Geraden l1 und l2 heißen schneidend, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen. Seien a und b die Richtungsvektoren dieser Linien, und die Punkte M1 und M2 gehören jeweils zu den Linien und l1 und l2

Dann sind die Vektoren a, b, M1M2> nicht koplanar, und daher ist ihr Mischprodukt ungleich Null, also (a, b, M1M2>) =/= 0. Auch die Umkehrung gilt: Wenn (a, b, M1M2> ) =/= 0, dann sind die Vektoren a, b, M1M2> nicht koplanar, und folglich liegen die Geraden l1 und l2 nicht in derselben Ebene, d.h. sie schneiden sich, also schneiden sich zwei Geraden genau dann, wenn und nur wenn bedingung(a, b, M1M2>) =/= 0, wobei a und b die Richtungsvektoren der Linien sind und M1 und M2 die Punkte sind, die jeweils zu den gegebenen Linien gehören. Die Bedingung (a, b, M1M2>) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Linien in der gleichen Ebene liegen. Wenn die Linien durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben sind

dann a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) und Bedingung (2) wird wie folgt geschrieben:

Abstand zwischen sich schneidenden Linien

dies ist der Abstand zwischen einer der schiefen Linien und einer Ebene parallel dazu, die durch die andere Linie verläuft Der Abstand zwischen den schiefen Linien ist der Abstand von einem Punkt einer der schiefen Linien zu einer Ebene, die durch die andere Linie parallel zu verläuft die erste Zeile.

26. Definition einer Ellipse, kanonische Gleichung. Herleitung der kanonischen Gleichung. Eigenschaften.

Eine Ellipse ist der Ort von Punkten in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei fokussierten Punkten F1 und F2 dieser Ebene, genannt Brennpunkte, ein konstanter Wert ist, was das Zusammenfallen der Brennpunkte der Ellipse nicht ausschließt System so, dass die Ellipse durch die Gleichung (die kanonische Gleichung der Ellipse) beschrieben wird:

Sie beschreibt eine im Ursprung zentrierte Ellipse, deren Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen.

Wenn auf der rechten Seite eine Einheit mit Minuszeichen steht, dann ist die resultierende Gleichung:

beschreibt eine imaginäre Ellipse. Es ist unmöglich, eine solche Ellipse in der realen Ebene darzustellen.Bezeichnen wir die Brennpunkte mit F1 und F2, den Abstand zwischen ihnen mit 2c und die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt der Ellipse zu den Brennpunkten mit 2a

Zur Herleitung der Ellipsengleichung wählen wir das Koordinatensystem Oxy so, dass die Brennpunkte F1 und F2 auf der Ox-Achse liegen und der Koordinatenursprung mit der Mitte der Strecke F1F2 zusammenfällt. Dann haben die Brennpunkte folgende Koordinaten: u Sei M(x; y) ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann ist gemäß der Definition einer Ellipse, d.h.

Dies ist tatsächlich die Gleichung einer Ellipse.

27. Definition einer Hyperbel, kanonische Gleichung. Herleitung der kanonischen Gleichung. Eigenschaften

Eine Hyperbel ist eine Ortskurve von Punkten in einer Ebene, für die der Absolutwert der Differenz zwischen den Abständen zu zwei festen Punkten F1 und F2 dieser Ebene, genannt Brennpunkte, eine Konstante ist, sei M(x;y) ein beliebiger Punkt der Hyperbel. Dann gilt nach Definition einer Hyperbel |MF 1 – MF 2 |=2a oder MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definition einer Parabel, kanonische Gleichung. Herleitung der kanonischen Gleichung. Eigenschaften. Eine Parabel ist ein GMT einer Ebene, für die der Abstand zu einem festen Punkt F dieser Ebene gleich dem Abstand zu einer festen geraden Linie ist, die sich ebenfalls in der betrachteten Ebene befindet. F ist der Brennpunkt der Parabel; die feste Gerade ist die Leitlinie der Parabel. r=d,

r=; d=x+p/2; (x – p/2) 2 + y 2 = (x + p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2/4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2/4; j 2 =2px;

