In ähnlicher Weise leiten wir für einen materiellen Punkt einen Satz über die Änderung des Impulses für das System in verschiedenen Formen ab.

Wir transformieren die Gleichung (Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems)

auf die folgende Weise:

;

Die resultierende Gleichung drückt den Satz über die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems in Differentialform aus: Die zeitliche Ableitung des Impulses eines mechanischen Systems ist gleich dem Hauptvektor der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte .

In Projektionen auf kartesische Koordinatenachsen:

; ; .

Indem wir die Integrale beider Teile der letzten Gleichungen über die Zeit nehmen, erhalten wir einen Satz über die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems in integraler Form: Die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems ist gleich dem Impuls des Hauptvektors von Äußere Kräfte, die auf das System einwirken .

.

Oder in Projektionen auf die kartesischen Koordinatenachsen:

; ; .

Konsequenzen aus dem Satz (Impulserhaltungssätze)

Das Impulserhaltungsgesetz ergibt sich als Spezialfall des Satzes über die Impulsänderung für ein System in Abhängigkeit von den Merkmalen des Systems äußerer Kräfte. Innere Kräfte können alles sein, da sie keine Impulsänderungen beeinflussen.

Zwei Fälle sind möglich:

1. Wenn die Vektorsumme aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte Null ist, dann ist der Impuls des Systems in Größe und Richtung konstant

2. Wenn die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte auf eine beliebige Koordinatenachse und/oder und/oder gleich Null ist, dann ist die Projektion des Bewegungsbetrags auf denselben Achsen ein konstanter Wert, d.h. und/oder und/oder bzw.

Ähnliche Datensätze können für einen Materialpunkt und für einen Materialpunkt erstellt werden.

Die Aufgabe. Von einer Waffe, deren Masse M, fliegt ein Masseprojektil in horizontaler Richtung heraus m mit Geschwindigkeit v. Geschwindigkeit finden v Waffen nach dem Schießen.

Entscheidung. Alle äußeren Kräfte, die auf das mechanische Geschütz-Projektil-System einwirken, sind vertikal. Daher haben wir aufgrund der Folgerung des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems: .

Der Bewegungsumfang des mechanischen Systems vor dem Schuss:

Der Bewegungsumfang des mechanischen Systems nach dem Schuss:

.

Wenn wir die richtigen Teile der Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir das

.

Das Zeichen „-“ in der resultierenden Formel zeigt an, dass die Waffe nach dem Schuss in die der Achse entgegengesetzte Richtung zurückrollt Ochse.

Beispiel 2. Aus einem Rohr mit der Querschnittsfläche F tritt ein Flüssigkeitsstrahl der Dichte V mit der Geschwindigkeit V aus und trifft schräg auf eine senkrechte Wand. Bestimmen Sie den Flüssigkeitsdruck an der Wand.

ENTSCHEIDUNG. Wir wenden den Satz über die Impulsänderung ganzzahlig auf das Volumen einer Flüssigkeit mit Masse an mÜber einen längeren Zeitraum gegen eine Wand gefahren t.

MESHCHERSKY-GLEICHUNG

(Grundgleichung der Dynamik eines Körpers veränderlicher Masse)

In der modernen Technik treten Fälle auf, in denen die Masse eines Punktes und eines Systems im Bewegungsablauf nicht konstant bleibt, sondern sich verändert. So erreicht beispielsweise beim Flug von Weltraumraketen aufgrund des Ausstoßes von Verbrennungsprodukten und einzelnen unnötigen Teilen von Raketen die Massenänderung 90-95% des gesamten Anfangswerts. Aber nicht nur die Weltraumtechnik kann ein Beispiel für die Dynamik der Bewegung einer variablen Masse sein. In der Textilindustrie ändert sich die Masse verschiedener Spindeln, Spulen und Rollen bei modernen Maschinen und Maschinengeschwindigkeiten erheblich.

Betrachten Sie die Hauptmerkmale, die mit einer Massenänderung verbunden sind, am Beispiel der Translationsbewegung eines Körpers mit variabler Masse. Das Grundgesetz der Dynamik lässt sich nicht direkt auf einen Körper veränderlicher Masse anwenden. Daher erhalten wir Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes variabler Masse, indem wir den Satz über die Änderung des Impulses des Systems anwenden.

Lassen Sie einen Massenpunkt m+dm bewegt sich mit Geschwindigkeit. Dann gibt es eine Ablösung von der Spitze eines Teilchens mit einer Masse dm mit Geschwindigkeit bewegen.

Der Betrag der Bewegung des Körpers vor der Ablösung des Partikels:

Die Bewegungsmenge eines aus einem Körper und einem abgelösten Teilchen bestehenden Systems nach dessen Ablösung:

Dann ist die Impulsänderung:

Basierend auf dem Satz über die Änderung des Impulses des Systems:

Lassen Sie uns den Wert bezeichnen - die relative Geschwindigkeit des Teilchens:

Bezeichnen

der Wert R Reaktionskraft genannt. Die Strahlkraft ist der Schub des Triebwerks aufgrund der Freisetzung von Gas aus der Düse.

Endlich bekommen wir

-

Diese Formel drückt die Grundgleichung der Dynamik eines Körpers variabler Masse aus (Meshchersky-Formel). Aus der letzten Formel folgt, dass die Bewegungsdifferentialgleichungen eines Punktes veränderlicher Masse die gleiche Form haben wie für einen Punkt konstanter Masse, abgesehen von der zusätzlichen Reaktionskraft, die aufgrund der Massenänderung auf den Punkt wirkt.

