Sinus, Kosinus, Tangens – wenn man diese Wörter im Beisein von Gymnasiasten ausspricht, kann man sicher sein, dass zwei Drittel von ihnen das Interesse an weiteren Gesprächen verlieren. Der Grund liegt darin, dass die Grundlagen der Trigonometrie in der Schule völlig realitätsfern vermittelt werden und die Schüler daher keinen Sinn darin sehen, Formeln und Theoreme zu studieren.

Tatsächlich erweist sich dieses Wissensgebiet bei näherer Betrachtung als sehr interessant und anwendungsorientiert – Trigonometrie wird in der Astronomie, im Bauwesen, in der Physik, in der Musik und in vielen anderen Bereichen eingesetzt.

Machen wir uns mit den Grundkonzepten vertraut und nennen wir einige Gründe, diesen Zweig der Mathematik zu studieren.

Geschichte

Es ist unbekannt, zu welchem ​​Zeitpunkt die Menschheit begann, die zukünftige Trigonometrie von Grund auf zu erschaffen. Es ist jedoch dokumentiert, dass die Ägypter bereits im zweiten Jahrtausend v. Chr. mit den Grundlagen dieser Wissenschaft vertraut waren: Archäologen fanden einen Papyrus mit der Aufgabe, den Neigungswinkel der Pyramide auf zwei bekannten Seiten zu ermitteln.

Die Wissenschaftler des alten Babylon erzielten ernstere Erfolge. Im Laufe der Jahrhunderte beherrschten sie beim Studium der Astronomie eine Reihe von Theoremen und führten spezielle Methoden zur Winkelmessung ein, die wir übrigens heute verwenden: Grad, Minuten und Sekunden wurden von der europäischen Wissenschaft in die griechisch-römische Kultur übernommen, in die Diese Einheiten stammten von den Babyloniern.

Es wird angenommen, dass der berühmte Satz des Pythagoras, der sich auf die Grundlagen der Trigonometrie bezieht, den Babyloniern vor fast viertausend Jahren bekannt war.

Name

Wörtlich kann der Begriff „Trigonometrie“ mit „Messung von Dreiecken“ übersetzt werden. Der Hauptgegenstand der Forschung in diesem Zweig der Wissenschaft war viele Jahrhunderte lang das rechtwinklige Dreieck, oder genauer gesagt, die Beziehung zwischen den Größen der Winkel und den Längen seiner Seiten (heute beginnt mit diesem Abschnitt das Studium der Trigonometrie von Grund auf). . Im Leben gibt es oft Situationen, in denen es praktisch unmöglich ist, alle erforderlichen Parameter eines Objekts (oder die Entfernung zum Objekt) zu messen, und es dann notwendig wird, die fehlenden Daten durch Berechnungen zu ermitteln.

Beispielsweise konnten Menschen in der Vergangenheit die Entfernung zu Weltraumobjekten nicht messen, aber Versuche, diese Entfernungen zu berechnen, gab es schon lange vor Beginn unserer Zeitrechnung. Auch bei der Navigation spielte die Trigonometrie eine entscheidende Rolle: Mit etwas Wissen konnte der Kapitän nachts jederzeit nach den Sternen navigieren und den Kurs anpassen.

Grundlegendes Konzept

Um die Trigonometrie von Grund auf zu beherrschen, müssen Sie mehrere Grundbegriffe verstehen und sich daran erinnern.

Der Sinus eines bestimmten Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Lassen Sie uns klarstellen, dass das gegenüberliegende Bein die Seite ist, die dem Winkel gegenüberliegt, den wir betrachten. Wenn also ein Winkel 30 Grad beträgt, ist der Sinus dieses Winkels für jede Größe des Dreiecks immer gleich ½. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Tangens ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite (oder, was dasselbe ist, das Verhältnis von Sinus zu Cosinus). Kotangens ist die Einheit dividiert durch den Tangens.

Erwähnenswert ist die berühmte Zahl Pi (3,14...), die die halbe Länge eines Kreises mit einem Radius von einer Einheit angibt.

Beliebte Fehler

Menschen, die Trigonometrie von Grund auf lernen, machen eine Reihe von Fehlern – meist aufgrund von Unaufmerksamkeit.

Erstens müssen Sie bei der Lösung von Geometrieproblemen bedenken, dass die Verwendung von Sinus und Cosinus nur in einem rechtwinkligen Dreieck möglich ist. Es kommt vor, dass ein Schüler „automatisch“ die längste Seite eines Dreiecks als Hypotenuse annimmt und falsche Berechnungsergebnisse erhält.

Zweitens ist es zunächst leicht, die Werte von Sinus und Cosinus für den ausgewählten Winkel zu verwechseln: Denken Sie daran, dass der Sinus von 30 Grad numerisch gleich dem Cosinus von 60 ist und umgekehrt. Wenn Sie eine falsche Zahl ersetzen, sind alle weiteren Berechnungen falsch.

Drittens sollten Sie bis zur vollständigen Lösung des Problems keine Werte runden, keine Wurzeln ziehen und nicht schreiben gemeinsamer Bruch als Dezimalzahl. Oft streben Schüler danach, in einer trigonometrischen Aufgabe eine „schöne“ Zahl zu erhalten und ziehen sofort die Wurzel aus drei, obwohl diese Wurzel nach genau einer Aktion reduziert werden kann.

Etymologie des Wortes „Sinus“

Die Geschichte des Wortes „Sinus“ ist wirklich ungewöhnlich. Tatsache ist, dass die wörtliche Übersetzung dieses Wortes aus dem Lateinischen „hohl“ bedeutet. Dies liegt daran, dass bei der Übersetzung von einer Sprache in eine andere das korrekte Verständnis des Wortes verloren ging.

Die Namen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen stammen aus Indien, wo das Konzept des Sinus im Sanskrit mit dem Wort „String“ bezeichnet wurde – Tatsache ist, dass das Segment zusammen mit dem Kreisbogen, auf dem es ruhte, wie ein Bogen aussah . Während der Blütezeit der arabischen Zivilisation wurden indische Errungenschaften auf dem Gebiet der Trigonometrie übernommen und der Begriff als Transkription ins Arabische übernommen. Zufällig gab es in dieser Sprache bereits ein ähnliches Wort, das eine Depression bezeichnete, und wenn die Araber den phonetischen Unterschied zwischen dem einheimischen und dem geliehenen Wort verstanden, dann übersetzten die Europäer bei der Übersetzung wissenschaftlicher Abhandlungen ins Lateinische fälschlicherweise das arabische Wort, das nichts hatte, wörtlich mit dem Konzept des Sinus zu tun. Wir verwenden es noch heute.

Wertetabellen

Es gibt Tabellen, die Zahlenwerte für Sinus, Cosinus und Tangens aller möglichen Winkel enthalten. Nachfolgend präsentieren wir Daten für die Winkel 0, 30, 45, 60 und 90 Grad, die als Pflichtteil der Trigonometrie für „Dummies“ erlernt werden müssen; glücklicherweise sind sie recht leicht zu merken.

Wenn das passiert ist Zahlenwert Der Sinus oder Kosinus eines Winkels ist mir „aus dem Kopf gegangen“, es gibt eine Möglichkeit, ihn selbst abzuleiten.

Geometrische Darstellung

Zeichnen wir einen Kreis und ziehen die Abszissen- und Ordinatenachsen durch seinen Mittelpunkt. Die Abszissenachse ist horizontal, die Ordinatenachse ist vertikal. Sie werden normalerweise mit „X“ bzw. „Y“ signiert. Nun zeichnen wir vom Mittelpunkt des Kreises eine Gerade, so dass sich zwischen dieser und der X-Achse der benötigte Winkel ergibt. Schließlich ziehen wir von dem Punkt, an dem die Gerade den Kreis schneidet, eine Senkrechte zur X-Achse. Die Länge des resultierenden Segments entspricht dem numerischen Wert des Sinus unseres Winkels.

Diese Methode ist sehr relevant, wenn Sie beispielsweise während einer Prüfung den erforderlichen Wert vergessen haben und kein Trigonometrie-Lehrbuch zur Hand haben. Auf diese Weise erhalten Sie keine genaue Zahl, aber Sie werden den Unterschied zwischen ½ und 1,73/2 (Sinus und Cosinus eines Winkels von 30 Grad) auf jeden Fall sehen.

Anwendung

Einige der ersten Experten, die die Trigonometrie verwendeten, waren Seeleute, die auf offener See keinen anderen Bezugspunkt außer dem Himmel über ihren Köpfen hatten. Kapitäne von Schiffen (Flugzeugen und anderen Transportmitteln) suchen heute nicht mehr anhand der Sterne nach dem kürzesten Weg, sondern greifen aktiv auf die GPS-Navigation zurück, die ohne den Einsatz der Trigonometrie nicht möglich wäre.