Eigenschaften: 1. Die Parabel hat eine Symmetrieachse (die Achse der Parabel); 2.Alle

die Parabel befindet sich in der rechten Halbebene der Oxy-Ebene bei p>0 und in der linken

wenn P<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

Vorlesung: Sich schneidende, parallele und schiefe Linien; Rechtwinkligkeit der Linien

Schnittlinien

Wenn es mehrere gerade Linien in der Ebene gibt, werden sie sich früher oder später entweder willkürlich oder rechtwinklig schneiden oder parallel sein. Werfen wir einen Blick auf jeden Fall.

Schnittlinien sind Linien, die mindestens einen Schnittpunkt haben.

Sie fragen sich vielleicht, warum nicht mindestens eine Linie eine andere Linie zwei- oder dreimal schneiden kann. Sie haben Recht! Aber die Linien können vollständig miteinander übereinstimmen. In diesem Fall gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte.

Parallelität

Parallel man kann jene Linien benennen, die sich niemals schneiden werden, nicht einmal im Unendlichen.

Mit anderen Worten, parallel sind diejenigen, die keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben. Bitte beachten Sie, dass diese Definition nur gültig ist, wenn sich die Linien in derselben Ebene befinden, aber wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben und sich in verschiedenen Ebenen befinden, werden sie als sich schneidend betrachtet.

Beispiele für parallele Linien im Leben: zwei gegenüberliegende Kanten des Monitorbildschirms, Linien in Notizbüchern sowie viele andere Teile von Dingen, die quadratische, rechteckige und andere Formen haben.

Wenn sie schriftlich zeigen wollen, dass eine Linie parallel zur zweiten ist, dann verwendet man die folgende Bezeichnung a||b. Diese Notation besagt, dass Linie a parallel zu Linie b verläuft.

Beim Studium dieses Themas ist es wichtig, eine weitere Aussage zu verstehen: Durch einen Punkt auf der Ebene, der nicht zu einer bestimmten Linie gehört, kann man eine einzelne parallele Linie ziehen. Aber aufgepasst, auch hier ist die Korrektur im Flugzeug. Wenn wir den dreidimensionalen Raum betrachten, ist es möglich, eine unendliche Anzahl von Linien zu zeichnen, die sich nicht schneiden, aber schneiden werden.

Die oben beschriebene Anweisung wird aufgerufen Axiom paralleler Geraden.

Rechtwinkligkeit

Durchwahlen können nur angerufen werden, wenn aufrecht wenn sie sich in einem Winkel von 90 Grad schneiden.

Im Raum können durch einen bestimmten Punkt auf einer Linie unendlich viele senkrechte Linien gezogen werden. Wenn wir jedoch von einer Ebene sprechen, dann kann man durch einen Punkt auf einer Linie eine einzelne senkrechte Linie ziehen.

Gekreuzte Linien. Sekante

Wenn sich einige Linien an einem beliebigen Punkt in einem beliebigen Winkel schneiden, können sie aufgerufen werden Kreuzung.

Alle schiefen Linien haben vertikale Winkel und angrenzende.

Wenn die Winkel, die durch zwei sich schneidende Linien gebildet werden, eine Seite gemeinsam haben, werden sie benachbart genannt:

Benachbarte Winkel addieren sich zu 180 Grad.

