Cauchy-Definitionen von endlichen und unendlichen Grenzen einer Funktion im Unendlichen. Definitionen von zweiseitigen und einseitigen Grenzen (links und rechts). Beispiele für Lösungen von Problemen, bei denen unter Verwendung der Cauchy-Definition gezeigt werden muss, dass der Grenzwert im Unendlichen gleich einem gegebenen Wert ist, .

Inhalt

Siehe auch: Nachbarschaft eines Punktes
Universelle Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine und Cauchy

Endlicher Grenzwert einer Funktion im Unendlichen

Funktionsgrenze unendlich:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Definition der Cauchy-Grenze
Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion f (x) wie x gegen unendlich strebt (), wenn
1) es gibt ein solches |x| >
2) für jede beliebige kleine positive Zahl ε > 0 , gibt es eine Zahl N ε >K, abhängig von ε , so dass für alle x, |x| > N ε , die Werte der Funktion gehören zur ε-Nachbarschaft des Punktes a :
|f (x) - a|< ε .
Der Grenzwert einer Funktion im Unendlichen wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Häufig wird auch folgende Notation verwendet:
.

Wir schreiben diese Definition unter Verwendung der logischen Symbole von Existenz und Universalität:
.
Hier wird davon ausgegangen, dass die Werte zum Funktionsumfang gehören.

Einseitige Grenzen

Linke Grenze der Funktion im Unendlichen:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Oft gibt es Fälle, in denen die Funktion nur für positive oder negative Werte der Variablen x definiert ist (genauer gesagt in der Nähe des Punktes oder ). Auch die Grenzen im Unendlichen für positive und negative Werte von x können unterschiedliche Werte haben. Dann werden einseitige Grenzen verwendet.

Linke Grenze bei Unendlich oder die Grenze, wenn x gegen unendlich () tendiert, ist wie folgt definiert:
.
Rechte Grenze im Unendlichen oder begrenzen, wenn x gegen unendlich tendiert () :
.
Einseitige Grenzen im Unendlichen werden oft so geschrieben:
; .

Unendliche Funktionsgrenze im Unendlichen

Unendliche Funktionsgrenze im Unendlichen:
|f(x)| > M für |x| >N

Definition des unendlichen Limes nach Cauchy
Funktionsgrenze f (x) wenn x gegen unendlich tendiert (), ist gleich unendlich, Wenn
1) es gibt eine solche Umgebung des Punktes im Unendlichen |x| > K , auf dem die Funktion definiert ist (hier ist K eine positive Zahl);
2) für beliebig große Zahlen M > 0 , gibt es eine Zahl N M >K, abhängig von M , so dass für alle x, |x| > N M , die Werte der Funktion gehören zur Umgebung des Punktes im Unendlichen:
|f (x) | >M.
Die unendliche Grenze, wenn x gegen unendlich geht, wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Unter Verwendung der logischen Symbole der Existenz und Universalität kann die Definition der unendlichen Grenze einer Funktion wie folgt geschrieben werden:
.

Die Definitionen der unendlichen Grenzen bestimmter Zeichen gleich und werden ähnlich eingeführt:
.
.

Definitionen einseitiger Grenzen im Unendlichen.
Linke Grenzen.
.
.
.
Richtige Grenzen.
.
.
.

Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine

Die Zahl a (endlich oder unendlich) heißt Grenzwert der Funktion f (x) am Punkt x 0 :
,
Wenn
1) Es gibt eine solche Umgebung des Punktes im Unendlichen x 0 , auf dem die Funktion definiert ist (hier oder oder );
2) für jede Sequenz ( x n ), konvergiert gegen x 0 : ,
deren Elemente zur Nachbarschaft gehören, der Folge (f(xn)) konvergiert zu a:
.

Wenn wir die Umgebung eines vorzeichenlosen Punktes im Unendlichen als Umgebung nehmen: , dann erhalten wir die Definition des Grenzwertes der Funktion, wenn x gegen Unendlich strebt, . Nehmen wir die linke oder rechte Umgebung des Punktes im Unendlichen x 0 : oder , dann erhalten wir die Definition der Grenze, da x gegen minus unendlich bzw. plus unendlich strebt.

Die Heine- und Cauchy-Definitionen des Grenzwerts sind äquivalent.

