Титов Максим

1. Розглянути усі маршрути Нижньогірського району.

2. За даними маршрутів скласти нові маршрути.

3. Показати є нові маршрути Ейлеровими графами.

4. Побудувати матрицю суміжності нових маршрутів.

5. Знайти найкоротші відстанівід смт.Нижньогірського до населених пунктів.

Завантажити:

Попередній перегляд:

ВСТУП ……………………………………………………………………………….3

РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ГРАФІВ …………………………………5

1. Основні поняття теорії графів......…………………...……...…………5
2. Характеристика Ейлерових графів …………………………...…………...7
3. Пошук найкоротшої відстані у графі (Алгоритм Дейкстрі)…………..8

РОЗДІЛ 2. МАРШРУТИ НИЖНЬОГІРСЬКОГО РАЙОНУ ……………………..……10

1. Маршрути Нижньогірського району …..…..……………………………….10
2. Дослідження маршрутів Нижньогірського району ……..………………..11

ВИСНОВОК ………………………………………………………………………….17

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ …………………………………….19

ВСТУП

Графи - це чудові математичні об'єкти, з допомогою яких можна вирішувати математичні, економічні та логічні завдання. Також можна вирішувати різні головоломки та спрощувати умови задач з фізики, хімії, електроніки, автоматики. Графи використовують при складанні карт та генеалогічних древ. Графами є блок-схеми програм для ЕОМ, мережеві графіки будівництва, де вершини – події, що означають закінчення робіт на певному ділянці, а ребра, що пов'язують ці вершини, - роботи, які можна розпочати після скоєння однієї події і потрібно виконати для здійснення наступного. Одними із найпоширеніших графів є схеми ліній метрополітену.

У математиці навіть є спеціальний розділ, який і називається: «Теорія графів». Теорія графів є частиною як топології, і комбінаторики. Те, що це топологічна теорія, випливає з незалежності властивостей графа від розташування вершин і виду лінії, що їх сполучають. А зручність формулювань комбінаторних завдань у термінах графів призвела до того, що теорія графів стала одним із найпотужніших апаратів комбінаторики. При вирішенні логічних завдань зазвичай буває досить важко пам'ятати численні факти, дані за умови, встановлювати зв'язок з-поміж них, висловлювати гіпотези, робити окремі висновки і користуватися ними.

Актуальність теми полягає в тому, що теорія графів в даний час є розділом дискретної математики, що інтенсивно розвивається. Це пояснюється тим, що у вигляді графових моделей описуються багато об'єктів і ситуації: комунікаційні мережі, схеми електричних та електронних приладів, хімічні молекули, відносини між людьми, всілякі транспортні схеми та багато іншого. Дуже важливе для нормального функціонування життя. Саме цей фактор визначає актуальність їх більш детального вивчення.

Ціль роботи – дослідження транспортних шляхів Нижньогірського району.

Завдання роботи:

1 . Розглянути усі маршрути Нижньогірського району.

2 . За даними маршрутів скласти нові маршрути.

3. Показати є нові маршрути Ейлеровими графами.

4. Побудувати матрицю суміжності нових маршрутів.

5. Знайти найкоротші відстані від смт.Нижньогірського до населених пунктів.

Об'єктом дослідження є мапа транспортних шляхів Нижньогірського району.

Практична значимість цієї роботи у цьому, що може бути використана під час уроків під час вирішення різних завдань, соціальній та різних галузях науки й у життя.

Методи, що застосовуються: пошук джерел інформації, спостереження, порівняння, аналіз, математичне моделювання.

Із загальним задумом роботи пов'язана структура розділів. Основна частина складається із трьох розділів. У першій розглянуто основні поняття графів. У другому розділі досліджуються маршрути Нижньогірського району.

Працюючи використовував ряд літературних джерел: спеціальна література з теорії графів, пізнавальну літературу, різні науково-популярні, освітні, спеціалізовані журнали.

РОЗДІЛ 1

ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ГРАФІВ

1.1. Основні поняття теорії графів

Граф є непустою множиною точок і безлічю відрізків, обидва кінці яких належать заданій множині точок. (Рис.1.1.)

Рис.1.1.

Вершина графа - точка, де можуть сходитися/виходити ребра та/або дуги.

Ребро графа – ребро з'єднує дві вершини графа.

Ступінь вершини - кількість ребер, що виходять із вершини графа.

Вершина графа, що має не парний ступінь, називається непарною, а парний ступінь – парною.

Якщо напрям зв'язку має значення, лінії постачають стрілками, й у разі граф називається орієнтованим графом, орграфом. (Мал.1.2.)

Рис.1.2.

Зважений граф - граф, кожному ребру якого поставлено у відповідність певне значення (вага ребра). (Рис.1.3.)

Рис. 1.3.

Графи, у яких побудовані всі можливі ребра, називають повними графами. (Мал.1.4.)

Рис. 1.4.

Граф називається зв'язковим, якщо будь-які дві його вершини можуть бути з'єднані шляхом, тобто послідовністю ребер, кожне наступне з яких починається наприкінці попереднього.

Матриця суміжності – це матриця, елемент M[i] [j] якої дорівнює 1 якщо існує ребро з вершини i у вершину j, і дорівнює 0, якщо такого ребра немає (Рис.1.5. для графа на рис.1.1).

1.2. Характеристика Ейлерових графів

Граф, який можна намалювати, не відриваючи олівця від паперу, називається ейлеровим. (Рис.1.6.)

Такими графи названо на честь вченого Леонарда Ейлера.

Закономірність 1.

Неможливо накреслити граф із непарним числом непарних вершин.
Закономірність 2.

Якщо всі вершини графа парні, можна не відриваючи олівець від паперу («одним розчерком»), проводячи з кожного ребру лише один раз, накреслити цей граф. Рух можна почати з будь-якої вершини та закінчити його в тій самій вершині.
Закономірність 3.

Граф, що має всього дві непарні вершини, можна накреслити, не відриваючи олівець від паперу, при цьому рух потрібно почати з однієї з цих непарних вершин і закінчити в другій.
Закономірність 4.

Граф, що має понад дві непарні вершини, неможливо накреслити «одним розчерком».
Фігура (граф), яку можна накреслити, не відриваючи олівець від паперу, називається унікурсальною.

Рис.1.6.

1.3. Пошук найкоротшої відстані у графі (Алгоритм Дейкстрі)

Завдання: задана мережа доріг між містами, частина яких може мати односторонній рух. Знайти найкоротші відстані від заданого міста до інших міст (рис.1.7).

Те саме завдання: дано зв'язний граф з N вершинами, ваги ребер задані матрицею W. Знайти найкоротші відстані від заданої вершини до решти.

Алгоритм Дейкстри (E.W. Dijkstra, 1959):

1. Присвоїти усім вершинам мітку ∞.

2. Серед нерозглянутих вершин знайти вершину j із найменшою міткою.

3. Для кожної необробленої вершини i: якщо шлях до вершини i через вершину j менший від існуючої мітки, замінити мітку на нову відстань.

