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Kurze Review

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Mechanisches System materieller Punkte oder Körper ist eine solche Menge von ihnen, in der die Position und Bewegung jedes Punktes (oder Körpers) von der Position und Bewegung der anderen abhängt.
Ein materieller Körper wird als ein System von materiellen Punkten (Partikeln) betrachtet, die diesen Körper bilden.
Äußere Kräfte bezeichnet solche Kräfte, die von Punkten oder Körpern, die nicht zu diesem System gehören, auf Punkte oder Körper eines mechanischen Systems einwirken.
interne Kräfte, nennt man solche Kräfte, die von Punkten oder Körpern desselben Systems auf Punkte oder Körper eines mechanischen Systems wirken, d.h. mit denen die Punkte oder Körper eines gegebenen Systems miteinander interagieren.
Äußere und innere Kräfte des Systems wiederum können aktiv und reaktiv sein.
Systemgewicht ist gleich der algebraischen Summe der Massen aller Punkte oder Körper des Systems in einem einheitlichen Gravitationsfeld, für das das Gewicht jedes Teilchens des Körpers proportional zu seiner Masse ist. Daher kann die Massenverteilung im Körper durch die Position seines Schwerpunkts - eines geometrischen Punktes - bestimmt werden Mit, dessen Koordinaten Massenmittelpunkt oder Trägheitszentrum des mechanischen Systems genannt werden
Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes eines mechanischen Systems: Der Massenmittelpunkt eines mechanischen Systems bewegt sich als materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des Systems ist und auf den alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte wirken
Ergebnisse:

1. Ein mechanisches System oder ein starrer Körper kann als materieller Punkt betrachtet werden, abhängig von der Art seiner Bewegung und nicht von seiner Größe.
2. Schnittgrößen werden vom Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes nicht berücksichtigt.
3. Der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes charakterisiert nicht die Rotationsbewegung eines mechanischen Systems, sondern nur die Translation

Das Bewegungserhaltungsgesetz des Massenmittelpunkts des Systems:
1. Wenn die Summe der äußeren Kräfte (der Hauptvektor) konstant gleich Null ist, dann ist der Massenmittelpunkt des mechanischen Systems in Ruhe oder bewegt sich gleichmäßig und geradlinig.
2. Wenn die Summe der Projektionen aller äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems auf dieselbe Achse ein konstanter Wert.

Satz über die Impulsänderung.

Der Betrag der Bewegung eines materiellen Punktes und - eine Vektorgröße, die gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und dem Vektor seiner Geschwindigkeit ist.
Die Maßeinheit für Impuls ist (kg m/s).
Bewegungsmenge des mechanischen Systems- eine Vektorgröße, die gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses aller Punkte des Systems ist, oder der Impuls des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts
Wenn sich ein Körper (oder System) so bewegt, dass sein Massenschwerpunkt stationär ist, dann ist der Impuls des Körpers Null (z. B. die Drehung des Körpers um eine feste Achse, die durch den Massenschwerpunkt des Körpers geht). Karosserie).
Wenn die Bewegung des Körpers komplex ist, charakterisiert sie nicht den Rotationsteil der Bewegung, wenn sie sich um den Massenmittelpunkt dreht. Das heißt, der Bewegungsbetrag charakterisiert nur die Translationsbewegung des Systems (zusammen mit dem Massenmittelpunkt).
Kraftimpuls charakterisiert die Wirkung einer Kraft über einen bestimmten Zeitraum.
Der Kraftimpuls über einen endlichen Zeitraum ist definiert als die ganzzahlige Summe der entsprechenden Elementarimpulse
Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes:
(in Differentialform): Die zeitliche Ableitung des Impulses eines materiellen Punktes ist gleich der geometrischen Summe der auf die Punkte wirkenden Kräfte
(in integraler Form): Die Impulsänderung über einen Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der Kraftimpulse, die im gleichen Zeitraum auf einen Punkt einwirken.

Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems
(in Differentialform): Die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.
(in integraler Form): Die Änderung des Impulses eines Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der im selben Zeitraum auf das System einwirkenden Impulse äußerer Kräfte.
Der Satz ermöglicht es, offensichtlich unbekannte Schnittgrößen von der Betrachtung auszuschließen.
Der Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems und der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts sind zwei verschiedene Formen desselben Satzes.
Impulserhaltungssatz des Systems.

1. Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist der Impulsvektor des Systems in Richtung und Modulo konstant.
2. Wenn die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses auf diese Achse ein konstanter Wert.

Erhaltungssätze zeigen, dass innere Kräfte den Gesamtimpuls des Systems nicht ändern können.

1. Klassifizierung von Kräften, die auf ein mechanisches System wirken
2. Eigenschaften von Schnittgrößen
3. Masse des Systems. Massezentrum
4. Differentialgleichungen der Bewegung eines mechanischen Systems
5. Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes eines mechanischen Systems
6. Bewegungserhaltungssatz des Massenschwerpunktes des Systems
7. Satz über die Impulsänderung
8. Impulserhaltungssatz des Systems

Sprache: Russisch, Ukrainisch

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Das im Theorem genannte System kann ein beliebiges mechanisches System sein, das aus beliebigen Körpern besteht.

Aussage des Theorems

Die Bewegungsgröße (Impuls) eines mechanischen Systems ist ein Wert, der gleich der Summe der Bewegungsgrößen (Impuls) aller im System enthaltenen Körper ist. Der Impuls äußerer Kräfte, die auf die Körper des Systems wirken, ist die Summe der Impulse aller äußeren Kräfte, die auf die Körper des Systems wirken.

( kgm/s)

Der Satz über die Änderung des Impulses der Systemzustände

Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls äußerer Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf das System einwirken.

Impulserhaltungssatz des Systems

Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist der Impuls (Impuls) des Systems ein konstanter Wert.

, wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in differentieller Form:

Nachdem beide Teile der resultierenden Gleichheit über ein willkürlich gewähltes Zeitintervall zwischen einigen und integriert wurden, wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in integraler Form:

Impulserhaltungssatz (Impulserhaltungssatz) besagt, dass die Vektorsumme der Impulse aller Körper des Systems ein konstanter Wert ist, wenn die Vektorsumme der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist.

(Impulsmoment m 2 kg s −1)

Satz über die Änderung des Drehimpulses um den Mittelpunkt

die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf einen beliebigen festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf denselben Mittelpunkt.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Satz über die Änderung des Drehimpulses um die Achse

die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf eine beliebige feste Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf dieselbe Achse.

dk x /dt = M x (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Betrachten Sie einen materiellen Punkt M Last m sich unter dem Einfluss einer Kraft bewegen F (Abbildung 3.1). Lassen Sie uns den Vektor des Drehimpulses (Bewegungsimpuls) aufschreiben und konstruieren M 0 Materialpunkt relativ zum Mittelpunkt Ö :

Differenzieren Sie den Ausdruck für Impulsmoment (kinetisches Moment k 0) nach Zeit:

Als DR /dt = v , dann das Vektorprodukt v ⊗ m ⋅ v (kollineare Vektoren v und m ⋅ v ) ist null. Gleichzeitig dm ⋅ v) /dt = F nach dem Satz über den Impuls eines materiellen Punktes. Daher bekommen wir das

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

wo r ⊗F = M 0 (F ) – Vektormoment der Kraft F relativ zum festen Mittelpunkt Ö . Vektor k 0 ⊥ Ebene ( r , m ⊗v ) und der Vektor M 0 (F ) ⊥ Ebene ( r ,F ), haben wir endlich

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Gleichung (3.4) drückt den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Mittelpunkt aus: die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf einen beliebigen festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf denselben Mittelpunkt.

Projizieren wir Gleichheit (3.4) auf die Achsen kartesischer Koordinaten, erhalten wir

dk x /dt = M x (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Gleichungen (3.5) drücken den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes um die Achse aus: die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf eine beliebige feste Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf dieselbe Achse.

Betrachten wir die aus den Sätzen (3.4) und (3.5) folgenden Konsequenzen.

Folge 1. Betrachten Sie den Fall, wenn die Kraft F während der gesamten Bewegung geht der Punkt durch das feste Zentrum Ö (Fall von Zentralkraft), d.h. Wenn M 0 (F ) = 0. Dann folgt aus Satz (3.4) dass k 0 = konst ,

jene. bei einer Zentralkraft bleibt das Impulsmoment (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum dieser Kraft in Betrag und Richtung konstant (Bild 3.2).

Abbildung 3.2

Vom Zustand k 0 = konst Daraus folgt, dass die Bahn des sich bewegenden Punktes eine ebene Kurve ist, deren Ebene durch das Zentrum dieser Kraft geht.