In fast jedem Bereich der Physik finden Sie Berechnungen mit Sinus und Cosinus: Sei es die Kraftanwendung in der Mechanik, die Berechnung der Bahn von Objekten in der Kinematik, Schwingungen, Wellenausbreitung, Lichtbrechung – auf grundlegende Trigonometrie kommt man einfach nicht verzichten in den Formeln.

Ein weiterer Beruf, der ohne Trigonometrie undenkbar ist, ist der des Vermessers. Mit einem Theodoliten und einer Wasserwaage oder einem komplexeren Gerät – einem Drehzahlmesser – messen diese Menschen den Höhenunterschied zwischen verschiedenen Punkten auf der Erdoberfläche.

Wiederholbarkeit

Die Trigonometrie befasst sich nicht nur mit den Winkeln und Seiten eines Dreiecks, obwohl sie dort ihren Ursprung hat. In allen Bereichen, in denen Zyklizität vorhanden ist (Biologie, Medizin, Physik, Musik usw.), werden Sie auf einen Graphen stoßen, dessen Name Ihnen wahrscheinlich bekannt ist – dies ist eine Sinuswelle.

Ein solcher Graph ist ein Kreis, der sich entlang der Zeitachse ausbreitet und wie eine Welle aussieht. Wenn Sie im Physikunterricht schon einmal mit einem Oszilloskop gearbeitet haben, werden Sie verstehen, wovon wir sprechen. wir reden über. Sowohl der Musik-Equalizer als auch der Herzfrequenzmesser verwenden bei ihrer Arbeit trigonometrische Formeln.

Abschließend

Wenn man darüber nachdenkt, wie man Trigonometrie lernt, sind die zweitrangigsten und weiterführende Schule Sie beginnen, es als eine komplexe und unpraktische Wissenschaft zu betrachten, da sie nur langweilige Informationen aus einem Lehrbuch kennenlernen.

Was die Unpraktikabilität angeht, haben wir bereits gesehen, dass in fast jedem Tätigkeitsbereich bis zu einem gewissen Grad die Fähigkeit erforderlich ist, mit Sinus- und Tangenswerten umzugehen. Was die Komplexität betrifft ... Denken Sie: Wenn die Menschen dieses Wissen vor mehr als zweitausend Jahren nutzten, als ein Erwachsener weniger Wissen hatte als der heutige Gymnasiast, ist es dann wirklich möglich, etwas zu lernen? dieser Bereich Wissenschaft weiter Basislevel für Sie persönlich? Ein paar Stunden durchdachtes Üben beim Lösen von Problemen – und Sie erreichen Ihr Ziel mit dem Studium des Grundkurses, der sogenannten Trigonometrie für Dummies.

Einführung

Reale Prozesse in der Umwelt sind in der Regel mit einer Vielzahl von Variablen und Abhängigkeiten zwischen ihnen verbunden. Diese Abhängigkeiten können durch Funktionen beschrieben werden. Der Begriff „Funktion“ spielte und spielt immer noch eine große Rolle in der Kognition echte Welt. Die Kenntnis der Eigenschaften von Funktionen ermöglicht es uns, das Wesen laufender Prozesse zu verstehen, ihren Verlauf vorherzusagen und sie zu steuern. Lernfunktionen sind relevant Stets.

Ziel: Identifizieren Sie den Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und Phänomenen der umgebenden Welt und zeigen Sie, dass diese Funktionen gefunden werden Breite Anwendung im Leben.

Aufgaben:

1. Studieren Sie Literatur und Fernzugriffsressourcen zum Thema des Projekts.

2. Finden Sie heraus, welche Naturgesetze durch trigonometrische Funktionen ausgedrückt werden.

3. Finden Sie Beispiele für die Verwendung trigonometrischer Funktionen in der Außenwelt.

4. Analysieren und systematisieren Sie das verfügbare Material.

5. Bereiten Sie das entworfene Material gemäß den Anforderungen vor Informationsprojekt.

6. Entwickeln Sie eine elektronische Präsentation entsprechend dem Inhalt des Projekts.

7. Sprechen Sie auf der Konferenz über die Ergebnisse der geleisteten Arbeit.

In der Vorbereitungsphase Ich habe Material zu diesem Thema gefunden und gelesen, Hypothesen aufgestellt und das Ziel meines Projekts formuliert. Ich begann zu suchen notwendige Informationen, studierte Literatur zu meinem Thema und Materialien aus Fernzugriffsressourcen.

Auf der Hauptbühne Es wurden Informationen zum Thema ausgewählt und gesammelt und die gefundenen Materialien analysiert. Ich habe die Hauptanwendungen trigonometrischer Funktionen herausgefunden. Alle Daten wurden zusammengefasst und systematisiert. Anschließend wurde eine umfassende Endfassung des Informationsprojekts erarbeitet und eine Präsentation zum Forschungsthema erstellt.

In der Endphase Die Präsentation der Arbeit für den Wettbewerb wurde analysiert. In dieser Phase wurde von den Aktivitäten auch erwartet, dass sie alle zugewiesenen Aufgaben umsetzen und die Ergebnisse zusammenfassen, d. h. die eigenen Aktivitäten bewerten.

Sonnenauf- und -untergang, Veränderungen der Mondphasen, Wechsel der Jahreszeiten, Herzschlag, Zyklen im Leben des Körpers, Drehung des Rades, Ebbe und Flut – Modelle dieser vielfältigen Prozesse werden durch trigonometrische Funktionen beschrieben.

Trigonometrie in der Physik.

In der Technik und in der Welt um uns herum haben wir es oft mit periodischen (oder nahezu periodischen) Prozessen zu tun, die sich in regelmäßigen Abständen wiederholen. Solche Prozesse nennt man oszillierend. Schwingungsphänomene unterschiedlicher physikalischer Natur unterliegen allgemeinen Gesetzen. Zum Beispiel aktuelle Schwankungen in Stromkreis und die Schwingungen eines mathematischen Pendels können durch dieselben Gleichungen beschrieben werden. Die Gemeinsamkeit oszillatorischer Muster ermöglicht es uns, oszillatorische Prozesse zu betrachten unterschiedlicher Natur aus einer einzigen Perspektive. Zusammen mit progressiven und Rotationsbewegungen Auch in der Mechanik von Körpern sind oszillierende Bewegungen von großem Interesse.

Mechanische Vibrationen sind Bewegungen von Körpern, die sich in gleichen Zeitabständen genau (oder annähernd) wiederholen. Das Bewegungsgesetz eines schwingenden Körpers wird durch eine bestimmte periodische Funktion der Zeit x = f(t) angegeben. Grafisches Bild Diese Funktion bietet eine visuelle Darstellung des zeitlichen Verlaufs des Oszillationsprozesses. Ein Beispiel für eine solche Welle sind Wellen, die sich entlang eines gespannten Gummibandes oder einer Schnur ausbreiten.

Beispiele für einfache Schwingsysteme sind die Belastung einer Feder oder mathematisches Pendel(Abb. 1).

Abb.1. Mechanische Schwingsysteme.

Mechanische Vibrationen, wie oszillierende Prozesse jeder anderen physikalischen Natur, können frei und erzwungen sein. Freie Schwingungen entstehen unter dem Einfluss der inneren Kräfte des Systems, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Schwingungen eines Gewichts an einer Feder oder Schwingungen eines Pendels sind freie Schwingungen. Schwingungen, die unter dem Einfluss äußerer periodisch wechselnder Kräfte auftreten, werden als erzwungen bezeichnet.

Abbildung 2 zeigt Diagramme der Koordinaten, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines ausführenden Körpers harmonische Schwingungen.

Die einfachste Art von Schwingungsprozessen sind einfache harmonische Schwingungen, die durch die Gleichung beschrieben werden:

x = m cos (ωt + f 0).

Abbildung 2 – Diagramme der Koordinaten x(t), Geschwindigkeit υ(t)

und Beschleunigung a(t) eines Körpers, der harmonische Schwingungen ausführt.

Schallwellen oder einfach Schall nennt man Wellen, die das menschliche Ohr wahrnimmt.

Wenn an einer beliebigen Stelle in einem festen, flüssigen oder gasförmigen Medium Schwingungen von Teilchen angeregt werden, beginnen die Schwingungen aufgrund der Wechselwirkung von Atomen und Molekülen des Mediums mit endlicher Geschwindigkeit von einem Punkt zum anderen zu übertragen. Der Vorgang der Schwingungsausbreitung in einem Medium wird Welle genannt.

