كما أشرت بالفعل ، في حساب التفاضل والتكامل لا توجد معادلة ملائمة لدمج كسر. وبالتالي ، هناك اتجاه حزين: فكلما كان الكسر "خياليًا" ، زاد صعوبة العثور على جزء منه. في هذا الصدد ، على المرء أن يلجأ إلى الحيل المختلفة ، والتي سأناقشها الآن. يمكن للقراء المعدة استخدامها على الفور جدول المحتويات:

• طريقة الحصر تحت علامة التفاضل للكسور البسيطة

طريقة التحويل الاصطناعي للبسط

مثال 1

بالمناسبة ، يمكن أيضًا حل التكامل المدروس عن طريق تغيير الطريقة المتغيرة ، مع الإشارة إلى أن الحل سيكون أطول من ذلك بكثير.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". وتجدر الإشارة إلى أن طريقة الاستبدال المتغيرة لن تعمل بعد الآن.

الاهتمام مهم! الأمثلة رقم 1 ، 2 نموذجية وشائعة. على وجه الخصوص ، غالبًا ما تنشأ مثل هذه التكاملات أثناء حل التكاملات الأخرى ، على وجه الخصوص ، عند دمج الوظائف غير المنطقية (الجذور).

الطريقة المذكورة أعلاه تعمل أيضًا في الحالة إذا كانت أعلى قوة في البسط أكبر من أعلى قوة للمقام.

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد. قم بإجراء فحص.

لنبدأ بالبسط.

خوارزمية اختيار البسط هي شيء من هذا القبيل:

1) في البسط أحتاج إلى التنظيم ، لكن هناك. ما يجب القيام به؟ أرفق بين قوسين وأضرب في:.

2) الآن أحاول فتح هذه الأقواس ، ماذا يحدث؟ . حسنًا ... أفضل بالفعل ، لكن لا يوجد شيطان في البداية في البسط. ما يجب القيام به؟ تحتاج إلى الضرب في:

3) فتح القوسين مرة أخرى:. وها هو أول نجاح! الحاجة تحولت! لكن المشكلة تكمن في ظهور مصطلح إضافي. ما يجب القيام به؟ لكي لا يتغير التعبير ، يجب أن أضيف نفس الشيء إلى بنائي:
. أصبحت الحياة أسهل. هل من الممكن التنظيم مرة أخرى في البسط؟

4) يمكنك ذلك. نحاول: . انشر أقواس الحد الثاني:
. آسف ، لكنني فعلت ذلك بالفعل في الخطوة السابقة ، وليس. ما يجب القيام به؟ نحتاج إلى ضرب الحد الثاني في:

5) مرة أخرى ، من أجل التحقق ، أفتح الأقواس في الفصل الدراسي الثاني:
. الآن الأمر طبيعي: تم الحصول عليه من البناء النهائي للفقرة 3! ولكن مرة أخرى ، هناك مصطلح صغير "لكن" ، ظهر مصطلح إضافي ، مما يعني أنه يجب أن أضيف إلى تعبيري:

إذا تم كل شيء بشكل صحيح ، فعند فتح كل الأقواس ، يجب أن نحصل على البسط الأصلي للمتكامل. نحن نفحص:
جيد.

هكذا:

مستعد. في الفصل الأخير ، طبقت طريقة وضع الوظيفة تحت التفاضل.

إذا وجدنا مشتقة الإجابة وأوجدنا المقدار القاسم المشترك، ثم نحصل على التكامل الأصلي بالضبط. الطريقة المدروسة للتوسع في المجموع ليست أكثر من الإجراء العكسي لإحضار التعبير إلى قاسم مشترك.

خوارزمية لاختيار البسط في أمثلة مماثلةمن الأفضل القيام بذلك في شكل مسودة. مع بعض المهارات ، ستعمل أيضًا عقليًا. أتذكر وقتًا قياسيًا عندما قمت بتحديد القوة 11 ، واستغرق توسيع البسط تقريبًا سطرين من Werd.

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

طريقة الحصر تحت علامة التفاضل للكسور البسيطة

دعنا ننتقل إلى النوع التالي من الكسور.
، ، ، (المعاملات ولا تساوي الصفر).

في الواقع ، هناك حالتان مع القوسين والظل القوسي قد انزلاقا بالفعل في الدرس طريقة التغيير المتغير في تكامل غير محدد. يتم حل هذه الأمثلة عن طريق وضع الوظيفة تحت علامة التفاضل ثم التكامل باستخدام الجدول. فيما يلي بعض الأمثلة النموذجية ذات اللوغاريتم الطويل والعالي:

مثال 5

مثال 6

يُنصح هنا باختيار جدول التكاملات واتباع الصيغ و مثليحدث التحول. ملحوظة، كيف ولماذايتم تمييز المربعات في هذه الأمثلة. على وجه الخصوص ، في المثال 6 ، نحتاج أولاً إلى تمثيل المقام على هيئة ، ثم ضع علامة التفاضل تحت علامة التفاضل. وتحتاج إلى القيام بكل هذا من أجل استخدام الصيغة الجدولية القياسية .

لكن ما يجب أن تنظر إليه ، حاول حل الأمثلة رقم 7 ، بمفردك ، خاصة أنها قصيرة جدًا:

مثال 7

المثال 8

أوجد التكامل غير المحدد:

إذا كان بإمكانك أيضًا التحقق من هذه الأمثلة ، فإن الاحترام الكبير هو مهارات التمايز الخاصة بك في أفضل حالاتها.

طريقة اختيار المربع الكامل

تكاملات النموذج (المعاملات ولا تساوي الصفر) يتم حلها طريقة اختيار المربع الكاملالتي ظهرت بالفعل في الدرس تحولات الرسم الهندسي.

في الواقع ، هذه التكاملات تختزل إلى أحد تكاملات الجدول الأربعة التي درسناها للتو. ويتم تحقيق ذلك باستخدام صيغ الضرب المختصرة المألوفة:

يتم تطبيق الصيغ في هذا الاتجاه ، أي أن فكرة الطريقة هي تنظيم التعبيرات بشكل مصطنع في المقام أو ثم تحويلها ، على التوالي ، إلى أو.

