البندول الرياضياتصل نقطة ماديةمعلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد متصل بالتعليق وموجود في مجال الجاذبية (أو قوة أخرى).

استكشاف التقلبات البندول الرياضيفي نظام بالقصور الذاتيمرجع ، يتعلق بنقطة تعليقه في حالة راحة أو يتحرك بشكل موحد في خط مستقيم. سنهمل قوة مقاومة الهواء (بندول رياضي مثالي). في البداية ، يكون البندول في حالة سكون في وضع التوازن C. في هذه الحالة ، تكون قوة الجاذبية \ (\ vec F \) والقوة المرنة \ (\ vec F_ (ynp) \) للخيط الذي يعمل عليه بشكل متبادل تعويض.

دعنا نخرج البندول من وضع التوازن (نحرفه ، على سبيل المثال ، إلى الموضع A) ونتركه يذهب بدون سرعة ابتدائية (الشكل 13.11). في هذه الحالة ، لا توازن القوى \ (\ vec F \) و \ (\ vec F_ (ynp) \) بعضهما البعض. المكون المماسي للجاذبية \ (\ vec F_ \ tau \) ، الذي يعمل على البندول ، يمنحه تسارعًا مماسيًا \ (\ vec a_ \ tau \) (مكون من إجمالي التسارع الموجه على طول المماس إلى مسار الرياضي البندول) ، ويبدأ البندول في التحرك إلى وضع التوازن مع زيادة معامل السرعة. وبالتالي فإن المكون المماسي للجاذبية \ (\ vec F_ \ tau \) هو قوة الاستعادة. يتم توجيه المكون الطبيعي \ (\ vec F_n \) على طول الخيط مقابل القوة المرنة \ (\ vec F_ (ynp) \). ناتج القوى \ (\ vec F_n \) و \ (\ vec F_ (ynp) \) يبلغ البندول تسارع عادي\ (~ a_n \) ، الذي يغير اتجاه متجه السرعة ، ويتحرك البندول على طول قوس ا ب ت ث.

كلما اقترب البندول من موضع التوازن C ، أصبحت قيمة المكون العرضي \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alpha \) أصغر. في وضع التوازن ، تساوي الصفر ، وتصل السرعة إلى أقصى قيمتها ، ويتحرك البندول أكثر بالقصور الذاتي ، حيث يرتفع إلى أعلى على طول القوس. في هذه الحالة ، يتم توجيه المكون \ (\ vec F_ \ tau \) عكس السرعة. مع زيادة زاوية الانحراف a ، يزداد معامل القوة \ (\ vec F_ \ tau \) ، ويقل معامل السرعة ، وعند النقطة D تصبح سرعة البندول مساوية للصفر. يتوقف البندول للحظة ثم يبدأ في التحرك في الاتجاه المعاكس لموضع التوازن. بعد أن تجاوزه مرة أخرى بالقصور الذاتي ، فإن البندول ، الذي يتباطأ ، سيصل إلى النقطة A (بدون احتكاك) ، أي يقوم بأرجوحة كاملة. بعد ذلك ، ستتكرر حركة البندول بالتسلسل الموصوف بالفعل.

نحصل على معادلة تصف التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.

دع البندول في لحظة معينة يكون عند النقطة B. إزاحته S من موضع التوازن في هذه اللحظة تساوي طول القوس CB (أي S = | CB |). تشير إلى طول خيط التعليق لوكتلة البندول - م.

يوضح الشكل 13.11 أن \ (~ F_ \ tau = F \ sin \ alpha \) حيث \ (\ alpha = \ frac (S) (l). \) عند الزوايا الصغيرة \ (~ (\ alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\ (F_ \ tau = -F \ frac (S) (l) = -mg \ frac (S) (l). \)

يتم وضع علامة الطرح في هذه الصيغة لأن المكون المماسي للجاذبية يتم توجيهه نحو موضع التوازن ، ويتم حساب الإزاحة من موضع التوازن.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني \ (m \ vec a = m \ vec g + F_ (ynp). \) نقوم بإسقاط الكميات المتجهة لهذه المعادلة على اتجاه الظل لمسار البندول الرياضي

\ (~ F_ \ tau = ma_ \ tau. \)