Die Grundgleichung der Dynamik eines Körpers variabler Masse zeigt, dass die Beschleunigung dieses Körpers nicht nur durch äußere Kräfte, sondern auch durch die Reaktionskraft entsteht.

Die Reaktionskraft ist eine Kraft, die derjenigen ähnelt, die von einer schießenden Person gefühlt wird - wenn eine Pistole abgefeuert wird, wird sie von der Hand gefühlt; Beim Schießen mit einem Gewehr wird es von der Schulter wahrgenommen.

Tsiolkovskys erste Formel (für eine einstufige Rakete)

Lassen Sie einen Punkt veränderlicher Masse oder eine Rakete sich unter der Wirkung nur einer Reaktionskraft in einer geraden Linie bewegen. Da für viele moderne Strahltriebwerke , wobei die maximal zulässige Reaktionskraft durch die Triebwerkskonstruktion (Triebwerksschub) ist; - die auf den Motor wirkende Schwerkraft, die sich auf der Erdoberfläche befindet. Jene. Das Vorstehende erlaubt es, die Komponente in der Meshchersky-Gleichung zu vernachlässigen und für die weitere Analyse diese Gleichung in der Form zu akzeptieren:

Bezeichnen:

Treibstoffreserve (für Flüssigkeitsstrahltriebwerke - die Trockenmasse der Rakete (ihre verbleibende Masse, nachdem der gesamte Treibstoff ausgebrannt ist);

Die Masse der von der Rakete abgetrennten Partikel; betrachtet als eine Variable, die von bis variiert.

Schreiben wir die Gleichung der geradlinigen Bewegung eines Punktes variabler Masse in der folgenden Form:

.

Da die Formel zur Bestimmung der variablen Masse einer Rakete

Daher die Bewegungsgleichungen eines Punktes Wenn wir die Integrale beider Teile nehmen, erhalten wir

wo - charakteristische Geschwindigkeit- Dies ist die Geschwindigkeit, die die Rakete unter Schubeinwirkung nach dem Ausbruch aller Partikel aus der Rakete erreicht (bei Flüssigkeitsstrahltriebwerken - nach dem Ausbrennen des gesamten Treibstoffs).

Aus dem Integralzeichen (was auf der Grundlage des aus der höheren Mathematik bekannten Mittelwertsatzes erfolgen kann) wird die mittlere Geschwindigkeit der von der Rakete ausgestoßenen Teilchen entnommen.

Bestehend aus n materielle Punkte. Lassen Sie uns einen Punkt aus diesem System herausgreifen Mj mit Masse mj. Es ist bekannt, dass auf diesen Punkt äußere und innere Kräfte einwirken.

Auf einen Punkt anwenden Mj Resultierende aller inneren Kräfte F j i und die Resultierende aller äußeren Kräfte Fj e(Abbildung 2.2). Für ausgewählten Materialpunkt Mj(wie für einen freien Punkt) schreiben wir den Satz über die Impulsänderung in Differentialform (2.3):

Wir schreiben ähnliche Gleichungen für alle Punkte des mechanischen Systems (j=1,2,3,…,n).

Abbildung 2.2

Lassen Sie uns alles zusammenfügen n Gleichungen:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j ich, (2.9)

d∑(m j × V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j ich. (2.10)

Hier ∑mj ×Vj =Q ist der Impuls des mechanischen Systems;
∑ F j e = R e ist der Hauptvektor aller auf das mechanische System wirkenden äußeren Kräfte;
∑ F j ich = R ich = 0- der Hauptvektor der inneren Kräfte des Systems (gemäß der Eigenschaft der inneren Kräfte ist er gleich Null).

Schließlich erhalten wir für das mechanische System

dQ/dt = Re. (2.11)

Ausdruck (2.11) ist ein Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in Differentialform (in Vektorform): die zeitliche Ableitung des Impulsvektors eines mechanischen Systems ist gleich dem Hauptvektor aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Projiziert man die Vektorgleichung (2.11) auf die kartesischen Koordinatenachsen, erhält man Ausdrücke für den Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in einem Koordinaten-(Skalar-)Ausdruck:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

jene. Die zeitliche Ableitung der Projektion des Impulses eines mechanischen Systems auf eine beliebige Achse ist gleich der Projektion des Hauptvektors aller auf dieses mechanische System wirkenden äußeren Kräfte auf diese Achse.

Multiplizieren beider Seiten der Gleichheit (2.12) mit dt, erhalten wir den Satz in einer anderen Differentialform:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

jene. Das Impulsdifferential eines mechanischen Systems ist gleich dem Elementarimpuls des Hauptvektors (der Summe der Elementarimpulse) aller auf das System wirkenden äußeren Kräfte.

Integrationsgleichheit (2.13) im Zeitbereich von 0 bis t erhalten wir einen Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems in endlicher (integraler) Form (in Vektorform):

Q - Q 0 \u003d S e,

jene. Die Änderung der Bewegungsgröße eines mechanischen Systems über einen endlichen Zeitraum ist gleich dem Gesamtimpuls des Hauptvektors (der Summe der Gesamtimpulse) aller äußeren Kräfte, die im selben Zeitraum auf das System einwirken.

Projizieren wir die Vektorgleichheit (2.14) auf die kartesischen Koordinatenachsen, so erhalten wir Ausdrücke für den Satz in Projektionen (in einem skalaren Ausdruck):

jene. Die Änderung der Projektion des Impulses des mechanischen Systems auf eine beliebige Achse über einen endlichen Zeitraum ist gleich der Projektion des Gesamtimpulses des Hauptvektors (der Summe der Gesamtimpulse) aller äußeren Kräfte auf dieselbe Achse gleich lange auf die Mechanik einwirken.

