صيغ علم المثلثات: الضرب. المعادلات المثلثية - الصيغ والحلول والأمثلة. صيغ الجيب وجيب التمام من المجموع والفرق

في هذه الصفحة سوف تجد كل ما هو رئيسي الصيغ المثلثية، والتي سوف تساعدك على حل العديد من التمارين، وتبسيط التعبير نفسه إلى حد كبير.

الصيغ المثلثية - المعادلات الرياضية للدوال المثلثية التي تنطبق على الجميع القيم المقبولةدعوى.

تحدد الصيغ العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام.

جيب الزاوية هو إحداثي y لنقطة (الإحداثي) على دائرة الوحدة. جيب التمام للزاوية هو الإحداثي x لنقطة (الإحداثي السيني).

الظل وظل التمام هما، على التوالي، نسب الجيب إلى جيب التمام والعكس.
`الخطيئة\\ألفا،\كوس\\ألفا`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

واثنين يتم استخدامهما بشكل أقل - القاطع، وقاطع التمام. أنها تمثل نسب 1 إلى جيب التمام والجيب.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

من تعريفات الدوال المثلثية يتضح ما هي العلامات الموجودة في كل ربع. تعتمد إشارة الدالة فقط على الربع الذي تقع فيه الوسيطة.

عند تغيير علامة الوسيطة من "+" إلى "-"، فإن دالة جيب التمام فقط هي التي لا تغير قيمتها. يطلق عليه حتى. الرسم البياني الخاص به متماثل حول المحور y.

أما الوظائف المتبقية (الجيب، الظل، ظل التمام) فهي فردية. عند تغيير إشارة الوسيطة من "+" إلى "-"، تتغير قيمتها أيضًا إلى سلبية. الرسوم البيانية الخاصة بهم متناظرة حول الأصل.

`الخطيئة(-\alpha)=-الخطيئة \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

الهويات المثلثية الأساسية

الهويات المثلثية الأساسية هي صيغ تنشئ اتصالاً بين الدوال المثلثية لزاوية واحدة (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) والتي تسمح لك بالعثور على قيمة كل من هذه الوظائف من خلال أي أخرى معروفة.
`الخطيئة ^ 2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

صيغ لمجموع واختلاف زوايا الدوال المثلثية

تعبر صيغ إضافة وطرح الوسائط عن الدوال المثلثية لمجموع أو اختلاف زاويتين من حيث الدوال المثلثية لهذه الزوايا.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

صيغ الزاوية المزدوجة

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

صيغ الزوايا الثلاثية

`الخطيئة \ 3\alpha=3 \ الخطيئة \\alpha-4sin^3 \alpha`
`كوس \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ كوس \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

صيغ نصف الزاوية

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

تعبر صيغ الوسائط النصفية والمزدوجة والثلاثية عن الدوال `sin, \cos, \tg, \ctg` لهذه الوسائط (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) من خلال وسيطة هذه الوظائف `\alpha`.

يمكن الحصول على استنتاجهم من المجموعة السابقة (جمع وطرح الحجج). على سبيل المثال، الهويات زاوية مزدوجةمن السهل الحصول عليها عن طريق استبدال `\beta` بـ `\alpha`.

صيغ تخفيض الدرجة

تتيح لك صيغ المربعات (المكعبات، وما إلى ذلك) للدوال المثلثية الانتقال من 2,3,... درجة إلى الدوال المثلثية من الدرجة الأولى، ولكن زوايا متعددة (`\alpha، \3\alpha، \... ` أو `2\alpha، \ 4\alpha، \...`).
`خطيئة^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (خطيئة^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`الخطيئة ^ 3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`الخطيئة ^ 4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية

الصيغ عبارة عن تحويلات لمجموع واختلاف الدوال المثلثية للوسائط المختلفة إلى منتج.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ الخطيئة \frac(\alpha+\beta)2 \ الخطيئة \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ الخطيئة \frac(\alpha+\ بيتا)2\الخطيئة\فارك(\بيتا-\ألفا)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

هنا يحدث تحويل الجمع والطرح لوظائف وسيطة واحدة إلى منتج.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

تقوم الصيغ التالية بتحويل مجموع وفرق واحد والدالة المثلثية إلى منتج.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) الخطيئة(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ بيتا \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

صيغ لتحويل منتجات الوظائف

صيغ لتحويل منتج الدوال المثلثية باستخدام الوسيطتين `\alpha` و`\beta` إلى مجموع (الفرق) لهذه الوسائط.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`الخطيئة\ألفا \cos\beta =` `\frac(الخطيئة(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ بيتا))`