المثال 9

أوجد التكامل غير المحدد

هذا هو أبسط مثال، حيث بالمصطلح - معامل الوحدة(وليس رقمًا ما أو ناقصًا).

ننظر إلى المقام ، هنا يتم اختزال الأمر برمته بوضوح في الحالة. لنبدأ في تحويل المقام:

من الواضح أنك تحتاج إلى إضافة 4. وحتى لا يتغير التعبير - نفس الأربعة وطرح:

الآن يمكنك تطبيق الصيغة:

بعد انتهاء التحويل دائماًمن المستحسن إجراء حركة عكسية: كل شيء على ما يرام ، ولا توجد أخطاء.

يجب أن يبدو التصميم النظيف للمثال المعني كما يلي:

مستعد. تلخيص "الحرة" وظيفة معقدةتحت العلامة التفاضلية: من حيث المبدأ ، يمكن إهمالها

المثال 10

أوجد التكامل غير المحدد:

هذا مثال على الحل الذاتي ، الجواب في نهاية الدرس.

المثال 11

أوجد التكامل غير المحدد:

ماذا تفعل عندما يكون هناك ناقص في المقدمة؟ في هذه الحالة ، تحتاج إلى إخراج الطرح من الأقواس وترتيب الشروط بالترتيب الذي نحتاجه :. ثابت("مزدوج" في هذه الحالة) لا تلمس!

الآن نضيف واحدًا بين قوسين. عند تحليل التعبير ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أننا نحتاج إلى واحد خلف القوس - أضف:

هذه هي الصيغة ، تطبيق:

دائماًنقوم بفحص المسودة:
، والتي كان من المقرر التحقق منها.

يبدو التصميم النظيف للمثال كالتالي:

نحن نعقد المهمة

المثال 12

أوجد التكامل غير المحدد:

هنا ، مع المصطلح ، لم يعد معاملًا واحدًا ، بل "خمسة".

(1) إذا تم العثور على ثابت عند ، فإننا نخرجه على الفور من الأقواس.

(2) بشكل عام ، من الأفضل دائمًا إخراج هذا الثابت من التكامل ، حتى لا يعيق الطريق.

(3) من الواضح أن كل شيء سينخفض ​​إلى الصيغة. من الضروري فهم المصطلح ، أي الحصول على "اثنين"

(4) نعم ،. إذن ، نضيف إلى التعبير ونطرح نفس الكسر.

(5) حدد الآن مربع كامل. في الحالة العامة ، من الضروري أيضًا إجراء الحساب ، ولكن لدينا هنا صيغة لوغاريتمية طويلة ، والعمل ليس من المنطقي القيام به ، لماذا - سيصبح واضحًا أقل قليلاً.

(6) في الواقع ، يمكننا تطبيق الصيغة ، فقط بدلاً من "x" لدينا ، وهذا لا ينفي صحة التكامل الجدولي. بالمعنى الدقيق للكلمة ، هناك خطوة واحدة مفقودة - قبل التكامل ، كان يجب وضع الوظيفة تحت العلامة التفاضلية: ، ولكن ، كما أشرت مرارًا وتكرارًا ، غالبًا ما يتم إهمال ذلك.

(7) في الإجابة تحت الجذر ، من المستحسن فتح جميع الأقواس للخلف:

معقد؟ هذه ليست الأصعب في حساب التفاضل والتكامل. على الرغم من أن الأمثلة قيد الدراسة ليست معقدة بقدر ما تتطلب تقنية حساب جيدة.

المثال 13

أوجد التكامل غير المحدد:

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أجب في نهاية الدرس.

هناك تكاملات ذات جذور في المقام ، والتي ، بمساعدة الاستبدال ، يتم تقليلها إلى تكاملات من النوع المدروس ، يمكنك أن تقرأ عنها في المقالة التكاملات المعقدة، ولكنها مصممة للطلاب على درجة عالية من الاستعداد.

جعل البسط تحت علامة التفاضل

هذا هو الجزء الأخير من الدرس ، ومع ذلك ، فإن التكاملات من هذا النوع شائعة جدًا! إذا تراكم التعب ، فربما يكون من الأفضل القراءة غدًا؟ ؛)

التكاملات التي سننظر فيها مماثلة لتكاملات الفقرة السابقة ، ولها الشكل: أو (المعاملات ، ولا تساوي الصفر).

أي في البسط لدينا دالة خطية. كيف تحل هذه التكاملات؟

تعريف

تسمى التعبيرات مثل 2 × 2 + 3 × + 5 بالمربع ثلاثي الحدود. في الحالة العامة ، ثلاثي الحدود المربع هو تعبير بالصيغة a x 2 + b x + c ، حيث a ، b ، c a ، b ، c أرقام عشوائية ، و a 0.

يعتبر ثلاثي الحدود مربع× 2-4 × + 5. لنكتبها على هذا النحو: x 2 - 2 2 x + 5. دعونا نضيف 2 2 إلى هذا التعبير ونطرح 2 2 ، نحصل على: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. لاحظ أن س 2 - 2 2 س + 2 2 = (س - 2) 2 ، لذلك س 2 - 4 س + 5 = (س - 2) 2 - 4 + 5 = (س - 2) 2 + 1. التحول الذي قمنا به يسمى "اختيار مربع كامل من ثلاثي مربع".

حدد المربع الكامل من المثلث المربع 9 x 2 + 3 x + 1.

لاحظ أن 9 × 2 = (3 ×) 2 ، "3x = 2 * 1/2 * 3x`. ثم "9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1`. أضف وطرح إلى التعبير الناتج `(1/2) ^ 2` ، نحصل عليه

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4`.

دعونا نوضح كيف يتم استخدام طريقة استخراج مربع كامل من ثلاثي الحدود المربع لتحليل ثلاثي الحدود المربع.

حلل ثلاثي الحدود المربع إلى عوامل 4 x 2-12 x + 5.

