Gegeben sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

Satz 1.1. Für zwei beliebige Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) der Ebene wird der Abstand d zwischen ihnen durch die Formel ausgedrückt

Nachweisen. Lassen wir von den Punkten M 1 und M 2 die Senkrechten M 1 B bzw. M 2 A fallen

auf den Achsen Oy und Ox und bezeichnen mit K den Schnittpunkt der Geraden M 1 B und M 2 A (Abb. 1.4). Folgende Fälle sind möglich:

1) Die Punkte M 1, M 2 und K sind unterschiedlich. Offensichtlich hat der Punkt K Koordinaten (x 2; y 1). Man sieht leicht, dass M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. weil ∆M 1 KM 2 rechteckig ist, dann ist nach dem Satz des Pythagoras d = M 1 M 2 = = .

2) Punkt K fällt mit Punkt M 2 zusammen, unterscheidet sich aber von Punkt M 1 (Abb. 1.5). In diesem Fall ist y 2 = y 1

und d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Der Punkt K fällt mit dem Punkt M 1 zusammen, unterscheidet sich jedoch von dem Punkt M 2. In diesem Fall ist x 2 = x 1 und d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Punkt M 2 fällt mit Punkt M 1 zusammen. Dann x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 und

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Die Aufteilung des Segments in dieser Hinsicht.

Gegeben sei ein beliebiges Segment M 1 M 2 auf der Ebene und M sei ein beliebiger Punkt davon

Segment außer dem Punkt M 2 (Abb. 1.6). Die durch die Gleichheit l = definierte Zahl l , wird genannt Attitüde, in der der Punkt M die Strecke M 1 M 2 teilt.

Satz 1.2. Wenn der Punkt M (x; y) die Strecke M 1 M 2 in Bezug auf l teilt, dann werden die Koordinaten dieser durch die Formeln bestimmt

x= , y = , (4)

wobei (x 1; y 1) die Koordinaten des Punktes M 1 sind, (x 2; y 2) die Koordinaten des Punktes M 2 sind.

Nachweisen. Beweisen wir die erste der Formeln (4). Die zweite Formel wird analog bewiesen. Zwei Fälle sind möglich.

x = x 1 = = = .

2) Die Gerade M 1 M 2 steht nicht senkrecht auf der Ox-Achse (Abb. 1.6). Lassen wir die Senkrechten von den Punkten M 1 , M, M 2 auf die Achse Ox fallen und bezeichnen die Punkte ihrer Schnittpunkte mit der Achse Ox bzw. P 1 , P, P 2 . Nach dem Proportionalsegmentsatz =l.

weil P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô und die Zahlen (x - x 1) und (x 2 - x) haben das gleiche Vorzeichen (für x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sind negativ), dann

ich == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x= .

Folgerung 1.2.1. Wenn M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) zwei beliebige Punkte sind und der Punkt M (x; y) der Mittelpunkt des Segments M 1 M 2 ist, dann

x= , y = (5)

Nachweisen. Da M 1 M = M 2 M, dann l = 1 und durch Formeln (4) erhalten wir Formeln (5).

Fläche eines Dreiecks.

Satz 1.3. Für alle Punkte A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) und C (x 3; y 3), die nicht auf demselben liegen

Gerade, die Fläche S des Dreiecks ABC wird durch die Formel ausgedrückt

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Nachweisen. Die in Abb. 1 dargestellte Fläche ∆ ABC 1,7 berechnen wir wie folgt

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Berechnen Sie die Fläche des Trapezes:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Jetzt haben wir

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Für eine andere Stelle ∆ ABC wird Formel (6) ähnlich bewiesen, kann aber mit dem Zeichen „-“ erhalten werden. Setzen Sie daher in die Formel (6) das Vorzeichen des Moduls ein.

Vortrag 2

Die Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene: die Gleichung einer geraden Linie mit dem Hauptkoeffizienten, die allgemeine Gleichung einer geraden Linie, die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft. Winkel zwischen Linien, Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien in einer Ebene.