Aus dem betrachteten Satz (2.11) - (2.15) folgen die folgenden Folgerungen:

1. Wenn ein R. e = ∑ F. j. e = 0, dann Q = konst– wir haben das Erhaltungsgesetz des Impulsvektors des mechanischen Systems: wenn der Hauptvektor Betreff aller auf ein mechanisches System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann bleibt der Impulsvektor dieses Systems in Betrag und Richtung konstant und gleich seinem Anfangswert Q0, d.h. Q = Q0.
2. Wenn ein R x e = ∑X j e = 0 (R e ≠ 0), dann Q x = konst- Wir haben das Erhaltungsgesetz der Projektion auf die Achse des Impulses des mechanischen Systems: Wenn die Projektion des Hauptvektors aller auf das mechanische System wirkenden Kräfte auf einer beliebigen Achse Null ist, dann ist die Projektion auf dieselbe Achse von der Impulsvektor dieses Systems ist ein konstanter Wert und gleich der Projektion auf diese Achse des anfänglichen Impulsvektors, d.h. Qx = Q0x.

Die Differentialform des Satzes über die Impulsänderung eines materiellen Systems hat wichtige und interessante Anwendungen in der Kontinuumsmechanik. Aus (2.11) erhält man den Satz von Euler.

Der Betrag der Bewegung eines materiellen Punktes heißt Vektorgröße mv, gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und dem Vektor seiner Geschwindigkeit. Vektor mV an einem beweglichen Punkt befestigt.

Menge der Systembewegung heißt Vektorgröße Q, gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses aller Punkte des Systems:

Vektor Q ist ein freier Vektor. Im SI-Einheitensystem wird der Impulsmodul in kg m/s oder N s gemessen.

In der Regel sind die Geschwindigkeiten aller Punkte des Systems unterschiedlich (siehe z. B. die in Abb. 6.21 dargestellte Verteilung der Geschwindigkeiten der Punkte eines rollenden Rades), daher die direkte Summierung der Vektoren auf der rechten Seite der Gleichheit (17.2) ist schwierig. Lassen Sie uns eine Formel finden, mit deren Hilfe die Menge Q viel einfacher zu berechnen. Aus Gleichheit (16.4) folgt, dass

Nehmen wir die zeitliche Ableitung beider Teile, erhalten wir Unter Berücksichtigung der Gleichheit (17.2) finden wir das also

d.h. der Bewegungsbetrag des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts.

Beachten Sie, dass der Vektor Q, wie der Hauptkraftvektor in der Statik ist ein verallgemeinerter Vektor charakteristisch für die Bewegung des gesamten mechanischen Systems. Im allgemeinen Fall der Bewegung eines Systems ist sein Impuls Q kann als Merkmal des translatorischen Anteils der Bewegung des Systems zusammen mit seinem Massenmittelpunkt betrachtet werden. Wenn während der Bewegung des Systems (Körpers) der Massenschwerpunkt stationär ist, ist der Impuls des Systems gleich Null. Dies ist beispielsweise der Impuls eines Körpers, der sich um eine feste Achse dreht, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft.

Beispiel. Bestimmen Sie den Bewegungsbetrag des mechanischen Systems (Abb. 17.1, a), bestehend aus Ladung SONDERN Last t A - 2 kg, homogener Block BEIM Gewicht 1 kg und Räder D Last MD-4 kg. Ladung SONDERN sich mit einer Geschwindigkeit bewegen VA - 2 m/s, Rad D rollt ohne zu rutschen, der Faden ist undehnbar und schwerelos. Entscheidung. Die Bewegungsmenge des Körpersystems

Körper SONDERN vorwärts gehen und Q A \u003d m A V A(numerisch Q A= 4 kg m/s, Vektorrichtung Q A stimmt mit der Richtung überein VA). Block BEIM führt eine Drehbewegung um eine feste Achse aus, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft; somit, QB- 0. Rad D macht eine Planparallelität

Bewegung; sein momentaner Geschwindigkeitsschwerpunkt liegt an diesem Punkt Zu, also die Geschwindigkeit seines Schwerpunkts (Punkte E) entspricht VE = VA /2= 1 m/s. Anzahl der Radbewegungen Q D - m D V E - 4 kgm/s; Vektor QD horizontal nach links gerichtet.

Vektoren darstellen Q A und QD in Abb. 17.1, b, finden Sie den Schwung Q Systeme gemäß Formel (a). Unter Berücksichtigung der Richtungen und Zahlenwerte der Größen erhalten wir Q ~^Q A +Q E=4l/2~kg m/s, Vektorrichtung Q in Abb. gezeigt. 17.1, b.

Angesichts dessen a-dV/dt, Gleichung (13.4) des Grundgesetzes der Dynamik lässt sich darstellen als

Gleichung (17.4) drückt den Satz über die Änderung des Impulses eines Punktes in Differentialform aus: Zu jedem Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung des Impulses eines Punktes gleich der auf den Punkt wirkenden Kraft. (Im Wesentlichen ist dies eine andere Formulierung des Grundgesetzes der Dynamik, die der von Newton gegebenen nahe kommt.) Wirken mehrere Kräfte auf einen Punkt, so steht auf der rechten Seite der Gleichheit (17.4) eine Resultierende der Kräfte auf den materiellen Punkt angewendet.