نختار المربع الكامل من ثلاثي الحدود المربع: 2 × 2 - 2 2 × 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 × - 3 2 - 4 = (2 × - 3) 2 - 2 2. الآن قم بتطبيق الصيغة أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ + ب) ، نحصل على: (2 س - 3-2) (2 س - 3 + 2) = (2 س - 5) (2 س - 1).

أخرج المثلث التربيعي إلى عوامل - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 × 2 + 12 × + 5 = - 9 × 2-12 × + 5. لاحظ الآن أن 9 × 2 = 3 × 2 ، - 12 × = - 2 3 × 2.

نضيف الحد 2 2 إلى التعبير 9 × 2-12 س ، ونحصل على:

3 × 2 - 2 3 × 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 × - 2 2 - 4 + 5 = 3 × - 2 2 + 4 + 5 = - 3 × - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 × - 2 2.

نطبق معادلة فرق المربعات ، لدينا:

9 × 2 + 12 × + 5 = 3 - 3 × - 2 3 + (3 × - 2) = (5 - 3 ×) (3 × + 1).

حلل ثلاثي الحدود المربع إلى عوامل 3 x 2-14 x - 5.

لا يمكننا تمثيل التعبير 3 × 2 كمربع لبعض التعبيرات لأننا لم نتعلم ذلك في المدرسة بعد. سوف تمر في هذا لاحقًا ، وسوف ندرس بالفعل في المهمة رقم 4 الجذور التربيعية. دعونا نوضح كيف يمكننا تحليل مثلث ثلاثي الحدود إلى عوامل:

"3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) ".

سنوضح كيف تُستخدم طريقة التربيع الكامل لإيجاد أكبر أو أصغر قيم لمربع ثلاثي الحدود.
انظر إلى المربع ثلاثي الحدود x 2 - x + 3. اختيار مربع كامل:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4`. لاحظ أنه عندما تكون `x = 1 / 2` تكون قيمة المثلث المربع هي` 11 / 4` ، وعندما `x! = 1 / 2` يُضاف رقم موجب إلى قيمة` 11 / 4` ، لذلك نحن الحصول على رقم أكبر من "11/4". هكذا، أصغر قيمةثلاثي الحدود المربع هو "11/4" ويتم الحصول عليه بـ "x = 1/2".

أوجد أكبر قيمة للمربع ثلاثي الحدود - ١٦ ٢ + ٨ س + ٦.

نختار المربع الكامل من ثلاثي الحدود المربع: - 16 × 2 + 8 × + 6 = - 4 × 2 - 2 4 × 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 × - 1 2 - 1 + 6 = - 4 × - 1 2 + 7.

مع "x = 1/4" ، تكون قيمة المثلث التربيعي 7 ، ومع "x! = 1/4" يتم طرح رقم موجب من الرقم 7 ، أي نحصل على رقم أقل من 7. إذن الرقم 7 هو أعلى قيمةثلاثي الحدود مربع ، ويتم الحصول عليه بـ `x = 1/4`.

حلل البسط والمقام إلى عوامل `(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)` وقم بإلغاء الكسر.

لاحظ أن مقام الكسر x 2-6 x + 9 = x - 3 2. نقوم بتحليل بسط الكسر إلى عوامل باستخدام طريقة استخراج المربع الكامل من المربع ثلاثي الحدود. س 2 + 2 س - 15 = س 2 + 2 × 1 + 1 - 1 - 15 = س + 1 2 - 16 = س + 1 2 - 4 2 = = (س + 1 + 4) (س + 1 - 4 ) = (س + 5) (س - 3).

تم اختزال هذا الكسر إلى الشكل `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` بعد التخفيض بمقدار (x - 3) نحصل على` (x + 5) / (x-3 ) `.

حلل كثير الحدود إلى عوامل x 4-13 x 2 + 36.

دعونا نطبق طريقة التربيع الكاملة على كثير الحدود. x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (س ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

القدرة على أداء مثل هذا الإجراء ضرورية للغاية في العديد من مواضيع الرياضيات المتعلقة ثلاثي الحدود مربعفأس 2 + bx + ج . الأكثر شيوعا:

1) رسم القطع المكافئ ذ= فأس 2 + bx+ ج;

2) حل العديد من المهام لمربع ثلاثي الحدود ( المعادلات التربيعيةوعدم المساواة ، مشاكل المعلمات ، إلخ) ؛

3) العمل مع بعض الدوال التي تحتوي على ثلاثي الحدود وكذلك العمل مع منحنيات من الدرجة الثانية (للطلاب).

شيء مفيد باختصار! هل انت تصل لخمسة؟ ثم دعنا نتعلم!)

ماذا يعني تحديد المربع الكامل للحدين في مربع ثلاثي الحدود؟

تعني هذه المهمة أنه يجب تحويل ثلاثي الحدود الأصلي للمربع بمساعدة هذا النموذج:

رقم أما على اليسار وما على اليمين نفس. معامل س تربيع. لهذا السبب تم وضع علامة عليها حرف واحد. يضرب في الجهة اليمنى بأقواس مربعة. بين قوسين يجلس نفس ذات الحدين ، والتي تمت مناقشتها في هذا الموضوع. مجموع x الصافي وعدد ما م. نعم ، يرجى الانتباه نقي x! انه مهم.

وها هي الحروف مو نحق - بعض الجديدأعداد. ما الذي سنحصل عليه نتيجة تحولاتنا. يمكن أن تكون موجبة ، سلبية ، كاملة ، كسرية - من جميع الأنواع! سترى بنفسك في الأمثلة أدناه. هذه الأرقام تعتمد من المعاملاتأ, بوج. لديهم صيغ عامة خاصة بهم. ضخم جدًا ، به كسور. لذلك ، لن أعطيهم هنا والآن. لماذا تحتاج عقلك النيرة إلى قمامة إضافية؟ نعم ، هذا ليس ممتعًا. دعنا نبدع.)

ماذا تريد أن تعرف وتفهم؟

بادئ ذي بدء ، عليك أن تعرف عن ظهر قلب. اثنان منهم على الأقل تربيع المجموعو تربيع الفرق.