من هذه المعادلات نحصل عليها

\ (a_ \ tau = - \ frac (g) (l) S \) - المعادلة الديناميكية لحركة البندول الرياضي. يتناسب التسارع العرضي للبندول الرياضي مع إزاحته ويتجه نحو وضع التوازن. يمكن كتابة هذه المعادلة بالصيغة \. بمقارنتها مع معادلة التذبذبات التوافقية \ (~ a_x + \ omega ^ 2x = 0 \) (انظر الفقرة 13.3) ، يمكننا أن نستنتج أن البندول الرياضي يؤدي التذبذبات التوافقية. وبما أن التذبذبات المدروسة للبندول حدثت تحت تأثير القوى الداخلية فقط ، فقد كانت هذه اهتزازات حرة للبندول. بالتالي، التذبذبات الحرة للبندول الرياضي مع انحرافات صغيرة متناسقة.

يشير \ (\ frac (g) (l) = \ omega ^ 2. \) إلى أين \ (\ omega = \ sqrt \ frac (g) (l) \) هو التردد الدوري للبندول.

فترة تذبذب البندول \ (T = \ frac (2 \ pi) (\ omega). \) لذلك ،

\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g)) \)

هذا التعبير يسمى صيغة Huygens.يحدد فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي. ويترتب على الصيغة أنه عند الزوايا الصغيرة للانحراف عن موضع التوازن ، فإن فترة التذبذب للبندول الرياضي: 1) لا تعتمد على كتلته واتساع التذبذب ؛ 2) يتناسب مع الجذر التربيعي لطول البندول ويتناسب عكسيًا مع الجذر التربيعي لعجلة السقوط الحر. هذا يتوافق مع القوانين التجريبية للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي ، والتي اكتشفها ج. جاليليو.

نؤكد أنه يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب الفترة إذا تم استيفاء شرطين في وقت واحد: 1) يجب أن تكون اهتزازات البندول صغيرة ؛ 2) يجب أن تكون نقطة تعليق البندول في حالة راحة أو أن تتحرك بشكل مستقيم بشكل مستقيم بالنسبة للإطار المرجعي بالقصور الذاتي الذي يقع فيه.

إذا تحركت نقطة تعليق البندول الرياضي مع التسارع \ (\ vec a \) ، فإن قوة شد الخيط تتغير ، مما يؤدي إلى تغيير في قوة الاستعادة ، وبالتالي تواتر التذبذب ومدته. كما تظهر الحسابات ، يمكن حساب فترة تذبذب البندول في هذه الحالة بالصيغة

\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (l) (g ")) \)

حيث \ (~ g "\) هو التسارع" الفعال "للبندول في إطار مرجعي غير قصور ذاتي. إنه يساوي المجموع الهندسي لتسريع السقوط الحر \ (\ vec g \) والمتجه المقابل لـ المتجه \ (\ vec a \) ، أي يمكن حسابه باستخدام الصيغة

\ (\ vec g "= \ vec g + (- \ vec a). \)

المؤلفات

Aksenovich L. A. الفيزياء في المدرسة الثانوية: النظرية. مهام. الاختبارات: Proc. بدل للمؤسسات التي تقدم خدمات عامة. البيئات ، التعليم / L. A. Aksenovich، N.N. Rakina، K. S. Farino؛ إد. K. S. Farino. - مينيسوتا: Adukatsia i vykhavanne، 2004. - س 374-376.

رقاص الساعة فوكو- بندول يستخدم لبيان تجريبي للدوران اليومي للأرض.

بندول فوكو هو عبارة عن وزن هائل معلق على سلك أو خيط ، يتم تعزيز الطرف العلوي منه (على سبيل المثال ، بمفصل كاردان) بحيث يسمح للبندول بالتأرجح في أي مستوى عمودي. إذا انحرف بندول فوكو عن العمودي وتم إطلاقه بدون سرعة ابتدائية ، فإن قوى الجاذبية وشد الخيط المؤثر على وزن البندول سوف تكمن طوال الوقت في مستوى تقلبات البندول ولن تكون قادرة على التسبب في ذلك. الدوران فيما يتعلق بالنجوم (للإطار المرجعي بالقصور الذاتي المرتبط بالنجوم). سوف يرى المراقب الموجود على الأرض ويدور معها (أي الموجود في إطار مرجعي غير بالقصور الذاتي) أن المستوى المتأرجح لبندول فوكو يدور ببطء بالنسبة لسطح الأرض في الاتجاه المعاكس لاتجاه دوران الأرض. هذا يؤكد حقيقة الدوران اليومي للأرض.

