Alle Menschen streben von Natur aus nach Wissen. (Aristoteles. Metaphysik)

Numerische Methoden: Lösen nichtlinearer Gleichungen

In der Praxis treten immer wieder Probleme beim Lösen von Gleichungen auf, zum Beispiel in der Wirtschaftswissenschaft, beim Aufbau eines Unternehmens will man wissen, wann der Gewinn einen bestimmten Wert erreicht, in der Medizin, beim Studium der Wirkung von Medikamenten, ist es wichtig zu wissen, wann die Konzentration eines Stoffes ein bestimmtes Niveau erreicht usw.

Bei Optimierungsproblemen ist es oft notwendig, die Punkte zu bestimmen, an denen die Ableitung einer Funktion 0 wird, was eine notwendige Bedingung ist lokal extrem.

In der Statistik müssen beim Erstellen von Schätzungen nach der Methode der kleinsten Quadrate oder der Methode der maximalen Wahrscheinlichkeit auch nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme gelöst werden.

Es gibt also eine ganze Klasse von Problemen, die mit dem Finden von Lösungen zusammenhängen nichtlinear Gleichungen, z.B. Gleichungen oder Gleichungen usw.

Im einfachsten Fall haben wir eine auf dem Segment definierte Funktion ( a, b ) und bestimmte Werte annehmen.

Jeder Wert x Aus diesem Segment können wir die Nummer abgleichen, das ist funktionell Abhängigkeit, ein Schlüsselbegriff der Mathematik.

Wir müssen einen solchen Wert finden, bei dem solche die Wurzeln der Funktion genannt werden

Visuell müssen wir den Schnittpunkt des Graphen der Funktion bestimmenmit der Abszissenachse.

Halbierungsmethode

Die einfachste Methode, um die Wurzeln einer Gleichung zu finden, ist die Halbierungsmethode oder Dichotomie.

Diese Methode ist intuitiv und jeder würde bei der Lösung eines Problems ähnlich handeln.

Der Algorithmus ist wie folgt.

Angenommen, wir haben zwei Punkte gefunden und so, dass und haben verschieden Zeichen, dann gibt es zwischen diesen Punkten mindestens eine Nullstelle der Funktion .

Teilen Sie das Segment in zwei Hälften und geben Sie es ein Mitte Punkt .

Dann entweder , oder .

Lassen wir die Hälfte des Segments, für die die Werte an den Enden unterschiedliche Vorzeichen haben. Jetzt teilen wir dieses Segment wieder in zwei Hälften und lassen den Teil davon, an dessen Grenzen die Funktion unterschiedliche Vorzeichen hat usw., um die erforderliche Genauigkeit zu erreichen.

Natürlich werden wir den Bereich, in dem sich die Wurzel der Funktion befindet, allmählich eingrenzen und ihn daher mit einem gewissen Grad an Genauigkeit bestimmen.

Beachten Sie, dass der beschriebene Algorithmus für jede stetige Funktion anwendbar ist.

Zu den Vorteilen des Bisektionsverfahrens gehören seine hohe Zuverlässigkeit und Einfachheit.

Der Nachteil der Methode ist die Tatsache, dass vor Beginn ihrer Anwendung zwei Punkte gefunden werden müssen, deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben. Es ist offensichtlich, dass das Verfahren nicht auf Wurzeln mit gerader Vielfachheit anwendbar ist und auch nicht auf den Fall komplexer Wurzeln und Gleichungssysteme verallgemeinert werden kann.

Die Konvergenzordnung des Verfahrens ist linear, bei jedem Schritt verdoppelt sich die Genauigkeit, je mehr Iterationen gemacht werden, desto genauer wird die Wurzel bestimmt.

Newtons Methode: Theoretische Grundlagen

Newtons klassische Methode oder Tangenten liegt in der Tatsache, dass if eine Annäherung an die Wurzel der Gleichung ist , dann wird die nächste Annäherung als Wurzel der Tangente an die am Punkt gezeichnete Funktion definiert.

Die Gleichung der Tangente an eine Funktion an einem Punkt hat die Form:

Setzen wir in die Tangentengleichung und .

Dann ist der Algorithmus der sequentiellen Berechnungen in der Newton-Methode wie folgt:

Die Konvergenz des Tangentenverfahrens ist quadratisch, die Konvergenzordnung ist 2.

Daher ist die Konvergenz des Newtonschen Tangentenverfahrens sehr schnell.

Denken Sie an diese wunderbare Tatsache!

Ohne Änderungen wird das Verfahren auf den komplexen Fall verallgemeinert.

Wenn die Wurzel eine Wurzel der zweiten Multiplizität oder höher ist, fällt die Konvergenzordnung und wird linear.

Übung 1. Finden Sie mit der Tangentenmethode die Lösung der Gleichung im Intervall (0, 2).

Übung 2. Finden Sie mit der Tangentenmethode die Lösung der Gleichung im Intervall (1, 3).

Zu den Nachteilen des Newton-Verfahrens gehört seine Lokalität, da es garantiert nur dann für eine beliebige Anfangsnäherung konvergiert, wenn die Bedingung erfüllt ist , andernfalls gibt es Konvergenz nur in irgendeiner Umgebung der Wurzel.

Der Nachteil des Newton-Verfahrens besteht darin, dass bei jedem Schritt Ableitungen berechnet werden müssen.

Visualisierung des Newton-Verfahrens

Bei der Gleichung wird das Newton-Verfahren (Tangentenverfahren) angewendet f(x) = 0 hat eine Wurzel , und die folgenden Bedingungen sind erfüllt:

1) Funktion j= f(x) ist definiert und stetig für ;

2) f(a)· f(b) < 0 (Die Funktion nimmt an den Enden des Segments Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen an [ a; b]);

3) Derivate f"(x) und f""(x) halten Sie das Schild auf dem Segment [ a; b] (also Funktion f(x) nimmt entweder zu oder ab auf dem Intervall [ a; b], wobei die Richtung der Konvexität beibehalten wird);

Die Grundidee der Methode ist wie folgt: im Intervall [ a; b] wird eine solche Zahl gewählt x 0 , unter welchen f(x 0 ) hat das gleiche Vorzeichen wie f"" (x 0 ), d.h. die Bedingung f(x 0 )· f"" (x) > 0 . Somit wird ein Punkt mit einer Abszisse gewählt x 0 , wo die Tangente an die Kurve j= f(x) auf dem Segment [ a; b] schneidet die Achse Ochse. Für einen Punkt x 0 Zunächst ist es bequem, eines der Enden des Segments auszuwählen.