Für die Praxis sind einfache harmonische oder sinusförmige Wellen von großem Interesse. Sie werden durch die Amplitude A der Teilchenschwingungen, die Frequenz f und die Wellenlänge λ charakterisiert. Sinusförmige Wellen breiten sich in homogenen Medien mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeitυ aus.

Wenn das menschliche Sehvermögen die Fähigkeit hätte, Schall-, elektromagnetische und Radiowellen zu sehen, dann würden wir zahlreiche Sinuskurven aller Art um uns herum sehen.

Sicherlich hat jeder mehr als einmal das Phänomen beobachtet, dass ins Wasser getauchte Objekte sofort ihre Größe und Proportionen ändern. Ein interessantes Phänomen: Sie tauchen Ihre Hand ins Wasser und sie verwandelt sich sofort in die Hand einer anderen Person. Warum passiert das? Die Antwort auf diese Frage und eine detaillierte Erklärung dieses Phänomens liefert wie immer die Physik – eine Wissenschaft, die fast alles erklären kann, was uns auf dieser Welt umgibt.

Tatsächlich verändern Objekte beim Eintauchen in Wasser natürlich weder ihre Größe noch ihren Umriss. Dabei handelt es sich lediglich um einen optischen Effekt, d. h. wir nehmen dieses Objekt visuell anders wahr. Dies geschieht aufgrund der Eigenschaften des Lichtstrahls. Es stellt sich heraus, dass die Geschwindigkeit der Lichtausbreitung stark von der sogenannten optischen Dichte des Mediums abhängt. Je dichter dieses optische Medium ist, desto langsamer breitet sich der Lichtstrahl aus.

Aber selbst eine Änderung der Geschwindigkeit eines Lichtstrahls erklärt das von uns betrachtete Phänomen nicht vollständig. Es gibt noch einen weiteren Faktor. Wenn also ein Lichtstrahl die Grenze zwischen einem weniger dichten optischen Medium wie Luft und einem dichteren optischen Medium wie Wasser passiert, dringt ein Teil des Lichtstrahls nicht in das Innere ein neue Umgebung, sondern wird von seiner Oberfläche reflektiert. Der andere Teil des Lichtstrahls dringt ins Innere ein, ändert jedoch die Richtung.

Dieses Phänomen wird Lichtbrechung genannt, und Wissenschaftler sind seit langem in der Lage, den Winkel dieser Brechung nicht nur zu beobachten, sondern auch genau zu berechnen. Es stellte sich heraus, dass es das einfachste war trigonometrische Formeln und die Kenntnis des Sinus des Einfallswinkels und des Brechungswinkels ermöglichen es, den konstanten Brechungsindex für den Übergang eines Lichtstrahls von einem bestimmten Medium in ein anderes herauszufinden. Beispielsweise ist der Brechungsindex von Luft extrem klein und beträgt 1,0002926, der Brechungsindex von Wasser ist etwas höher – 1,332986, Diamant bricht Licht mit einem Koeffizienten von 2,419 und Silizium – 4,010.

Dieses Phänomen liegt dem sogenannten zugrunde Regenbogentheorien. Die Regenbogentheorie wurde erstmals 1637 von Rene Descartes vorgeschlagen. Er erklärte Regenbögen als ein Phänomen, das mit der Reflexion und Brechung von Licht in Regentropfen zusammenhängt.

Ein Regenbogen entsteht, weil Sonnenlicht durch in der Luft schwebende Wassertröpfchen nach dem Brechungsgesetz gebrochen wird:

wobei n 1 =1, n 2 ≈1,33 die Brechungsindizes von Luft bzw. Wasser sind, α der Einfallswinkel und β der Brechungswinkel des Lichts ist.

Anwendung der Trigonometrie in Kunst und Architektur.

Seit es den Menschen auf der Erde gibt, ist die Wissenschaft zur Grundlage für die Verbesserung des Alltagslebens und anderer Lebensbereiche geworden. Die Grundlagen von allem, was der Mensch geschaffen hat, sind verschiedene Richtungen in der Natur und mathematische Wissenschaften. Eine davon ist die Geometrie. Architektur ist nicht das einzige Wissenschaftsgebiet, in dem trigonometrische Formeln verwendet werden. Die meisten kompositorischen Entscheidungen und die Erstellung von Zeichnungen erfolgten präzise mit Hilfe der Geometrie. Aber theoretische Daten sagen wenig aus. Betrachten wir ein Beispiel für die Konstruktion einer Skulptur eines französischen Meisters des Goldenen Zeitalters der Kunst.

Das Verhältnis der Proportionen bei der Konstruktion der Statue war ideal. Als die Statue jedoch auf einen hohen Sockel gestellt wurde, sah sie hässlich aus. Der Bildhauer hat nicht berücksichtigt, dass in der Perspektive zum Horizont hin viele Details reduziert werden und bei der Betrachtung von unten nach oben der Eindruck seiner Idealität nicht mehr entsteht. Viele Berechnungen wurden durchgeführt, damit die Zahl mit Hohe Höhe sah proportional aus. Sie basierten hauptsächlich auf der Methode der Visierung, also der ungefähren Messung mit dem Auge. Der Differenzkoeffizient bestimmter Proportionen ermöglichte es jedoch, die Figur dem Ideal näher zu bringen. Wenn wir also den ungefähren Abstand von der Statue zum Blickpunkt kennen, nämlich von der Spitze der Statue bis zu den Augen der Person und die Höhe der Statue, können wir den Sinus des Einfallswinkels des Blicks mithilfe einer Tabelle berechnen. Dadurch wird der Standpunkt gefunden (Abb. 4).

In Abbildung 5 ändert sich die Situation, da die Statue auf eine Höhe angehoben wird AC und NS nimmt zu, wir können die Werte des Kosinus des Winkels C berechnen und aus der Tabelle den Einfallswinkel des Blicks ermitteln. Dabei können Sie sowohl AN als auch den Sinus des Winkels C berechnen und so die Ergebnisse anhand des Hauptwertes überprüfen trigonometrische Identität cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Durch Vergleich der AN-Messungen im ersten und zweiten Fall kann man den Proportionalitätskoeffizienten ermitteln. Anschließend erhalten wir eine Zeichnung und anschließend eine Skulptur. Beim Anheben kommt die Figur optisch dem Ideal näher

Berühmte Gebäude auf der ganzen Welt wurden dank der Mathematik entworfen, die als das Genie der Architektur angesehen werden kann. Einige berühmte Beispiele für solche Gebäude: Gaudi-Kinderschule in Barcelona, ​​​​Mary Axe-Wolkenkratzer in London, Weingut Bodegas Isios in Spanien, Restaurant in Los Manantiales in Argentinien. Beim Entwurf dieser Gebäude wurde die Trigonometrie einbezogen.

Trigonometrie in der Biologie.

Einer von grundlegende Eigenschaften Die belebte Natur ist die zyklische Natur der meisten darin ablaufenden Prozesse. Zwischen der Bewegung Himmelskörper und lebenden Organismen auf der Erde gibt es eine Verbindung. Lebende Organismen fangen nicht nur das Licht und die Wärme von Sonne und Mond ein, sondern verfügen auch über verschiedene Mechanismen, die den Sonnenstand genau bestimmen und auf den Rhythmus der Gezeiten, die Mondphasen und die Bewegung unseres Planeten reagieren.

Biologische Rhythmen, Biorhythmen, sind mehr oder weniger regelmäßige Veränderungen in der Art und Intensität biologischer Prozesse. Die Fähigkeit, solche Veränderungen in der Lebensaktivität vorzunehmen, ist vererbt und findet sich in fast allen lebenden Organismen. Sie können in einzelnen Zellen, Geweben und Organen, ganzen Organismen und Populationen beobachtet werden. Biorhythmen werden unterteilt in physiologisch, mit Zeiträumen von Bruchteilen einer Sekunde bis zu mehreren Minuten und Umwelt, Dauer, die mit jedem Rhythmus übereinstimmt Umfeld. Dazu gehören Tages-, Saison-, Jahres-, Gezeiten- und Mondrhythmen. Der Hauptrhythmus der Erde ist täglich und wird durch die Rotation der Erde um ihre Achse bestimmt. Daher haben fast alle Prozesse in einem lebenden Organismus eine tägliche Periodizität.

Viele Umweltfaktoren auf unserem Planeten, vor allem Lichtverhältnisse, Temperatur, Luftdruck und Luftfeuchtigkeit, atmosphärische und elektromagnetische Felder, Meeresgezeiten, verändern sich auf natürliche Weise unter dem Einfluss dieser Rotation.