في القطب الشمالي أو الجنوبي ، ستدور الطائرة المتأرجحة لبندول فوكو 360 درجة لكل يوم فلكي (15 درجة لكل ساعة فلكية). عند نقطة على سطح الأرض ، يكون خط العرض الجغرافي لها φ ، يدور مستوى الأفق حول العمودي بسرعة زاوية ω 1 = ω sinφ (ω هي معامل السرعة الزاوية للأرض) ويدور مستوى التأرجح في البندول مع نفس السرعة الزاوية. لذلك ، فإن السرعة الزاوية الظاهرة لدوران مستوى تأرجح بندول فوكو عند خط العرض φ ، معبراً عنها بالدرجات لكل ساعة فلكية ، لها قيمة تدور). في نصف الكرة الجنوبي ، سيتم ملاحظة دوران الطائرة الهزازة في الاتجاه المعاكس لذلك الذي لوحظ في نصف الكرة الشمالي. الحساب المكرر يعطي القيمة

ω م = 15 س سينφ

أين أ- اتساع اهتزازات وزن البندول ، ل- طول الفقرة. المصطلح الإضافي ، الذي يقلل السرعة الزاوية ، كلما قلت ، زادت ل. لذلك ، لإثبات التجربة ، يُنصح باستخدام بندول فوكو بأكبر طول ممكن للخيط (عدة عشرات من الأمتار).

قصة

لأول مرة تم تصميم هذا الجهاز من قبل العالم الفرنسي جان برنارد ليون فوكو.

كان هذا الجهاز عبارة عن كرة نحاسية وزنها خمسة كيلوغرامات معلقة من السقف على سلك فولاذي طوله مترين.

كانت أول تجربة لفوكو في قبو منزله. ٨ يناير ١٨٥١. تم تسجيل ذلك في اليوميات العلمية للعالم.

3 فبراير 1851 عرض جان فوكو البندول الخاص به في مرصد باريس للأكاديميين الذين تلقوا رسائل مثل هذه: "أدعوكم لمتابعة دوران الأرض".

تم أول عرض علني للتجربة بمبادرة من لويس بونابرت في باريس بانتيون في أبريل من ذلك العام. تم تعليق كرة معدنية تحت قبة البانثيون. وزنها 28 كجم مع نقطة مثبتة عليه على سلك من الصلب 1.4 ملم وقطرها 67 مترا.البندول سمح له بالتذبذب بحرية في الكل الاتجاهات. تحتتم إنشاء نقطة التعلق بسياج دائري بقطر 6 أمتار ، على طول حافة السياج تم صب مسار رملي بطريقة تمكن البندول في حركته من رسم علامات على الرمال عند عبوره. لتجنب الدفع الجانبي عند بدء البندول ، تم إبعاده وربطه بحبل ، وبعد ذلك يتم ربط الحبل احترقت. كانت فترة التذبذب 16 ثانية.

حققت التجربة نجاحًا كبيرًا وتسببت في استجابة واسعة في الأوساط العلمية والعامة في فرنسا ودول أخرى في العالم. فقط في عام 1851 تم إنشاء بندولات أخرى على نموذج الأول ، وأجريت تجارب فوكو في مرصد باريس ، في كاتدرائية ريمس ، في كنيسة القديس إغناطيوس في روما ، في ليفربول ، في أكسفورد ، دبلن ، في ريو دي جانيرو ، في مدينة كولومبو في سيلان ، نيويورك.

في كل هذه التجارب ، كانت أبعاد الكرة وطول البندول مختلفة ، لكنهم جميعًا أكدوا الاستنتاجاتجان برنارد ليون فوكو.

عناصر البندول ، التي تم عرضها في البانثيون ، محفوظة الآن في متحف باريس للفنون والحرف. ونواسات فوكو موجودة الآن في أجزاء كثيرة من العالم: في متاحف الفنون التطبيقية والتاريخ الطبيعي والمراصد العلمية والقباب السماوية والمختبرات الجامعية والمكتبات.

هناك ثلاثة نواسات فوكو في أوكرانيا. يتم الاحتفاظ بواحد في الجامعة التقنية الوطنية بأوكرانيا "KPI يحمل اسم I. إيغور سيكورسكي "، الثاني - في جامعة خاركيف الوطنية. في. كارازين الثالث - في قبة خاركيف السماوية.