2.1. Gegeben seien ein rechteckiges Koordinatensystem und eine Linie L in der Ebene.

Definition 2.1. Eine Gleichung der Form F(x;y) = 0, die die Variablen x und y in Beziehung setzt, wird aufgerufen Liniengleichung L(in einem gegebenen Koordinatensystem), wenn diese Gleichung durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes erfüllt wird, der auf der Linie L liegt, und nicht durch die Koordinaten eines Punktes, der nicht auf dieser Linie liegt.

Beispiele für Geradengleichungen in einer Ebene.

1) Betrachten Sie eine Gerade parallel zur Achse Oy eines rechtwinkligen Koordinatensystems (Abb. 2.1). Bezeichnen wir mit dem Buchstaben A den Schnittpunkt dieser Linie mit der Achse Ox, (a; o) ─ ihre Or-

Dinats. Die Gleichung x = a ist die Gleichung der gegebenen Geraden. Tatsächlich wird diese Gleichung durch die Koordinaten irgendeines Punktes M(a; y) dieser Geraden erfüllt und nicht durch die Koordinaten irgendeines Punktes, der nicht auf der Geraden liegt. Wenn a = 0, dann fällt die Linie mit der Oy-Achse zusammen, die die Gleichung x = 0 hat.

2) Die Gleichung x - y \u003d 0 definiert die Menge der Punkte in der Ebene, die die Winkelhalbierenden der Koordinatenwinkel I und III bilden.

3) Die Gleichung x 2 - y 2 \u003d 0 ist die Gleichung von zwei Winkelhalbierenden von Koordinatenwinkeln.

4) Die Gleichung x 2 + y 2 = 0 definiert einen einzelnen Punkt O(0;0) auf der Ebene.

5) Die Gleichung x 2 + y 2 \u003d 25 ist die Gleichung eines Kreises mit Radius 5, der am Ursprung zentriert ist.

Jeder Punkt A der Ebene ist durch seine Koordinaten (x, y) gekennzeichnet. Sie fallen mit den Koordinaten des Vektors 0А zusammen, der aus dem Punkt 0 - dem Ursprung - kommt.

Seien A und B beliebige Punkte der Ebene mit den Koordinaten (x 1 y 1) bzw. (x 2, y 2).

Dann hat der Vektor AB offensichtlich die Koordinaten (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Es ist bekannt, dass das Quadrat der Länge eines Vektors gleich der Summe der Quadrate seiner Koordinaten ist. Daher wird aus der Bedingung der Abstand d zwischen den Punkten A und B oder, was dasselbe ist, die Länge des Vektors AB bestimmt

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Mit der resultierenden Formel können Sie den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten der Ebene ermitteln, wenn nur die Koordinaten dieser Punkte bekannt sind

Jedes Mal, wenn wir über die Koordinaten des einen oder anderen Punktes der Ebene sprechen, haben wir ein wohldefiniertes Koordinatensystem x0y im Sinn. Generell kann das Koordinatensystem in der Ebene unterschiedlich gewählt werden. Anstelle des x0y-Koordinatensystems können wir also das xִy’-Koordinatensystem betrachten, das man durch Drehen der alten Koordinatenachsen um den Startpunkt 0 erhält gegen den Uhrzeigersinn Pfeile an der Ecke α .

Wenn ein Punkt der Ebene im x0y-Koordinatensystem Koordinaten (x, y) hatte, dann hat er im neuen x-y’-Koordinatensystem andere Koordinaten (x’, y’).

Betrachten Sie als Beispiel einen Punkt M, der sich auf der 0x'-Achse befindet und vom Punkt 0 in einem Abstand gleich 1 beabstandet ist.

Offensichtlich hat dieser Punkt im x0y-Koordinatensystem Koordinaten (cos α , Sünde α ), und im Koordinatensystem хִу’ sind die Koordinaten (1,0).

Die Koordinaten zweier beliebiger Punkte der Ebene A und B hängen davon ab, wie das Koordinatensystem in dieser Ebene eingestellt ist. Und hier der Abstand zwischen diesen Punkten hängt nicht davon ab, wie das Koordinatensystem angegeben ist .