Betrachten Sie Newtons Methode an einem bestimmten Beispiel.

Geben wir eine steigende Funktion an y \u003d f (x) \u003d x 2 -2, kontinuierlich auf dem Intervall (0;2) und mit f"(x) = 2 x > 0 und f "" (x) = 2 > 0 .

Bild1 . f(x)=x 2 -2

Die Tangentengleichung in allgemeiner Form hat die Darstellung:

y-y 0 = f" (x 0) (x-x 0).

In unserem Fall: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0). Als Punkt x 0 wähle einen Punkt B 1 (b; f(b)) = (2,2). Wir ziehen eine Tangente an die Funktion y = f(x) am Punkt B 1 , und bezeichnen den Schnittpunkt der Tangente und der Achse Ochse Punkt x 1. Wir erhalten die Gleichung der ersten Tangente: y-2=2 2(x-2), y=4x-6.

Ochse: x 1 =

Bild2. Ergebnis der ersten Iteration

y=f(x) Ochse durch einen Punkt x 1, bekommen wir einen Punkt B2 = (1,5; 0,25). Zeichnen Sie erneut eine Tangente an die Funktion y = f(x) am Punkt B 2 und bezeichnen den Schnittpunkt der Tangente und der Achse Ochse Punkt x2.

Gleichung der zweiten Tangente: j-0.25=2*1.5(x-1.5), j = 3 x - 4.25.

Schnittpunkt von Tangente und Achse Ochse: x 2 =.

Bild3. Zweite Iteration des Newton-Verfahrens

Dann finden wir den Schnittpunkt der Funktion y=f(x) und eine Senkrechte zur Achse Ochse durch den Punkt x 2 erhalten wir den Punkt B 3 und so weiter.

Bild4. Der dritte Schritt der Tangentenmethode

Die erste Näherung der Wurzel wird durch die Formel bestimmt:

= 1.5.

Die zweite Näherung der Wurzel wird durch die Formel bestimmt:

=

Die dritte Näherung der Wurzel wird durch die Formel bestimmt:

Auf diese Weise , ich-te Näherung der Wurzel wird durch die Formel bestimmt:

Es wird so lange gerechnet, bis die in der Antwort benötigten Nachkommastellen übereinstimmen oder die angegebene Genauigkeit e erreicht ist – bis die Ungleichung erfüllt ist | xi- xi-1 | < e.

Vergleichen wir in unserem Fall die im dritten Schritt erhaltene Annäherung mit der tatsächlichen Antwort, die auf dem Taschenrechner berechnet wurde:

Abbildung 5. Wurzel aus 2 auf einem Taschenrechner berechnet

Wie Sie sehen können, haben wir bereits im dritten Schritt einen Fehler kleiner als 0,000002 erhalten.

Somit ist es möglich, den Wert des Wertes "Quadratwurzel aus 2" mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen. Diese wunderbare Methode wurde von Newton erfunden und ermöglicht es Ihnen, die Wurzeln sehr komplexer Gleichungen zu finden.

Newton-Methode: C++-Anwendung

In diesem Artikel automatisieren wir das Berechnen der Wurzeln von Gleichungen, indem wir eine Konsolenanwendung in C++ schreiben. Wir werden es in Visual C++ 2010 Express entwickeln, einer kostenlosen und sehr komfortablen C++-Entwicklungsumgebung.

Beginnen wir mit Visual C++ 2010 Express. Das Startfenster des Programms erscheint. Klicken Sie in der linken Ecke auf „Projekt erstellen“.

Reis. 1. Visual C++ 2010 Express-Startseite

Wählen Sie im angezeigten Menü "Win32-Konsolenanwendung" aus und geben Sie den Namen der Anwendung "Newton_Method" ein.

Reis. 2. Erstellen Sie ein Projekt

// Newton_method.cpp: definiert den Einstiegspunkt für die Konsolenanwendung #include "stdafx.h" #enthalten mit Namensraum std; float f(double x) //gibt den Wert der Funktion f(x) = x^2-2 zurück float df(float x) //gibt den Wert der Ableitung zurück float d2f(float x) // Wert der zweiten Ableitung int _tmain(int argc, _TCHAR* argv) int exit = 0, i=0;//Variablen verlassen und Schleifen double x0,xn;// berechnete Näherungen für die Wurzel Double a, b, eps; // Segmentgrenzen und erforderliche Genauigkeit cout<<"Please input \n=>"; cin>>a>>b; // Geben Sie die Grenzen des Segments ein, auf dem wir nach der Wurzel suchen werden cout<<"\nPlease input epsilon\n=>"; cin>>eps; // Geben Sie die gewünschte Berechnungsgenauigkeit ein if (a > b) // Wenn der Benutzer die Grenzen des Segments verwechselt hat, vertausche sie if (f(a)*f(b)>0) // wenn die Vorzeichen der Funktion an den Kanten des Segments gleich sind, dann gibt es keine Wurzel cout<<"\nError! No roots in this interval\n"; wenn (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // um einen Startpunkt auszuwählen, überprüfen Sie f(x0)*d2f(x0)>0 ? xn = x0-f(x0)/df(x0); // Zähle die erste Annäherung cout<<++i<<"-th iteration = "< while(fabs(x0-xn) > eps) // bis wir die erforderliche Genauigkeit erreicht haben, wird weiter gerechnet xn = x0-f(x0)/df(x0); // direkt Newtons Formel cout<<++i<<"-th iteration = "< cout<<"\nRoot = "< cout<<"\nExit?=>"; ) while (exit!=1); // bis der Benutzer exit = 1 eingibt

Mal sehen, wie es funktioniert. Klicken Sie auf das grüne Dreieck in der oberen linken Ecke des Bildschirms oder drücken Sie F5.

Wenn ein Kompilierungsfehler auftritt "Fehler Fehler LNK1123: Fehler beim Konvertieren in COFF: Datei ist ungültig oder beschädigt", dann wird dies entweder durch die Installation des ersten Service Pack 1 behandelt, oder in den Projekteinstellungen Eigenschaften -> Linker, inkrementelles Linken deaktivieren.