Beispiele

Beispiel 1

Zeigen Sie das mit Hilfe der Cauchy-Definition
.

Wir führen die Notation ein:
.
Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion . Da Zähler und Nenner eines Bruchs Polynome sind, ist die Funktion für alle x definiert, mit Ausnahme der Punkte, an denen der Nenner verschwindet. Lassen Sie uns diese Punkte finden. Wir lösen eine quadratische Gleichung. ;
.
Gleichung Wurzeln:
; .
Seit , dann und .
Daher ist die Funktion für definiert. Dies werden wir in Zukunft verwenden.

Wir schreiben die Definition des endlichen Limes einer Funktion im Unendlichen nach Cauchy auf:
.
Transformieren wir den Unterschied:
.
Teile Zähler und Nenner durch und multipliziere mit -1 :
.

Lassen .
Dann
;
;
;
.

Also, wir haben das bei gefunden,
.
.
Daraus folgt das
bei , und .

Da eine Steigerung immer möglich ist, nehmen wir . Dann für alle,
beim .
Es bedeutet das.

Beispiel 2

Lassen .
Zeigen Sie anhand der Definition der Cauchy-Grenze:
1) ;
2) .

1) Lösung für x, die gegen minus unendlich strebt

Denn dann ist die Funktion für alle x definiert.
Schreiben wir die Definition des Grenzwerts der Funktion gleich minus unendlich auf:
.

Lassen . Dann
;
.

Also, wir haben das bei gefunden,
.
Wir geben positive Zahlen ein und:
.
Daraus folgt, dass es für jede positive Zahl M eine Zahl gibt, so dass für ,
.

Es bedeutet das.

2) Lösung für x, die gegen unendlich geht

Lassen Sie uns die ursprüngliche Funktion umwandeln. Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs und wende die Quadratdifferenzformel an:
.
Wir haben:

.
Schreiben wir die Definition des rechten Grenzwertes der Funktion für :
.

Führen wir die Notation ein: .
Transformieren wir den Unterschied:
.
Zähler und Nenner multiplizieren mit:
.

Lassen
.
Dann
;
.

Also, wir haben das bei gefunden,
.
Wir geben positive Zahlen ein und:
.
Daraus folgt das
bei und .

Da dies für jede positive Zahl gilt, dann
.

Verweise:
CM. Nikolsky. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 1983.

Siehe auch:

Für diejenigen, die lernen möchten, wie man die Grenzen in diesem Artikel findet, werden wir darüber sprechen. Wir werden nicht auf die Theorie eingehen, sie wird normalerweise in Vorlesungen von Lehrern vermittelt. Also sollte die "langweilige Theorie" in Ihren Notizbüchern skizziert werden. Wenn dies nicht der Fall ist, können Sie Lehrbücher aus der Bibliothek der Bildungseinrichtung oder anderen Internetquellen lesen.

Daher ist das Konzept des Grenzwerts im Studium der höheren Mathematik sehr wichtig, insbesondere wenn Sie auf die Integralrechnung stoßen und die Beziehung zwischen dem Grenzwert und dem Integral verstehen. Im aktuellen Material werden einfache Beispiele sowie Lösungswege betrachtet.

Lösungsbeispiele

Beispiel 1

Berechnen Sie a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Entscheidung

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Wir bekommen oft diese Grenzen zugeschickt und bitten um Hilfe bei der Lösung. Wir haben uns entschieden, sie als separates Beispiel hervorzuheben und zu erklären, dass diese Grenzen in der Regel einfach zu beachten sind. Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir werden eine detaillierte Lösung anbieten. Sie können sich mit dem Ablauf der Berechnung vertraut machen und Informationen sammeln. Dies wird Ihnen helfen, rechtzeitig eine Gutschrift vom Lehrer zu erhalten!

