مقدمة

في علم الحركة، يتم النظر في وصف أبسط الأنواع الحركات الميكانيكية. ولم تتم معالجة الأسباب تسبب التغييرموضع الجسم بالنسبة للأجسام الأخرى، ويتم اختيار النظام المرجعي لأسباب تتعلق بالملاءمة عند حل مشكلة معينة. في الديناميكيات، أولا وقبل كل شيء، فإن الأسباب التي تجعل بعض الهيئات تبدأ في التحرك بالنسبة للأجسام الأخرى، وكذلك العوامل التي تسبب ظهور التسارع، هي ذات أهمية. ومع ذلك، فإن القوانين في الميكانيكا، بالمعنى الدقيق للكلمة، لها أشكال مختلفة في أنظمة مرجعية مختلفة. لقد ثبت أن هناك أنظمة مرجعية لا تعتمد فيها القوانين والأنماط على اختيار النظام المرجعي. تسمى هذه الأنظمة المرجعية أنظمة القصور الذاتي(ايزو). في هذه الأنظمة المرجعية، يعتمد حجم التسارع فقط القوى النشطةولا يعتمد على اختيار النظام المرجعي. الإطار المرجعي بالقصور الذاتي هو الإطار المرجعي لمركزية الشمسالذي أصله يقع في مركز الشمس. الأنظمة المرجعية التي تتحرك بشكل مستقيم بشكل منتظم بالنسبة لنظام القصور الذاتي هي أيضًا بالقصور الذاتي، والأنظمة المرجعية التي تتحرك بتسارع بالنسبة لنظام القصور الذاتي هي أيضًا غير بالقصور الذاتي. ولهذه الأسباب، فإن سطح الأرض، بالمعنى الدقيق للكلمة، هو إطار مرجعي غير قصوري. في العديد من المسائل، يمكن اعتبار الإطار المرجعي المرتبط بالأرض قصوريًا بدرجة جيدة من الدقة.

القوانين الأساسية للديناميكيات في القصور الذاتي وغير القصور الذاتي

الأنظمة المرجعية

قدرة الجسم على الحفاظ على حالة موحدة حركة مستقيمةأو تقع في ISO، ويسمى الجمود في الجسم. مقياس القصور الذاتي للجسم هو وزن. الكتلة هي كمية عددية، تقاس بالكيلوجرام (كجم) في نظام SI. مقياس التفاعل هو كمية تسمى بالقوة. القوة هي كمية متجهة، تقاس بالنيوتن (N) في نظام SI.

قانون نيوتن الأول. في الأنظمة المرجعية بالقصور الذاتي، تتحرك النقطة بشكل منتظم في خط مستقيم أو تكون في حالة سكون إذا كان مجموع كل القوى المؤثرة عليها يساوي الصفر، أي:

أين هي القوى المؤثرة على نقطة معينة؟

قانون نيوتن الثاني. في أنظمة القصور الذاتي يتحرك الجسم بتسارع إذا كان مجموع كل القوى المؤثرة عليه لا يساوي الصفر، ويكون حاصل ضرب كتلة الجسم وتسارعه يساوي مجموع هذه القوى، أي:

قانون نيوتن الثالث. إن القوى التي تؤثر بها الأجسام على بعضها البعض متساوية في المقدار ومتعاكسة في الاتجاه، أي: .

القوى، كمقاييس للتفاعل، تولد دائمًا في أزواج.

ل الحل الناجحتتطلب معظم المشكلات التي تستخدم قوانين نيوتن الالتزام بتسلسل معين من الإجراءات (نوع من الخوارزمية).

النقاط الرئيسية للخوارزمية.

1. تحليل حالة المشكلة ومعرفة الهيئات التي يتفاعل معها الجسم المعني. بناءً على ذلك، حدد مقدار القوى المؤثرة على الجسم المعني. لنفترض أن عدد القوى المؤثرة على الجسم يساوي . ثم قم بعمل رسم تخطيطي صحيح لرسم جميع القوى المؤثرة على الجسم.

2. باستخدام شرط المشكلة، حدد اتجاه تسارع الجسم المعني، ثم قم بتصوير متجه التسارع في الشكل.

3. اكتب قانون نيوتن الثاني في صورة متجهة، أي:

أين القوى المؤثرة على الجسم.

4. اختر نظام بالقصور الذاتيالعد التنازلي. ارسم في الشكل نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل، حيث يتم توجيه محور OX على طول متجه التسارع، ويتم توجيه محور OY وOZ بشكل عمودي على محور OX.

5. باستخدام الخاصية الأساسية لمساواة المتجهات، اكتب قانون نيوتن الثاني لإسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات، أي:

6. إذا كان في مشكلة ما، بالإضافة إلى القوى والتسارع، من الضروري تحديد الإحداثيات والسرعة، فبالإضافة إلى قانون نيوتن الثاني، من الضروري أيضًا استخدام المعادلات الحركية للحركة. بعد كتابة نظام المعادلات، من الضروري الانتباه إلى حقيقة أن عدد المعادلات يساوي عدد المجهول في هذه المشكلة.

دعونا نفكر في إطار مرجعي غير قصوري يدور بسرعة زاوية ثابتة حول محور يتحرك انتقاليًا بسرعة نسبة إلى الإطار القصوري. في هذه الحالة، يرتبط تسارع نقطة في الإطار بالقصور الذاتي () بالتسارع في الإطار غير بالقصور الذاتي () بالعلاقة:

حيث هو تسارع النظام غير بالقصور الذاتي نسبة إلى النظام بالقصور الذاتي، والسرعة الخطية لنقطة في النظام غير بالقصور الذاتي. من العلاقة الأخيرة، بدلا من التسارع، نعوض بالمساواة (1)، نحصل على التعبير:

وتسمى هذه النسبة قانون نيوتن الثاني في الإطار المرجعي غير القصوري.

قوى القصور الذاتي. دعونا نقدم التدوين التالي:

1. – قوة القصور الذاتي إلى الأمام;

2. – قوة كوريوليس;

3 – قوة الطرد المركزي من الجمود.

في المشاكل، يتم تصوير القوة الانتقالية للقصور الذاتي مقابل المتجه من خلال تسارع الحركة الانتقالية لإطار مرجعي غير بالقصور الذاتي ()، ويتم تمثيل قوة الطرد المركزي للقصور الذاتي من مركز الدوران على طول نصف القطر ()؛ يتم تحديد اتجاه قوة كوريوليس من خلال القاعدة المثقابل منتج ناقلاتثلاثة أبعاد

بالمعنى الدقيق للكلمة، قوى القصور الذاتي ليست كذلك بكل معنى الكلمةالقوات، لأن قانون نيوتن الثالث لا ينطبق عليهم، أي. لم يتم إقرانهما.

القوى

قوة الجاذبية العالمية. تنشأ قوة الجاذبية العامة من عملية التفاعل بين الأجسام ذات الكتل ويتم حسابها من العلاقة:

. (4)

يسمى معامل التناسب ثابت الجاذبية. قيمتها في نظام SI تساوي .

قوة رد الفعل. تنشأ قوى رد الفعل عندما يتفاعل الجسم مع هياكل مختلفة تحد من موقعه في الفضاء. على سبيل المثال، الجسم المعلق على خيط تؤثر عليه قوة رد فعل، تسمى عادة القوة توتر. يتم دائمًا توجيه قوة شد الخيط على طول الخيط.لا توجد صيغة لحساب قيمتها. عادةً ما يتم العثور على قيمتها إما من قانون نيوتن الأول أو الثاني. تشمل قوى رد الفعل أيضًا القوى المؤثرة على جسيم موجود على سطح أملس. يسمونها قوى طبيعيةتفاعلات، تدل. يتم توجيه قوة رد الفعل دائمًا بشكل عمودي على السطح قيد النظر. تسمى القوة المؤثرة على سطح أملس من جانب الجسم قوة الضغط العادية(). ووفقا لقانون نيوتن الثالث، فإن قوة رد الفعل تساوي في المقدار قوة الضغط العمودي، ولكن متجهات هذه القوى متعاكسة في الاتجاه.

قوة مرنة. تنشأ قوى مرنة في الأجسام إذا تشوهت الأجسام، أي. إذا تغير شكل الجسم أو حجمه. وعندما يتوقف التشوه، تختفي القوى المرنة. تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن القوى المرنة تنشأ أثناء تشوه الأجسام، إلا أن التشوه لا يؤدي دائمًا إلى ظهور القوى المرنة. تنشأ القوى المرنة في الأجسام القادرة على استعادة شكلها بعد توقف التأثير الخارجي. تسمى هذه الأجسام والتشوهات المقابلة لها المرن. مع تشوه البلاستيك، لا تختفي التغييرات تماما بعد توقف التأثير الخارجي. مثال صارخيمكن أن تكون مظاهر القوى المرنة هي القوى الناشئة في الينابيع المعرضة للتشوه. بالنسبة للتشوهات المرنة التي تحدث في الأجسام المشوهة، تكون القوة المرنة دائمًا متناسبة مع حجم التشوه، أي:

, (5)

أين هو معامل المرونة (أو الصلابة) للزنبرك، وهو ناقل تشوه الزنبرك.

