Geschichte
Bestimmung 1
Leonhard Euler wurde die Frage gestellt: Ist es möglich, bei einem Spaziergang um Königsberg alle Brücken der Stadt zu umgehen, ohne eine davon zweimal zu passieren? Ein Plan der Stadt mit sieben Brücken war beigefügt.
In einem Brief an einen ihm bekannten italienischen Mathematiker gab Euler eine kurze und schöne Lösung für das Problem der Königsberger Brücken: Mit einer solchen Anordnung ist das Problem unlösbar. Gleichzeitig deutete er an, dass ihm die Frage interessant erschiene, weil. "Weder Geometrie noch Algebra reichen zu ihrer Lösung aus ...".
Bei der Lösung vieler Probleme stellte L. Euler Mengen mit Kreisen dar, weshalb sie genannt wurden "Eulerkreise". Diese Methode wurde noch früher von dem deutschen Philosophen und Mathematiker Gottfried Leibniz verwendet, der sie verwendete, um die logischen Beziehungen zwischen Begriffen geometrisch zu erklären, aber häufiger lineare Diagramme verwendete. Euler hingegen hat die Methode ziemlich gründlich entwickelt. Grafische Methoden wurden besonders berühmt durch den englischen Logiker und Philosophen John Venn, der Venn-Diagramme einführte und ähnliche Schemata oft genannt werden Euler-Venn-Diagramme. Sie werden in vielen Bereichen verwendet, beispielsweise in der Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitstheorie, Logik, Statistik und Informatik.
Prinzip der Diagrammerstellung
Bisher sind Euler-Venn-Diagramme weit verbreitet, um alle möglichen Schnittpunkte mehrerer Mengen schematisch darzustellen. Die Diagramme zeigen alle $2^n$ Kombinationen von n Eigenschaften. Wenn beispielsweise $n=3$, zeigt das Diagramm drei Kreise mit Mittelpunkten an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks und demselben Radius, der ungefähr gleich der Seitenlänge des Dreiecks ist.
Logische Operationen definieren Wahrheitstabellen. Das Diagramm zeigt einen Kreis mit dem Namen der Menge, die er repräsentiert, zum Beispiel $A$. Der Bereich in der Mitte des Kreises $A$ zeigt die Wahrheit des Ausdrucks $A$ und der Bereich außerhalb des Kreises - falsch. Zur Darstellung einer logischen Operation werden nur die Bereiche schraffiert, in denen die Werte der logischen Operation für die Mengen $A$ und $B$ wahr sind.
Beispielsweise ist die Konjunktion zweier Mengen $A$ und $B$ nur dann wahr, wenn beide Mengen wahr sind. In diesem Fall wird auf dem Diagramm das Ergebnis der Konjunktion von $A$ und $B$ die Fläche in der Mitte der Kreise sein, die gleichzeitig zur Menge $A$ und zur Menge $B$ gehört (der Schnittpunkt von Sätzen).
Abbildung 1. Konjunktion der Mengen $A$ und $B$
Verwendung von Euler-Venn-Diagrammen zum Beweis logischer Gleichheiten
Betrachten wir, wie die Methode zum Erstellen von Euler-Venn-Diagrammen verwendet wird, um logische Gleichheiten zu beweisen.
Beweisen wir das De-Morgan-Gesetz, das durch die Gleichheit beschrieben wird:
Nachweisen:
Abbildung 4. $A$-Inversion
Abbildung 5. $B$-Inversion
Abbildung 6. Konjunktion von $A$- und $B$-Inversionen
Nachdem wir den Bereich für die Anzeige des linken und rechten Teils verglichen haben, sehen wir, dass sie gleich sind. Daraus folgt die Gültigkeit der logischen Gleichheit. Das Gesetz von De Morgan wird anhand von Euler-Venn-Diagrammen bewiesen.