4. Якщо залишилися необроблені вершини, перейдіть до кроку 2.

5. Мітка = мінімальна відстань.

Рис.1.7.

Рис.1.8. Рішення задачі

РОЗДІЛ 2

МАРШРУТИ НИЖНЬОГІРСЬКОГО РАЙОНУ

2.1. Маршрути Нижньогірського району

Нижньогірський район знаходиться у степовій частині на півночі АР Крим. До складу Нижньогірського району входять смт.Нижньогірський та 59 населених пунктів.

Через Нижньогірський район проходять дві траси: 2Р58 та 2Р64. Існують 8 маршрутів, що прямують від А/С Нижньогірська до інших населених пунктів. У своїй роботі я розглядатиму ці маршрути:

1 маршрут «Нижньогірськ – Красногвардійськ». Слід через: Нижньогірськ – Плодове – Мітофанівка – Буревісник – Владиславівка.

2 маршрут «Нижньогірськ - Ізобільне»: Нижньогірськ – Насіннєве – Кірсанівка – Листяне – Охотське – Квітне – Ємельянівка – Ізобільне.

3 маршрут «Нижньогірськ – Великосілля»: Нижньогорк – Насіннє – Дворіччя – Якимівка – Лужки – Заливне – Степанівка – Лугове – Чкалове – Великосілля.

4 маршрут «Нижньогірськ – Білогірськ (траса 2Р64)»: Нижньогірськ – Желябівка – Іванівка – Заріччя – Сірово – Садове – Піни.

5 маршрут «Нижньогірськ – Уварівка»: Нижньогірськ – Насіннєве – Новоіванівка – Уварвка.

6 маршрут «Нижньогірськ - Любимівка»: Нижньогірськ – Насіннєве – Дворіччя – Якимівка – Лужки – Заливне – Степанівка – Лугове – Коворове – Дворове – Любимівка.

7 маршрут «Нижньогірськ - Пшеничне»: Нижньогірськ – Насіннєве – Дворіччя – Якимівка – Лужки – Заливне – Степанівка – Лугове – Коворове – Дворове – Слив'янка – Пшеничне.

8 маршрут «Нижньогірськ – Зоркіне (траса 2Р58)»: Нижньогірськ – Розливи – Михайлівка – Кунцеве – Зоркіно.

Існує дуже багато сіл, в які автобуси маршрутами не заїжджають і людям доводиться добиратися до своїх населених пунктів самостійно, переважно пішки. Тому переді мною постало завдання: А можна скласти нові маршрути та включити в них населені пункти, до яких автобуси не заходять.

Маршрути «Нижньогірськ – Уварівка» «Нижньогірськ – Любимівка» «Нижньогірськ – Пшеничне» змінити не можна, оскільки шляхом їхнього прямування, автобуси заїжджають у всі населені пункти, тому ці маршрути я розглядати не буду.

Розглянемо решту п'яти маршрутів. Населені пункти позначимо цифрами - вершини графа, а відстані між ними - ребрами графа і отримаємо п'ять графів. Розглянемо кожен граф окремо.

2.2. Дослідження маршрутів Нижньогірського району

1 маршрут: Нижньогірськ – Красногвардійськ.

Нижньогірськ – 1

Плодове – 2

Митрофанівка – 3

Червоне – 6

Буревісник – 4

Новогригорівка – 7

Владиславівка – 5

Не заїжджає до пункту 6, 7. Додамо до маршруту ці населені пункти.

Рис.2.1.

Граф не є Ейлеровим. Новий маршрут виглядає так: Нижньогірськ – Плодове – Митрофанівка – Буревісник – Новогригорівка – Владиславівка. Додалося село Новогригорівка.

2 маршрут: Нижньогірськ - Ізобільне.

Нижньогірськ – 1

Насіннєве – 2

Кірсанівка – 3

Листяне – 4

Охотське – 5

Квітне – 6

Омелянівка – 7

Ізобільне – 8

Палички – 9

Джерела - 10

Не заїжджає до пункту 9,10. Додамо до маршруту ці населені пункти.

Рис.2.2.

Граф не є Ейлеровим та зв'язковим, тому не можна побудувати новий маршрут. Маршрут залишається той самий.

3 маршрут: Нижньогірськ - Великосілля

Нижньогірськ – 1

Насіннєве – 2

Дворіччя – 3

Якимівка – 4

Лужки – 5

Заливне – 6

Степанівка – 7

Лугове – 8

Чкалове – 9

Великосілля – 10

Широке - 11

Не заїжджає до пункту 11. Додамо до маршруту цей населений пункт.

Рис.2.3.

Граф не є Ейлеровим. Маршрут залишається той самий.

4 маршрут: Нижньогірськ - Білогірськ (Траса 2Р64)

Нижньогірськ – 1 Косточківка - 12

Желябівка – 2 Фрунзе - 13

Іванівка – 3 Прирічне - 14

Заріччя – 4 Перлина – 15

Сірово – 5

Садове – 6

Піни – 7

Ломоносове – 8

Кукурудзяне – 9

Тамбовка – 10

Тарасівка - 11

Не заїжджає до пунктів 8-18. Додамо до маршруту ці населені пункти.

Рис.2.4.

Граф не є Ейлеровим. Новий маршрут виглядає так: Нижньогірськ – Желябівка – Іванівка – Заріччя – Тамбовка – Тарсівка – Прирічне – Перлина – Піни.

5 маршрут: Нижньогірськ - Зоркіно (Траса 2Р58)

Нижньогірськ – 1

Розливи – 2

Михайлівка – 3

Кунцеве – 4

Зоркіне – 5

Затишне – 6

Ніжинське – 7

Не заїжджає до пункту 6,7. Додамо до маршруту ці населені пункти.

Рис.2.5.

Граф не є Ейлеровим та зв'язковим, тому маршрут залишається той самий.

ВИСНОВОК

Фрактальна наука дуже молода, і її чекає велике майбутнє. Краса фракталів далеко не вичерпана і ще подарує нам чимало шедеврів - тих, які насолоджують око, і тих, що доставляють справжню насолоду розуму. У цьому полягає новизна роботи.

На закінчення хочеться сказати, що після того, як були відкриті фрактали, для багатьох вчених стало очевидно, що старі, добрі форми евклідової геометрії сильно програють більшості природних об'єктів через відсутність у них деякої нерегулярності, безладдя та непередбачуваності. Можливо, нові ідеї фрактальної геометрії допоможуть вивчити багато хто загадкові явища навколишньої природи. В даний час фрактали стрімко вторгаються в багато сфер фізики, біології, медицини, соціології, економіки. Методи обробки зображень та розпізнавання образів, що використовують нові поняття, дають можливість дослідникам застосувати цей математичний апарат для кількісного опису величезної кількостіприродних об'єктів та структур.

У процесі дослідження було проведено таку роботу:

1. Проаналізовано та опрацьовано літературу на тему дослідження.

2. Розглянуто та вивчено різні види фракталів.