ويسمى هذا البيان قانون هوك.

قوة الإحتكاك. عندما يتحرك جسم على سطح جسم آخر، تنشأ قوى تعيق هذه الحركة. عادة ما تسمى هذه القوى قوى الاحتكاك المنزلقة. يمكن أن يختلف حجم قوة الاحتكاك الساكن اعتمادًا على القوة الخارجية المطبقة. عند قيمة معينة للقوة الخارجية، تصل قوة الاحتكاك الساكن إلى قيمتها القصوى. بعد ذلك، يبدأ الجسم في الانزلاق. لقد ثبت تجريبيًا أن قوة الاحتكاك المنزلق تتناسب طرديًا مع قوة الضغط الطبيعي للجسم على السطح.وفقًا لقانون نيوتن الثالث، فإن قوة الضغط الطبيعي لجسم على سطح ما تساوي دائمًا قوة رد الفعل التي يؤثر بها السطح نفسه على جسم متحرك. مع أخذ ذلك في الاعتبار، فإن صيغة حساب حجم قوة الاحتكاك المنزلقة لها الشكل:

, (6)

أين هو حجم قوة رد الفعل؟ معامل الاحتكاك المنزلق. إن قوة الاحتكاك المنزلقة المؤثرة على الجسم المتحرك تكون دائمًا موجهة ضد سرعته، على طول الأسطح المتلامسة.

قوة المقاومة. عندما تتحرك الأجسام في السوائل والغازات، تنشأ أيضًا قوى الاحتكاك، ولكنها تختلف بشكل كبير عن قوى الاحتكاك الجاف. تسمى هذه القوى قوى الاحتكاك اللزج، أو قوى المقاومة. تنشأ قوى الاحتكاك اللزج فقط عندما الحركة النسبيةالهاتف. تعتمد قوى المقاومة على عوامل كثيرة، وهي: على حجم الأجسام وشكلها، على خصائص الوسط (الكثافة، اللزوجة)، على سرعة الحركة النسبية. عند السرعات المنخفضة تتناسب قوة السحب طرديا مع سرعة الجسم بالنسبة للوسط، أي:

. (7)

عند السرعات العالية تتناسب قوة السحب طرديا مع مربع سرعة الجسم بالنسبة إلى الوسط، أي:

, (8)

حيث تسمى بعض معاملات التناسب معاملات المقاومة.

المعادلة الأساسية للديناميكيات

المعادلة الأساسية لديناميات نقطة مادية ليست أكثر من التعبير الرياضيقانون نيوتن الثاني:

. (9)

في الإطار المرجعي بالقصور الذاتي، يشمل مجموع القوى فقط القوى التي تعتبر مقاييس للتفاعلات؛ وفي الإطارات غير بالقصور الذاتي، يشمل مجموع القوى قوى القصور الذاتي.

من وجهة نظر رياضية، العلاقة (9) هي معادلة تفاضلية لحركة نقطة في شكل متجه. حلها هو المشكلة الرئيسية لديناميات النقطة المادية.

أمثلة على حل المشكلات

المهمة رقم 1. يتم وضع الزجاج على قطعة من الورق. ما التسارع الذي يجب أن تتحرك به الورقة لسحبها من تحت الزجاج، إذا كان معامل الاحتكاك بين الزجاج والورقة يساوي 0.3؟

لنفترض أنه مع وجود بعض القوة المؤثرة على قطعة من الورق، يتحرك الزجاج مع الورقة. دعونا نصور بشكل منفصل القوى المؤثرة على كوب له كتلة. تعمل الأجسام التالية على الزجاج: الأرض بقوة الجاذبية، ورقة بقوة رد فعل، ورقة بقوة احتكاك موجهة على طول سرعة حركة الزجاج. يتم تسريع حركة الزجاج بشكل موحد، وبالتالي يتم توجيه ناقل التسارع على طول سرعة حركة الزجاج.

دعونا نصور ناقل تسارع الزجاج في الشكل. لنكتب قانون نيوتن الثاني في الصورة المتجهة للقوى المؤثرة على الزجاج:

.

دعونا نوجه محور OX على طول متجه تسارع الزجاج، ومحور OY ¾ عموديًا لأعلى. لنكتب قانون نيوتن الثاني بإسقاطات على محاور الإحداثيات هذه ونحصل على المعادلات التالية:

(1.1)

مع زيادة القوة المؤثرة على الورقة، يزداد مقدار قوة الاحتكاك التي تؤثر بها الورقة على الزجاج. عند قيمة معينة للقوة، يصل حجم قوة الاحتكاك إلى قيمته القصوى، والتي تساوي قوة الاحتكاك المنزلقة. من هذه اللحظة يبدأ الزجاج بالانزلاق بالنسبة لسطح الورقة. ترتبط القيمة الحدية لقوة الاحتكاك بقوة التفاعل المؤثرة على الزجاج كما يلي:

من المساواة (1.2) نعبر عن مقدار قوة رد الفعل، ثم نعوض بها في العلاقة الأخيرة، لدينا. ومن العلاقة الناتجة نجد مقدار قوة الاحتكاك ونساويها (1.1)، نحصل على تعبير لتحديد أقصى تسارع للزجاج:

بالتعويض بالقيم العددية للكميات في المساواة الأخيرة نجد قيمة التسارع الأقصى للزجاج:

.

قيمة التسارع الناتجة للزجاج تساوي الحد الأدنى لتسارع ورقة يمكن "سحبها" من تحت الزجاج.

إجابة: .

دعونا نصور جميع القوى المؤثرة على الجسم. بالإضافة إلى القوة الخارجية، تؤثر على الجسم قوة الجاذبية الأرضية، والسطح الأفقي بقوة رد الفعل، وقوة الاحتكاك الموجهة ضد سرعة الجسم. يتحرك الجسم بشكل متسارع بشكل موحد، وبالتالي، يتم توجيه ناقل التسارع على طول سرعة الحركة. دعونا نصور المتجه في الشكل. نختار نظام الإحداثيات كما هو موضح في الشكل. نكتب قانون نيوتن الثاني على شكل متجه:

.

باستخدام الخاصية الرئيسية للمساواة المتجهات، نكتب معادلات لإسقاطات المتجهات المضمنة في المساواة المتجهات الأخيرة:

نكتب العلاقة بين قوة الاحتكاك المنزلقة

ومن المساواة (2.2) نجد مقدار قوة رد الفعل

من التعبير الناتج نعوض بالمساواة (2.3) بدلاً من مقدار قوة رد الفعل نحصل على التعبير

باستبدال التعبير الناتج عن قوة الاحتكاك بالمساواة (2.1)، سيكون لدينا صيغة لحساب تسارع الجسم:

نستبدل البيانات الرقمية في نظام SI في الصيغة الأخيرة ونجد مقدار تسارع الحمل:

إجابة: .

للحصول على الحد الأدنى من القوة، نحدد اتجاه قوة الاحتكاك المؤثرة على الكتلة الساكنة. لنتخيل أن القوة أقل من الحد الأدنى من القوة الكافية لبقاء الجسم في حالة سكون. في هذه الحالة، سيتحرك الجسم إلى الأسفل، وسيتم توجيه قوة الاحتكاك المطبقة عليه عموديًا إلى الأعلى. من أجل إيقاف الجسم، تحتاج إلى زيادة حجم القوة المطبقة. بالإضافة إلى ذلك، فإن هذا الجسم تتأثر به الأرض بقوة الجاذبية الموجهة عموديًا إلى الأسفل، وكذلك بواسطة جدار بقوة رد الفعل الموجهة أفقيًا إلى اليسار. دعونا نصور في الشكل جميع القوى المؤثرة على الجسم. لنأخذ نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، والذي سيتم توجيه محاوره كما هو موضح في الشكل. بالنسبة للجسم الساكن، نكتب قانون نيوتن الأول في صورة متجهة:

.

بالنسبة لمساواة المتجهات التي تم العثور عليها، نكتب المساواة في إسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات، ونحصل على المعادلات التالية:

عند أدنى قيمة للقوة الخارجية، يصل حجم قوة الاحتكاك الساكن إلى قيمة عظمى تساوي حجم قوة الاحتكاك المنزلقة:

ومن المساواة (3.1) نجد مقدار قوة رد الفعل ونعوض بها في المساواة (3.3) فنحصل على التعبير التالي لقوة الاحتكاك:

.

دعونا نستبدل قوة الاحتكاك بالمساواة (3.2) الجانب الأيمنفي علاقة معينة، نحصل على صيغة لحساب حجم القوة المطبقة:

ومن الصيغة الأخيرة نجد مقدار القوة:

.

إجابة: .

دعونا نصور جميع القوى المؤثرة على كرة تتحرك رأسيًا إلى أسفل في الهواء. تؤثر عليه الأرض بقوة الجاذبية والهواء بقوة المقاومة. دعونا نصور القوى المذكورة في الشكل. في اللحظة الأولى من الزمن، يكون لمحصلة جميع القوى قيمة قصوى، حيث أن سرعة الكرة تساوي صفرًا وقوة المقاومة تساوي صفرًا أيضًا. في هذه اللحظة، تتمتع الكرة بأقصى تسارع يساوي . مع تحرك الكرة، تزداد سرعتها، وبالتالي تزداد قوة مقاومة الهواء. وفي وقت ما، تصل قوة المقاومة إلى قيمة تساوي قوة الجاذبية. من هذه النقطة الزمنية تتحرك الكرة بشكل موحد. لنكتب قانون نيوتن الأول في صورة متجهة للحركة المنتظمة للكرة:

.