هؤلاء:

بدون هاتين الصيغتين - لا مكان. ليس فقط في هذا الدرس ، ولكن في جميع الرياضيات الأخرى تقريبًا بشكل عام. هل التلميح واضح؟)

لكن مجرد الصيغ المحفوظة ليست كافية هنا. بحاجة الى مزيد من الذكاء تكون قادرة على تطبيق هذه الصيغ. وليس بشكل مباشر ، من اليسار إلى اليمين ، ولكن العكس ، من اليمين إلى اليسار. هؤلاء. بواسطة ثلاثي الحدود الأصلي للمربع ، تكون قادرة على فك مربع المجموع / الفرق. هذا يعني أنه يجب عليك بسهولة وبشكل تلقائي التعرف على مساواة النوع:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

بدون هذه المهارة المفيدة ، لا توجد طريقة أيضًا ... لذلك إذا كانت بهذه المهارة اشياء بسيطةمشاكل ، الرجاء إغلاق هذه الصفحة. الوقت مبكر جدًا بالنسبة لك هنا.) أولاً ، انتقل إلى الرابط أعلاه. هي لك!

أوه ، منذ متى وأنت في هذا الموضوع؟ بخير! ثم واصل القراءة.)

لذا:

كيفية تحديد المربع الكامل للحدين في مثلث ثلاثي الحدود؟

لنبدأ ، بالطبع ، بواحد بسيط.

المستوى 1. المعامل عند x2 يساوي 1

وهذا هو الأكثر حالة بسيطةتتطلب الحد الأدنى من التحولات الإضافية.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى مربع ثلاثي الحدود:

X 2 + 4x + 6

خارجيًا ، التعبير مشابه جدًا لمربع المجموع. نعلم أن مربع المجموع يحتوي على المربعات الصافية للتعبرين الأول والثاني ( أ 2 و ب 2 ) ، وكذلك المنتج المزدوج 2 أبنفس هذه التعبيرات.

حسنًا ، لدينا بالفعل مربع التعبير الأول في صورته النقية. هذا هو X 2 . في الواقع ، هذا هو بالضبط بساطة أمثلة هذا المستوى. تحتاج إلى الحصول على مربع التعبير الثاني ب 2 . هؤلاء. لايجاد ب. وستكون بمثابة دليل التعبير مع x في الدرجة الأولى، بمعنى آخر. 4x. بعد كل ذلك 4xيمكن تمثيلها كـ منتج مزدوج xx للشيطان. مثله:

4 x = 2 ́ × 2

حتى إذا 2 أب= 2x2و أ= x، من ثم ب=2 . يمكنك كتابة:

X 2 + 4x + 6 = س 2 +2 ́ × 2 + 2 2 ….

لذا نحنأريد أن. لكن! الرياضياتأريد أن تكون أفعالنا هي جوهر التعبير الأصلي لم يتغير. هكذا صنعت. لقد أضفنا إلى المنتج المزدوج 2 2 ، وبالتالي تغيير التعبير الأصلي. لذلك ، من أجل عدم الإساءة إلى الرياضيات ، هذا هو الأكثر 2 2 في حاجة إليها الآن يبعد. مثله:

… = س 2 +2 ́ × 2+ 2 2 -2 2 ….

الكل تقريبا. يبقى فقط إضافة 6 ، وفقًا لثلاثية الحدود الأصلية. الستة لم يذهبوا إلى أي مكان! نحن نكتب:

= X 2 +2 ́ × 2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

الآن ، تعطي المصطلحات الثلاثة الأولى net (أو - ممتلىء) مربع ذو الحدين x+2 . أو (x+2) 2 . هذا ما نحاول تحقيقه.) لن أكون كسولًا وأضع أقواسًا:

... = (س 2 +2 ́ × 2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

لا تغير الأقواس جوهر التعبير ، لكنها تشير بوضوح إلى ماذا وكيف ولماذا. يبقى لطي هذه المصطلحات الثلاثة إلى مربع كامل وفقًا للصيغة ، حساب الذيل المتبقي بالأرقام -2 2 +6 (هذا سيكون 2) واكتب:

X 2 + 4x + 6 = (x+2) 2 +2

كل شىء. نحن انتهاء العزوبيةمربع القوس (x+2) 2 من ثلاثي الحدود المربع الأصلي X 2 + 4x + 6. حولته إلى مبلغ ذات الحدين المربع الكامل (x+2) 2 و البعض رقم ثابت(اثنان). والآن سأكتب السلسلة الكاملة لتحولاتنا في شكل مضغوط. للتوضيح.

وهذا كل شيء.) هذا هو بيت القصيد من إجراء اختيار مربع كامل.

بالمناسبة ، ما هي الأرقام هنا مو ن؟ نعم. كل منهم يساوي اثنين: م=2, ن=2 . لذلك حدث ذلك أثناء الاختيار.

مثال آخر:

حدد المربع الكامل للحدين:

X 2 -6x + 8

ومرة أخرى ، ننظر أولاً إلى الحد الذي يحتوي على x. نحول 6x إلى ضعف حاصل ضرب x وثلاثة. قبل ضعف - ناقص. لذلك نحن نفرد تربيع الفرق. نضيف (للحصول على مربع كامل) ونطرح (للتعويض) على الفور الثلاثي في ​​المربع ، أي 9. حسنا ، لا تنسى الثمانية. نحن نحصل:

هنا م=-3 و ن=-1 . كلاهما سلبي.

هل فهمت المبدأ؟ ثم حان الوقت لإتقان و الخوارزمية العامة. كل شيء هو نفسه ، ولكن من خلال الحروف. إذن ، لدينا مثلث ثلاثي الحدود x 2 + bx+ ج (أ=1) . ماذا نفعل:

bx ب /2 :

ب مع.

بوضوح؟ المثالان الأولان كانا بسيطين للغاية مع أعداد صحيحة. للتعارف. والأسوأ من ذلك ، عندما تخرج الكسور أثناء التحولات. الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف! ولكي لا تخافوا ، يجب على الجميع معرفة الأفعال بالكسور ، نعم ...) ولكن ها هو المستوى الخامس ، أليس كذلك؟ نحن نعقد المهمة.