Wir bestehen zu 75 Prozent aus Wasser, und wenn im Moment des Vollmonds das Wasser der Weltmeere 19 Meter über dem Meeresspiegel ansteigt und die Flut beginnt, dann strömt das Wasser in unserem Körper auch in die oberen Teile unseres Körpers. Und bei Menschen mit hohem Blutdruck kommt es in diesen Zeiträumen häufig zu einer Verschlimmerung der Krankheit, und Naturforscher, die Heilkräuter sammeln, wissen genau, in welcher Mondphase die „Spitzen (Früchte)“ und in welcher die „Wurzeln“ gesammelt werden sollen.

Haben Sie bemerkt, dass Ihr Leben in bestimmten Phasen unerklärliche Sprünge macht? Plötzlich, aus dem Nichts, strömen die Emotionen über. Die Sensibilität nimmt zu, was plötzlich in völlige Apathie umschlagen kann. Kreative und fruchtlose Tage, glückliche und unglückliche Momente, plötzliche Stimmungsschwankungen. Es wurde festgestellt, dass sich die Fähigkeiten des menschlichen Körpers periodisch ändern. Dieses Wissen liegt der „Theorie der drei Biorhythmen“ zugrunde.

Körperlicher Biorhythmus– reguliert die körperliche Aktivität. In der ersten Hälfte des körperlichen Zyklus ist ein Mensch voller Energie und erzielt bei seinen Aktivitäten bessere Ergebnisse (in der zweiten Hälfte weicht die Energie der Faulheit).

Emotionaler Rhythmus – Während seiner Aktivität nimmt die Empfindlichkeit zu und die Stimmung verbessert sich. Eine Person wird gegenüber verschiedenen äußeren Katastrophen aufgeregt. Wenn er gute Laune hat, baut er Luftschlösser, träumt davon, sich zu verlieben und verliebt sich. Wenn der emotionale Biorhythmus abnimmt, lässt die mentale Stärke nach, Lust und freudige Stimmung verschwinden.

Intellektueller Biorhythmus - Es steuert das Gedächtnis, die Lernfähigkeit und das logische Denken. In der Aktivitätsphase kommt es zu einem Anstieg und in der zweiten Phase zu einem Rückgang der kreativen Aktivität, es gibt kein Glück und keinen Erfolg.

Die Theorie der drei Rhythmen.

· Körperlicher Zyklus - 23 Tage. Bestimmt Energie, Kraft, Ausdauer und Bewegungskoordination

· Emotionaler Zyklus – 28 Tage. Zustand nervöses System und Stimmung

· Intellektueller Zyklus – 33 Tage. Bestimmt die kreative Fähigkeit des Einzelnen

Trigonometrie kommt auch in der Natur vor. Bewegung von Fischen im Wasser geschieht nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz, wenn man einen Punkt am Schwanz fixiert und dann die Bewegungsbahn betrachtet. Beim Schwimmen nimmt der Körper des Fisches die Form einer Kurve an, die dem Graphen der Funktion y=tgx ähnelt.

Wenn ein Vogel fliegt, bildet die Flugbahn der Flügelschläge eine Sinuskurve.

Trigonometrie in der Medizin.

Als Ergebnis der Forschung des Studenten Vahid-Reza Abbasi von der iranischen Universität Shiraz konnten Ärzte zum ersten Mal relevante Informationen organisieren elektrische Aktivität Herz oder mit anderen Worten Elektrokardiographie.

Die Formel mit dem Namen Teheran wurde der allgemeinen wissenschaftlichen Gemeinschaft auf der 14. Konferenz für geografische Medizin und anschließend auf der 28. Konferenz über den Einsatz von Computertechnologie in der Kardiologie in den Niederlanden vorgestellt.

Diese Formel ist eine komplexe algebraisch-trigonometrische Gleichung, die aus 8 Ausdrücken, 32 Koeffizienten und 33 Hauptparametern besteht, darunter mehrere zusätzliche Parameter für Berechnungen bei Herzrhythmusstörungen. Laut Ärzten erleichtert diese Formel die Beschreibung der wichtigsten Parameter der Herzaktivität erheblich und beschleunigt dadurch die Diagnose und den Beginn der Behandlung.

Viele Menschen müssen ein Kardiogramm des Herzens erstellen, aber nur wenige wissen, dass das Kardiogramm des menschlichen Herzens ein Sinus- oder Kosinusdiagramm ist.

Die Trigonometrie hilft unserem Gehirn, Entfernungen zu Objekten zu bestimmen. Amerikanische Wissenschaftler behaupten, dass das Gehirn die Entfernung zu Objekten abschätzt, indem es den Winkel zwischen der Erdebene und der Sichtebene misst. Diese Schlussfolgerung wurde nach einer Reihe von Experimenten gezogen, bei denen die Teilnehmer gebeten wurden, sich dies anzusehen die Umwelt durch Prismen, die diesen Winkel vergrößern.

Diese Verzerrung führte dazu, dass experimentelle Prismenträger entfernte Objekte als näher wahrnahmen und mit einfachsten Tests nicht zurechtkamen. Einige der Versuchsteilnehmer beugten sich sogar nach vorne und versuchten, ihren Körper senkrecht zur fälschlicherweise vorgestellten Erdoberfläche auszurichten. Nach 20 Minuten gewöhnten sie sich jedoch an die verzerrte Wahrnehmung und alle Probleme verschwanden. Dieser Umstand weist auf die Flexibilität des Mechanismus hin, mit dem das Gehirn das visuelle System an sich ändernde äußere Bedingungen anpasst. Interessant ist, dass nach dem Entfernen der Prismen für einige Zeit der gegenteilige Effekt beobachtet wurde – eine Überschätzung der Entfernung.

Die Ergebnisse der neuen Studie werden, wie man annehmen könnte, sowohl für Ingenieure von Interesse sein, die Navigationssysteme für Roboter entwerfen, als auch für Spezialisten, die an der Erstellung möglichst realistischer virtueller Modelle arbeiten. Auch Anwendungen im medizinischen Bereich sind möglich, etwa bei der Rehabilitation von Patienten mit Schädigungen bestimmter Hirnareale.

Abschluss

Derzeit trigonometrische Berechnungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Technik eingesetzt. Sehr wichtig verfügt über eine Triangulationstechnik, mit der Sie Entfernungen zu nahegelegenen Sternen in der Astronomie, zwischen Orientierungspunkten in der Geographie messen und Satellitennavigationssysteme steuern können. Bemerkenswert ist auch die Anwendung der Trigonometrie in Bereichen wie Musiktheorie, Akustik, Optik, Finanzmarktanalyse, Elektronik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Medizin (einschließlich). Ultraschall(Ultraschall) und Computertomographie), Pharmazie, Chemie, Zahlentheorie, Seismologie, Meteorologie, Ozeanologie, Kartographie, viele Zweige der Physik, Topographie und Geodäsie, Architektur, Wirtschaftswissenschaften, Elektrotechnik, Maschinenbau, Computergrafik, Kristallographie.

Schlussfolgerungen:

· Wir fanden heraus, dass die Trigonometrie durch die Notwendigkeit, Winkel zu messen, ins Leben gerufen wurde, sich aber im Laufe der Zeit zur Wissenschaft der trigonometrischen Funktionen entwickelte.

· Wir haben nachgewiesen, dass die Trigonometrie eng mit der Physik und Biologie verbunden ist und in der Natur, Architektur und Medizin zu finden ist.

· Wir glauben, dass die Trigonometrie Einzug in unser Leben gehalten hat und die Bereiche, in denen sie eine wichtige Rolle spielt, weiter zunehmen werden.

Literatur

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3. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule: Klassen IX-X. - M.: Bildung, 1983.

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5. Rybnikov K.A. Geschichte der Mathematik: Lehrbuch. - M.: Verlag der Moskauer Staatlichen Universität, 1994.

6. Ucheba.ru

7. Math.ru „Bibliothek“

Trigonometrie in Medizin und Biologie

Bohrhythm-Modell kann mit trigonometrischen Funktionen konstruiert werden. Um ein Biorhythmusmodell zu erstellen, müssen Sie das Geburtsdatum, das Referenzdatum (Tag, Monat, Jahr) und die Prognosedauer (Anzahl der Tage) der Person eingeben.