دعونا نوجه محور OY عموديًا إلى الأسفل. بالنسبة لهذه المساواة المتجهة، دعونا نكتب المساواة لإسقاطات المتجهات على محور OY:

. (4.1)

وتعتمد قوة المقاومة على مساحة مقطع الكرة ومقدار سرعتها كما يلي:

, (4.2)

أين هو معامل التناسب الذي يسمى معامل المقاومة.

من المتساويات (4.1) و (4.2) تتبع العلاقة التالية:

. (4.3)

دعونا نعبر عن كتلة الكرة من خلال كثافتها وحجمها، والحجم بدوره من خلال نصف قطر الكرة:

. (4.4)

من التعبير المعطىنجد الكتلة ونعوض بها في المساواة (4.3) نحصل على المساواة التالية:

. (4.5)

نعبر عن مساحة المقطع العرضي للكرة بدلالة نصف قطرها:

ومع مراعاة العلاقة (4.6) فإن المساواة (4.5) تأخذ الشكل التالي:

.

دعونا نشير إلى نصف قطر الكرة الأولى؛ مثل نصف قطر الكرة الثانية. دعونا نكتب الصيغ الخاصة بسرعات الحركة الثابتة للكرتين الأولى والثانية:

ومن المعادلات التي تم الحصول عليها نجد نسبة السرعة:

.

من شروط المسألة، نسبة أنصاف أقطار الكرات تساوي اثنين. وباستخدام هذا الشرط نجد نسبة السرعة:

.

إجابة: .

الجسم الذي يتحرك لأعلى على طول مستوى مائل يتأثر بأجسام خارجية: أ) الأرض مع توجيه الجاذبية عموديًا إلى الأسفل؛ ب) مستوى مائل بقوة رد فعل موجهة بشكل عمودي على المستوى المائل؛ ج) مستوى مائل بقوة احتكاك موجهة ضد حركة الجسم. د) جسم خارجي بقوة موجهة لأعلى على طول المستوى المائل. تحت تأثير هذه القوى، يتحرك الجسم بشكل متسارع بشكل موحد إلى أعلى المستوى المائل، وبالتالي، يتم توجيه ناقل التسارع على طول حركة الجسم. دعونا نصور ناقل التسارع في الشكل. دعونا نكتب قانون نيوتن الثاني في شكل متجه:

.

دعونا نختار نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل، حيث يتم توجيه محور OX على طول تسارع الجسم، ويتم توجيه محور OY بشكل عمودي على المستوى المائل. لنكتب قانون نيوتن الثاني بإسقاطات على محاور الإحداثيات هذه ونحصل على المعادلات التالية:

ترتبط قوة الاحتكاك المنزلقة بقوة رد الفعل بالعلاقة التالية:

ومن المساواة (5.2) نجد مقدار قوة رد الفعل ونعوض به في المساواة (5.3)، لدينا التعبير التالي لقوة الاحتكاك:

. (5.4)

وبتعويض الطرف الأيمن من المساواة (5.4) في المساواة (5.1) بدلاً من قوة الاحتكاك نحصل على المعادلة التالية لحساب حجم القوة المطلوبة:

دعونا نحسب حجم القوة:

إجابة: .

دعونا نصور جميع القوى المؤثرة على الأجسام وعلى الكتلة. دعونا نفكر في عملية حركة الأجسام المتصلة بواسطة خيط ملقى فوق كتلة. الخيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد، وبالتالي فإن حجم قوة الشد على أي قسم من الخيط سيكون هو نفسه، أي. و .

ستكون إزاحات الأجسام خلال أي فترة زمنية هي نفسها، وبالتالي، في أي لحظة من الزمن، ستكون قيم السرعات والتسارع لهذه الأجسام هي نفسها. ومن حقيقة أن الكتلة تدور دون احتكاك وانعدام الوزن، يترتب على ذلك أن قوة شد الخيط على جانبي الكتلة ستكون واحدة، أي: .

وهذا يعني تساوي قوى شد الخيط المؤثرة على الجسمين الأول والثاني، أي. . دعونا نصور في الشكل ناقلات التسارع للهيئتين الأولى والثانية. دعونا نصور محورين OX. دعنا نوجه المحور الأول على طول ناقل التسارع للجسم الأول، والثاني - على طول ناقل التسارع للجسم الثاني. لنكتب قانون نيوتن الثاني لكل جسم بإسقاطه على محاور الإحداثيات هذه:

بالنظر إلى ذلك، وبالتعبير من المعادلة الأولى، نعوض في المعادلة الثانية، فنحصل على

ومن المساواة الأخيرة نجد قيمة التسارع:

.

ومن المساواة (1) نجد مقدار قوة التوتر:

إجابة: , .

عندما تدور الحلقة الصغيرة حول محيطها، تؤثر عليها قوتان: قوة الجاذبية الموجهة عموديًا إلى الأسفل، وقوة رد الفعل الموجهة نحو مركز الحلقة. دعونا نصور هذه القوى في الشكل، ونظهر أيضًا مسار الحلقة عليه. يقع متجه التسارع المركزي للحلقة في مستوى المسار ويتم توجيهه نحو محور الدوران. دعونا تصور ذلك في الصورة. دعونا نكتب قانون نيوتن الثاني في شكل متجه لحلقة دوارة:

.

دعنا نختار نظام إحداثيات مستطيل، حيث سيتم توجيه محور OX على طول التسارع المركزي، ومحور OY - عموديًا لأعلى على طول محور الدوران. لنكتب قانون نيوتن الثاني بإسقاطات على محاور الإحداثيات هذه:

من المساواة (7.2) نجد مقدار قوة رد الفعل ونعوض بها في المساواة (7.1) نحصل على التعبير:

. (7.3)

تسارع الجاذبيةيرتبط بسرعة الدوران بنسبة: ، أين هو نصف قطر دوران الحلقة الصغيرة. بتعويض الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة بدلاً من ذلك في الصيغة (7.3)، نحصل على العلاقة التالية:

. (7.4)

من الشكل نجد قيمة ظل الزاوية ألفا . وبأخذ هذا التعبير بعين الاعتبار، فإن المساواة (7.4) ستأخذ الشكل التالي:

ومن المعادلة الأخيرة نجد الارتفاع المطلوب:

إجابة: .

تؤثر ثلاث قوى على الجسم الذي يدور بالقرص: الجاذبية، وقوة رد الفعل، وقوة الاحتكاك الموجهة نحو محور الدوران. دعونا نصور كل القوى في الشكل. دعونا نوضح في هذا الشكل اتجاه متجه التسارع المركزي. نكتب قانون نيوتن الثاني على شكل متجه:

.

دعونا نختار نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل كما هو موضح في الشكل. لنكتب قانون نيوتن الثاني بالإسقاطات على محاور الإحداثيات:

; (8.1)

. (8.2)

دعونا نكتب العلاقة لتسارع الجاذبية:

. (8.3)

دعونا نعوض بالجانب الأيمن من المساواة (8.3) بدلاً من تسارع الجاذبية إلى المساواة (8.1)، نحصل على:

. (8.4)

ومن المساواة (8.4) يتضح أن حجم قوة الاحتكاك يتناسب طرديا مع نصف قطر الدوران، وبالتالي، مع زيادة نصف قطر الدوران، تزداد قوة الاحتكاك الساكن، وعند قيمة معينة تصل قوة الاحتكاك الساكن إلى قيمتها القيمة القصوى, قوة متساويةانزلاق الاحتكاك ().

مع مراعاة المساواة (8.2)، نحصل على عبارات ل أقصى قوةالاحتكاك الساكن:

.

وبتعويض الطرف الأيمن من المساواة الناتجة بدلا من قوة الاحتكاك بالمساواة (4) نحصل على العلاقة التالية:

من معادلة معينةنجد القيمة الحدية لنصف قطر الدوران:

إجابة: .

أثناء طيران القطرة، تعمل عليها قوتان: الجاذبية وقوة السحب. دعونا نصور كل القوى في الشكل. دعونا نختار محورًا موجهًا رأسيًا OY، والذي سيكون أصله على سطح الأرض. دعنا نكتب المعادلة الأساسية للديناميكيات:

.

بإسقاط المساواة على محور OY، سيكون لدينا العلاقة التالية:

دعونا نقسم طرفي المساواة الأخيرة على ونضرب كلا الطرفين في نفس الوقت، مع الأخذ في الاعتبار أن نحصل على التعبير:

دعونا نقسم جانبي هذا التعبير على ، نحصل على العلاقة:

.

ندمج العلاقة الأخيرة ونحصل على اعتماد السرعة على الزمن: .

نجد الثابت من الشروط الأولية ( )، نحصل على الاعتماد المطلوب للسرعة في الوقت المحدد:

.

نحدد السرعة القصوىمن الشرط :

.

إجابة: ; .

