Anweisung

Die direkte Berechnung von Grenzwerten hängt zunächst mit den Grenzwerten des rationalen Qm(x)/Rn(x) zusammen, wobei Q und R Polynome sind. Wenn die Grenze bei x → a berechnet wird (a ist eine Zahl), dann kann es zum Beispiel zu Unsicherheiten kommen. Um es zu eliminieren, teilen Sie Zähler und Nenner durch (x-a). Wiederholen Sie den Vorgang, bis die Unsicherheit verschwindet. Die Division von Polynomen wird fast genauso durchgeführt wie die Division von Zahlen. Sie beruht darauf, dass Division und Multiplikation Umkehroperationen sind. Ein Beispiel ist in Abb. 1 gezeigt. ein.

Anwendung der ersten bemerkenswerten Grenze. Die Formel für die erste bemerkenswerte Grenze ist in Abb. 1 dargestellt. 2a. Um es zu verwenden, bringen Sie Ihren Beispielausdruck in das entsprechende Formular. Dies kann immer rein algebraisch oder durch Variablenänderung erfolgen. Die Hauptsache - vergessen Sie nicht, dass, wenn der Sinus von kx stammt, der Nenner auch kx ist. Ein Beispiel ist in Abb. 2e Wenn wir außerdem berücksichtigen, dass tgx=sinx/cosx, cos0=1, dann erscheint es als Konsequenz (siehe Abb. 2b). arcsin(sinx)=x und arctg(tgx)=x. Daher gibt es zwei weitere Konsequenzen (Abb. 2c und 2d). Es hat sich auch eine ziemlich breite Palette von Methoden herausgebildet.

Anwendung der zweiten bemerkenswerten Grenze (siehe Abb. 3a) Grenzen dieser Art werden verwendet, um Typenunsicherheiten zu beseitigen. Um die entsprechenden Probleme zu lösen, wandeln Sie einfach die Bedingung in eine Struktur um, die der Art des Limits entspricht. Denken Sie daran, dass beim Potenzieren eines bereits potenzierten Ausdrucks dessen Exponenten multipliziert werden. Das entsprechende Beispiel ist in Abb. 2e) Wenden Sie die Substitution α=1/x an und erhalten Sie die Konsequenz der zweiten bemerkenswerten Grenze (Abb. 2b). Nachdem Sie beide Teile dieser Folgerung zur Basis a logarithmiert haben, kommen Sie zur zweiten Folgerung, auch wenn a = e (siehe Abb. 2c). Nehmen Sie die Substitution a^x-1=y vor. Dann ist x=log(a)(1+y). Wenn x gegen Null tendiert, tendiert auch y gegen Null. Daher ergibt sich auch eine dritte Konsequenz (siehe Abb. 2d).

Anwendung äquivalenter Infinitesimale: Unendlich kleine Funktionen sind äquivalent zu x → a, wenn der Grenzwert ihres Verhältnisses α(x)/γ(x) gleich eins ist. Wenn Sie mit solchen Infinitesimalen Grenzen berechnen, schreiben Sie einfach γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) ist ein Infinitesimal kleinerer Ordnung als α(x). Dafür ist lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Um die Äquivalenz zu verdeutlichen, verwenden Sie dieselben wunderbaren Grenzen. Die Methode ermöglicht es, den Prozess der Grenzwertfindung erheblich zu vereinfachen und transparenter zu machen.

Die Regel von L'Hopital

Bestimmung 1

Regel von L'Hopital: unter bestimmten Bedingungen ist der Grenzwert des Verhältnisses von Funktionen, deren Variable gegen $a$ strebt, gleich dem Grenzwert des Verhältnisses ihrer Ableitungen, wobei $x$ ebenfalls gegen $a$ strebt:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"( x))(g"(x)) $

Die Regel von L'Hopital wurde von dem schwedischen Mathematiker Johann Bernoulli entdeckt, der dann in einem Brief an L'Hopital darüber sprach. Lopital veröffentlichte diese Regel 1696 im ersten Lehrbuch der Differentialrechnung mit eigener Urheberschaft.