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§2. Punktkoordinaten in der Ebene

3. Abstand zwischen zwei Punkten.

Wir wissen jetzt, wie man in der Sprache der Zahlen über Punkte spricht. Zum Beispiel müssen wir nicht mehr erklären: Nehmen Sie einen Punkt, der drei Einheiten rechts von der Achse und fünf Einheiten unter der Achse liegt. Es genügt, einfach zu sagen: Nehmen Sie einen Punkt.

Wir haben bereits gesagt, dass dies gewisse Vorteile schafft. Wir können also eine aus Punkten bestehende Zeichnung per Telegraf übertragen, an einen Computer übermitteln, der Zeichnungen überhaupt nicht versteht, aber Zahlen gut versteht.

Im vorigen Absatz haben wir einige Punktmengen auf der Ebene definiert, indem wir Beziehungen zwischen Zahlen verwendet haben. Versuchen wir nun, andere geometrische Konzepte und Fakten konsequent in die Sprache der Zahlen zu übersetzen.

Wir beginnen mit einer einfachen und häufigen Aufgabe.

Finden Sie den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Ebene.

Entscheidung:
Wie immer nehmen wir an, dass die Punkte durch ihre Koordinaten gegeben sind, und dann besteht unsere Aufgabe darin, eine Regel zu finden, mit der wir die Entfernung zwischen Punkten berechnen können, wenn wir ihre Koordinaten kennen. Bei der Ableitung dieser Regel darf natürlich auf die Zeichnung zurückgegriffen werden, aber die Regel selbst sollte keine Verweise auf die Zeichnung enthalten, sondern nur zeigen, welche Aktionen und in welcher Reihenfolge an den gegebenen Zahlen – den Koordinaten – durchgeführt werden sollen der Punkte, um die gewünschte Anzahl zu erhalten - den Abstand zwischen den Punkten.

Vielleicht wird dieser Ansatz zur Lösung des Problems für manche Leser befremdlich und weit hergeholt sein. Einfacher, werden sie sagen, die Punkte sind gegeben, auch wenn es Koordinaten sind. Zeichnen Sie diese Punkte, nehmen Sie ein Lineal und messen Sie den Abstand zwischen ihnen.

Diese Methode ist manchmal gar nicht so schlecht. Stellen Sie sich jedoch noch einmal vor, Sie hätten es mit einem Computer zu tun. Sie hat kein Lineal, und sie zeichnet nicht, aber sie kann so schnell zählen, dass das überhaupt kein Problem für sie ist. Beachten Sie, dass unsere Aufgabe so eingerichtet ist, dass die Regel zum Berechnen der Entfernung zwischen zwei Punkten aus Befehlen besteht, die die Maschine ausführen kann.

Es ist besser, das Problem zunächst für den speziellen Fall zu lösen, wenn einer der gegebenen Punkte im Ursprung liegt. Beginnen Sie mit einigen Zahlenbeispielen: Finden Sie die Entfernung vom Ursprung der Punkte ; und .

Anweisung. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras.

Schreiben Sie nun eine allgemeine Formel zur Berechnung der Entfernung eines Punktes vom Ursprung.

Die Entfernung eines Punktes vom Ursprung wird durch die Formel bestimmt:

Offensichtlich erfüllt die durch diese Formel ausgedrückte Regel die obigen Bedingungen. Insbesondere kann es beim Rechnen auf Maschinen verwendet werden, die Zahlen multiplizieren, addieren und Quadratwurzeln ziehen können.

Lassen Sie uns nun das allgemeine Problem lösen

Geben Sie zwei Punkte in einer Ebene an und ermitteln Sie den Abstand zwischen ihnen.

Entscheidung:
Bezeichne mit , , , die Projektionen der Punkte und auf die Koordinatenachsen.

Der Schnittpunkt der Linien und wird mit dem Buchstaben bezeichnet. Aus einem rechtwinkligen Dreieck erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras:

Aber die Länge des Segments ist gleich der Länge des Segments. Punkte und , liegen auf der Achse und haben die Koordinaten bzw. . Gemäß der in Absatz 3 von Absatz 2 erhaltenen Formel beträgt der Abstand zwischen ihnen .

