liegenden Punkt M 1 verläuft. Daraus folgt, dass es notwendig ist, die Gleichung einer geraden Linie zu formulieren, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene verläuft. Dann können wir die Koordinaten des Punktes H 1 bestimmen. Es ist notwendig, die Koordinaten des Schnittpunkts der Linie und der Ebene zu berechnen.

Algorithmus zum Ermitteln des Abstands von einem Punkt mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) zur χ-Ebene:

Bestimmung 3

• komponieren Sie die Gleichung einer geraden Linie a, die durch den Punkt M 1 und gleichzeitig geht
• senkrecht zur χ-Ebene;
• Finde und berechne die Koordinaten (x 2, y 2, z 2) des Punktes H 1, die Punkte sind
• Schnittpunkt der Geraden a mit der Ebene χ ;
• Berechnen Sie den Abstand von M 1 zu χ mit der Formel M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Dritter Weg

In einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem O x y z gibt es eine Ebene χ, dann erhalten wir eine Normalengleichung der Ebene der Form cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Daraus ergibt sich, dass der Abstand M 1 H 1 mit dem Punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) zur Ebene χ gezogen wird, berechnet nach der Formel M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Diese Formel ist gültig, da sie dank des Satzes aufgestellt ist.

Satz

Wenn ein Punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) im dreidimensionalen Raum gegeben ist, mit einer Normalengleichung der χ-Ebene der Form cos α x + cos β y + cos γ z – p = 0, dann wird die Berechnung des Abstands vom Punkt zur Ebene M 1 H 1 aus der Formel M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p abgeleitet, da x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Nachweisen

Der Beweis des Satzes reduziert sich darauf, den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden zu bestimmen. Daraus erhalten wir, dass der Abstand von M 1 zur χ-Ebene der Betrag der Differenz zwischen der numerischen Projektion des Radiusvektors M 1 mit dem Abstand vom Ursprung zur χ-Ebene ist. Dann erhalten wir den Ausdruck M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Der Normalenvektor der Ebene χ hat die Form n → = cos α , cos β , cos γ , und seine Länge ist gleich eins, n p n → O M → ist die numerische Projektion des Vektors O M → = (x 1 , y 1 , z 1) in der durch den Vektor n → bestimmten Richtung.

Wenden wir die Formel zur Berechnung von Skalarvektoren an. Dann erhalten wir einen Ausdruck zum Finden eines Vektors der Form n → , OM → = n → n p n → OM → = 1 n p n → OM → = n p n → OM → , da n → = cos α , cos β , cos γ z und OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . Die Koordinatenform der Notation hat die Form n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, dann M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Der Satz ist bewiesen.

Daraus ergibt sich, dass der Abstand vom Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) zur Ebene χ durch Einsetzen in die linke Seite der Normalgleichung der Ebene cos α x + cos β y + cos berechnet wird γ z - p = 0 statt x, y, z Koordinaten x 1 , y 1 und z1 bezogen auf den Punkt M 1 , wobei der Absolutwert des erhaltenen Werts genommen wird.

Betrachten Sie Beispiele zum Ermitteln der Entfernung von einem Punkt mit Koordinaten zu einer bestimmten Ebene.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (5 , - 3 , 10) zur Ebene 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Lösung

Lassen Sie uns das Problem auf zwei Arten lösen.

Die erste Methode beginnt mit der Berechnung des Richtungsvektors der Linie a . Als Bedingung haben wir, dass die gegebene Gleichung 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 eine allgemeine Ebenengleichung ist und n → \u003d (2, - 1, 5) der Normalenvektor der gegebenen Ebene ist. Er dient als Richtungsvektor für die Gerade a, die senkrecht auf der gegebenen Ebene steht. Sie sollten die kanonische Gleichung einer geraden Linie im Raum schreiben, die durch M 1 (5, - 3, 10) mit einem Richtungsvektor mit den Koordinaten 2, - 1, 5 verläuft.

Die Gleichung sieht folgendermaßen aus: x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Schnittpunkte sollten definiert werden. Kombinieren Sie dazu die Gleichungen vorsichtig zu einem System für den Übergang von der kanonischen zu den Gleichungen zweier sich schneidender Linien. Nehmen wir diesen Punkt als H 1 . Das verstehen wir

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Dann müssen Sie das System aktivieren

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Wenden wir uns der Regel zur Lösung des Systems nach Gauß zu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Wir erhalten das H 1 (1, - 1, 0) .

Wir berechnen die Entfernung von einem bestimmten Punkt zu einer Ebene. Wir nehmen die Punkte M 1 (5, - 3, 10) und H 1 (1, - 1, 0) und erhalten

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Die zweite Lösung besteht darin, zunächst die gegebene Gleichung 2 x - y + 5 z - 3 = 0 in Normalform zu bringen. Wir bestimmen den Normierungsfaktor und erhalten 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Daraus leiten wir die Gleichung der Ebene 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 ab. Die linke Seite der Gleichung wird berechnet, indem x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 ersetzt wird, und Sie müssen den Abstand von M 1 (5, - 3, 10) bis 2 x - y + nehmen 5 z - 3 = 0 modulo. Wir erhalten den Ausdruck:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Antwort: 2 30 .

Wenn die χ-Ebene durch eine der Methoden im Abschnitt Methoden zur Ebenendefinition gegeben ist, müssen Sie zuerst die Gleichung der χ-Ebene erhalten und die gewünschte Entfernung mit einer beliebigen Methode berechnen.