Die Regel von L'Hopital gilt für Ausdrücke, die auf Unsicherheiten der folgenden Form reduziert werden können:

$\frac(0)(0) \begin(array)(ccc) () & () & (\frac(\infty )(\infty ) ) \end(array)$

Anstelle von Null im ersten Ausdruck kann jeder infinitesimale Wert stehen.

Im allgemeinen Fall kann die Regel von L'Hospital verwendet werden, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner beide Null oder Unendlich sind.

Bedingungen, unter denen die Regel von L'Hopital angewendet werden kann:

• Es wird die Bedingung beachtet, unter der die Grenzen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$, wenn $x$ gegen $a$ strebt, gleich sind und gegen null oder unendlich streben: $\mathop(\lim )\ limit_(x \to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=0$ oder $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f (x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\infty $;
• Es ist möglich, Ableitungen von $f(x)$ und $g(x)$ in einer Umgebung von $a$ zu erhalten;
• Die Ableitung der Funktion $g(x)$ ist nicht Null $g"(x)\ne 0$ in einer Umgebung von $a$;
• Der Grenzwert des Verhältnisses der Ableitungen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$, geschrieben als $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x) )(g"( x)) $ existiert.

Beweis der Regel von L'Hospital:

1. Seien die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gegeben und die Grenzen gleich:
2. $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) g(x)=0 $.
3. Erweitern wir die Funktionen am Punkt $a$. Für diesen Punkt gilt die folgende Bedingung:
4. $\frac(f(x))(g(x)) =\frac(f(x)-f(a))(g(x)-g(a)) =\frac(f"(c)) (g"(c))$.
5. Der Wert von $c$ hängt von $x$ ab, aber wenn $x\to a+0$ dann $c\to a$.
6. $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(c\to a+0) \frac (f"(c))(g"(c)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f"(c))(g"(c)) $.

Algorithmus zur Berechnung der Lösung nach der L'Hopital-Regel

1. Überprüfen des gesamten Ausdrucks auf Unsicherheit.
2. Überprüfung aller oben genannten Bedingungen vor der weiteren Anwendung der Regel von L'Hospital.
3. Prüfen, ob die Ableitung einer Funktion gegen $0$ tendiert.
4. Erneutes Testen auf Unsicherheit.

Beispiel 1:

Grenze finden:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) $

Entscheidung:

• Der Grenzwert der Funktion $f(x)$ ist gleich dem Grenzwert $g(x)$ und beide sind gleich Null: $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x) =\mathop(\lim )\limits_ (x\to 0) (x^(2) +5x)=0$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (3x)=0$
• $g"(x)=3\ne 0$ in einer Nachbarschaft von $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(2x +5)(3) $

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop( \lim )\limits_(x\to 0) \frac(\left(x^(2) +5x\right)")(\left(3x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x \bis 0) \frac(2x+5)(3) =\frac(0+5)(3) =\frac(5)(3) $

Beispiel #2:

Grenze finden:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) $

Entscheidung:

Überprüfen wir die Bedingungen für die Anwendbarkeit der Regel von L'Hospital:

• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -3x^(2) +2x) =\infty$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -x)=\infty $
• $f(x)$ und $g(x)$ sind in einer Umgebung von $a$ differenzierbar
• $g"(x)=6\ne 0$ in einer Nachbarschaft von $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac( 3x^(2) -6x+2)(3x^(2) -1) $

Lassen Sie uns die Ableitung schreiben und den Grenzwert der Funktion finden:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) =\left\langle \frac( \infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(x^(3) -3x^(2) +2x\right)" )(\left(x^(3) -x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(3x^(2) -6x+2)(3x^( 2)-1)=\left\langle \frac(\infty )(\infty )\right\rangle $