Reis. 4. Beheben des Projektkompilierungsfehlers

Wir werden nach den Wurzeln der Funktion suchen f(x) =x2-2.

Lassen Sie uns zunächst die Anwendung mit den „falschen“ Eingabedaten testen. Es gibt keine Wurzeln auf dem Segment, unser Programm sollte eine Fehlermeldung ausgeben.

Wir haben ein Bewerbungsfenster:

Reis. 5. Eingabe von Eingabedaten

Wir führen die Grenzen der Segmente 3 und 5 ein, und die Genauigkeit beträgt 0,05. Das Programm gab, wie es sollte, eine Fehlermeldung aus, dass es in diesem Segment keine Wurzeln gibt.

Reis. 6. Fehler "Es gibt keine Wurzeln in diesem Segment!"

Wir werden noch nicht gehen, also erscheint die Meldung „Exit?“ "0" eingeben.

Lassen Sie uns nun die Anwendung mit den richtigen Eingabedaten testen. Lassen Sie uns ein Segment und eine Genauigkeit von 0,0001 einführen.

Reis. 7. Berechnen der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit

Wie wir sehen, wurde die erforderliche Genauigkeit bereits bei der 4. Iteration erreicht.

Um die Anwendung zu beenden, geben Sie „Beenden?“ ein. => 1.

Die Sekantenmethode

Um die Berechnung der Ableitung zu vermeiden, kann die Newton-Methode vereinfacht werden, indem die Ableitung durch einen Näherungswert ersetzt wird, der aus den beiden vorherigen Punkten berechnet wird:

Der iterative Prozess sieht folgendermaßen aus:

Dies ist ein zweistufiger iterativer Prozess, da er die vorherigen zwei verwendet, um die nächste Annäherung zu finden.

Die Konvergenzordnung der Sekantenmethode ist niedriger als die der Tangentenmethode und bei einer einzelnen Wurzel gleich.

Dieser wunderbare Wert wird Goldener Schnitt genannt:

Wir überprüfen dies, indem wir der Einfachheit halber annehmen, dass .

Also bis zu Infinitesimalen höherer Ordnung

Verwerfen wir den Restterm, so erhalten wir eine Rekursion, deren Lösung natürlich in der Form gesucht wird.

Nach Substitution haben wir: und

Für die Konvergenz ist es notwendig, dass es positiv ist, also .

Da die Kenntnis der Ableitung nicht erforderlich ist, kann man bei gleichem Rechenaufwand beim Sekantenverfahren (trotz niedrigerer Konvergenzordnung) eine höhere Genauigkeit erreichen als beim Tangentenverfahren.

Beachten Sie, dass man in der Nähe der Wurzel durch eine kleine Zahl dividieren muss, was zu einem Genauigkeitsverlust führt (insbesondere im Fall von mehreren Wurzeln). Wenn man also eine relativ kleine wählt, führt man Berechnungen bis zur Ausführung durch und setze sie fort, bis der Betrag der Differenz zwischen benachbarten Näherungen abnimmt.

Sobald das Wachstum beginnt, werden die Berechnungen gestoppt und die letzte Iteration nicht verwendet.

Dieses Verfahren zur Bestimmung des Endes von Iterationen wird als Technik bezeichnet Harvick.

Parabel-Methode

Stellen Sie sich ein dreistufiges Verfahren vor, bei dem die Annäherung durch die drei vorherigen Punkte , und bestimmt wird.

Dazu ersetzen wir, ähnlich wie bei der Sekantenmethode, die Funktion durch eine Interpolationsparabel, die durch die Punkte , und geht.

In Newtons Form sieht es so aus:

Ein Punkt wird als derjenige der Wurzeln dieses Polynoms definiert, der im Modul näher an dem Punkt liegt.

Die Konvergenzordnung der Parabelmethode ist höher als die der Sekantenmethode, aber niedriger als die der Newton-Methode.

Ein wichtiger Unterschied zu den bisher betrachteten Methoden besteht darin, dass die Parabelmethode auch dann zu einer komplexen Wurzel des ursprünglichen Problems führen kann, wenn real für real ist und die Startnäherungen reell gewählt werden.

Diese Methode ist sehr nützlich, um Wurzeln von Polynomen hohen Grades zu finden.

Einfache Iterationsmethode

Das Problem der Lösung von Gleichungen kann als Problem der Wurzelfindung formuliert werden: , oder als Problem der Fixpunktfindung.

Lassen und - Komprimierung: (insbesondere die Tatsache, dass - Komprimierung, wie leicht zu sehen ist, dies bedeutet).

Nach dem Satz von Banach gibt es einen eindeutigen Fixpunkt

Sie kann als Grenze eines einfachen iterativen Verfahrens gefunden werden

wobei die anfängliche Annäherung ein beliebiger Punkt im Intervall ist.

Wenn die Funktion differenzierbar ist, dann ist ein bequemes Komprimierungskriterium die Zahl . In der Tat nach dem Lagrange-Theorem

Wenn also die Ableitung kleiner als eins ist, handelt es sich um eine Kontraktion.

Zustand ist wesentlich, denn wenn z. B. auf , dann gibt es keinen Fixpunkt, obwohl die Ableitung gleich Null ist. Die Konvergenzrate hängt vom Wert von ab. Je kleiner , desto schneller die Konvergenz.

Die Wurzel der Gleichung f(x)=0 sei auf dem Segment getrennt und die erste und zweite Ableitung von f’(x) und f""(x) sind stetig und haben für хн ein konstantes Vorzeichen.

Die nächste Annäherung an die Wurzel x n soll bei irgendeinem Schritt der Wurzelverfeinerung erhalten (gewählt) werden . Nehmen Sie dann an, dass die nächste Näherung mit Hilfe der Korrektur h n erhalten wird , ergibt den genauen Wert der Wurzel

x \u003d xn + hn. (1.2.3-6)

Zählen h n kleinen Wert darstellen, stellen wir f(x n + h n) als Taylor-Reihe dar und beschränken uns auf lineare Terme

f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)

Unter Berücksichtigung von f(x) = f(х n + h n) = 0 erhalten wir f(х n) + h n f ’(х n) » 0.