دعونا نصور في الشكل القوى المؤثرة على القرص. لنكتب قانون نيوتن الثاني بالإسقاطات على محاور OX وOY وOZ

لأن , ثم بالنسبة لمسار حركة الغسالة بالكامل، تكون الصيغة صالحة لقوة الاحتكاك، والتي، مع الأخذ في الاعتبار تساوي OZ، تتحول إلى النموذج:

وبأخذ هذه العلاقة في الاعتبار، فإن المساواة لمحور OX سوف تأخذ الشكل

نقوم بإسقاط قانون نيوتن الثاني على مماس مسار القرص عند النقطة قيد النظر، ونحصل على العلاقة:

أين هو مقدار التسارع العرضي. وبمقارنة الأطراف اليمنى للمساويات الأخيرة، نستنتج أن .

بما أن و، ومع مراعاة العلاقة السابقة لدينا المساواة، والتي يؤدي تكاملها إلى التعبير، حيث يكون ثابت التكامل. لنعوض في التعبير الأخير نحصل على اعتماد السرعة على الزاوية:

دعونا نحدد الثابت من الشروط الأولية (متى . ) . مع أخذ هذا في الاعتبار، نكتب الاعتماد النهائي

.

يتم تحقيق الحد الأدنى لقيمة السرعة عندما يتم توجيه ناقل السرعة بالتوازي مع محور OX وتكون قيمته مساوية لـ .

المعادلة العامةديناميكيات النظام مع أي اتصالات (مبدأ D'Alembert-Lagrange المدمجأو المعادلة العامة للميكانيكا):

أين يتم تطبيق القوة النشطة على النقطة رقم 1 في النظام؟ – قوة رد فعل السندات. - نقطة قوة القصور الذاتي؛ - الحركة الممكنة.

في حالة توازن النظام، عندما تختفي جميع قوى القصور الذاتي لنقاط النظام، يتحول الأمر إلى مبدأ الإزاحات المحتملة. يتم استخدامه عادةً للأنظمة ذات التوصيلات المثالية والتي تكون شرطها مستوفيًا

وفي هذه الحالة (229) يأخذ أحد الأشكال:

,

,

. (230)

هكذا، وفقًا للمعادلة العامة للديناميكيات، في أي لحظة حركة لنظام ذي اتصالات مثالية، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة وقوى القصور الذاتي لنقاط النظام يساوي الصفر عند أي حركة محتملة للنظام مسموح بها من خلال الاتصالات.

يمكن إعطاء المعادلة العامة للديناميكيات بأشكال أخرى متكافئة. بتوسيع المنتج العددي للمتجهات، يمكن التعبير عنه بـ

أين هي إحداثيات النقطة العشرية للنظام. مع الأخذ في الاعتبار أن إسقاطات قوى القصور الذاتي على محاور الإحداثيات من خلال إسقاطات التسارع على هذه المحاور يتم التعبير عنها بالعلاقات

,

يمكن إعطاء المعادلة العامة للديناميكيات بالشكل

في هذا الشكل يطلق عليه المعادلة العامة للديناميكيات في شكل تحليلي.

عند استخدام المعادلة العامة للديناميكيات، من الضروري أن تكون قادرًا على حساب العمل الأولي لقوى القصور الذاتي للنظام على الإزاحات المحتملة. للقيام بذلك، قم بتطبيق الصيغ المقابلة للعمل الأولي الذي تم الحصول عليه للقوى العادية. دعونا ننظر في تطبيقها على قوى القصور الذاتي لجسم صلب في حالات معينة من حركته.

أثناء الحركة إلى الأمام. في هذه الحالة، يتمتع الجسم بثلاث درجات من الحرية، وبسبب الروابط المفروضة، يمكنه الأداء فقط التحرك إلى الأمام. الحركات المحتملة للجسم التي تسمح بالاتصالات هي أيضًا حركات انتقالية.

يتم تقليل قوى القصور الذاتي أثناء الحركة الانتقالية إلى النتيجة . للحصول على مجموع الأعمال الأولية لقوى القصور الذاتي على الحركة الانتقالية المحتملة للجسم، نحصل عليها

أين هي الإزاحة المحتملة لمركز الكتلة وأي نقطة من الجسم، لأن الإزاحة الانتقالية المحتملة لجميع نقاط الجسم هي نفسها: التسارعات هي نفسها أيضًا، أي.

عندما يدور جسم صلب حول محور ثابت. يتمتع الجسم في هذه الحالة بدرجة واحدة من الحرية. يمكن أن تدور حول محور ثابت. إن الحركة المحتملة التي تسمح بها الوصلات المتراكبة هي أيضًا دوران الجسم بزاوية أولية حول محور ثابت.

يتم تقليل قوى القصور الذاتي إلى نقطة على محور الدوران إلى المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي. يتم تطبيق المتجه الرئيسي لقوى القصور الذاتي على نقطة ثابتة، وعمله الأولي على الإزاحة المحتملة هو صفر. بالنسبة للحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي، سيتم تنفيذ العمل الأولي غير الصفري فقط من خلال إسقاطه على محور الدوران. وهكذا، بالنسبة لمجموع عمل قوى القصور الذاتي على الإزاحة المحتملة قيد النظر لدينا

,

إذا تم الإبلاغ عن الزاوية في اتجاه قوس سهم التسارع الزاوي.

في حركة مسطحة. في هذه الحالة، فإن القيود المفروضة على الجسم الصلب تسمح فقط بالحركة المستوية الممكنة. في الحالة العامةيتكون من حركة انتقالية محتملة مع عمود نختار لها مركز الكتلة، ودوران بزاوية أولية حول محور يمر عبر مركز الكتلة وعمودي على المستوى الموازي الذي يمكن للجسم أن يؤدي إليه المستوى حركة.

بما أن قوى القصور الذاتي في الحركة المستوية لجسم صلب يمكن اختزالها إلى المتجه الرئيسي والعزم الرئيسي (إذا اخترنا مركز الكتلة كمركز التخفيض)، فإن مجموع الأعمال الأولية لقوى القصور الذاتي على سيتم تقليل مستوى الإزاحة المحتملة إلى العمل الأولي لمتجه العودة لقوى القصور الذاتي على الإزاحة المحتملة لمركز الكتلة والعمل الأولي للحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي على الإزاحة الدورانية الأولية حول المحور الذي يمر عبر مركز الكتلة. في هذه الحالة، لا يمكن تنفيذ العمل الأولي غير الصفري إلا من خلال إسقاط اللحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي على المحور، أي. . وهكذا، في القضية قيد النظر لدينا

إذا تم توجيه الدوران بزاوية أولية على طول سهم قوسي لـ .

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

سقسقة

جميع المواضيع في هذا القسم:

لحظة القوة الجبرية حول نقطة
عزم القوة الجبري بالنسبة إلى نقطة ما هو حاصل ضرب معامل القوة وذراع القوة النسبية

عزم متجه للقوة حول نقطة ما
لحظة المتجهات مع

عزم القوة حول المحور
لحظة القوة حول محور ما هي اللحظة الجبرية لإسقاط هذه القوة على مستوى متعامد مع المحور، بالنسبة إلى نقطة تقاطع المحور مع هذا المستوى (الشكل 4). لحظة القوة

زوج من القوى واللحظة الجبرية لاثنين من القوى
زوج القوى هو نظام من قوتين متوازيتين متساويتين في الحجم وموجهتين في اتجاهين متعاكسين.

بديهيات الاستاتيكا
عند صياغة البديهيات، نفترض أن جسمًا صلبًا أو نقطة مادية يتم التأثير عليه بواسطة القوى المشار إليها في البديهية المقابلة. I. البديهية حول توازن نظام من قوتين

أبسط نظريات الاستاتيكا
نظرية انتقال القوة على طول خط العمل: تأثير القوة على جسم صلب لن يتغير عن نظرية النقل حول ثلاث قوى: إذا كان جسم صلب تحت تأثير ثلاث قوى

اختزال نظام القوى إلى أبسط نظام. شروط التوازن
فكرة عن النقل الموازي للقوى: يمكن نقل القوة بالتوازي مع نفسها إلى أي نقطة في جسم صلب، بإضافة زوج من القوى التي يكون عزمها المتجه مساويًا للعزم المتجه

توازن أزواج القوى
إذا تم التأثير على جسم صلب بواسطة أزواج من القوى، الموجودة بشكل اعتباطي في الفضاء، فيمكن استبدال أزواج القوى هذه بزوج واحد مكافئ من القوى، عزمه المتجه يساوي المبلغلحظة ناقلات

شروط التوازن لنظام تعسفي للقوى في شكل متجه
الشروط المتجهة لتوازن نظام تعسفي للقوى: لتوازن نظام القوى المطبقة على جسم صلب، من الضروري والكافي أن يكون المتجه الرئيسي لنظام القوة مساوياً للصفر والناقل الرئيسي

شروط التوازن للنظام المكاني للقوى المتقاربة
لتحقيق توازن النظام المكاني للقوى المتقاربة المطبقة على جسم صلب، من الضروري والكافي أن يكون مجموع إسقاطات القوى على كل محور من محاور الإحداثيات المستطيلة الثلاثة مساويًا لـ

شروط التوازن لنظام القوى المستوي
دعونا نضع المحاور وفي الطائرة

مركز القوى الموازية
دع نظام القوى المتوازية يؤثر على الجسم. مثل هذا النظام له نتيجة

طرق العثور على مركز الثقل
أجسام متناظرة. إذا كان للجسم مستوى تماثل (محور، مركز)، فإن مركز ثقله يقع في هذا المستوى (على المحور، في المركز).