البندول الرياضي هو نموذج للبندول العادي. البندول الرياضي هو نقطة مادية معلقة على خيط طويل عديم الوزن وغير قابل للتمدد.

أخرج الكرة من التوازن وحررها. هناك قوتان تؤثران على الكرة: الجاذبية والتوتر في الخيط. عندما يتحرك البندول ، ستستمر قوة احتكاك الهواء في التأثير عليه. لكننا سنعتبرها صغيرة جدًا.

دعونا نحلل قوة الجاذبية إلى مكونين: القوة الموجهة على طول الخيط ، والقوة الموجهة عموديًا على المماس لمسار الكرة.

هاتان القوتان تضافان إلى الجاذبية. تضفي القوى المرنة للخيط ومكون الجاذبية Fn تسارع الجاذبية على الكرة. سيكون عمل هذه القوى مساويًا للصفر ، وبالتالي فإنها ستغير اتجاه متجه السرعة فقط. في أي وقت ، سيكون مماسًا لقوس الدائرة.

تحت تأثير عنصر الجاذبية Fτ ، ستتحرك الكرة على طول قوس دائرة مع زيادة السرعة في القيمة المطلقة. تتغير قيمة هذه القوة دائمًا في القيمة المطلقة ؛ عند المرور عبر موضع التوازن ، فإنها تساوي صفرًا.

ديناميات الحركة التذبذبية

معادلة حركة الجسم تتأرجح تحت تأثير قوة مرنة.

المعادلة العامة للحركة:

تحدث التذبذبات في النظام تحت تأثير قوة مرنة ، والتي ، وفقًا لقانون هوك ، تتناسب طرديًا مع إزاحة الحمل

ثم تأخذ معادلة حركة الكرة الشكل التالي:

قسّم هذه المعادلة على m ، نحصل على الصيغة التالية:

وبما أن الكتلة ومعامل المرونة قيمتان ثابتتان ، فإن النسبة (-k / m) ستكون أيضًا ثابتة. لقد حصلنا على معادلة تصف اهتزازات الجسم تحت تأثير قوة مرنة.

سيكون إسقاط عجلة الجسم متناسبًا طرديًا مع إحداثياته ​​، مع الإشارة إلى عكس ذلك.

معادلة حركة البندول الرياضي

توصف معادلة حركة البندول الرياضي بالصيغة التالية:

هذه المعادلة لها نفس شكل معادلة حركة الحمل على الزنبرك. وبالتالي ، فإن اهتزازات البندول وحركة الكرة على الزنبرك تحدث بنفس الطريقة.

يتغير إزاحة الكرة في الزنبرك وإزاحة جسم البندول من موضع التوازن بمرور الوقت وفقًا لنفس القوانين.

البندولات الموضحة في الشكل. 2 ، أجسام ممتدة من مختلف الأشكال والأحجام ، تتأرجح حول نقطة تعليق أو دعم. تسمى هذه الأنظمة البندولات الفيزيائية. في حالة التوازن ، عندما يكون مركز الجاذبية على الوضع الرأسي أسفل نقطة التعليق (أو الدعم) ، يتم موازنة قوة الجاذبية (من خلال القوى المرنة للبندول المشوه) من خلال رد فعل الدعم. عند الانحراف عن موضع التوازن ، تحدد قوى الجاذبية والمرونة في كل لحظة من الزمن التسارع الزاوي للبندول ، أي تحديد طبيعة حركته (التذبذب). سننظر الآن في ديناميكيات التذبذبات بمزيد من التفصيل باستخدام أبسط مثال لما يسمى البندول الرياضي ، وهو وزن صغير معلق على خيط رفيع طويل.

في البندول الرياضي ، يمكننا إهمال كتلة الخيط وتشوه الوزن ، أي يمكننا أن نفترض أن كتلة البندول تتركز في الوزن ، وأن القوى المرنة تتركز في الخيط ، وهو ما يعتبر لا ينضب. دعونا ننظر الآن تحت تأثير القوى التي يتأرجح البندول لدينا بعد أن يخرج من التوازن بطريقة ما (بالدفع ، الانحراف).

