Satz über die Impulsänderung eines Punktes

Da die Masse eines Punktes und seine Beschleunigung konstant sind, kann die Gleichung, die das Grundgesetz der Dynamik ausdrückt, wie folgt dargestellt werden

Die Gleichung drückt gleichzeitig den Satz über die Änderung des Impulses eines Punktes in Differentialform aus: Zeitableitung des Impulses eines Punktes ist gleich der geometrischen Summe der auf den Punkt wirkenden Kräfte.

Integrieren wir diese Gleichung. Lassen Sie die Masse zeigen m, bewegt sich unter der Wirkung einer Kraft (Abb. 15), hat im Moment t\u003d 0 Geschwindigkeit und im Moment t 1 - Geschwindigkeit.

Abb.15

Lassen Sie uns dann beide Seiten der Gleichheit mit multiplizieren und bestimmte Integrale daraus bilden. In diesem Fall sind rechts, wo die Integration über die Zeit erfolgt, die Grenzen der Integrale 0 und t 1 , und auf der linken Seite, wo die Geschwindigkeit integriert ist, sind die Grenzen des Integrals die entsprechenden Werte der Geschwindigkeit und . Da das Integral von gleich , dann erhalten wir als Ergebnis:

.

Die Integrale rechts sind die Impulse der wirkenden Kräfte. So landen wir bei:

.

Die Gleichung drückt den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in der Endform aus: die Änderung des Impulses eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der geometrischen Summe der Impulse aller Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf den Punkt einwirken ( Reis. fünfzehn).

Bei der Lösung von Problemen werden anstelle einer Vektorgleichung häufig Gleichungen in Projektionen verwendet.

Bei geradliniger Bewegung entlang der Achse Oh der Satz wird durch die erste dieser Gleichungen ausgedrückt.

Beispiel 9 Finden Sie das Bewegungsgesetz eines materiellen Massenpunktes m sich entlang der Achse bewegen X unter Einwirkung einer im Modul konstanten Kraft F(Abb. 16) unter Anfangsbedingungen: , at .

Abb.16

Entscheidung. Stellen wir eine Differentialgleichung der Bewegung eines Punktes in der Projektion auf die Achse auf X: . Integrieren wir diese Gleichung, finden wir: . Die Konstante ergibt sich aus der Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit und ist gleich . Endlich

.

Unter Berücksichtigung, dass v = dx/dt, kommen wir auf die Differentialgleichung: , Integration, die wir bekommen

Die Konstante wird aus der Anfangsbedingung für die Koordinate des Punktes bestimmt. Sie ist gleich. Daher hat das Bewegungsgesetz eines Punktes die Form

Beispiel 10. Lastgewicht R(Abb. 17) beginnt sich unter der Wirkung einer Kraft aus der Ruhe entlang einer glatten horizontalen Ebene zu bewegen F=kt. Finden Sie das Bewegungsgesetz der Last.

Abb.17

Entscheidung. Wir wählen den Ursprung des Koordinatensystems Ö in der Ausgangsposition der Last und lenken die Achse X in Bewegungsrichtung (Abb. 17). Dann sehen die Anfangsbedingungen so aus: x(t = 0) = 0,v( t = 0) = 0. Auf die Last wirken Kräfte F,P und die Reaktionskraft des Flugzeugs N. Die Projektionen dieser Kräfte auf die Achse X Angelegenheit Fx = F = kt, Rx = 0, Nx= 0, also kann die entsprechende Bewegungsgleichung wie folgt geschrieben werden: . Wenn wir die Variablen in dieser Differentialgleichung trennen und dann integrieren, erhalten wir: v = gkt 2 /2P + C ein . Ersetzen der Anfangsdaten ( v(0) = 0), finden wir das C 1 = 0, und wir erhalten das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung .

Der letzte Ausdruck wiederum ist eine Differentialgleichung, durch deren Integration wir das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes finden: . Die hier eintretende Konstante wird aus der zweiten Anfangsbedingung bestimmt X(0) = 0. Es ist leicht zu sehen, dass . Endlich

Beispiel 11. Auf einer ruhenden Last auf einer horizontalen glatten Ebene (siehe Abb. 17) im Abstand a vom Ursprung, beginnt in positiver Richtung der Achse zu wirken x Gewalt F=k 2 (P/g)x, wo R - Ladungsgewicht. Finden Sie das Bewegungsgesetz der Last.

Entscheidung. Die Bewegungsgleichung der betrachteten Last (Materialpunkt) in der Projektion auf die Achse X

Die Anfangsbedingungen von Gleichung (1) haben die Form: x(t = 0) = a, v( t = 0) = 0.

Wir stellen die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit in Gleichung (1) wie folgt dar:

.