الاستبدال المثلثي العالمي

تعبر هذه الصيغ عن الدوال المثلثية من حيث ظل نصف الزاوية.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2))),` ` \alpha\ne \pi +2\ بي ن، ن \في Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2))),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2))),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

صيغ التخفيض

يمكن الحصول على صيغ التخفيض باستخدام خصائص الدوال المثلثية مثل الدورية والتماثل وخاصية التحول بزاوية معينة. إنها تسمح بتحويل وظائف الزاوية التعسفية إلى وظائف تتراوح زاويتها بين 0 و 90 درجة.

بالنسبة للزاوية (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) أو (`90^\circ \pm \alpha`):
`الخطيئة(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` الخطيئة(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
بالنسبة للزاوية (`\pi \pm \alpha`) أو (`180^\circ \pm \alpha`):
`الخطيئة(\pi - \alpha)=الخطيئة \ \alpha;` ` الخطيئة (\pi + \alpha)=-الخطيئة \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
بالنسبة للزاوية (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) أو (`270^\circ \pm \alpha`):
`الخطيئة(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` الخطيئة(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
بالنسبة للزاوية (`2\pi \pm \alpha`) أو (`360^\circ \pm \alpha`):
`الخطيئة (2\pi - \alpha)=-الخطيئة \ \alpha;` ` الخطيئة (2\pi + \alpha)=الخطيئة \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

التعبير عن بعض الدوال المثلثية بدلالة غيرها

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

يُترجم علم المثلثات حرفيًا إلى "قياس المثلثات". تبدأ دراستها في المدرسة، وتستمر بمزيد من التفصيل في الجامعات. لذلك، هناك حاجة إلى الصيغ الأساسية في علم المثلثات بدءًا من الصف العاشر، وكذلك اجتياز امتحان الدولة الموحدة. إنها تشير إلى الروابط بين الوظائف، وبما أن هناك العديد من هذه الروابط، فهناك العديد من الصيغ نفسها. ليس من السهل تذكرها جميعًا، وليس من الضروري - إذا لزم الأمر، يمكن عرضها جميعًا.

تُستخدم الصيغ المثلثية في حساب التفاضل والتكامل، وكذلك في التبسيط المثلثي، والحسابات، والتحويلات.

علم المثلثات، الصيغ المثلثية

يتم إعطاء العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر وفرة الصيغ المثلثية. تربط بعض الصيغ الدوال المثلثية لنفس الزاوية، والبعض الآخر - وظائف زاوية متعددة، والبعض الآخر - يسمح لك بتقليل الدرجة، والرابع - يعبر عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف زاوية، وما إلى ذلك.

في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج جميع الصيغ المثلثية الأساسية بالترتيب، والتي تكون كافية لحل الغالبية العظمى من مشاكل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض وندخلها في جداول.

الهويات المثلثية الأساسيةتحديد العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة بدلالة أي دالة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع مقالة الهويات المثلثية الأساسية.

أعلى الصفحة

صيغ التخفيض

صيغ التخفيضتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية، وخاصية التماثل، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تتيح لك هذه الصيغ المثلثية الانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ وقاعدة تذكيرية لحفظها وأمثلة على تطبيقها في صيغ اختزال المقالة.

أعلى الصفحة

صيغ الإضافة

صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لتلك الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

لمزيد من المعلومات، راجع مقالة صيغ الإضافة.

أعلى الصفحة

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. يعتمد اشتقاقها على صيغ الجمع.

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. ركن.

أعلى الصفحة

صيغ نصف الزاوية

صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية بأكملها. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة الخاصة بصيغ نصف الزاوية.

أعلى الصفحة

صيغ تخفيض الدرجة

الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتهدف إلى تسهيل الانتقال من درجات طبيعيةالدوال المثلثية لجيب التمام وجيب التمام من الدرجة الأولى، ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.

أعلى الصفحة

صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية

الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى منتج الوظائف، وهو أمر مفيد جدًا عند التبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية، لأنها تتيح لك تحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.

للحصول على اشتقاق الصيغ، وكذلك أمثلة على تطبيقها، راجع صيغ المقالة للمجموع والفرق بين الجيب وجيب التمام.

أعلى الصفحة

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام

يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.