القوات الموزعة
في علم الإحصاء، تؤخذ في الاعتبار القوى المطبقة على جسم صلب عند أي نقطة، وبالتالي تسمى هذه القوى مركزة. في الواقع، عادة ما يتم تطبيق القوى على البعض

انزلاق الاحتكاك
عندما يتحرك جسم أو يحاول التحرك على طول سطح جسم آخر في مستوى مماس الأسطح الملامسة، تنشأ قوة احتكاك منزلقة (احتكاك من النوع الأول). صديد

الاحتكاك المتداول
إذا كان أحد الأجسام، على سبيل المثال، أسطوانة أسطوانية، يتدحرج أو يسعى للتدحرج على سطح جسم آخر، فبالإضافة إلى قوة الاحتكاك المنزلقة بسبب تشوه أسطح الأجسام، ينشأ ضغط إضافي.

حل مشاكل الاستاتيكا
مثال 1. في المربع (

حركيات النقطة
في حركيات نقطة ما، تؤخذ في الاعتبار خصائص حركة نقطة ما، مثل السرعة والتسارع وطرق تحديدها عند بطرق متعددةمهام الحركة. الشيء المهم في حركيات النقطة هو

سرعة وتسارع نقطة ما
إحدى الخصائص الرئيسية لحركة النقطة هي سرعتها بالنسبة للنظام المرجعي المحدد، والذي

حالات خاصة لحركة النقطة
حركة موحدة. مع الحركة المنتظمة لنقطة ما على طول مسار بأي شكل، فهي ثابتة

حركيات الجسم الصلبة
عدد درجات حرية الجسم الصلب هو عدد المعلمات المستقلة التي تحدد موضع الجسم بالنسبة للنظام المرجعي قيد النظر. حركة الجسم الصلب بعدة طرق

الحركة الانتقالية لجسم صلب
الحركة الانتقالية لجسم صلب هي الحركة التي يظل فيها أي خط مستقيم متصل بشكل صارم بالجسم موازيًا لموضعه الأصلي في كل لحظة.

دوران جسم صلب حول محور ثابت
إن دوران جسم صلب حول محور ثابت (محور الدوران) هو حركة تظل فيها نقاط الجسم الواقعة على محور الدوران ثابتة طوال الوقت.

حالات خاصة لدوران جسم صلب
يسمى الدوران موحدًا إذا. تختلف السرعة الزاوية الجبرية عن المعامل الزاوي sk

سرعات وتسارع نقاط الجسم أثناء الدوران حول محور ثابت
معادلة دوران الجسم الصلب حول محور ثابت معروفة (الشكل 29). مسافة

ناقلات السرعة الزاوية والتسارع الزاوي
دعونا نقدم مفاهيم ناقلات السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم. إذا كان متجه الوحدة لمحور الدوران، على سبيل المثال

الصيغ المتجهات لسرعات وتسارع نقاط الجسم
دعونا نعبر عن السرعة والتسارع العرضي والعادي والإجمالي لنقطة من الجسم في شكل متجه (الشكل 32). يمكن تمثيل سرعة نقطة من حيث الحجم والاتجاه كمنتج متجه

حركة النقطة المعقدة
لدراسة بعض أكثر الأنواع المعقدةحركات الجسم الصلب، فمن المستحسن النظر في أبسطها حركة معقدةنقاط. في كثير من المسائل، يجب اعتبار حركة النقطة نسبية

تسارع كوريوليس
دعونا ننظر في تسارع كوريوليس وخصائصه. يتم تحديده بالصيغة (81). سرعة الزاوي

الحركة المستوية (المتوازية) لجسم صلب
الحركة المستوية لجسم صلب هي الحركة التي تتحرك فيها كل نقطة من نقاطه في نفس المستوى طوال الوقت. المستويات التي تتحرك فيها النقاط الفردية متوازية

سرعات نقاط الشكل المستوي
بتطبيق نظرية الحركة المستوية على جمع السرعات لأي نقطة في الشكل، نحصل على ذلك

مركز السرعة اللحظية
في كل لحظة

تسارع نقاط الشكل المسطح
مع الأخذ في الاعتبار حركة الطائرة شخصية مسطحةكمجمع يتكون من عمود متنقل ومترجم

مركز التسريع الفوري
في كل لحظة حركة لشكل مسطح في مستواه، إذا

حل المسائل الحركية
مثال 3. بالنظر إلى معادلات حركة نقطة في المستوى:

بديهيات الديناميكيات
I. البديهية الأولى (بحسب قانون الميكانيكا الكلاسيكية، قانون القصور الذاتي): النقطة المادية التي لا تتأثر بالقوى أو يتأثر بها نظام توازن القوى لديها القدرة

المعادلات التفاضلية لحركة نقطة مادية
باستخدام القانون الأساسي للديناميكيات، يمكن للمرء الحصول عليه المعادلات التفاضليةحركة نقطة مادية في أنظمة إحداثيات مختلفة. وفقا للبديهية حول الروابط وقوى رد فعل السندات، يمكن للمرء الحصول على دي

المهمة الأولى
بمعرفة كتلة النقطة وقانون حركتها، يمكنك إيجاد القوة المؤثرة على النقطة. في الواقع، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء معادلات حركة نقطة ما في نظام الإحداثيات الديكارتية

المهمة الثانية
بناءً على الكتلة والقوة المؤثرة على نقطة معينة، من الضروري تحديد حركة هذه النقطة. دعونا نفكر في حل هذه المشكلة في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل. بشكل عام، القوة

المعادلات التفاضلية للحركة النسبية لنقطة مادية
لدينا إطار مرجعي بالقصور الذاتي ونقطة مادية ذات كتلة

مركز الكتلة
عند النظر في الحركة المواد الصلبةوغيرها من الأنظمة الميكانيكية مهملديه نقطة تسمى مركز الكتلة. إذا كان النظام الميكانيكي يتكون

لحظات القصور الذاتي حول نقطة ومحور
لحظة من الجمود نظام ميكانيكي، تتكون من

نظرية شتاينر
لنقم بتثبيت التبعية

قضيب متجانس
لدينا قضيب موحد الطول والكتلة

لوحة مستطيلة
لوحة رفيعة مستطيلة لها أبعاد و

قرص صلب
لدينا قرص رفيع متجانس له نصف القطر والكتلة

حلقة رفيعة (عجلة مستديرة)
لدينا حلقة رفيعة نصف قطرها وكتلة

اسطوانة مستديرة
لأسطوانة مستديرة متجانسة كتلتها نصف قطرها

نظريات الديناميكيات
القوى الخارجية للنظام الميكانيكي هي القوى التي تؤثر على نقاط نظام الجسم والنقاط التي لا تدخل في النظام قيد النظر. القوى الداخلية ميكانيكيا

نظرية حركة مركز الكتلة
يتحرك مركز كتلة النظام بنفس طريقة تحرك النقطة المادية التي تساوي كتلتها كتلة النظام بأكمله، إذا تصرف الجميع على النقطة قوى خارجيةتطبق على النظام الميكانيكي:

كمية حركة النقطة والنظام
إن زخم نقطة مادية هو متجه يساوي حاصل ضرب كتلة النقطة

نظرية التغير في زخم نقطة ما
نظرية التغير في زخم نقطة ما في شكل تفاضلي: المشتقة الأولى لزخم نقطة ما تساوي القوة المؤثرة على النقطة:

نظرية التغير في زخم النظام
نظرية التغير في زخم نظام ما في شكل تفاضلي: المشتق الزمني لزخم النظام يساوي المجموع المتجه لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام

قوانين الحفاظ على الزخم
يتم الحصول على قوانين الحفاظ على زخم نظام ما كحالات خاصة من نظرية التغير في زخم نظام ما اعتمادًا على خصائص نظام القوى الخارجية المطبقة على النظام.

نظرية التغير في الزخم الزاوي
بالنسبة لنقطة مادية ذات كتلة تتحرك بسرعة

نظرية التغير في الزخم الزاوي لنقطة ما
مشتق لأول مرة من لحظة حركيةالنقطة بالنسبة لأي مركز تساوي عزم القوة بالنسبة لنفس المركز:

نظرية التغير في الزخم الزاوي للنظام
المشتق الأول للزخم الزاوي لنظام ما بالنسبة إلى أي نقطة يساوي المجموع المتجه لعزوم القوى الخارجية المؤثرة على النظام بالنسبة إلى نفس النقطة.

قوانين حفظ العزوم الحركية
1. إذا كانت اللحظة الرئيسية للقوى الخارجية للنظام بالنسبة إلى النقطة تساوي الصفر، أي.