Wenn wir ähnlich argumentieren, erhalten wir, dass die Länge des Segments gleich ist. Ersetzen Sie die gefundenen Werte und in die Formel, die wir erhalten.

Das Lösen von Problemen in Mathematik für Schüler ist oft mit vielen Schwierigkeiten verbunden. Den Studenten bei der Bewältigung dieser Schwierigkeiten zu helfen und ihm beizubringen, wie er sein theoretisches Wissen bei der Lösung spezifischer Probleme in allen Abschnitten des Kurses des Fachs "Mathematik" anwenden kann, ist der Hauptzweck unserer Website.

Beginnend mit der Lösung von Problemen zu diesem Thema sollten die Schüler in der Lage sein, einen Punkt auf einer Ebene gemäß seinen Koordinaten zu erstellen und die Koordinaten eines bestimmten Punkts zu finden.

Die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten auf der Ebene A (x A; y A) und B (x B; y B) wird durch die Formel durchgeführt d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), wobei d die Länge des Segments ist, das diese Punkte in der Ebene verbindet.

Wenn eines der Enden des Segments mit dem Ursprung zusammenfällt und das andere die Koordinaten M (x M; y M) hat, hat die Formel zur Berechnung von d die Form OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Berechnen der Entfernung zwischen zwei Punkten, wenn die Koordinaten dieser Punkte gegeben sind

Beispiel 1.

Ermitteln Sie die Länge des Segments, das die Punkte A(2; -5) und B(-4; 3) auf der Koordinatenebene verbindet (Abb. 1).

Entscheidung.

Die Bedingung des Problems ist gegeben: x A = 2; xB \u003d -4; y A = -5 und y B = 3. Finden Sie d.

Wenn wir die Formel d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2 anwenden, erhalten wir:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Berechnen der Koordinaten eines Punktes, der von drei gegebenen Punkten gleich weit entfernt ist

Beispiel 2

Finden Sie die Koordinaten des Punktes O 1, der von den drei Punkten A(7; -1) und B(-2; 2) und C(-1; -5) gleich weit entfernt ist.

Entscheidung.

Aus der Formulierung der Bedingung des Problems folgt, dass O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Der gewünschte Punkt O 1 habe Koordinaten (a; b). Nach der Formel d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finden wir:

Ö 1 EIN \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

Ö 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Wir bilden ein System aus zwei Gleichungen:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Nachdem wir die linke und rechte Seite der Gleichungen quadriert haben, schreiben wir:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Vereinfachend schreiben wir

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Nachdem wir das System gelöst haben, erhalten wir: a = 2; b = -1.

Der Punkt O 1 (2; -1) ist äquidistant von den drei in der Bedingung angegebenen Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch drei gegebene Punkte geht. (Abb. 2).

3. Berechnung der Abszisse (Ordinate) eines Punktes, der auf der Abszisse (Ordinate)-Achse liegt und sich in einem gegebenen Abstand von diesem Punkt befindet

Beispiel 3

Der Abstand von Punkt B(-5; 6) zu Punkt A auf der x-Achse beträgt 10. Finden Sie Punkt A.

Entscheidung.

Aus der Formulierung der Bedingung des Problems folgt, dass die Ordinate des Punktes A Null und AB = 10 ist.

Wenn wir die Abszisse des Punktes A durch a bezeichnen, schreiben wir A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Wir erhalten die Gleichung √((a + 5) 2 + 36) = 10. Vereinfacht gesagt haben wir

a 2 + 10a - 39 = 0.

Die Wurzeln dieser Gleichung a 1 = –13; und 2 = 3.

Wir bekommen zwei Punkte A 1 (-13; 0) und A 2 (3; 0).

Untersuchung:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Beide erhaltenen Punkte passen zum Problemzustand (Abb. 3).

4. Berechnung der Abszisse (Ordinate) eines Punktes, der auf der Abszisse (Ordinate)-Achse liegt und von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand hat

Beispiel 4

Finden Sie einen Punkt auf der Oy-Achse, der von den Punkten A (6; 12) und B (-8; 10) gleich weit entfernt ist.