أعلى الصفحة

الاستبدال المثلثي العالمي

نكمل مراجعتنا للصيغ الأساسية لعلم المثلثات بصيغ تعبر عن الدوال المثلثية بدلالة ظل نصف الزاوية. تم استدعاء هذا الاستبدال الاستبدال المثلثي العالمي. تكمن ملاءمتها في حقيقة أن جميع الدوال المثلثية يتم التعبير عنها من حيث ظل نصف الزاوية بشكل عقلاني بدون جذور.

لمزيد من المعلومات الكاملة، راجع مقالة الاستبدال المثلثي الشامل.

أعلى الصفحة

الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. S. A. Teleakovsky - M.: التعليم، 1990. - 272 ص: مريض - ISBN 5-09-002727-7
باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة — الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. — ردمك 5-09-004617-4.
الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

الصيغ المثلثية- هذه هي الصيغ الأكثر أهمية في علم المثلثات، وهي ضرورية للتعبير عن الدوال المثلثية التي يتم تنفيذها لأي قيمة للوسيطة.

صيغ الإضافة.

الخطيئة (α + β) = الخطيئة α cos β + الخطيئة β cos α

الخطيئة (α - β) = الخطيئة α cos β - الخطيئة β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

تيراغرام (α + β) = (تيراغرام α + تيراغرام β) ÷ (1 - تيراغرام α · تيراغرام β)

تيراغرام (α - β) = (تيراغرام α - تيراغرام β) ÷ (1 + تيراغرام α · تيراغرام β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

صيغ الزاوية المزدوجة.

كوس 2α = كوس²α -الخطيئة²α

كوس 2α = 2cos²α — 1

كوس 2α = 1 - 2sin²α

الخطيئة 2α = 2 الخطيئةα كوسα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

سي تي جي 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

صيغ الزوايا الثلاثية.

الخطيئة 3α = 3sin α – 4sin³ α

كوس 3α = 4cos³α - 3كوسα

تيراغرام 3α = (3tgα - تغ³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

CTG 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

صيغ نصف الزاوية.

صيغ التخفيض.

وظيفة/زاوية في راد.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




الوظيفة/الزاوية بالدرجة	90 درجة - α	90° + α	180 درجة - α	180° + α	270 درجة - α	270° + α	360 درجة - α	360 درجة + α

وصف تفصيلي لصيغ التخفيض.

الصيغ المثلثية الأساسية.

الهوية المثلثية الأساسية:

خطيئة 2 α+cos 2 α=1

هذه الهوية هي نتيجة تطبيق نظرية فيثاغورس على مثلث في دائرة الوحدة المثلثية.

العلاقة بين جيب التمام والظل هي:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 أو sec 2 α−tan 2 α=1.

هذه الصيغة هي نتيجة للهوية المثلثية الأساسية ويتم الحصول عليها منها بقسمة الجانبين الأيسر والأيمن على cos2α. يفترض أن α≠π/2+πn,n∈Z.

العلاقة بين الجيب وظل التمام:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 أو csc 2 α−cot 2 α=1.

تتبع هذه الصيغة أيضًا من الهوية المثلثية الأساسية (التي يتم الحصول عليها منها بقسمة الطرفين الأيسر والأيمن على sin2α. وهنا يفترض ذلك α≠πن،ن∈Z.

تعريف الظل:

تان α = الخطيئة α / كوس α،

أين α≠π/2+πn,n∈Z.

تعريف ظل التمام:

المهد α = كوس α / الخطيئة α،

أين α≠πن،ن∈Z.

نتيجة طبيعية من تعريفات الظل وظل التمام:

تانα⋅ سرير أطفالα=1,

أين α≠πn/2,n∈Z.

تعريف القاطع:

ثانيةα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ ز

تعريف قاطع التمام:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ ز

المتباينات المثلثية.

أبسط المتباينات المثلثية:

جاين > أ، جاين ≥ أ، جاينكس< a, sinx ≤ a,

cosx > a، cosx ≥ a، cosx< a, cosx ≤ a,

تانكس > أ، تانكس ≥ أ، تانكس< a, tanx ≤ a,

cotx > a، cotx ≥ a، cotx< a, cotx ≤ a.

مربعات الدوال المثلثية.

صيغ لمكعبات الدوال المثلثية.

علم المثلثاتالرياضيات. علم المثلثات. الصيغ. الهندسة. نظرية

لقد ألقينا نظرة على الدوال المثلثية الأساسية (لا تنخدع، بالإضافة إلى الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، هناك العديد من الوظائف الأخرى، ولكن المزيد عنها لاحقًا)، ولكن الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الخصائص الأساسية للدالة المثلثية. الوظائف التي تمت دراستها بالفعل.

