§ 4.5. BERECHNUNG DER TRÄGHEITSMOMENTE VON SCHNITTSTELLEN EINER EINFACHEN FORM

Wie in § 1.5 angegeben, werden die geometrischen Eigenschaften komplexer Querschnitte bestimmt, indem sie in eine Reihe einfacher Figuren unterteilt werden, deren geometrische Eigenschaften mit den entsprechenden Formeln berechnet oder aus speziellen Tabellen bestimmt werden können. Diese Formeln werden als Ergebnis der direkten Integration der Ausdrücke (8.5)-(10.5) erhalten. Techniken, um sie zu erhalten, werden unten unter Verwendung der Beispiele eines Rechtecks, eines Dreiecks und eines Kreises diskutiert.

Rechteckiger Abschnitt

Bestimmen wir das axiale Trägheitsmoment eines Rechtecks ​​mit der Höhe h und der Breite b relativ zu der durch seine Basis verlaufenden Achse (Abb. 11.5, a). Wählen wir aus dem Rechteck durch achsenparallele Linien einen Elementarstreifen mit Höhe und Breite b aus.

Die Fläche dieses Streifens, der Abstand vom Streifen zur Achse, ist ihnen gleich. Wir ersetzen diese Größen im Ausdruck für das Trägheitsmoment (8.5):

Analog erhält man für das Trägheitsmoment um die Achse den Ausdruck

Zur Bestimmung des Fliehträgheitsmoments wählen wir aus dem Rechteck mit achsparallelen Linien (Abb.

11.5, b), ein elementarer Größenbereich. Bestimmen wir zunächst das Fliehträgheitsmoment nicht des gesamten Rechtecks, sondern nur eines im Abstand von der Achse liegenden senkrechten Streifens der Höhe h und der Breite

Das Produkt wird aus dem Integralzeichen herausgenommen, da es für alle zum betrachteten Vertikalstreifen gehörenden Flächen konstant ist.

Wir integrieren dann den Ausdruck in den Bereich von bis

Bestimmen wir nun die axialen Trägheitsmomente des Rechtecks ​​um die Achsen y und durch den Schwerpunkt verlaufend parallel zu den Seiten des Rechtecks ​​(Abb. 12.5). Für diesen Fall sind die Integrationsgrenzen von bis

Das Fliehträgheitsmoment eines Rechtecks ​​um die Achsen (Abb. 12.5) ist gleich Null, da diese Achsen mit seinen Symmetrieachsen zusammenfallen.

dreieckiger Abschnitt

Bestimmen wir die axialen Trägheitsmomente des Dreiecks um drei parallele Achsen, die durch seine Basis (Abb. 13.5, a), den Schwerpunkt (Abb. 13.5, b) und die Spitze (Abb. 13.5, e) verlaufen.

Für den Fall, dass die Achse durch die Basis des Dreiecks verläuft (Abb. 13.5, a),

Für den Fall, dass die Achse parallel zu ihrer Basis durch den Schwerpunkt des Dreiecks verläuft (Abb. 13.5, b),

Wenn die Achse parallel zu ihrer Basis durch die Spitze des Dreiecks verläuft (Abb. 13.5, c),

Das Trägheitsmoment ist viel größer (dreimal) als das Trägheitsmoment, da der Hauptteil der Dreiecksfläche weiter von der Achse entfernt ist als von der Achse

Die Ausdrücke (17.5) - (19.5) werden für ein gleichschenkliges Dreieck erhalten. Sie gelten jedoch auch für nicht gleichschenklige Dreiecke. Vergleicht man zum Beispiel die Dreiecke in Abb. 13.5, a und 13.5, d, von denen das erste gleichschenklig und das zweite nicht gleichschenklig ist, stellen wir fest, dass die Abmessungen des Ortes und die Grenzen, in denen sich y ändert (von 0 nach), für beide Dreiecke gleich sind. Daher sind auch die Trägheitsmomente für sie gleich. Ebenso lässt sich zeigen, dass die axialen Trägheitsmomente aller in Abb. 14,5 sind gleich. Im Allgemeinen wirkt sich die Verschiebung von Teilen des Abschnitts parallel zu einer Achse nicht auf den Wert des axialen Trägheitsmoments um diese Achse aus.