Einsetzen dieses Ausdrucks in Gleichung (1) und Reduzieren um ( P/g), wir bekommen

Wenn wir die Variablen in der letzten Gleichung trennen, finden wir, dass . Integrieren wir letzteres, haben wir: . Verwendung von Anfangsbedingungen , erhalten wir , und daher

, . (2)

Denn die Kraft wirkt auf die Last in positiver Richtung der Achse X, ist es klar, dass es auch in die gleiche Richtung gehen muss. Daher sollte in Lösung (2) das Pluszeichen gewählt werden. Wenn wir im zweiten Ausdruck (2) weiter durch ersetzen, erhalten wir eine Differentialgleichung zur Bestimmung des Bewegungsgesetzes der Last. Daher haben wir, wenn wir die Variablen trennen

.

Integrieren wir letzteres, finden wir: . Nachdem wir die Konstante gefunden haben, bekommen wir endlich

Beispiel 12. Ball M Massen m(Abb.18) fällt ohne Anfangsgeschwindigkeit unter Einwirkung der Schwerkraft. Wenn der Ball fällt, erfährt er Widerstand, wo – konstanter Luftwiderstandsbeiwert. Finden Sie das Bewegungsgesetz der Kugel.

Abb.18

Entscheidung. Führen wir ein Koordinatensystem ein, dessen Ursprung an der Stelle liegt, an der sich die Kugel befindet t = 0, Richtung der Achse beim senkrecht nach unten (Abb. 18). Die Differentialgleichung der Bewegung der Kugel in der Projektion auf die Achse beim hat dann die Form

Die Anfangsbedingungen für den Ball werden wie folgt geschrieben: j(t = 0) = 0, v( t = 0) = 0.

Variablen in Gleichung (1) trennen

und Integration finden wir: , wo . Oder nachdem Sie eine Konstante gefunden haben

oder . (2)

Daraus folgt, dass die Grenzgeschwindigkeit, d.h. Geschwindigkeit bei , ist gleich .

Um das Bewegungsgesetz zu finden, ersetzen wir v in Gleichung (2) durch dy/dt. Dann integrieren wir die resultierende Gleichung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung und finden schließlich

.

Beispiel 13 Forschungs-U-Boot von kugelförmiger Form und Masse m= = 1,5 × 10 5 kg beginnt bei ausgeschalteten Motoren zu sinken und hat eine horizontale Geschwindigkeit v X 0 = 30 Frau und negativer Auftrieb R 1 = 0.01mg, wo ist die Vektorsumme der archimedischen Auftriebskraft Q und Schwerkraft mg wirkt auf das Boot (Abb. 20). Wasserwiderstandskraft , kg/s. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen des Bootes und seine Flugbahn.

Das im Theorem genannte System kann ein beliebiges mechanisches System sein, das aus beliebigen Körpern besteht.

Aussage des Theorems

Die Bewegungsgröße (Impuls) eines mechanischen Systems ist ein Wert, der gleich der Summe der Bewegungsgrößen (Impuls) aller im System enthaltenen Körper ist. Der Impuls äußerer Kräfte, die auf die Körper des Systems wirken, ist die Summe der Impulse aller äußeren Kräfte, die auf die Körper des Systems wirken.

( kgm/s)

Der Satz über die Änderung des Impulses der Systemzustände

Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls äußerer Kräfte, die im gleichen Zeitraum auf das System einwirken.

Impulserhaltungssatz des Systems

Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist der Impuls (Impuls) des Systems ein konstanter Wert.

, wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Impulsänderung des Systems in differentieller Form:

Nachdem beide Teile der resultierenden Gleichheit über ein willkürlich gewähltes Zeitintervall zwischen einigen und integriert wurden, wir erhalten den Ausdruck des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in integraler Form:

Impulserhaltungssatz (Impulserhaltungssatz) besagt, dass die Vektorsumme der Impulse aller Körper des Systems ein konstanter Wert ist, wenn die Vektorsumme der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist.

(Impulsmoment m 2 kg s −1)

Satz über die Änderung des Drehimpulses um den Mittelpunkt

die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf einen beliebigen festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf denselben Mittelpunkt.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Satz über die Änderung des Drehimpulses um die Achse

die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf eine beliebige feste Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf dieselbe Achse.

dk x /dt = M x (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Betrachten Sie einen materiellen Punkt M Last m sich unter dem Einfluss einer Kraft bewegen F (Abbildung 3.1). Lassen Sie uns den Vektor des Drehimpulses (Bewegungsimpuls) aufschreiben und konstruieren M 0 Materialpunkt relativ zum Mittelpunkt Ö :

Differenzieren Sie den Ausdruck für Impulsmoment (kinetisches Moment k 0) nach Zeit:

Als DR /dt = v , dann das Vektorprodukt v ⊗ m ⋅ v (kollineare Vektoren v und m ⋅ v ) ist null. Gleichzeitig dm ⋅ v) /dt = F nach dem Satz über den Impuls eines materiellen Punktes. Daher bekommen wir das

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

wo r ⊗F = M 0 (F ) – Vektormoment der Kraft F relativ zum festen Mittelpunkt Ö . Vektor k 0 ⊥ Ebene ( r , m ⊗v ) und der Vektor M 0 (F ) ⊥ Ebene ( r ,F ), haben wir endlich

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Gleichung (3.4) drückt den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Mittelpunkt aus: die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf einen beliebigen festen Mittelpunkt ist gleich dem Moment der auf den Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf denselben Mittelpunkt.