Lösung des Problems der Informationssuche im Internet mit Hilfe von Euler-Venn-Diagrammen
Um im Internet nach Informationen zu suchen, ist es praktisch, Suchanfragen mit logischen Konnektoren zu verwenden, die in ihrer Bedeutung den Konjunktionen "und", "oder" der russischen Sprache ähneln. Die Bedeutung logischer Verknüpfungen wird klarer, wenn wir sie mit Hilfe von Euler-Venn-Diagrammen veranschaulichen.
Beispiel 1
Die Tabelle zeigt Beispiele für Anfragen an den Suchserver. Jede Anfrage hat ihren eigenen Code - einen Buchstaben von $A$ bis $B$. Sie müssen die Anforderungscodes in absteigender Reihenfolge der Anzahl der gefundenen Seiten für jede Anforderung anordnen.
Abbildung 7
Entscheidung:
Lassen Sie uns für jede Abfrage ein Euler-Venn-Diagramm erstellen:
Abbildung 8
Antworten: BVA.
Lösen eines logisch sinnvollen Problems mit Euler-Venn-Diagrammen
Beispiel 2
Während der Winterferien gingen die 36-Dollar-Schüler in der 2-Dollar-Klasse nicht ins Kino, Theater oder Zirkus. 25 $ gingen ins Kino, 11 $ ins Theater, 17 $ in den Zirkus; sowohl im Kino als auch im Theater - 6 $; und im Kino und im Zirkus - 10 $; und ins Theater und in den Zirkus - 4$.
Wie viele Menschen haben das Kino, das Theater und den Zirkus besucht?
Entscheidung:
Nennen wir die Anzahl der Typen, die im Kino, Theater und Zirkus waren – $x$.
Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen und die Anzahl der Leute in jedem Bereich herausfinden:
Abbildung 9
Waren weder im Theater, noch im Kino, noch im Zirkus - 2$ pro Person.
Also $36 - 2 = $34 Leute. besuchte Veranstaltungen.
$6$ Leute gingen ins Kino und Theater, was bedeutet, dass nur ($6 - x)$ Leute ins Kino und Theater gingen.
10 $ Leute gingen ins Kino und in den Zirkus, also nur ins Kino und in den Zirkus (10 $ - x $) Leute.
$4$-Leute gingen ins Theater und in den Zirkus, was bedeutet, dass nur Theater- und Zirkusleute ($4 - x$) ins Theater und in den Zirkus gingen.
$25$ Leute gingen ins Kino, was bedeutet, dass nur $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ ins Kino gingen.
Ebenso gingen nur ($1+x$) Leute ins Theater.
Nur ($3+x$) Leute gingen in den Zirkus.
Also gingen wir ins Theater, Kino und Zirkus:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;
Jene. nur eine Person ging ins Theater, ins Kino und in den Zirkus.
VENN-DIAGRAMM - eine grafische Möglichkeit, logisch-mathematische Theorien und ihre Formeln aufzustellen und zu analysieren. Sie werden aufgebaut, indem ein Teil der Ebene durch geschlossene Konturen (Jordan-Kurven) in Zellen (Teilmengen) unterteilt wird. Die Zellen liefern Informationen, die die betrachtete Theorie oder Formel charakterisieren. Der Zweck der Konstruktion von Diagrammen ist nicht nur illustrativ, sondern auch Operator - algorithmische Verarbeitung von Informationen. Der Apparat der Venn-Diagramme wird normalerweise in Verbindung mit dem analytischen verwendet.
Die Methode der Partitionierung, die Anzahl der Zellen sowie die Probleme, Informationen in sie zu schreiben, hängen von der betrachteten Theorie ab, die auch grafisch eingeführt (beschrieben) werden kann - insbesondere durch einige eingangs angegebene Venn-Diagramme zusammen mit ihre Transformationsalgorithmen, wenn einige Diagramme als Operatoren auf andere Diagramme wirken können. Zum Beispiel bei Klassik Aussagelogik Für Formeln, die aus n verschiedenen Satzvariablen bestehen, wird ein Teil der Ebene (Universum) in 2 "Zellen unterteilt, die den Bestandteilen (in konjunktiver oder disjunktiver Form) entsprechen. Das Venn-Diagramm jeder Formel ist eine solche Ebene, in deren Zellen ein Sternchen wird platziert (oder nicht platziert) * Also die Formel
(¬a& ¬b&c) V (a&¬b&c) V (¬a&b&¬c)
mit drei Aussagevariablen a, b und c definiert das in der Abbildung gezeigte Diagramm, wobei die Sternchen in den Zellen den konjunktiven Komponenten dieser vollkommen normalen disjunktiven Formel entsprechen. Wenn es keine markierten Zellen gibt, dann ist das Venn-Diagramm beispielsweise mit einer identisch falschen Formel verbunden, sagen wir (a&¬ a).