Herzformel. Als Ergebnis einer Studie des iranischen Studenten Vahid-Reza Abbasi von der Shiraz-Universität konnten Ärzte erstmals Informationen im Zusammenhang mit der elektrischen Aktivität des Herzens, also der Elektrokardiographie, organisieren. Die Formel ist eine komplexe algebraisch-trigonometrische Gleichung, die aus 8 Ausdrücken, 32 Koeffizienten und 33 Hauptparametern besteht, darunter mehrere zusätzliche für Berechnungen bei Herzrhythmusstörungen. Laut Ärzten erleichtert diese Formel die Beschreibung der wichtigsten Parameter der Herzaktivität erheblich und beschleunigt dadurch die Diagnose und den Beginn der Behandlung.

Trigonometrie hilft unserem Gehirn auch dabei, Entfernungen zu Objekten zu bestimmen.

1) Trigonometrie hilft unserem Gehirn, Entfernungen zu Objekten zu bestimmen.

Amerikanische Wissenschaftler behaupten, dass das Gehirn die Entfernung zu Objekten abschätzt, indem es den Winkel zwischen der Erdebene und der Sichtebene misst. Streng genommen ist die Idee der „Winkelmessung“ nicht neu. Weitere Künstler Antikes China Sie zeichneten entfernte Objekte höher im Sichtfeld und vernachlässigten dabei etwas die Gesetze der Perspektive. Die Theorie der Entfernungsbestimmung durch Winkelschätzung wurde im 11. Jahrhundert vom arabischen Wissenschaftler Alhazen formuliert. Nach einer langen Zeit des Vergessens in der Mitte des letzten Jahrhunderts wurde die Idee vom Psychologen James wiederbelebt

2)Bewegung von Fischen im Wasser geschieht nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz, wenn man einen Punkt am Schwanz fixiert und dann die Bewegungsbahn betrachtet. Beim Schwimmen nimmt der Körper des Fisches die Form einer Kurve an, die dem Graphen der Funktion y=tg(x) ähnelt.
5. Schlussfolgerung

Als Ergebnis der Hinrichtung Forschungsarbeit:

· Ich habe die Geschichte der Trigonometrie kennengelernt.

· Systematisierte Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

· Erfahren Sie mehr über die Anwendungen der Trigonometrie in Architektur, Biologie und Medizin.

TRIGONOMETRIE– (vom griechischen trigwnon – Dreieck und metrew – ich messe) – mathematische Disziplin, das die Beziehungen zwischen den Winkeln und Seiten von Dreiecken untersucht und trigonometrische Funktionen.

Der Begriff „Trigonometrie“ wurde 1595 vom deutschen Mathematiker und Theologen Bartholomäus Pitiscus, dem Autor eines Lehrbuchs über Trigonometrie und trigonometrische Tabellen, eingeführt. Bis zum Ende des 16. Jahrhunderts. Die meisten trigonometrischen Funktionen waren bereits bekannt, obwohl das Konzept selbst noch nicht existierte.

In der Trigonometrie gibt es drei Arten von Beziehungen: 1) zwischen den trigonometrischen Funktionen selbst; 2) zwischen den Elementen eines ebenen Dreiecks (Trigonometrie in einer Ebene); 3) zwischen den Elementen eines sphärischen Dreiecks, d.h. eine Figur, die durch drei Ebenen, die durch die Mitte verlaufen, in eine Kugel geschnitzt ist. Die Trigonometrie begann genau mit dem komplexesten, sphärischen Teil. Es entstand in erster Linie aus praktischen Bedürfnissen. Die Alten beobachteten die Bewegung himmlische Körper. Wissenschaftler verarbeiteten Messdaten, um einen Kalender zu führen und den Beginn der Aussaat und Ernte sowie die Daten religiöser Feiertage korrekt zu bestimmen. Mithilfe der Sterne konnte der Standort eines Schiffes auf See oder die Bewegungsrichtung einer Karawane in der Wüste berechnet werden. Beobachtungen zu sternenklarer Himmel Seit jeher führen auch Astrologen.

Natürlich handelt es sich bei allen Messungen, die sich auf die Position der Leuchten am Himmel beziehen, um indirekte Messungen. Gerade Linien konnten nur auf der Erdoberfläche gezeichnet werden, aber auch hier war es nicht immer möglich, den Abstand zwischen einigen Punkten direkt zu bestimmen, und dann griff man erneut darauf zurück indirekte Messungen. Sie berechneten beispielsweise die Höhe eines Baumes, indem sie die Länge seines Schattens mit der Länge des Schattens eines Pfahls verglichen, dessen Höhe bekannt war. Die Größe der Insel im Meer wurde auf ähnliche Weise berechnet. Solche Probleme laufen auf die Analyse eines Dreiecks hinaus, in dem einige seiner Elemente durch andere ausgedrückt werden. Das ist es, was die Trigonometrie bewirkt. Und da die Sterne und Planeten von den Alten als Punkte dargestellt wurden Himmelssphäre Dann begann sich zunächst die sphärische Trigonometrie zu entwickeln. Es galt als Zweig der Astronomie.

Und alles begann vor sehr langer Zeit. Die ersten fragmentarischen Informationen zur Trigonometrie wurden auf Keilschrifttafeln aus dem antiken Babylon aufbewahrt. Astronomen aus Mesopotamien lernten, die Position der Erde und der Sonne vorherzusagen, und von ihnen kam das System zur Messung von Winkeln in Grad, Minuten und Sekunden zu uns, weil die Babylonier ein sexagesimales Zahlensystem übernahmen.

Die ersten wirklich wichtigen Errungenschaften stammten jedoch von antiken griechischen Wissenschaftlern. Zum Beispiel der 12. und 13. Satz des zweiten Buches Begann Euklid (spätes 4.–3. Jahrhundert v. Chr.) drückt im Wesentlichen den Kosinussatz aus. Im 2. Jahrhundert. Chr. Der Astronom Hipparchos von Nicäa (180–125 v. Chr.) stellte eine Tabelle zusammen, um die Beziehungen zwischen den Elementen von Dreiecken zu bestimmen. Solche Tabellen werden benötigt, da die Werte trigonometrischer Funktionen nicht aus den Argumenten berechnet werden können Rechenoperationen. Trigonometrische Funktionen mussten vorab berechnet und in Tabellen gespeichert werden. Hipparchos berechnete die Länge der Sehnen in einem Kreis mit einem bestimmten Radius, entsprechend allen Winkeln von 0 bis 180°, Vielfache von 7,5°. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um eine Sinustabelle. Die Werke von Hipparchos sind uns nicht überliefert, aber viele ihrer Informationen sind in enthalten Almagest(II. Jahrhundert) – ein berühmtes Werk in 13 Büchern des griechischen Astronomen und Mathematikers Claudius Ptolemäus (gest. um 160 n. Chr.). Die alten Griechen kannten Sinus, Cosinus und Tangens nicht; statt Tabellen dieser Größen verwendeten sie Tabellen, die es ermöglichten, die Sehne eines Kreises entlang eines aufgespannten Bogens zu ermitteln. IN Almagest Der Autor liefert eine Tabelle der Sehnenlängen eines Kreises mit einem Radius von 60 Einheiten, berechnet in Schritten von 0,5° mit einer Genauigkeit von 1/3600 einer Einheit, und erklärt, wie diese Tabelle zusammengestellt wurde. Das Werk des Ptolemäus diente den Astronomen mehrere Jahrhunderte lang als Einführung in die Trigonometrie.

Um zu verstehen, wie antike Wissenschaftler kompilierten trigonometrische Tabellen, müssen Sie sich mit der Methode des Ptolemäus vertraut machen. Die Methode basiert auf dem Satz: Das Produkt der Diagonalen eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks ist gleich der Summe der Produkte seiner gegenüberliegenden Seiten.

Lassen A B C D beschriftetes Viereck , ANZEIGE - Durchmesser eines Kreises und eines Punktes Ö– seine Mitte (Abb. 1). Wenn Sie wissen, wie man die Winkel zwischen Akkorden berechnet DOC= ein und Geburtsdatum = b, also Seite CD und diagonal B, dann, nach dem Satz des Pythagoras, aus rechtwinkligen Dreiecken ADV Und ADC kann gefunden werden AB und AC, und dann, nach dem Satz des Ptolemäus, - B.C. = (Wechselstrom· ВD – АВ· CD) /ANZEIGE, d.h. Akkord, der einen Winkel begrenzt VOS= b - A. Einige Sehnen, beispielsweise die Seiten eines Quadrats, eines regelmäßigen Sechsecks und eines Achtecks, die den Winkeln 90, 60 und 45° entsprechen, sind leicht zu bestimmen. Bekannt ist auch die Seite eines regelmäßigen Fünfecks, die einen Bogen von 72° aufspannt. Mit der obigen Regel können Sie Sehnen für Differenzen dieser Winkel berechnen, beispielsweise für 12° = 72° – 60°. Darüber hinaus können Sie Sehnen von halben Winkeln finden, aber das reicht nicht aus, um zu berechnen, was die Sehne eines Bogens von 1° ist, schon allein deshalb, weil alle diese Winkel Vielfache von 3° sind. Für die Sehne 1° fand Ptolemäus eine Schätzung, die zeigt, dass sie mehr als 2/3 der Sehne (3/2)° und weniger als 4/3 der Sehne (3/4)° beträgt – zwei Zahlen, die mit ausreichend übereinstimmen Genauigkeit für seine Tabellen.