الدوال المثلثية للوسيطة الرقمية

مهما كان الرقم الحقيقي t المأخوذ، فإنه يمكن ربطه برقم محدد بشكل فريد sin(t).

صحيح أن قاعدة المطابقة معقدة للغاية وتتكون مما يلي.

للعثور على قيمة sin(t) من الرقم t، تحتاج إلى:

يرتب دائرة الرقمعلى المستوى الإحداثي بحيث يتطابق مركز الدائرة مع أصل الإحداثيات، وتقع نقطة البداية A للدائرة عند النقطة (1؛ 0)؛
ابحث عن نقطة على الدائرة المقابلة للرقم t؛
العثور على إحداثيات هذه النقطة.
هذا الإحداثي هو الخطيئة المطلوبة (ر).

في الحقيقة نحن نتحدث عنحول الدالة s = sin(t)، حيث t هو أي عدد حقيقي. نحن نعرف كيفية حساب بعض قيم هذه الدالة (على سبيل المثال، sin(0) = 0، \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \)، إلخ.) ، ونحن نعرف بعض خصائصه.

العلاقة بين الدوال المثلثية

كما آمل أن تتمكن من التخمين، فإن جميع الدوال المثلثية مترابطة وحتى دون معرفة معنى إحداها، يمكن العثور عليها من خلال أخرى.

على سبيل المثال، الصيغة الأكثر أهمية في علم المثلثات هي الهوية المثلثية الأساسية:

\[ الخطيئة^(2) ر + جتا^(2) ر = 1 \]

كما ترون، بمعرفة قيمة جيب التمام، يمكنك العثور على قيمة جيب التمام، والعكس أيضًا.

صيغ علم المثلثات

أيضًا الصيغ الشائعة جدًا التي تربط الجيب وجيب التمام بالظل وظل التمام:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

من الصيغتين الأخيرتين يمكن استخلاص هوية مثلثية أخرى، هذه المرة تربط الظل وظل التمام:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

الآن دعونا نرى كيف تعمل هذه الصيغ في الممارسة العملية.

مثال 1. بسّط التعبير: أ) \(1+ \tan^2 \; t \)، ب) \(1+ \cot^2 \; t \)

أ) أولًا، لنكتب المماس مع الاحتفاظ بالمربع:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

الآن دعونا ندخل كل شيء تحت القاسم المشترك، ونحصل على:

\[ \الخطيئة^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

وأخيرًا، كما نرى، يمكن اختزال البسط إلى واحد بواسطة المتطابقة المثلثية الرئيسية، ونتيجة لذلك نحصل على: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

ب) مع ظل التمام نقوم بجميع الإجراءات نفسها، فقط المقام لن يكون جيب التمام، بل جيب التمام، وستكون الإجابة على النحو التالي:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

بعد الانتهاء من هذه المهمة، استنتجنا صيغتين أخريين مهمتين جدًا تربطان بين وظائفنا، والتي نحتاج أيضًا إلى معرفتها مثل الجزء الخلفي من أيدينا:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t)، \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

يجب أن تعرف جميع الصيغ المقدمة عن ظهر قلب، وإلا فإن مواصلة دراسة علم المثلثات بدونها أمر مستحيل بكل بساطة. في المستقبل سيكون هناك المزيد من الصيغ وسيكون هناك الكثير منها وأؤكد لك أنك بالتأكيد ستتذكرها جميعًا لفترة طويلة، أو ربما لن تتذكرها، ولكن يجب على الجميع معرفة هذه الأشياء الستة!

جدول كامل لجميع صيغ التخفيض المثلثية الأساسية والنادرة.

هنا يمكنك العثور على الصيغ المثلثية في شكل مناسب. ويمكن العثور على صيغ التخفيض المثلثية في صفحة أخرى.