Wir wiederholen die Berechnung der Ableitung, bis wir die Unsicherheit losgeworden sind:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(3x^(2) -6x+2\right)")(\left(3x^(2) -1\right) ") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(6x-6)(6x) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop (\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(6x-6\right)")(\left(6x\right)") =\frac(6)(6) =1$

Beispiel #3:

Grenze finden:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) $

Entscheidung:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop(\lim )\ limit_(x\to 0) \frac(\left(\sin 5x\right)")(\left(x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(5 \cos 5x)(1) =5\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \cos 5x=5$

Beispiel #4:

Grenze finden:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) $

Entscheidung:

Lassen Sie uns die Funktion protokollieren:

$\ln y=\frac(1)(x) \ln (1+x^(2))=\frac(\ln (1+x^(2)))(x) $

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\ln (1+x^(2)))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left[\ln (1+x^(2))\right]")(x") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\frac(2x) (1+x^(2) ) )(1) =0$

Da die Funktion $ln(y)$ stetig ist, erhalten wir:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (\ln y)=\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)$

Somit,

$\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)=0$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y=1$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) =1$

Entscheidung Grenzen der Online-Funktion. Den Grenzwert einer Funktion oder eines Funktionsablaufs an einem Punkt finden, berechnen begrenzen Funktionswert im Unendlichen. bestimmen Sie die Konvergenz einer Zahlenreihe und vieles mehr können Sie dank unseres Online-Service tun -. Wir ermöglichen es Ihnen, Funktionsgrenzen schnell und genau online zu finden. Sie geben selbst die Funktionsvariable und die angestrebte Grenze ein, unser Service führt alle Berechnungen für Sie durch und gibt eine genaue und einfache Antwort. Und für das Limit online finden Sie können sowohl numerische Reihen als auch analytische Funktionen eingeben, die Konstanten in einem wörtlichen Ausdruck enthalten. In diesem Fall enthält die gefundene Funktionsgrenze diese Konstanten als konstante Argumente im Ausdruck. Unser Service löst alle komplexen Probleme der Suche Grenzen im Internet, genügt es, die Funktion und den Punkt anzugeben, an dem gerechnet werden soll Funktionsgrenze. Rechnen Grenzen im Internet, können Sie verschiedene Methoden und Regeln verwenden, um sie zu lösen, während Sie das Ergebnis mit vergleichen Limit-Lösung online auf www.site, was zum erfolgreichen Abschluss der Aufgabe führt - Sie vermeiden Ihre eigenen Fehler und Tippfehler. Oder Sie vertrauen uns voll und ganz und verwenden unser Ergebnis für Ihre Arbeit, ohne zusätzlichen Aufwand und Zeit für eigenständige Berechnungen der Funktionsgrenze aufzuwenden. Wir erlauben die Eingabe von Grenzwerten wie unendlich. Sie müssen einen gemeinsamen Begriff der Zahlenfolge und eingeben www.site errechnet den Wert im Internet einschränken bis plus oder minus unendlich.

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Die Anwendung der Regel von L'Hospital ist notwendig, um die Grenzen zu berechnen, wenn Unsicherheiten der Form 0 0 und ∞ ∞ erhalten werden.

Es gibt Unsicherheiten der Form 0 · ∞ und ∞ - ∞ .

Der wichtigste Teil der Regel von L'Hopital besteht darin, eine Funktion zu differenzieren und ihre Ableitung zu finden.

Die Regel von L'Hopital

Bestimmung 1

Wenn lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 oder ∞ ∞ und die Funktionen f (x) , g (x) innerhalb des Punktes x 0 differenzierbar sind, dann ist lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f " (x) g " (x) .

Wenn die Unsicherheit nach Anwendung der L'Hopital-Regel nicht behoben ist, muss sie erneut angewendet werden. Betrachten Sie zum vollständigen Verständnis einige Beispiele.