Folge 2. Lassen M z (F ) = 0, d.h. Kraft kreuzt die Achse z oder parallel dazu. In diesem Fall gilt, wie aus der dritten Gleichung (3.5) ersichtlich, k z = konst ,

jene. wenn das Moment der Kraft, die auf den Punkt relativ zu einer festen Achse wirkt, immer gleich Null ist, dann bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) des Punktes relativ zu dieser Achse konstant.

Beweis des Impulsänderungssatzes

Das System bestehe aus materiellen Punkten mit Massen und Beschleunigungen. Alle auf die Körper des Systems wirkenden Kräfte können in zwei Arten unterteilt werden:

Äußere Kräfte - Kräfte, die von Körpern wirken, die nicht im betrachteten System enthalten sind. Die Resultierende äußerer Kräfte, die auf einen materiellen Punkt wirken, mit der Zahl ich bezeichnen.

Innere Kräfte sind die Kräfte, mit denen die Körper des Systems selbst zusammenwirken. Die Kraft, mit der der Punkt mit der Zahl ich Punktnummer ist gültig k, werden wir , und die Aufprallkraft bezeichnen ich-ten Punkt an k-ter Punkt - . Offensichtlich für dann

Unter Verwendung der eingeführten Notation schreiben wir Newtons zweites Gesetz für jeden der betrachteten materiellen Punkte in der Form

Angesichts dessen und indem wir alle Gleichungen des zweiten Newtonschen Gesetzes zusammenfassen, erhalten wir:

Der Ausdruck ist die Summe aller im System wirkenden Schnittgrößen. Nach Newtons drittem Gesetz entspricht in dieser Summe jeder Kraft eine Kraft, so dass und somit erfüllt ist Da die gesamte Summe aus solchen Paaren besteht, ist die Summe selbst gleich Null. So kann man schreiben

Mit der Bezeichnung für den Impuls des Systems erhalten wir

Einführung in die Betrachtung der Änderung des Impulses äußerer Kräfte erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in differentieller Form:

Jede der zuletzt erhaltenen Gleichungen erlaubt uns also zu behaupten: Die Änderung des Impulses des Systems erfolgt nur als Ergebnis der Einwirkung äußerer Kräfte, und innere Kräfte können diesen Wert nicht beeinflussen.

Nachdem wir beide Teile der erhaltenen Gleichheit über ein willkürlich gewähltes Zeitintervall zwischen einigen und integriert haben, erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in integraler Form:

wo und sind die Werte der Bewegungsmenge des Systems zu den Zeitpunkten bzw. und ist der Impuls äußerer Kräfte über einen bestimmten Zeitraum . In Übereinstimmung mit dem Obigen und der eingeführten Notation,

und mechanisches System

Der Betrag der Bewegung eines materiellen Punktes ist ein Vektormaß der mechanischen Bewegung, gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und seiner Geschwindigkeit, . Die Maßeinheit der Bewegungsmenge im SI-System ist
. Der Bewegungsbetrag eines mechanischen Systems ist gleich der Summe der Bewegungsbeträge aller materiellen Punkte, die das System bilden:

. (5.2)

Wir transformieren die resultierende Formel

.

Nach Formel (4.2)
, Deshalb

.

Der Impuls eines mechanischen Systems ist also gleich dem Produkt aus Masse und Schwerpunktsgeschwindigkeit:

. (5.3)

Da der Betrag der Bewegung des Systems durch die Bewegung nur eines seiner Punkte (dem Massenmittelpunkt) bestimmt wird, kann er kein vollständiges Merkmal der Bewegung des Systems sein. Tatsächlich ist bei jeder Bewegung des Systems, wenn sein Massenschwerpunkt stationär bleibt, der Impuls des Systems gleich Null. Dies tritt beispielsweise auf, wenn sich ein starrer Körper um eine feste Achse dreht, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft.

Wir führen ein Referenzsystem ein Cxyz, die ihren Ursprung im Massenmittelpunkt des mechanischen Systems hat Mit und Vorwärtsbewegen relativ zu dem Inertialsystem
(Abb. 5.1). Dann die Bewegung jedes Punktes
kann als komplex angesehen werden: Translationsbewegung entlang von Achsen Cxyz und Bewegung um diese Achsen. Aufgrund der translatorischen Bewegung der Achsen Cxyz Die tragbare Geschwindigkeit jedes Punktes ist gleich der Geschwindigkeit des Massenschwerpunktes des Systems, und der Impuls des Systems, bestimmt durch Formel (5.3), charakterisiert nur seine Translationsbewegung.