لنفترض أن ثلاثي الحدود التالي معطى:

X 2 + س +1

كيف تنظم مربع المجموع في هذه الثلاثية؟ لا مشكلة! مشابه. نحن نعمل على النقاط.

1. ننظر إلى المصطلح الذي يحتوي على x في الدرجة الأولى ( bx) وحوّلها إلى ضعف حاصل ضرب x بمقدارب /2 .

الحد الذي لدينا مع x هو x فقط. وماذا في ذلك؟ كيف يمكننا تحويل X الوحيد إلى منتج مزدوج؟ نعم ، سهل جدا! مباشرة حسب التعليمات. مثله:

رقم بفي ثلاثي الحدود الأصلي - واحد. إنه، ب/2 تبين أنها كسرية. نصف. 1/2. حسنًا ، حسنًا. ليست صغيرة بالفعل.)

2. نضيف إلى حاصل الضرب المزدوج ونطرح على الفور مربع الرقم ب/ 2. نضيف - لاستكمال مربع كامل. نأخذ بعيدا - للتعويض. في النهاية نضيف مصطلحًا مجانيًا مع.

نواصل:

3. نحول المصطلحات الثلاثة الأولى إلى مربع المجموع / الفرق وفقًا للصيغة المقابلة. يتم حساب التعبير المتبقي بالخارج بعناية بالأرقام.

يتم الفصل بين المصطلحات الثلاثة الأولى بين قوسين. لا يمكنك الانفصال بالطبع. يتم ذلك فقط من أجل راحة ووضوح تحولاتنا. يمكنك الآن أن ترى بوضوح أن المربع الكامل للمبلغ يقع بين قوسين (x+1/2) 2 . وكل ما تبقى خارج مربع المجموع (إذا عدت) نحصل عليه +3/4. خط النهاية:

إجابه:

هنا م=1/2 ، أ ن=3/4 . الأعداد الكسرية. يحدث ذلك. تم القبض على مثل هذا ثلاثي الحدود ...

هذه هي التكنولوجيا. فهمتك؟ هل يمكنك الانتقال إلى المستوى التالي؟

المستوى 2. المعامل عند x 2 لا يساوي 1 - ماذا تفعل؟

انتهى الحالة العامةمقارنة بالحالة أ = 1. حجم العمليات الحسابية ، بالطبع ، يزيد. إنه مزعج ، نعم ... لكن الحل الشاملعموما لا يزال هو نفسه. يتم إضافة خطوة جديدة واحدة فقط إليه. هذا يجعلني سعيدا.)

في الوقت الحالي ، ضع في اعتبارك قضية غير مؤذية ، بدون أي كسور ومزالق أخرى. علي سبيل المثال:

2 x 2 -4 x+6

يوجد ناقص في المنتصف. إذن ، سنناسب مربع الفرق. لكن المعامل عند مربع x هو تعادل. ومن الأسهل العمل مع واحد. مع نقي x. ما يجب القيام به؟ ودعونا نضع هذا الشيطان من الأقواس! حتى لا تتدخل. لدينا الحق! نحن نحصل:

2(x 2 -2 x+3)

مثله. الآن ثلاثي الحدود بين قوسين - بالفعل مع ينظف X تربيع! وفقًا لما تتطلبه خوارزمية المستوى 1. والآن أصبح من الممكن بالفعل العمل مع هذه الثلاثية الجديدة وفقًا للمخطط القديم الراسخ. نحن هنا نتصرف. دعنا نكتبها بشكل منفصل ونحولها:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1 + 1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

نصف تام. يبقى إدخال التعبير الناتج داخل الأقواس وتوسيعها مرة أخرى. يحصل:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

مستعد!

إجابه:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

نصلح في الرأس:

إذا كان المعامل عند مربع x ليس كذلك يساوي واحد، ثم نخرج هذا المعامل من الأقواس. مع بقاء ثلاثية الحدود داخل الأقواس ، فإننا نعمل وفقًا للخوارزمية المعتادة لـ أ= 1. بعد تحديد مربع كامل فيه ، الصق النتيجة في مكانها ، وافتح الأقواس الخارجية للخلف.

ولكن ماذا لو كان المعاملان b و c غير قابلين للقسمة على a؟ هذه هي الحالة الأكثر شيوعًا وفي نفس الوقت أسوأ الحالات. ثم الكسور فقط ، نعم ... ليس هناك ما يجب القيام به. علي سبيل المثال:

3 x 2 +2 x-5

كل شيء هو نفسه ، نرسل الثلاثة من بين الأقواس ، نحصل على:

لسوء الحظ ، لا يمكن القسمة كليًا على اثنين أو خمسة على ثلاثة ، لذا فإن معاملات ثلاثي الحدود الجديد (المختزل) هي كسري. حسنًا ، ليس بالأمر المهم. العمل مباشرة مع الكسور: اثنينالأثلاث س تتحول إلى مزدوجحاصل ضرب x في واحدثالثًا ، اجمع مربع الثلث (أي 1/9) ، اطرحه ، اطرح 5/3 ...

بشكل عام ، أنت تفهم!

قرر ما هو موجود بالفعل. يجب أن ينتهي الأمر بهذا الشكل:

وآخر أشعل النار. يشتهر العديد من الطلاب بالتعامل مع الأعداد الصحيحة الموجبة وحتى احتمالات كسرية، لكن تشبث بالسلبية. علي سبيل المثال:

- x 2 +2 x-3

ماذا تفعل مع ناقص من قبلx 2 ؟ في معادلة مربع المجموع / الفرق ، هناك حاجة إلى أي علامة زائد ... ليس سؤالاً! كل نفس. نخرج هذا الناقص للأقواس. هؤلاء. ناقص واحد. مثله:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

وكل الاشياء. ومع وجود الثلاثية بين قوسين - مرة أخرى على طول المسار المخرش.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

لذلك ، ناقص:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

هذا كل شئ. لما؟ لا أعرف كيفية وضع الطرح من بين قوسين؟ حسنًا ، هذا سؤال يتعلق بالجبر الابتدائي للصف السابع ، وليس لثلاثيات الحدود المربعة ...