Entscheidung.

Die Koordinaten des durch die Problemstellung geforderten Punktes, der auf der Oy-Achse liegt, seien O 1 (0; b) (an dem auf der Oy-Achse liegenden Punkt ist die Abszisse gleich Null). Aus der Bedingung folgt, dass O 1 A \u003d O 1 V.

Nach der Formel d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finden wir:

Ö 1 EIN \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Wir haben die Gleichung √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) oder 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Nach Vereinfachung erhalten wir: b - 4 = 0, b = 4.

Erforderlich durch die Bedingung des Problempunktes O 1 (0; 4) (Abb. 4).

5. Berechnen der Koordinaten eines Punktes, der von den Koordinatenachsen gleich weit entfernt ist wie ein gegebener Punkt

Beispiel 5

Finden Sie Punkt M, der sich auf der Koordinatenebene im gleichen Abstand von den Koordinatenachsen und von Punkt A (-2; 1) befindet.

Entscheidung.

Der gesuchte Punkt M liegt wie Punkt A (-2; 1) in der zweiten Koordinatenecke, da er von den Punkten A, P 1 und P 2 gleich weit entfernt ist (Abb. 5). Die Abstände des Punktes M von den Koordinatenachsen sind gleich, daher sind seine Koordinaten (-a; a), wobei a > 0.

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

jene. |-a| = ein.

Nach der Formel d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finden wir:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Machen wir eine Gleichung:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = ein.

Nach dem Quadrieren und Vereinfachen haben wir: a 2 - 6a + 5 = 0. Wir lösen die Gleichung, wir finden a 1 = 1; und 2 = 5.

Wir erhalten zwei Punkte M 1 (-1; 1) und M 2 (-5; 5), die die Bedingung des Problems erfüllen.

6. Berechnung der Koordinaten eines Punktes, der den gleichen vorgegebenen Abstand von der Abszissenachse (Ordinatenachse) und von diesem Punkt hat

Beispiel 6

Finden Sie einen Punkt M so, dass sein Abstand von der y-Achse und von Punkt A (8; 6) gleich 5 ist.

Entscheidung.

Aus der Bedingung des Problems folgt, dass MA = 5 und die Abszisse des Punktes M gleich 5 ist. Die Ordinate des Punktes M sei gleich b, dann ist M(5; b) (Abb. 6).

Nach der Formel d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) haben wir:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Machen wir eine Gleichung:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Vereinfacht erhalten wir: b 2 - 12b + 20 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Daher gibt es zwei Punkte, die die Bedingung des Problems erfüllen: M 1 (5; 2) und M 2 (5; 10).

Es ist bekannt, dass viele Schüler, wenn sie Probleme selbst lösen, ständige Beratungen zu Techniken und Methoden zu ihrer Lösung benötigen. Oft kann ein Schüler ohne die Hilfe eines Lehrers keinen Weg finden, ein Problem zu lösen. Der Student kann sich auf unserer Website die notwendigen Ratschläge zur Lösung von Problemen holen.

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In diesem Artikel werden wir Möglichkeiten betrachten, die Entfernung von einem Punkt zu einem Punkt theoretisch und am Beispiel bestimmter Aufgaben zu bestimmen. Beginnen wir mit einigen Definitionen.

Bestimmung 1

Abstand zwischen Punkten- dies ist die Länge des sie verbindenden Segments im bestehenden Maßstab. Es ist notwendig, die Skala einzustellen, um eine Längeneinheit für die Messung zu haben. Daher wird das Problem, den Abstand zwischen Punkten zu finden, grundsätzlich gelöst, indem ihre Koordinaten auf der Koordinatenlinie, in der Koordinatenebene oder im dreidimensionalen Raum verwendet werden.

Anfangsdaten: die Koordinatenlinie O x und ein darauf liegender beliebiger Punkt A. Jedem Punkt der Linie gehört eine reelle Zahl an: sei diese eine bestimmte Zahl für Punkt A xA, es ist die Koordinate von Punkt A.