5.3. Kraftimpuls

Zur Charakterisierung der Wirkung einer Kraft über einen bestimmten Zeitraum wird eine Größe bezeichnet Moment der Kraft . Der elementare Impuls einer Kraft ist ein vektorielles Maß für die Wirkung einer Kraft, gleich dem Produkt aus der Kraft und dem elementaren Zeitintervall ihrer Wirkung:

. (5.4)

Die Maßeinheit des Kraftimpulses im SI-System ist
, d.h. die Dimensionen von Kraftimpuls und Impuls sind gleich.

Kraftimpuls über einen endlichen Zeitraum
gleich einem bestimmten Integral des Elementarimpulses:

. (5.5)

Der Impuls einer konstanten Kraft ist gleich dem Produkt aus Kraft und Einwirkungszeit:

. (5.6)

Im allgemeinen Fall kann der Impuls einer Kraft durch ihre Projektionen auf die Koordinatenachsen bestimmt werden:

. (5.7)

5.4. Satz über die Impulsänderung

materieller Punkt

In der Hauptgleichung der Dynamik (1.2) ist die Masse eines materiellen Punktes eine konstante Größe, seine Beschleunigung
, was es ermöglicht, diese Gleichung in der Form zu schreiben:

. (5.8)

Die resultierende Beziehung erlaubt uns zu formulieren Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes in differentieller Form: Die zeitliche Ableitung des Impulses eines materiellen Punktes ist gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) der auf den Punkt wirkenden Kräfte.

Wir erhalten nun die Integralform dieses Satzes. Aus Beziehung (5.8) folgt, dass

.

Integrieren wir beide Teile der Gleichheit innerhalb der Grenzen, die den Momenten entsprechen und ,

. (5.9)

Die Integrale auf der rechten Seite sind die Impulse der auf den Punkt wirkenden Kräfte, also erhalten wir nach Integration der linken Seite

. (5.10)

Damit ist es bewiesen Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes in Integralform: Die Änderung des Bewegungsbetrages eines materiellen Punktes für einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der Kraftimpulse, die für denselben Zeitraum auf den Punkt einwirken.

Die Vektorgleichung (5.10) entspricht in Projektion auf die Koordinatenachsen einem System von drei Gleichungen:

;

; (5.11)

.

Beispiel 1 Der Körper bewegt sich vorwärts entlang einer geneigten Ebene, die mit dem Horizont einen Winkel α bildet. Im ersten Moment hatte es eine Geschwindigkeit , entlang der schiefen Ebene nach oben gerichtet (Abb. 5.2).

Nach welcher Zeit wird die Geschwindigkeit des Körpers gleich Null, wenn der Reibungskoeffizient ist f ?

Nehmen wir als materiellen Punkt einen fortschreitend bewegten Körper und betrachten wir die auf ihn wirkenden Kräfte. Es ist die Schwerkraft
, die normale Reaktion des Flugzeugs und Reibungskraft . Lassen Sie uns die Achse lenken x entlang der schiefen Ebene nach oben und schreibe die 1. Gleichung des Systems (5.11) auf

wo sind die Projektionen der Bewegungsgrößen und die Projektionen der Impulse konstanter Kräfte
,und sind gleich den Produkten der Kraftprojektionen und der Bewegungszeit:

Da die Beschleunigung des Körpers entlang der schiefen Ebene gerichtet ist, ist die Summe der Projektionen auf die Achse j aller auf den Körper wirkenden Kräfte ist gleich Null:
, woraus folgt
. Finde die Reibungskraft

und aus Gleichung (5.12) erhalten wir

woraus wir die Bewegungszeit des Körpers bestimmen

.

• 1. Algebraisch Moment der Dynamik um das Zentrum. Algebraisch Ö- Skalarwert, mit einem Vorzeichen (+) oder (-) genommen und gleich dem Produkt des Impulsmoduls m auf Abstand h(senkrecht) von diesem Zentrum zu der Linie, entlang der der Vektor gerichtet ist m:
• 2. Vektordrehimpuls relativ zum Zentrum.