تذكر: العمل بمعامل سالب ألا شيء يختلف بطبيعته عن العمل مع الإيجابي. اخراج السلبيات أمن الأقواس ، وبعد ذلك - وفقًا لجميع القواعد.

لماذا تحتاج إلى أن تكون قادرًا على تحديد مربع كامل؟

أول شيء مفيد هو رسم القطع المكافئة بسرعة وبدون أخطاء!

على سبيل المثال ، هذه المهمة:

ارسم الوظيفة:ذ=- x 2 +2 x+3

ماذا نحن سوف نفعل؟ بناء بالنقاط؟ بالطبع كان ذلك ممكنا. بخطوات صغيرة طريق طويل. مملة جدا ورتيبا ...

بادئ ذي بدء ، أذكرك بذلك عند البناء أيالقطع المكافئ ، نقدم لها دائمًا مجموعة قياسية من الأسئلة. هناك اثنان منهم. يسمى:

1) إلى أين يتم توجيه فروع القطع المكافئ؟

2) أين القمة؟

مع اتجاه الفروع ، كل شيء واضح تمامًا من التعبير الأصلي. سيتم توجيه الفروع تحت، لأن المعامل السابقx 2 - نفي. ناقص واحد. ناقص قبل مربع x دائماًيقلب القطع المكافئ.

ولكن مع موقع الجزء العلوي ، كل شيء ليس واضحًا جدًا. هناك ، بالطبع ، معادلة عامة لحساب حدود الإحداثيات من خلال المعاملات أو ب.

هذا:

لكن لا يتذكر الجميع هذه الصيغة ، أوه ، ليس الجميع ... و 50٪ من أولئك الذين ما زالوا يتذكرون يتعثرون فجأة ويخبطون في العمليات الحسابية المبتذلة (عادةً عند عد لعبة). إنه عار ، أليس كذلك؟)

ستتعلم الآن كيفية إيجاد إحداثيات رأس أي قطع مكافئ في رأييفي دقيقة واحدة! كل من x و y. بضربة واحدة وبدون أي صيغ. كيف؟ عن طريق اختيار مربع كامل!

لذلك ، نختار المربع الكامل في التعبير. نحن نحصل:

ص = -x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

من هو ضليع في معلومات عامةحول الوظائف وإتقان الموضوع جيدًا " تحويلات الرسم البياني وظيفة "، سوف يكتشف بسهولة أن القطع المكافئ المطلوب يتم الحصول عليه من القطع المكافئ المعتاد ذ= x 2 بمساعدة ثلاثة تحولات. هذا هو:

1) تغيير اتجاه الفروع.

يشار إلى ذلك بعلامة الطرح الموجودة أمام الأقواس المربعة ( أ = -1). كان ذ= x 2 ، أصبح ذ=- x 2 .

تحويلات: F ( x ) -> - F ( x ) .

2) ترجمة موازية للقطع المكافئ ص = - x 2 X 1 وحدة إلى اليمين.

هذه هي الطريقة التي يتم بها الحصول على الجدول الزمني الوسيط ص = - (x-1 ) 2 .

تحويلات: - F ( x ) -> - F ( x + م ) (م = -1).

لماذا يكون التحول لليمين وليس لليسار بالرغم من وجود علامة ناقص بين قوسين؟ هذه هي نظرية تحولات الرسم البياني. هذه قضية منفصلة.

وأخيرا ،

3) النقل الموازي القطع المكافئ ص = - ( x -1) 2 بمقدار 4 وحدات UP.

هذه هي الطريقة التي يتم بها الحصول على القطع المكافئ النهائي. ص = - (x-1) 2 +4 .

تحويلات: - F ( x + م ) -> - F ( x + م )+ ن (ن = + 4)

والآن ننظر إلى سلسلة التحولات لدينا ونفكر: أين يتحرك رأس القطع المكافئ؟ذ= س 2 ؟ كان عند النقطة (0 ؛ 0) ، بعد التحول الأول ، لم يتحرك الرأس في أي مكان (انقلب القطع المكافئ ببساطة) ، وبعد النقطة الثانية انخفض بمقدار x بمقدار +1 ، وبعد التحول الثالث بمقدار y بمقدار +4. ضرب مجموع القمة النقطة (1; 4) . هذا هو السر كله!

ستكون الصورة كالتالي:

في الواقع ، لهذا السبب لفتت انتباهكم إلى الأرقام بمثل هذا الإصرار. مو نتم الحصول عليها في عملية اختيار مربع كامل. لم تخمن لماذا؟ نعم. النقطة المهمة هي أن النقطة ذات الإحداثيات (- م ; ن ) - إنه دائما قمة القطع المكافئ ذ = أ ( x + م ) 2 + ن . نحن ننظر فقط إلى الأعداد في ثلاثي الحدود المحول و في رأيينعطي الإجابة الصحيحة ، أين هو الجزء العلوي. مناسب ، أليس كذلك؟)

رسم القطع المكافئة هو أول شيء مفيد. دعنا ننتقل إلى الثانية.

الشيء الثاني المفيد هو حل المعادلات التربيعية والمتباينات.

نعم نعم! اختيار المربع الكامل في كثير من الحالات يكون كذلك أسرع بكثير وأكثر كفاءةالطرق التقليدية لحل مثل هذه المشاكل. شك؟ على الرحب والسعة! هذه مهمة لك:

حل المتباينة:

x 2 +4 x+5 > 0

تعلمت؟ نعم! إنها كلاسيكية عدم المساواة التربيعية . يتم حل كل هذه التفاوتات بواسطة الخوارزمية القياسية. لهذا نحتاج:

1) اصنع معادلة بالصيغة القياسية من المتباينة وحلها ، أوجد الجذور.

2) ارسم المحور X وحدد جذور المعادلة بالنقاط.

3) رسم تخطيطيًا القطع المكافئ وفقًا للتعبير الأصلي.

4) حدد مناطق +/- في الشكل. حدد المساحات المرغوبة وفقًا للمتباينة الأصلية واكتب الإجابة.