Beispiel 1

Führen Sie Berechnungen mit der Regel von L'Hopital durch lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) .

Entscheidung

Um nach der Regel von L'Hopital zu lösen, müssen Sie zuerst eine Substitution vornehmen. Wir erhalten, dass lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = sin 2 (3 0) 0 cos (0) = 0 0 .

Jetzt können Sie mit der Berechnung der Grenzwerte mithilfe der Regel fortfahren. Das verstehen wir

lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) "x cos (x)" = lim x → 0 2 sin (3 x) ( sin ( 3 x)) "x" cos (x) + x (cos (x)) " = = lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x sin ( x) = 6 sin (3 0) cos (3 0) cos (0) - 0 sin (0) = 0 1 = 0

Antworten: lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = 0 .

Beispiel 2

Berechnen Sie den Grenzwert der gegebenen Funktion lim x → ∞ ln (x) x .

Entscheidung

Wir machen die Aussage unendlich. Das verstehen wir

lim x → ∞ log (x) x = log (∞) ∞ = ∞ ∞

Die daraus resultierende Unsicherheit zeigt, dass es notwendig ist, die L'Hopital-Regel anzuwenden. Wir haben das

lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) " x " = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

Antwort: lim x → ∞ ln (x) x = 0

Beispiel 3

Berechne den Grenzwert der gegebenen Funktion lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x))

Entscheidung

Wir nehmen eine Substitution des x-Wertes vor. wir bekommen das

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = (0 + 0) 4 ln (0 + 0) = 0 (-∞)

Die Lösung führte zu einer Unsicherheit der Form Null multipliziert mit negativer Unendlichkeit. Dies weist darauf hin, dass es notwendig ist, sich auf die Tabelle der Unsicherheiten zu beziehen und Entscheidungen für die Wahl der Methode zum Auffinden dieser Grenze zu treffen. Nach der Transformation wenden wir die Regel von L'Hopital an. Das verstehen wir

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞+∞

Der Ansatz zur Unsicherheit legt nahe, dass es notwendig ist, diese Regel erneut anzuwenden. Wir haben das

lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln ( x)) "(x - 4)" = lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 1 (0 + 0) - 4 = = - 1 4 (0 + 0) 4 = 0

Antworten: lim x → 0 + 0 (x 4 log (x)) = 0

Beispiel 4

Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 .

Entscheidung

Nach der Substitution erhalten wir

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞

Das Vorhandensein von Unsicherheit zeigt an, dass die Regel von L'Hopital verwendet werden sollte. Das verstehen wir

lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - sin 2 (x) x 2 sin 2 (x) = lim x → 0 x cos x - sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = = 2 0 cos (0) - sin (0) 0 sin 2 (0) = 0 0

Für den letzten Übergang wurde die erste bemerkenswerte Grenze verwendet. Dann kommen wir zur Lösung nach L'Hopital. Das verstehen wir

2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) "(x sin 2 (x))" = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0

Da die Unsicherheit nicht verschwunden ist, ist eine weitere Anwendung der Regel von L'Hopital erforderlich. Wir erhalten die Grenze der Form

2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x "sin (x) + 2 x cos x" == 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x = - 2 1 3 cos (0) - 2 0 sin (0) = - 2 3

Antworten: lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3

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Ein Verfahren zum Lösen der Grenzen unter Verwendung der Regel von L'Hopital wird vorgestellt. Aussagen der entsprechenden Theoreme werden gegeben. Beispiele für die Lösung von Grenzen mit Unsicherheiten ∞/∞, 0/0, 0 hoch 0 und ∞ - ∞ unter Verwendung der Regel von L'Hopital werden im Detail analysiert.