Antworten

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Was tun mit der Unschärfe der Form: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Beispiel 3

Löse $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Entscheidung

Wie immer beginnen wir damit, den Wert von $ x $ in den Ausdruck unter dem Limitzeichen einzusetzen. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Was kommt als nächstes? Was soll das Ergebnis sein? Da dies eine Unsicherheit ist, ist dies noch keine Antwort und wir fahren mit der Berechnung fort. Da wir in den Zählern ein Polynom haben, zerlegen wir es mit der bekannten Formel $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ in Faktoren. Fiel ein? Bußgeld! Jetzt mach weiter und wende es mit dem Lied an :) Wir erhalten, dass der Zähler $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ ist Wir lösen weiterhin angesichts der obigen Transformation: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1). ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Antworten

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Nehmen wir die Grenze in den letzten beiden Beispielen auf unendlich und betrachten die Unsicherheit: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Beispiel 5

Berechne $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Entscheidung

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Was ist zu tun? Wie sein? Keine Panik, denn das Unmögliche ist möglich. Es ist notwendig, die Klammern sowohl im Zähler als auch im Nenner X zu entfernen und dann zu reduzieren. Versuchen Sie danach, das Limit zu berechnen. Versuchen ... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Unter Verwendung der Definition aus Beispiel 2 und Ersetzen von x durch unendlich erhalten wir: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Antworten

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algorithmus zur Berechnung von Limits

Lassen Sie uns also die analysierten Beispiele kurz zusammenfassen und einen Algorithmus zum Lösen der Grenzen erstellen:

1. Ersetzen Sie den Punkt x im Ausdruck nach dem Grenzzeichen. Wenn eine bestimmte Zahl oder unendlich erreicht wird, ist die Grenze vollständig gelöst. Andernfalls haben wir Unsicherheit: "Null geteilt durch Null" oder "Unendlich geteilt durch Unendlich" und fahren mit den nächsten Absätzen der Anweisung fort.
2. Um die Unsicherheit „Null dividieren durch Null“ zu beseitigen, müssen Zähler und Nenner faktorisiert werden. Reduzieren Sie ähnlich. Ersetzen Sie den Punkt x im Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen.
3. Wenn die Unsicherheit „unendlich dividiert durch unendlich“ ist, dann nehmen wir sowohl im Zähler als auch im Nenner x am stärksten heraus. Wir kürzen die x's. Wir ersetzen x-Werte unterhalb der Grenze in den verbleibenden Ausdruck.

In diesem Artikel haben Sie sich mit den Grundlagen des Lösens von Grenzwerten vertraut gemacht, die häufig im Analysis-Kurs verwendet werden. Natürlich sind dies nicht alle Arten von Aufgaben, die von Prüfern angeboten werden, sondern nur die einfachsten Grenzen. In zukünftigen Artikeln werden wir über andere Arten von Aufgaben sprechen, aber zuerst müssen Sie diese Lektion lernen, um fortzufahren. Wir werden diskutieren, was zu tun ist, wenn es Wurzeln und Grade gibt, wir werden infinitesimale äquivalente Funktionen, wunderbare Grenzen und die Regel von L'Hopital untersuchen.

Wenn Sie die Grenzen nicht selbst herausfinden können, geraten Sie nicht in Panik. Wir helfen Ihnen gerne weiter!

Bei der Lösung von Problemen zum Auffinden von Grenzen sollten einige Grenzen beachtet werden, damit sie nicht jedes Mal neu berechnet werden. Durch Kombinieren dieser bekannten Grenzen werden wir die in § 4 angegebenen Eigenschaften verwenden, um neue Grenzen zu finden. Der Einfachheit halber präsentieren wir die gebräuchlichsten Grenzwerte: Grenzwerte l X -o X 6 lim f(x) = f(a), wenn f (x) stetig ist x a Wenn bekannt ist, dass die Funktion stetig ist, dann anstatt zu finden die Grenze, berechnen wir den Wert der Funktion. Beispiel 1. Finden Sie lim (x * -6n: + 8). Da viele-X->2