Im Allgemeinen können wir sagen, dass die Schätzung der Länge eines bestimmten Segments im Vergleich zu dem Segment erfolgt, das als Längeneinheit auf einem bestimmten Maßstab genommen wird.

Entspricht Punkt A einer ganzzahligen reellen Zahl, nachdem wir nacheinander von Punkt O zu einem Punkt entlang einer geraden Linie O A Segmente - Längeneinheiten beiseite gelegt haben, können wir die Länge des Segments O A durch die Gesamtzahl der anhängigen Einzelsegmente bestimmen.

Zum Beispiel entspricht Punkt A der Nummer 3 - um von Punkt O dorthin zu gelangen, müssen drei Einheitssegmente reserviert werden. Wenn Punkt A eine Koordinate von -4 hat, werden einzelne Segmente auf ähnliche Weise gezeichnet, aber in einer anderen, negativen Richtung. Somit ist im ersten Fall der Abstand O A gleich 3; im zweiten Fall O A \u003d 4.

Wenn Punkt A eine rationale Zahl als Koordinate hat, dann legen wir vom Ursprung (Punkt O) eine ganzzahlige Anzahl von Einheitssegmenten beiseite und dann ihren notwendigen Teil. Aber geometrisch ist eine Messung nicht immer möglich. Beispielsweise scheint es schwierig, den koordinativen direkten Bruch 4 111 beiseite zu legen.

Auf diese Weise ist es völlig unmöglich, eine irrationale Zahl auf einer geraden Linie zu verschieben. Zum Beispiel, wenn die Koordinate von Punkt A 11 ist. In diesem Fall ist es möglich, sich der Abstraktion zuzuwenden: Wenn die angegebene Koordinate von Punkt A größer als Null ist, dann O A \u003d x A (die Zahl wird als Entfernung genommen); wenn die Koordinate kleiner als Null ist, dann O A = - x A . Im Allgemeinen gelten diese Aussagen für jede reelle Zahl x A .

Zusammenfassend: Der Abstand vom Ursprung zum Punkt, der einer reellen Zahl auf der Koordinatenlinie entspricht, ist gleich:

• 0, wenn der Punkt derselbe ist wie der Ursprung;

• x A wenn x A > 0 ;

• - x A wenn x A< 0 .

In diesem Fall ist es offensichtlich, dass die Länge des Segments selbst nicht negativ sein kann, daher schreiben wir mit dem Moduluszeichen die Entfernung vom Punkt O zum Punkt A mit der Koordinate xA: O EIN = x EIN

Die richtige Aussage wäre: Der Abstand von einem Punkt zum anderen ist gleich dem Modul der Koordinatendifferenz. Jene. für die Punkte A und B, die an jedem Ort auf derselben Koordinatenlinie liegen und jeweils die Koordinaten haben xA und x B: EIN B = x B - x EIN .

Anfangsdaten: Punkte A und B liegen auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y mit gegebenen Koordinaten: A (x A , y A) und B (x B , y B) .

Ziehen wir Senkrechte zu den Koordinatenachsen O x und O y durch die Punkte A und B und erhalten als Ergebnis die Projektionspunkte: A x , A y , B x , B y . Basierend auf der Lage der Punkte A und B sind außerdem folgende Optionen möglich:

Wenn die Punkte A und B zusammenfallen, ist der Abstand zwischen ihnen Null;

Liegen die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur O x -Achse (Abszissenachse), dann fallen die Punkte und zusammen, und | A B | = | A y B y | . Da der Abstand zwischen den Punkten gleich dem Betrag der Differenz zwischen ihren Koordinaten ist, gilt A y B y = y B – y A und daher A B = A y B y = y B – y A .