Projizieren wir Gleichheit (3.4) auf die Achsen kartesischer Koordinaten, erhalten wir

dk x /dt = M x (F ); dk j /dt = M j (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Gleichungen (3.5) drücken den Satz über die Änderung des Drehimpulses (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes um die Achse aus: die zeitliche Ableitung des Impulsmoments (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes in Bezug auf eine beliebige feste Achse ist gleich dem Moment der auf diesen Punkt wirkenden Kraft in Bezug auf dieselbe Achse.

Betrachten wir die aus den Sätzen (3.4) und (3.5) folgenden Konsequenzen.

Folge 1. Betrachten Sie den Fall, wenn die Kraft F während der gesamten Bewegung geht der Punkt durch das feste Zentrum Ö (Fall von Zentralkraft), d.h. Wenn M 0 (F ) = 0. Dann folgt aus Satz (3.4) dass k 0 = konst ,

jene. bei einer Zentralkraft bleibt das Impulsmoment (kinetisches Moment) eines materiellen Punktes relativ zum Zentrum dieser Kraft in Betrag und Richtung konstant (Bild 3.2).

Abbildung 3.2

Vom Zustand k 0 = konst Daraus folgt, dass die Bahn des sich bewegenden Punktes eine ebene Kurve ist, deren Ebene durch das Zentrum dieser Kraft geht.

Folge 2. Lassen M z (F ) = 0, d.h. Kraft kreuzt die Achse z oder parallel dazu. In diesem Fall gilt, wie aus der dritten Gleichung (3.5) ersichtlich, k z = konst ,

jene. wenn das Moment der Kraft, die auf den Punkt relativ zu einer festen Achse wirkt, immer gleich Null ist, dann bleibt der Drehimpuls (kinetisches Moment) des Punktes relativ zu dieser Achse konstant.

Beweis des Impulsänderungssatzes

Das System bestehe aus materiellen Punkten mit Massen und Beschleunigungen. Alle auf die Körper des Systems wirkenden Kräfte können in zwei Arten unterteilt werden:

Äußere Kräfte - Kräfte, die von Körpern wirken, die nicht im betrachteten System enthalten sind. Die Resultierende äußerer Kräfte, die auf einen materiellen Punkt wirken, mit der Zahl ich bezeichnen.

Innere Kräfte sind die Kräfte, mit denen die Körper des Systems selbst zusammenwirken. Die Kraft, mit der der Punkt mit der Zahl ich Punktnummer ist gültig k, werden wir , und die Aufprallkraft bezeichnen ich-ten Punkt an k-ter Punkt - . Offensichtlich für dann

Unter Verwendung der eingeführten Notation schreiben wir Newtons zweites Gesetz für jeden der betrachteten materiellen Punkte in der Form

Angesichts dessen und indem wir alle Gleichungen des zweiten Newtonschen Gesetzes zusammenfassen, erhalten wir:

Der Ausdruck ist die Summe aller im System wirkenden Schnittgrößen. Nach Newtons drittem Gesetz entspricht in dieser Summe jeder Kraft eine Kraft, so dass und somit erfüllt ist Da die gesamte Summe aus solchen Paaren besteht, ist die Summe selbst gleich Null. So kann man schreiben

Mit der Bezeichnung für den Impuls des Systems erhalten wir

Einführung in die Betrachtung der Änderung des Impulses äußerer Kräfte erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in differentieller Form:

Jede der zuletzt erhaltenen Gleichungen erlaubt uns also zu behaupten: Die Änderung des Impulses des Systems erfolgt nur als Ergebnis der Einwirkung äußerer Kräfte, und innere Kräfte können diesen Wert nicht beeinflussen.