term-function ist stetig, dann ist lim (x*-6x4-8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Beispiel 2. Finden Sie lim -r. . Zuerst finden wir die Prä-X-+1 x ~rx Nennerteile: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; es ist nicht gleich X-Y1 Null, was bedeutet, dass Eigenschaft 4 von § 4 angewendet werden kann, dann x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. The Grenze des Nenners X X ist Null, daher kann Eigenschaft 4 von § 4 nicht angewendet werden Da der Zähler eine konstante Zahl ist und der Nenner [x2x) -> -0 als x - - 1, dann wächst der ganze Bruch absolut Wert ohne Begrenzung, d. H. lim " 1 X - * - - 1 x * + x Beispiel 4. Finden Sie lim \-ll * "!" "" Die Grenze des Nenners ist Null: lim (xr-6lg + 8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 0, daher X-Eigenschaft 4 § 4 nicht anwendbar. Aber die Grenze des Zählers ist auch gleich Null: lim (х2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Also sind die Grenzen des Zählers und des Nenners gleichzeitig gleich Null. Die Zahl 2 ist jedoch die Wurzel sowohl des Zählers als auch des Nenners, sodass der Bruch um die Differenz x-2 (nach dem Satz von Bezout) gekürzt werden kann. Tatsächlich x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" also xr- -f - 6 r x-3 -1 1 Beispiel 5. Finden Sie lim xn (n ist eine ganze Zahl, positiv). X mit Wir haben xn \u003d X * X. . X, n mal Da jeder Faktor unendlich wächst, wächst auch das Produkt unendlich, d.h. lim xn = oo. x oo Beispiel 6. Finde lim xn(n ist eine ganze Zahl, positiv). X -> - CO Wir haben xn = x x... x. Da jeder Faktor im absoluten Wert zunimmt und negativ bleibt, wächst das Produkt im Fall eines geraden Grades unendlich und bleibt positiv, dh lim * n = + oo (für gerades n). *-* -co Bei ungeradem Grad steigt der Absolutwert des Produkts, bleibt aber negativ, d.h. lim xn = - oo (für ungerades n). n -- 00 Beispiel 7. Finden Sie lim . x x - * - co * Wenn m> ny dann kannst du schreiben: m = n + kt wobei k>0. Also xm b lim -=- = lim -=-= lim x . yP Yn x -x> A x yu Kam zu Beispiel 6. Wenn ti uTL xm I lim lim lim m. X - O x-* u L X -\u003e w Hier bleibt der Zähler konstant und der Nenner wächst im absoluten Wert, also lim -b = 0. X-*oo X* Das Ergebnis dieses Beispiels sollte man sich am besten in folgender Form merken: Die Potenzfunktion wächst umso schneller, je größer der Exponent ist. $хв_Зхг + 7

Beispiele

Beispiel 8. Finden Sie lim g L -r- \u003d. In diesem Beispiel erhöhen sich x-*® "J * "G bX -ox-o und der Zähler und der Nenner auf unbestimmte Zeit. Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die höchste Potenz von x, d.h. auf xv, dann 3 7_ Beispiel 9. Finden Sie Lira... Durch Transformationen erhalten wir Lira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Da lim -5 = 0, lim -, = 0, dann die Grenze des Nenners rade-*® X X-+-CD X Venen Null, während die Grenze des Zählers 1 ist. Daher wächst der ganze Bruch ohne Grenze, d.h. t.7x hm X-+ u Beispiel 10. Finde lim Nenner, Denken Sie daran, dass die cos*-Funktion stetig ist: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Dann x->- S lim (l-fsin*) Beispiel 15. Finden Sie lim *<*-e>2 und lim e "(X" a) \ Wir setzen X-+ ± co X ± CO wir drücken (l: - a) 2 \u003d z; da (x - a)2 immer nichtnegativ und unendlich mit x wächst, dann als x - ± oo die neue Variable z - * oc. Daher erhalten wir u £<*-«)* = X ->± 00 s=lim zB = oo (siehe Anmerkung zu §5). r -** co. In ähnlicher Weise gilt lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, da x ± oo r m - (x-a)r ohne Begrenzung als x -> ± oo abnimmt (siehe die Bemerkung zu §

Definition von Sequenz- und Funktionsgrenzen, Eigenschaften von Grenzen, erste und zweite bemerkenswerte Grenze, Beispiele.

konstante Zahl a namens Grenze Sequenzen(x n ) falls es zu jeder beliebigen kleinen positiven Zahl ε > 0 eine Zahl N gibt, so dass alle Werte x n, für die n > N, die Ungleichung erfüllen

Schreiben Sie es wie folgt: oder x n → a.

Ungleichung (6.1) ist äquivalent zur doppelten Ungleichung

a-ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, beginnend bei einer Zahl n>N, liegen innerhalb des Intervalls (a-ε , a+ε), d.h. in eine beliebige kleine ε-Nachbarschaft des Punktes fallen a.

Eine Folge, die eine Grenze hat, wird aufgerufen konvergierend, sonst - abweichend.

Der Begriff des Grenzwerts einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwerts einer Folge, da der Grenzwert einer Folge als Grenzwert der Funktion x n = f(n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann n.

