يقدم الفيديو التعليمي "الوظيفة y = sinx ، خصائصها والرسم البياني" مادة مرئية حول هذا الموضوع ، بالإضافة إلى تعليقات عليها. أثناء العرض التوضيحي ، يتم النظر في نوع الوظيفة وخصائصها ، ويتم وصف السلوك على مختلف القطاعات بالتفصيل خطة تنسيق، ميزات الرسم البياني ، يتم وصف مثال حل رسومي المعادلات المثلثيةتحتوي على جيب. بمساعدة درس فيديو ، يسهل على المعلم تكوين مفهوم الطالب لهذه الوظيفة ، لتعليم كيفية حل المشكلات بيانياً.

يستخدم الفيديو التعليمي أدوات تسهل الحفظ والفهم معلومات تربوية. في عرض الرسوم البيانية وفي وصف حل المشكلات ، يتم استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة التي تساعد على فهم سلوك الوظيفة ، لعرض تقدم الحل بالتسلسل. كما أن التعبير عن المادة يكملها بتعليقات مهمة تحل محل شرح المعلم. هكذا، مادة معينةيمكن أيضًا استخدامها كوسيلة مساعدة بصرية. وكجزء مستقل من الدرس بدلاً من شرح المعلم لموضوع جديد.

يبدأ العرض التوضيحي بتقديم موضوع الدرس. يتم تقديم وظيفة الجيب ، ويتم تمييز وصفها في مربع الذاكرة - s = sint ، حيث يمكن أن تكون الوسيطة t أي رقم حقيقي. يبدأ وصف خصائص هذه الوظيفة بالنطاق. يلاحظ أن مجال تعريف الوظيفة هو المحور العددي الكامل للأرقام الحقيقية ، أي D (f) = (- ∞ ؛ + ∞). الخاصية الثانية هي غرابة دالة الجيب. يتم تذكير الطلاب بأن هذه الخاصية قد تمت دراستها في الصف التاسع ، عندما لوحظ ذلك من أجل وظيفة غريبةالمساواة f (-x) = - f (x) تحمل. بالنسبة إلى الجيب ، يظهر تأكيد الوظيفة الفردية في دائرة الوحدةمقسمة إلى أرباع. بمعرفة العلامة التي تأخذها الوظيفة في الأرباع المختلفة لمستوى الإحداثيات ، يُلاحظ أنه بالنسبة للوسيطات ذات العلامات المعاكسة ، باستخدام مثال النقطتين L (t) و N (-t) للجيب ، يتم استيفاء الشرط الفردي. لذلك فإن s = sint دالة فردية. هذا يعني أن التمثيل البياني للدالة متماثل حول الأصل.

تُظهر الخاصية الثالثة للجيب فترات الزيادة والنقصان للوظيفة. ويلاحظ أن هذه الوظيفة تزداد في الفترة الزمنية ، وتنقص في الفترة [/ 2 ؛ π]. تظهر الخاصية في الشكل ، الذي يُظهر دائرة الوحدة وعند الانتقال من النقطة A عكس اتجاه عقارب الساعة ، يزيد الإحداثي ، أي تزيد قيمة الوظيفة إلى π / 2. عند الانتقال من النقطة B إلى C ، أي عندما تتغير الزاوية من π / 2 إلى π ، تنخفض قيمة الإحداثي. في الربع الثالث من الدائرة ، عند الانتقال من النقطة C إلى النقطة D ، يقل التنسيق من 0 إلى -1 ، أي أن قيمة الجيب تقل. في الربع الأخير ، عند الانتقال من النقطة D إلى النقطة A ، تزداد قيمة الإحداثي من -1 إلى 0. وهكذا ، يمكننا استخلاص استنتاج عام حول سلوك الوظيفة. تعرض الشاشة الإخراج الذي يزيد سينت على المقطع [- (/ 2) + 2πk ؛ (π / 2) + 2πk] ، متناقص في الفترة [(/ 2) + 2πk ؛ (3π / 2) + 2πk] لأي عدد صحيح k.

تعتبر الخاصية الرابعة للجيب حدود الوظيفة. من الملاحظ أن وظيفة sint مقيدة بالأعلى والأسفل. يتم تذكير الطلاب بالمعلومات من الجبر للصف 9 عندما تعرفوا على مفهوم حدود الوظيفة. تعرض الشاشة حالة دالة مقيدة من أعلى ، والتي يوجد بها عدد من المتباينات f (x)> = M تتحقق في أي نقطة من الدالة. نتذكر أيضًا حالة الدالة المحددة أدناه ، والتي يوجد لها عدد أقل من كل نقطة في الدالة بمتر. بالنسبة للسينت ، الشرط هو -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

تعتبر الخاصية الخامسة أصغر وأكبر قيم للدالة. ويلاحظ تحقيق أصغر قيمة -1 عند كل نقطة t = - (/ 2) + 2πk ، والأكبر - عند النقاط t = (/ 2) + 2πk.

بناءً على الخصائص المدروسة ، يتم رسم الرسم البياني لوظيفة sint على الفاصل الزمني. لإنشاء الوظيفة ، يتم استخدام القيم المجدولة لجيب النقاط المقابلة. إحداثيات النقاط π / 6 ، π / 3 ، π / 2 ، 2π / 3 ، 5π / 6 ، موضحة على مستوى الإحداثيات. بعد تحديد القيم الجدولية للوظيفة في هذه النقاط وربطها بخط ناعم ، نقوم ببناء رسم بياني.

لرسم الدالة sint على المقطع [-؛ π] ، يتم استخدام خاصية تناظر الوظيفة فيما يتعلق بالأصل. يوضح الشكل كيف يتم نقل الخط الذي تم الحصول عليه نتيجة البناء بسلاسة بشكل متماثل بالنسبة إلى الأصل إلى المقطع [-؛ 0].

باستخدام خاصية دالة sint ، المعبر عنها في صيغة الاختزال sin (x + 2π) \ u003d sin x ، يلاحظ أن كل 2π الرسم البياني الجيبي يتكرر. وهكذا ، في المقطع [π ؛ 3π] سيكون الرسم البياني هو نفسه الموجود في [-؛ π]. وبالتالي ، فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة عبارة عن أجزاء متكررة [-π ؛ π] على نطاق التعريف بأكمله. بشكل منفصل ، يلاحظ أن مثل هذا الرسم البياني للوظيفة يسمى الجيب. تم تقديم مفهوم الموجة الجيبية أيضًا - جزء من الرسم البياني مبني على المقطع [-π ؛ π] ، وقوس جيبي مبني على المقطع. يتم عرض هذه الأجزاء مرة أخرى للحفظ.

من الملاحظ أن دالة sint هي دالة مستمرة على نطاق التعريف بالكامل ، وأيضًا أن نطاق الوظيفة يكمن في مجموعة قيم المقطع [-1 ؛ 1].

في نهاية الفيديو التعليمي ، يتم النظر في حل رسومي للمعادلة sin x \ u003d x + π. من الواضح أن الحل الرسومي للمعادلة سيكون تقاطع الرسم البياني للدالة المعطاة بالتعبير على الجانب الأيسر والدالة التي يقدمها التعبير على الجانب الأيمن. لحل المشكلة ، يتم إنشاء مستوى إحداثيات ، حيث يتم تحديد الخط الجيبي المقابل y \ u003d sin x ، ويتم إنشاء خط مستقيم يتوافق مع الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x + π. تتقاطع الرسوم البيانية المركبة عند نقطة واحدة В (-؛ 0). لذلك ، سيكون x \ u003d - π هو حل المعادلة.

سيساعد درس الفيديو "الوظيفة y = sinx ، خصائصه والرسم البياني" على زيادة فاعلية درس الرياضيات التقليدي في المدرسة. يمكنك أيضًا استخدام المواد المرئية عند أداء التعلم عن بعد. يمكن أن يساعد الدليل في إتقان الموضوع للطلاب الذين يحتاجون إلى فصول إضافية لفهم أعمق للمواد.

تفسير النص:

موضوع الدرس هو "الوظيفة y \ u003d sin x ، خصائصها والرسم البياني."

في وقت سابق تعرفنا بالفعل على الوظيفة s = sin t ، حيث tϵR (es تساوي جيب te ، حيث تنتمي te إلى مجموعة الأعداد الحقيقية). دعنا نفحص خصائص هذه الوظيفة:

فردي 1. مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية R (er) ، أي D (f) = (- ؛ +) (يمثل de من ef الفترة من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية).

الخاصية 2. الدالة s = sin t فردية.

في الدروس في الصف 9 ، تعلمنا أن الوظيفة y \ u003d f (x) ، x ϵX (y تساوي eff من x ، حيث x ينتمي إلى المجموعة x كبيرة) تسمى فردية إذا كانت لأي قيمة x من المجموعة X المساواة

f (- x) \ u003d - f (x) (ef من سالب x يساوي ناقص ef من x).

وبما أن إحداثيات النقطتين L و N المتماثلتين حول محور الإحداثيات متقابلة ، فإن sin (- t) = -sint.

وهذا يعني أن s \ u003d sin t دالة فردية والرسم البياني للوظيفة s \ u003d sin t متماثل حول الأصل في نظام إحداثيات مستطيل أصابع(te o es).