Vektor Drehimpuls eines materiellen Punktes relativ zu einem Mittelpunkt Ö -- ein Vektor, der in diesem Zentrum angelegt und senkrecht zur Ebene der Vektoren gerichtet ist m und in die Richtung, aus der die Bewegung des Punktes gegen den Uhrzeigersinn zu sehen ist. Diese Definition erfüllt die Vektorgleichheit

Moment der Dynamik Materialpunkt um eine Achse z wird als Skalarwert bezeichnet, der mit einem Vorzeichen (+) oder (-) genommen wird und gleich dem Produkt des Moduls ist Vektor Projektionen Betrag der Bewegung zu einer Ebene senkrecht zu dieser Achse, zu einer Senkrechten h, vom Schnittpunkt der Achse mit der Ebene auf die Linie abgesenkt, entlang der die angegebene Projektion gerichtet ist:

Impuls eines mechanischen Systems um den Mittelpunkt und die Achse

1. Kinetisches Moment relativ zum Mittelpunkt.

Schwung oder das Hauptmoment des Impulses des mechanischen Systems in Bezug auf einige Center heißt die geometrische Summe der Momente der Bewegungsgrößen aller materiellen Punkte des Systems relativ zu demselben Mittelpunkt.

2. Kinetisches Moment um die Achse.

Der Drehimpuls oder das Hauptmoment des Impulses eines mechanischen Systems relativ zu einer Achse ist die algebraische Summe des Impulses des Impulses aller materiellen Punkte des Systems relativ zu derselben Achse.

3. Impuls eines starren Körpers, der sich mit Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse z dreht.

Satz über die Änderung des Drehimpulses eines materiellen Punktes relativ zu Mittelpunkt und Achse

1. Momentensatz bezüglich des Zentrums.

Derivat in der Zeit vom Moment des Impulses eines materiellen Punktes relativ zu einem festen Zentrum ist gleich dem Moment der Kraft, die auf den Punkt relativ zu demselben Zentrum wirkt

2. Der Satz der Momente um die Achse.

Derivat in der Zeit vom Moment des Impulses eines materiellen Punktes relativ zu einer Achse ist gleich dem Moment der Kraft, die auf den Punkt relativ zu derselben Achse wirkt

Satz über die Änderung des kinetischen Moments eines mechanischen Systems relativ zu Mittelpunkt und Achse

Momentensatz über den Mittelpunkt.

Derivat in der Zeit vom Drehimpuls eines mechanischen Systems relativ zu einem festen Zentrum ist gleich der geometrischen Summe der Momente aller äußeren Kräfte, die auf das System relativ zu demselben Zentrum wirken;

Folge. Wenn das Hauptmoment äußerer Kräfte relativ zu einem bestimmten Zentrum gleich Null ist, ändert sich der Drehimpuls des Systems relativ zu diesem Zentrum nicht (Drehimpulserhaltungssatz).

2. Der Satz der Momente um die Achse.

Derivat in der Zeit vom Drehimpuls eines mechanischen Systems relativ zu einer festen Achse ist gleich der Summe der Momente aller äußeren Kräfte, die relativ zu dieser Achse auf das System einwirken

Folge. Wenn das Hauptmoment äußerer Kräfte um eine Achse gleich Null ist, ändert sich das kinetische Moment des Systems um diese Achse nicht.

Zum Beispiel = 0 also L z = konst.

Arbeit und Kraft der Kräfte

Arbeit erzwingen ist ein skalares Maß für die Wirkung einer Kraft.

1. Elementare Kraftarbeit.

Elementar Die Arbeit einer Kraft ist eine infinitesimale skalare Größe, die gleich dem Skalarprodukt des Kraftvektors und des infinitesimalen Verschiebungsvektors des Kraftangriffspunkts ist: ; - Radius-Vektor-Inkrement Kraftangriffspunkt, dessen Hodograph die Bahn dieses Punktes ist. Elementare Verschiebung Punkte entlang des Pfades stimmen mit überein aufgrund ihrer Kleinheit. So

wenn, dann dA > 0;wenn, dann da = 0;wenn , dann da< 0.