الهويات المثلثية الأساسية

— التعبيرات الرياضيةللدوال المثلثية، يتم تنفيذها لكل قيمة وسيطة.

sin² α + cos² α = 1
تيراغرام α المهد α = 1
تيراغرام α = الخطيئة α ÷ كوس α
سرير الأطفال α = جتا α ÷ الخطيئة α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

صيغ الإضافة

الخطيئة (α + β) = الخطيئة α cos β + الخطيئة β cos α
الخطيئة (α - β) = الخطيئة α cos β - الخطيئة β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
تيراغرام (α + β) = (تيراغرام α + تيراغرام β) ÷ (1 - تيراغرام α · تيراغرام β)
تيراغرام (α - β) = (تيراغرام α - تيراغرام β) ÷ (1 + تيراغرام α · تيراغرام β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

صيغ الزاوية المزدوجة

cos 2α = cos² α - sin² α
كوس 2α = 2كوس² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
خطيئة 2α = 2خطيئة α كوس α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
CTG 2α = (CTG² α - 1) ÷ (2CTG α)

صيغ الزوايا الثلاثية

الخطيئة 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
CTG 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

صيغ تخفيض الدرجة

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
خطيئة³ α = (3خطيئة α – خطيئة 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

الانتقال من المنتج إلى المجموع

الخطيئة α cos β = ½ (الخطيئة (α + β) + الخطيئة (α - β))
الخطيئة α الخطيئة β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

لقد قمنا بإدراج الكثير من الصيغ المثلثية، ولكن إذا كان هناك شيء مفقود، يرجى الكتابة.

كل شيء للدراسة » الرياضيات في المدرسة » الصيغ المثلثية - ورقة الغش

لوضع إشارة مرجعية على صفحة، اضغط على Ctrl+D.

مجموعة مع حفنة معلومات مفيدة(اشترك إذا كان لديك امتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة):

قاعدة البيانات الكاملة للملخصات والدورات الدراسية، الأطروحاتو اخرين المواد التعليميةيتم توفيرها مجانا. باستخدام مواد الموقع، فإنك تؤكد أنك قد قرأت اتفاقية المستخدم وتوافق على جميع نقاطها بالكامل.

يتم النظر في تحويل المجموعات بالتفصيل حلول عامةالمعادلات المثلثية. ويتناول القسم الثالث المعادلات المثلثية غير القياسية، والتي تعتمد حلولها على المنهج الوظيفي.

جميع الصيغ (المعادلات) في علم المثلثات: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

ويناقش القسم الرابع المتباينات المثلثية. وتناقش طرق حل المشاكل الأولية بالتفصيل. المتباينات المثلثيةسواء على دائرة الوحدة أو...

... الزاوية 1800-α= على طول الوتر والزاوية الحادة: => OB1=OB؛ A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> إذن دورة المدرسةفي الهندسة، يتم تقديم مفهوم الدالة المثلثية بوسائل هندسية نظرًا لسهولة الوصول إليها. المخطط المنهجي التقليدي لدراسة الدوال المثلثية هو كما يلي: 1) أولا يتم تحديد الدوال المثلثية ل زاوية حادةمستطيلي...

… العمل في المنزل 19(3.6)، 20(2.4) تحديد الهدف تحديث المعرفة الأساسية خصائص الدوال المثلثية صيغ التخفيض مواد جديدةقيم الدوال المثلثية حل المعادلات المثلثية البسيطة التعزيز حل المسائل هدف الدرس: اليوم سنقوم بحساب قيم الدوال المثلثية وحل ...

... الفرضية المصاغة اللازمة لحل المسائل التالية: 1. التعرف على دور المعادلات المثلثية والمتباينات في تدريس الرياضيات. 2. وضع منهجية لتنمية القدرة على حل المعادلات المثلثية والمتباينات، تهدف إلى تطوير المفاهيم المثلثية. 3. اختبار تجريبي لفعالية الطريقة المطورة. للحصول على حلول…

الصيغ المثلثية

نقدم انتباهكم إلى الصيغ المختلفة المتعلقة بعلم المثلثات.

(8) ظل التمام للزاوية المزدوجة

cotg(2α) =

قيراط 2 (α) - 1 2 قيراط(α)

(9) جيب الزاوية الثلاثية الخطيئة(3α) = 3الخطيئة(α)cos 2 (α) - الخطيئة 3 (α) (10) جيب تمام الزاوية الثلاثية cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) جيب التمام للمجموع/الفرق cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ الخطيئة(α)الخطيئة(β) (12) جيب المجموع/الفرق الخطيئة(α±β) = الخطيئة(α)cos(β) ± cos(α)الخطيئة(β) (13) ظل المجموع/الفرق (14) ظل التمام للمجموع/الفرق (15) منتج الجيوب الخطيئة(α)الخطيئة(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) منتج جيب التمام cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) منتج الجيب وجيب التمام الخطيئة (α) جتا (β) = ½ (الخطيئة (α+β) + الخطيئة (α-β)) (18) مجموع/الفرق بين الجيوب الخطيئة(α) ± الخطيئة(β) = 2الخطيئة(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) مجموع جيب التمام cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) الفرق بين جيب التمام cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) مجموع/فرق الظلال (22) صيغة لتقليل درجة الجيب خطيئة 2 (α) = ½(1 - جتا (2α)) (23) صيغة لتقليل درجة جيب التمام cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) مجموع/الفرق بين الجيب وجيب التمام (25) مجموع/الفرق بين الجيب وجيب التمام مع المعاملات (26) العلاقة الأساسية بين أركسين وأركوسين أركسين(x) + أركوس(x) = π/2 (27) العلاقة الأساسية بين قوس الظل و ظل التمام arctan(x) + arcctg(x) = π/2