Also h n "- f (x n) / f'(x n). Ersetzen Sie den Wert h n in (1.2.3-6) und anstelle des genauen Wertes der Wurzel x wir erhalten eine andere Annäherung

Formel (1.2.3-8) ermöglicht es Ihnen, eine Folge von Näherungen x 1, x 2, x 3 ... zu erhalten, die unter bestimmten Bedingungen gegen den genauen Wert der Wurzel konvergiert x, also

Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens ist wie folgt
(Abb.1.2.3-6). Wir nehmen das rechte Ende des Segments b als anfängliche Annäherung x 0 und konstruieren am entsprechenden Punkt B 0 im Graphen der Funktion y \u003d f (x) eine Tangente. Als neue, genauere Näherung x 1 wird der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse angenommen. Wenn Sie diesen Vorgang viele Male wiederholen, erhalten Sie eine Folge von Näherungen x 0, x 1, x 2 , . . ., die zum exakten Wert der Wurzel tendiert x.

Die Berechnungsformel des Newton-Verfahrens (1.2.3-8) kann aus einer geometrischen Konstruktion gewonnen werden. Also in einem rechtwinkligen Dreieck x 0 B 0 x 1 Schenkel
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. In Anbetracht dessen, dass sich Punkt B 0 auf dem Graphen der Funktion befindet f(x), und die Hypotenuse wird durch eine Tangente an den Graphen f (x) am Punkt B 0 gebildet, erhalten wir

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Diese Formel stimmt mit (1.2.3-8) für die n-te Näherung überein.

Aus Abb. 1.2.3-6 ist ersichtlich, dass die Wahl des Punktes a als erste Näherung dazu führen kann, dass die nächste Näherung x 1 außerhalb der Strecke liegt, auf der die Wurzel getrennt wird x. In diesem Fall ist die Konvergenz des Prozesses nicht gewährleistet. Im allgemeinen Fall erfolgt die Wahl der ersten Näherung nach folgender Regel: Für die erste Näherung sollte man einen solchen Punkt x 0 н nehmen, an dem f (x 0) × f '' (x 0) > 0, d. h. die Vorzeichen der Funktion und ihrer zweiten Ableitung stimmen überein.

Die Konvergenzbedingungen für das Newtonsche Verfahren werden im folgenden Satz formuliert.

Wenn die Wurzel der Gleichung auf dem Segment getrennt wird, und f'(x 0) und f''(x) von Null verschieden sind und ihr Vorzeichen bei behalten xo, dann wenn wir einen solchen Punkt als erste Annäherung wählen x 0 О , was f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , dann die Wurzel der Gleichung f(x)=0 kann mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden.

Die Fehlerschätzung des Newton-Verfahrens wird durch den folgenden Ausdruck bestimmt:

(1.2.3-11)

wo ist der kleinste wert beim

Höchster Wert beim

Der Berechnungsvorgang wird abgebrochen, wenn ,

wo ist die angegebene Genauigkeit.

Darüber hinaus können die folgenden Ausdrücke als Bedingung für das Erreichen einer bestimmten Genauigkeit bei der Verfeinerung der Wurzel nach dem Newton-Verfahren dienen:

Das Schema des Algorithmus der Newton-Methode ist in Abb. 1 dargestellt. 1.2.3-7.

Die linke Seite der ursprünglichen Gleichung f(x) und ihre Ableitung f’(x) im Algorithmus sind als separate Softwaremodule konzipiert.

Reis. 1.2.3-7. Algorithmusdiagramm des Newton-Verfahrens

Beispiel 1.2.3-3: Verfeinern Sie die Wurzeln der Gleichung x-ln(x+2) = 0 mit der Newton-Methode, vorausgesetzt, dass die Wurzeln dieser Gleichung auf den Segmenten x 1 í[-1.9;-1.1] getrennt werden. und x 2 í [–0,9;2 ].

Die erste Ableitung f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) behält auf jedem der Segmente ihr Vorzeichen:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 bei xО [-0,9; 2].

Die zweite Ableitung f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 für jedes x.

Somit sind die Konvergenzbedingungen erfüllt. Da f "" (x) > 0 über den gesamten Bereich der zulässigen Werte, dann die Wurzel für die erste Näherung zu verfeinern x 1 wähle x 0 \u003d -1,9 (da f (-1,9) × f ”(-1,9)> 0). Wir erhalten eine Folge von Näherungen:

Wenn wir die Berechnungen fortsetzen, erhalten wir die folgende Sequenz der ersten vier Näherungen: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Der Wert der Funktion f(x) am Punkt x=-1.8414 ist gleich f(-1.8414)=-0.00003 .

Um die Wurzel x 2 í[-0.9;2] zu verfeinern, wählen wir als erste Näherungen 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Basierend auf x 0 = 2 erhalten wir eine Folge von Näherungen: 2,0;1,1817; 1,1462; 1.1461. Der Wert der Funktion f(x) am Punkt x=1.1461 ist gleich f(1.1461)= -0.00006.

Das Newton-Verfahren hat eine hohe Konvergenzrate, erfordert jedoch bei jedem Schritt die Berechnung nicht nur des Wertes der Funktion, sondern auch ihrer Ableitung.

Akkord Methode

Geometrische Interpretation der Akkordmethode ist wie folgt
(Abb.1.2.3-8).

Zeichnen wir eine Gerade durch die Punkte A und B. Die nächste Annäherung x 1 ist die Abszisse des Schnittpunkts der Sehne mit der 0x-Achse. Lassen Sie uns die Gleichung eines geraden Liniensegments konstruieren:

Setzen wir y=0 und finden den Wert x=x 1 (eine andere Annäherung):

Wir wiederholen den Berechnungsprozess, um die nächste Annäherung an die Wurzel zu erhalten - x 2 :

In unserem Fall (Abb.1.2.11) und so sieht die Berechnungsformel der Akkordmethode aus

Diese Formel gilt, wenn Punkt b als Fixpunkt angenommen wird und Punkt a als erste Annäherung dient.

Betrachten Sie einen anderen Fall (Abb. 1.2.3-9), wenn .

Die Geradengleichung für diesen Fall hat die Form

Die nächste Näherung x 1 bei y = 0

Dann hat die rekursive Formel für die Methode der Akkorde für diesen Fall die Form

Zu beachten ist, dass für den Fixpunkt in der Akkordmethode das Segmentende gewählt wird, für das die Bedingung f (x)∙f¢¢ (x)>0 erfüllt ist.