Nachdem wir beide Teile der erhaltenen Gleichheit über ein willkürlich gewähltes Zeitintervall zwischen einigen und integriert haben, erhalten wir den Ausdruck des Satzes über die Änderung des Impulses des Systems in integraler Form:

wo und sind die Werte der Bewegungsmenge des Systems zu den Zeitpunkten bzw. und ist der Impuls äußerer Kräfte über einen bestimmten Zeitraum . In Übereinstimmung mit dem Obigen und der eingeführten Notation,

Differentialgleichung der Bewegung eines materiellen Punktes unter Krafteinwirkung F kann in der folgenden Vektorform dargestellt werden:

Da die Masse eines Punktes m als konstant angenommen wird, kann sie unter dem Vorzeichen der Ableitung eingeführt werden. Dann

Formel (1) drückt den Satz über die Impulsänderung eines Punktes in Differentialform aus: Die erste zeitliche Ableitung des Impulses eines Punktes ist gleich der auf den Punkt wirkenden Kraft.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen (1) lassen sich so darstellen

Wenn beide Seiten von (1) multipliziert werden mit dt, dann erhalten wir eine andere Form desselben Satzes - den Impulssatz in Differentialform:

jene. das Differential des Impulses eines Punktes ist gleich dem Elementarimpuls der auf den Punkt wirkenden Kraft.

Projiziert man beide Teile von (2) auf die Koordinatenachsen, erhält man

Wenn wir beide Teile von (2) von Null bis t (Abb. 1) integrieren, haben wir

wo ist die Geschwindigkeit des Punktes im Moment t; - Geschwindigkeit bei t = 0;

S- Momentum der Kraft im Laufe der Zeit t.

Der Ausdruck in der Form (3) wird oft als Impulssatz in endlicher (oder ganzzahliger) Form bezeichnet: Die Änderung des Impulses eines Punktes über einen beliebigen Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft über denselben Zeitraum.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen lässt sich dieser Satz in folgender Form darstellen:

Für einen materiellen Punkt unterscheidet sich der Satz über die Impulsänderung in keiner der Formen im Wesentlichen von den Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes.

Satz über die Änderung des Impulses des Systems

Der Betrag der Bewegung des Systems wird als Vektorgröße bezeichnet Q, gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) des Impulses aller Punkte des Systems.

Stellen Sie sich ein System vor, bestehend aus n materielle Punkte. Lassen Sie uns Differentialgleichungen der Bewegung für dieses System aufstellen und sie Term für Term addieren. Dann bekommen wir:

Die letzte Summe durch die Eigenschaft der inneren Kräfte ist gleich Null. Außerdem,

Endlich finden wir:

Gleichung (4) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in differentieller Form aus: die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte.

Lassen Sie uns einen anderen Ausdruck des Theorems finden. Lassen Sie im Moment t= 0 ist der Impuls des Systems Q0, und im Moment t1 gleich wird Q1. Dann werden beide Seiten der Gleichheit (4) mit multipliziert dt und Integration erhalten wir:

Oder wo:

(S-Kraftimpuls)

da die Integrale rechts die Impulse äußerer Kräfte angeben,

Gleichung (5) drückt den Satz über die Impulsänderung des Systems in integraler Form aus: Die Änderung der Bewegungsgröße des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der Summe der Impulse äußerer Kräfte, die im selben Zeitraum auf das System einwirken.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen haben wir:

Impulserhaltungssatz

Aus dem Satz über die Änderung des Impulses des Systems lassen sich folgende wichtige Konsequenzen ableiten:

1. Die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte sei gleich Null:

Dann folgt aus Gleichung (4), dass in diesem Fall Q=konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist, ist der Impulsvektor des Systems in Betrag und Richtung konstant.

2. Die auf das System einwirkenden äußeren Kräfte seien so, dass die Summe ihrer Projektionen auf eine Achse (z. B. Ox) gleich Null ist:

Dann folgt aus den Gleichungen (4`), dass in diesem Fall Q = konst.

Auf diese Weise, Wenn die Summe der Projektionen aller wirkenden äußeren Kräfte auf eine Achse gleich Null ist, dann ist die Projektion des Impulses des Systems auf diese Achse ein konstanter Wert.

Diese Ergebnisse drücken aus Gesetz der Impulserhaltung des Systems. Daraus folgt, dass innere Kräfte den Gesamtimpuls des Systems nicht verändern können.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

· Ph e n i e des Rückstoßes oder Rückstoßes. Wenn wir ein Gewehr und eine Kugel als ein System betrachten, dann ist der Druck der Pulvergase beim Abfeuern eine innere Kraft. Diese Kraft kann den Gesamtimpuls des Systems nicht ändern. Da aber die Treibgase, die auf das Geschoss einwirken, diesem eine gewisse nach vorne gerichtete Bewegung verleihen, müssen sie dem Gewehr gleichzeitig die gleiche Bewegung in die entgegengesetzte Richtung mitteilen. Dadurch bewegt sich das Gewehr rückwärts, d.h. sogenannte Rücksendung. Ein ähnliches Phänomen tritt auf, wenn aus einer Waffe geschossen wird (Rollback).