GERADE KREUZUNG Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Schnittlinien sind Linien im Raum, die nicht in derselben Ebene liegen. * * * KREUZUNG DIREKTE KREUZUNG RECHTS, gerade Linien im Raum, nicht in der gleichen Ebene liegend ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Gekreuzte Linien sind Linien im Raum, die nicht in derselben Ebene liegen. Durch die S. p. können parallele Ebenen gezogen werden, deren Abstand als Abstand zwischen den S. p. bezeichnet wird. Er ist gleich dem kürzesten Abstand zwischen den Punkten der S. p ... Große sowjetische Enzyklopädie

GERADE KREUZUNG sind Linien im Raum, die nicht in derselben Ebene liegen. Der Winkel zwischen S. p. jeder der Winkel zwischen zwei parallelen Geraden, die durch einen beliebigen Punkt im Raum verlaufen. Wenn a und b Richtungsvektoren von S. p. sind, dann ist der Kosinus des Winkels zwischen S. p ... Mathematische Enzyklopädie

GERADE KREUZUNG- Linien im Raum, die nicht in derselben Ebene liegen ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Parallele Linien- Inhalt 1 In der euklidischen Geometrie 1.1 Eigenschaften 2 In der Lobatschewski-Geometrie ... Wikipedia

Ultraparallele Linien- Inhalt 1 In der euklidischen Geometrie 1.1 Eigenschaften 2 In der Lobatschewski-Geometrie 3 Siehe auch ... Wikipedia

RIEMANN GEOMETRIE- elliptische Geometrie, eine der nicht-euklidischen Geometrien, d. h. geometrisch, eine auf Axiomen basierende Theorie, deren Anforderungen sich von den Anforderungen der Axiome der euklidischen Geometrie unterscheiden. Im Gegensatz zur Euklidischen Geometrie in R. G. ... ... Mathematische Enzyklopädie

Wenn zwei Linien im Raum einen gemeinsamen Punkt haben, dann sagt man, dass sich diese beiden Linien schneiden. In der folgenden Abbildung schneiden sich die Linien a und b am Punkt A. Die Linien a und c schneiden sich nicht.

Zwei beliebige Geraden haben entweder nur einen gemeinsamen Punkt oder keinen gemeinsamen Punkt.

Parallele Linien

Zwei Geraden im Raum heißen parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und sich nicht schneiden. Um parallele Linien zu kennzeichnen, verwenden Sie ein spezielles Symbol - ||.

Die Notation a||b bedeutet, dass Linie a parallel zu Linie b verläuft. In der obigen Abbildung sind die Linien a und c parallel.

Satz von parallelen Linien

Durch jeden Raumpunkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine zu dieser Geraden parallele Gerade, und zwar nur eine.

Gekreuzte Linien

Zwei Geraden, die in derselben Ebene liegen, können sich entweder schneiden oder parallel sein. Aber im Raum müssen zwei Geraden nicht zur gleichen Ebene gehören. Sie können sich in zwei verschiedenen Ebenen befinden.

Offensichtlich schneiden sich Linien, die sich in verschiedenen Ebenen befinden, nicht und sind keine parallelen Linien. Zwei Geraden, die nicht in derselben Ebene liegen, werden genannt Grenzen überschreiten.

Die folgende Abbildung zeigt zwei Schnittlinien a und b, die in unterschiedlichen Ebenen liegen.

Vorzeichen und der Satz der schiefen Linien

Wenn eine von zwei Geraden in einer bestimmten Ebene liegt und die andere Gerade diese Ebene an einem Punkt schneidet, der nicht auf der ersten Geraden liegt, dann sind diese Geraden schief.

Theorem der sich kreuzenden Linien: durch jede der beiden sich schneidenden Geraden geht eine zur anderen Geraden parallele Ebene, und zwar nur eine.

Somit haben wir alle möglichen Fälle einer gegenseitigen Anordnung von Linien im Raum betrachtet. Es gibt nur drei von ihnen.

1. Die Linien schneiden sich. (Das heißt, sie haben nur einen gemeinsamen Punkt.)

2. Linien sind parallel. (Das heißt, sie haben keine gemeinsamen Punkte und liegen in derselben Ebene.)

3. Geraden schneiden sich. (Das heißt, sie befinden sich in verschiedenen Ebenen.)