Wenn beide Seiten der Gleichung multipliziert werden mit dt, dann bekommen wir

Der Vektorwert auf der rechten Seite dieser Gleichheit charakterisiert die Krafteinwirkung auf den Körper in einer elementaren Zeitspanne dt dieser Wert wird bezeichnet dS und Ruf an elementarer Kraftimpuls, d.h.

Impuls S Stärke Füber ein endliches Zeitintervall /, - / 0 ist definiert als die Grenze der integralen Summe der entsprechenden Elementarimpulse, d.h.

Im Einzelfall, wenn die Kraft F konstant in Modul und Richtung, dann S = F(t| -/0) und S- F(t l -/ 0). Im allgemeinen Fall lässt sich der Betrag des Kraftimpulses aus seinen Projektionen auf die Koordinatenachsen berechnen:

Integrieren Sie nun beide Seiten der Gleichheit (17.5) mit t= const, erhalten wir

Gleichung (17.9) drückt den Satz über die Änderung des Impulses eines Punktes in endlicher (integraler) Form aus: Die Änderung des Impulses eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der auf den Punkt wirkenden Kraft (oder dem Impuls der Resultierenden aller auf ihn wirkenden Kräfte) für denselben Zeitraum.

Beim Lösen von Problemen werden die Gleichungen dieses Theorems in Projektionen auf die Koordinatenachsen verwendet

Betrachten Sie nun ein mechanisches System bestehend aus P materielle Punkte. Dann können wir für jeden Punkt den Impulsänderungssatz in der Form (17.4) anwenden, wobei wir die auf die Punkte wirkenden äußeren und inneren Kräfte berücksichtigen:

Wenn wir diese Gleichheiten zusammenfassen und berücksichtigen, dass die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist, erhalten wir

Da durch die Eigenschaft der inneren Kräfte H.F.k=0 und per Definition des Impulses ^ fn k V / c = Q, dann finden wir endlich

Gleichung (17.11) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in Differentialform aus: Zu jedem Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Projiziert man Gleichheit (17.11) auf die Koordinatenachsen, erhält man

Multiplizieren beider Seiten von (17.11) mit dt und integrieren, erhalten wir

wo 0, Q0 - die zeitweise Bewegung des Systems bzw. / 0 .

Gleichung (17.13) drückt den Satz über die Änderung des Impulses des Systems in integraler Form aus: Die Änderung des Impulses des Systems über einen beliebigen Zeitpunkt ist gleich der Summe der Impulse aller äußeren Kräfte, die gleichzeitig auf das System einwirken.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen erhalten wir

Aus dem Satz über die Änderung des Impulses des Systems können die folgenden wichtigen Konsequenzen gezogen werden, die zum Ausdruck kommen Gesetz der Impulserhaltung des Systems.

• 1. Wenn die geometrische Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist (LF k=0), so folgt aus Gleichung (17.11) in diesem Fall Q= const, d.h. der Impulsvektor des Systems wird in Betrag und Richtung konstant sein.
• 2. Wenn die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte so sind, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine beliebige Achse Null ist (z. B. Ich e kx = 0), dann folgt aus den Gleichungen (17.12) in diesem Fall Q x = const, d.h. die Projektion des Impulses des Systems auf diese Achse bleibt unverändert.

Beachten Sie, dass die inneren Kräfte des Systems nicht an der Gleichung des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems teilnehmen. Diese Kräfte beeinflussen zwar den Impuls einzelner Punkte des Systems, können aber den Impuls des Systems als Ganzes nicht verändern. Unter diesen Umständen ist es bei der Lösung von Problemen zweckmäßig, das betrachtete System so zu wählen, dass die unbekannten Kräfte (alle oder ein Teil davon) intern sind.

Das Impulserhaltungsgesetz lässt sich bequem in Fällen anwenden, in denen die Änderung der Geschwindigkeit eines Teils des Systems erforderlich ist, um die Geschwindigkeit eines anderen Teils davon zu bestimmen.

Aufgabe 17.1. Zu Wagen wiegen t x- 12 kg, die sich auf einer glatten horizontalen Ebene an einem Punkt bewegen SONDERN Eine schwerelose Stange wird mit Hilfe eines zylindrischen Scharniers befestigt ANZEIGE Länge /= 0,6 m mit Last D Last t 2 - 6 kg am Ende (Abb. 17.2). Zum Zeitpunkt / 0 = 0, wenn die Geschwindigkeit der Laufkatze und () - 0,5 m/s, Stab ANZEIGE beginnt sich um die Achse zu drehen SONDERN, senkrecht zur Zeichenebene nach dem Gesetz φ \u003d (tg / 6) (3 ^ 2 - 1) rad (/- in Sekunden). Definieren: u=f.

§ 17.3. Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes

Der Satz über die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems kann in einer anderen Form ausgedrückt werden, die als Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts bezeichnet wird.

Einsetzen in Gleichung (17.11) der Gleichheit Q=MV C , wir bekommen

Wenn Masse M System konstant ist, bekommen wir

wo und mit - Beschleunigung des Massenmittelpunktes des Systems.

Gleichung (17.15) drückt den Satz über die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems aus: das Produkt aus der Masse des Systems und der Beschleunigung seines Massenschwerpunkts ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Projiziert man Gleichheit (17.15) auf die Koordinatenachsen, erhält man

wo x c , y c , z c - Koordinaten des Schwerpunkts des Systems.