في الواقع ، هذه العملية برمتها مزعجة ، نعم ...) وعلاوة على ذلك ، فإنها لا تحميك دائمًا من الأخطاء في المواقف غير القياسية مثل هذا المثال. لنجرب النمط أولاً ، فهل نحن؟

لنفعل النقطة الأولى. نصنع معادلة من عدم المساواة:

x 2 +4 x+5 = 0

معادلة تربيعية قياسية ، بدون حيل. نحن نقرر! نحن نعتبر المميز:

د = ب 2 -4 أ = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

هذا هو! والمميز سلبي! المعادلة ليس لها جذور! ولا يوجد شيء لأرسمه على المحور .. ماذا أفعل؟

وهنا قد يستنتج البعض أن المتباينة الأصلية أيضا ليس لديها حلول.. هذا وهم فادح ، نعم ... لكن بتسليط الضوء على المربع الكامل ، يمكن إعطاء الإجابة الصحيحة على عدم المساواة هذه في نصف دقيقة! شك؟ حسنًا ، يمكنك توقيتها.

لذلك ، نختار المربع الكامل في التعبير. نحن نحصل:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

بدأت عدم المساواة الأصلية تبدو كما يلي:

(x+2) 2 +1 > 0

والآن ، بدون حل أو تغيير أي شيء آخر ، نقوم ببساطة بتشغيل المنطق الأولي ونفكر: إذا كان مربع بعض التعبير (القيمة واضحة غير سلبي!) أضف واحدًا آخر ، فما هو الرقم الذي سننتهي به؟نعم! بشكل صارم إيجابي!

الآن دعونا نلقي نظرة على عدم المساواة:

(x+2) 2 +1 > 0

نترجم المحضر من لغة رياضيةباللغة الروسية: ما س بدقة إيجابيسيكون التعبير بدقة أكثرصفر؟ لم تخمن؟ نعم! مع أي!

ها هي إجابتك: x هو أي رقم.

الآن دعنا نعود إلى الخوارزمية. ومع ذلك ، فإن فهم الجوهر والحفظ البسيط عن ظهر قلب هما شيئان مختلفان.)

جوهر الخوارزمية هو أننا نصنع قطعًا مكافئًا من الجانب الأيسر من المتباينة القياسية ، وننظر إلى مكانه فوق المحور X ، وأين يقع أسفله. هؤلاء. أين هي القيم الموجبة للجانب الأيسر وأين هي السالبة.

إذا صنعنا قطعًا مكافئًا من جانبنا الأيسر:

ص =x 2 +4 x+5

ونرسم التمثيل البياني الخاص به ، سنرى ذلك الكلالقطع المكافئ كله يمر فوق المحور السيني.ستبدو الصورة كما يلي:

القطع المكافئ معوج ، نعم ... لهذا السبب هو تخطيطي. لكن في نفس الوقت ، كل ما نحتاجه يظهر في الصورة. لا يحتوي القطع المكافئ على نقاط تقاطع مع المحور X ، ولا توجد قيم صفرية للعبة. و القيم السالبةبالطبع لا. يظهر هذا من خلال تظليل المحور X بأكمله. بالمناسبة ، المحور ص وإحداثيات الرأس التي صورتها هنا لسبب وجيه. قارن بين إحداثيات رأس القطع المكافئ (-2 ؛ 1) والتعبير المحول!

ص =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

و كيف حالك؟ نعم! في حالتنا هذه م=2 و ن=1 . لذلك ، يكون لرأس القطع المكافئ إحداثيات: (- م; ن) = (-2; 1) . كل هذا منطقي.)

مهمة أخرى:

حل المعادلة:

x 2 +4 x+3 = 0

معادلة تربيعية بسيطة. يمكنك أن تقرر الطريقة القديمة. من الممكن من خلال. كما تتمنا. الرياضيات لا تمانع.)

دعنا نحصل على الجذور: x 1 =-3 x 2 =-1

وإذا لم يكن أحدًا ولا بطريقة أخرى ... ألا تتذكر؟ حسنًا ، الشيطان يضيء لك بطريقة جيدة ، لكن ... فليكن ، سأوفر لك! سأوضح لك كيف يمكنك حل بعض المعادلات التربيعية باستخدام طرق الصف السابع فقط. تكرارا حدد مربع كامل!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

والآن نكتب التعبير الناتج كـ ... فرق المربعات!نعم نعم يوجد واحد بالصف السابع:

أ 2 -ب 2 = (أ-ب) (أ + ب)

يقذف أتبرز الأقواس(x+2) ، وفي الدور ب- واحد. نحن نحصل:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

نقوم بإدخال هذا التوسع في المعادلة بدلاً من المربع ثلاثي الحدود:

(x+1)(x+3)=0

يبقى معرفة أن حاصل ضرب العوامل يساوي صفرًا بعد ذلك وبعد ذلك فقطعندما يساوي أي منهم صفرًا. لذلك نحن نساوي (في العقل!) بصفر كل قوس.

نحن نحصل: x 1 =-3 x 2 =-1

هذا كل شئ. نفس الجذور. هذا هو المتلقي الماهر. بالإضافة إلى المميز.)

بالمناسبة ، حول المميز وحوالي الصيغة العامةجذور المعادلة التربيعية:

حذفت في الدرس اشتقاق هذه الصيغة المرهقة. لعدم جدوى. ولكن هذا هو المكان المناسب له). هل تريد أن تعرف كيف احصل على هذه الصيغة؟ من أين يأتي التعبير عن المميز ولماذا بالضبطب 2 -4ac، ولكن ليس بطريقة أخرى؟ ومع ذلك ، فإن الفهم الكامل لجوهر ما يحدث هو أكثر فائدة بكثير من الخربشة الطائشة لجميع أنواع الحروف والرموز ، أليس كذلك؟)

الشيء الثالث المفيد هو اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية.