الصيغ العامة

- النسخة المطبوعة

تعريفات جيب الزاوية α (تعيين الخطيئة (α)) هي نسبة الساق المقابلة للزاوية α إلى الوتر. جيب تمام الزاوية α (تعيين كوس (ألفا)) هي نسبة الساق المجاورة للزاوية α إلى الوتر. زاوية الظل α (تعيين تان (α)) هي نسبة الضلع المقابل للزاوية α إلى الضلع المجاور. التعريف المكافئ هو نسبة جيب الزاوية α إلى جيب تمام الزاوية نفسها - sin(α)/cos(α). ظل التمام للزاوية α (تعيين كوتغ (α)) هي نسبة الساق المجاورة للزاوية α إلى الزاوية المقابلة. التعريف المكافئ هو نسبة جيب تمام الزاوية α إلى جيب الزاوية نفسها - cos(α)/sin(α). وظائف مثلثية أخرى: قاطع — ثانية(α) = 1/cos(α); قاطع التمام - cosec(α) = 1/sin(α). ملحوظة نحن لا نكتب على وجه التحديد علامة * (الضرب) - حيث يتم كتابة وظيفتين على التوالي، بدون مسافة، فهذا يعني ضمنيًا. فكرة لاشتقاق صيغ جيب التمام أو الجيب أو الظل أو ظل التمام لزوايا متعددة (4+)، يكفي كتابتها وفقًا للصيغ على التوالي. جيب التمام أو الجيب أو الظل أو ظل التمام للمجموع، أو اختزل إلى الحالات السابقة، واختزل إلى صيغ الزوايا الثلاثية والمزدوجة. إضافة جدول المشتقات

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع المقالة.

صيغ التخفيض

يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ وقاعدة تذكيرية لحفظها وأمثلة لتطبيقها في المقالة.

صيغ الإضافة

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. زاوية

صيغ نصف الزاوية

يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ تخفيض الدرجة

الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتم تصميمها لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للدوال المثلثية إلى جيب التمام وجيب التمام في الدرجة الأولى ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية

الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى حاصل ضرب الدوال، وهو أمر مفيد جدًا عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية، لأنها تتيح لك تحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام

يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.

الاستبدال المثلثي العالمي

فهرس.

الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. S. A. Teleakovsky - M.: التعليم، 1990. - 272 ص: مريض - ISBN 5-09-002727-7
باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.
الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

تتمركز عند نقطة ما أ.
α - الزاوية المعبر عنها بالراديان.

تعريف
جيب (الخطيئة α)- هذا وظيفة المثلثية، اعتمادًا على الزاوية α بين الوتر والساق مثلث قائم, يساوي النسبةطول الضلع المقابل |BC| إلى طول الوتر |AC|.

جيب التمام (cos α)هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| إلى طول الوتر |AC|.

التدوينات المقبولة

;
;
.

رسم بياني لدالة الجيب، y = sin x

رسم بياني لدالة جيب التمام، y = cos x

خصائص الجيب وجيب التمام

الدورية

وظائف ص = الخطيئة سو ص = كوس سدورية مع فترة 2π.

التكافؤ

دالة الجيب غريبة. وظيفة جيب التمام حتى.

مجال التعريف والقيم، القصوى، الزيادة، النقصان

دوال الجيب وجيب التمام مستمرة في مجال تعريفها، أي لكل x (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض خصائصها الرئيسية في الجدول (n - عدد صحيح).

	ص = الخطيئة س	ص = كوس س
النطاق والاستمرارية	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
مدى من القيم	-1 ≥ ص ≥ 1	-1 ≥ ص ≥ 1
في ازدياد
تنازلي
ماكسيما، ص = 1
الحد الأدنى، ص = - 1
أصفار، ص = 0
نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص = 0	ص = 1