Offensichtlich ist die Summe der axialen Trägheitsmomente des Dreiecks um die in Abb. 13.5, a und 13.5, c, muss gleich dem axialen Trägheitsmoment des Rechtecks ​​um die in Abb. 1 gezeigte Achse sein. 11.5 ein. Dies folgt aus der Tatsache, dass das Rechteck als zwei Dreiecke betrachtet werden kann, von denen bei einem die Achse durch die Basis verläuft und bei dem anderen - parallel zu seiner Basis durch die Oberseite (Abb. 15.5).

Nach den Formeln (17.5) und (19.5)

was mit dem Ausdruck des Rechtecks ​​nach Formel (12.5) übereinstimmt.

Abschnitt in Form eines Kreises

Bestimmen wir das axiale Trägheitsmoment des Kreises um eine beliebige Achse, die durch seinen Schwerpunkt verläuft. Von Abb. 16.5 und folgt

Offensichtlich ist das axiale Trägheitsmoment in Bezug auf jede Achse, die durch den Kreismittelpunkt verläuft, gleich und daher

Nach der Formel (11.5) finden wir das polare Trägheitsmoment des Kreises relativ zu seinem Mittelpunkt:

Die Formel für das axiale Trägheitsmoment eines Kreises erhält man einfacher, wenn man zunächst die Formel für sein polares Trägheitsmoment bezogen auf den Mittelpunkt (Punkt O) herleitet. Dazu wählen wir aus dem Kreis einen Elementarring mit einer Dicke von Radius und Fläche aus (Abb. 16.5, b).

Das polare Trägheitsmoment eines Elementarrings bezogen auf den Kreismittelpunkt, da alle Elementarflächen, aus denen dieser Ring besteht, den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt haben. Somit,

Dieses Ergebnis stimmt mit dem oben erhaltenen überein.

Die Trägheitsmomente (polar und axial) eines kreisringförmigen Abschnitts mit einem Außendurchmesser d und einem Innendurchmesser (Abb. 17.5) lassen sich als Differenz der entsprechenden Trägheitsmomente des Außen- und des Innendurchmessers bestimmen Kreise.

Polares Trägheitsmoment des Rings nach Formel (21.5)

oder, falls angegeben

Ebenso für die axialen Trägheitsmomente des Rings

Trägheitsmoment und Widerstandsmoment

Bei der Bestimmung des Querschnitts von Bauwerken ist es sehr oft erforderlich, das Trägheitsmoment und das Widerstandsmoment für den betrachteten Querschnitt des Bauwerks zu kennen. Was das Widerstandsmoment ist und wie es mit dem Trägheitsmoment zusammenhängt, wird gesondert dargelegt. Darüber hinaus müssen Sie für komprimierbare Strukturen auch den Wert des Trägheitsradius kennen. Widerstands- und Trägheitsmoment und manchmal auch Trägheitsradius lassen sich für die meisten Querschnitte einer einfachen geometrischen Form mit den seit langem bekannten Formeln bestimmen:

Tabelle 1. Querschnittsformen, Querschnittsflächen, Trägheitsmomente und Widerstandsmomente für Strukturen mit ziemlich einfachen geometrischen Formen.

Normalerweise reichen diese Formeln für die meisten Berechnungen aus, aber es gibt alle möglichen Fälle, und der Querschnitt der Struktur hat möglicherweise keine so einfache geometrische Form oder die Position der Achsen, in Bezug auf die das Trägheitsmoment oder das Moment von Widerstand bestimmt werden muss, darf nicht gleich sein, dann können Sie folgende Formeln verwenden:

Tabelle 2. Querschnittsformen, Querschnittsflächen, Trägheitsmomente und Widerstandsmomente für Strukturen mit komplexeren geometrischen Formen

Wie aus Tabelle 2 ersichtlich, ist es ziemlich schwierig, das Trägheitsmoment und das Widerstandsmoment für ungleiche Winkel zu berechnen, aber es besteht keine Notwendigkeit dafür. Für ungleichregalige und regalgleiche Rollwinkel, sowie für U-, I-Träger und Profilrohre gibt es Sortimente. BEIM Sortimente Die Werte des Trägheitsmoments und des Widerstandsmoments sind für jedes Profil angegeben.