ها نحن ذا! نأخذ المربع ثلاثي الحدود في نظرة عامة فأس 2 + bx+ جو… نبدأ في تحديد مربع كامل!نعم ، على التوالي من خلال الحروف!كان هناك حساب ، وأصبح جبرًا.) أولاً ، كالعادة ، نخرج الحرف أخارج الأقواس ، وقسم جميع المعاملات الأخرى على أ:

مثله. هذا تحويل قانوني تمامًا: أ لا يساوي الصفرويمكن تقسيمه بواسطته. ونعمل مرة أخرى مع الأقواس وفقًا للخوارزمية المعتادة: من المصطلح مع x نصنع منتجًا مزدوجًا ، نجمع / نطرح مربع الرقم الثاني ...

كل شيء هو نفسه ، ولكن مع الحروف.) حاول أن تنهيها بنفسك! صحيح!)

بعد كل التحولات ، يجب أن تحصل على هذا:

ولماذا نحتاج إلى بناء مثل هذه الأكوام من ثلاثية الحدود غير المؤذية - هل تسأل؟ لا شيء ، الآن سيكون ممتعًا! والآن ، بالطبع ، نساوي هذا الشيء إلى الصفر:

نحلها كمعادلة عادية ، نعمل وفق كل القواعد ، فقط بالحروف. نقوم بالمرحلة الابتدائية:

1) انقل الكسر الأكبر إلى اليمين.عند تحريك موجب ، نغير إلى سالب. لكي لا أرسم سالب أمام الكسر نفسه ، سأغير كل العلامات في البسط. على اليسار في البسط كان4ac- ب 2 ، وبعد أن يصبح النقل -( 4ac- ب 2 ) ، بمعنى آخر. ب 2 -4 أ. شيء مألوف ، ألا تعتقد ذلك؟ نعم! مميز ، هو الأكثر ...) سيكون مثل هذا:

2) نقوم بمسح مربع الأقواس من المعامل.نقسم كلا الجزأين على " أ". على اليسار ، قبل القوسين ، الحرف أويختفي ، وعلى اليمين يدخل في مقام الكسر الكبير ، ويحوله إلى 4 أ 2 .

اتضح هذه المساواة:

ألم ينجح الأمر معك؟ ثم الموضوع هو لك. نصل هناك على الفور!

الخطوة التالية استخراج الجذر. نحن مهتمون بـ X ، أليس كذلك؟ و X تقع تحت المربع ... نحن نستخرج طبعا وفقا لقواعد استخراج الجذور. هذا ما يحدث بعد الاستخراج:

على اليسار يوجد مربع المجموع يختفيويبقى فقط المجموع نفسه. وهو مطلوب.) ولكن يظهر على اليمين زائد / ناقص. بالنسبة لجزءنا الضخم ، على الرغم من مظهره الرائع ، هو فقط بعض الأرقام. عدد كسري. المعامل المعتمد أ, ب, ج. في الوقت نفسه ، لم يتم استخراج جذر بسط هذا الكسر بشكل جميل ، فهناك اختلاف في تعبيرين. وهنا جذر المقام 4 أ 2 قابل للاستخراج تماما! سوف يتحول بسهولة 2 أ.

سؤال "صعب" لملئه: هل لي الحق في استخراج الجذر من التعبير 4 أ2 ، إعطاء إجابة فقط 2 أ؟بعد كل شيء ، حكم الاستخراج الجذر التربيعي يلتزم بوضع علامة الوحدة ، أي2 | أ | !

فكر في سبب إهمالي لعلامة الوحدة. مفيد جدا. تلميح: الجواب يكمن في الإشارة زائد / ناقصقبل الكسر.)

هناك مساحات فارغة متبقية. نقدم علامة x نظيفة على اليسار. للقيام بذلك ، انقل الكسر الصغير إلى اليمين. مع تغيير اللافتة ، يصبح الفلفل صافيًا. أذكرك أنه يمكن تغيير تسجيل الدخول في أي مكان وبأي طريقة. نريد التغيير قبل الكسر ، نريد في المقام ، نريد في البسط. سوف أغير التوقيع في البسط. كان + ب، أصبح – ب. آمل ألا تكون هناك اعتراضات؟) بعد النقل سيصبح الأمر على هذا النحو:

جمع كسرين نفس القواسمونحصل على (أخيرًا!):

نحن سوف؟ ماذا استطيع قوله؟ رائع!)

رابع شيء مفيد للطلاب هو تدوين الملاحظات!

الآن دعنا ننتقل بسلاسة من المدرسة إلى الجامعة. لن تصدق ذلك ، لكن اختيار مربع كامل في الرياضيات العليا ضروري أيضًا!

على سبيل المثال ، هذه المهمة:

أوجد التكامل غير المحدد:

من اين نبدأ؟ التطبيق المباشر لا لفة. فقط اختيار مربع كامل يحفظ ، نعم ...)

أولئك الذين لا يعرفون كيفية اختيار مربع كامل سيعلقون إلى الأبد على هذا المثال البسيط. ومن يدري كيف يخصص ويتسلم:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

والآن يؤخذ التكامل (لمن يعلم) ويتبقى واحد!

إنه رائع ، أليس كذلك؟ وهي ليست مجرد تكاملات! أنا صامت حيال ذلك الهندسة التحليلية، معها منحنيات من الدرجة الثانية – القطع الناقص ، القطع الزائد ، القطع المكافئ والدائرة.

علي سبيل المثال:

تحديد نوع المنحنى ، تعطى بالمعادلة:

x 2 + ذ 2 -6 x-8 ذ+16 = 0

بدون القدرة على تحديد مربع كامل ، لا يمكن حل المهمة ، نعم ... لكن المثال لا يمكن أن يكون أسهل! لأولئك الذين يعرفون ، بالطبع.

نقوم بتجميع الحدود مع x و y في أكوام واختيار مربعات كاملة لكل متغير. يحصل:

(x 2 -6x) + (ذ 2 -8 ذ) = -16

(x 2 -6x + 9) -9 + (ذ 2 -8 ذ+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (ذ-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (ذ-4) 2 = 3 2

إذا كيف؟ هل اكتشفت أي نوع من الحيوانات؟) حسنًا ، بالطبع! دائرة نصف قطرها ثلاثة ومركزها عند النقطة (3 ؛ 4).

وهذا كل شيء.) من المفيد تحديد مربع كامل!)