Gegeben sei eine Funktion f(x) und sei a - Grenzpunkt der Definitionsbereich dieser Funktion D(f), d.h. ein solcher Punkt, dessen Umgebung Punkte der Menge D(f) enthält, die sich von unterscheiden a. Punkt a kann zur Menge D(f) gehören oder nicht.

Bestimmung 1. Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) beim x→ a if für eine beliebige Folge (x n ) von Argumentwerten tendenziell a, haben die entsprechenden Folgen (f(x n)) denselben Grenzwert A.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine, oder " in der Sprache der Sequenzen”.

Bestimmung 2. Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) beim x→a wenn man für eine beliebige, beliebig kleine positive Zahl ε δ >0 (abhängig von ε) finden kann, so dass für alle gilt x, die in der ε-Nachbarschaft der Zahl liegen a, d.h. zum x Befriedigung der Ungleichheit
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Cauchy, oder „in der Sprache ε - δ"

Die Definitionen 1 und 2 sind gleichwertig. Wenn die Funktion f(x) als x → a gilt Grenze gleich A, dies wird geschrieben als

Für den Fall, dass die Folge (f(x n)) für jedes Näherungsverfahren unbegrenzt zunimmt (oder abnimmt). x an deine Grenze a, dann werden wir sagen, dass die Funktion f(x) hat unendliche Grenze, und schreibe es so:

Eine Variable (d. h. eine Folge oder Funktion), deren Grenzwert Null ist, wird aufgerufen unendlich klein.

Eine Variable, deren Grenzwert gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Um die Grenze in der Praxis zu finden, verwenden Sie die folgenden Sätze.

Satz 1 . Wenn jede Grenze existiert

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Ausdrücke der Form 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ sind unbestimmt, z. B. das Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Größen, und das Auffinden einer solchen Grenze nennt man „Unschärfeoffenbarung“.

Satz 2.

jene. es ist möglich, bei einem konstanten Exponenten zur Basis des Grads zu gehen, insbesondere

Satz 3.

(6.11)

wo e» 2,7 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) heißen erster bemerkenswerter Grenzwert und zweiter bemerkenswerter Grenzwert.

In der Praxis werden auch die Folgerungen aus Formel (6.11) verwendet:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze

Wenn x → a und gleichzeitig x > a, dann schreibe x → a + 0. Wenn insbesondere a = 0, dann schreibe +0 anstelle des Zeichens 0+0. Ebenso, wenn x→a und gleichzeitig x und werden entsprechend benannt. rechte Grenze und linke Grenze Funktionen f(x) am Punkt a. Damit der Grenzwert der Funktion f(x) als x→ a existiert, ist dies notwendig und ausreichend . Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punkt x 0 wenn Grenze

(6.15)

Bedingung (6.15) kann umgeschrieben werden als:

Das heißt, der Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer Funktion ist möglich, wenn sie an einem bestimmten Punkt stetig ist.

Wenn Gleichheit (6.15) verletzt ist, dann sagen wir das beim x = xo Funktion f(x) Es hat Lücke. Betrachten Sie die Funktion y = 1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge R, außer für x = 0. Der Punkt x = 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D(f), da in jeder seiner Umgebungen, d. h. jedes offene Intervall, das den Punkt 0 enthält, enthält Punkte aus D(f), gehört aber selbst nicht zu dieser Menge. Der Wert f(x o)= f(0) ist nicht definiert, also hat die Funktion an der Stelle x o = 0 eine Unstetigkeit.

Die Funktion f(x) wird aufgerufen rechts an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

und links an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt x o ist gleichbedeutend mit seiner Stetigkeit an dieser Stelle sowohl rechts als auch links.

Damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist x o, zum Beispiel auf der rechten Seite, ist es erstens notwendig, dass es eine endliche Grenze gibt, und zweitens, dass diese Grenze gleich f(x 0 ) ist. Wenn also mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Lücke auf.

1. Wenn die Grenze existiert und nicht gleich f(x o) ist, dann sagen sie das Funktion f(x) am Punkt xo hat Bruch erster Art, oder springen.

2. Wenn die Grenze +∞ oder -∞ ist oder nicht existiert, dann sagen sie das in Punkt x o Die Funktion hat eine Pause zweite Art.