Inhalt

Siehe auch: Regeln zur Berechnung von Derivaten

Lösungsmethode

Eine der leistungsstärksten Methoden zum Aufdecken von Unsicherheiten und zum Berechnen der Grenzen von Funktionen ist die Anwendung der Regel von L'Hospital. Es ermöglicht Ihnen, die Unsicherheiten des Formulars aufzudecken 0/0 oder ∞/∞ am Endpunkt oder im Unendlichen, was wir als x bezeichnen werden 0 . Die Regel von L'Hopital besagt, dass wir die Ableitungen des Zählers und des Nenners eines Bruchs finden. Wenn es eine Grenze gibt, .
Wenn wir nach der Differentiation wieder Unsicherheit bekommen, dann kann der Vorgang wiederholt werden, dh die L'Hopital-Regel bereits auf den Grenzwert anwenden. Und so weiter, bis die Ungewissheit aufgedeckt wird.

Damit diese Regel gilt, muss es eine solche punktierte Umgebung des Punktes x geben 0 , auf der die Funktionen im Zähler und Nenner differenzierbar sind und die Funktion im Nenner und ihre Ableitung nicht verschwinden.

Die Anwendung der Regel von L'Hopital besteht aus den folgenden Schritten.
1) Wir bringen die Ungewissheit in die Form 0/0 oder ∞/∞ . Dazu führen wir ggf. Transformationen durch und nehmen eine Änderung der Variablen vor. Als Ergebnis erhalten wir die Grenze der Form .
2) Wir stellen sicher, dass es eine solche punktierte Umgebung des Punktes x gibt 0 , auf der die Funktionen in Zähler und Nenner differenzierbar sind und der Nenner und seine Ableitung nicht verschwinden.
3) Finde die Ableitungen von Zähler und Nenner.
4) Wenn es einen endlichen oder unendlichen Grenzwert gibt, dann ist das Problem gelöst: .
5) Wenn das Limit nicht existiert, bedeutet dies nicht, dass das ursprüngliche Limit nicht existiert. Dies bedeutet, dass dieses Problem nicht mit der Regel von L'Hospital gelöst werden kann. Sie müssen eine andere Methode anwenden (siehe Beispiel unten).
6) Wenn in der Grenze wieder Unsicherheit auftritt, kann die Regel von L'Hopital auch darauf angewendet werden, beginnend mit Punkt 2).

Wie oben erwähnt, kann die Anwendung der Regel von L'Hospital zu einer Funktion führen, deren Grenzwert nicht existiert. Dies bedeutet jedoch nicht, dass es keine ursprüngliche Begrenzung gibt. Betrachten Sie das folgende Beispiel.
.
Wir wenden die Regel von L'Hopital an. , .
Es gibt jedoch keine Begrenzung. Trotzdem hat die ursprüngliche Funktion eine Grenze:
.

Die Regel von L'Hopital. Aussagen der Theoreme

Hier präsentieren wir die Formulierungen der Theoreme, auf denen die Offenlegung von Unsicherheiten nach der Regel von L'Hospital basiert.

Unsicherheitsoffenlegungssatz 0/0
Die Funktionen f und g seien Ableitungen in einer punktierten (zweiseitigen oder einseitigen) Umgebung eines endlichen oder unendlichen Punktes () und seien in dieser Umgebung ungleich Null. Vergiss es
.
,
dann gibt es eine gleiche Grenze
.

Unsicherheitsoffenbarungssatz ∞/∞
Die Funktionen f und g seien Ableitungen in einer punktierten (zweiseitigen oder einseitigen) Umgebung eines endlichen oder unendlichen () Punktes und in dieser Umgebung ungleich Null. Vergiss es
.
Dann, wenn es eine endliche oder unendliche Grenze gibt
,
dann gibt es eine gleiche Grenze
.
Hier für eine Zwei-Wege-Nachbarschaft. Für eine einseitige Nachbarschaft, , oder .

Beispiele

Beispiel 1

Zeigen Sie, dass der Exponent schneller wächst als jede Potenzfunktion, während der Logarithmus langsamer wächst. Das heißt, um das zu zeigen
SONDERN) ;
B) ,
wo .