Diese Gleichungen sind Differentialgleichungen der Bewegung des Massenschwerpunkts in Projektionen auf die Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Lassen Sie uns die Ergebnisse besprechen. Erinnern wir uns zunächst daran, dass der Schwerpunkt des Systems ein geometrischer Punkt ist, der sich manchmal außerhalb der geometrischen Grenzen des Körpers befindet. Die auf das mechanische System wirkenden Kräfte (extern und intern) wirken auf alle materiellen Punkte des Systems. Die Gleichungen (17.15) ermöglichen es, die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems zu bestimmen, ohne die Bewegung seiner einzelnen Punkte zu bestimmen. Vergleicht man die Gleichungen (17.15) des Satzes über die Bewegung des Massenschwerpunkts mit der Gleichung (13.5) des zweiten Newtonschen Gesetzes für einen materiellen Punkt, so kommt man zu dem Ergebnis: der Massenmittelpunkt eines mechanischen Systems bewegt sich als materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des gesamten Systems ist, und zwar so, als ob alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte auf diesen Punkt wirken würden. Die Lösungen, die wir erhalten, wenn wir einen gegebenen Körper als materiellen Punkt betrachten, bestimmen also das Bewegungsgesetz des Massenmittelpunkts dieses Körpers.

Bewegt sich der Körper insbesondere nach vorne, dann sind die kinematischen Eigenschaften aller Punkte des Körpers und seines Schwerpunkts gleich. So ein fortschreitend bewegter Körper kann immer als ein materieller Punkt betrachtet werden, dessen Masse gleich der Masse des gesamten Körpers ist.

Wie aus (17.15) ersichtlich ist, wirken sich die auf die Punkte des Systems wirkenden Schnittgrößen nicht auf die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems aus. Innere Kräfte können die Bewegung des Massenschwerpunkts dann beeinflussen, wenn sich äußere Kräfte unter ihrem Einfluss ändern. Beispiele hierfür werden unten angegeben.

Aus dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes lassen sich folgende wichtige Folgerungen ziehen, die das Erhaltungsgesetz der Bewegung des Massenschwerpunktes des Systems ausdrücken.

1. Wenn die geometrische Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte Null ist (LF k=0), dann folgt aus Gleichung (17.15),

wie wäre es mit ein c = 0 bzw V c = const, also der Schwerpunkt dieses Systems

bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in Betrag und Richtung (ansonsten gleichmäßig und geradlinig). In einem Sonderfall, wenn zu Beginn der Schwerpunkt in Ruhe war ( Vc=0), dann bleibt es in Ruhe; wo

Spur sagt voraus, dass sich seine Position im Raum nicht ändern wird, d.h. rc = konst.

2. Wenn die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte so sind, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B. die Achse X) Null (?F e kx= 0), dann folgt aus Gleichung (17.16) in diesem Fall x s=0 oder V Cx \u003d x c \u003d const, d. h. die Projektion der Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Systems auf diese Achse ist ein konstanter Wert. In einem besonderen Fall, wenn im ersten Moment Ärgern= 0, dann wird dieser Wert zu jedem späteren Zeitpunkt beibehalten, und daraus folgt, dass die Koordinate x s der Schwerpunkt des Systems ändert sich nicht, d.h. x s - konst.

Betrachten Sie Beispiele, die das Bewegungsgesetz des Massenschwerpunkts veranschaulichen.

Beispiele. 1. Wie bereits erwähnt, hängt die Bewegung des Massenzentrums nur von äußeren Kräften ab, interne Kräfte können die Position des Massenzentrums nicht verändern. Aber die inneren Kräfte des Systems können äußere Einflüsse hervorrufen. Die Bewegung einer Person auf einer horizontalen Fläche erfolgt also unter Einwirkung von Reibungskräften zwischen den Sohlen ihrer Schuhe und der Straßenoberfläche. Mit der Kraft seiner Muskeln (innere Kräfte) stößt eine Person mit ihren Füßen von der Fahrbahnoberfläche ab, was an den Kontaktpunkten mit der Straße eine Reibungskraft (äußere für eine Person) verursacht, die in Richtung ihrer Bewegung gerichtet ist.

• 2. Das Auto bewegt sich auf die gleiche Weise. Die inneren Druckkräfte in seinem Motor bringen die Räder zum Drehen, da diese aber Traktion haben, „schieben“ die entstehenden Reibungskräfte das Auto nach vorne (dadurch drehen sich die Räder nicht, sondern bewegen sich planparallel) . Wenn die Straße absolut glatt ist, ist der Schwerpunkt des Autos stationär (bei einer Anfangsgeschwindigkeit von Null) und die Räder werden ohne Reibung rutschen, dh sich drehen.
• 3. Bewegung mit Hilfe eines Propellers, Propellers, Ruders erfolgt durch die Ablehnung einer bestimmten Luftmasse (oder Wasser). Wenn wir die weggeworfene Masse und den sich bewegenden Körper als ein System betrachten, dann können die Wechselwirkungskräfte zwischen ihnen als innere Kräfte den Gesamtimpuls dieses Systems nicht ändern. Jeder der Teile dieses Systems bewegt jedoch zum Beispiel das Boot vorwärts und das Wasser, das die Ruder zurückwerfen.
• 4. Im luftleeren Raum, wenn sich die Rakete bewegt, sollte die „ausgeworfene Masse“ „mitgenommen“ werden: Das Strahltriebwerk informiert die Rakete über die Bewegung, indem es die Verbrennungsprodukte des Treibstoffs, mit dem die Rakete gefüllt ist, zurückwirft.
• 5. Wenn Sie mit einem Fallschirm absteigen, können Sie die Bewegung des Massenschwerpunkts des Mann-Fallschirm-Systems steuern. Wenn eine Person durch Muskelkraft die Fallschirmleinen so zieht, dass sich die Form ihrer Kappe oder der Anstellwinkel des Luftstroms ändert, dann wird dies eine Änderung der äußeren Beeinflussung des Luftstroms bewirken und dadurch den Fallschirm beeinflussen Bewegung des gesamten Systems.