Tabelle 3. Änderungen der Trägheits- und Widerstandsmomente in Abhängigkeit von der Position der Achsen.

Zur Berechnung von geneigten Dachelementen können Formeln aus Tabelle 3 erforderlich sein.

Es wäre schön, für besonders Begabte wie mich an einem anschaulichen Beispiel zu erklären, was das Trägheitsmoment ist und womit es gegessen wird. Auf spezialisierten Seiten ist alles irgendwie sehr verwirrend, und Doc hat ein klares Talent, Informationen zu bringen, vielleicht nicht die kompliziertesten, aber sehr kompetent und klar

Was das Trägheitsmoment im Prinzip ist und woher es kommt, ist im Artikel „Grundlagen der Festigkeit von Werkstoffen, Berechnungsformeln“ ausreichend ausführlich erklärt, hier wiederhole ich nur: „W ist das Widerstandsmoment des Balkenkreuzes Abschnitt, mit anderen Worten, die Fläche des komprimierbaren oder dehnbaren Teils des Balkenabschnitts, multipliziert mit dem Arm der resultierenden Kraft“. Für Festigkeitsberechnungen des Tragwerks muss das Widerstandsmoment bekannt sein, d.h. für Grenzspannungen. Zur Bestimmung der Drehwinkel des Querschnitts und der Auslenkung (Verschiebung) des Schwerpunkts des Querschnitts muss das Trägheitsmoment bekannt sein, da die maximalen Verformungen dann in den obersten und untersten Schichten der Biegestruktur auftreten Trägheitsmoment kann durch Multiplikation des Widerstandsmoments mit dem Abstand vom Schwerpunktabschnitt zur oberen oder unteren Schicht bestimmt werden, daher für rechteckige Abschnitte I=Wh/2. Bei der Bestimmung des Trägheitsmoments von Abschnitten komplexer geometrischer Formen wird zuerst die komplexe Figur in einfache unterteilt, dann werden die Querschnittsflächen dieser Figuren und die Trägheitsmomente der einfachsten Figuren bestimmt, dann die Flächen der einfachsten Zahlen werden mit dem Quadrat des Abstands vom gemeinsamen Schwerpunkt des Abschnitts zum Schwerpunkt der einfachsten Figur multipliziert. Das Trägheitsmoment der einfachsten Figur in der Zusammensetzung eines komplexen Abschnitts ist gleich dem Trägheitsmoment der Figur + dem Quadrat der Entfernung multipliziert mit der Fläche. Dann werden die erhaltenen Trägheitsmomente aufsummiert und das Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts erhalten. Aber das sind die vereinfachtesten Formulierungen (obwohl es, da stimme ich zu, immer noch ziemlich knifflig aussieht).

Trägheitsmoment und Widerstandsmoment - Dr. Lom

Bei der Bestimmung des Querschnitts von Bauwerken ist es sehr oft erforderlich, das Trägheitsmoment und das Widerstandsmoment für den Querschnitt des Bauwerks zu kennen. Mit den altbekannten Formeln lassen sich für die allermeisten Querschnitte einer einfachen geometrischen Form das Widerstands- und das Energiemoment bestimmen

Kapitel 5. Trägheitsmomente von Ebenenabschnitten

Jeder flache Abschnitt ist durch eine Reihe geometrischer Eigenschaften gekennzeichnet: Fläche, Koordinaten des Schwerpunkts, statisches Moment, Trägheitsmoment usw.

Statische Momente um die Achsen X und j sind gleich:

Statische Momente werden normalerweise in Kubikzentimetern oder Metern ausgedrückt und können sowohl positive als auch negative Werte haben. Die Achse, um die das statische Moment Null ist, wird aufgerufen zentral. Der Schnittpunkt der Mittelachsen wird genannt Schwerpunkt des Abschnitts. Formeln zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts x c und ja komplexer Abschnitt, zerlegt in die einfachsten Komponenten, für die die Bereiche bekannt sind Ein ich und Lage des Schwerpunktes xci und y ci, haben die Form

Der Wert des Trägheitsmoments charakterisiert den Widerstand des Stabs gegen Verformung (Torsion, Biegung) in Abhängigkeit von der Größe und Form des Querschnitts. Es gibt Trägheitsmomente:

sind axial, bestimmt durch Integrale der Form

Die axialen und polaren Trägheitsmomente sind immer positiv und nicht

auf null drehen. Polares Trägheitsmoment IP gleich der Summe der axialen Trägheitsmomente ist Ich x und ich ja um ein beliebiges Paar zueinander senkrechter Achsen X und beim:

Das Fliehträgheitsmoment kann positiv, negativ oder null sein. Die Dimension der Trägheitsmomente ist cm 4 oder m 4. Formeln zur Bestimmung der Trägheitsmomente einfacher Schnitte um die Mittelachsen sind in Nachschlagewerken angegeben. Bei der Berechnung der Trägheitsmomente komplexer Abschnitte werden häufig Formeln für den Übergang von den Mittelachsen einfacher Abschnitte zu anderen Achsen parallel zu den Mittelachsen verwendet.

wo sind die Trägheitsmomente einfacher Schnitte um die Mittelachsen;

m, n– Abstand zwischen den Achsen (Abb. 18).

Reis. 18. Um die Trägheitsmomente um die Achsen zu bestimmen,

Wichtig sind die Hauptmittelachsen des Schnitts. Die wichtigsten zentralen sind zwei zueinander senkrechte Achsen, die durch den Schwerpunkt des Abschnitts verlaufen, relativ zu dem das Zentrifugalträgheitsmoment Null ist und die axialen Trägheitsmomente extreme Werte haben. Hauptträgheitsmomente sind bezeichnet Ich u(maximal) und IV(min) und werden durch die Formel bestimmt

Die Position der Hauptachsen wird durch den Winkel α bestimmt, der sich aus der Formel ergibt

Der Winkel α wird von einer Achse mit einem großen nichthauptsächlichen Trägheitsmoment aufgetragen; ein positiver Wert ist gegen den Uhrzeigersinn.

Wenn der Abschnitt eine Symmetrieachse hat, dann ist diese Achse die Hauptachse. Die andere Hauptachse steht senkrecht auf der Symmetrieachse. In der Praxis werden häufig Profile verwendet, die aus mehreren gewalzten Profilen (I-Träger, U-Profil, Ecke) bestehen. Die geometrischen Eigenschaften dieser Profile sind in den Sortimentstabellen angegeben. Für ungleiche und gleichseitige Ecken wird das Fliehträgheitsmoment um die Mittelachsen parallel zu den Regalen durch die Formel bestimmt

Achten Sie auf die Bezeichnung der Hauptmittelachsen in der Sortimentstabelle für Winkel. Schild Ixy für eine Ecke hängt von ihrer Position im Schnitt ab. Abbildung 19 zeigt die möglichen Positionen des Winkels im Schnitt und zeigt die Vorzeichen für Ixy.

Reis. 19. Mögliche Positionen der Ecke im Abschnitt

Definieren ich u, ich v und die Position der Hauptmittelachsen des Abschnitts

Ein komplexes Profil besteht aus zwei gewalzten Profilen. Einen Auszug aus den Sortimentstabellen (Anlage 5) zeigt Abb. 21.

Als Hilfsmittel nehmen wir die Achsen, die entlang der Außenseite verlaufen

Seiten des Kanals (Achsen xB, yB, siehe Abb. 20).Koordinaten des Schwerpunkts des Abschnitts:

(selber rechnen).

Reis. 20. Lage der zentralen Hauptträgheitsachsen

U und v komplexer Abschnitt

Als Hilfsmittel könnte man beispielsweise die Mittelachsen des Kanals wählen. Dann wird der Rechenaufwand etwas reduziert.

Axiale Trägheitsmomente:

Bitte beachten Sie, dass sich die ungleiche Ecke im Abschnitt befindet

anders als in der Einstufungstabelle angegeben. Berechnen Sie den Wert selbst.