Betrachten Sie die Grenze A). Beim . Dies ist die Typunsicherheit. Für die Offenlegung wenden wir die L'Hopital-Regel an. Lassen
.
Wir finden Derivate. . Dann
.
Wenn , dann verschwindet die Unsicherheit, weil bei . Nach der Regel von L'Hopital gilt:
.

Wenn , dann wenden wir die Regel von L'Hopital n-mal an, wobei der ganzzahlige Teil der Zahl b ist.
;

.
Weil dann . Obwohl wir es gewohnt sind, von links nach rechts zu lesen, sollte diese Reihe von Gleichheiten wie folgt von rechts nach links gelesen werden. Da es eine Grenze gibt, gibt es eine Grenze, die ihr entspricht. Da es eine Grenze gibt, gibt es eine Grenze, die ihr entspricht. Und so weiter, bis wir das Limit erreichen.

Betrachten Sie nun Grenze B):
. Lassen Sie uns eine Variablenänderung vornehmen. Dann ; beim ; .

Beispiel 2

Finden Sie die Grenze mit der Regel von L'Hopital:
.

Dies ist eine Unbestimmtheit der Form 0/0 . Wir finden nach der Regel von L'Hopital.

.

Hier kam nach der ersten Anwendung der Regel erneut Unsicherheit auf. Daher wurde die Regel von L'Hopital ein zweites Mal angewendet. Diese Reihe von Gleichheiten sollte wie folgt von rechts nach links gelesen werden. Da es eine Grenze gibt, gibt es eine Grenze, die ihr entspricht. Da es eine Grenze gibt, gibt es eine Anfangsgrenze, die ihr entspricht.

Beispiel 3

Berechnen Sie die Grenze mit der Regel von L'Hospital.
.

Finden wir die Werte von Zähler und Nenner unter:
;

.
Zähler und Nenner sind Null. Wir haben eine Formunsicherheit 0/0 . Für die Offenlegung wenden wir die L'Hopital-Regel an.

.

Beispiel 4

Lösen Sie die Grenze mit der Regel von L'Hospital.
.

Hier haben wir eine Formunsicherheit (+0) +0 . Transformieren wir es in die Form +∞/+∞ . Dazu führen wir Transformationen durch.
.

Wir finden den Grenzwert im Exponenten, indem wir die Regel von L'Hopital anwenden.
.

Da der Exponent für alle Werte des Arguments eine stetige Funktion ist, dann
.

Beispiel 5

Finden Sie die Grenze mit der Regel von L'Hopital:
.

Hier haben wir eine Unschärfe der Form ∞ - ∞ . Indem wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, bringen wir es auf eine Unschärfe der Form 0/0 :
.

Wir wenden die Regel von L'Hopital an.
;
;
.

Hier haben wir wieder eine Unbestimmtheit der Form 0/0 . Wenden wir die Regel von L'Hopital erneut an.
;

;
.

Endlich haben wir:

.
Wie bei allen Limits, die nach der Regel von L'Hospital berechnet werden, müssen Sie vom Ende an lesen. Da es eine Grenze gibt, gibt es eine Grenze, die ihr entspricht. Da es eine Grenze gibt, gibt es eine Anfangsgrenze, die ihr entspricht.

Notiz. Berechnungen können vereinfacht werden, wenn wir den Satz über das Ersetzen von Funktionen durch Äquivalente im Grenzwert des Quotienten verwenden. Wenn eine Funktion nach diesem Satz ein Bruch oder ein Produkt von Faktoren ist, dann können die Faktoren durch äquivalente Funktionen ersetzt werden. Seit dem also

.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev, A.D. Kutasov, W.I. Tschechlow, M.I. Schabunin. Sammlung von Problemen der mathematischen Analysis. Band 1. Moskau, 2003.

Siehe auch: