الجامعة الوطنية للبحوث
قسم الجيولوجيا التطبيقية
ملخص عن الرياضيات العليا
حول الموضوع: "الوظائف الأولية الأساسية،
خصائصها ورسومها البيانية"
مكتمل:
التحقق:
مدرس
تعريف. الدالة المعطاة بالصيغة y=a x (حيث a>0, a≠1) تسمى دالة أسية ذات الأساس a.
دعونا صياغة الخصائص الرئيسية للوظيفة الأسية:
1. مجال التعريف هو المجموعة (R) لجميع الأعداد الحقيقية.
2. المدى - المجموعة (R+) لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة.
3. بالنسبة لـ > 1، تزداد الدالة على طول خط الأعداد بأكمله؛ عند 0<а<1 функция убывает.
4. هي وظيفة منظر عام.
، على الفاصل الزمني xO [-3;3]
، على الفاصل الزمني xO [-3;3] دالة من الشكل y(x)=x n، حيث n هو الرقم ОR، تسمى دالة القدرة. يمكن أن يتخذ الرقم n قيمًا مختلفة: عدد صحيح وكسري، وزوجي وفردي. اعتمادا على هذا، سيكون لوظيفة الطاقة شكل مختلف. دعونا نفكر في حالات خاصة تمثل دوال قدرة وتعكس الخصائص الأساسية لهذا النوع من المنحنيات بالترتيب التالي: دالة القدرة y=x² (دالة ذات أس زوجي - قطع مكافئ)، دالة القدرة y=x³ (دالة ذات أس فردي - القطع المكافئ المكعب) والدالة y=√x (x أس ½) (الدالة ذات الأس الكسري)، والدالة ذات الأس الصحيح السالب (القطع الزائد).
وظيفة الطاقة ص=س²
1. D(x)=R – يتم تعريف الدالة على المحور العددي بأكمله؛
2. E(y)= ويزداد على الفترة
وظيفة الطاقة ص=س³
1. الرسم البياني للدالة y=x³ يسمى القطع المكافئ المكعب. دالة الطاقة y=x³ لها الخصائص التالية:
2. D(x)=R – يتم تعريف الدالة على المحور العددي بأكمله؛
3. E(y)=(-∞;∞) – تأخذ الدالة جميع القيم في مجال تعريفها؛
4. عندما x=0 y=0 – تمر الدالة عبر أصل الإحداثيات O(0;0).
5. تزيد الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله.
6. الدالة فردية (متناظرة حول الأصل).
، على الفاصل الزمني xO [-3;3] اعتمادًا على العامل العددي الموجود أمام x³، يمكن أن تكون الدالة شديدة الانحدار/مسطحة ومتزايدة/متناقصة.
دالة القدرة ذات الأس الصحيح السالب:
إذا كان الأس n فرديًا، فإن الرسم البياني لدالة القدرة هذه يسمى القطع الزائد. دالة القدرة ذات الأس السالب الصحيح لها الخصائص التالية:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) لأي n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞)، إذا كان n رقمًا فرديًا؛ E(y)=(0;∞)، إذا كان n رقمًا زوجيًا؛
3. تتناقص الدالة على نطاق التعريف بأكمله إذا كان n رقمًا فرديًا؛ تزيد الدالة على الفاصل الزمني (-∞;0) وتتناقص على الفاصل الزمني (0;∞) إذا كان n رقمًا زوجيًا.
4. تكون الدالة فردية (متناظرة حول الأصل) إذا كان n رقمًا فرديًا؛ الدالة زوجية إذا كان n رقمًا زوجيًا.
5. تمر الدالة عبر النقطتين (1;1) و (-1;-1) إذا كان n عددا فرديا ومن خلال النقطتين (1;1) و (-1;1) إذا كان n عددا زوجيا.
، على الفاصل الزمني xO [-3;3] دالة القدرة مع الأس الكسرى
تحتوي دالة القدرة ذات الأس الكسري (الصورة) على رسم بياني للدالة الموضحة في الشكل. دالة القدرة ذات الأس الكسري لها الخصائص التالية: (صورة)
1. D(x) ОR، إذا كان n رقمًا فرديًا وD(x)= 
، على الفاصل الزمني xO 
، على الفاصل الزمني xO [-3;3]
الدالة اللوغاريتمية y = log a x لها الخصائص التالية:
1. مجال التعريف D(x)O (0; + ∞).
2. نطاق القيم E(y) О (- ∞; + ∞)
3. الدالة ليست زوجية ولا فردية (بشكل عام).
4. تزيد الدالة على الفاصل الزمني (0; + ∞) لـ a > 1، وتتناقص على (0; + ∞) لـ 0< а < 1.
يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة y = log a x من الرسم البياني للدالة y = a x باستخدام تحويل التماثل حول الخط المستقيم y = x. يوضح الشكل 9 رسمًا بيانيًا للدالة اللوغاريتمية لـ a > 1، والشكل 10 لـ 0< a < 1.
; على الفاصل الزمني xO 
; على الفاصل الزمني xO الدوال y = sin x، y = cos x، y = tan x، y = ctg x تسمى الدوال المثلثية.
الدوال y = sin x، y = tan x، y = ctg x فردية، والدالة y = cos x زوجية.
الدالة ص = الخطيئة(س).
1. مجال التعريف D(x) ОR.
2. نطاق القيم E(y) О [ - 1; 1].
3. الوظيفة دورية. الفترة الرئيسية هي 2π.
4. الوظيفة غريبة.
5. تزداد الدالة على فترات [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ويتناقص على فترات [π/2 + 2πn؛ 3π/2 + 2πn]، n О Z.
يظهر الرسم البياني للدالة y = sin (x) في الشكل 11.
مهم!
تسمى الدالة ذات الشكل "y = kx + b" دالة خطية.
يتم استدعاء عوامل الحرف "k" و "b". المعاملات العددية.
بدلاً من "k" و"b" يمكن أن يكون هناك أي أرقام (موجبة أو سالبة أو كسور).
بمعنى آخر، يمكننا القول أن "y = kx + b" هي عائلة من جميع الوظائف الممكنة، حيث توجد أرقام بدلاً من "k" و"b".
أمثلة على وظائف مثل "y = kx + b".
- ص = 5س + 3
- ص = −س + 1
- ص = س − 2
ك = 2 3 ب = −2 ص = 0.5x ك = 0.5 ب = 0 انتبه بشكل خاص إلى الدالة "y = 0.5x" في الجدول. غالبًا ما يخطئون في البحث عن المعامل العددي "ب".
عند النظر في الدالة "y = 0.5x"، فمن غير الصحيح القول بأنه لا يوجد معامل عددي "b" في الدالة.
المعامل العددي "b" موجود دائمًا في دالة مثل "y = kx + b" دائمًا. في الدالة "y = 0.5x" يكون المعامل العددي "b" صفرًا.
كيفية رسم دالة خطية
"ص = ك س + ب"يتذكر!
جدول دالة خطية"y = kx + b" هو خط مستقيم.
بما أن الرسم البياني للدالة "y = kx + b" هو خط مستقيم، يتم استدعاء الدالة دالة خطية.
من الهندسة، دعونا نتذكر البديهية (بيان لا يتطلب إثباتًا) أنه من خلال أي نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم، علاوة على ذلك، خط واحد فقط.
بناءً على البديهية أعلاه، يتبع ذلك من أجل رسم دالة للنموذج
"y = kx + b" سيكون كافيًا أن نجد نقطتين فقط.على سبيل المثال لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة"ص = −2س + 1".
لنجد قيمة الدالة "y" لقيمتين عشوائيتين "x". دعونا نستبدل، على سبيل المثال، بدلاً من "x" الرقمين "0" و"1".
مهم!
عند اختيار قيم رقمية عشوائية بدلا من "x"، فمن الأفضل أن تأخذ الأرقام "0" و "1". من السهل إجراء العمليات الحسابية باستخدام هذه الأرقام.
القيم الناتجة "x" و"y" هي إحداثيات النقاط على الرسم البياني للوظيفة.
لنكتب الإحداثيات التي تم الحصول عليها للنقاط "y = −2x + 1" في الجدول.
دعونا نحدد النقاط التي تم الحصول عليها على نظام الإحداثيات.
الآن لنرسم خطًا مستقيمًا عبر النقاط المحددة. سيكون هذا الخط المستقيم هو الرسم البياني للدالة "y = −2x + 1".
كيفية حل المشاكل على
دالة خطية "y = kx + b"دعونا ننظر في المشكلة.
ارسم الدالة "y = 2x + 3". البحث عن طريق الرسم البياني:
- القيمة "y" المقابلة للقيمة "x" التي تساوي −1؛ 2؛ 3؛ 5 ؛
- قيمة "x" إذا كانت قيمة "y" هي 1؛ 4؛ 0; -1.
أولاً، دعونا نرسم الدالة "y = 2x + 3".
نحن نستخدم القواعد التي نتفوق بها. لرسم الدالة "y = 2x + 3" يكفي العثور على نقطتين فقط.
لنختار قيمتين رقميتين عشوائيتين لـ "x". لتسهيل العمليات الحسابية، سنختار الأرقام "0" و "1".
لنجري الحسابات ونكتب نتائجها في الجدول.
دعونا نحدد النقاط التي تم الحصول عليها على نظام الإحداثيات المستطيل.
دعونا نربط النقاط الناتجة بخط مستقيم. سيكون الخط المستقيم المرسوم رسمًا بيانيًا للدالة "y = 2x + 3".
الآن نحن نعمل مع الرسم البياني المبني للدالة "y = 2x + 3".
تحتاج إلى العثور على القيمة "y" المقابلة للقيمة "x"،
وهو يساوي −1؛ 2؛ 3؛ 5 .- ثور"إلى الصفر (س = 0) ؛
- استبدل الصفر بـ "x" في صيغة الدالة وابحث عن القيمة "y"؛
- أوي".
بدلاً من "x" في صيغة الدالة "y = −1.5x + 3"، فلنعوض بالرقم صفر.
ص(0) = −1.5 0 + 3 = 3
(0; 3) - إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة "y = −1.5x + 3" مع المحور "Oy".يتذكر!
للعثور على إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة
بالمحور " ثور"(المحور س) تحتاج إلى:- مساواة إحداثيات نقطة على طول المحور "". أوي"إلى الصفر (ص = 0) ؛
- استبدل الصفر بدلاً من "y" في صيغة الدالة وابحث عن قيمة "x"؛
- اكتب الإحداثيات التي تم الحصول عليها لنقطة التقاطع مع المحور " أوي".
بدلاً من "y" في صيغة الدالة "y = −1.5x + 3"، فلنعوض بالرقم صفر.
0 = −1.5x + 3
1.5س = 3 | :(1.5)
س = 3: 1.5
س = 2
(2; 0) - إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة "y = −1.5x + 3" مع محور "Ox".لتسهيل تذكر إحداثيات النقطة التي يجب أن تساوي الصفر، تذكر "قاعدة الأضداد".
مهم!
إذا كنت بحاجة إلى العثور على إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور " ثور"، ثم نساوي "y" بالصفر.
والعكس صحيح. إذا كنت بحاجة إلى العثور على إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور "". أوي"، ثم نساوي "x" بالصفر.
يتم تحديد طول المقطع على محور الإحداثيات بالصيغة:
طول الجزء خطة تنسيقيتم البحث بواسطة الصيغة:
للعثور على طول القطعة في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد، استخدم الصيغة التالية:
يتم حساب إحداثيات منتصف المقطع (بالنسبة لمحور الإحداثيات فقط الصيغة الأولى، للمستوى الإحداثي - الصيغتين الأوليين، لنظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد - جميع الصيغ الثلاثة) يتم حسابها باستخدام الصيغ:
وظيفة- هذه مراسلة النموذج ذ= F(س) بين الكميات المتغيرة، والتي تعتبر كل منها قيمة لبعض الكمية المتغيرة س(الوسيطة أو المتغير المستقل) يتوافق مع قيمة معينة لمتغير آخر، ذ(المتغير التابع، في بعض الأحيان تسمى هذه القيمة ببساطة قيمة الدالة). لاحظ أن الدالة تفترض قيمة وسيطة واحدة Xيمكن أن تتوافق قيمة واحدة فقط من المتغير التابع في. ومع ذلك، نفس القيمة فييمكن الحصول عليها مع مختلف X.
مجال الوظيفة– هذه هي جميع قيم المتغير المستقل (وسيطة الدالة، عادةً ما تكون هذه X) ، والتي يتم تعريف الوظيفة لها، أي. معناها موجود. يشار إلى منطقة التعريف د(ذ). على العموم، أنت على دراية بهذا المفهوم بالفعل. مجال الدالة يسمى أيضًا المجال القيم المقبولة، أو ODZ، الذي تمكنت من العثور عليه منذ فترة طويلة.
نطاق الوظيفةكلها قيم محتملة للمتغير التابع لدالة معينة. معين ه(في).
تزداد الوظيفةعلى الفاصل الزمني الذي تتوافق فيه القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أكبر للدالة. الوظيفة آخذة في التناقصعلى الفاصل الزمني الذي تتوافق فيه القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أصغر للدالة.
فترات الإشارة الثابتة للدالة- هذه هي فترات المتغير المستقل التي يحتفظ خلالها المتغير التابع بإشارته الإيجابية أو السلبية.
وظيفة الأصفار- هذه هي قيم الوسيطة التي تكون فيها قيمة الدالة صفراً. عند هذه النقاط، يتقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور الإحداثي السيني (محور OX). في كثير من الأحيان، تعني الحاجة إلى العثور على أصفار دالة الحاجة إلى حل المعادلة ببساطة. أيضًا، غالبًا ما تعني الحاجة إلى إيجاد فترات ثبات الإشارة الحاجة إلى حل المتراجحة ببساطة.
وظيفة ذ = F(س) وتسمى حتى X
وهذا يعني أنه بالنسبة لأي قيم معاكسة للوسيطة، تكون قيم الدالة الزوجية متساوية. جدول دالة زوجيةدائمًا ما يكون متماثلًا بالنسبة للمحور الإحداثي لمكبر الصوت.
وظيفة ذ = F(س) وتسمى غريب، إذا تم تعريفه على مجموعة متماثلة ولأي Xمن مجال التعريف فإن المساواة تحمل:
وهذا يعني أنه بالنسبة لأي قيم معاكسة للوسيطة، تكون قيم الدالة الفردية معاكسة أيضًا. الرسم البياني للدالة الفردية يكون دائمًا متماثلًا بالنسبة إلى الأصل.
مجموع جذور حتى و وظائف غريبة(نقاط تقاطع محور الإحداثي السيني OX) تساوي دائمًا الصفر، لأن لكل جذر إيجابي Xله جذر سلبي - X.
من المهم ملاحظة: لا يجب أن تكون بعض الوظائف زوجية أو فردية. هناك العديد من الوظائف التي ليست زوجية ولا فردية. تسمى هذه الوظائف وظائف عامةوبالنسبة لهم لا يتم استيفاء أي من المساواة أو الخصائص المذكورة أعلاه.
دالة خطيةهي دالة يمكن أن تعطى بالصيغة:
الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم و الحالة العامةيبدو مثل هذا (يتم تقديم مثال للحالة عندما ك> 0، في هذه الحالة الدالة آخذة في الازدياد؛ لهذه المناسبة ك < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
الرسم البياني للدالة التربيعية (القطع المكافئ)
يتم إعطاء الرسم البياني للقطع المكافئ بواسطة دالة تربيعية:
الدالة التربيعية، مثل أي دالة أخرى، تتقاطع مع محور OX في النقاط التي تمثل جذورها: ( س 1 ؛ 0) و ( س 2 ; 0). إذا لم يكن هناك جذور، فإن الدالة التربيعية لا تتقاطع مع محور OX؛ إذا كان هناك جذر واحد فقط، عند هذه النقطة ( س 0 ; 0) الدالة التربيعية تمس محور OX فقط ولكنها لا تتقاطع معه. تتقاطع الدالة التربيعية دائمًا مع محور OY عند النقطة ذات الإحداثيات: (0؛ ج). جدول وظيفة من الدرجة الثانية(القطع المكافئ) قد يبدو هكذا (يوضح الشكل أمثلة لا تستنفد جميع الأنواع الممكنة من القطع المكافئة):
حيث:
- إذا كان المعامل أ> 0، في الوظيفة ذ = فأس 2 + bx + ج، ثم يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى؛
- لو أ < 0, то ветви параболы направлены вниз.
يمكن حساب إحداثيات رأس القطع المكافئ من خلاله الصيغ التالية. قمم X (ص- في الصور أعلاه) القطع المكافئ (أو النقطة التي يصل عندها ثلاثي الحدود التربيعي إلى قيمته الأكبر أو الأصغر):
قمم إيجريك (س- في الأشكال أعلاه) القطع المكافئة أو الحد الأقصى إذا كانت فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل ( أ < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (أ> 0)، القيمة ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية:
الرسوم البيانية للوظائف الأخرى
وظيفة الطاقة
وفيما يلي بعض الأمثلة على الرسوم البيانية وظائف الطاقة:
يتناسب عكسياهي دالة تعطى بالصيغة:
اعتمادا على علامة الرقم كيمكن أن يحتوي الرسم البياني للاعتماد المتناسب عكسيا على خيارين أساسيين:
الخط المقاربهو الخط الذي يقترب منه الرسم البياني للدالة بشكل لا نهائي ولكنه لا يتقاطع. الخطوط المقاربة للرسوم البيانية التناسب العكسييظهر في الشكل أعلاه محاور الإحداثيات التي يقترب منها الرسم البياني للدالة بشكل لا نهائي، لكنه لا يتقاطع معها.
الدالة الأسيةمع القاعدة أهي دالة تعطى بالصيغة:
أيمكن أن يحتوي الرسم البياني للدالة الأسية على خيارين أساسيين (نقدم أيضًا أمثلة، انظر أدناه):
دالة لوغاريتميةهي دالة تعطى بالصيغة:
اعتمادا على ما إذا كان الرقم أكبر أو أقل من واحد أيمكن أن يحتوي الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية على خيارين أساسيين:
رسم بياني للدالة ذ = |س| على النحو التالي:
الرسوم البيانية للدوال الدورية (المثلثية).
وظيفة في = F(س) يسمى دورية، إذا كان هناك رقم غير الصفر ت، ماذا F(س + ت) = F(س)، لأي احد Xمن مجال الدالة F(س). إذا كانت الوظيفة F(س) دورية مع فترة ت، ثم الدالة:
أين: أ, ك, ب – أرقام ثابتة، و كلا يساوي الصفر، وأيضا دورية مع الفترة ت 1، والتي يتم تحديدها بواسطة الصيغة:
معظم الأمثلة وظائف دورية- هذا الدوال المثلثية. نقدم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية الرئيسية. يوضح الشكل التالي جزءًا من الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة س(يستمر الرسم البياني بأكمله إلى أجل غير مسمى من اليسار واليمين)، الرسم البياني للدالة ذ= خطيئة سمُسَمًّى الجيوب الأنفية:
رسم بياني للدالة ذ=cos سمُسَمًّى جيب التمام. يظهر هذا الرسم البياني في الشكل التالي. نظرًا لأن الرسم البياني الجيبي يستمر إلى أجل غير مسمى على طول محور OX إلى اليسار واليمين:
رسم بياني للدالة ذ= تيراغرام سمُسَمًّى مماسي. يظهر هذا الرسم البياني في الشكل التالي. مثل الرسوم البيانية للدوال الدورية الأخرى، يتكرر هذا الرسم البياني إلى أجل غير مسمى على طول محور الثور إلى اليسار واليمين.
وأخيرًا، الرسم البياني للدالة ذ=ctg سمُسَمًّى ظل التمام. يظهر هذا الرسم البياني في الشكل التالي. مثل الرسوم البيانية للدوال الدورية والمثلثية الأخرى، يتكرر هذا الرسم البياني إلى أجل غير مسمى على طول محور الثور إلى اليسار واليمين.
سيسمح لك التنفيذ الناجح والدؤوب والمسؤول لهذه النقاط الثلاث بإظهار نتيجة ممتازة في التصوير المقطعي، وهو الحد الأقصى الذي يمكنك القيام به.
وجدت خطأ؟
إذا كنت تعتقد أنك وجدت خطأ في المواد التعليمية، ثم يرجى الكتابة عن ذلك عن طريق البريد الإلكتروني. يمكنك أيضًا الإبلاغ عن خطأ إلى شبكة اجتماعية(). في الرسالة، أشر إلى الموضوع (الفيزياء أو الرياضيات)، أو اسم أو رقم الموضوع أو الاختبار، أو رقم المشكلة، أو المكان في النص (الصفحة) الذي يوجد فيه خطأ في رأيك. قم أيضًا بوصف الخطأ المشتبه به. لن تمر رسالتك دون أن يلاحظها أحد، وسيتم تصحيح الخطأ، أو سيتم توضيح سبب عدم اعتباره خطأ.
الدالة عبارة عن مراسلات بين عناصر مجموعتين، يتم إنشاؤها وفقًا للقاعدة التي تنص على أن كل عنصر من مجموعة ما يرتبط بعنصر ما من مجموعة أخرى.
الرسم البياني للدالة هو الموقع الهندسي للنقاط في المستوى الذي ترتبط فيه الإحداثيات (x) والإحداثيات (y) بالدالة المحددة:
تقع النقطة (أو تقع) على الرسم البياني للدالة إذا وفقط إذا .
وبالتالي، يمكن وصف الوظيفة بشكل مناسب من خلال الرسم البياني الخاص بها.
الطريقة الجدولية. من الشائع إلى حد ما تحديد جدول قيم الوسيطات الفردية وقيم الوظائف المقابلة لها. يتم استخدام هذه الطريقة لتعريف الدالة عندما يكون مجال تعريف الدالة عبارة عن مجموعة محدودة منفصلة.
باستخدام الطريقة الجدولية لتحديد دالة، من الممكن حساب قيم الدالة غير الموجودة في الجدول تقريبًا، والتي تتوافق مع القيم المتوسطةدعوى. للقيام بذلك، استخدم طريقة الاستيفاء.
تتمثل مزايا الطريقة الجدولية لتحديد الوظيفة في أنها تجعل من الممكن تحديد قيم محددة معينة على الفور، دون قياسات أو حسابات إضافية. ومع ذلك، في بعض الحالات، لا يحدد الجدول الدالة بشكل كامل، ولكن فقط لبعض قيم الوسيطة ولا يقدم تمثيلا مرئيا لطبيعة التغيير في الدالة اعتمادا على التغيير في الوسيطة.
الطريقة الرسومية. الرسم البياني للدالة y = f(x) هو مجموعة جميع النقاط على المستوى التي تتوافق إحداثياتها مع المعادلة المعطاة.
لا تتيح الطريقة الرسومية لتحديد الوظيفة دائمًا تحديد القيم الرقمية للوسيطة بدقة. ومع ذلك، لديها ميزة كبيرة على الطرق الأخرى - الرؤية. في الهندسة والفيزياء، غالبًا ما يتم استخدام طريقة رسومية لتحديد الوظيفة، والرسم البياني هو الطريقة الوحيدة المتاحة لذلك.
لكي يكون التعيين الرسومي للدالة صحيحًا تمامًا من وجهة نظر رياضية، من الضروري الإشارة إلى التصميم الهندسي الدقيق للرسم البياني، والذي يتم تحديده غالبًا بواسطة معادلة. وهذا يؤدي إلى الطريقة التالية لتحديد وظيفة.
المنهج التحليلي. في أغلب الأحيان، يتم تحديد القانون الذي يحدد العلاقة بين الوسيطة والوظيفة من خلال الصيغ. تسمى هذه الطريقة لتحديد الوظيفة التحليلية.
تتيح هذه الطريقة لكل قيمة عددية للوسيطة x العثور على ما يقابلها القيمة العدديةوظائف y بالضبط أو مع بعض الدقة.
إذا كانت العلاقة بين x و y معطاة بصيغة تم حلها فيما يتعلق بـ y، أي. له الصيغة y = f(x)، فنقول أن دالة x معطاة بشكل صريح.
إذا كانت القيمتان x و y مرتبطتان ببعض المعادلات بالشكل F(x,y) = 0، أي. لم يتم حل الصيغة لـ y، مما يعني أن الدالة y = f(x) مُعطى ضمنيًا.
يمكن تعريف الوظيفة صيغ مختلفةفي أجزاء مختلفة من منطقة مهمتهم.
الطريقة التحليلية هي الطريقة الأكثر شيوعًا لتحديد الوظائف. إن الاكتناز والإيجاز والقدرة على حساب قيمة دالة لقيمة تعسفية لوسيطة من مجال التعريف، والقدرة على تطبيق جهاز التحليل الرياضي على دالة معينة هي المزايا الرئيسية للطريقة التحليلية لتحديد وظيفة. تشمل العيوب الافتقار إلى الرؤية، والذي يتم تعويضه بالقدرة على إنشاء رسم بياني والحاجة إلى إجراء حسابات مرهقة للغاية في بعض الأحيان.
الطريقة اللفظية. تتمثل هذه الطريقة في التعبير عن الاعتماد الوظيفي بالكلمات.
مثال 1: الدالة E(x) - الجزء الكاملأرقام ×. بشكل عام، E(x) = [x] تشير إلى أكبر عدد صحيح لا يتجاوز x. بمعنى آخر، إذا كانت x = r + q، حيث r عدد صحيح (يمكن أن يكون سالبًا) و q ينتمي إلى الفاصل الزمني = r. الدالة E(x) = [x] ثابتة على الفترة = r.
مثال 2: الدالة y = (x) هي الجزء الكسري من الرقم. بتعبير أدق، y =(x) = x - [x]، حيث [x] هو الجزء الصحيح من الرقم x. تم تعريف هذه الوظيفة لجميع x. إذا كان x رقمًا عشوائيًا، فقم بتمثيله بالشكل x = r + q (r = [x])، حيث r عدد صحيح و q يقع في الفاصل الزمني.
نرى أن إضافة n إلى الوسيطة x لا يغير قيمة الدالة.
أصغر رقم غير الصفر في n هو ، وبالتالي فإن الفترة هي sin 2x .
يتم استدعاء قيمة الوسيطة التي تكون فيها الدالة 0 صفر (جذر) المهام.
قد تحتوي الدالة على أصفار متعددة.
على سبيل المثال، الدالة ص = س (س + 1)(س-3)لديه ثلاثة أصفار: س = 0، س = - 1، س =3.
هندسيًا، صفر الدالة هو حد نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور X .
يوضح الشكل 7 رسمًا بيانيًا لدالة ذات أصفار: x = a وx = b وx = c.
إذا كان الرسم البياني للدالة يقترب إلى أجل غير مسمى من خط معين أثناء تحركه بعيدًا عن نقطة الأصل، فإن هذا الخط يسمى الخط المقارب.
وظيفة عكسية
دع الوظيفة y=ƒ(x) تعطى بمجال التعريف D ومجموعة من القيم E. إذا كانت كل قيمة yєE تتوافق مع قيمة واحدة xєD، فسيتم تعريف الوظيفة x=φ(y) بـ مجال التعريف E ومجموعة القيم D (انظر الشكل 102).
تسمى هذه الدالة φ(y) بعكس الدالة ƒ(x) ويتم كتابتها بالشكل التالي: x=j(y)=f -1 (y).الدالتان y=ƒ(x) وx يقال أن =φ(y) هما معكوسان بشكل متبادل. للعثور على الدالة x=φ(y)، معكوسًا للدالة y=ƒ (x)، يكفي حل المعادلة ƒ(x)=y لـ x (إن أمكن).
1. بالنسبة للدالة y=2x فإن الدالة العكسية هي الدالة x=y/2;
2. بالنسبة للدالة y=x2 xє فإن الدالة العكسية هي x=√y; لاحظ أنه بالنسبة للدالة y=x 2 المحددة في المقطع [-1; 1]، العكس غير موجود، لأن قيمة واحدة لـ y تتوافق مع قيمتين لـ x (لذا، إذا كانت y = 1/4، فإن x1 = 1/2، x2 = -1/2).
من تعريف الدالة العكسية، يترتب على أن الدالة y=ƒ(x) لها معكوس إذا وفقط إذا كانت الدالة ƒ(x) تحدد مراسلات واحد لواحد بين المجموعتين D وE. ويترتب على ذلك أن أي دالة عكسية وظيفة رتيبة تماما لها معكوس. علاوة على ذلك، إذا زادت (تنقص) الدالة، فإن الدالة العكسية تزيد أيضًا (تتناقص).
لاحظ أن الدالة y=ƒ(x) ومعكوسها x=φ(y) موضحة بنفس المنحنى، أي أن الرسوم البيانية الخاصة بها متطابقة. إذا اتفقنا على أنه، كالعادة، يُشار إلى المتغير المستقل (أي الوسيطة) بالرمز x، والمتغير التابع بالرمز y، فسيتم كتابة الدالة العكسية للدالة y=ƒ(x) بالصيغة y=φ( س).
وهذا يعني أن النقطة M 1 (x o;y o) من المنحنى y=ƒ(x) تصبح النقطة M 2 (y o;x o) من المنحنى y=φ(x). لكن النقطتين M 1 و M 2 متناظرتان بالنسبة للخط المستقيم y=x (انظر الشكل 103). ولذلك، فإن الرسوم البيانية متبادلة وظائف عكسية y=ƒ(x) و y=φ(x) متناظرتان بالنسبة إلى منصف زاويتي الإحداثيات الأولى والثالثة.
دع الدالة у=ƒ(u) محددة على المجموعة D، والدالة u= φ(x) على المجموعة D 1، وبالنسبة لـ x D 1 القيمة المقابلة u=φ(kh) є D. ثم في المجموعة D 1 الدالة u=ƒ(φ(x))، والتي تسمى دالة معقدة لـ x (أو التراكب وظائف محددةأو دالة دالة).
المتغير u=φ(x) يسمى وسيطة وسيطة لدالة معقدة.
على سبيل المثال، الدالة y=sin2x هي تراكب لوظيفتين y=sinu وu=2x. يمكن أن تحتوي الوظيفة المعقدة على عدة وسائط وسيطة.
4. الوظائف الأولية الأساسية ورسومها البيانية.
تسمى الوظائف التالية الوظائف الأولية الرئيسية.
1) الدالة الأسية y=a x,a>0, a ≠ 1. في الشكل. 104 الرسوم البيانية المعروضة وظائف الأسي، المقابلة لقواعد درجة مختلفة.
2) وظيفة الطاقة y=x α, αєR. وترد في الأشكال أمثلة على الرسوم البيانية لوظائف القوة المقابلة للأسس المختلفة.
3) الدالة اللوغاريتمية y=log a x, a>0,a≠1;الرسوم البيانية وظائف لوغاريتمية، المقابلة لقواعد مختلفة، تظهر في الشكل. 106.
4) الدوال المثلثية y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; الرسوم البيانية للدوال المثلثية لها الشكل الموضح في الشكل. 107.
5) الدوال المثلثية العكسية y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. في التين. 108 يوضح الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية.
دالة محددة بصيغة واحدة تتكون من Basic وظائف أوليةومستمرة بالمساعدة عدد محدود عمليات حسابية(الجمع والطرح والضرب والقسمة) وعمليات أخذ دالة من دالة تسمى دالة أولية.
أمثلة على الوظائف الأولية هي الوظائف
أمثلة على الوظائف غير الأولية هي الوظائف
5. مفاهيم حدود التسلسل والوظيفة. خصائص الحدود.
حد الوظيفة (قيمة الحد من الوظيفة) عند نقطة معينة، مما يحد من مجال تعريف الدالة، هي القيمة التي تتجه إليها قيمة الدالة قيد النظر عندما تميل حجتها إلى نقطة معينة.
في الرياضيات حد التسلسلعناصر الفضاء المتري أو الفضاء الطوبولوجي هي عنصر من نفس الفضاء وله خاصية "جذب" عناصر تسلسل معين. نهاية تسلسل عناصر الفضاء الطوبولوجي هي نقطة بحيث يحتوي كل حي منه على جميع عناصر التسلسل بدءاً من عدد معين. في الفضاء المتري، يتم تعريف الأحياء من خلال دالة المسافة، لذلك تمت صياغة مفهوم الحد في لغة المسافات. تاريخيًا، كان الأول هو مفهوم حد التسلسل العددي، والذي ينشأ في التحليل الرياضي، حيث يعمل كأساس لنظام التقديرات التقريبية ويستخدم على نطاق واسع في بناء حساب التفاضل والتكامل.
تعيين:
(يقرأ: نهاية التسلسل x-nth حيث يميل en إلى اللانهاية هو a)
تسمى خاصية المتتابعة ذات الحد التقارب: إذا كانت المتوالية لها نهاية، فيقال هذه المتوالية يتقارب; وإلا (إذا لم يكن للتسلسل حد) فيقال أن التسلسل موجود يتباعد. في فضاء هاوسدورف، وعلى وجه الخصوص، الفضاء المتري، تتقارب كل متتالية لاحقة من المتوالية المتقاربة، وتتطابق نهايتها مع نهاية المتتابعة الأصلية. بمعنى آخر، لا يمكن أن يكون لتسلسل عناصر فضاء هاوسدورف حدين مختلفين. ومع ذلك، قد يتبين أن المتتابعة ليس لها حد، ولكن هناك لاحقة (من المتوالية المعطاة) لها حد. إذا كان من الممكن تحديد متتالية فرعية متقاربة من أي تسلسل من النقاط في الفضاء، يقال إن الفضاء المعين لديه خاصية الاكتناز المتسلسل (أو، ببساطة، الاكتناز، إذا تم تعريف الاكتناز حصرا من حيث المتواليات).
يرتبط مفهوم حد التسلسل ارتباطًا مباشرًا بمفهوم نقطة الحد (المجموعة): إذا كانت المجموعة تحتوي على نقطة حد، فهناك تسلسل لعناصر هذه المجموعة يتقارب إلى هذه النقطة.
تعريف
دع الفضاء الطوبولوجي يعطى والتسلسل، ثم إذا كان هناك عنصر من هذا القبيل
أين - مجموعة مفتوحةتحتوي على ، ثم يطلق عليه حد التسلسل. إذا كانت المساحة مترية، فيمكن تعريف الحد باستخدام القياس: إذا كان هناك عنصر من هذا القبيل
أين هو المقياس، ويسمى الحد.
· إذا كان الفضاء مزودًا بطوبولوجيا غير منفصلة، فإن حد أي تسلسل سيكون أي عنصر من عناصر الفضاء.
6. نهاية الدالة عند نقطة ما. حدود من جانب واحد.
وظيفة متغير واحد. تحديد نهاية الدالة عند نقطة حسب كوشي.رقم بيسمى حد الدالة في = F(س) في X، نسعى جاهدين لإجل أ(أو عند النقطة أ)، إذا كان لأي رقم موجب يوجد رقم موجب بحيث يكون لكل x ≠ a، بحيث | س – أ | < , выполняется неравенство
| F(س) – أ | < .
تحديد نهاية الدالة عند نقطة حسب هاينه.رقم بيسمى حد الدالة في = F(س) في X، نسعى جاهدين لإجل أ(أو عند النقطة أ) ، إذا كان لأي تسلسل ( سن ) ، تتقارب إلى أ(بهدف أ، وجود عدد الحد أ)، وبأي قيمة ن سن ≠ أ، التبعية ( ذن = F(سن)) يتقارب ب.
تفترض هذه التعريفات أن الوظيفة في = F(س) يتم تعريفه في بعض أحياء النقطة أباستثناء ربما النقطة نفسها أ.
تعريفات كوشي وهاين لحد الدالة عند نقطة ما متكافئة: إذا كان الرقم بيكون بمثابة حد لأحدهما، فهذا صحيح أيضًا بالنسبة للثاني.
يشار إلى الحد المحدد على النحو التالي:
هندسيًا، وجود نهاية الدالة عند نقطة ما وفقًا لكوشي يعني أنه لأي رقم > 0 من الممكن الإشارة على المستوى الإحداثي إلى مثل هذا المستطيل الذي قاعدته 2 > 0 وارتفاعه 2 ومركزه عند النقطة. ( أ؛ ب) أن جميع نقاط الرسم البياني لوظيفة معينة على الفاصل الزمني ( أ– ; أ+ )، مع احتمال استثناء هذه النقطة م(أ; F(أ))، تقع في هذا المستطيل
حد من جانب واحدفي التحليل الرياضي، نهاية الدالة العددية، مما يعني ضمنا "الاقتراب" من نقطة النهاية من جانب واحد. وتسمى هذه الحدود وفقا لذلك الحد الأيسر(أو الحد إلى اليسار) و الحد الأيمن (الحد إلى اليمين). دعونا نعطي بعض الأرقام المحددة وظيفة رقميةوالرقم هو النقطة الحدية لمجال التعريف. هناك تعريفات مختلفة للحدود أحادية الجانب للدالة عند نقطة ما، ولكنها جميعها متكافئة.
ماذا تعني الكلمات؟ "تعيين وظيفة"؟يقصدون: اشرح لكل من يريد أن يعرف ماذا وظيفة محددةنحن نتكلم. علاوة على ذلك، اشرح بوضوح وبشكل لا لبس فيه!
كيف أقوم بذلك؟ كيف تعيين وظيفة؟
يمكنك كتابة صيغة. يمكنك رسم رسم بياني. يمكنك عمل طاولة. بأي طريقة هي بعض القواعد التي يمكننا من خلالها معرفة قيمة i لقيمة x التي اخترناها.أولئك. "ضبط الوظيفة"، وهذا يعني إظهار القانون، وهو القاعدة التي يتحول بها x إلى y.
عادة، في مجموعة متنوعة من المهام هناك بالفعل مستعدالمهام. أنها تعطي لنا تم تعيينها بالفعل.قرر بنفسك، نعم، قرر.) لكن... في أغلب الأحيان، يعمل تلاميذ المدارس (وحتى الطلاب) مع الصيغ. لقد اعتادوا على ذلك، كما تعلمون... لقد اعتادوا على ذلك لدرجة أن أي سؤال أولي يتعلق بطريقة مختلفة لتحديد دالة يزعج الشخص على الفور...)
لتجنب مثل هذه الحالات، فمن المنطقي أن نفهم طرقًا مختلفة لتحديد الوظائف. وبالطبع، قم بتطبيق هذه المعرفة على الأسئلة "الصعبة". انها بسيطة جدا. إذا كنت تعرف ما هي الوظيفة ...)
يذهب؟)
الطريقة التحليلية لتحديد الوظيفة.
الطريقة الأكثر عالمية وقوية. وظيفة محددة تحليلياهذه هي الوظيفة المعطاة الصيغ.في الواقع، هذا هو التفسير الكامل.) الوظائف المألوفة للجميع (أريد أن أصدق!)، على سبيل المثال: ص = 2س،أو ص = س 2إلخ. وما إلى ذلك وهلم جرا. يتم تحديدها تحليليا.
بالمناسبة، لا يمكن لكل صيغة تحديد دالة. لا تستوفي كل صيغة الشرط الصارم من تعريف الدالة. يسمى - مقابل كل X لا يمكن أن يكون هناك سوى واحد com.igrek.على سبيل المثال، في الصيغة ص = ± س، ل واحداتضح أن القيم x=2 اثنينقيم ص: +2 و -2. لا يمكن لهذه الصيغة تعريف دالة فريدة. وكقاعدة عامة، فهي لا تعمل مع الدوال متعددة القيم في هذا الفرع من الرياضيات، في حساب التفاضل والتكامل.
ما هو الجيد في الطريقة التحليلية لتحديد الوظيفة؟ لأنه إذا كان لديك صيغة، فأنت تعرف عن الوظيفة الجميع!يمكنك عمل علامة. قم ببناء رسم بياني. اكتشف هذه الميزة بالكامل. توقع بالضبط أين وكيف ستتصرف هذه الوظيفة. يعتمد كل التحليل الرياضي على هذه الطريقة لتحديد الوظائف. لنفترض أن أخذ مشتق من الجدول أمر صعب للغاية...)
الطريقة التحليلية مألوفة تمامًا ولا تخلق مشاكل. ربما تكون هناك بعض الاختلافات في هذه الطريقة التي يواجهها الطلاب. أنا أتحدث عن الوظائف البارامترية والضمنية.) ولكن مثل هذه الوظائف موجودة في درس خاص.
دعنا ننتقل إلى طرق أقل شيوعًا لتحديد الوظيفة.
طريقة جدولية لتحديد الوظيفة.
كما يوحي الاسم، هذه الطريقة هي علامة بسيطة. في هذا الجدول، كل x يقابل ( يتم وضعها وفقا) بعض معنى اللعبة. يحتوي السطر الأول على قيم الوسيطة. يحتوي السطر الثاني على قيم الدالة المقابلة، على سبيل المثال:
الجدول 1.
| س | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| ذ | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
من فضلك إنتبه! في هذا المثال، تعتمد اللعبة على X على أية حال.لقد توصلت إلى هذا عن قصد.) لا يوجد نمط. لا بأس، يحدث ذلك. وسائل، بالضبطلقد حددت هذه الوظيفة المحددة. بالضبطلقد وضعت قاعدة يتحول بموجبها X إلى Y.
يمكنك تعويض آخرلوحة تحتوي على نمط. سوف تشير هذه العلامة آخروظيفة، على سبيل المثال:
الجدول 2.
| س | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| ذ | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
هل قبض على النمط؟ هنا يتم الحصول على جميع قيم اللعبة بضرب x في اثنين. إليك السؤال "الصعب" الأول: هل يمكن اعتبار دالة محددة باستخدام الجدول 2 دالة ص = 2س؟ فكر الآن، الإجابة ستكون أدناه، بطريقة رسومية. كل شيء واضح جدًا هناك.)
ما هو جيد طريقة جدولية لتحديد وظيفة؟نعم، لأنك لا تحتاج إلى حساب أي شيء. لقد تم بالفعل حساب كل شيء وكتابته في الجدول.) ولكن لا يوجد شيء أفضل. نحن لا نعرف قيمة الدالة لـ X، التي ليست في الجدول.في هذه الطريقة، تكون قيم x هذه بسيطة غير موجود.بالمناسبة، هذا تلميح لسؤال صعب.) لا يمكننا معرفة كيف تتصرف الدالة خارج الجدول. لا يمكننا أن نفعل أي شيء. ووضوح هذه الطريقة يترك الكثير مما هو مرغوب فيه... الطريقة الرسومية جيدة للوضوح.
طريقة رسومية لتحديد وظيفة.
في هذه الطريقة، يتم تمثيل الدالة بواسطة رسم بياني. يتم رسم الوسيطة (x) على طول محور الإحداثي، ويتم رسم قيمة الدالة (y) على طول المحور الإحداثي. وفقًا للجدول الزمني، يمكنك أيضًا اختيار أي منها Xوالعثور على القيمة المقابلة في. يمكن أن يكون الرسم البياني أي شيء، ولكن... ليس أي رسم بياني.) نحن نعمل فقط مع وظائف لا لبس فيها. ينص تعريف هذه الوظيفة بوضوح على: كل منهما Xيتم وضعها وفقا الوحيد في. واحدلعبة واحدة، وليس اثنتين، أو ثلاث... على سبيل المثال، لننظر إلى الرسم البياني الدائري:
الدائرة تشبه الدائرة... لماذا لا تكون رسمًا بيانيًا للدالة؟ دعونا نجد أي لعبة سوف تتوافق مع قيمة X، على سبيل المثال، 6؟ نحرك المؤشر فوق الرسم البياني (أو نلمس الرسم الموجود على الجهاز اللوحي)، و... نرى أن علامة x هذه تتوافق اثنينمعاني اللعبة : ص=2 و ص=6.
اثنان وستة! ولذلك، فإن مثل هذا الرسم البياني لن يكون تعيينًا رسوميًا للدالة. على واحدحسابات x ل اثنينلعبة. هذا الرسم البياني لا يتوافق مع تعريف الدالة.
ولكن إذا تم استيفاء شرط عدم الغموض، فيمكن أن يكون الرسم البياني أي شيء على الإطلاق. على سبيل المثال:
وهذا الاعوجاج نفسه هو القانون الذي يمكن من خلاله تحويل X إلى Y. خالية من الغموض. أردنا أن نعرف معنى الدالة ل س = 4،على سبيل المثال. نحن بحاجة إلى العثور على الأربعة على المحور السيني ومعرفة اللعبة التي تتوافق مع هذه x. نحرك الماوس فوق الشكل ونرى أن قيمة الدالة فيل س = 4يساوي خمسة. لا نعرف ما هي الصيغة التي تحدد هذا التحول من X إلى Y. وليس من الضروري. يتم تحديد كل شيء حسب الجدول الزمني.
الآن يمكننا العودة إلى السؤال "الصعب" حول ص=2س.دعونا نرسم هذه الوظيفة. هنا هو:
بالطبع، عند رسم هذا الرسم البياني لم نأخذه مجموعة لا نهائيةقيم X.أخذنا عدة قيم وقمنا بحسابها ذ،قدمت علامة - وكل شيء جاهز! الأشخاص الأكثر معرفة بالقراءة والكتابة أخذوا قيمتين فقط من X! وهي محقة في ذلك. للحصول على خط مستقيم لا تحتاج إلى المزيد. لماذا العمل الإضافي؟
ولكننا يعرف على وجه اليقينماذا يمكن أن يكون x أي واحد.عدد صحيح، كسري، سلبي... أي. وهذا حسب الصيغة ص=2سانه مرئي. لذلك، قمنا بربط النقاط الموجودة على الرسم البياني بجرأة بخط متصل.
إذا تم إعطاء الدالة لنا في الجدول 2، فسيتعين علينا أخذ قيم x فقط من الجدول.لأن علامات X (و Y) الأخرى لم تُمنح لنا، ولا يوجد مكان للحصول عليها. هذه القيم غير موجودة في هذه الوظيفة. سوف يعمل الجدول الزمني من النقاط.نحرك الماوس فوق الشكل ونرى الرسم البياني للوظيفة المحددة في الجدول 2. لم أكتب قيم xy على المحاور، ستكتشف ذلك، خلية تلو الأخرى؟)
إليكم الإجابة على السؤال "الصعب". الوظيفة المحددة في الجدول 2 والوظيفة ص=2س - مختلف.
الطريقة الرسومية جيدة لوضوحها. يمكنك أن ترى على الفور كيف تتصرف الوظيفة، حيث تزداد. حيث ينخفض. من الرسم البياني يمكنك معرفة بعض الخصائص المهمة للوظيفة على الفور. وفي موضوع المشتقات، المهام ذات الرسوم البيانية موجودة في كل مكان!
بشكل عام، الطرق التحليلية والرسومية لتحديد الوظيفة تسير جنبًا إلى جنب. يساعد العمل باستخدام الصيغة في إنشاء رسم بياني. وغالبًا ما يقترح الرسم البياني حلولاً لن تلاحظها حتى في الصيغة... سنكون أصدقاء مع الرسوم البيانية.)
يعرف أي طالب تقريبًا الطرق الثلاث لتحديد الوظيفة التي نظرنا إليها للتو. لكن على السؤال: "والرابعة!" - يتجمد تمامًا.)
هناك مثل هذه الطريقة.
الوصف اللفظي للوظيفة.
نعم نعم! يمكن تحديد الوظيفة بشكل لا لبس فيه بالكلمات. اللغة الروسية العظيمة والقوية قادرة على فعل الكثير!) لنفترض الوظيفة ص=2سيمكن تحديدها بالوصف اللفظي التالي: ترتبط كل قيمة حقيقية للوسيطة x بقيمتها المزدوجة.مثله! تم إنشاء القاعدة، وتم تحديد الوظيفة.
علاوة على ذلك، يمكنك تحديد دالة لفظيًا يصعب للغاية، إن لم يكن من المستحيل، تحديدها باستخدام صيغة. على سبيل المثال: ترتبط كل قيمة للوسيطة الطبيعية x بمجموع الأرقام التي تشكل قيمة x.على سبيل المثال، إذا س = 3،الذي - التي ص=3.لو س = 257،الذي - التي ص=2+5+7=14.وما إلى ذلك وهلم جرا. من الصعب كتابة ذلك في صيغة. لكن العلامة سهلة الصنع. وبناء جدول زمني. بالمناسبة، الرسم البياني يبدو مضحكا...) جربه.
طريق الوصف اللفظي- الطريقة غريبة تمامًا. لكن في بعض الأحيان يحدث ذلك. لقد أحضرته إلى هنا لأمنحك الثقة في المواقف غير المتوقعة وغير العادية. تحتاج فقط إلى فهم معنى الكلمات "الوظيفة المحددة..."وإليكم هذا المعنى:
إذا كان هناك قانون المراسلات واحد لواحد بين Xو في- وهذا يعني أن هناك وظيفة. أي قانون، بأي شكل يتم التعبير عنه - صيغة، لوح، رسم بياني، كلمات، أغاني، رقصات - لا يغير جوهر الأمر. يسمح لك هذا القانون بتحديد القيمة المقابلة لـ Y من قيمة X. الجميع.
الآن سوف نطبق هذه المعرفة العميقة على بعض المهام غير القياسية.) كما وعدنا في بداية الدرس.
التمرين 1:
يتم إعطاء الدالة y = f(x) في الجدول 1:
الجدول 1.
أوجد قيمة الدالة p(4)، إذا كانت p(x)= f(x) - g(x)
إذا لم تتمكن من فهم ما هي الوظيفة على الإطلاق، فاقرأ الدرس السابق "ما هي الوظيفة؟" إنه مكتوب بشكل واضح جدًا حول هذه الحروف والأقواس.) وإذا كان النموذج الجدولي يربكك فقط، فسنقوم بحل المشكلة هنا.
يتضح من الدرس السابق أنه إذا كان ع(س) = و(س) - ز(خ)، الذي - التي ص(4) = و(4) - ز(4). حروف Fو زتعني القواعد التي يتم بموجبها تخصيص لعبتها الخاصة لكل X. لكل حرف ( Fو ز) - خاصة بكقاعدة. والذي يعطيه الجدول المقابل.
قيمة الوظيفة و(4)يتم تحديده من الجدول 1. وسيكون هذا 5. قيمة الوظيفة ز(4)تم تحديده وفقًا للجدول 2. وسيكون هذا هو 8. ويبقى الأمر الأصعب.)
ص(4) = 5 - 8 = -3
هذا هو الجواب الصحيح.
حل المتراجحة f(x) > 2
هذا كل شيء! من الضروري حل عدم المساواة، والتي (في الشكل المعتاد) غائبة ببراعة! كل ما تبقى هو إما التخلي عن المهمة أو الانقلاب على رأسك. نختار الثاني ونناقش.)
ماذا يعني حل عدم المساواة؟ وهذا يعني العثور على جميع قيم x التي يتم عندها استيفاء الشرط المعطى لنا و(خ) > 2. أولئك. جميع قيم الوظائف ( في) يجب أن يكون أكبر من اثنين. وعلى مخططنا لدينا كل مباراة... وهناك عدد أكبر من الثنائيات وأقل... ودعنا، من أجل الوضوح، نرسم حدودًا على طول هذين الرقمين! نحرك المؤشر فوق الرسم ونرى هذه الحدود.
بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه الحدود هي الرسم البياني للدالة ص = 2،ولكن هذا ليس نقطة. الشيء المهم هو أن الرسم البياني يظهر بوضوح شديد أين، عند ما X،قيم الوظيفة، أي ذ، أكثر من اثنين.إنهم أكثر X > 3. في X > 3 وظيفتنا بأكملها تمر أعلىالحدود ص=2.هذا هو الحل. ولكن من السابق لأوانه أن تطفئ رأسك!) ما زلت بحاجة إلى كتابة الإجابة ...
يوضح الرسم البياني أن الدالة لا تمتد يسارًا ويمينًا إلى ما لا نهاية. تشير النقاط الموجودة في نهاية الرسم البياني إلى ذلك. الوظيفة تنتهي هناك. لذلك، في متباينتنا، كل علامات X التي تتجاوز حدود الدالة ليس لها معنى. لوظيفة هذه X غير موجود.ونحن، في الواقع، نحل متباينة الدالة...
الإجابة الصحيحة ستكون:
3 < X ≤ 6
أو بصيغة أخرى:
X ∈ (3; 6]
الآن كل شيء كما ينبغي أن يكون. ثلاثة لا تدخل في الجواب، لأن عدم المساواة الأصلية صارمة. والستة تدور، لأن والدالة عند الرقم ستة موجودة، وقد تحقق شرط المتباينة. لقد نجحنا في حل متباينة (بالشكل المعتاد) غير موجودة...
هذه هي الطريقة التي توفر بها بعض المعرفة والمنطق الأولي في الحالات غير القياسية.)