Nr. 24 180 x 110 x 12

Reis. 21. Die Werte der geometrischen Eigenschaften von Walzprofilen:

a- Kanal Nr. 24; b– ungleiche Ecke 180 x 110 x 12

Fliehkraftträgheitsmomente:

- für den Kanal (es gibt Symmetrieachsen);

- für die Ecke

Minuszeichen - aufgrund der Position der Ecke im Abschnitt;

- für den gesamten Abschnitt:

Folgen Sie dem Zweck der Schilder n und m. Von den Mittelachsen des Kanals gehen wir zu den gemeinsamen Mittelachsen des Abschnitts über, also + m2

Die Hauptträgheitsmomente des Abschnitts:

Die Position der Hauptmittelachsen des Abschnitts:

; α \u003d 55 ungefähr 48 ';

Überprüfung der Korrektheit der Mengenberechnung Ich u, IV und α wird durch die Formel erzeugt

Der Winkel α für diese Formel wird von der Achse aus gemessen u.

Der betrachtete Abschnitt hat den größten Biegewiderstand um die Achse u und die kleinste - relativ zur Achse v.

Kapitel 5 d (siehe Abb. 8.1): ...

(ANGEWANDTE MECHANIK)

Trägheitsmomente von Abschnitten

Eigenschaften von Trägheitsmomenten.

Trägheitsmomente ebener Schnitte

Es gibt axiale, polare und zentrifugale Trägheitsmomente der Abschnitte. Das axiale Trägheitsmoment eines Abschnitts relativ zu einer beliebigen Achse ist die Summe der Produkte der Elementarprodukte der Flächen d Und pa das Quadrat ihrer Abstände zu einer gegebenen Achse(siehe Abb. 8.1): Das polare Trägheitsmoment des Abschnitts...
(BAUMECHANIK FÜR ARCHITEKTEN)

Statische Momente ebener Schnitte

Reis. 2.24 Bei der Untersuchung der Aspekte Festigkeit, Steifigkeit und Stabilität ist es erforderlich, einige geometrische Eigenschaften von Querschnitten bestimmen zu können, zu denen statische Momente, Trägheitsmomente und Widerstandsmomente gehören. Das statische Moment der Fläche der Figur relativ zur x-Achse (Abb. 2.24), genommen ...
(ANGEWANDTE MECHANIK)

Trägheitsmomente von Abschnitten

Die Trägheitsmomente der Abschnitte sind Integrale der folgenden Form Eigenschaften von Trägheitsmomenten. Die Einheit des Trägheitsmoments ist [Länge41, üblicherweise [m4] oder [cm4]. Axiale und polare Trägheitsmomente sind immer positiv. Das zentrifugale Trägheitsmoment kann positiv, negativ oder null sein....
(WIDERSTAND VON MATERIALIEN MIT RECHENKOMPLEXEN)

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Geometrische Eigenschaften von Flachprofilen

Quadrat: , dF - elementarer Bereich.

Statisches Moment des FlächenelementsdF um die 0x-Achse
- Produkt des Flächenelements mit dem Abstand „y“ von der 0x-Achse: dS x = ydF

Durch Summieren (Integrieren) solcher Produkte über den gesamten Bereich der Figur erhalten wir statische Momenteüber die y- und x-achse:
;
[cm 3, m 3 usw.].

Schwerpunktkoordinaten:
. Statische Momente relativ zu zentrale Achsen(Achsen, die durch den Schwerpunkt des Abschnitts gehen) gleich Null sind. Bei der Berechnung der statischen Momente einer komplexen Figur wird diese in einfache Teile mit bekannten Bereichen F i und Koordinaten der Schwerpunkte x i, y i unterteilt Das statische Moment der Fläche der gesamten Figur \u003d die Summe der statischen Momente jedes seiner Teile:
.

Die Koordinaten des Schwerpunkts einer komplexen Figur:

M
Trägheitsmomente des Profils

Axial(äquatorial) Abschnitt Trägheitsmoment- die Summe der Produkte der Elementarflächen dF durch die Quadrate ihrer Abstände zur Achse.

;
[cm 4, m 4 usw.].

Das polare Trägheitsmoment eines Abschnitts relativ zu einem bestimmten Punkt (Pol) ist die Summe der Produkte der Elementarflächen mit den Quadraten ihrer Entfernung von diesem Punkt.
; [cm 4, m 4 usw.]. J y + J x = J p .

Zentrifugalträgheitsmoment des Abschnitts- die Summe der Produkte von Elementarflächen durch ihre Abstände von zwei zueinander senkrechten Achsen.
.

Das zentrifugale Trägheitsmoment des Abschnitts um die Achsen, von denen eine oder beide mit den Symmetrieachsen zusammenfallen, ist gleich Null.