3. Подано класифікацію фракталів.

4. Зібрано колекцію фрактальних образів для первинного ознайомлення зі світом фракталів.

5. Складено програми для побудови графічного образу фракталів.

Особисто для мене вивчення теми «Невичерпне багатство фрактальної геометрії» виявилося дуже цікавим та незвичайним. У процесі дослідження я сам для себе зробив масу нових відкриттів, пов'язаних не лише з темою проекту, а й з навколишнім світом загалом. Я відчуваю величезний інтерес до цієї теми, і тому дана роботасправила позитивний вплив на моє уявлення про сучасну науку.

Закінчивши свій проект, я можу сказати, що все, що було задумано, вдалося. Наступного року я продовжу роботу над темою «фрактали», оскільки ця тема дуже цікава та багатогранна. Думаю, що я вирішив проблему свого проекту, тому що мною було досягнуто всіх поставлених цілей. Робота над проектом показала мені, що математика – це не тільки точна, а й гарна наука.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛОВ

1. В.М. Бондарєв, В.І. Рублінецький, Є.Г. Качко. Основи програмування, 1998

2. Н. Крістофідес. Теорія графів: алгоритмічний підхід, Мир, 1978

3. Ф.А. Новіков. Дискретна математика для програмістів, Пітер, 2001

4. В.А. Носів. Комбінаторика та теорія графів, МДТУ, 1999 р.

5. О. Оре. Теорія графів, Наука, 1982

Номінація «Вітчизни славні сини»

Тема: «Чулков Олексій Петрович – Герой Радянського Союзу»

Галіулін Равіль

МБОУ «Юхмачинська середня загальноосвітня школаімені Героя Радянського Союзу Чулкова Олексія Петровича»

учень 7 класу

Москвина Г.А.

1. Введення.

2. Основна частина

2.1. Життя та подвиг А.П. Чулкова

2.2. Пам'ять - увічнення імені Героя Радянського Союзу у меморіальних об'єктах

3.Висновок

4. Список використаної літератури

1. Введення

Велика Вітчизняна війна - одне з найжахливіших випробувань, що випали на долю нашого народу. Тяжкість і кровопролиття війни залишили великий відбиток у свідомості людей. Патріотизм у всі часи Російській державібув рисою національного характеру.

В кожному селищі є свої герої, які прославили нашу країну. На жаль, у Останнім часомйдеться про те, що підростаюче покоління стало забувати про подвиги наших дідів та прадідів. І навколо з'являються інформаційні викиди, які прагнуть вкотре очорнити подвиг радянського народу. Тому дана тема пошуково-дослідницької роботи є актуальною для вирішення такої проблеми, як виховання морально-патріотичної особистості. Наше завдання пам'ятати про героїв, берегти цю пам'ять та передавати наступним поколінням.

Пам'ять про минуле… Ні, це не просто властивість людської свідомості, її здатність зберігати сліди минулого.

Пам'ять – це зв'язуюча ланка між минулим та майбутнім. Скільки б років не минуло, скільки б століть не минуло, ми повинні з вдячністю пам'ятати тих, хто позбавив світ коричневої чуми, а наш народ – смерті. І не дати переписати історію.

Зараз, коли на Заході в колишніх союзних республіках Прибалтики, в Україні подвиги солдатів Червоної Армії ставлять в один ряд зі службою на боці фашистів, зводять пам'ятники есесівцям, ми знову і знову маємо згадувати тих, хто поклав своє життя на вівтар Вітчизни.

Мета проекту:вивчити бойовий шлях та подвиг Героя Радянського Союзу, чиє ім'я носить наша школа.

Завдання:- познайомитись з алгоритмом роботи над проектом;

Вивчити всю наявну літературу та публікації у засобах масової інформації на тему дослідження;

Проаналізувати отриману інформацію та зробити висновки

Робота присвячена дослідженню біографії Чулкова Олексія Петровича, героя Радянського Союзу, який народився в селі Юхмачі Татарської АРСР.

Герой Радянського Союзу Чулков Олексій Петрович – наш земляк, його ім'я має наша школа села Юхмачі. Хто він, як жив, про що мріяв, за що йому було надано звання Героя Радянського Союзу?

Після закінчення Великої Вітчизняної війниминуло понад 70 років. На просторах нашої Батьківщини стоять обеліски загиблим, тим, хто не повернувся з битв. Вони були молоді. Коли вони встигли зробити стільки, що були представлені до вищій нагородіБатьківщини? Навіщо вони пожертвували собою? Невже їм не хотілося вижити?

Тема моєї дослідницької роботи: Доля мого земляка.

Це питання я вирішив висвітлити докладніше. Для цього я відвідав шкільний музей, де Олексію Петровичу присвячено розділ. Також у своїй роботі я спирався на спогади Героя Радянського Союзу, Генерала – полковника Решетнікова Василя Васильовича, Вікіпедію та книгу Ю.М. Худова "Крилатий комісар".

Методи:У ході реалізації проекту я познайомився з алгоритмом ведення дослідницької роботи, вивчав краєзнавчу літературу, переглядав літературу, матеріали інтернету, спогади товариша по службі.

Значимість дослідження:цей матеріал можна використовувати на уроках історії, під час проведення позакласних заходів, присвячених пам'ятним та ювілейним датам, музейним урокам.

2. Основна частина

2.1. Життя та подвиг А.П. Чулкова

Чулков Олексій Петрович народився 30 квітня 1908 року в селі Юхмачі Російської імперії, нині Алькеєвського району Татарстану, у сім'ї робітника. За національністю російська. 1920 року, після поранення на фронті, помирає батько. Четверо дітей залишились сиротами. Старший Сергій ще раніше поїхав у Карабанове, до рідних, де влаштовується на фабрику. Разом із десятирічним Олексієм у матері залишилися дві молодші сестри – Оля та Поліна. Цього року у Поволжі вибухнула страшна посуха. Почався великий голод. Льоша влаштовується працювати в наймитах біля кулака, за мізерну їжу пасе його стадо. Якось господар побив Льошу. І хлопчисько, попрощавшись із матір'ю та сестрами, вирішує поїхати до брата в Карабанове. Грошей на дорогу та їжу – ні копійки. З ватагою таких же безпритульних Льоша пробирається у бік Москви. На вокзалі в Костромі потрапили до чергової облави. Так Олексій опинився в Костромському дитбудинку, де він закінчив два класи, що залишилися, і зі свідченням про закінчення початкової школиприїхав 14-річним приїхав у Карабанове

З 1925 року - мешканець селища Карабанове (нині місто) Володимирській області. Тут Олексій працював на ткацькій фабриці 3-го Інтернаціоналу з 1927 до 1933 року. Тут на фабриці він зустрів свою майбутню дружину Віру. З якою у Олексія Петровича було четверо синів.

Член ВКП(б)/КПРС з 1931 року. Закінчив робітфак і 1 курс Московського педагогічного інституту. Працював у Москві.