عندما يكون البندول في حالة سكون في وضع التوازن ، فإن قوة الجاذبية المؤثرة على وزنه والموجهة عموديًا لأسفل تتم موازنة الشد في الخيط. في الوضع المنحرف (الشكل 15) ، تعمل الجاذبية بزاوية مع قوة الشد الموجهة على طول الخيط. نحن نحلل قوة الجاذبية إلى مكونين: في اتجاه الخيط () وعمودي عليه (). عندما يتأرجح البندول ، تتجاوز قوة شد الخيط المكون قليلاً - بمقدار قوة الجاذبية المركزية ، مما يتسبب في تحرك الحمل في قوس. يتم توجيه المكون دائمًا نحو وضع التوازن ؛ يبدو أنها تسعى جاهدة لاستعادة هذا الموقف. لذلك ، غالبًا ما يطلق عليها اسم قوة الاستعادة. كلما كان المعامل أكبر ، كلما انحرف البندول.

أرز. 15. قوة الاستعادة عندما ينحرف البندول عن وضع التوازن

لذلك ، بمجرد أن يبدأ البندول ، أثناء تذبذبه ، في الانحراف عن وضع التوازن ، على سبيل المثال ، إلى اليمين ، تظهر قوة تبطئ حركته كلما زاد انحرافها. في النهاية ، ستوقفه هذه القوة وتسحبه مرة أخرى إلى وضع التوازن. ومع ذلك ، عندما نقترب من هذا الموضع ، ستقل القوة أكثر فأكثر وفي وضع التوازن نفسه ستتحول إلى الصفر. وهكذا ، فإن البندول يمر من خلال وضع التوازن عن طريق القصور الذاتي. بمجرد أن تبدأ في الانحراف إلى اليسار ، ستظهر قوة مرة أخرى ، تنمو مع زيادة الانحراف ، ولكنها الآن موجهة إلى اليمين. ستتباطأ الحركة إلى اليسار مرة أخرى ، ثم سيتوقف البندول للحظة ، وبعد ذلك ستبدأ الحركة المتسارعة إلى اليمين ، إلخ.

ماذا يحدث لطاقة البندول عندما يتأرجح؟

مرتين خلال هذه الفترة - عند أكبر الانحرافات إلى اليسار واليمين - يتوقف البندول ، أي في هذه اللحظات تكون السرعة صفرًا ، مما يعني أن الطاقة الحركية تساوي صفرًا أيضًا. ولكن في هذه اللحظات بالتحديد يرتفع مركز ثقل البندول إلى أعلى ارتفاع ، وبالتالي تكون الطاقة الكامنة أعظمها. على العكس من ذلك ، في لحظات المرور من خلال وضع التوازن ، تكون الطاقة الكامنة هي الأصغر ، وتصل السرعة والطاقة الحركية إلى القيمة القصوى.

نفترض أنه يمكن إهمال قوى احتكاك البندول في الهواء والاحتكاك عند نقطة التعليق. بعد ذلك ، وفقًا لقانون حفظ الطاقة ، فإن هذه الطاقة الحركية القصوى تساوي تمامًا فائض الطاقة الكامنة في موضع الانحراف الأكبر عن الطاقة الكامنة في وضع التوازن.

لذلك ، عندما يتأرجح البندول ، يحدث انتقال دوري للطاقة الحركية إلى طاقة كامنة والعكس صحيح ، وتكون فترة هذه العملية نصف مدة اهتزاز البندول نفسه. ومع ذلك ، فإن الطاقة الكلية للبندول (مجموع الطاقة الكامنة والحركية) ثابتة طوال الوقت. إنها تساوي الطاقة التي تم نقلها إلى البندول في البداية ، بغض النظر عما إذا كانت في شكل طاقة كامنة (انحراف أولي) أو في شكل طاقة حركية (دفع أولي).

هذا هو الحال بالنسبة لجميع الاهتزازات في حالة عدم وجود احتكاك أو أي عمليات أخرى تأخذ الطاقة من النظام المتذبذب أو تنقل الطاقة إليه. هذا هو السبب في أن السعة تظل دون تغيير ويتم تحديدها من خلال الانحراف الأولي أو قوة الدفع.

نحصل على نفس التغييرات في قوة الاستعادة ونفس انتقال الطاقة إذا ، بدلاً من تعليق الكرة على خيط ، نجعلها تتدحرج في مستوى عمودي في كوب كروي أو في حوض منحني حول المحيط. في هذه الحالة ، سيتم افتراض دور شد الخيط من خلال ضغط جدران الكوب أو الحوض الصغير (مرة أخرى ، نتجاهل احتكاك الكرة بالجدران والهواء).