Zum Beispiel hat die Funktion y = ctg x als x → +0 einen Grenzwert gleich +∞ , was bedeutet, dass sie an der Stelle x=0 eine Unstetigkeit zweiter Art hat. Funktion y = E(x) (ganzzahliger Teil von x) an Punkten mit ganzzahligen Abszissen Unstetigkeiten erster Art oder Sprünge aufweist.

Eine Funktion, die an jedem Punkt des Intervalls stetig ist, wird aufgerufen kontinuierlich in . Eine stetige Funktion wird durch eine durchgezogene Kurve dargestellt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer bestimmten Menge verbunden sind, führen zu der zweiten bemerkenswerten Grenze. Solche Aufgaben sind zum Beispiel: das Wachstum der Einlage nach dem Zinseszinsgesetz, das Wachstum der Landesbevölkerung, der Zerfall eines radioaktiven Stoffes, die Vermehrung von Bakterien usw.

Prüfen Beispiel von Ya. I. Perelman, was die Interpretation der Zahl angibt e beim Zinseszinsproblem. Anzahl e es gibt eine Grenze . Bei Sparkassen werden dem gebundenen Kapital jährlich Zinsgelder zugeführt. Wird die Verbindung öfter hergestellt, wächst das Kapital schneller, da ein großer Betrag an der Zinsbildung beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie die Bank 100 den setzen. Einheiten zu 100 % pro Jahr. Wird dem Anlagekapital erst nach einem Jahr verzinsliches Geld zugeführt, so sind zu diesem Zeitpunkt 100 den. Einheiten wird in 200 den verwandeln. Mal sehen, was aus 100 den wird. Einheiten, wenn dem gebundenen Kapital alle sechs Monate Zinsgelder zugeführt werden. Nach einem halben Jahr 100 den. Einheiten wird um 100 × 1,5 = 150 und in weiteren sechs Monaten um 150 × 1,5 = 225 (Geldeinheiten) wachsen. Wenn der Beitritt alle 1/3 des Jahres erfolgt, dann nach einem Jahr 100 den. Einheiten wird zu 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. Einheiten). Wir werden den Zeitrahmen für das Hinzufügen von Zinsgeldern auf 0,1 Jahr, 0,01 Jahr, 0,001 Jahr usw. erhöhen. Dann aus 100 den. Einheiten ein Jahr später:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. Einheiten),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. Einheiten),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. Einheiten).

Bei einer unbegrenzten Reduzierung der Beitrittsbedingungen wächst das angesammelte Kapital nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von etwa 271. Das zu 100 % pro Jahr platzierte Kapital kann sich nicht mehr als um das 2,71-fache erhöhen, selbst wenn die aufgelaufenen Zinsen wären hinzugefügt, um die Hauptstadt jede Sekunde, weil die Grenze

Beispiel 3.1. Beweisen Sie anhand der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass die Folge x n = (n-1)/n einen Grenzwert gleich 1 hat.

Entscheidung. Wir müssen beweisen, dass es für ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, sodass für alle n > N die Ungleichung |x n -1| gilt< ε

Nehmen Sie ein beliebiges ε > 0. Da x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n ist, reicht es aus, die Ungleichung 1/n zu lösen, um N zu finden<ε. Отсюда n>1/ε und damit N als ganzzahliger Teil von 1/ε N = E(1/ε). Damit haben wir bewiesen, dass die Grenze .

Beispiel 3.2. Finden Sie den Grenzwert einer Folge, die durch einen gemeinsamen Term gegeben ist .

Entscheidung. Wenden Sie den Grenzwertsummensatz an und finden Sie den Grenzwert für jeden Term. Da n → ∞, gehen Zähler und Nenner jedes Terms gegen unendlich, und wir können den Quotientengrenzsatz nicht direkt anwenden. Deshalb transformieren wir zuerst x n, indem Zähler und Nenner des ersten Terms durch dividiert werden n 2, und der zweite n. Dann finden wir unter Anwendung des Quotienten-Grenzsatzes und des Summen-Grenzsatzes:

Beispiel 3.3. . Finden .

Entscheidung.

Hier haben wir den Gradgrenzensatz verwendet: Der Grenzwert eines Grades ist gleich dem Grad des Grenzwertes der Basis.

Beispiel 3.4. Finden ( ).