المعادلة التفاضلية لدوران جسم صلب حول محور ثابت
من نظرية التغير في الزخم الزاوي (172") تتبع المعادلة التفاضلية لدوران جسم صلب حول محور ثابت

نظرية التغير في الزخم الزاوي لنظام متحرك نسبي بالنسبة إلى مركز الكتلة
دع النظام الميكانيكي يتحرك بالنسبة لنظام الإحداثيات الرئيسي. لنأخذ نظام الهاتف المحمول

المعادلات التفاضلية للحركة المستوية لجسم صلب
بالنسبة لجسم صلب يمر بحركة مستوية، وبالتالي يتمتع بثلاث درجات من الحرية، نحصل على التوالي على المعادلات التفاضلية الثلاث التالية:

عمل القوة
إن تأثير القوة على أي حركة هو أحد الخصائص الرئيسية التي تقيم تأثير القوة على هذه الحركة.

الطاقة الحركية
الطاقة الحركية للنقطة والنظام. الطاقة الحركية لنقطة مادية تساوي نصف حاصل ضرب كتلة النقطة في مربع سرعتها، أي.

نظرية التغير في الطاقة الحركية لنقطة ما
نظرية التغير في الطاقة الحركية لنقطة ما في شكل تفاضلي: تفاضل الطاقة الحركية لنقطة ما يساوي الشغل الأولي للقوة المؤثرة على النقطة.

نظرية التغير في الطاقة الحركية للنظام
نظرية التغير في الطاقة الحركية لنظام في شكل تفاضلي: تفاضل الطاقة الحركية للنظام يساوي مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى الخارجية والداخلية

مبدأ دالمبرت للنقطة المادية
إن مبدأ دالمبيرت الخاص بالنقطة المادية الحرة يعادل القانون الأساسي للديناميكيات. بالنسبة للنقطة غير الحرة، فهي تعادل القانون الأساسي مع بديهية الاتصالات. معادلة الحركة

مبدأ دالمبرت لنظام النقاط المادية
النظر في النظام النقاط المادية. في الحالة العامة، يتم تطبيق القوة الناتجة على كل نقطة من النظام

قوى القصور الذاتي لجسم صلب في حالات معينة من حركته
أثناء الحركة إلى الأمام. إذا تحرك جسم صلب بشكل انتقالي، فإن تسارع نقاطه تكون متساوية. تشكل قوى القصور الذاتي لهذه النقاط نظامًا من القوى المتوازية الموجهة نحو نقطة واحدة

الحركات المحتملة
بالنسبة لنقطة واحدة، فإن الحركة (الافتراضية) المحتملة هي حركة عقلية (أولية) حلوة للغاية مسموح بها في لحظة زمنية متراكبة على

العمل الأولي للقوة على النزوح المحتمل. اتصالات مثالية
يتم حساب الشغل الأولي للقوة على الإزاحة المحتملة لنقطة تطبيقها باستخدام الصيغ المعتادة للعمل الأولي، أي.

مبدأ الحركات الممكنة
مبدأ الحركات الممكنة، أو مبدأ لاغرانج، يحتوي على ما هو ضروري و ظروف كافيةتوازن بعض الأنظمة الميكانيكية. ويتم صياغته على النحو التالي: لرا

إحداثيات النظام المعممة
دع النظام يتكون من نقاط، وبالتالي يتم تحديد موقعه في الفضاء في كل لحظة من الزمن

القوى المعممة
دعونا نكتب مجموع الأعمال الأولية للقوى المؤثرة على نقاط النظام على الإزاحة المحتملة للنظام:

حساب القوة المعممة
1. يمكن حساب القوة المعممة باستخدام الصيغة (227) التي تحددها، أي. . 2. معممة

معادلات لاغرانج من النوع الثاني
يمكن اعتبار معادلات لاغرانج بمثابة خوارزمية للحصول على المعادلات التفاضلية لحركة النظام، أي. المعادلات التفاضلية فيما يتعلق بالإحداثيات المعممة. معادلات لاجر

حل مشاكل الديناميات
مثال 7. على القسم العمودي

فهرس
1. نيكيتين ن. حسنًا الميكانيكا النظرية: كتاب مدرسي للهندسة الميكانيكية. ويصنع الأجهزة. متخصص. الجامعات / ن.ن. نيكيتين. - م: أعلى. المدرسة، 1990. 607 ص. 2. بوتينين إن.في. دورة الميكانيكا النظرية

مثال على حل مشكلة باستخدام المعادلة العامة للديناميكيات (مبدأ دالمبرت-لاغرانج) لنظام يحتوي على أجسام صلبة وأوزان وبكرات وكتلة متصلة بخيوط.

محتوى

المهمة

يتكون النظام الميكانيكي من بكرات متدرجة موحدة 1 و 2 ملفوفة بخيوط، وأوزان 3-6 متصلة بهذه الخيوط، وكتلة عديمة الوزن. يتحرك النظام في مستوى عمودي تحت تأثير الجاذبية وزوج من القوى مع لحظة M = 10 نيوتن متر، مطبق على البكرة 1. نصف قطر خطوات البكرة 1 يساوي: R 1 = 0.2 م، ص 1 = 0.1 موالبكرة 2 - ر 2 = 0.3 م، ص 2 = 0.15 م; أنصاف أقطار الدوران بالنسبة إلى محاور الدوران تساوي ρ، على التوالي 1 = 0.1 مو ρ 2 = 0.2 م.

بإهمال الاحتكاك حدد تسارع الحمل 5. يتم إعطاء أوزان البكرات والأحمال: P 1 = 40 ن، ص 2 = 0 ، ص 3 = 0 ، ص 4 = 20 ن، ص 5 = 30 ن، ص 6 = 10 ن. الأحمال التي أوزانها صفر لا تظهر على الرسم.

ملحوظة. عند حل مشكلة استخدم المعادلة العامة للديناميكيات (مبدأ دالمبيرت - لاغرانج).

حل المشكلة

منح:ر 1 = 0.2 م، ص 1 = 0.1 م، ر 2 = 0.3 م، ص 2 = 0.15 م, ρ 1 = 0.1 م, ρ 2 = 0.2 م. ص 1 = 40 ن، ص 2 = 0 ، ص 3 = 0 ، ص 4 = 20 ن، ص 5 = 30 ن، ص 6 = 10 ن، م = 10 نيوتن متر.

يجد:أ 5 .

إقامة العلاقات الحركية

دعونا نقيم العلاقات الحركية. دع V 4 ، الخامس 5 ، الخامس 6 ، أ 4 ، أ 5 ، أ 6 ، δS 4 ، δS 5 ، δS 6 - السرعات والتسارع والحركات الصغيرة للأحمال 4,5 و 6. دع ω 1 , ω 2 , ε 1 , ε 2 , δφ 1 , δφ 2 - السرعات الزاوية والتسارع الزاوي وزوايا الدوران الصغيرة للبكرات 1 و 2.

سرعة حركة الخيط بين الأجسام 2 و 4 و 5:
. من هنا.
سرعة الخيط بين البكرات 1 و 2:
. من هنا
.
سرعة حركة الخيط بين الأجسام 1 و 6:
.

لذلك، وجدنا علاقة بين سرعات الأجسام.
;
;
.

وبما أن التسارع هو مشتقة من السرعات بالنسبة إلى الزمن،
ومن ثم، وبتمييز الصيغ السابقة بالنسبة للزمن، نجد العلاقة بين التسارعات:
;
;
.

وبما أن السرعات هي مشتقات من الحركات في الزمن، فإن نفس العلاقة موجودة بين الحركات المتناهية الصغر.
;
;
.

القوى الخارجية النشطة

دعونا نفكر في القوى الخارجية المؤثرة على النظام.
هذه هي قوى الجاذبية للأجسام P 1 = 40 ن، ص 4 = 20 ن، ص 5 = 30 نو ص 6 = 10 نموجهة نحو الأسفل؛
زوج من القوى مع العزم M = 10 نيوتن متر;
قوى الضغط المحورية N 1 ، ن 2 وN البكرات 1، 2 وكتلة انعدام الوزن؛
قوى رد الفعل N 4 و ن 6 ، تعمل على الأحمال من الأسطح المتعامدة مع هذه الأسطح.

قوى القصور الذاتي

سنحل هذه المشكلة باستخدام المعادلة العامة للديناميكيات، وتطبيق مبدأ دالمبيرت-لاجرانج. يكمن في حقيقة أننا نقدم أولاً قوى القصور الذاتي. بعد إدخال قوى القصور الذاتي، تتحول مشكلة الديناميكيات إلى مشكلة الاستاتيكا. أي أننا بحاجة إلى إيجاد قوى قصورية مجهولة حتى يكون النظام في حالة توازن. لقد قمنا بحل مشكلة الإحصائيات هذه باستخدام مبدأ دالمبيرت. أي أننا نعتقد أن النظام قام بحركة صغيرة. وفي حالة الاتزان، يكون مجموع الشغل الذي تبذله جميع القوى أثناء هذه الحركة يساوي صفرًا.