Wenn die Griechen Akkorde aus Winkeln berechneten, dann indische Astronomen in den Werken des 4.–5. Jahrhunderts. ging weiter zu den Halbakkorden des Doppelbogens, d.h. genau auf die Sinuslinien (Abb. 2). Sie verwendeten auch die Linien des Kosinus – oder besser gesagt, nicht den Kosinus selbst, sondern den „invertierten“ Sinus, der später in Europa den Namen „Sinus-versus“ erhielt; jetzt ist diese Funktion gleich 1 – cos a, nicht mehr verwendet. Anschließend führte der gleiche Ansatz zur Definition trigonometrischer Funktionen anhand von Seitenverhältnissen rechtwinkliges Dreieck.

Pro Maßeinheit der Segmente Abgeordneter,OP,PA Bogenminute wurde aufgenommen. Also die Sinuslinie des Bogens AB= 90° ja O.B.– Radius des Kreises; Bogen AL, gleich dem Radius, enthält (gerundet) 57°18" = 3438".

Die uns überlieferten indischen Sinustabellen (die älteste wurde im 4.–5. Jahrhundert n. Chr. zusammengestellt) sind nicht so genau wie die ptolemäischen; Sie sind in Abständen von 3°45 Zoll zusammengesetzt (d. h. in 1/24 des Quadrantenbogens).

Die Begriffe „Sinus“ und „Cosinus“ stammen von den Indern, allerdings nicht ohne ein merkwürdiges Missverständnis. Die Inder nannten den Halbakkord „ardhajiva“ (aus dem Sanskrit übersetzt „die Hälfte der Bogensehne“) und verkürzten dieses Wort dann zu „jiva“. Muslimische Astronomen und Mathematiker, die von den Indern Kenntnisse über Trigonometrie erhielten, nahmen es als „Jiba“ und verwandelten es dann in „Jaib“, was auf Arabisch „Konvexität“, „Sinus“ bedeutet. Schließlich im 7. Jahrhundert. „Halse“ wurde wörtlich ins Lateinische als „Sinus“ übersetzt. , was nichts mit dem Begriff zu tun hatte, den es bezeichnet. Das Sanskritwort „kotijiva“ ist der Sinus des Restes (bis zu 90°) und im Lateinischen heißt es sinus complementi, d. h. Sinuskomplement, im 17. Jahrhundert. abgekürzt zum Wort „Kosinus“. Die Namen „Tangente“ und „Sekante“ (aus dem Lateinischen übersetzt bedeutet „Tangente“ und „Sekante“) wurden 1583 vom deutschen Wissenschaftler Fink eingeführt.

Arabische Wissenschaftler wie Al-Battani (ca. 900 n. Chr.) leisteten große Beiträge zur Entwicklung der Trigonometrie. Im 10. Jahrhundert Der Bagdader Wissenschaftler Muhammad aus Bujan, bekannt als Abu-l-Vefa (940–997), fügte den Sinus- und Kosinuslinien Linien aus Tangenten, Kotangenten, Sekanten und Kosekanten hinzu. Er gibt ihnen die gleichen Definitionen, die in unseren Lehrbüchern enthalten sind. Abul-Vefa stellt auch die grundlegenden Beziehungen zwischen diesen Linien her.

Also bis zum Ende des 10. Jahrhunderts. Wissenschaftler der islamischen Welt arbeiteten neben Sinus und Cosinus bereits mit vier weiteren Funktionen – Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans; entdeckte und bewies mehrere wichtige Theoreme der ebenen und sphärischen Trigonometrie; sie verwendeten einen Kreis mit Einheitsradius (was es ermöglichte, trigonometrische Funktionen im modernen Sinne zu interpretieren); Erfand das Polardreieck eines sphärischen Dreiecks. Arabische Mathematiker erstellten präzise Tabellen, zum Beispiel Sinus- und Tangententabellen mit einer Schrittweite von 1 Zoll und einer Genauigkeit von 1/700.000.000. Eine sehr wichtige angewandte Aufgabe war diese: zu lernen, die Richtung nach Mekka für die fünf täglichen Gebete zu bestimmen, wo auch immer der Muslim war.

Besonders großer Einfluss beeinflusste die Entwicklung der Trigonometrie Abhandlung über das vollständige Viereck Astronom Nasir-ed-Din aus Tus (1201–1274), auch bekannt als at-Tusi. Dies war das erste Werk weltweit, in dem die Trigonometrie als eigenständiger Zweig der Mathematik behandelt wurde.

Im 12. Jahrhundert wurde übertragen von Arabisch zu einer Reihe lateinischer astronomischer Werke, aus denen die Europäer erstmals die Trigonometrie kennenlernten.

Nasir-ed-Dins Abhandlung machte großen Eindruck auf den deutschen Astronomen und Mathematiker Johann Müller (1436–1476). Seine Zeitgenossen kannten ihn besser unter dem Namen Regiomontana (so wird sein Name ins Lateinische übersetzt). Heimatort Königsberg, heute Kaliningrad). Regiomontan hat umfangreiche Sinustabellen erstellt (in 1 Minute, auf die Septim genau). Signifikante Figur). Erstmals wich er von der sexagesimalen Teilung des Radius ab und nahm als Maßeinheit für die Sinuslinie ein Zehnmillionstel des Radius. Daher wurden Sinuswerte als ganze Zahlen und nicht als sexagesimale Brüche ausgedrückt. Vor der Einführung Dezimalstellen Es war nur noch ein Schritt übrig, aber es dauerte mehr als 100 Jahre. Labour Regiomontana Fünf Bücher über Dreiecke aller Art spielte in der europäischen Mathematik die gleiche Rolle wie die Arbeit von Nasir-ed-Din in der Wissenschaft muslimischer Länder.

Den Tabellen des Regiomontanus folgten eine Reihe weiterer, noch ausführlicherer. Kopernikus‘ Freund Rheticus (1514–1576) arbeitete zusammen mit mehreren Assistenten 30 Jahre lang an den 1596 von seinem Schüler Otto fertiggestellten und veröffentlichten Tafeln. Die Winkel gingen durch 10 ", und der Radius wurde in 1.000.000.000.000.000 Teile geteilt, so dass die Sinus 15 korrekte Ziffern hatten.

Die Weiterentwicklung der Trigonometrie folgte dem Weg der Akkumulation und Systematisierung von Formeln, der Klärung grundlegender Konzepte sowie der Entwicklung von Terminologie und Notation. Viele europäische Mathematiker arbeiteten auf dem Gebiet der Trigonometrie. Unter ihnen sind so große Wissenschaftler wie Nikolaus Kopernikus (1473–1543), Tycho Brahe (1546–1601) und Johannes Kepler (1571–1630). François Viète (1540–1603) ergänzte und systematisierte verschiedene Fälle der Lösung ebener und sphärischer Dreiecke, entdeckte den „flachen“ Kosinussatz und Formeln für trigonometrische Funktionen mehrerer Winkel. Isaac Newton (1643–1727) erweiterte diese Funktionen zu Reihen und ebnete den Weg für ihre Verwendung in der mathematischen Analyse. Leonhard Euler (1707–1783) führte sowohl den eigentlichen Funktionsbegriff als auch die heute akzeptierte Symbolik ein. Mengen sind Sünde X,cos X usw. er betrachtete sie als Funktionen von Zahlen X– Bogenmaß des entsprechenden Winkels. Euler gab die Nummer an X alle möglichen Bedeutungen: positiv, negativ und sogar komplex. Er entdeckte auch den Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und dem Exponenten eines komplexen Arguments, der es ermöglichte, zahlreiche und oft sehr komplizierte trigonometrische Formeln in einfache Konsequenzen der Additions- und Multiplikationsregeln umzuwandeln komplexe Zahlen. Er führte auch inverse trigonometrische Funktionen ein.

Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts. Die Trigonometrie als Wissenschaft hat bereits Gestalt angenommen. Trigonometrische Funktionen finden Anwendung in der mathematischen Analysis, der Physik, der Chemie und den Ingenieurwissenschaften – überall dort, wo es mit periodischen Vorgängen und Schwingungen zu tun hat – sei es in der Akustik, Optik oder beim Schwingen eines Pendels.

Bei der Lösung beliebiger Dreiecke kommt es letztendlich darauf an, rechtwinklige Dreiecke zu lösen (d. h. solche, bei denen einer der Winkel ein rechter Winkel ist). Da alle rechtwinkligen Dreiecke mit einem gegebenen spitzen Winkel einander ähnlich sind, sind die Verhältnisse ihrer jeweiligen Seiten gleich. Zum Beispiel in einem rechtwinkligen Dreieck ABC das Verhältnis seiner beiden Seiten, zum Beispiel Bein A zur Hypotenuse Mit, hängt beispielsweise von der Größe eines der spitzen Winkel ab A. Man nennt die Verhältnisse verschiedener Seitenpaare eines rechtwinkligen Dreiecks trigonometrische Funktionen sein spitzer Winkel. In einem Dreieck gibt es sechs solcher Beziehungen, denen sechs trigonometrische Funktionen entsprechen (Bezeichnungen der Seiten und Winkel des Dreiecks in Abb. 3).

Als A + IN= 90° also

Sünde A=cos B= cos(90° – A),

A=ctg B= ctg (90° – A).

Aus den Definitionen ergeben sich mehrere Gleichungen, die trigonometrische Funktionen gleichen Winkels miteinander verbinden:

Unter Berücksichtigung des Satzes des Pythagoras A 2 + B 2 = C 2. Sie können alle sechs Funktionen durch nur eine ausdrücken. Sinus und Cosinus hängen beispielsweise durch die grundlegende trigonometrische Identität zusammen

Sünde 2 A+ weil 2 A = 1.

Einige Beziehungen zwischen Funktionen:

Diese Formeln gelten auch für trigonometrische Funktionen eines beliebigen Winkels, müssen jedoch mit Vorsicht verwendet werden, da die rechte und die linke Seite haben können verschiedene Bereiche Definitionen.

Es gibt nur zwei rechtwinklige Dreiecke, die auch „gute“ Winkel haben (ausgedrückt als ganze Zahl oder). Rationale Zahl Grad) und mindestens eine der Beziehungen der Parteien ist rational. Das gleichschenkligen Dreiecks(mit Winkeln 45, 45 und 90°) und halb gleichseitiges Dreieck(mit Winkeln von 30, 60, 90°) – das sind genau die beiden Fälle, in denen die Werte trigonometrischer Funktionen per Definition direkt berechnet werden können. Diese Werte sind in der Tabelle angegeben

N	0	1	2	3	4
Ecke	0	30°	45°	60°	90°
Sünde
cos
tg
ctg			Die im Sinussatz enthaltenen Beziehungen sind einfach geometrische Bedeutung. Wenn Sie einen Kreis um ein Dreieck beschreiben ABC(Abb. 4) und zeichnen Sie den Durchmesser ein BD, dann nach dem Satz des eingeschriebenen Winkels P BCD= P A oder, wenn der Winkel stumpf ist, 180° – A. Auf jeden Fall A = B.C. = BD Sünde A = 2 R Sünde A oder Wo R– Radius des umschriebenen Kreises des Dreiecks ABC. Dies ist ein „verstärkter“ Sinussatz, der erklärt, warum die Akkordtabellen der Antike im Wesentlichen Sinustabellen waren. Auch der Kosinussatz ist bewiesen Mit 2 = A 2 + B 2 – 2ab cos MIT. Damit können Sie die Seite eines Dreiecks aus den beiden anderen Seiten und den Winkel zwischen ihnen sowie die Winkel von drei Seiten ermitteln. Es gibt beispielsweise eine Reihe weiterer Beziehungen zwischen den Elementen eines Dreiecks. Tangentensatz: wo weil(a + B ) = cos a cos b – Sünde a Sünde b, weil(a – B) = cos a cos b + Sünde a Sünde b. Allgemeine Definition trigonometrischer Funktionen Lassen Sie den Punkt mit Einheitsgeschwindigkeit entlang wandern Einheitskreis im Ursprung zentriert UM gegen den Uhrzeigersinn (Abb. 5). In dem Moment T= 0 Punkte bestanden P0(10). Während T Ein Punkt verläuft durch einen Längenbogen T und nimmt die Position ein P t, was den Winkel bedeutet, durch den ein Strahl auf diesen Punkt gerichtet ist UM, ist auch gleich T. Daher vergleichen wir jeden Zeitpunkt, d. h. Punkt T echte Linie, Punkt P t Einheitskreis. Diese Abbildung einer Linie auf einen Kreis wird manchmal „Windung“ genannt. Wenn wir uns die reale Achse als einen endlosen, nicht dehnbaren Faden vorstellen, wenden wir einen Punkt an t = 0 bis Punkt P0 Kreisen Sie und beginnen Sie, beide Enden des Fadens um den Kreis zu wickeln, dann um jeden Punkt T wird genau das Richtige sein P t. Dabei: 1) Achspunkte, die um eine ganze Zahl von Kreislängen voneinander entfernt sind, also um 2 pk(k=±1, ±2, …), fallen am selben Punkt auf dem Kreis; 2) Punkte T Und -T fallen in symmetrische Punkte in Bezug auf Ochse; 3) bei 0 Ј TЈ P Ecke P 0 OPt in einer Halbebene ausgelegt bei i 0 und gleich T(Abb. 8). Diese drei Bedingungen bilden die formale Definition einer solchen Abbildung – Wicklung. Aufgrund der Bedingung 3 bei 0 = TЈ P Die Koordinaten des Punktes p sind gleich (cos T, Sünde T). Diese Beobachtung legt die Definition nahe: Kosinus und Sinus einer beliebigen Zahl T die Abszisse und die Ordinate eines Punktes werden jeweils aufgerufen P t. Tangenten können auch über Koordinaten bestimmt werden. Zeichnen wir eine Tangente an den Einheitskreis im Punkt (1; 0) (Abb. 7). Sie wird Tangentenachse genannt. Punkt Q t Schnittpunkt einer Geraden OPt mit der Tangentenachse hat Koordinaten (1; sin T/cos T), und seine Ordinate ist per Definition gleich tg T. Von Absolutwert ist die Länge des Tangentensegments, aus dem gezogen wird Q t zum Kreis. Daher ist die Bezeichnung „Tangente“ völlig berechtigt. Übrigens, wie die Sekante: in Abb. 9 Sek T- Liniensegment OQ t , was jedoch nicht die gesamte Sekante ist, sondern ein Teil davon. Schließlich kann der Kotangens als Abszisse des Schnittpunkts definiert werden OPt mit der Kotangensachse – Tangente an den Einheitskreis im Punkt (0, 1): ctg T=cos T/Sünde T. Nun sind für alle Zahlen trigonometrische Funktionen definiert. Marina Fedosova

Mathearbeit
« Trigonometrie und ihre praktischen Anwendungen »

Durchgeführt:

Student im 2. Jahr

Gruppen KD-207

Suworowa Elena Viktorowna
Aufsicht:

Mathematiklehrer

Orlowa Galina Nikolajewna

Einleitung 3

Geschichte der Trigonometrie 5

Architektur 6

Biologie. Medizin 7

Fazit 11

Einleitung 3

Geschichte der Trigonometrie 5

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens 5

Architektur 6

Biologie. Medizin 7

Bestimmung der Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt 8

Fazit 11

Einführung

Trigonometrie -eine der ältesten und interessantesten Wissenschaften, die studiert wird geometrische Formen. Ohne ihre Existenz ist unsere Welt nicht vorstellbar. Diese Wissenschaft verfügt über einen riesigen Vorrat an verschiedenen Theoremen, die ständig zur Lösung verwendet werden mathematische Probleme, also im Leben.

Viele Leute stellen Fragen: Warum wird Trigonometrie benötigt? Wie wird es in unserer Welt verwendet? Womit kann Trigonometrie zusammenhängen? Und hier sind die Antworten auf diese Fragen. Trigonometrie oder trigonometrische Funktionen werden in der Astronomie (insbesondere zur Berechnung der Positionen von Himmelsobjekten) verwendet, wenn sphärische Trigonometrie erforderlich ist, in der See- und Luftfahrt, in der Musiktheorie, in der Akustik, in der Optik, in der Finanzmarktanalyse, in der Elektronik, in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie, in Statistik, Biologie, medizinischer Bildgebung wie Computertomographie und Ultraschall, Pharmazie, Chemie, Zahlentheorie, Meteorologie, Ozeanographie und vielem mehr physikalische Wissenschaften, in der Landvermessung und Geodäsie, in der Architektur, in der Phonetik, in den Wirtschaftswissenschaften, in der Elektrotechnik, im Maschinenbau, im Bauingenieurwesen, in der Computergrafik, in der Kartographie, in der Kristallographie, in der Spieleentwicklung und vielen anderen Bereichen.