Призваний до Червоної Армії у 1933 році, у 1934 році закінчив Луганську військово-авіаційну школу. Свої перші бойові вильоти здійснив у період радянсько-фінської війни 1939-1940 років, успішно брав участь у бомбардуваннях та штурмовках з повітря укріплень лінії Маннергейма. Бойова майстерність та вміла плідна політпраця льотчика, старшого політрука Олексія Чулкова були високо оцінені командуванням. Він був нагороджений орденом Червоного Прапора, йому було надано військове званнябатальйонного комісара.

У боях Великої Великої Вітчизняної війни з перших днів. До листопада 1942 року заступник командира ескадрильї з політичної частини 751-го авіаполку майор Олексій Чулков здійснив 114 бойових вильотів на бомбардування військово-промислових об'єктів у глибокому тилу противника та його військ на передньому краї.

7 листопада 1942 року, при поверненні з бойового завдання в районі міста Орша, його літак був підбитий зенітним вогнем і зазнав катастрофи в районі Калуги.

У 2004 році побачила світ книга Василя Васильовича Решетнікова - Героя Радянського Союзу, генерал - полковника.

У роки війни льотчика 751 полку 17 авіадивізії далеких бомбардувальників. В 1942 воював в ескадрильї, комісаром якої був Чулков. Неодноразово літав під його керівництвом на бойові завдання. Про свого комісара Василь Васильович згадує так: Тієї ночі, з сьомого на восьме листопада 1942 року, не повернувся з бойового завдання екіпаж комісара Олексія Петровича Чулкова. Хоч і був він за штатом комісаром Урутинської ескадрильї – своїм комісаром шанував його весь полк, викликаючи мимовільну ревнощі в інших, у тому числі й полкових, але нелітаючих політпрацівників.

Тонка це штука – авторитет, особливо комісарський. Критерії службового становища тут зовсім не спрацьовують, якщо успішно забезпечують весь комплекс зовнішніх прикмет шанування. У твердій ціні поваги котирується лише морально і інтелектуальний масштаб особистості. Саме особи, а не посади. На війні цінувався вчинок, а якщо слово – то живе, а не мертве-казенне.

Олексій Петрович був далеко не хрестоматійним комісаром – і зовні зовсім непомітний, і аж ніяк не трибунний. Більше славився як чудовий бойовий льотчик, і, пам'ятатись, нікого не морочив ні доповідями, ні повчаннями. Був дано йому міцний природний розум, добра душата твердий бойовий дух. Пройшов він, як вірний солдат своєї Вітчизни, радянсько-фінську війну і не забарився у перший день Великої Вітчизняної. Тепер рахунок його бойових вильотів йшов другою сотнею. Літав він нарівні з нами, як рядовий командир корабля, але злітати любив першим, а може, й не любив, не бачивши в цьому тактичних переваг, але місце попереду ескадрильї вважав, мабуть, своїм.

Чулков після бомбардування Оршанського аеродрому йшов уже додому і був за півгодини від своїх, як раптом потрапили під обстріл, снаряд потрапив у правий мотор. Він задимив, забухтів, закашлявся, довелося вимкнути. Гвинт, на жаль продовжував обертатися, ковзання стало неминучим, і машина пішла з невеликим зниженням. До лінії фронту висоти залишилося зовсім небагато, але Олексій Петрович та його незмінний штурман Григорій Чумаш на шляху знайшли в районі Калузі майданчик базування наших винищувачів і з ходу вирішили сідати.

Вночі такі аеродроми не працюють і навіть не мають засобів нічної посадки, але миски чергового «Т» горіли, і вздовж смуги приземлення Олексій Петрович зайшов вдало, хіба що з деяким перельотом. Аеродромчик був крихітний, для маскування обставлений стожками, макетами тварин, і, коли літак опинився на самому його краю, стрілки – радисти, побачивши цей «сільський пейзаж», в один голос загорлали: «Помилковий аеродром!» Олексій Петрович піддався крику, і хоча наступної миті Чумаш закричав: «Сідай!» - було вже пізно. Лівий мотор на повному газу тягнув машину далі, але повернути втрачену швидкість і висоту, та ще при одній стійкі шасі, що не прибралася, він був не в силах. На розвороті, за межами аеродрому, літак зачепив крилом за сосни, провалився до землі і спалахнув. Полум'я від баків поповзло до пілотної кабіни. Панчох був поранений, і сам не міг піднятися. Там і згорів. У вогні загинув і радист Дяков. Перемагаючи біль від забитих місць, через турельне кільце вибрався стрілець Глазунов, але крізь вогонь пробитися до командира не зміг. Гриша Чумаша було викинуто зі своєї розбитої штурманської шкаралупи і при падінні у двох місцях зламав у стегні ногу. Він відповз подалі від вогню, забинтував клаптями білизни рани, що кровоточать, і став чекати допомоги. Вона прийшла з аеродрому. Після численних операцій нога помітно укоротилася, і з льотною роботою довелося попрощатися.

Так помер наш легендарний комісар.

За рік з невеликою війною здійснив 119 бойових вильотів, 111 з них уночі.

Бомбіл Берлін та інші міста та військові об'єкти Німеччини. Завдаючи бомбових ударів, підтримував наші наземні війська на передовій. Ціною свого життя, наближаючи годину Перемоги.

У грудні на побудові полку було зачитано наказ. Там є такі слова:

За безмежну відданість Батьківщині, за добру організацію бойової роботи ескадрильї, за особисту відвагу та героїзм у бою, зневажаючи смерть, батальйонний комісар Чулков гідний вищої урядової нагороди присвоєння звання «Героя Радянського Союзу» з врученням ордена Леніна та медалі

Похований у місті Калузі.

Нагороди

Указом Президії Верховної Ради СРСР від 31 грудня 1942 року за подвиг та відмінне виконання бойових завдань командування майору Чулкову Олексію Петровичу посмертно присвоєно звання Героя Радянського Союзу.

Нагороджений двома орденами Леніна та двома орденами Червоного Прапора.

З нагородного листа:

Майор Чулков працює заступником командира авіаескадрильї з політичної частини. Літаючи літаком Іл-4 у складі нічного екіпажу, де штурман капітан Чумаш, стрілець-радист старшина Козловський і повітряний стрілець старший сержант Дьяков.

У діючій армії перебуває з перших днів Великої Вітчизняної війни. За цей період їм зроблено 114 бойових літако-вильотів, з них уночі 111 і всі з відмінним виконанням бойового завдання. Літав на бомбардування військово-промислових об'єктів та політичних центрів супротивника у глибокому тилу: Берлін – 2 рази, Будапешт – 1 раз, Данциг – 1 раз, Кенігсберг – 1 раз, Варшава – 2 рази.

За чудове виконання бойових завдань командування з розгрому німецького фашизму нагороджений орденом Леніна та орденом Червоного Прапора. Після нагородження здійснив 55 бойових вильотів. Працюючи військовим комісаром авіаескадрильї, добре зарекомендував себе як вихователь особового складу на кшталт відданості Батьківщині та ненависті до ворога. Його ескадрилья за час бойових дій здійснила 951 літако-виліт по ворогові. Товариш Чулков своїм особистим прикладомнадихає підлеглий особовий склад на подвиги. Дисциплінований, вимогливий до себе та підлеглих. Серед особового складу має заслужений авторитет. Справі партії Леніна та соціалістичній Батьківщині відданий.

За відмінне виконання бойових завдань командування з розгрому німецького фашизму і виявлені у своїй мужність і героїзм майор Чулков гідний урядової нагороди ордена Леніна.

Командир 751 АП ДД Герой Радянського Союзу
підполковник ТИХОНІВ 4 листопада 1942 року.

Висновок Військової Ради.

Гідний урядової нагороди звання Героя Радянського Союзу.

Командувач авіації Член Військової Ради
авіації дальньої дії
генерал авіації ГОЛОВАНОВ
дивізійний комісар ГУР'ЯНОВ
30 листопада 1942 р.

2.2. Пам'ять - увічнення імені Героя Радянського Союзу у меморіальних об'єктах

Меморіал Слави на Поклонній горі у Москві

Меморіальний комплекс м. Калуги

Ім'я Героя носить вулиця у місті Карабаново Володимирської області.

У 2004 році вийшла книга В. В. Решетнікова "Що було - те було", де йдеться про Чулкова.

Документальна повість "Крилатий комісар" Ю.М. Худова

2000 року нашій школі присвоєно ім'я Героя-земляка.

Директором нашої школи є родич Чулкова Олексія Петровича Чулков Петро Олександрович. Багато, завдяки його діяльності, наша школа носить ім'я Героя. Петро Олександрович і сам є гідним сином Вітчизни. У 1983 році був призваний до Збройних Сил СРСР. Службу проходив у Республіці Афганістан, командир відділення взводу охорони окремого мотострілецького супроводу. Він зі своїми бойовими товаришами супроводжував колони КАМАЗів із вантажами. Якось колона потрапила під обстріл, і Петра Олександровича було поранено.

Чулков Петро Олександрович нагороджений: зіркою «Учасник Афганської війни», орденським знаком «Воїн – інтернаціоналіст», медаллю «Від вдячного афганського народу», Грамотою Президії Верховної Ради СРСР «За мужність та військову звитягу».

Його відрізняє скромність, відповідальність, суворість, елегантність. Він талановитий керівник та організатор педагогічного та учнівського колективів. Під його керівництвом школа є однією з найкращих школарайону.

Експозиція у шкільному музеї села Юхмачі

Парк Перемоги у м. Казань

Пам'ятник присвячений Чулкову О.П. у селі Юхмачі, на Батьківщині Героя.

В.В. Решетников із онукою Чулкова А.П. Оленою Шушаріною. Москва 2007 рік.

3.Висновок

Життя та подвиг, ми часто чуємо ці слова. Проста людина з глибинки, якій було 34 роки, виявилася справжнім героєм війни, кровопролитних битв. А. П. Чулков став Героєм не просто так, він був справжньою людиною, вихованою сім'єю, Батьківщиною.

Робота над матеріалами про Героя сприяла визначенню духовних орієнтирів, моральних цінностей, загальнолюдських пріоритетів, формуванню патріотичної свідомості як однієї з найважливіших цінностей та основ духовно-моральної єдності.

І стає зрозумілою необхідність участі у справах Російського рухушколярів, членом якого я є. Це громадсько-державна дитячо-юнацька організація, утворена рішенням установчих зборів від 28 березня 2016 року у Московському університеті імені М.В. Ломоносова. Відповідно до Указу Президента РФ від 29 жовтня 2015 року. РДШ працює за такими напрямками: - Військово-патріотський – «Юнармія»

Особистий розвиток

Цивільний активізм (волонтерство, пошукова робота, вивчення історії, краєзнавство)

Інформаційно-медійне.

4. Список літератури:

1.В.В. Решетников «Що було-то було», М., 2004р.

2. Ю.М. Худів «Крилатий комісар»

3. Матеріали шкільного музею села Юхмачі

4. Фото з особистого архіву Чулкова П.А.

5.http://ua.wikipedia.org

Форма заявки

Республіканський конкурс проектів «Історії славні сторінки.

Школа Героїв» для 5-7 класів загальноосвітніх.

Організацій Республіки Татарстан, що носять ім'я Героя

Територія РТ, Алькеївський район, село Юхмачі

Номінація «Отчизни славні сини»

Ім'я, прізвище учасника Равіль Галіуллін

дата народження 05. 01.2005

Вікова група 7 клас

Повна назва освітньої організації МБОУ «Юхмачинська середня загальноосвітня школа імені Героя Радянського Союзу Чулкова Олексія Петровича»село Юхмачі, вул. Шкільна, будинок 10 а

Номер телефону 89276781352

Е-mail [email protected]

ПІБ педагога (повністю) Москвина Галина Олександрівна

Контактний телефон педагога 89270389187

Згода на обробку персональних даних

Я, Шубіна Тетяна Миколаївна, паспорт 9200097914 , виданий УВС Авіабудівного р-ну м. Казані, 01.11.2002________________________________________________________
(коли, ким)

РТ, Алькеївський район, с.Юхмачі, вул. Шкільна 4.

____________________________________________________________________________________________________________________

даю згоду на обробку персональних даних моєї дитини Галіулліна Равіля Рашитовича

РТ, Алькеївський район, с.Юхмачі, вул. Шкільна 4.

оператору Міністерства освіти і науки Республіки Татарстан для участі у конкурсі.

Перелік персональних даних, на обробку яких надається згода: прізвище, ім'я, по батькові, школа, клас, домашня адреса, дата народження, телефон, адреса електронної пошти, результати участі у заключному етапі конкурсу

Оператор має право на збір, систематизацію, накопичення, зберігання, уточнення, використання, передачу персональних даних третім особам – освітнім організаціям, органам управління освітою районів (міст), Міністерству освіти і науки РТ, Міністерству освіти РФ, іншим юридичним та фізичним особам, які відповідають за організацію та проведення різних етапів конкурсу, знеособлення, блокування, знищення персональних даних.

Даною заявою дозволяю вважати загальнодоступними, у тому числі виставляти в мережі Інтернет, наступні персональні дані моєї дитини: прізвище, ім'я, клас, школа, доу, результат заключного етапуконкурсу, а також опублікування у відкритому доступі сканованої копії роботи.

Обробка персональних даних здійснюється відповідно до норм Федерального закону Російської Федераціївід 27 липня 2006 року № 152-ФЗ «Про персональні дані».

Ця Згода набирає чинності з дня її підписання та діє протягом 3-х років.

______________________ _____________________________(особистий підпис, дата)

Кучин Анатолій Миколайович

Керівник проекту:

Кукліна Тетяна Іванівна

Установа:

МБОУ "Основна загальноосвітня школа" п. Троїцько-Печорськ Респ. Комі

У своїй дослідницької роботи з математики "У світі графів"я постараюся з'ясувати особливості застосування теорії графів під час вирішення завдань та у практичній діяльності. Результатом моєї дослідницької роботи з математики про графи стане генеалогічне дерево моєї родини.