Axiale und polare Trägheitsmomente sind immer positiv, Fliehkraftträgheitsmomente können positiv, negativ oder null sein.

Das Trägheitsmoment einer komplexen Figur ist gleich der Summe der Trägheitsmomente ihrer Bestandteile.

Trägheitsmomente von Abschnitten einfacher Form

P
rechteckiger Querschnitt Kreis

Zu


Ring

T
Rechteck

R
autofemoral

Rechteckig

t
Rechteck

H Viertelkreis

J. y \u003d J. x \u003d 0,055R 4

Jxy =0,0165R 4

in Abb. (-)

Halbkreis

M

Die Trägheitsmomente der Standardprofile sind den Sortimentstabellen zu entnehmen:

D
vutaur Kanal Ecke

M

Trägheitsmomente um parallele Achsen:

J x1 = J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

Das Trägheitsmoment um eine beliebige Achse ist gleich dem Trägheitsmoment um die Mittelachse parallel zur angegebenen Achse plus dem Produkt aus der Fläche der Figur und dem Quadrat des Abstands zwischen den Achsen. Jy1x1 = Jyx + abF; ("a" und "b" werden unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens in die Formel eingesetzt).

Beziehung zwischen Trägheitsmomente beim Drehen der Achsen:

J x1 \u003d J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 \u003d J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 = (J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Winkel >0, wenn der Übergang vom alten zum neuen Koordinatensystem gegen den Uhrzeigersinn erfolgt. J y1 + J x1 = J y + J x

Extreme (maximale und minimale) Werte von Trägheitsmomenten werden genannt Hauptträgheitsmomente. Die Achsen, in Bezug auf die die axialen Trägheitsmomente extreme Werte haben, werden genannt Hauptträgheitsachsen. Die Hauptträgheitsachsen stehen senkrecht aufeinander. Fliehkraftmomente um die Hauptachsen = 0, d.h. Hauptträgheitsachsen - Achsen, in Bezug auf die das Zentrifugalträgheitsmoment = 0 ist. Wenn eine der Achsen oder beide mit der Symmetrieachse zusammenfallen, dann sind sie Hauptachsen. Winkel, der die Position der Hauptachsen definiert:
, wenn  0 >0  werden die Achsen gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die Achse des Maximums bildet immer einen kleineren Winkel mit den Achsen, gegenüber denen das Trägheitsmoment einen größeren Wert hat. Durch den Schwerpunkt verlaufende Hauptachsen werden genannt Hauptmittelachsen der Trägheit. Trägheitsmomente um diese Achsen:

J max + J min = J x + J y . Das Fliehträgheitsmoment um die zentralen Hauptträgheitsachsen ist 0. Sind die Hauptträgheitsmomente bekannt, so lauten die Formeln für den Übergang auf gedrehte Achsen:

J x1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 = (J max - J min) sin2;

Das Endziel der Berechnung der geometrischen Eigenschaften des Profils ist die Bestimmung der zentralen Hauptträgheitsmomente und der Lage der zentralen Hauptträgheitsachsen. R Trägheitsradius -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Wenn J x und J y die Hauptträgheitsmomente sind, dann i x und i y - Hauptkreisradien. Eine auf den Hauptträgheitsradien wie auf Halbachsen aufgebaute Ellipse wird als Ellipse bezeichnet Trägheitsellipse. Unter Verwendung der Trägheitsellipse können Sie den Trägheitsradius i x1 für jede x 1 -Achse grafisch ermitteln. Zeichnen Sie dazu parallel zur x 1 -Achse eine Tangente an die Ellipse und messen Sie den Abstand von dieser Achse zur Tangente. Wenn Sie den Trägheitsradius kennen, können Sie das Trägheitsmoment des Abschnitts um die x-Achse 1 finden:
. Bei Abschnitten mit mehr als zwei Symmetrieachsen (z. B. Kreis, Quadrat, Ring usw.) sind die axialen Trägheitsmomente um alle Mittelachsen gleich, J xy \u003d 0, die Ellipse von Trägheit wird zu einem Trägheitskreis.

Momente des Widerstands.