لذلك، في المرحلة الأولى نحن إدخال قوى القصور الذاتي. وللقيام بذلك، نفترض أن النظام يتحرك بتسارع غير محدد حتى الآن. أي أن البكرتين 1 و2 تدوران بتسارع زاوي ε 1 و ε 2 ، على التوالى؛ الأحمال 4،5 و6 تؤدي حركة انتقالية مع التسارع أ 4 ، أ 5 و أ 6 ، على التوالى. هناك اتصالات بين هذه التسارعات التي وجدناها سابقًا. أي أنه يمكن التعبير عن كل هذه التسارعات بتسارع واحد أ 5 . يتم تعريف قوى القصور الذاتي بحيث تكون مساوية في الحجم ومعاكسة في الاتجاه لتلك القوى (وعزوم القوى) التي من شأنها، وفقًا لقوانين الديناميكيات، أن تخلق التسارع المتوقع (في غياب القوى الأخرى).

نحدد الوحدات (القيم المطلقة) للقوى ولحظات القصور الذاتي ونعبر عنها من خلال أ 5 .
اسمحوا أن تكون جماهير الهيئات؛
- عزم القصور الذاتي للبكرة 1.
عزم القصور الذاتي المؤثر على البكرة 1:
.
قوى القصور الذاتي المؤثرة على الأحمال 4 و5 و6:
;
;
.

نصور في الرسم قوى القصور الذاتي مع مراعاة أن اتجاهاتها معاكسة للتسارع.

تطبيق المعادلة العامة للديناميكيات

نعطي النظام إزاحة متناهية الصغر. دع الحمل 5 يتحرك مسافة صغيرة δS 5 . ثم زاوية الدوران δφ 1 البكرة 1 والإزاحة δS 4 و δS 6 يتم تحديد الأحمال 4 و 6 باستخدام العلاقات الحركية المنشأة مسبقًا. وبما أن الخيوط غير قابلة للتمدد، فإنها لا تقوم بأي عمل أثناء هذه الحركة. وهذا يعني أن النظام لديه اتصالات مثالية. لذلك يمكننا تطبيق معادلة الديناميكيات العامة:
,
والتي بموجبها مجموع عمل جميع القوى النشطة وقوى القصور الذاتي أثناء هذه الحركة يساوي الصفر.

تحديد مجموع عمل القوى النشطة الخارجية وقوى القصور الذاتي

الشغل الذي تبذله القوة عند تحريك نقطة تطبيقها بإزاحة صغيرة يساوي المنتج العدديالمتجهات، أي حاصل ضرب القيم المطلقة للمتجهين F وds في جيب تمام الزاوية بينهما.

يتم حساب الشغل المبذول بواسطة عزم الدوران بالمثل:
.

نحدد عمل جميع القوى النشطة وقوى القصور الذاتي. بما أن مراكز محاور البكرات 1، 2 والكتلة عديمة الوزن لا تتحرك، فإن القوى P 1 ، ن 1 ، ن 2 وN لا تفعل العمل. منذ القوات N 4 و ن 6 تكون متعامدة مع حركات الحملين 4 و 6، فإن هذه القوى أيضًا لا تبذل شغلًا.

نجد مجموع الشغل الذي تبذله القوى النشطة المتبقية وقوى القصور الذاتي.

.
نستبدل تعبيرات قوى القصور الذاتي ونطبق العلاقات الحركية.

.
تقليل بمقدار δS 5 وتحويل.

.
استبدال القيم العددية.

;
;

مبدأ الحركات الممكنة: لتحقيق توازن نظام ميكانيكي مع اتصالات مثالية، من الضروري والكافي أن يكون مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المؤثرة عليه لأي إزاحة محتملة يساوي الصفر. أو في الإسقاطات : .

مبدأ الإزاحات المحتملة يعطي بشكل عام شروط التوازن لأي نظام ميكانيكي الطريقة العامةحل مشاكل الاستاتيكا.

إذا كان النظام يتمتع بعدة درجات من الحرية، فإنه يتم تجميع معادلة مبدأ الحركات الممكنة لكل حركة من الحركات المستقلة على حدة، أي: سيكون هناك عدد من المعادلات بقدر ما يتمتع النظام بدرجات الحرية.

يعد مبدأ الإزاحات المحتملة مناسبًا لأنه عند النظر في نظام ذي اتصالات مثالية، لا يتم أخذ ردود أفعالهم بعين الاعتبار ومن الضروري العمل فقط مع القوى النشطة.

تمت صياغة مبدأ الحركات المحتملة على النحو التالي:

من أجل الأم. النظام الخاضع للاتصالات المثالية يكون في حالة سكون، ومن الضروري والكافي أن يكون مجموع الشغل الأولي الذي تؤديه القوى النشطة على الإزاحات المحتملة للنقاط في النظام موجبًا

المعادلة العامة للديناميكيات - عندما يتحرك النظام مع التوصيلات المثالية في كل منها هذه اللحظةالوقت، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المطبقة وجميع قوى القصور الذاتي على أي حركة محتملة للنظام سيكون مساوياً للصفر. تستخدم المعادلة مبدأ الإزاحات المحتملة ومبدأ دالمبرت وتسمح لك بتكوين معادلات تفاضلية لحركة أي نظام ميكانيكي. يعطي طريقة عامة لحل المشاكل الديناميكية.

تسلسل التجميع:

أ) يتم تطبيق القوى المحددة المؤثرة عليه على كل جسم، كما يتم أيضًا تطبيق قوى ولحظات أزواج قوة القصور الذاتي بشكل مشروط؛

ب) إبلاغ النظام بالتحركات المحتملة؛

ج) وضع معادلات لمبدأ الحركات الممكنة، مع الأخذ في الاعتبار أن النظام في حالة توازن.

تجدر الإشارة إلى أن المعادلة العامة للديناميكيات يمكن تطبيقها أيضًا على الأنظمة ذات التوصيلات غير المثالية، فقط في هذه الحالة يجب تصنيف تفاعلات التوصيلات غير المثالية، مثل قوة الاحتكاك أو عزم الاحتكاك المتدحرج، كقوى فعالة .

يتم البحث عن العمل على الإزاحة المحتملة لكل من القوى النشطة والقصور الذاتي بنفس طريقة العمل الأولي على الإزاحة الفعلية:

عمل ممكنقوة: .

العمل المحتمل للحظة (زوج القوة): .

الإحداثيات المعممة للنظام الميكانيكي هي معلمات q 1 , q 2 , ..., q S، مستقلة عن بعضها البعض، من أي بعد، والتي تحدد بشكل فريد موقع النظام في أي وقت.

عدد الإحداثيات المعممة يساوي س - عدد درجات حرية النظام الميكانيكي. يمكن دائمًا التعبير عن موضع كل نقطة ν للنظام، أي متجه نصف القطر، في الحالة العامة، كدالة للإحداثيات المعممة:

تبدو المعادلة العامة للديناميكيات في الإحداثيات المعممة وكأنها نظام من معادلات S كما يلي:

;

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

,

هنا هي القوة المعممة المقابلة للإحداثيات المعممة:

(26)

a هي قوة القصور الذاتي المعممة المقابلة للإحداثيات المعممة:

يُطلق على عدد الحركات المحتملة المستقلة للنظام عدد درجات حرية هذا النظام. على سبيل المثال. يمكن للكرة الموجودة على المستوى أن تتحرك في أي اتجاه، ولكن أي حركة محتملة لها يمكن الحصول عليها كمجموع هندسي لحركتين على طول محورين متعامدين بشكل متبادل. الجسم الصلب الحر له 6 درجات حرية.

القوى المعممة.لكل إحداثيات معممة يمكن حساب القوة المعممة المقابلة س ك.

يتم الحساب وفقا لهذه القاعدة.

لتحديد القوة المعممة س ك، الموافق للإحداثيات المعممة س ك، تحتاج إلى إعطاء هذا الإحداثي زيادة (زيادة الإحداثيات بهذا المقدار)، وترك جميع الإحداثيات الأخرى دون تغيير، وحساب مجموع عمل جميع القوى المطبقة على النظام على الإزاحات المقابلة للنقاط وتقسيمها على زيادة الإحداثيات:

(7)

أين هو النزوح أنا- تلك النقطة من النظام التي يتم الحصول عليها عن طريق التغيير ك-هذا الإحداثي المعمم.

يتم تحديد القوة المعممة باستخدام العمل الأولي. ولذلك، يمكن حساب هذه القوة بشكل مختلف:

وبما أن هناك زيادة في متجه نصف القطر بسبب زيادة الإحداثيات مع الإحداثيات الثابتة الأخرى والوقت ر، يمكن تعريف العلاقة على أنها مشتقة جزئية. ثم

حيث تكون إحداثيات النقاط دوال للإحداثيات المعممة (5).

إذا كان النظام محافظا، أي أن الحركة تحدث تحت تأثير القوى الميدانية المحتملة، والتي تكون توقعاتها، حيث وإحداثيات النقاط هي دوال للإحداثيات المعممة

القوة المعممة للنظام المحافظ هي المشتق الجزئي للطاقة الكامنة على طول الإحداثيات المعممة المقابلة بعلامة الطرح.

بالطبع عند حساب هذه القوة المعممة الطاقة الكامنةيجب تعريفها على أنها دالة للإحداثيات المعممة

ف = ف( س 1 , س 2 , س 3 ,…,سؤال).

ملحوظات.

أولاً. عند حساب قوى رد الفعل المعممة، لا تؤخذ الاتصالات المثالية بعين الاعتبار.