2. Analytischer Ausdruck für elementare Arbeiten.

Stellen Sie sich Vektoren vor und d durch ihre Projektionen auf die Achsen kartesischer Koordinaten:

, . Erhalte (4.40)

3. Die Arbeit der Kraft an der endgültigen Verschiebung ist gleich der integralen Summe der elementaren Arbeiten an dieser Verschiebung

Ist die Kraft konstant und bewegt sich der Angriffspunkt geradlinig,

4. Die Arbeit der Schwerkraft. Wir verwenden die Formel: Fx = Fy = 0; Fz=-G=-mg;

wo h- Verschieben des Kraftangriffspunktes vertikal nach unten (Höhe).

Beim Verschieben des Angriffspunktes der Schwerkraft nach oben EIN 12 = -mg(Punkt M 1 -- unten, M 2 - oben).

So, . Die Arbeit der Schwerkraft hängt nicht von der Form der Flugbahn ab. Beim Bewegen auf einem geschlossenen Pfad ( M 2 ist das gleiche wie M 1 ) Arbeit ist null.

5. Die Arbeit der elastischen Kraft der Feder.

Die Feder erstreckt sich nur entlang der Achse X:

F j = F z = Ö, F x = = -Sch;

wo ist der Wert der Federverformung.

Beim Verschieben des Kraftangriffspunktes von der unteren Position in die obere Position sind dann die Kraftrichtung und die Bewegungsrichtung gleich

Daher die Arbeit der elastischen Kraft

Die Arbeit der Kräfte auf die endgültige Verschiebung; Wenn = const, dann

wo ist der endgültige Drehwinkel; , wo P -- die Anzahl der Umdrehungen des Körpers um die Achse.

Kinetische Energie eines materiellen Punktes und eines mechanischen Systems. Satz von König

Kinetische Energie ist ein skalares Maß der mechanischen Bewegung.

Kinetische Energie eines materiellen Punktes - ein skalarer positiver Wert gleich dem halben Produkt aus der Masse eines Punktes und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit,

Kinetische Energie eines mechanischen Systems -- die arithmetische Summe der kinetischen Energien aller materiellen Punkte dieses Systems:

Die kinetische Energie eines Systems bestehend aus P miteinander verbundener Körper ist gleich der arithmetischen Summe der kinetischen Energien aller Körper dieses Systems:

Satz von König

Kinetische Energie eines mechanischen Systems im allgemeinen Fall ist seine Bewegung gleich der Summe der kinetischen Energie der Systembewegung zusammen mit dem Massenmittelpunkt und der kinetischen Energie des Systems, wenn es sich relativ zum Massenmittelpunkt bewegt:

wo Vkc- Geschwindigkeit k- th Punkte des Systems relativ zum Schwerpunkt.

Kinetische Energie eines starren Körpers bei verschiedenen Bewegungen

Progressive Bewegung.

Drehung eines Körpers um eine feste Achse . ,wo -- das Trägheitsmoment des Körpers um die Rotationsachse.

3. Planparallele Bewegung. , wobei das Trägheitsmoment einer flachen Figur um eine durch den Massenmittelpunkt verlaufende Achse ist.

Mit flacher Bewegung Die kinetische Energie des Körpers ist die Summe der kinetischen Energie der Translationsbewegung des Körpers mit der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts und kinetische Energie der Rotationsbewegung um eine Achse, die durch den Massenmittelpunkt verläuft, ;

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes

Satz in Differentialform.

Differential aus der kinetischen Energie eines materiellen Punktes ist gleich der Elementararbeit der auf den Punkt wirkenden Kraft,

Satz in ganzzahliger (endlicher) Form.

Ändern Die kinetische Energie eines materiellen Punktes bei einer gewissen Verschiebung ist gleich der Arbeit der Kraft, die bei derselben Verschiebung auf den Punkt wirkt.

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Satz in Differentialform.

Differential aus der kinetischen Energie eines mechanischen Systems ist gleich der Summe der Elementararbeit der auf das System einwirkenden äußeren und inneren Kräfte.

Satz in ganzzahliger (endlicher) Form.

Ändern Die kinetische Energie eines mechanischen Systems bei einer gewissen Verschiebung ist gleich der Summe der Arbeit der äußeren und inneren Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf das System einwirken. ; Für ein System starrer Körper = 0 (nach Schnittgrößeneigenschaft). Dann

Das Gesetz der Erhaltung der mechanischen Energie eines materiellen Punktes und eines mechanischen Systems

Wenn der Stoff Wirken auf einen Punkt oder ein mechanisches System nur konservative Kräfte, so bleibt in jeder Lage des Punktes oder Systems die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant.