ضع في اعتبارك الخاصية 3. في المقطع [0؛ ] (من صفر إلى pi بمقدار اثنين) الدالة s = sin t تزيد وتنقص في المقطع [؛ ] (من باي باثنين إلى باي).

يتضح هذا بوضوح من الأرقام: عندما تتحرك النقطة على طول دائرة العددمن صفر إلى pi بمقدار اثنين (من النقطة A إلى B) ، يزداد الإحداثي تدريجياً من 0 إلى 1 ، وعند الانتقال من pi بمقدار اثنين إلى pi (من النقطة B إلى C) ، ينخفض ​​الإحداثي تدريجياً من 1 إلى 0.

عند تحريك نقطة على طول الربع الثالث (من النقطة C إلى النقطة D) ، فإن إحداثيات النقطة المتحركة تنخفض من صفر إلى ناقص واحد ، وعند التحرك على طول الربع الرابع ، يزيد الإحداثي من ناقص واحد إلى صفر. لذلك ، يمكننا استخلاص استنتاج عام: الدالة s = sin t تزداد على القطعة

(من سالب باي بمقدار اثنين زائد قمتين إلى باي بمقدار اثنين زائد قمتين) ، وينخفض ​​في المقطع [؛ (من pi على اثنين زائد اثنين pi ka إلى ثلاثة pi على اثنين زائد اثنين pi ka) ، حيث

(كا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة).

خاصية 4. الوظيفة s = sin t محدودة من أعلى وأسفل.

من دورة الصف التاسع ، تذكر تعريف الحدود: تسمى الدالة y \ u003d f (x) محدودة من الأسفل إذا كانت جميع قيم الوظيفة لا تقل عن بعض الأرقام م مبحيث تكون المتباينة f (x) ≥ لأي قيمة x من مجال الدالة م(ef من x أكبر من أو تساوي em). تسمى الوظيفة y \ u003d f (x) مقيدة من أعلى إذا لم تكن جميع قيم الوظيفة أكبر من بعض الأرقام م، مما يعني أن هناك رقمًا مبحيث تكون المتباينة f (x) ≤ لأي قيمة x من مجال الدالة م(ef من x أصغر من أو يساوي em). تسمى الوظيفة bounded إذا كانت مقيدة من أسفل ومن أعلى.

دعنا نعود إلى وظيفتنا: الحدود تأتي من حقيقة أن المتباينة لأي te هي صحيحة - 1 sint ≤ 1. (جيب t أكبر من أو يساوي ناقص واحد ، لكنه أصغر من أو يساوي واحدًا).

الخاصية 5. أصغر قيمة للدالة تساوي سالب واحد وتصل الدالة إلى هذه القيمة في أي نقطة بالصيغة t = (te يساوي سالب pi بمقدار اثنين زائد قمتين ، وأكبر قيمة للدالة تساوي إلى واحد ويتم الوصول إليه من خلال الوظيفة في أي نقطة على شكل t = (te يساوي pi على اثنين زائد اثنين pi ka).

أكبر وأصغر قيمة للدالة s = sin t تدل على s min. و s كحد أقصى. .

باستخدام الخصائص التي تم الحصول عليها ، سنقوم برسم الدالة y \ u003d sin x (y تساوي الجيب x) ، لأننا أكثر دراية بالتدوين y \ u003d f (x) ، وليس s \ u003d f (t).

بادئ ذي بدء ، دعنا نختار مقياسًا: على طول المحور الإحداثي ، نأخذ قطعة واحدة ، خليتان ، وعلى طول محور الإحداثي ، خليتان - هذه pi على ثلاثة (لأن ≈ 1). أولاً ، لنقم ببناء رسم بياني للدالة y \ u003d sin x على المقطع. نحتاج إلى جدول لقيم الدالة في هذا المقطع ، وللبنائه سنستخدم جدول القيم لزوايا جيب التمام وجيب الجيب المقابلة:

وبالتالي ، من أجل بناء جدول قيم الوسيطة والدالة ، من الضروري تذكر ذلك X(س) هو الرقم الذي يساوي على التوالي الزاوية في الفترة من صفر إلى باي ، و في(يوناني) قيمة جيب هذه الزاوية.

لنحدد هذه النقاط على المستوى الإحداثي. وفقًا لـ PROPERTY 3 على المقطع

[0 ؛ ] (من صفر إلى pi بمقدار اثنين) تزيد الدالة y \ u003d sin x ، ولكنها تقل في المقطع [؛ ] (من pi باثنين إلى pi) وربط النقاط التي تم الحصول عليها بخط ناعم ، نحصل على جزء من الرسم البياني (الشكل 1)

باستخدام تناظر الرسم البياني لوظيفة فردية فيما يتعلق بالأصل ، نحصل على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin x بالفعل على المقطع

[-؛ π] (من ناقص باي إلى باي). (الشكل 2)

تذكر أن الخطيئة (x + 2π) = sinx

(جيب س زائد اثنين باي يساوي جيب س). هذا يعني أنه عند النقطة x + 2π الدالة y = sin x تأخذ نفس القيمة عند النقطة x. ومنذ ذلك الحين (س + 2π) ϵ [π ؛ 3π] (ينتمي x زائد اثنان pi إلى المقطع من pi إلى ثلاثة pi) ، إذا كانت xϵ [-؛ π] ، ثم في الفترة الزمنية [π ؛ 3π] الرسم البياني للدالة يبدو تمامًا كما في الفترة [-π ؛ π]. وبالمثل ، على المقاطع ، [-3π ؛ -π] وهكذا ، يبدو الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin x هو نفسه الموجود في المقطع

[-؛ π]. (الشكل 3)

يُطلق على الخط الذي يمثل الرسم البياني للدالة y \ u003d sin x اسم الجيب. يُطلق على جزء الموجة الجيبية الموضحة في الشكل 2 اسم الموجة الجيبية ، وفي الشكل 1 يُطلق عليها اسم الموجة الجيبية أو نصف الموجة.

باستخدام الرسم البياني المركب ، سنقوم بتدوين بعض الخصائص الإضافية لهذه الدالة.

الخاصية 6. الوظيفة y \ u003d sin x هي دالة مستمرة. هذا يعني أن الرسم البياني للدالة مستمر ، أي أنه لا يحتوي على قفزات وثقوب.

الخاصية 7. نطاق الدالة y \ u003d sin x هو المقطع [-1 ؛ 1] (من ناقص واحد إلى واحد) أو يمكن كتابتها على النحو التالي: (e من eff يساوي المقطع من ناقص واحد إلى واحد).

النظر في مثال. حل المعادلة بيانياً sin x \ u003d x + π (sine x يساوي x زائد pi).

قرار. دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف ص =الخطيئة Xو ص = س + π.

الرسم البياني للدالة y \ u003d sin x هو شبيه بالجيوب الأنفية.

y \ u003d x + هي دالة خطية ، الرسم البياني الذي يمثل خطًا مستقيمًا يمر عبر النقاط ذات الإحداثيات (0 ؛ π) و (- π ؛ 0).

تحتوي الرسوم البيانية المركبة على نقطة تقاطع واحدة - النقطة B (- π ؛ 0) (مع الإحداثيات ناقص pi ، صفر). هذا يعني أن هذه المعادلة لها جذر واحد فقط - حدود النقطة B - -π. إجابه: X = - π.

وجدنا أن سلوك الدوال المثلثية ، والوظائف ص = الخطيئة س خاصه، على خط الأعداد بالكامل (أو لجميع قيم الوسيطة X) يتحدد تمامًا من خلال سلوكه في الفاصل الزمني 0 < X < π / 2 .

لذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، سنرسم الدالة ص = الخطيئة س بالضبط في هذه الفترة.

دعونا نجعل الجدول التالي لقيم وظيفتنا ؛

من خلال تحديد النقاط المقابلة على مستوى الإحداثيات وربطها بخط ناعم ، نحصل على المنحنى الموضح في الشكل

يمكن أيضًا إنشاء المنحنى الناتج هندسيًا دون تجميع جدول قيم الدالة ص = الخطيئة س .

1. ينقسم الربع الأول من دائرة نصف قطرها 1 إلى 8 أجزاء متساوية ، وتكون إحداثيات نقاط القسمة في الدائرة هي جيوب الزوايا المقابلة.

2. الربع الأول من الدائرة يتوافق مع الزوايا من 0 إلى π / 2 . لذلك ، على المحور Xخذ جزءًا وقسمه إلى 8 أجزاء متساوية.

3- لنرسم خطوطًا مستقيمة موازية للمحور Xومن نقاط القسمة نقوم باستعادة الخطوط العمودية على التقاطع مع الخطوط الأفقية.

4. قم بتوصيل نقاط التقاطع بخط ناعم.

لنلق نظرة الآن على الفترة π / 2 < X < π .
كل قيمة وسيطة Xمن هذا الفاصل الزمني يمكن تمثيله كـ

x = π / 2 + φ

أين 0 < φ < π / 2 . حسب معادلات التخفيض

الخطيئة ( π / 2 + φ ) = كوس φ = الخطيئة ( π / 2 - φ ).

نقاط المحور Xمع الإحداثي π / 2 + φ و π / 2 - φ متناظرة مع بعضها البعض حول نقطة المحور Xمع الإحداثي π / 2 ، والجيوب في هذه النقاط هي نفسها. هذا يسمح لك بالحصول على رسم بياني للوظيفة ص = الخطيئة س في الفترة [ π / 2 , π ] ببساطة عن طريق عرض الرسم البياني لهذه الوظيفة بشكل متماثل في الفترة بالنسبة إلى الخط المستقيم X = π / 2 .

الآن باستخدام الخاصية وظيفة غريبة ص \ u003d الخطيئة س ،

الخطيئة (- X) = -sin X,

من السهل رسم هذه الوظيفة في الفاصل الزمني [- π , 0].

الدالة y \ u003d sin x دورية بفترة 2π ؛. لذلك ، لبناء الرسم البياني الكامل لهذه الوظيفة ، يكفي الاستمرار في المنحنى الموضح في الشكل إلى اليسار واليمين بشكل دوري مع فترة 2π .

المنحنى الناتج يسمى جيبي . إنه الرسم البياني للوظيفة ص = الخطيئة س.

يوضح الشكل جيدًا كل خصائص الوظيفة ص = الخطيئة س ، والتي تم إثباتها مسبقًا من قبلنا. أذكر هذه الخصائص.

1) الوظيفة ص = الخطيئة س محددة لجميع القيم X ، بحيث يكون مجالها هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.

2) الوظيفة ص = الخطيئة س محدود. جميع القيم التي تأخذها بين -1 و 1 ، بما في ذلك هذين الرقمين. لذلك ، يتم تحديد نطاق هذه الدالة من خلال المتباينة -1 < في < 1. متى X = π / 2 + 2 كيلو π تأخذ الدالة أكبر قيم تساوي 1 ، وبالنسبة إلى x = - π / 2 + 2 كيلو π - القيم الأصغر تساوي - 1.

3) الوظيفة ص = الخطيئة س غريب (الشكل الجيبي متماثل فيما يتعلق بالأصل).

4) الوظيفة ص = الخطيئة س دورية مع الفترة 2 π .

5) على فترات 2n π < x < π + 2 ن π (ن هو أي عدد صحيح) هو موجب ، وعلى فترات π + 2 كيلو π < X < 2π + 2 كيلو π (ك هو أي عدد صحيح) إنه سلبي. من أجل x = k π تذهب الدالة إلى الصفر. لذلك ، فإن هذه القيم للوسيطة x (0 ؛ ± π ؛ ± 2 π ؛ ...) تسمى أصفار الوظيفة ص = الخطيئة س

6) على فترات - π / 2 + 2 ن π < X < π / 2 + 2 ن π وظيفة ص = الخطيئة x يزيد بشكل رتيب وعلى فترات π / 2 + 2 كيلو π < X < 3π / 2 + 2 كيلو π يتناقص بشكل رتيب.

انتبه بشكل خاص لسلوك الوظيفة ص = الخطيئة س بالقرب من النقطة X = 0 .

على سبيل المثال ، sin 0.012 ≈ 0.012 ؛ الخطيئة (-0.05) ≈ -0,05;

sin2 ° = الخطيئة π 2 / 180 = الخطيئة π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن أي قيم لـ x

| الخطيئة x| < | x | . (1)

في الواقع ، دع نصف قطر الدائرة الموضحة في الشكل يساوي 1 ،
أ / AOB = X.

ثم خطيئة x= التيار المتردد. لكن AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. من الواضح أن طول هذا القوس يساوي X، حيث أن نصف قطر الدائرة هو 1. إذن ، بالنسبة إلى 0< X < π / 2

الخطيئة x< х.

ومن ثم ، بسبب غرابة الوظيفة ص = الخطيئة س من السهل إظهار أنه عندما - π / 2 < X < 0

| الخطيئة x| < | x | .

أخيرًا ، في x = 0

| الخطيئة x | = | x |.

وهكذا ، لـ | X | < π / 2 ثبت عدم المساواة (1). في الواقع ، هذا التفاوت صحيح أيضًا لـ | x | > π / 2 يرجع ذلك إلى حقيقة أن | | الخطيئة X | < 1 ، أ π / 2 > 1

تمارين

1. وفقًا لجدول الوظائف ص = الخطيئة س حدد: أ) الخطيئة 2 ؛ ب) الخطيئة 4 ؛ ج) الخطيئة (-3).

2. جدولة وظيفة ص = الخطيئة س تحديد أي رقم من الفاصل الزمني
[ - π / 2 , π / 2 ] شرط يساوي: أ) 0.6 ؛ ب) -0.8.

3. وظيفة مجدولة ص = الخطيئة س تحديد الأرقام التي لها شرط ،
يساوي 1/2.

4. أوجد بالتقريب (بدون استخدام الجداول): أ) الخطيئة 1 درجة ؛ ب) الخطيئة 0.03 ؛
ج) الخطيئة (-0.015) ؛ د) الخطيئة (-2 درجة 30 بوصة).

في هذا الدرس ، سننظر بالتفصيل في الوظيفة y \ u003d sin x وخصائصها الرئيسية والرسم البياني. في بداية الدرس ، سنقدم تعريف الدالة المثلثية y \ u003d sin t على دائرة الإحداثيات وننظر في الرسم البياني للدالة على الدائرة والخط. دعنا نظهر دورية هذه الوظيفة على الرسم البياني ونأخذ في الاعتبار الخصائص الرئيسية للدالة. في نهاية الدرس ، سنحل بعض المسائل البسيطة باستخدام التمثيل البياني للدالة وخصائصها.

الموضوع: الدوال المثلثية

درس: الدالة y = sinx ، خصائصها الرئيسية ومخططها البياني

عند التفكير في دالة ، من المهم ربط قيمة واحدة للدالة بكل قيمة من قيمة الوسيطة. هذه قانون المراسلاتوتسمى وظيفة.

دعونا نحدد قانون المراسلات ل.

أي رقم حقيقي يتوافق مع نقطة مفردة على دائرة الوحدة ، وللنقطة إحداثية واحدة تسمى جيب الرقم (الشكل 1).

يتم تعيين قيمة دالة واحدة لكل قيمة وسيطة.

الخصائص الواضحة تأتي من تعريف الجيب.

يوضح الشكل ذلك لان هو إحداثي نقطة على دائرة الوحدة.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة. دعونا نتذكر التفسير الهندسي للحجة. الوسيطة هي الزاوية المركزية المقاسة بالراديان. على المحور ، سنرسم أرقامًا حقيقية أو زوايا بالراديان ، على طول المحور ، قيم الوظيفة المقابلة.

على سبيل المثال ، الزاوية على دائرة الوحدة تقابل نقطة على الرسم البياني (الشكل 2)

حصلنا على الرسم البياني للدالة على الموقع ، لكن بمعرفة فترة الجيب ، يمكننا تصوير الرسم البياني للدالة في مجال التعريف بالكامل (الشكل 3).

الفترة الرئيسية للوظيفة هي هذا يعني أنه يمكن الحصول على الرسم البياني على مقطع ثم المتابعة إلى مجال التعريف بأكمله.

ضع في اعتبارك خصائص الوظيفة:

1) مجال التعريف:

2) نطاق القيم:

3) وظيفة فردية:

4) أصغر فترة إيجابية:

5) إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور السيني:

6) إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور الصادي:

7) الفترات التي تأخذ فيها الوظيفة قيمًا موجبة:

8) الفترات التي تأخذ فيها الوظيفة قيمًا سالبة:

9) زيادة الفترات:

10) الفترات التنازلية:

11) نقاط منخفضة:

12) الحد الأدنى من الميزات:

13) نقاط عالية:

14) الميزات القصوى:

لقد درسنا خصائص الدالة ورسمها البياني. سيتم استخدام الخصائص بشكل متكرر في حل المشكلات.

فهرس

1. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). البرنامج التعليمي ل المؤسسات التعليمية(مستوى الملف الشخصي) إد. أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2009.

2. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). كتاب المهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) ، أد. أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S، Shvartsburd S.I. الجبر والتحليل الرياضي للصف 10 ( درس تعليميلطلاب المدارس والصفوف مع دراسة متعمقة للرياضيات) .- م: التربية ، 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. دراسة متعمقة للجبر والتحليل الرياضي. - م: التنوير ، 1997.

5. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية (تحت إشراف M.I.Skanavi) .- M: High School، 1992.

6. Merzlyak A.G. ، Polonsky V.B. ، Yakir MS مدرب جبري .- K: ASK ، 1997.

7. Sahakyan S.M.، Goldman A.M.، Denisov D.V. مهام في الجبر وبدايات التحليل (دليل لطلاب الصفوف 10-11 بمؤسسات التعليم العام) .- م: التربية ، 2003.

8. كارب أ. مجموعة مسائل الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. بدل 10-11 خلية. بعمق دراسة mathematics.-M: التعليم ، 2006.

الواجب المنزلي

الجبر وبدايات التحليل ، الصف العاشر (قسمين). كتاب المهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) ، أد.

أ.موردكوفيتش. -M: Mnemosyne ، 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

موارد ويب إضافية

3. البوابة التعليميةللتحضير للامتحانات ().

تتمحور في نقطة أ.
α هي زاوية معبر عنها بالتقدير الدائري.