ثانية. يعتمد بُعد القوة المعممة على بُعد الإحداثيات المعممة.

معادلات لاغرانج من النوع الثانيمشتقة من المعادلة العامة للديناميكيات في الإحداثيات المعممة. عدد المعادلات يتوافق مع عدد درجات الحرية:

(28)

لتجميع معادلة لاغرانج من النوع الثاني، يتم اختيار الإحداثيات المعممة وإيجاد السرعات المعممة . تم العثور على الطاقة الحركية للنظام، وهي دالة للسرعات المعممة , وفي بعض الحالات، الإحداثيات المعممة. يتم تنفيذ عمليات تمايز الطاقة الحركية التي توفرها الجوانب اليسرى من معادلات لاغرانج، وتُعادل التعبيرات الناتجة قوى معممة، لإيجادها، بالإضافة إلى الصيغ (26)، غالبًا ما يتم استخدام ما يلي عند حل المشكلات:

(29)

يوجد في بسط الجانب الأيمن من الصيغة مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة على الحركة المحتملة للنظام، المقابلة الاختلافات طالإحداثيات المعممة - . ومع هذه الحركة المحتملة، لا تتغير جميع الإحداثيات المعممة الأخرى. المعادلات الناتجة هي معادلات تفاضلية لحركة النظام الميكانيكي س درجات الحرية.

يمكن تطبيق مبدأ الإزاحات المحتملة، والذي يوفر طريقة عامة لحل المشكلات الساكنة، على حل المشكلات الديناميكية. وكما هو معروف، وفقًا لمبدأ دالمبرت، فإن مجمل القوى المؤثرة على النظام الميكانيكي وقوى القصور الذاتي تشكل نظامًا متوازنًا للقوى في كل لحظة من الزمن. ومن ثم، بتطبيق مبدأ الإزاحات المحتملة على هذه القوى، نحصل على المعادلة للنظام الميكانيكي

تعبر هذه المعادلة عن مبدأ دالمبرت-لاجرانج التالي: عندما يتحرك نظام ميكانيكي في كل لحظة من الزمن، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى المؤثرة على النظام وجميع قوى القصور الذاتي عند أي حركة محتملة للنظام يكون صفرًا.تسمى المعادلة (24.1). المعادلة العامة للديناميكيات.

يتضمن الحد الأول من المعادلة (24.1) عمل القوى الفعالة وعمل تفاعلات الروابط. إذا تم فرض اتصالات مثالية على النظام، ثم لردود أفعالهم

وتأخذ معادلة الديناميكيات العامة لنظام ذي اتصالات مثالية الشكل

بما أن المعادلات (24.1)، (24.2) تتضمن عمل قوى القصور الذاتي، والتي يتم التعبير عن حجمها من خلال تسارع النقاط، فإن هذه المعادلات تجعل من الممكن تكوين معادلات تفاضلية لحركة النظام الميكانيكي. إذا كان النظام عبارة عن مجموعة من بعض الأجسام الصلبة، فمن المستحسن استبدال مجموعة قوى القصور الذاتي لجميع نقاط كل جسم بمكافئاتها من القوة: قوة مطبقة في مركز ما تساوي المتجه الرئيسي لقوى القصور الذاتي في الجسم. الجسم وزوج من قوى القصور الذاتي مع لحظة تساوي قوى القصور الذاتي الرئيسية بالنسبة لهذا المركز.

لنظام وجود سدرجات الحرية، معادلة العمل

(24.2) يمكن كتابتها بدلالة القوى المعممة والإحداثيات المعممة في الصورة

أين كيو جي -القوة النشطة المعممة س1*- قوة القصور الذاتي المعممة المقابلة للإحداثيات المعممة ف و .

منذ الحركات المحتملة 8ق، مستقلتان عن بعضهما البعض ولا يساوي كل منهما صفراً في الحالة العامة، فيتحقق الشرط (24.3) إذا

أين س-عدد الإحداثيات المعممة أو عدد درجات حرية النظام.

المعادلات (24.4) صريحة المعادلة العامة للديناميكيات في القوى المعممة.

المشكلة 24.1.يتكون النظام الميكانيكي (الشكل 24.1) من بكرة ذات مرحلتين أنا(وزن ص ] - 20 ن، نصف قطر الخطوة ص- 0.4 م، ز - 0.2 م، نصف قطر الدوران بالنسبة لمحور الدوران p = 0.3 م)، ملفوف بخيوط، في نهايته يتم ربط الحمل أ(وزن ص 2= 10 نيوتن) وبكرة (اسطوانة صلبة متجانسة تزن ف3 = 80 ن). تدور الأسطوانة دون انزلاق على سطح مائل خشن بزاوية ميل a = 30°. يتحرك النظام في مستوى عمودي تحت تأثير الجاذبية وعزم الدوران م - 6 نيوتن متر مطبق على البكرة أنا.أوجد التسارع الزاوي للبكرة، على افتراض أن الأجسام صلبة تمامًا وأن الخيوط غير قابلة للتمدد.

حل. 1. النظر في حركة نظام ميكانيكي يتكون من الأجسام 1, 2, 3, متصلة بواسطة المواضيع. الاتصالات المفروضة على النظام مثالية. يتمتع النظام بدرجة واحدة من الحرية. دعونا نختار الزاوية cp كالإحداثيات المعممة، - زاوية دوران البكرة 1.

لتحديد التسارع الزاوي e للبكرة، نطبق معادلة الديناميكيات العامة (24.2)

حيث 28/4 ^ هو مجموع الأعمال الأولية للقوى النشطة؛ 28/4" هو مجموع الأعمال الأولية لقوى القصور الذاتي.

2. نصور القوى النشطة في الرسم ر س، ر 2، ر 3وعزم الدوران م.لا نظهر في الرسم تفاعلات الروابط المثالية (عند النقطتين O وL).

نحدد اتجاه التسارع الزاوي للبكرة عكس اتجاه عقارب الساعة. وفقا لهذا، نصور التسارع في الرسم 2الحمل والتسارع و فيمركز الكتلة فيالأسطوانة الأسطوانية. نضيف الآن قوى القصور الذاتي إلى القوى النشطة المؤثرة على النظام، ونوجهها عكس التسارع المقابل. القيم الرقميةيتم تحديد هذه الكميات بواسطة الصيغ

يتم استبدال قيم لحظات القصور الذاتي في هذه الصيغ ي 0بكرة و ي فياسطوانة متجانسة صلبة 3.

3. دعونا نبلغ النظام بالحركة المحتملة 5фj >0; بينما البضائع لسوف تحصل على الخطوة 5 س2,نقطة فيالأسطوانة المتحركة 5 ق ب,وحلبة التزلج 3 سوف تدور بزاوية 5φ 3، موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة.

تكوين المعادلة (أ) نحصل عليها

لحل هذه المعادلة وتحديد التسارع الزاوي e، من الضروري إجراء عمليتين تحضيريتين: التعبير عن جميع الإزاحات من خلال زيادة الإحداثيات المعممة والتعبير عن حجم جميع التسارعات من خلال التسارع المطلوب.

يتم التعبير عن جميع الحركات المشاركة في المعادلة (ج) بدلالة 5cpj:

عند تأليف المساواة الأخيرة، تم أخذ هذه النقطة بعين الاعتبار لاسطوانة 3 هو المركز اللحظي للسرعات.

قيم التسارع 2، في،ق 3 المشاركة في الصيغ (ب)، نعبر عنها من خلال التسارع الزاوي المطلوب ق:

التعويض بالكميات (ب) مع مراعاة التساويات (هـ) والعلاقات (د) في المعادلة (ج)، بعد التبسيط نأتي بها إلى الصورة

بما أن bf، 0، فإننا نساوي التعبير الموجود بين قوسين متعرجين بالصفر. ومن المعادلة الناتجة نجد القيمة المطلوبة

الحسابات تعطي الإجابة التالية: s = 2.4 s؛ تشير الإشارة إلى أن التسارع الزاوي للبكرة موجه كما هو متوقع في بداية الحساب، أي كما هو موضح في الشكل. 24.1.

على سبيل المثال، إذا كان عزم الدوران في نفس المشكلة متساويا م = 2 N m، ثم نتيجة للحسابات باستخدام الصيغة (g) سنحصل على e = -2.4 s -1؛ وهذا يعني أنه في الحالة قيد النظر، سيتم توجيه التسارع الزاوي للبكرة عكس ما هو موضح في الشكل. 24.1.

في حل مشاكل ديناميكية مثل حالة خاصةيحتوي على حل لمشكلة الإحصائيات المقابلة.إذا تم تحديد حالة التوازن للنظام الميكانيكي قيد النظر (انظر الشكل 24.1) وفقًا لمبدأ الإزاحات المحتملة، فسنحصل على معادلة التصميم

كما نرى، على الجانب الأيسر من المساواة هناك تعبير لبسط الصيغة (ز)، أي يتم تحديد شرط بموجبه 8 = 0 (وهو ما يتوافق مع بقية النظام أو الحركة مع دوران منتظم ل البكرة). معنى هذه المساواة هو أن القوة النشطة المعممة للنظام عند إزاحة محتملة قدرها 8φ تساوي صفرًا، أي. س" = 0.