Wenn also der Punkt a als Fixpunkt genommen wird , dann wirkt x 0 = b als erste Annäherung und umgekehrt.

Ausreichende Bedingungen, die die Berechnung der Wurzel der Gleichung f(x)=0 unter Verwendung der Akkordformel sicherstellen, sind die gleichen wie bei der Tangentenmethode (Newton-Methode), aber anstelle der anfänglichen Annäherung wird ein Fixpunkt gewählt . Die Akkordmethode ist eine Modifikation der Newton-Methode. Der Unterschied besteht darin, dass die nächste Näherung bei der Newton-Methode der Schnittpunkt der Tangente mit der 0X-Achse ist, und bei der Akkordmethode – der Schnittpunkt der Sehne mit der 0X-Achse – die Näherungen zum Grundton hin konvergieren verschiedene Seiten.

Die Schätzung des Fehlers der Akkordmethode wird durch den Ausdruck bestimmt

(1.2.3-15)

Abbruchbedingung des Iterationsprozesses nach der Methode der Akkorde

(1.2.3-16)

Wenn M1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Beispiel 1.2.3-4. Geben Sie die Wurzel der Gleichung e x - 3x = 0 an, getrennt auf einem Segment mit einer Genauigkeit von 10 -4 .

Prüfen wir die Konvergenzbedingung:

Daher sollte a=0 als Fixpunkt gewählt werden, und x 0 \u003d 1 sollte als erste Annäherung genommen werden, da f (0) \u003d 1> 0 und f (0) * f "(0)> 0 .

Newtons (Tangenten-)Verfahren zum Finden von Nullstellen

Dies ist ein iteratives Verfahren, das erfunden wurde Isaac Newton(Isaak Newton) um 1664. Manchmal wird diese Methode jedoch als Newton-Raphson-Methode (Raphson) bezeichnet, da Raphson den gleichen Algorithmus einige Jahre später als Newton erfand, seine Arbeit jedoch viel früher veröffentlicht wurde.

Die Aufgabe lautet wie folgt. Angesichts der Gleichung:

Es ist erforderlich, diese Gleichung genauer zu lösen, um eine ihrer Wurzeln zu finden (es wird angenommen, dass die Wurzel existiert). Es wird angenommen, dass auf dem Segment stetig und differenzierbar ist.

Algorithmus

Der Eingabeparameter des Algorithmus ist neben der Funktion auch erste Annäherung- einige , von denen der Algorithmus zu gehen beginnt.

Lassen Sie bereits berechnet, wie folgt berechnen. Lassen Sie uns eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt ziehen und den Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse finden. gleich dem gefundenen Punkt setzen und den gesamten Vorgang von Anfang an wiederholen.

Es ist einfach, die folgende Formel zu erhalten:

Es ist intuitiv klar, dass, wenn die Funktion "gut" (glatt) genug ist und nahe genug an der Wurzel ist, sie noch näher an der gewünschten Wurzel sein wird.

Die Konvergenzrate ist quadratisch, was relativ gesehen bedeutet, dass sich die Anzahl der exakten Bits im Näherungswert mit jeder Iteration verdoppelt.

Anwendung zur Berechnung der Quadratwurzel

Betrachten Sie Newtons Methode am Beispiel der Berechnung der Quadratwurzel.

Wenn wir ersetzen, erhalten wir nach Vereinfachung des Ausdrucks:

Die erste typische Version des Problems tritt auf, wenn eine Bruchzahl angegeben ist und Sie ihre Wurzel mit einiger Genauigkeit berechnen müssen:

doppeltes n; cin >> n; const double EPS = 1E-15 ; doppelt x = 1 ; for (;; ) ( double nx = (x + n / x) / 2 ; if (abs (x - nx)< EPS) break ; x = nx; } printf ("%.15lf" , x) ;

Eine andere häufige Version des Problems ist, wenn Sie die ganzzahlige Wurzel berechnen möchten (für eine gegebene finden Sie die größte, so dass ). Hier müssen wir die Stoppbedingung des Algorithmus leicht ändern, da es passieren kann, dass er in der Nähe der Antwort zu "springen" beginnt. Daher fügen wir eine Bedingung hinzu, dass der Algorithmus gestoppt werden muss, wenn der Wert im vorherigen Schritt gesunken ist und im aktuellen Schritt versucht wird, ihn zu erhöhen.

Intern; cin >> n; Ganzzahl x = 1 ; bool verringert = falsch ; for (;; ) ( int nx = (x + n / x) >> 1 ; if (x == nx || nx > x && verringert) break ; verringert = nx< x; x = nx; } cout << x;

Schließlich geben wir noch eine dritte Möglichkeit – für den Fall langer Arithmetik. Da die Zahl recht groß werden kann, ist es sinnvoll, auf die erste Näherung zu achten. Je näher es an der Wurzel ist, desto schneller wird natürlich das Ergebnis erzielt. Es ist ziemlich einfach und effektiv, als erste Annäherung die Zahl zu nehmen, wobei die Anzahl der Bits in der Zahl ist. Hier ist der Java-Code, der diese Option demonstriert:

BigIntegern; // Eingabedaten BigInteger a = BigInteger.ONE .shiftLeft (n.bitLength () / 2 ) ; boolesch p_dec = falsch ; for (;; ) ( BigInteger b = n.divide (a) .add (a) .shiftRight (1 ) ; if (a.compareTo (b) == 0 || a.compareTo (b)< 0 && p_dec) break ; p_dec = a.compareTo (b) >0; a = b; )

Diese Variante des Codes läuft beispielsweise für eine Zahl in Millisekunden, und wenn Sie die verbesserte Wahl der anfänglichen Annäherung entfernen (beginnen Sie einfach mit ), dann läuft sie in etwa Millisekunden.

Viele Schüler, die sich in der Schule über das Lösen von Gleichungen im Mathematikunterricht quälen, sind sich oft sicher, dass sie ihre Zeit verschwenden, und mittlerweile wird eine solche Fähigkeit im Leben nicht nur für diejenigen nützlich sein, die sich entscheiden, in die Fußstapfen von Descartes, Euler oder zu treten Lobatschewski.