У дослідницькій роботі з математики я планую познайомитися з історією теорії графів, вивчити основні поняття та види графів, розглянути методи вирішення задач за допомогою графів.

Також, у дослідному проекті з математики про графи покажу застосування теорії графів у різних галузях життєдіяльності людини.

Вступ
Розділ 1. Знайомимося із графами
1.1. Історія графів.
1.2. Види графів
Глава 2. Можливості застосування теорії графів у різних галузях повсякденному житті
2.1. Застосування графів у різних сферах життя людей
2.2. Застосування графів під час вирішення завдань
2.3. Генеалогічне дерево – один із способів застосування теорії графів
2.4. Опис дослідження та складання генеалогічного деревамоєї родини
Висновок
Використана література
Програми

«В математиці слід пам'ятати не формули,
а процес мислення».
Є.І. Ігнатьєва

Вступ

Графи всюди! У моїй дослідницькій роботі з математики на тему "У світі графів" йтиметься про графи, які до аристократів минулих часів жодного стосунку не мають. «» мають корінь грецького слова « графо", що означає " пишу». Той самий корінь у словах « графік», « біографія», « голографія».

Вперше з поняттям “ граф” я зустрівся при вирішенні олімпіадних завданьз математики. Труднощі у вирішенні цих завдань пояснювалися відсутністю цієї теми в обов'язковому курсі шкільної програми. Виникла проблема стала головною причиноювибору теми даної дослідницької роботи. Я вирішив докладно вивчити все, що з графами. Як широко використовується метод графів і наскільки важливим він у житті людей.

У математиці навіть є спеціальний розділ, який так і називається: « Теорія графів». Теорія графів є частиною як топології, так і комбінаторики. Те, що це топологічна теорія, випливає з незалежності властивостей графа від розташування вершин і виду лінії, що їх сполучають.

А зручність формулювань комбінаторних завдань у термінах графів призвела до того, що теорія графів стала одним із найпотужніших апаратів комбінаторики. При вирішенні логічних завдань зазвичай буває досить важко пам'ятати численні факти, дані за умови, встановлювати зв'язок з-поміж них, висловлювати гіпотези, робити окремі висновки і користуватися ними.

З'ясувати особливості застосування теорії графів під час вирішення завдань та у практичній діяльності.

Об'єктом дослідженняє математичні графіки.

Предметом дослідженняє графи як спосіб розв'язання низки завдань практичної спрямованості.

Гіпотеза:якщо метод графів такий важливий, то обов'язково знайдеться його широке застосуванняу різних галузях науки та життєдіяльності людини.

Для реалізації поставленої мети мною були висунуті наступні завдання:

1. ознайомитися з історією теорії графів;
2. вивчити основні поняття теорії графів та види графів;
3. розглянути способи розв'язання задач за допомогою графів;
4. показати застосування теорії графів у різних сферах життя людини;
5. створити генеалогічне дерево моєї сім'ї.

Методи:спостереження, пошук, добір, аналіз, дослідження.

Дослідження:
1. були вивчені ресурси мережі Інтернет та друковані видання;
2. виписані галузі науки та життєдіяльності людини, в яких використовується метод графів;
3. розглянуто розв'язання задач з допомогою теорії графів;
4. вивчено методику складання генеалогічного дерева моєї родини.

Актуальність та новизна.
Теорія графів у час є інтенсивно розвивається розділом математики. Це тим, що у вигляді графових моделей описуються багато об'єктів і ситуації. Теорія графів знаходить застосування у різних галузях сучасної математики та її численних додатках, особливо це стосується економіки, техніки, до управління. Вирішення багатьох математичних завдань спрощується, якщо вдається використати графи. Подання даних як графа надає їм наочність і простоту. Багато математичних доказів також спрощуються, набувають переконливості, якщо користуватися графами.

Щоб переконатися в цьому, мною та керівником було запропоновано учням 5-9 класів, учасникам шкільного та муніципального турів Всеросійської олімпіадишколярів, 4 завдання, під час вирішення яких можна застосувати теорію графів ( Додаток 1).

Результати вирішення завдань такі:
Всього 15 учнів (5 клас – 3 учні, 6 клас – 2 учні, 7 клас – 3 учні, 8 клас – 3 учні, 9 клас – 4 учні) застосували теорію графів у 1 завданні – 1, у 2 завданні – 0, в 3 задачі – 6, у 4 задачі – 4 учнів.

Практична значимістьДослідження полягає в тому, що результати безсумнівно викликають інтерес у багатьох людей. Хіба хтось із вас не намагався побудувати генеалогічне дерево своєї родини? А як це зробити грамотно?
Виявляється, вони вирішуються за допомогою графів легко.

Муніципальне загальноосвітнє бюджетна установа -

середня загальноосвітня школа №51

м. Оренбург.

Проект на тему:

учитель математики

Єгорчева Вікторія Андріївна

2017

Гіпотеза : Якщо теорію графів зблизити з практикою, можна отримати найсприятливіші результати.

Ціль: Ознайомиться з поняттям графи та навчитися застосовувати їх під час вирішення різних завдань.

Завдання:

1)Розширити знання способи побудови графів.

2)Выделить типи завдань, вирішення яких потребує застосування теорії графів.

3) Дослідити використання графів у математиці.

«Ейлер обчислював без жодного видимого зусилля, як людина дихає або як орел ширяє над землею».

Домінік Араґо.

I. Вступ. Стор.

II . Основна частина.

1. Поняття графа. Завдання про Кенігсберзькі мости. Стор.

2. Властивості графів. Стор.

3. Завдання із застосуванням теорії графів. Стор.

Ш. Висновок.

Значення графів. Стор.

IV. Список використаної літератури. Стор.

I . ВСТУП.

Теорія графів – наука порівняно молода. "Графи" мають корінь грецького слова "графо", що означає "пишу". Той самий корінь у словах «графік», «біографія».

У своїй роботі я розглядаю, яким чином використовується теорія графів у різних сферах життя людей. Кожен учитель математики і кожен учень знає, скільки труднощів завдає вирішення геометричних завдань, і навіть текстових завдань з алгебри. Дослідивши можливість застосування теорії графів у шкільному курсіматематики, я дійшла висновку, що ця теорія значно спрощує розуміння та вирішення завдань.

II . ОСНОВНА ЧАСТИНА.

1. Поняття графа.

Перша робота з теорії графів належить Леонарду Ейлер. Вона з'явилася в 1736 в публікаціях Петербурзької Академії Наук і починалася з розгляду завдання про кенігсберзьких мостах.

Ви, напевно, знаєте, що є таке місто Калінінград, раніше воно називалося Кенігсберг. Через місто протікає ріка Преголя. Вона ділиться на два рукави та огинає острів. У 17 столітті у місті було сім мостів, розташованих так, як показано на малюнку.