· Betrieb des Propellers (Propeller). Der Propeller informiert eine bestimmte Masse Luft (oder Wasser) über Bewegung entlang der Achse des Propellers und wirft diese Masse zurück. Wenn wir die ausgestoßene Masse und das Flugzeug (oder Schiff) als ein System betrachten, dann können die Wechselwirkungskräfte des Propellers und des Mediums als interne den Gesamtimpuls dieses Systems nicht ändern. Wenn also eine Luftmasse (Wasser) zurückgeworfen wird, erhält das Flugzeug (oder Schiff) die entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit, so dass der Gesamtimpuls des betrachteten Systems gleich Null bleibt, da er vor Beginn der Bewegung Null war .

Ein ähnlicher Effekt wird durch die Wirkung von Rudern oder Schaufelrädern erzielt.

· Raketenantrieb: In einem Raketenprojektil (Rakete) werden gasförmige Verbrennungsprodukte von Kraftstoff mit hoher Geschwindigkeit aus einem Loch im Heck der Rakete (aus der Düse eines Strahltriebwerks) ausgestoßen. Die in diesem Fall wirkenden Druckkräfte sind innere Kräfte und können den Gesamtimpuls des Raketen-Pulvergas-Systems nicht ändern. Da aber die austretenden Gase eine gewisse nach hinten gerichtete Bewegung haben, erhält die Rakete in diesem Fall die entsprechende Vorwärtsgeschwindigkeit.

Satz der Momente um die Achse.

Betrachten Sie einen materiellen Massenpunkt m sich unter dem Einfluss einer Kraft bewegen F. Finden wir dafür die Abhängigkeit zwischen dem Moment der Vektoren mV und Füber eine feste Z-Achse.

mz (F) = xF - yF (7)

Ebenso für die Menge m (mV), falls herausgenommen m Klammer wird

m z (mV) \u003d m (xV - yV)(7`)

Nehmen wir Zeitableitungen beider Seiten dieser Gleichheit, finden wir

Auf der rechten Seite des resultierenden Ausdrucks ist die erste Klammer 0, da dx/dt=V und dу/dt=V, während die zweite Klammer gemäß Formel (7) gleich ist

mz (F), denn nach dem Grundgesetz der Dynamik gilt:

Endlich haben wir (8)

Die resultierende Gleichung drückt den Satz der Momente um die Achse aus: die zeitliche Ableitung des Drehimpulses eines Punktes um eine Achse ist gleich dem Moment der wirkenden Kraft um dieselbe Achse. Ein ähnlicher Satz gilt auch für Momente um jedes Zentrum O.

(Fragmente einer mathematischen Symphonie)

Der Zusammenhang des Kraftimpulses mit der Grundgleichung der Newtonschen Dynamik wird durch den Satz über die Impulsänderung eines materiellen Punktes ausgedrückt.

Satz. Die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes für einen bestimmten Zeitraum ist gleich dem Impuls der Kraft (), die für denselben Zeitraum auf den materiellen Punkt wirkt. Der mathematische Beweis dieses Theorems kann als Fragment einer mathematischen Symphonie bezeichnet werden. Da ist er.

Der Differenzimpuls eines materiellen Punktes ist gleich dem Elementarimpuls der auf den materiellen Punkt wirkenden Kraft. Wenn wir den Ausdruck (128) für das Impulsdifferential eines materiellen Punktes integrieren, haben wir

(129)

Das Theorem ist bewiesen und Mathematiker betrachten ihre Mission als erfüllt, und Ingenieure, deren Schicksal es ist, Mathematikern heilig zu glauben, haben Fragen, wenn sie die bewiesene Gleichung (129) verwenden. Aber sie sind fest blockiert durch die Abfolge und Schönheit mathematischer Handlungen (128 und 129), die uns faszinieren und uns ermutigen, sie als Fragment einer mathematischen Symphonie zu bezeichnen. Wie viele Generationen von Ingenieuren stimmten den Mathematikern zu und zitterten vor dem Geheimnis ihrer mathematischen Symbole! Aber dann gab es einen Ingenieur, der den Mathematikern widersprach und ihnen Fragen stellte.

Liebe Mathematiker! Warum behandelt keines Ihrer Lehrbücher zur theoretischen Mechanik den Prozess der Anwendung Ihres symphonischen Ergebnisses (129) in der Praxis, beispielsweise bei der Beschreibung des Beschleunigungsprozesses eines Autos? Die linke Seite von Gleichung (129) ist extrem klar. Das Auto beginnt mit der Beschleunigung ab einer Geschwindigkeit und beendet sie beispielsweise bei einer Geschwindigkeit von . Es ist ganz natürlich, dass Gleichung (129) wird