Die induktive Methode, eine Ebene in 2"-Zellen aufzuteilen, geht auf die Arbeiten des englischen Logikers J. Venn zurück, heißt Venn-Methode und besteht aus Folgendem:
1. Für n = 1, 2, 3 werden auf naheliegende Weise Kreise verwendet. (In der Abbildung ist n = 3.)
2. Nehmen Sie an, dass für n = k (k ≥ 3) eine solche Anordnung von k Figuren angezeigt wird, dass die Ebene in 2k Zellen unterteilt wird.
Um dann k + 1 Figuren auf dieser Ebene zu platzieren, genügt es zunächst, eine offene Kurve (cp) ohne Selbstschnittpunkte zu wählen, also eine offene Jordankurve, die zu den Grenzen aller 2k Zellen gehört und nur eine hat Gemeinsames Stück mit jeder dieser Grenzen.Zweitens, Kreis φ geschlossene Jordankurve Ψ k+1, so dass die Kurve Ψ k+1 passierte alle 2k Zellen und überquerte die Grenze jeder Zelle nur zweimal. Dies führt zu einer Anordnung von n = k + 1 Figuren, so dass die Ebene in 2k + 1 Zellen unterteilt ist.
Zur Darstellung anderer logisch-mathematischer Theorien wird die Methode der Venn-Diagramme erweitert. Die Theorie selbst ist so geschrieben, dass die Elemente ihrer Sprache in einer für die grafische Darstellung geeigneten Form hervorgehoben werden. Zum Beispiel werden atomare Formeln der klassischen Prädikatenlogik als Wörter der Form P(Y1..Yr) geschrieben, wobei P das Prädikat ist und Y1,..., Yr Objektvariablen sind, die nicht notwendigerweise verschieden sind; das Wort Y1,..., Yr ist ein Subjekt-Infix. Die offensichtliche mengentheoretische Natur von Venn-Diagrammen ermöglicht es, mit ihrer Hilfe insbesondere mengentheoretische Kalküle darzustellen und zu untersuchen, beispielsweise den ZF-Kalkül der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Graphische Methoden in Logik und Mathematik werden seit langem entwickelt. Dies sind insbesondere das logische Quadrat, die Eulerschen Kreise und die Originaldiagramme von L. Carroll. Die Methode der Venn-Diagramme unterscheidet sich jedoch erheblich von der bekannten Methode der Euler-Kreise, die in der traditionellen Syllogistik verwendet wird. Venn-Diagramme basieren auf der Idee, eine Boolesche Funktion in Bestandteile zu zerlegen – die zentrale Idee in der Algebra der Logik, die ihre operative Natur bestimmt. Venn verwendete seine Diagramme hauptsächlich zur Lösung von Problemen der Klassenlogik. Seine Diagramme können auch effektiv zum Lösen von Aussagen- und Prädikatenlogikproblemen, zum Überprüfen von Konsequenzen aus Prämissen, zum Lösen logischer Gleichungen und anderer Probleme bis hin zum Lösbarkeitsproblem verwendet werden. Der Apparat von Venn-Diagrammen wird in Anwendungen der mathematischen Logik und der Automatentheorie verwendet, insbesondere beim Lösen von Problemen im Zusammenhang mit neuronalen Schaltkreisen und dem Problem, zuverlässige Schaltkreise aus relativ unzuverlässigen Elementen zu synthetisieren.