In der Praxis, beispielsweise in der Medizin oder Wirtschaft, gibt es häufig Situationen, in denen ein Spezialist herausfinden muss, wann die Konzentration des Wirkstoffs eines bestimmten Arzneimittels im Blut des Patienten das erforderliche Niveau erreicht, oder die Zeit berechnet werden muss erforderlich, damit ein bestimmtes Geschäft rentabel wird.

Meistens sprechen wir über das Lösen nichtlinearer Gleichungen verschiedener Typen. Um dies so schnell wie möglich zu tun, ermöglichen es insbesondere unter Verwendung von Computern numerische Verfahren. Sie sind gut untersucht und haben ihre Wirksamkeit seit langem bewiesen. Darunter ist Newtons Tangentenmethode, die Gegenstand dieses Artikels ist.

Formulierung des Problems

In diesem Fall gibt es eine Funktion g, die auf dem Segment (a, b) gegeben ist und darauf bestimmte Werte annimmt, d.h. es ist möglich, jedem x, das zu ( gehört, eine bestimmte Zahl g (x) zuzuordnen a, b).

Es ist erforderlich, alle Wurzeln der Gleichung aus dem Intervall zwischen den Punkten a und b (einschließlich der Enden) zu bilden, für das die Funktion auf Null gesetzt wird. Offensichtlich sind dies die Schnittpunkte von y = g(x) mit OX.

In einigen Fällen ist es bequemer, g(x)=0 durch ein ähnliches zu ersetzen, g 1 (x) = g 2 (x). Dabei wirken die Abszissen (x-Wert) der Schnittpunkte der Graphen g 1 (x) und g 2 (x) als Wurzeln.

Die Lösung einer nichtlinearen Gleichung ist auch wichtig für Optimierungsprobleme, bei denen die Bedingung eines lokalen Extremums die Umwandlung der Ableitung einer Funktion in 0 ist. Mit anderen Worten, ein solches Problem kann darauf reduziert werden, die Wurzeln der Gleichung p(x) = 0 zu finden, wobei p(x) identisch mit g"(x) ist.

Lösungsmethoden

Bei einigen Arten von nichtlinearen Gleichungen, wie quadratischen oder einfachen trigonometrischen Gleichungen, können Wurzeln auf ziemlich einfache Weise gefunden werden. Insbesondere kennt jeder Schüler die Formeln, mit denen Sie leicht die Werte des Arguments der Punkte finden können, an denen das quadratische Trinom auf Null gesetzt wird.

Methoden zum Extrahieren der Wurzeln nichtlinearer Gleichungen werden normalerweise in analytisch (direkt) und iterativ unterteilt. Im ersten Fall hat die gesuchte Lösung die Form einer Formel, mit der Sie in einer bestimmten Anzahl von Rechenoperationen den Wert der gesuchten Wurzeln finden können. Ähnliche Verfahren wurden für exponentielle, trigonometrische, logarithmische und elementare algebraische Gleichungen entwickelt. Für den Rest muss man spezielle numerische Methoden anwenden. Sie sind einfach mit Hilfe von Computern zu implementieren, mit denen Sie die Wurzeln mit der erforderlichen Genauigkeit finden können.

Eine davon ist die sogenannte numerische Methode der Tangenten, die Ende des 17. Jahrhunderts von dem großen Wissenschaftler Isaac Newton vorgeschlagen wurde. In den folgenden Jahrhunderten wurde das Verfahren immer wieder verbessert.

Lokalisierung

Numerische Methoden zum Lösen komplexer Gleichungen, die keine analytischen Lösungen haben, werden normalerweise in 2 Stufen durchgeführt. Zuerst müssen Sie sie lokalisieren. Diese Operation besteht darin, solche Segmente auf OX zu finden, auf denen es eine Wurzel der zu lösenden Gleichung gibt.

Betrachten wir ein Segment. Wenn g(x) darauf keine Diskontinuitäten hat und an den Endpunkten Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen annimmt, dann gibt es zwischen a und b oder in sich selbst mindestens 1 Wurzel der Gleichung g(x) = 0. Dafür zu eindeutig sein, ist es erforderlich, dass g(x) monoton war. Bekanntlich wird es eine solche Eigenschaft unter der Bedingung haben, dass g’(x) von konstantem Vorzeichen ist.

Mit anderen Worten, wenn g(x) keine Diskontinuitäten hat und monoton zunimmt oder abnimmt und seine Werte an den Endpunkten nicht die gleichen Vorzeichen haben, dann gibt es 1 und nur 1 Wurzel g(x).

In diesem Fall sollten Sie wissen, dass dieses Kriterium nicht für die Wurzeln von Gleichungen funktioniert, die mehrfach sind.

Lösen der Gleichung durch Halbieren

Bevor Sie sich mit komplexeren numerischen Tangenten und ihren Varianten befassen, sollten Sie sich mit der einfachsten Methode zum Identifizieren von Wurzeln vertraut machen. Es wird als Dichotomie bezeichnet und bezieht sich auf das intuitive Finden von Wurzeln basierend auf dem Satz, dass, wenn für g (x), stetig an, die Bedingung verschiedener Vorzeichen erfüllt ist, es auf dem betrachteten Segment mindestens 1 Wurzel g gibt ( x) = 0.

Um es zu finden, müssen Sie das Segment in zwei Hälften teilen und den Mittelpunkt als x 2 bezeichnen. Dann sind zwei Optionen möglich: g (x 0) * g (x 2) oder g (x 2) * g (x 1) sind gleich oder kleiner als 0. Wir wählen diejenige aus, für die eine dieser Ungleichungen gilt. Wir wiederholen das oben beschriebene Verfahren, bis die Länge kleiner als ein bestimmter, vorgewählter Wert wird, der die Genauigkeit der Bestimmung der Wurzel der Gleichung auf bestimmt.

Zu den Vorteilen des Verfahrens gehören seine Zuverlässigkeit und Einfachheit, und der Nachteil ist die Notwendigkeit, zunächst die Punkte zu identifizieren, an denen g (x) unterschiedliche Vorzeichen annimmt, sodass es nicht für Wurzeln mit gerader Multiplizität verwendet werden kann. Außerdem lässt es sich nicht auf den Fall eines Gleichungssystems oder auf komplexe Nullstellen verallgemeinern.