Und sofort stellt sich die erste Frage: Wie lässt sich aus Gleichung (130) die Kraft ermitteln, unter deren Einfluss das Auto auf eine Geschwindigkeit von 10 m/s beschleunigt wird? Auf diese Frage gibt es in keinem der unzähligen Lehrbücher der Theoretischen Mechanik eine Antwort. Gehen wir weiter. Nach dem Beschleunigen beginnt sich das Auto gleichmäßig mit der erreichten Geschwindigkeit von 10m/s zu bewegen. Welche Kraft treibt das Auto an? Mir bleibt nichts anderes übrig, als mit den Mathematikern rot zu werden. Das erste Gesetz der Newtonschen Dynamik besagt, dass, wenn sich ein Auto gleichmäßig bewegt, keine Kräfte auf es einwirken, und das Auto, bildlich gesprochen, auf dieses Gesetz niest, Benzin verbraucht und arbeitet, indem es beispielsweise eine Strecke von 100 km zurücklegt. Und wo ist die Kraft, die das Auto 100 km weit bewegt hat? Die symphonische mathematische Gleichung (130) schweigt, aber das Leben geht weiter und verlangt nach einer Antwort. Wir fangen an, danach zu suchen.

Da sich das Auto in einer geraden Linie und gleichmäßig bewegt, ist die Kraft, die es bewegt, in Größe und Richtung konstant, und Gleichung (130) wird

(131)

Gleichung (131) beschreibt in diesem Fall also die beschleunigte Bewegung des Körpers. Wie groß ist die Kraft? Wie kann man seine Veränderung im Laufe der Zeit ausdrücken? Mathematiker ziehen es vor, diese Frage zu umgehen und sie den Ingenieuren zu überlassen, weil sie glauben, dass sie nach der Antwort auf diese Frage suchen sollten. Ingenieuren bleibt eine Möglichkeit übrig - zu berücksichtigen, dass, wenn nach Beendigung der beschleunigten Bewegung des Körpers eine Phase gleichförmiger Bewegung einsetzt, die von einer konstanten Kraft begleitet wird, Gleichung (131) für den Moment des Übergangs aus darstellt in dieser Form zu einer gleichförmigen Bewegung beschleunigt

(132)

Der Pfeil in dieser Gleichung bedeutet nicht das Ergebnis der Integration dieser Gleichung, sondern den Prozess des Übergangs von ihrer integralen Form zu einer vereinfachten Form. Die Kraft in dieser Gleichung entspricht der durchschnittlichen Kraft, die den Impuls des Körpers von Null auf den Endwert geändert hat. Also, liebe Mathematiker und theoretische Physiker, das Fehlen Ihrer Methode zur Bestimmung der Größe Ihres Impulses zwingt uns, das Verfahren zur Bestimmung der Kraft zu vereinfachen, und das Fehlen einer Methode zur Bestimmung der Dauer dieser Kraft bringt uns im Allgemeinen in eine hoffnungslose Situation Situation und wir sind gezwungen, den Ausdruck zu verwenden, um den Prozess der Veränderung des Schwungs des Körpers zu analysieren. Je länger also die Kraft wirkt, desto größer ist ihr Impuls. Dies widerspricht eindeutig den althergebrachten Vorstellungen, dass der Kraftimpuls umso größer ist, je kürzer die Zeit seiner Einwirkung ist.

Beachten wir, dass die Änderung des Impulses eines materiellen Punktes (Kraftimpuls) während seiner beschleunigten Bewegung unter der Wirkung der Newtonschen Kraft und der Widerstandskräfte gegen die Bewegung in Form von Kräften erfolgt, die durch mechanische Widerstände gebildet werden und die Trägheitskraft. Aber die Newtonsche Dynamik ignoriert bei der überwiegenden Mehrheit der Probleme die Trägheitskraft, und die Mechanodynamik behauptet, dass die Änderung des Impulses eines Körpers während seiner beschleunigten Bewegung auf den Überschuss der Newtonschen Kraft über die Widerstandskräfte gegen die Bewegung zurückzuführen ist, einschließlich der Trägheitskraft.

Wenn sich ein Körper in Zeitlupe bewegt, zum Beispiel ein Auto mit ausgeschaltetem Gang, gibt es keine Newtonsche Kraft, und die Änderung des Impulses des Autos erfolgt aufgrund des Überschusses der Widerstandskräfte gegen die Bewegung über die Trägheitskraft die das Auto während seiner Zeitlupe bewegt.

Wie kann man nun die Ergebnisse der erwähnten "symphonischen" mathematischen Operationen (128) in den Kanal der Ursache-Wirkungs-Beziehungen zurückführen? Es gibt nur einen Ausweg - eine neue Definition für die Begriffe "Kraftimpuls" und "Stoßkraft" zu finden. Dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung (132) durch die Zeit t. Als Ergebnis werden wir haben

. (133)

Beachten wir, dass der Ausdruck mV / t die Änderungsrate des Impulses (mV / t) eines materiellen Punktes oder Körpers ist. Wenn wir berücksichtigen, dass V / t die Beschleunigung ist, dann ist mV / t eine Kraft, die den Impuls des Körpers ändert. Die gleiche Dimension links und rechts vom Gleichheitszeichen gibt uns das Recht, die Kraft F als Stoßkraft zu bezeichnen und mit dem Symbol zu bezeichnen, und den Impuls S- als Stoßimpuls und mit dem Symbol zu bezeichnen. Daraus folgt eine neue Definition der Stoßkraft. Die Stoßkraft, die auf einen materiellen Punkt oder Körper wirkt, ist gleich dem Verhältnis der Impulsänderung des materiellen Punktes oder Körpers zum Zeitpunkt dieser Änderung.