Beispiel 2

Punkte mit Koordinaten M 1 (5, –3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, – 1) werden im dreidimensionalen Raum gesetzt. Berechne den Abstand von M 1 zur Ebene A B C.

Lösung

Zuerst müssen Sie die Gleichung der Ebene aufschreiben, die durch die gegebenen drei Punkte mit den Koordinaten M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - eins) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Daraus folgt, dass das Problem eine ähnliche Lösung wie das vorherige hat. Daher beträgt der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene A B C 2 30 .

Antwort: 2 30 .

Um den Abstand von einem bestimmten Punkt auf einer Ebene oder zu einer Ebene, zu der sie parallel sind, zu ermitteln, ist es bequemer, die Formel M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p anzuwenden . Daraus ergibt sich, dass die Normalgleichungen der Ebenen in mehreren Schritten erhalten werden.

Beispiel 3

Finden Sie den Abstand von einem gegebenen Punkt mit den Koordinaten M 1 (-3, 2, -7) zu der Koordinatenebene O x y z und der Ebene, die durch die Gleichung 2 y - 5 = 0 gegeben ist.

Lösung

Die Koordinatenebene O y z entspricht einer Gleichung der Form x = 0. Für die O y z-Ebene ist es normal. Daher ist es notwendig, die Werte x \u003d - 3 auf der linken Seite des Ausdrucks einzusetzen und den Absolutwert der Entfernung vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (- 3, 2, - 7) zur Ebene zu nehmen . Wir erhalten den Wert gleich -3 = 3 .

Nach der Transformation nimmt die Normalgleichung der Ebene 2 y - 5 = 0 die Form y - 5 2 = 0 an. Dann können Sie den erforderlichen Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (- 3 , 2 , - 7) zur Ebene 2 y - 5 = 0 finden. Durch Einsetzen und Rechnen erhalten wir 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Antworten: Der gewünschte Abstand von M 1 (–3, 2, –7) zu O y z hat einen Wert von 3 und zu 2 y – 5 = 0 hat einen Wert von 5 2 – 2 .

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Das Finden des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene ist ein häufiges Problem, das bei der Lösung verschiedener Probleme der analytischen Geometrie auftritt. Beispielsweise kann das Finden des Abstands zwischen zwei sich schneidenden Linien oder zwischen einer Linie und einer dazu parallelen Ebene auf dieses Problem reduziert werden.

Betrachten Sie die Ebene $β$ und den Punkt $M_0$ mit den Koordinaten $(x_0;y_0; z_0)$, der nicht zur Ebene $β$ gehört.

Bestimmung 1

Der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene ist das Lot, das vom Punkt $M_0$ auf die Ebene $β$ fällt.

Abbildung 1. Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene. Author24 - Online-Austausch von Studienarbeiten

Im Folgenden erfahren Sie, wie Sie die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene mithilfe der Koordinatenmethode ermitteln.

Herleitung der Formel für das Koordinatenverfahren zur Ermittlung der Entfernung eines Punktes zu einer Ebene im Raum

Die Senkrechte vom Punkt $M_0$, die die Ebene $β$ im Punkt $M_1$ mit den Koordinaten $(x_1;y_1; z_1)$ schneidet, liegt auf einer Geraden, deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene $ ist β$. In diesem Fall ist die Länge des Einheitsvektors $n$ gleich eins. Dementsprechend ist die Entfernung von $β$ zum Punkt $M_0$:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, wobei $\vec(M_1M_0)$ der Normalenvektor von $β$ und $\vec(n)$ ist - Einheitsnormalenvektor der betrachteten Ebene.

Falls die Gleichung der Ebene in der allgemeinen Form $Ax+ By + Cz + D=0$ gegeben ist, sind die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene die Koeffizienten der Gleichung $\(A;B;C\ )$, und der Einheitsnormalenvektor hat in diesem Fall die Koordinaten , berechnet nach folgender Gleichung:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Jetzt können wir die Koordinaten des Normalenvektors $\vec(M_1M_0)$ finden:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 - x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

Wir drücken den Koeffizienten $D$ auch durch die Koordinaten eines Punktes aus, der in der $β$-Ebene liegt:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Die Koordinaten des Einheitsnormalenvektors aus der Gleichung $(2)$ können in die Gleichung der Ebene $β$ eingesetzt werden, dann haben wir:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\links(4\rechts)$

Die Gleichheit $(4)$ ist eine Formel zum Ermitteln der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene im Raum.

Allgemeiner Algorithmus zum Finden der Entfernung vom Punkt $M_0$ zur Ebene

1. Wenn die Ebenengleichung nicht in allgemeiner Form gegeben ist, müssen Sie sie zuerst auf eine allgemeine bringen.
2. Danach ist es notwendig, den Normalenvektor der gegebenen Ebene aus der allgemeinen Gleichung der Ebene durch den Punkt $M_0$ und den zur gegebenen Ebene gehörenden Punkt auszudrücken, dafür müssen Sie die Gleichheit $(3 )$.
3. Der nächste Schritt ist die Suche nach den Koordinaten des Einheitsnormalenvektors der Ebene unter Verwendung der Formel $(2)$.
4. Schließlich können Sie nach der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene suchen, indem Sie das Skalarprodukt der Vektoren $\vec(n)$ und $\vec(M_1M_0)$ berechnen.