A. S. Kuzichev
Neue Philosophische Enzyklopädie. In vier Bänden. / Institut für Philosophie RAS. Wissenschaftliche Hrsg. Beratung: V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G. Yu. Semigin. M., Thought, 2010, Bd. I, A - D, p. 645.
Literatur:
Venn J. Symbolische Logik. L., 1881. Hrsg. 2, rev. L, 1894;
Kuzichev A. S. Venn-Diagramme. Geschichte und Anwendungen. M, 1968;
Er ist. Lösen einiger Probleme der mathematischen Logik mit Venn-Diagrammen. - Im Buch: Das Studium logischer Systeme. M., 1970.
Gleichheit setzen.
Sets SONDERN und BEIM gelten als gleich, wenn sie es sind aus demselben Elemente.
Mengengleichheit ist wie folgt definiert: A = B.
Wenn die Mengen nicht gleich sind, dann schreibe A ¹ B.
Aufzeichnen der Gleichheit zweier Mengen A = B ist gleichbedeutend mit Schreiben SONDERNÌ BEIM, oder BEIMÌ SONDERN.
Zum Beispiel die Menge der Lösungen der Gleichung x 2 - 5x+ 6 = 0 enthält dieselben Elemente (die Zahlen 2 und 3) wie die Menge der Primzahlen kleiner als fünf. Diese beiden Sätze sind gleich. (Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist; außerdem ist 1 keine Primzahl.)
Schnittmenge (Multiplikation) von Mengen.
Ein Haufen D, bestehend aus allen Elementen, die zu gehören und setze A und setze B, heißt Schnittpunkt der Mengen SONDERN und BEIM und bezeichnet D = A BEIM.
Betrachten Sie zwei Sätze: X= (0, 1, 3, 5) und Y= (1, 2, 3, 4). Nummer 1 und 3 und nur sie gehören gleichzeitig zu beiden Sets X und Y. Die aus ihnen zusammengesetzte Menge (1, 3) enthält alle gemeinsamen for-Mengen X und Y Elemente. Somit ist die Menge (1, 3) der Schnittpunkt der betrachteten Mengen X und Y:
{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.
Für das Segment [-1; 1] und Intervall ]0; 3[ der Durchschnitt, d. h. die Menge der gemeinsamen Elemente, ist das Intervall ]0; 1] (Abb. 1).
Reis. 1. Schnittpunkt des Segments [-1; 1] und Intervall ]0; 3[ ist das Intervall ]0; ein]
Der Schnittpunkt einer Menge von Rechtecken und einer Menge von Rauten ist eine Menge von Quadraten.
Die Schnittmenge einer Gruppe von Schülern der achten Klasse einer gegebenen Schule und einer Gruppe von Mitgliedern des Chemiezirkels derselben Schule ist eine Gruppe von Schülern der achten Klasse, die Mitglieder des Chemiezirkels sind.
Der Schnittpunkt von Mengen (und anderen Operationen - siehe unten) wird durch eine visuelle Darstellung von Mengen auf einer Ebene gut veranschaulicht. Euler schlug vor, dafür Kreise zu verwenden. Bild des Schnittpunkts (grau hervorgehoben) von Mengen SONDERN und BEIM unter Verwendung von Euler-Kreisen ist in Abb. 2.
Reis. 3. Euler-Venn-Diagramm der Schnittmenge (grau hervorgehoben) von Mengen SONDERN und BEIM, die Teilmengen eines als Rechteck dargestellten Universums sind
Wenn die Sätze SONDERN und BEIM keine gemeinsamen Elemente haben, dann sagen sie, dass sich diese Mengen nicht schneiden oder dass ihre Schnittmenge eine leere Menge ist, und schreiben SONDERN BEIM = Æ.
Beispielsweise ist der Schnittpunkt der Menge der geraden Zahlen mit der Menge der ungeraden Zahlen leer.
Der Schnittpunkt der numerischen Intervalle ]-1 ist ebenfalls leer; 0] und -1; 0] und )