Liegen die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur O y-Achse (y-Achse) - analog zum vorigen Absatz: A B = A x B x = x B - x A

Wenn die Punkte A und B nicht auf einer geraden Linie senkrecht zu einer der Koordinatenachsen liegen, finden wir den Abstand zwischen ihnen, indem wir die Berechnungsformel ableiten:

Wir sehen, dass das Dreieck A B C nach Konstruktion rechtwinklig ist. In diesem Fall ist A C = A x B x und B C = A y B y . Mit dem Satz des Pythagoras bilden wir die Gleichheit: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , und transformieren sie dann: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Lassen Sie uns aus dem erhaltenen Ergebnis eine Schlussfolgerung ziehen: Der Abstand von Punkt A zu Punkt B in der Ebene wird durch die Berechnung nach der Formel unter Verwendung der Koordinaten dieser Punkte bestimmt

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Die resultierende Formel bestätigt auch die zuvor gebildeten Aussagen für die Fälle von Punktkoinzidenz oder Situationen, in denen die Punkte auf Geraden senkrecht zu den Achsen liegen. Für den Fall der Koinzidenz der Punkte A und B gilt also die Gleichheit: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Für den Fall, dass die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur x-Achse liegen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Für den Fall, dass die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur y-Achse liegen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Ausgangsdaten: rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z mit darauf liegenden beliebigen Punkten mit gegebenen Koordinaten A (x A , y A , z A) und B (x B , y B , z B) . Es ist notwendig, den Abstand zwischen diesen Punkten zu bestimmen.

Betrachten Sie den allgemeinen Fall, wenn die Punkte A und B nicht in einer Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen liegen. Zeichnen Sie durch die Punkte A und B Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen und erhalten Sie die entsprechenden Projektionspunkte: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Der Abstand zwischen den Punkten A und B ist die Diagonale der resultierenden Box. Entsprechend der Konstruktion der Messung dieser Box: A x B x , A y B y und A z B z

Aus der Geometrie ist bekannt, dass das Quadrat der Diagonalen eines Parallelepipeds gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen ist. Basierend auf dieser Aussage erhalten wir die Gleichheit: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Unter Verwendung der zuvor erhaltenen Schlussfolgerungen schreiben wir Folgendes:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finale Formel zur Bestimmung der Entfernung zwischen Punkten im Raum wird so aussehen:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Die resultierende Formel gilt auch für Fälle, in denen:

Die Punkte stimmen überein;

Sie liegen auf derselben Koordinatenachse oder auf einer Geraden parallel zu einer der Koordinatenachsen.

Beispiele für die Lösung von Problemen zum Ermitteln des Abstands zwischen Punkten

Beispiel 1

Ausgangsdaten: Gegeben sind eine Koordinatenlinie und darauf liegende Punkte mit vorgegebenen Koordinaten A (1 - 2) und B (11 + 2). Es ist notwendig, den Abstand vom Referenzpunkt O zu Punkt A und zwischen den Punkten A und B zu finden.

Entscheidung

1. Der Abstand vom Bezugspunkt zum Punkt entspricht dem Modul der Koordinate dieses Punktes bzw. O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Der Abstand zwischen den Punkten A und B ist als Betrag der Differenz zwischen den Koordinaten dieser Punkte definiert: A B = 11 + 2 – (1 – 2) = 10 + 2 2

Antwort: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Beispiel 2

Ausgangsdaten: Gegeben sei ein rechteckiges Koordinatensystem und zwei darauf liegende Punkte A (1 , - 1) und B (λ + 1 , 3) ​​. λ ist eine reelle Zahl. Es ist notwendig, alle Werte dieser Zahl zu finden, für die der Abstand A B gleich 5 ist.

Entscheidung

Um den Abstand zwischen den Punkten A und B zu ermitteln, müssen Sie die Formel A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 verwenden

Wenn wir die reellen Werte der Koordinaten ersetzen, erhalten wir: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Und wir verwenden auch die bestehende Bedingung, dass A B = 5 und dann ist die Gleichheit wahr:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Antwort: A B \u003d 5 wenn λ \u003d ± 3.

Beispiel 3

Ausgangsdaten: Gegeben ist ein dreidimensionaler Raum in einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y z und die darin liegenden Punkte A (1 , 2 , 3) ​​und B - 7 , - 2 , 4 .

Entscheidung

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Formel A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Durch Einsetzen der reellen Werte erhalten wir: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Antwort: | A B | = 9

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