Achten wir besonders darauf, dass nur die Newtonsche Kraft an der Bildung des Stoßimpulses (134) beteiligt ist, der die Geschwindigkeit des Autos von Null auf den Maximalwert verändert hat - daher gehört Gleichung (134) vollständig dazu Newtonsche Dynamik. Da es viel einfacher ist, den Geschwindigkeitswert experimentell festzulegen als Beschleunigungen, ist Formel (134) für Berechnungen sehr praktisch.

Gleichung (134) impliziert solch ein ungewöhnliches Ergebnis.

Beachten wir, dass nach den neuen Gesetzen der Mechanodynamik der Erzeuger des Kraftimpulses bei der beschleunigten Bewegung eines materiellen Punktes oder Körpers die Newtonsche Kraft ist. Es erzeugt eine Beschleunigung der Bewegung eines Punktes oder Körpers, bei der automatisch eine Trägheitskraft entsteht, die der Newtonschen Kraft entgegengerichtet ist, und die auftreffende Newtonsche Kraft muss die Wirkung der Trägheitskraft überwinden, daher muss die Trägheitskraft in dargestellt werden das Kräftegleichgewicht auf der linken Seite von Gleichung (134). Da die Trägheitskraft gleich der Masse eines Punktes oder Körpers ist, multipliziert mit der Verzögerung , die er bildet, wird Gleichung (134).

(136)

Liebe Mathematiker! Sie können sehen, wie das mathematische Modell den Schockimpuls beschreibt, der die Bewegung des getroffenen Körpers von der Geschwindigkeit Null auf das maximale V beschleunigt (11). Lassen Sie uns nun seine Arbeit bei der Bestimmung des Aufprallimpulses überprüfen, der gleich der Aufprallkraft ist, die das 2. UGS-Triebwerk (Abb. 120) abgefeuert hat, und wir überlassen Ihnen Ihre nutzlose Gleichung (132). Um die Darstellung nicht zu erschweren, lassen wir die Formel (134) vorerst in Ruhe und verwenden die Formeln, die die gemittelten Werte der Kräfte liefern. Sie sehen, in welche Position Sie einen Ingenieur bringen, der ein bestimmtes Problem lösen möchte.

Beginnen wir mit der Newtonschen Dynamik. Die Experten stellten fest, dass das 2. Triebwerk auf eine Höhe von 14 m aufstieg. Da es im Gravitationsfeld aufstieg, stellte sich heraus, dass seine potenzielle Energie in einer Höhe von h = 14 m gleich war

und die durchschnittliche kinetische Energie war

Reis. 120. Foto des Maschinenraums vor der Katastrophe

Aus der Gleichheit von kinetischer (138) und potentieller (137) Energie folgt die mittlere Hubgeschwindigkeit des Triebwerks (Abb. 121, 122)

Reis. 121. Photon des Maschinenraums nach der Katastrophe

Nach den neuen Gesetzen der Mechanodynamik bestand der Anstieg des Triebwerks aus zwei Phasen (Abb. 123): der ersten Phase OA - beschleunigter Anstieg und der zweiten Phase AB - langsamer Anstieg , , .

Die Zeit und Entfernung ihrer Aktion sind ungefähr gleich (). Dann wird die kinematische Gleichung der beschleunigten Hubphase des Triebwerks geschrieben als

. (140)

Reis. 122. Blick auf den Brunnen des Triebwerks und das Triebwerk selbst nach der Katastrophe

Das Änderungsgesetz der Hubgeschwindigkeit des Antriebsaggregats in der ersten Phase hat die Form

. (141)

Reis. 123. Das Änderungsmuster der Geschwindigkeit V des Fluges des Triebwerks

Durch Einsetzen der Zeit aus Gleichung (140) in Gleichung (141) haben wir

. (142)

Die Blockhebezeit in der ersten Phase wird aus der Formel (140) bestimmt

. (143)

Dann beträgt die Gesamtzeit zum Anheben des Antriebsaggregats auf eine Höhe von 14 m . Die Masse des Triebwerks und der Abdeckung beträgt 2580 Tonnen. Nach Newtons Dynamik ist die Kraft, die das Triebwerk anhebt, gleich

Liebe Mathematiker! Wir folgen Ihren symphonischen mathematischen Ergebnissen und schreiben Ihre Formel (129) auf, die sich aus der Newtonschen Dynamik ergibt, um den Stoßimpuls zu bestimmen, der das 2. Triebwerk gezündet hat

und eine elementare Frage stellen: Wie bestimmt man die Dauer des Stoßimpulses, der das 2. Triebwerk gezündet hat????????????