تعريف
التجويف- هذه دالة مثلثية، اعتمادًا على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، يساوي النسبةطول الضلع المقابل | BC | على طول الوتر | AC |.

جيب التمام (كوس α)دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور | AB | على طول الوتر | AC |.

التعيينات المقبولة

;
;
.

;
;
.

رسم بياني لدالة الجيب ، y = sin x

رسم بياني لدالة جيب التمام ، y = cos x

خصائص الجيب وجيب التمام

دورية

وظائف y = الخطيئة xو ص = كوس xدورية مع فترة 2 بي.

التكافؤ

دالة الجيب فردية. دالة جيب التمام زوجية.

مجال التعريف والقيم ، القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان

دالتا الجيب وجيب التمام متصلة في مجال تعريفهما ، أي بالنسبة لكل x (انظر دليل الاستمرارية). يتم عرض خصائصها الرئيسية في الجدول (ن - عدد صحيح).

	ص = الخطيئة x	ص = كوس x
النطاق والاستمرارية	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
مدى من القيم	-1 ≤ ص 1	-1 ≤ ص 1
تصاعدي
تنازلي
الحدود القصوى ، ص = 1
الصغرى ، ص = - 1
الأصفار ، ص = 0
نقاط التقاطع مع المحور y ، x = 0	ص = 0	ص = 1

الصيغ الأساسية

مجموع الجيب وجيب التمام التربيعي

صيغ الجيب وجيب التمام للجمع والفرق

;
;

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام

صيغ الجمع والفرق

التعبير عن الجيب من خلال جيب التمام

;
;
;
.

التعبير عن جيب التمام من خلال الجيب

;
;
;
.

التعبير من حيث الظل

; .

لدينا:
; .

في :
; .

جدول الجيب وجيب التمام والظل والظل

يوضح هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام لبعض قيم الوسيطة.

التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة

;

صيغة أويلر

التعبيرات من حيث الدوال الزائدية

;
;

المشتقات

؛ . اشتقاق الصيغ>>>

مشتقات الترتيب التاسع:
{ -∞ < x < +∞ }

القاطع ، قاطع التمام

وظائف معكوسة

وظائف معكوسةإلى الجيب وجيب التمام هي قوس جيب الزاوية والجيب القوسي ، على التوالي.

أركسين ، أركسين

Arccosine ، arccos

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

>> الرياضيات: الدالات y \ u003d sin x ، y \ u003d cos x ، خصائصها والرسوم البيانية

الدالات y \ u003d sin x ، y \ u003d cos x ، خصائصها ورسومها البيانية

في هذا القسم نناقش بعض خصائص الوظائف y = الخطيئة س ، ص= cos x ورسم الرسوم البيانية الخاصة بهم.

1. الوظيفة y \ u003d sin X.

أعلاه ، في الفقرة 20 ، قمنا بصياغة قاعدة تسمح لكل رقم t أن يكون مرتبطًا بالرقم cos t ، أي تميزت الوظيفة y = sin t. نلاحظ بعض خصائصه.

خصائص الوظيفة ش = سينت.

مجال التعريف هو مجموعة K للأرقام الحقيقية.
يأتي هذا من حقيقة أن أي رقم 2 يتوافق مع النقطة M (1) على دائرة الرقم ، والتي لها إحداثيات محددة جيدًا ؛ هذا الإحداثي هو cos t.

u = sin t دالة فردية.

يأتي هذا من حقيقة أنه ، كما ثبت في الفقرة 19 ، لأي مساواة
هذا يعني أن الرسم البياني للدالة u \ u003d sin t ، مثل الرسم البياني لأي دالة فردية ، متماثل بالنسبة إلى الأصل في نظام إحداثيات المستطيل tOi.

تزيد الدالة u = sin t على المقطع
ينتج هذا عن حقيقة أنه عندما تتحرك النقطة على طول الربع الأول من الدائرة العددية ، يزداد الإحداثي تدريجيًا (من 0 إلى 1 - انظر الشكل. 115) ، وعندما تتحرك النقطة على طول الربع الثاني من الدائرة العددية ، تنسيق يتناقص تدريجياً (من 1 إلى 0 - انظر الشكل 115). الشكل 116).

الدالة u = sin t محدودة من الأسفل ومن الأعلى. هذا يأتي من حقيقة أنه ، كما رأينا في الفقرة 19 ، لأي t المتباينة

(تصل الوظيفة إلى هذه القيمة في أي نقطة من النموذج (تصل الوظيفة إلى هذه القيمة في أي نقطة من النموذج
باستخدام الخصائص التي تم الحصول عليها ، نقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة التي تهمنا. لكن (انتباه!) بدلاً من u - sin t ، سنكتب y \ u003d sin x (بعد كل شيء ، نحن معتادون أكثر على كتابة y \ u003d f (x) ، وليس u \ u003d f (t)). هذا يعني أننا سننشئ رسمًا بيانيًا في نظام الإحداثيات المعتاد хОу (وليس tOy).