Aufgabe 17.2. BEIM Aufgabe 17.1 (siehe Bild 17.2) ermitteln: 1) Bewegungsgesetz der Laufkatze X (= /)(/), wenn dies zum Anfangszeitpunkt bekannt ist t 0 = Etwa war das System in Ruhe und die Koordinate x 10 = 0; 2) das Gesetz der zeitlichen Änderung des Gesamtwerts der normalen Reaktion N (N = N" + N") horizontale Ebene, d.h. N = f 2 (t).

Entscheidung. Wir betrachten hier wie in Aufgabe 17.1 ein System bestehend aus einer Laufkatze und einer Last D, in einer beliebigen Position unter Einwirkung äußerer Kräfte (siehe Abb. 17.2). Koordinatenachsen Ohu Zeichnen Sie so, dass die x-Achse horizontal ist und die x-Achse beim durch den Punkt gegangen A 0 , d.h. die Position des Punktes SONDERN damals t-t 0 - 0.

1. Bestimmung des Bewegungsgesetzes des Wagens. Um x, = /, (0 zu bestimmen, wenden wir den Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems an. Stellen wir eine Differentialgleichung seiner Bewegung in Projektion auf die x-Achse auf:

Da also alle äußeren Kräfte vertikal sind T, F und kx = 0 und daher

Wenn wir diese Gleichung integrieren, finden wir das Mx c \u003d B, d.h. die Projektion der Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Systems auf die x-Achse ist ein konstanter Wert. Da im ersten Moment der Zeit

Integrieren der Gleichung Mx s= 0 erhalten wir

d.h. koordinieren x s der Schwerpunkt des Systems ist konstant.

Lassen Sie uns den Ausdruck schreiben Mx s für eine beliebige Position des Systems (siehe Abb. 17.2) unter Berücksichtigung dessen xA-x { , x D - x 2 und x 2 - x ( - ich Sünde f. Gemäß Formel (16.5), die in diesem Fall die Koordinate des Massenmittelpunkts des Systems bestimmt Mx s - t(x( + t 2 x 2".

für einen beliebigen Zeitpunkt

für Zeitpunkt / () = 0, X (= 0 und

In Übereinstimmung mit Gleichheit (b), die Koordinate x s der Massenschwerpunkt des Gesamtsystems bleibt unverändert, d.h. x c (t). Daher erhalten wir durch Gleichsetzen der Ausdrücke (c) und (d) die Abhängigkeit der x-Koordinate von der Zeit.

Antworten: X - 0,2 m, wo t- in Sekunden.

2. Reaktionsdefinition N. Zum Bestimmen N=f2 (t) stellen wir die Differentialgleichung der Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems in Projektion auf die vertikale Achse auf beim(siehe Abb. 17.2):

Daher bezeichnet N=N+N", wir bekommen

Nach der Formel, die die Ordinate bestimmt uns der Massenmittelpunkt des Systems, Mus = t (yx + t 2 und 2, wo y, = bei C1,um 2= y D = Beima ~ 1 cos Ф» bekommen wir

Differenziert man diese Gleichheit zweimal zeitlich (unter Berücksichtigung dessen bei C1 und an einer die Größen sind konstant und folglich sind ihre Ableitungen gleich Null), finden wir

Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in Gleichung (e) bestimmen wir die erforderliche Abhängigkeit N aus t.

Antworten: N- 176,4 + 1,13,

wo φ \u003d (i / 6) (3 / -1), t- in Sekunden N- in Newton.

Aufgabe 17.3. Masse Elektromotor t x mit Schrauben an der horizontalen Oberfläche des Fundaments befestigt (Abb. 17.3). Auf der Motorwelle im rechten Winkel zur Rotationsachse ist an einem Ende ein gewichtsloser Stab der Länge l befestigt, an dessen anderem Ende ein Punktgewicht montiert ist SONDERN Last t 2 . Die Welle dreht sich gleichmäßig mit einer Winkelgeschwindigkeit o. Ermitteln Sie den horizontalen Druck des Motors auf die Schrauben. Entscheidung. Stellen Sie sich ein mechanisches System vor, das aus einem Motor und einem Punktgewicht besteht SONDERN, in einer beliebigen Position. Stellen wir uns die äußeren Kräfte vor, die auf das System einwirken: die Schwerkraft R x, R 2, Fundamentreaktion in Form einer vertikalen Kraft N und Horizontalkraft R. Zeichnen Sie die x-Achse horizontal.

Um den horizontalen Druck des Motors auf die Bolzen zu bestimmen (und er ist numerisch gleich der Reaktion R und dem Vektor entgegengesetzt gerichtet R ) stellen wir die Gleichung des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in Projektion auf die horizontale Achse x auf:

Für das betrachtete System in seiner beliebigen Position erhalten wir unter der Voraussetzung, dass der Bewegungsbetrag des Motorgehäuses Null ist Qx = - t 2 U A col. Unter Berücksichtigung dessen VA = ein s/, φ = ω/ (gleichmäßige Rotation des Motors) erhalten wir Q x - - m 2 co/cos co/. differenzieren Qx in der Zeit und Einsetzen in Gleichheit (a), finden wir R- m 2 co 2 /sin co/.