Lieb!!! Denken Sie daran, wie viel Kreide die Generationen Ihrer Kollegen in die Bildungstafeln geschrieben haben, indem sie den Schülern abstrus beigebracht haben, wie man den Schlagimpuls bestimmt, und niemand erklärt hat, wie man die Dauer des Schlagimpulses in jedem einzelnen Fall bestimmt. Sie werden sagen, die Dauer des Aufprallimpulses ist gleich dem Zeitintervall für die Änderung der Geschwindigkeit des Triebwerks von Null auf, nehmen wir an, den Maximalwert von 16,75 m/s (139). Sie steht in Formel (143) und ist gleich 0,84 s. Wir stimmen Ihnen vorerst zu und ermitteln den Mittelwert des Stoßimpulses

Es stellt sich sofort die Frage: Warum ist die Größe des Stoßimpulses (146) kleiner als die Newtonsche Kraft von 50600 Tonnen? Die Antwort, Sie, liebe Mathematiker, nein. Gehen wir weiter.

Nach Newtons Dynamik ist die Hauptkraft, die dem Anheben des Triebwerks Widerstand leistet, die Schwerkraft. Da diese Kraft gegen die Bewegung des Triebwerks gerichtet ist, erzeugt sie eine Verzögerung, die gleich der Fallbeschleunigung ist. Dann ist die auf das nach oben fliegende Triebwerk wirkende Gravitationskraft gleich

Die Dynamik von Newton berücksichtigt keine anderen Kräfte, die die Wirkung der Newtonschen Kraft von 50600 Tonnen (144) verhinderten, und die Mechanodynamik behauptet, dass die Trägheitskraft gleich ist

Es stellt sich sofort die Frage: Wie kann man die Größe der Verzögerung der Bewegung des Triebwerks ermitteln? Newtons Dynamik schweigt, und die Mechanodynamik antwortet: Im Moment der Wirkung der Newtonschen Kraft, die das Triebwerk anhob, wurde ihr widerstanden: Schwerkraft und Trägheit, daher lautet die Gleichung der Kräfte, die in diesem Moment auf das Triebwerk wirken, wie folgt.

Stellen Sie sich ein System vor, das aus materiellen Punkten besteht. Stellen wir für dieses System Differentialgleichungen der Bewegung (13) auf und addieren sie Term für Term. Dann bekommen wir

Die letzte Summe durch die Eigenschaft der inneren Kräfte ist gleich Null. Außerdem,

Endlich finden wir

Gleichung (20) drückt den Satz über die Änderung des Impulses des Systems in Differentialform aus: Die zeitliche Ableitung des Impulses des Systems ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte. In Projektionen auf die Koordinatenachsen wird es sein:

Lassen Sie uns einen anderen Ausdruck des Theorems finden. Lassen Sie zu dem Zeitpunkt den Impuls des Systems gleich sein und zu dem Zeitpunkt gleich werden. Wenn wir dann beide Seiten der Gleichheit (20) mit multiplizieren und integrieren, erhalten wir

da die Integrale auf der rechten Seite die Impulse äußerer Kräfte wiedergeben.

Gleichung (21) drückt den Satz über die Änderung des Impulses des Systems in integraler Form aus: Die Änderung des Impulses des Systems über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der Summe der auf das System einwirkenden Impulse von äußeren Kräften über gleichen Zeitraum.

In Projektionen auf die Koordinatenachsen wird es sein:

Weisen wir auf den Zusammenhang zwischen dem bewiesenen Satz und dem Satz über die Bewegung des Massenmittelpunktes hin. Da dann diesen Wert in Gleichheit (20) einsetzen und berücksichtigen, dass wir erhalten, d. h. Gleichung (16).

Daher sind der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts und der Satz über die Änderung des Impulses des Systems im Wesentlichen zwei verschiedene Formen desselben Satzes. In Fällen, in denen die Bewegung eines starren Körpers (oder eines Systems von Körpern) untersucht wird, kann jede dieser Formen gleichermaßen verwendet werden, und Gleichung (16) ist normalerweise bequemer zu verwenden. Für ein kontinuierliches Medium (Flüssigkeit, Gas) verwenden sie beim Lösen von Problemen normalerweise den Satz über die Änderung des Impulses des Systems. Dieser Satz hat auch wichtige Anwendungen in der Stoßtheorie (siehe Kapitel XXXI) und in der Untersuchung des Strahlantriebs (siehe § 114).