Axiales Widerstandsmoment- das Verhältnis des Trägheitsmoments um die Achse zum Abstand von ihr zum entferntesten Punkt des Abschnitts.
[cm3, m3]

Besonders wichtig sind die Widerstandsmomente relativ zu den Hauptmittelachsen:

Rechteck:
; Kreis: Wx=Wy=
,

Rohrabschnitt (Ring): W x = W y =
, wobei = d H /d B .

Polares Widerstandsmoment - das Verhältnis des polaren Trägheitsmoments zum Abstand vom Pol zum entferntesten Punkt des Abschnitts:
.

Für Kreis W p =
.

Es gibt folgende Arten von Trägheitsmomenten von Abschnitten: axial; zentrifugal; Polar; zentrale und Hauptträgheitsmomente.

Zentrifugale Trägheitsmomente Abschnitt relativ beim und z heißt Integral der Form Die Summe der axialen Trägheitsmomente des Schnitts um zwei Koordinatenachsen ist gleich dem polaren Trägheitsmoment um den Ursprung:

Die Abmessung der angegebenen Arten von Trägheitsmomenten des Abschnitts (Länge 4), d.h. m 4 oder cm 4.

Axiale und polare Trägheitsmomente des Profils sind positive Werte; das zentrifugale Trägheitsmoment kann positiv, negativ und gleich Null sein (für einige Achsen, die die Symmetrieachse sind).

Es bestehen Abhängigkeiten für die Trägheitsmomente bei Parallelverschiebung und Rotation der Koordinatenachsen.

Abbildung 5.4 - Parallelverschiebung und Drehung der Koordinatenachsen für einen beliebigen Strahlquerschnitt

Für Fliehkraftträgheitsmomente

Wenn die Trägheitsmomente des Profils bekannt sind Iz, Iy, Izyüber die Achsen z und beim, dann die Trägheitsmomente um die gedrehten Achsen z1 und 1, in einem Winkel α zu den ursprünglichen Achsen (Abb. 5.4, b) wird durch die Formeln bestimmt:

Mit Konzept Hauptträgheitsmomente beziehen sich auf die Lage der Hauptträgheitsachsen. Hauptträgheitsachsen zwei zueinander senkrechte Achsen werden genannt, in Bezug auf die das Zentrifugalträgheitsmoment Null ist und die Axialmomente Extremwerte (Maximum und Minimum) annehmen.

Wenn die Hauptachsen durch den Schwerpunkt der Figur verlaufen, werden sie aufgerufen Hauptmittelachsen der Trägheit.

Die Lage der Hauptträgheitsachsen ergibt sich aus folgenden Abhängigkeiten:

Bei der Berechnung der Festigkeit von Strukturelementen wird das Konzept einer solchen geometrischen Eigenschaft wie z Abschnittsmodul.

Betrachten Sie beispielsweise den Querschnitt eines Balkens (Abb. 5.5).

Abbildung 5.5 - Ein Beispiel für einen Balkenquerschnitt

Die Entfernung der entferntesten SONDERN vom Schwerpunkt des Abschnitts Co benennen h1, und der Abstand t. BEIM- durch h2.

(5.16)

Dann das Widerstandsmoment relativ zu horizontale z-Achse Punkte SONDERN, BEIM werden als Verhältnisse der axialen Trägheitsmomente um die Achse berechnet z zu Entfernungen zu Punkten A, B:

Von praktischem Interesse bei Festigkeitsberechnungen ist das kleinste Widerstandsmoment wmin, entsprechend dem am weitesten entfernten t. SONDERN vom Schwerpunkt des Abschnitts h 1 = y max.

Die Dimension der Widerstandselemente (Länge 3), d.h. m 3, cm 3.

Tabelle 5.1 - Werte der Trägheitsmomente und Widerstandsmomente der einfachsten Abschnitte relativ zu den Mittelachsen

Arten von Abschnittsnamen	Trägheitsmomente	Momente des Widerstands
Rechteck
Ein Kreis

Fortsetzung von Tabelle 5.1

Axiales (oder äquatoriales) Trägheitsmoment des Abschnitts um eine Achse wird als über ihre gesamte Fläche genommen bezeichnet F dF durch die Quadrate ihrer Abstände von dieser Achse, d.h.