Beachten Sie, dass genau solche Kräfte erzwingen (siehe § 14.3), wenn sie wirken, treten erzwungene Schwingungen von Strukturen auf.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

• 1. Wie nennt man den Impuls eines Punktes und eines mechanischen Systems?
• 2. Wie ändert sich der Impuls eines Punktes, der sich gleichmäßig um einen Kreis bewegt?
• 3. Was charakterisiert den Kraftimpuls?
• 4. Beeinflussen die inneren Kräfte des Systems seinen Impuls? Auf die Bewegung seines Massenmittelpunkts?
• 5. Wie wirken sich darauf einwirkende Kräftepaare auf die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems aus?
• 6. Unter welchen Bedingungen ruht der Schwerpunkt des Systems? gleichmäßig und geradlinig bewegen?

7. In einem stehenden Boot sitzt bei fehlendem Wasserfluss ein Erwachsener am Heck und ein Kind am Bug des Bootes. In welche Richtung bewegt sich das Boot, wenn sie die Plätze tauschen?

In diesem Fall wird das Verdrängungsmodul des Bootes groß sein: 1) wenn das Kind zum Erwachsenen im Heck geht; 2) wenn ein Erwachsener zum Kind am Bug des Bootes geht? Wie groß werden die Verschiebungen des Schwerpunkts des Systems „Boot und zwei Personen“ während dieser Bewegungen sein?

Materialpunkt unter Krafteinwirkung bewegen lassen F. Es ist erforderlich, die Bewegung dieses Punktes in Bezug auf das sich bewegende System zu bestimmen Oxyz(siehe die komplexe Bewegung eines materiellen Punktes), der sich in bekannter Weise relativ zu einem festen System bewegt Ö 1 x 1 j 1 z 1 .

Die Grundgleichung der Dynamik in einem stationären System

Wir schreiben die absolute Beschleunigung eines Punktes nach dem Satz von Coriolis

wo a Abs– absolute Beschleunigung;

a rel– relative Beschleunigung;

a Fahrbahn– tragbare Beschleunigung;

a Ader ist die Coriolis-Beschleunigung.

Schreiben wir (25) unter Berücksichtigung von (26) um

Wir führen die Notation ein
- tragbare Trägheitskraft,
ist die Coriolis-Trägheitskraft. Dann nimmt Gleichung (27) die Form an

Die dynamische Grundgleichung zur Untersuchung der relativen Bewegung (28) wird genauso geschrieben wie für die absolute Bewegung, nur müssen die Translations- und Coriolis-Trägheitskräfte zu den auf den Punkt wirkenden Kräften addiert werden.

Allgemeine Sätze der Materialpunktdynamik

Bei der Lösung vieler Probleme können Sie vorgefertigte Rohlinge verwenden, die auf der Grundlage des zweiten Newtonschen Gesetzes erhalten wurden. Solche Problemlösungsmethoden werden in diesem Abschnitt kombiniert.

Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes

Lassen Sie uns die folgenden dynamischen Eigenschaften einführen:

1. Bewegungsmenge eines materiellen Punktes ist eine vektorielle Größe gleich dem Produkt aus der Masse eines Punktes und dem Vektor seiner Geschwindigkeit

. (29)

2. Kraftimpuls

Elementarkraft-Impuls- eine Vektorgröße, die gleich dem Produkt des Kraftvektors mit einem elementaren Zeitintervall ist

(30).

Dann voller Impuls

. (31)

Beim F=const bekommen wir S=ft.

Der Gesamtimpuls über eine endliche Zeit kann nur in zwei Fällen berechnet werden, wenn die auf den Punkt wirkende Kraft konstant oder zeitabhängig ist. In anderen Fällen ist es notwendig, die Kraft als Funktion der Zeit auszudrücken.

Die Gleichheit der Dimensionen Impuls (29) und Impuls (30) ermöglicht es, einen quantitativen Zusammenhang zwischen ihnen herzustellen.

Betrachten Sie die Bewegung eines materiellen Punktes M unter Einwirkung einer beliebigen Kraft F auf einem willkürlichen Weg.

Ö UD:
. (32)

Wir trennen Variablen in (32) und integrieren

. (33)

Als Ergebnis erhalten wir unter Berücksichtigung von (31).

. (34)

Gleichung (34) drückt das folgende Theorem aus.

Satz: Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft, die im gleichen Zeitintervall auf den Punkt wirkt.

Beim Lösen von Aufgaben muss Gleichung (34) auf die Koordinatenachsen projiziert werden

Dieser Satz ist bequem anzuwenden, wenn die gegebenen und unbekannten Größen die Masse eines Punktes, seine Anfangs- und Endgeschwindigkeit, Kräfte und Bewegungszeit umfassen.

Satz über die Änderung des Drehimpulses eines materiellen Punktes

M
Impulsmoment eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum ist gleich dem Produkt aus dem Impulsmodul des Punktes und des Armes, d.h. kürzester Abstand (senkrecht) vom Zentrum zu einer Linie, die mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammenfällt

, (36)

. (37)

Die Beziehung zwischen Kraftmoment (Ursache) und Impulsmoment (Wirkung) wird durch den folgenden Satz hergestellt.

Sei Punkt M gegebener Masse m sich unter Gewalteinwirkung bewegen F.