لنقم بعمل جدول لقيم الوظيفة - الخطيئة x:

تعليق.

فيما يلي أحد إصدارات أصل مصطلح "الجيب". في اللاتينية ، تعني كلمة sinus الانحناء (الوتر).

الرسم البياني الذي تم إنشاؤه يبرر إلى حد ما هذه المصطلحات.

يُطلق على الخط الذي يعمل كرسم بياني للوظيفة y \ u003d sin x اسم الجيب الجيبي. هذا الجزء من الجيب الذي يظهر في الشكل. 118 أو 119 ، تسمى موجة جيبية ، وهذا الجزء من الجيب الذي يظهر في الشكل. 117 يسمى نصف موجة أو قوس موجة جيبية.

2. الوظيفة y = cos x.

يمكن إجراء دراسة الدالة y \ u003d cos x تقريبًا وفقًا لنفس المخطط المستخدم أعلاه للدالة y \ u003d sin x. لكننا سنختار المسار الذي يؤدي إلى الهدف بشكل أسرع. أولاً ، سنثبت وجود صيغتين مهمتين في حد ذاتهما (سترى هذا في المدرسة الثانوية) ، ولكن حتى الآن ليس لهما سوى قيمة مساعدة لأغراضنا.

لأي قيمة من t ، المساواة

دليل - إثبات. دع الرقم t يتوافق مع النقطة M للدائرة العددية n ، والرقم * + - للنقطة P (الشكل 124 ؛ من أجل البساطة ، أخذنا النقطة M في الربع الأول). القوسان AM و BP متساويان ، على التوالي ، والمثلثات القائمة الزاوية OKM و OBP متساويان أيضًا. ومن ثم ، O K = Ob ، MK = Pb. من هذه المساواة ومن موقع المثلثين OKM و OLR في نظام الإحداثيات ، نستخلص استنتاجين:

1) إحداثيات النقطة P في كل من القيمة المطلقة والإشارة تتزامن مع حدودي النقطة M ؛ هذا يعني انه

2) الحد الفاصل للنقطة P يساوي في القيمة المطلقة إحداثي النقطة M ، لكنه يختلف عنها في الإشارة ؛ هذا يعني انه

يتم تنفيذ نفس المنطق تقريبًا في الحالات التي لا تنتمي فيها النقطة M إلى الربع الأول.
دعنا نستخدم الصيغة (هذه هي الصيغة التي تم إثباتها أعلاه ، فقط بدلاً من المتغير t نستخدم المتغير x). ماذا تعطينا هذه الصيغة؟ يسمح لنا أن نؤكد أن الوظائف

متطابقة ، لذا فإن الرسوم البيانية الخاصة بهم هي نفسها.
دعونا نرسم الدالة للقيام بذلك ، دعنا ننتقل إلى نظام إحداثيات مساعد مع الأصل عند نقطة (الخط المنقط مرسوم في الشكل 125). لنربط الدالة y \ u003d sin x بنظام الإحداثيات الجديد - سيكون هذا الرسم البياني للدالة (الشكل 125) أي رسم بياني للدالة y - cos x. إنه ، مثل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin x ، يسمى الجيب (وهو أمر طبيعي تمامًا).

خصائص الدالة y = cos x.

y = cos x دالة زوجية.

تظهر مراحل البناء في الشكل. 126:

1) نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d cos x (بتعبير أدق ، نصف موجة) ؛
2) عن طريق مد الرسم البياني المركب من المحور السيني بمعامل 0.5 ، نحصل على نصف موجة من الرسم البياني المطلوب ؛
3) باستخدام نصف الموجة الناتج ، نقوم ببناء الرسم البياني الكامل للدالة y \ u003d 0.5 cos x.

محتوى الدرس ملخص الدرسدعم إطار عرض الدرس بأساليب متسارعة تقنيات تفاعلية ممارسة مهام وتمارين امتحان ذاتي ورش عمل ، تدريبات ، حالات ، أسئلة أسئلة واجبات منزلية ، أسئلة مناقشة أسئلة بلاغيةمن الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور ، صور رسومات ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، نكت ، أمثال كاريكاتورية ، أقوال ، ألغاز كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولي والكتب المدرسية الأساسية والإضافية معجم مصطلحات أخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثالية خطة التقويملعام القواعد الارشاديةبرامج المناقشة دروس متكاملة