Розповідають, що одного разу мешканець міста запитав свого знайомого, чи зможе він пройти по всіх мостах так, щоб на кожному з них побувати лише один раз і повернутися до того місця, звідки почалася прогулянка. Багато жителів міста зацікавилися цим завданням, проте придумати рішення ніхто не зміг. Це питання привернуло увагу вчених із багатьох країн. Вирішити проблему вдалося відомому математику Леонарду Ейлеру. Леонард Ейлер, уродженець міста Базель народився 15 квітня, 1707 року. Наукові досягнення Ейлера великі. Він вплинув на розвиток багатьох розділів математики і механіки як у сфері фундаментальних досліджень, і у додатках. Леонард Ейлер не тільки вирішив це конкретне завдання, але й вигадав загальний методрозв'язання цих завдань. Ейлер вчинив так: він «стиснув» сушу в крапки, а мости «витяг» у лінії. В результаті вийшла фігура, зображена на малюнку.

Таку фігуру, що складається з точок та ліній, що зв'язують ці точки, називаютьграфом. Точки A, B, C, D називають вершинами графа, а лінії, що з'єднують вершини – ребра графа. На малюнку з вершин B, C, D виходять по 3 ребра, а з вершини A - 5 ребер. Вершини, з яких виходить непарне число ребер, називаютьнепарними вершинами, а вершини, з яких виходить парна кількість ребер, -парними.

2.Властивості графа.

Вирішуючи завдання для кенігсберзькі мости, Ейлер встановив, зокрема, характеристики графа:

1.Якщо всі вершини графа парні, то можна одним розчерком (тобто не відриваючи олівця від паперу і не проводячи двічі по одній лінії) накреслити граф. При цьому рух можна почати з будь-якої вершини та закінчити у тій самій вершині.

2.Граф із двома непарними вершинами теж можна накреслити одним розчерком. Рух треба починати від будь-якої непарної вершини, а закінчувати на іншій непарній вершині.

3.Граф із більш ніж двома непарними вершинами неможливо накреслити одним розчерком.

4. Число непарних вершин графа завжди парне.

5.Если у графі є непарні вершини, то найменше число розчерків, якими можна намалювати граф буде дорівнює половині числа непарних вершин цього графа.

Наприклад, якщо фігура має чотири непарні, то її можна накреслити щонайменше двома розчерками.

У задачі про сім кенігсберзьких мостів всі чотири вершини відповідного графа непарні, тобто. не можна пройти по всіх мостах один раз і закінчити шлях там, де його розпочали.

3.Рішення задач за допомогою графів.

1. Завдання на креслення фігур одним розчерком.

Намагання намалювати одним розчерком пера кожну з наступних фігур призводять до неоднакових результатів.

Якщо непарних точок у фігурі немає, то вона завжди піддається вимальовування одним розчерком пера, байдуже, з якого місця не починати креслення. Такі фігури 1 та 5.

Якщо у фігурі є лише одна пара непарних точок, то таку фігуру можна намалювати одним розчерком, почавши креслення в одній з непарних точок (байдуже до якої). Легко збагнути, що креслення має закінчуватися у другій непарній точці. Такі фігури 2, 3, 6. У фігурі 6, наприклад, креслення треба починати або точки А, або точки В.

Якщо фігура має більше однієї пари непарних точок, вона зовсім не може бути намальована одним розчерком. Такі фігури 4 і 7, що містять дві пари непарних точок. Сказаного достатньо, щоб безпомилково розпізнавати, які фігури не можна намалювати одним розчерком і які можна, а також з якої точки треба починати креслення.

Пропоную накреслити одним розчерком такі постаті.

2. Розв'язання логічних задач.

ЗАВДАННЯ №1.

У першості класу з настільного тенісу 6 учасників: Андрій, Борис, Віктор, Галина, Дмитро та Олена. Першість проводять за круговою системою - кожен із учасників грає з кожним із решти один раз. На даний момент деякі ігри вже проведені: Андрій зіграв із Борисом, Галиною, Оленою; Борис – з Андрієм, Галиною; Віктор – з Галиною, Дмитром, Оленою; Галина – з Андрієм, Віктором та Борисом. Скільки ігор проведено зараз і скільки ще залишилося?

РІШЕННЯ:

Побудуємо граф як показано малюнку.

Зіграно 7 ігор.

На цьому малюнку граф має 8 ребер, отже залишилося провести 8 ігор.

ЗАДАЧА №2

У дворі, що оточений високим парканом, знаходяться три будиночки: червоний, жовтий та синій. У паркані є три хвіртки: червона, жовта та синя. Від червоного будиночка проведіть доріжку до червоної хвіртки, від жовтого будиночка – до жовтої хвіртки, від синього – до синьої так, щоб ці доріжки не перетиналися.

РІШЕННЯ:

Розв'язання задачі наведено малюнку.

3. Розв'язання текстових задач.

Для вирішення завдань методом графів треба знати наступний алгоритм:

1.Про який процес йде мовау задачі?2. Які величини характеризують цей процес?3.Яким співвідношенням пов'язані ці величини?4. Скільки різних процесів описується у задачі?5. Чи є зв'язок між елементами?

Відповідаючи на ці питання, аналізуємо умову завдання та записуємо його схематично.

Наприклад . Автобус йшов 2 год зі швидкістю 45 км/год та 3 год зі швидкістю 60 км/год. Який шлях пройшов автобус за ці 5 годин?

S
¹=90 км V ¹=45 км/год t ¹=2год

S = VT

S ²=180 км V ²=60 км/год t ²=3 год

S ¹ + S ² = 90 + 180

Рішення:

1) 45 x 2 = 90 (км) – пройшов автобус за 2 год.

2) 60 x 3 = 180 (км) – пройшов автобус за 3 год.

3) 90 + 180 = 270 (км) - пройшов автобус за 5 год.

Відповідь: 270 км.

III . ВИСНОВОК.

В результаті роботи над проектом я дізналася, що Леонард Ейлер був основоположником теорії графів, вирішив завдання із застосуванням теорії графів. Для себе зробила висновок, що теорія графів знаходить застосування у різних галузях сучасної математики та її численних додатків. Не варто сумніватися в корисності ознайомлення нас, учнів, з основними поняттями теорії графів. Вирішення багатьох математичних завдань спрощується, якщо вдається використати графи. Подання данихв вигляді графа надає їм наочність. Багато доказів також спрощуються, набувають переконливості, якщо скористатися графами. Особливо це стосується таких галузей математики, як математична логіка, комбінаторика.

Таким чином, вивчення цієї теми має велике загальноосвітнє, загальнокультурне та загальноматематичне значення. У повсякденному житті все більше застосування знаходять графічні ілюстрації, геометричні уявлення та інші прийоми та методи наочності. З цією метою вивчення елементів теорії графів корисно запровадити у початковій та середній ланці школи, хоча б у позакласній роботі, оскільки до програми з математики ця тема не включена.

V . СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ:

2008р.

Рецензії.