Beispiel 1

Nehmen wir an, wir wollen die Gleichung g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 lösen. Um nicht lange nach einem passenden Segment zu suchen, bauen wir beispielsweise mit dem bekannten Excel-Programm einen Graphen . Wir sehen, dass es besser ist, Werte aus dem Intervall als Segment für die Lokalisierung der Wurzel zu nehmen. Wir können sicher sein, dass mindestens eine Wurzel der gesuchten Gleichung darauf existiert.

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, d. H. Dies ist eine monoton ansteigende Funktion, daher gibt es nur 1 Wurzel im ausgewählten Segment.

Setzen Sie die Endpunkte in die Gleichung ein. Wir haben 0 bzw. 1. Als Lösung nehmen wir im ersten Schritt den Punkt 0,5. Dann g(0,5) = -0,4375. Das nächste Segment zum Teilen in zwei Hälften wird also sein. Sein Mittelpunkt liegt bei 0,75. Darin beträgt der Wert der Funktion 0,226. Wir betrachten das Segment und seinen Mittelpunkt, der sich am Punkt 0,625 befindet. Berechnen Sie den Wert von g(x) zu 0,625. Er ist gleich -0,11, also negativ. Basierend auf diesem Ergebnis wählen wir das Segment . Wir erhalten x = 0,6875. Dann ist g(x) = -0,00532. Wenn die Genauigkeit der Lösung 0,01 beträgt, können wir davon ausgehen, dass das gewünschte Ergebnis 0,6875 ist.

Theoretische Grundlage

Diese Methode zum Finden von Wurzeln mit der Tangentenmethode nach Newton ist wegen ihrer sehr schnellen Konvergenz beliebt.

Es basiert auf der bewiesenen Tatsache, dass, wenn x n eine Annäherung an eine Wurzel f(x)=0 ist, so dass f" C 1 , dann die nächste Annäherung an dem Punkt sein wird, an dem die Gleichung der Tangente an f(x) verschwindet , d.h.

Setze x = x n+1 ein und setze y auf Null.

Dann sieht die Tangente so aus:

Beispiel 2

Versuchen wir, die klassische Tangentenmethode nach Newton anzuwenden und eine Lösung für eine nichtlineare Gleichung zu finden, die analytisch schwer oder gar nicht zu finden ist.

Es sei erforderlich, die Wurzeln für x 3 + 4x - 3 = 0 mit einiger Genauigkeit aufzudecken, zum Beispiel 0,001. Wie Sie wissen, muss der Graph jeder Funktion in Form eines Polynoms ungeraden Grades die OX-Achse mindestens einmal kreuzen, d.h. es gibt keinen Grund, an der Existenz von Wurzeln zu zweifeln.

Bevor wir unser Beispiel mit der Tangentenmethode lösen, zeichnen wir f (x) \u003d x 3 + 4x - 3 Punkt für Punkt. Dies geht zum Beispiel ganz einfach mit einer Excel-Tabelle. Aus dem resultierenden Diagramm ist ersichtlich, dass es sich mit der OX-Achse schneidet und die Funktion y \u003d x 3 + 4x - 3 monoton zunimmt. Wir können sicher sein, dass die Gleichung x 3 + 4x - 3 = 0 eine Lösung hat und diese eindeutig ist.

Algorithmus

Jede Lösung von Gleichungen nach der Tangentenmethode beginnt mit der Berechnung von f "(x). Wir haben:

Dann sieht die zweite Ableitung wie x * 6 aus.

Mit diesen Ausdrücken können wir eine Formel zum Identifizieren der Wurzeln der Gleichung unter Verwendung der Tangentenmethode in der Form schreiben:

Als nächstes ist es erforderlich, eine anfängliche Annäherung zu wählen, d. h. zu bestimmen, welcher Punkt als Startpunkt (Umdrehung x 0) für den iterativen Prozess zu betrachten ist. Wir betrachten die Segmentenden. Für uns ist diejenige geeignet, für die die Bedingung der Funktion und ihrer 2. Ableitung bei x 0 wahr ist. Wie Sie sehen können, wird beim Ersetzen von x 0 = 0 dagegen verstoßen, aber x 0 = 1 ist durchaus geeignet.

Wenn wir dann an der Lösung durch die Tangentenmethode mit der Genauigkeit e interessiert sind, kann der Wert von x n als den Anforderungen des Problems genügend angesehen werden, vorausgesetzt, dass die Ungleichung |f(x n) / f’(x n)|< e.

Beim ersten Tangentenschritt haben wir:

• x 1 \u003d x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) \u003d 1- 0,2857 \u003d 0,71429;
• da die Bedingung nicht erfüllt ist, gehen wir weiter;
• wir erhalten einen neuen Wert für x 2 , der gleich 0,674 ist;
• bemerken wir, dass das Verhältnis des Wertes der Funktion zu ihrer Ableitung in x 2 kleiner als 0,0063 ist, stoppen wir den Vorgang.

Tangentenmethode in Excel

Sie können das vorherige Beispiel viel einfacher und schneller lösen, wenn Sie Berechnungen nicht manuell (auf einem Taschenrechner) durchführen, sondern die Fähigkeiten eines Tabellenkalkulationsprogramms von Microsoft nutzen.

Dazu müssen Sie in Excel eine neue Seite erstellen und ihre Zellen mit den folgenden Formeln füllen:

• in C7 schreiben wir "= POWER (B7; 3) + 4 * B7 - 3";
• in D7 geben wir "= 4 + 3 * GRAD (B7; 2)" ein;
• in E7 schreiben wir "= (POWER (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7; 2) + 4)";
• in D7 geben wir den Ausdruck "= B7 - E7" ein;
• in B8 tragen wir die Formel-Bedingung „= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

In einer bestimmten Aufgabe, bereits in Zelle B10, erscheint die Aufschrift „Abschluss der Iterationen“, und um das Problem zu lösen, müssen Sie die Nummer nehmen, die in der Zelle eine Zeile darüber steht. Dafür kann man auch eine eigene „dehnbare“ Spalte auswählen, indem man dort eine Bedingungsformel einträgt, nach der dort das Ergebnis geschrieben wird, wenn der Inhalt in der einen oder anderen Zelle der Spalte B die Form „Abschluss von Iterationen“ annimmt.