Ziel : in der Lage sein, die Sätze von Kosinus und Sinus zu beweisen, sie zur Lösung von Problemen anzuwenden, bei ihrer Verwendung die richtige Lösung zu wählen, zu wissen, wo diese Sätze im Leben angewendet werden, Probleme mit praktischem Inhalt zu betrachten.

Geschichte der Trigonometrie

Wort Trigonometrie erstmals 1505 im Titel eines Buches des deutschen Mathematikers Pitiscus gefunden. Trigonometrie ist ein griechisches Wort und bedeutet wörtlich die Messung von Dreiecken („trigonan“ – Dreieck, „metreo“ – ich messe). Die Entstehung der Trigonometrie ist mit Landvermessung, Astronomie und Bauwesen verbunden. Der größte Anreiz für die Entwicklung der Trigonometrie entstand im Zusammenhang mit der Lösung astronomischer Probleme (zur Lösung von Problemen der Standortbestimmung eines Schiffes, der Vorhersage der Dunkelheit usw.) ab dem 17. Jahrhundert. Trigonometrische Funktionen wurden verwendet, um Gleichungen zu lösen, Probleme der Mechanik, Optik, Elektrizität und Funktechnik zu beschreiben oszillatorische Prozesse, Wellenausbreitung, Bewegung verschiedener Mechanismen, zur Untersuchung von Variablen elektrischer Strom usw.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens

Sinus Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse.

Kosinus Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

Tangente Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der angrenzenden Seiten zur benachbarten Seite.

Kotangens Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

Die Architektur

Weit verbreitet Trigonometrie im Bauwesen und insbesondere in der Architektur. Die meisten kompositorischen Entscheidungen und die Erstellung von Zeichnungen erfolgten präzise mit Hilfe der Geometrie. Aber theoretische Daten sagen wenig aus. Ich möchte ein Beispiel für die Konstruktion einer Skulptur eines französischen Meisters des Goldenen Zeitalters der Kunst geben.

Das Verhältnis der Proportionen bei der Konstruktion der Statue war ideal. Als die Statue jedoch auf einen hohen Sockel gestellt wurde, sah sie hässlich aus. Der Bildhauer hat nicht berücksichtigt, dass in der Perspektive zum Horizont hin viele Details reduziert werden und bei der Betrachtung von unten nach oben der Eindruck seiner Idealität nicht mehr entsteht. Es wurden viele Berechnungen durchgeführt, um sicherzustellen, dass die Figur aus großer Höhe proportional aussieht. Sie basierten hauptsächlich auf der Methode der Visierung, also der ungefähren Messung mit dem Auge. Der Differenzkoeffizient bestimmter Proportionen ermöglichte es jedoch, die Figur dem Ideal näher zu bringen. Wenn wir also den ungefähren Abstand von der Statue zum Blickpunkt kennen, nämlich von der Spitze der Statue bis zu den Augen der Person und die Höhe der Statue, können wir den Sinus des Einfallswinkels des Blicks mithilfe einer Tabelle berechnen ( Wir können das Gleiche mit dem unteren Standpunkt tun) und so den Punkt Vision finden

Die Situation ändert sich, wenn die Statue auf eine Höhe angehoben wird, sodass der Abstand von der Spitze der Statue zu den Augen der Person zunimmt und daher der Sinus des Einfallswinkels zunimmt. Durch den Vergleich der Änderungen im Abstand von der Spitze der Statue zum Boden im ersten und zweiten Fall können wir den Proportionalitätskoeffizienten ermitteln. Anschließend erhalten wir eine Zeichnung und anschließend eine Skulptur. Beim Anheben kommt die Figur optisch dem Ideal näher

Biologie. Medizin

Die Bewegung von Fischen im Wasser erfolgt nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz, wenn man einen Punkt am Schwanz fixiert und dann die Bewegungsbahn betrachtet. Beim Schwimmen nimmt der Körper des Fisches die Form einer Kurve an, die dem Graphen der Funktion y=tgx ähnelt.

Trigonometrie hilft unserem Gehirn, Entfernungen zu Objekten zu bestimmen. Amerikanische Wissenschaftler behaupten, dass das Gehirn die Entfernung zu Objekten abschätzt, indem es den Winkel zwischen der Erdebene und der Sichtebene misst. Streng genommen ist die Idee der „Winkelmessung“ nicht neu. Sogar die Künstler des alten China malten entfernte Objekte höher im Sichtfeld und vernachlässigten dabei etwas die Gesetze der Perspektive. Die Theorie der Entfernungsbestimmung durch Winkelschätzung wurde im 11. Jahrhundert vom arabischen Wissenschaftler Alhazen formuliert. Nach einer langen Zeit des Vergessens wurde die Idee Mitte des letzten Jahrhunderts vom Psychologen James Gibson wiederbelebt, der seine Schlussfolgerungen auf der Grundlage seiner Erfahrungen bei der Arbeit mit Militärfliegerpiloten gründete. Danach geriet die Theorie jedoch wieder in Vergessenheit.

Bestimmung der Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt

Nehmen wir an, wir müssen den Abstand von Punkt A zu einem unzugänglichen Punkt B ermitteln. Wählen Sie dazu Punkt C auf dem Boden aus, zeichnen Sie ein Segment AC und messen Sie es. Dann messen wir mit einem Astrolabium die Winkel A und C. Auf einem Blatt Papier bauen wir eine Art Dreieck A1B1C1, aus dem wir die Längen der Seiten A1B1 und AC1 dieses Dreiecks messen. Da das Dreieck ABC proportional zum Dreieck A1B1C1 ist, ermitteln wir anhand der bekannten Abstände AC, A1C1 und A1B1 den Abstand AB. Um die Berechnungen zu vereinfachen, ist es zweckmäßig, ein Dreieck A1B1C1 so zu konstruieren, dass A1C1:AC = 1:1000. Wenn beispielsweise AC = 130 m ist, dann nehmen Sie den Abstand A1C1 gleich 130 mm an. In diesem Fall

Nachdem wir also den Abstand A1B1 in Millimetern gemessen haben, erhalten wir sofort den Abstand AB in Metern. BEISPIEL. Erstellen wir ein Dreieck A1B1C1, sodass wir das Segment A1B1 messen. Sie beträgt 153 mm, der erforderliche Abstand beträgt also 153 m.

Aufgaben

Aufgabe Nr. 1

Das Boot überquert den Fluss. Aktuelle Geschwindigkeit v1, Bootsgeschwindigkeit relativ zum Wasser v2. In welchem ​​Winkel α zum Ufer sollte das Boot fahren, um den Fluss dahinter zu überqueren? Mindestzeit; der kürzeste Weg?

v2

Lösung:

Abschluss

Während der Studie wurde festgestellt, dass das Studium der Trigonometrie interessant und nützlich ist, da wir im Leben oft auf Trigonometrie stoßen.

Das Lösen von Rechenproblemen trägt zur Entwicklung des konstruktiven Denkens, des analytischen und logischen Denkens bei – was im modernen Leben notwendig ist.

Es wurde festgestellt, dass systematische Arbeiten zur Entwicklung von Fähigkeiten zur Lösung von Geometrieproblemen mithilfe der Trigonometrie zur Entwicklung allgemeiner Fähigkeiten beitragen intellektuelle Entwicklung Schüler, ihre kreativen Fähigkeiten, das Potenzial des Schülers, die Fähigkeit, die Situation zu verstehen, die notwendigen Schlussfolgerungen zu ziehen, wobei das Hauptziel nicht darin besteht, das Ergebnis der Problemlösung zu erhalten, sondern das Problem selbst als eine Reihe logischer Schritte zu lösen was dazu führt, dass man eine Antwort erhält. Es ist sehr wichtig zu lernen, wie man optimale Methoden zur Lösung von Problemen einsetzt, einschließlich trigonometrische Methode ist das einfachste.

Ziel erreicht : Ich habe gelernt, die Sätze von Kosinus und Sinus zu beweisen, sie zur Lösung von Problemen anzuwenden, die richtige Lösung zu wählen, wenn ich sie verwende, habe gelernt, wo diese Sätze im Leben verwendet werden, und habe Probleme mit praktischem Inhalt betrachtet.