Das polare Trägheitsmoment eines Abschnitts in Bezug auf einen bestimmten Punkt (Pol) wird über seine gesamte Fläche genommen F Summe von Produkten elementarer Bereiche dF durch die Quadrate ihrer Entfernungen von diesem Punkt, d.h.

Das zentrifugale Trägheitsmoment eines Abschnitts in Bezug auf etwa zwei zueinander senkrecht stehende Achsen wird über seine gesamte Fläche genommen genannt F Summe von Produkten elementarer Bereiche dF in ihren Abständen von diesen Achsen, d.h.

Die Trägheitsmomente werden in cm 4, m 4 usw. ausgedrückt. Die axialen und polaren Trägheitsmomente sind immer positiv, da ihre Ausdrücke unter den Vorzeichen der Integrale die Werte der Flächen enthalten dF(immer positiv) und die Quadrate der Abstände dieser Orte von der gegebenen Achse oder dem Pol.

Abbildung 2.3 zeigt einen Querschnitt mit einer Fläche F und zeigt Achsen beim und x.

Reis. 2.3. Sektionsbereich F.

Axiale Trägheitsmomente dieses Abschnitts relativ zu den Achsen beim und x:

Die Summe dieser Trägheitsmomente

somit,

Die Summe der axialen Trägheitsmomente eines Schnitts um zwei zueinander senkrechte Achsen ist gleich dem polaren Trägheitsmoment dieses Schnitts um den Schnittpunkt dieser Achsen.

Zentrifugalträgheitsmomente können positiv oder Null sein. Das zentrifugale Trägheitsmoment eines Abschnitts um Achsen, von denen eine oder beide mit seinen Symmetrieachsen zusammenfallen, ist gleich Null. Das axiale Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts um eine bestimmte Achse ist gleich der Summe der axialen Trägheitsmomente seiner Bestandteile um dieselbe Achse. In ähnlicher Weise ist das zentrifugale Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts um zwei beliebige zueinander senkrechte Achsen gleich der Summe der zentrifugalen Trägheitsmomente seiner Bestandteile um dieselben Achsen. Außerdem ist das polare Trägheitsmoment eines komplexen Abschnitts relativ zu einem bestimmten Punkt gleich der Summe der polaren Trägheitsmomente seiner Bestandteile relativ zu demselben Punkt. Es ist zu beachten, dass die für verschiedene Achsen und Punkte berechneten Trägheitsmomente nicht summiert werden können.

Für Rechteck

Für einen Kreis

Für den Ring

Bei der Lösung praktischer Probleme ist es häufig erforderlich, die Trägheitsmomente eines Abschnitts relativ zu Achsen zu bestimmen, die in seiner Ebene unterschiedlich ausgerichtet sind. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die bereits bekannten Werte der Trägheitsmomente des gesamten Abschnitts (oder einzelner Teile davon) relativ zu anderen Achsen zu verwenden, die auch in der Fachliteratur, speziellen Nachschlagewerken und Tabellen angegeben sind wie mit den verfügbaren Formeln berechnet. Daher ist es sehr wichtig, die Beziehung zwischen den Trägheitsmomenten desselben Abschnitts relativ zu verschiedenen Achsen herzustellen.

Im allgemeinsten Fall ist der Übergang beliebig alt zu irgendein Neu Koordinatensystem kann als zwei aufeinanderfolgende Transformationen des alten Koordinatensystems betrachtet werden:

1) durch Parallelverschiebung der Koordinatenachsen auf eine neue Position;

2) indem sie relativ zum neuen Ursprung gedreht werden.

Somit,

Wenn die Achse X durch den Schwerpunkt des Profils geht, dann das statische Moment S x= 0 und

Von allen Trägheitsmomenten um parallele Achsen hat das axiale Trägheitsmoment den kleinsten Wert um die Achse, die durch den Schwerpunkt des Profils verläuft.

Trägheitsmoment um die Achse beim

Im besonderen Fall, wenn die Achse / durch den Schwerpunkt des Abschnitts verläuft,

zentrifugales Trägheitsmoment

In einem besonderen Fall, wenn der Ursprung des alten Koordinatensystems y0x befindet sich im Schwerpunkt des Abschnitts,

Wenn der Schnitt symmetrisch ist und eine der alten Achsen (oder beide) mit der Symmetrieachse zusammenfällt, dann