Implementierung in Pascal

Versuchen wir, die Lösung der nichtlinearen Gleichung y = x 4 - 4 - 2 * x mit der Tangentenmethode in Pascal zu erhalten.

Wir verwenden eine Hilfsfunktion, die hilft, eine ungefähre Berechnung durchzuführen f "(x) \u003d (f (x + delta) - f (x)) / delta. Als Bedingung für den Abschluss des iterativen Prozesses wählen wir die Erfüllung der Ungleichung |x 0 - x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Das Programm ist insofern bemerkenswert, als es keine manuelle Berechnung der Ableitung erfordert.

Akkord Methode

Betrachten Sie einen anderen Weg, um die Wurzeln nichtlinearer Gleichungen zu identifizieren. Der Iterationsprozess besteht darin, dass als sukzessive Annäherung an die gesuchte Wurzel für f(x)=0 die Werte der Schnittpunkte der Sehne mit den Abszissen der Endpunkte a und b mit OX genommen werden , bezeichnet als x 1 , ..., x n . Wir haben:

Für den Punkt, an dem sich die Sehne mit der OX-Achse schneidet, wird der Ausdruck wie folgt geschrieben:

Die zweite Ableitung sei positiv für x £ (Der umgekehrte Fall reduziert sich auf den betrachteten, wenn wir f(x) = 0 schreiben). In diesem Fall ist der Graph y \u003d f (x) eine Kurve, die unten konvex ist und sich unterhalb des Akkords befindet AB. Es kann 2 Fälle geben: wenn die Funktion am Punkt a positiv ist oder am Punkt b negativ ist.

Im ersten Fall wählen wir das Ende a als festes Ende und nehmen den Punkt b für x 0. Dann bilden sukzessive Approximationen gemäß der oben vorgestellten Formel eine Folge, die monoton fallend ist.

Im zweiten Fall wird das Ende b bei x 0 = a festgelegt. Die bei jedem Iterationsschritt erhaltenen x-Werte bilden eine Folge, die monoton ansteigend ist.

Somit können wir festhalten:

• in der Akkordmethode festgelegt ist das Segmentende, wo die Vorzeichen der Funktion und ihrer zweiten Ableitung nicht zusammenfallen;
• Annäherungen für die Wurzel x - x m - liegen davon auf der Seite, wo f (x) ein Vorzeichen hat, das nicht mit dem Vorzeichen von f "" (x) übereinstimmt.

Es können Iterationen fortgesetzt werden, bis die Bedingungen für die Nähe der Wurzeln bei diesem und dem vorherigen Iterationsschritt erfüllt sind modulo abs(x m - x m - 1)< e.

Modifizierte Methode

Die kombinierte Methode von Akkorden und Tangenten ermöglicht es Ihnen, die Wurzeln der Gleichung zu ermitteln und sich ihnen von verschiedenen Seiten zu nähern. Mit einem solchen Wert, bei dem der f(x)-Graph OX schneidet, können Sie die Lösung viel schneller verfeinern, als wenn Sie jede der Methoden einzeln verwenden.

Angenommen, wir müssen die Nullstellen f(x)=0 finden, falls sie auf existieren. Sie können jede der oben beschriebenen Methoden verwenden. Es ist jedoch besser, eine Kombination davon auszuprobieren, was die Genauigkeit der Wurzel erheblich erhöht.

Wir betrachten den Fall mit einer ersten Näherung entsprechend der Bedingung, dass die erste und die zweite Ableitung an einem bestimmten Punkt x unterschiedliche Vorzeichen haben.

Unter solchen Bedingungen ermöglicht die Lösung nichtlinearer Gleichungen durch das Tangentenverfahren das Auffinden eines Grundtons mit einem Exzess, wenn x 0 = b, und das Verfahren, das Akkorde an einem festen Ende b verwendet, führt zum Auffinden eines angenäherten Grundtons mit einem Nachteil.

Verwendete Formeln:

Nun muss die gewünschte Wurzel x im Intervall gesucht werden. Im nächsten Schritt müssen Sie die kombinierte Methode bereits auf dieses Segment anwenden. Gehen wir so vor, erhalten wir Formeln der Form:

Wenn es einen Unterschied im Vorzeichen zwischen der ersten und der zweiten Ableitung gibt, erhalten wir mit einer ähnlichen Argumentation zur Verfeinerung der Wurzel die folgenden rekursiven Formeln:

Als Bedingung wird die geschätzte Ungleichung | bn+1 - einn+1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Wenn die obige Ungleichung wahr ist, wird die Wurzel der nichtlinearen Gleichung in einem bestimmten Intervall als ein Punkt genommen, der genau in der Mitte zwischen den Lösungen liegt, die bei einem bestimmten Iterationsschritt gefunden wurden.

Das kombinierte Verfahren lässt sich einfach in der TURBO PASCAL-Umgebung implementieren. Mit einem starken Wunsch können Sie versuchen, alle Berechnungen mit der tabellarischen Methode im Excel-Programm durchzuführen.

Im letzteren Fall werden mehrere Spalten für die Lösung des Problems mit Akkorden und separat für die von Isaac Newton vorgeschlagene Methode ausgewählt.

In diesem Fall wird jede Zeile verwendet, um Berechnungen bei einem bestimmten Iterationsschritt für zwei Methoden aufzuzeichnen. Dann wird im linken Teil des Lösungsbereichs auf der aktiven Arbeitsseite eine Spalte hervorgehoben, in der das Ergebnis der Berechnung des Moduls der Differenz der Werte des nächsten Iterationsschritts für jede der Methoden eingetragen wird. Ein anderes kann verwendet werden, um die Ergebnisse von Berechnungen gemäß der Berechnungsformel der logischen Konstruktion "IF" einzugeben, die verwendet wird, um herauszufinden, ob die Bedingung erfüllt ist oder nicht.

Jetzt weißt du, wie man komplexe Gleichungen löst. Die Tangentenmethode ist, wie Sie bereits gesehen haben, sowohl in Pascal als auch in Excel recht einfach implementiert. Daher können Sie immer die Wurzeln einer Gleichung finden, die mit Formeln nur schwer oder gar nicht lösbar ist.

Gleich wie Annäherung. Der Begriff P. wird manchmal im Sinne eines annähernden Objekts verwendet (z. B. das anfängliche P.) ... Mathematische Enzyklopädie

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