Entscheidung. Es ist unmöglich, den Differenzengrenzsatz anzuwenden, da wir eine Unschärfe der Form ∞-∞ haben. Lassen Sie uns die Formel des allgemeinen Begriffs umwandeln:

Beispiel 3.5. Gegeben sei eine Funktion f(x)=2 1/x . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Entscheidung. Wir verwenden die Definition 1 des Grenzwerts einer Funktion in Bezug auf eine Folge. Nehmen Sie eine Folge ( x n ), die gegen 0 konvergiert, d.h. Zeigen wir, dass sich der Wert f(x n)= für verschiedene Folgen unterschiedlich verhält. Sei x n = 1/n. Offensichtlich dann die Grenze Wählen wir jetzt als x n eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = -1/n, der ebenfalls gegen Null geht. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6. Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Entscheidung. Seien x 1 , x 2 ,..., x n ,... eine Folge für die
. Wie verhält sich die Folge (f(x n)) = (sin x n ) für verschiedene x n → ∞

Wenn x n \u003d p n, dann Sünde x n \u003d Sünde (S n) = 0 für alle n und begrenzen Sie If
xn=2 p n+ p /2, dann sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 für alle n und damit die Grenze. Somit existiert nicht.

Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Schwierigkeiten. Um das Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungen genau die auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten zu verstehen oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, aber wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie können Sie die Grenzen in der höheren Mathematik verstehen? Verständnis kommt mit Erfahrung, daher werden wir gleichzeitig einige detaillierte Beispiele für das Lösen von Grenzen mit Erklärungen geben.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist die Grenze und die Grenze von was? Wir können über die Grenzen von Zahlenfolgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da die Schüler am häufigsten auf sie stoßen. Aber zuerst die allgemeinste Definition einer Grenze:

Nehmen wir an, es gibt eine Variable. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess auf unbestimmte Zeit einer bestimmten Zahl nähert a , dann a ist die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y die Grenze ist die Zahl EIN , zu der die Funktion wann tendiert X zu einem bestimmten Punkt tendieren a . Punkt a gehört zu dem Intervall, auf dem die Funktion definiert ist.

Klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Definition des Grenzwerts, aber wir gehen hier nicht auf die Theorie ein, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen X zu einem bestimmten Wert tendiert, was bedeutet, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich diesem unendlich nahe nähert.

Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Die Herausforderung besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie sich für grundlegende Operationen mit Matrizen interessieren, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In den Beispielen X kann zu jedem beliebigen Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel wann X geht gegen unendlich:

Es ist intuitiv klar, dass je größer die Zahl im Nenner ist, desto kleiner wird der Wert von der Funktion angenommen. Also mit unbegrenztem Wachstum X Bedeutung 1/x nimmt ab und nähert sich Null.

Wie Sie sehen können, müssen Sie zum Lösen des Limits nur den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen X . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder unendlich/unendlich . Was tun in solchen Fällen? Verwenden Sie Tricks!

Unsicherheiten im Innern

Unsicherheit der Form unendlich/unendlich

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir unendlich sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass es eine gewisse Kunst gibt, solche Unsicherheiten aufzulösen: Sie müssen darauf achten, wie Sie die Funktion so transformieren können, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch X im Seniorenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits betrachteten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null gehen. Dann lautet die Lösung für den Grenzwert:

Typenmehrdeutigkeiten aufzudecken unendlich/unendlich Teile Zähler und Nenner durch X im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Substitution in die Wertfunktion x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden feststellen, dass wir eine quadratische Gleichung im Zähler haben. Lassen Sie uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also auf Typmehrdeutigkeit stoßen 0/0 - Zähler und Nenner faktorisieren.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, hier eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft innerhalb

Eine weitere leistungsstarke Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheiten zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, nehmen wir die Ableitung von Zähler und Nenner, bis die Unsicherheit verschwindet.

Optisch sieht die Regel von L'Hopital so aus:

Wichtiger Punkt : der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner statt Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt ein echtes Beispiel:

Es gibt eine typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen Sie die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, die Unsicherheit ist schnell und elegant beseitigt.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis gut anwenden können und die Antwort auf die Frage "wie man Grenzen in der höheren Mathematik löst" finden. Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen und für diese Arbeit ab dem Wort „absolut“ keine Zeit bleibt, wenden Sie sich an einen professionellen Studentenservice für eine schnelle und detaillierte Lösung.