Für Materialpunkt

Für mechanisches System T+ P= konst

wo T+ P-- gesamte mechanische Energie des Systems.

Dynamik starrer Körper

Differentialgleichungen der Bewegung eines starren Körpers

Diese Gleichungen können aus den allgemeinen Sätzen der Dynamik eines mechanischen Systems gewonnen werden.

1. Die Gleichungen der Translationsbewegung eines Körpers - aus dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems in Projektionen auf die Achsen kartesischer Koordinaten

2. Die Rotationsgleichung eines starren Körpers um eine feste Achse - aus dem Satz über die Änderung des kinetischen Moments eines mechanischen Systems relativ zu einer Achse, beispielsweise relativ zu einer Achse

Seit dem kinetischen Moment L z starrer Körper um die Achse, dann wenn

Da oder, dann kann die Gleichung in der Form oder geschrieben werden, die Form der Gleichung hängt davon ab, was in einem bestimmten Problem bestimmt werden soll.

Differentialgleichungen einer Planparallel Starrkörperbewegungen sind ein Satz von Gleichungen progressiv Bewegung einer flachen Figur zusammen mit dem Massenmittelpunkt und rotierend Bewegung um eine durch den Massenmittelpunkt verlaufende Achse:

physikalisches Pendel

physikalisches Pendel wird ein starrer Körper genannt, der sich um eine horizontale Achse dreht, die nicht durch den Massenmittelpunkt des Körpers verläuft und sich unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt.

Differentialgleichung der Drehung

Bei kleinen Schwankungen.

Wo dann

Lösung dieser homogenen Gleichung.

Lassen Sie bei t=0 Dann

-- Gleichung harmonischer Schwingungen.

Dauer der Pendelschwingung

Reduzierte Länge ein physikalisches Pendel ist die Länge eines solchen mathematischen Pendels, dessen Schwingungsdauer gleich der Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ist.

Anzahl der Bewegungen

ein Maß für mechanische Bewegung, das für einen materiellen Punkt gleich dem Produkt seiner Masse ist m für Geschwindigkeit v. K.l. mv- Vektorgröße, gerichtet wie die Geschwindigkeit eines Punktes. Manchmal wird K. d. auch als Impuls bezeichnet. Unter Einwirkung einer Kraft ändert sich der Betragsbeiwert eines Punktes im Allgemeinen sowohl zahlenmäßig als auch in der Richtung; diese Änderung wird durch das zweite (Grund-) Gesetz der Dynamik bestimmt (siehe Newtonsche Gesetze der Mechanik).

K. d. Q eines mechanischen Systems ist gleich der geometrischen Summe der K. d. aller seiner Punkte oder dem Produkt der Masse M ganzes System in Geschwindigkeit vc sein Massenmittelpunkt: Q= ∑m k v k = Mv s. Die Änderung des Änderungskoeffizienten eines Systems erfolgt nur unter dem Einfluss äußerer Kräfte, dh Kräfte, die von Körpern, die nicht Teil dieses Systems sind, auf das System einwirken. Nach dem Satz über die Änderung von K. d. Q 1 - Q 0 = ∑S k e . wobei Q 0 und Q 1 - K. d. des Systems am Anfang und am Ende eines bestimmten Zeitraums, S k e - Impulse äußerer Kräfte F k e (siehe Kraftimpuls) für diesen Zeitraum (in Differentialform wird der Satz durch die Dynamikgleichung ausgedrückt) , insbesondere in der Impact-Theorie a.

Für ein geschlossenes System, d. h. ein System, das keinen äußeren Einflüssen ausgesetzt ist, oder für den Fall, dass die geometrische Summe der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, gilt das Erhaltungsgesetz von K. d. unter der Wirkung von innere Kräfte) ändern kann, aber so, dass der Wert Q = ∑m bis v k bleibt konstant. Dieses Gesetz erklärt Phänomene wie Strahlantrieb, Rückstoß (oder Rückstoß) beim Abfeuern, den Betrieb eines Propellers oder Ruders usw. Wenn wir beispielsweise eine Waffe und eine Kugel als ein System betrachten, dann den Druck von Pulvergasen während des Schießens wird ein interner sein und kann den K. d. des Systems nicht ändern, der vor dem Schuss gleich Null ist. Informieren Sie daher die Kugel K. d. m 1 v 1 , auf die Mündung gerichtet, melden die Pulvergase gleichzeitig der Waffe numerisch gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete K. d. m 2 v 2 , was wird eine Rückkehr verursachen; von Gleichberechtigung m 1 gegen 1 = m 2 gegen 2(wobei v 1 , v 2 - Zahlenwerte der Geschwindigkeiten) möglich ist, wenn man die Geschwindigkeit v 1 kennt; Kugeln verlassen den Lauf, finden Sie die maximale Geschwindigkeit v2 Rückstoß (und für die Waffe - Rückstoß).

Bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit c wird der cd oder Impuls eines freien Teilchens durch die Formel bestimmt p = mv/β=v/c; Wenn vc, ändert sich diese Formel in die übliche: p = mw(siehe Relativitätstheorie).

Physikalische Felder besitzen auch (elektromagnetisch, gravitativ usw.). Die KD eines Feldes wird durch die Dichte von KD (das Verhältnis von KD eines Elementarvolumens zu diesem Volumen) charakterisiert und in Form der Feldstärke oder ihres Potenzials usw. ausgedrückt.

S. M. Targ.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Sehen Sie, was die "Anzahl der Bewegung" in anderen Wörterbüchern ist:

Ein Maß für die mechanische Bewegung, das für einen materiellen Punkt gleich dem Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v ist. Der Impuls mv ist eine Vektorgröße, die wie die Geschwindigkeit eines Punktes gerichtet ist. Das Momentum wird auch Momentum genannt... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

- (Impuls), Maß für mechanische Bewegung, die für einen materiellen Punkt gleich dem Produkt aus seiner Masse m und der Geschwindigkeit v ist. K. d. mv ist eine Vektorgröße, gerichtet wie die Geschwindigkeit eines Punktes. Unter Einwirkung einer Kraft ändert sich der K. d.-Punkt im allgemeinen Fall sowohl numerisch als auch ... ... Physikalische Enzyklopädie

Siehe Impuls. Philosophisches Lexikon. 2010 ... Philosophische Enzyklopädie

Menge an Bewegung- Impuls - [Ja. N. Luginsky, M. S. Fezi Zhilinskaya, Yu. S. Kabirov. Englisch Russisch Wörterbuch der Elektrotechnik und Energiewirtschaft, Moskau, 1999] Themen Elektrotechnik, Grundbegriffe Synonyme Impuls DE MomentumLinear Momentum ... Handbuch für technische Übersetzer

Ein Maß für die mechanische Bewegung, das für einen materiellen Punkt gleich dem Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v ist. Der Bewegungsbetrag mv ist eine vektorielle Größe, deren Richtung mit dem Geschwindigkeitsvektor v zusammenfällt. Der Impuls wird auch Impuls genannt. * * *… … Enzyklopädisches Wörterbuch

Impuls (Impuls) ist ein additives Integral der Bewegung eines mechanischen Systems; der entsprechende Erhaltungssatz bezieht sich auf die fundamentale Symmetrie der Homogenität des Raumes. Inhalt 1 Die Geschichte des Begriffs 2 Definition „Schule“ ... ... Wikipedia

Menge an Bewegung- judesio kiekis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, išreiškiamas kūno masės ir jo judėjimo greičio sandauga. atitikmenys: engl. kinetisches Moment; kinetischer Impuls; linear Momentum; Bewegungsmenge vok.… … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

Menge an Bewegung- judesio kiekis statusas T sritis fizika atitikmenys: angel. kinetischer Impuls; Schwung; Bewegungsmenge vok. Bewegungsgröße, f; Impuls, m. rus. Impuls, m; Menge an Bewegung, n pranc. Impuls, f; quantite de mouvement, f … Fizikos terminų žodynas

Anzahl der Bewegungen- genauso wie der Impuls ein Maß für die mechanische Bewegung ist, gleich dem Produkt aus der Masse des Körpers m und seiner Geschwindigkeit v. Der Impulsvektor fällt richtungsmäßig mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammen ... Anfänge der modernen Naturwissenschaft

Mechanische Maßnahme. Bewegung, die für einen materiellen Punkt gleich dem Produkt seiner Masse von mit der Geschwindigkeit v ist. K. d. mv ist eine Vektorgröße, deren Richtung mit dem Geschwindigkeitsvektor v zusammenfällt. K. d. Auch Impuls... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

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