,
,

, (38)

. (39)

Berechnen wir die Ableitung von (39)

. (40)

Durch Kombinieren von (40) und (38) erhalten wir schließlich

. (41)

Gleichung (41) drückt das folgende Theorem aus.

Satz: Die zeitliche Ableitung des Drehimpulsvektors eines materiellen Punktes relativ zu einem Zentrum ist gleich dem Moment der Kraft, die auf den Punkt relativ zu demselben Zentrum wirkt.

Beim Lösen von Aufgaben muss Gleichung (41) auf die Koordinatenachsen projiziert werden

In den Gleichungen (42) werden die Momente des Impulses und der Kraft relativ zu den Koordinatenachsen berechnet.

Aus (41) folgt Gesetz der Drehimpulserhaltung (Keplersches Gesetz).

Ist das auf einen materiellen Punkt wirkende Kraftmoment relativ zu einem beliebigen Mittelpunkt gleich Null, so behält der Drehimpuls des Punktes relativ zu diesem Mittelpunkt seine Größe und Richtung.

Wenn ein
, dann
.

Der Satz und der Erhaltungssatz werden bei krummlinigen Bewegungsproblemen verwendet, insbesondere unter Einwirkung von Zentralkräften.

Für einen materiellen Punkt kann das Grundgesetz der Dynamik dargestellt werden als

Multipliziert man die beiden Teile dieser Beziehung links vektoriell mit dem Radiusvektor (Abb. 3.9), erhält man

(3.32)

Auf der rechten Seite dieser Formel haben wir das Kraftmoment relativ zum Punkt O. Lassen Sie uns die linke Seite transformieren, indem wir die Formel für die Ableitung des Vektorprodukts anwenden

Aber als Kreuzprodukt paralleler Vektoren. Danach bekommen wir

(3.33)

Die erste zeitliche Ableitung des Impulsmoments eines Punktes relativ zu einem beliebigen Zentrum ist gleich dem Kraftmoment relativ zu demselben Zentrum.

Ein Beispiel für die Berechnung des Drehimpulses eines Systems. Berechnen Sie den Drehimpuls relativ zum Punkt O eines Systems bestehend aus einer zylindrischen Welle mit einer Masse M = 20 kg und einem Radius R = 0,5 m und einer fallenden Last mit einer Masse m = 60 kg (Bild 3.12). Die Welle rotiert um die Oz-Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit ω = 10 s -1 .

Abbildung 3.12

; ;

Bei gegebenen Eingabedaten der Drehimpuls des Systems

Satz über die Änderung des kinetischen Moments des Systems. Wir wenden die resultierenden äußeren und inneren Kräfte auf jeden Punkt des Systems an. Für jeden Punkt des Systems kann man den Satz über die Änderung des Drehimpulses anwenden, beispielsweise in der Form (3.33)

Summiert man über alle Punkte des Systems und berücksichtigt man, dass die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist, erhält man

Durch Definition des kinetischen Moments des Systems und der Eigenschaft von äußeren und inneren Kräften

Daher kann das resultierende Verhältnis dargestellt werden als

Die erste Zeitableitung des kinetischen Moments des Systems in Bezug auf einen beliebigen Punkt ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte, die auf das System in Bezug auf denselben Punkt einwirken.

3.3.5. Arbeit erzwingen

1) Die Elementararbeit der Kraft ist gleich dem Skalarprodukt der Kraft und dem Differentialradius des Vektors des Kraftangriffspunktes (Abb. 3.13)

Abbildung 3.13

Der Ausdruck (3.36) kann auch in den folgenden äquivalenten Formen geschrieben werden

wo ist die Projektion der Kraft auf die Richtung der Geschwindigkeit des Angriffspunktes der Kraft.

2) Die Arbeit der Kraft auf die endgültige Verschiebung

Integriert man die elementare Arbeit der Kraft, so erhält man die folgenden Ausdrücke für die Arbeit der Kraft bei der endgültigen Verschiebung von Punkt A nach Punkt B

3) Arbeit einer konstanten Kraft

Ist die Kraft konstant, so folgt aus (3.38).

Die Arbeit einer konstanten Kraft hängt nicht von der Form der Bahn ab, sondern nur vom Verschiebungsvektor des Kraftangriffspunktes.

4) Gewichtskraftarbeit

Für die Gewichtskraft (Abb. 3.14) und aus (3.39) erhalten wir

Abbildung 3.14

Wenn die Bewegung von Punkt B nach Punkt A geht, dann

Im Allgemeinen

Das Zeichen "+" entspricht der Bewegung des Kraftangriffspunktes "nach unten", das Zeichen "-" - nach oben.

4) Die Arbeit der Elastizitätskraft

Wenn die Achse der Feder entlang der x-Achse gerichtet ist (Abb. 3.15), und das Ende der Feder sich von Punkt 1 nach Punkt 2 bewegt, dann erhalten wir aus (3.38).

Wenn die Federkonstante ist mit, also dann

SONDERN (3.41)

Wenn sich das Ende der Feder von Punkt 0 nach Punkt 1 bewegt, ersetzen wir in diesem Ausdruck , , dann nimmt die Arbeit der elastischen Kraft die Form an

(3.42)

wo ist die Verlängerung der Feder.

Abbildung 3.15

5) Die Arbeit der auf einen rotierenden Körper ausgeübten Kraft. Die Arbeit des Augenblicks.

Auf Abb. 3.16 zeigt einen rotierenden Körper, auf den eine beliebige Kraft einwirkt. Während der Drehung bewegt sich der Angriffspunkt dieser Kraft auf einer Kreisbahn.