Проект на тему «Графи навколо нас» виконав учень 7 «А» класу МОУ-сош №3г.Красний Кут Зайцев Микита.

Відмінною особливістюроботи Зайцева Микити є її актуальність, практична спрямованість, глибина розкриття теми, можливість використання її надалі.

Робота є творчою, як інформаційного проекту. Учень вибрав цю тему, щоб показати взаємозв'язок теорії графів з практикою з прикладу маршруту шкільного автобуса, показати, що теорія графів знаходить застосування у різних галузях сучасної математики та її численних додатків, особливо це стосується економіки, математичної логіки, комбінаторики. Він показав, що розв'язання задач значно спрощується, якщо вдається використовувати графи, подання даних у вигляді графа надає їм наочність, багато доказів також спрощуються, набувають переконливості.

У роботі розглядаються такі питання як:

1. Поняття графа. Завдання про Кенігсберзькі мости.

2. Властивості графів.

3. Завдання із застосуванням теорії графів.

4. Значення графів.

5. Варіант маршруту шкільного автобуса.

При виконанні своєї роботи Зайцев Н. використав:

1. Альхова З.М., Макєєва А.В. « Позакласна роботаз математики".

2. Журнал «Математика у шкільництві». Додаток «Перше вересня» № 13

2008р.

3. Я.І.Перельман «Цікаві завдання та досліди». - Москва: Просвітництво, 2000 р.

Робота виконана грамотно, матеріал відповідає вимогам цієї теми, відповідні малюнки додаються.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

ВСТУП

"У математиці слід пам'ятати не формули, а процес мислення ..."

Є. І. Ігнатьєв

Теорія графів у час є інтенсивно розвивається розділом математики. Це тим, що у вигляді графових моделей описуються багато об'єктів і ситуації, що дуже важливо задля нормального функціонування життя. Саме цей фактор визначає актуальність їх більш детального вивчення. Тому тематика цієї роботи досить актуальна.

Цільдослідницької роботи: з'ясувати особливості застосування теорії графів у різних галузях знань та при вирішенні логічних завдань.

Ціль визначила наступні завдання:

познайомитись з історією теорії графів;

вивчити основні поняття теорії графів та основні характеристики графів;

показати практичне застосування теорії графів у різних галузях знань;

розглянути способи розв'язання задач за допомогою графів та скласти власні завдання.

Об'єктдослідження: сфера діяльності на предмет застосування методу графів.

Предметдослідження: розділ математики "Теорія графів".

Гіпотеза.Ми припускаємо, що вивчення теорії графів може допомогти учням вирішувати логічні завдання з математики, що визначить подальші інтереси.

Методидослідницької роботи:

У ході нашого дослідження було використано такі методи, як:

1) Робота з різними джерелами інформації.

2) Опис, збирання, систематизація матеріалу.

3) Спостереження, аналіз та порівняння.

4) Складання завдань.

Теоретична та практична значимістьданої роботи визначається тим, що результати можуть бути використані на інформатиці, математиці, геометрії, кресленні та класному годиннику, і навіть для широкого кола читачів, зацікавлених цією темою. Дослідницька роботамає виражену практичну спрямованість, оскільки у роботі автором представлені численні приклади застосування графів у багатьох галузях знань, складено завдання. Цей матеріалможна використовувати на факультативних заняттях з математики.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧНИЙ ОГЛЯД МАТЕРІАЛУ ЗА ТЕМОЮ ДОСЛІДЖЕННЯ

1. Теорія графів. Основні поняття

У математиці «граф» можна зобразити як картинки, яка є кілька точок, з'єднаних лініями. "Граф" походить від латинського слова "графіо" - пишу, як і відомий дворянський титул.

У математиці визначення графа дається так:

Термін «граф» у математиці визначається так:

Граф - це кінцева безліч точок - вершин, які можуть бути з'єднані лініями - ребрами .

Як приклади графів можуть виступати креслення багатокутників, електросхеми, схематичне зображення авіаліній, метро, ​​доріг тощо. Генеалогічне дерево також є графом, де вершинами служать члени роду, а родинні зв'язки виступають як ребер графа.

Рис. 1Приклади графів

Число ребер, яке належить одній вершині, називається ступенем вершини графа . Якщо ступінь вершини непарне число, вершина називається - непарною . Якщо ступінь вершини число парне, то вершина називається парний.

Рис. 2Вершина графу

Нуль-граф - це граф, що складається лише із ізольованих вершин, не з'єднаних ребрами.

Повний граф - це граф, кожна пара вершин якого з'єднана руба. N-кутник, у якому проведено всі діагоналі, може бути прикладів повного графа.

Якщо у графі вибрати такий шлях, коли початкова та кінцева точка збігаються, то такий шлях називається циклом графа . Якщо проходження через кожну вершину графа відбувається трохи більше одного разу, то циклназивається простим .

Якщо у графі кожні дві вершини пов'язані ребром, то це пов'язаний граф. Граф називається непов'язаним якщо в ньому є хоча б одна пара незв'язаних вершин.

Якщо граф пов'язаний, але не містить циклів, такий граф називається деревом .

1. Характеристики графів

Шлях графа - це така послідовність, у якій кожні два сусідні ребра, що мають одну спільну вершину, зустрічаються лише один раз.

Довжина найкоротшого ланцюга з вершин aі b називається відстанню між вершинами aта b.

Вершина аназивається центром графа, якщо відстань між вершиною аі будь-який інший вершиною є найменшим і з можливих. Така відстань є радіус графів.

Максимально можлива відстань між двома будь-якими вершинами графа називається діаметром графів.

Розмальовка графів та застосування.

Якщо уважно подивитися на географічну карту, то можна побачити залізниці чи шосейні дороги, які є графами. Крім цього, на катрі є граф, який складається з кордонів між країнами (районами, областями).

У 1852 році англійському студенту Френсісу Гутрі поставили завдання розфарбувати карту Великобританії, виділивши кожне графство окремим кольором. Через невеликий вибір фарб Гутрі використав їх повторно. Він підбирав кольори так, щоб ті графства, які мають спільну ділянку кордону, обов'язково забарвлювалися у різні кольори. Виникло питання, яка найменша кількість фарб необхідна для розфарбовування різних карт. Френк Гутрі припустив, хоч і не зміг довести, що чотирьох кольорів буде достатньо. Ця проблема бурхливо обговорювалася у студентських колах, але пізніше була забута.

"Проблема чотирьох фарб" викликала все більший інтерес, але так і не була вирішена, навіть видатними математиками. В 1890 англійським математиком Персі Хівудом було доведено, що для розфарбовування будь-якої карти буде достатньо п'яти фарб. А лише 1968 року змогли довести, що для розфарбовування карти, на якій зображено менше сорока країн, буде достатньо 4 кольорів.

У 1976 році це завдання було вирішено при використанні комп'ютера двома американськими математиками Кеннетом Аппелем та Вольфгантом Хакеном. Для її вирішення всі карти були поділені на 2000 типів. Для комп'ютера була створена програма, яка досліджувала всі типи для виявлення таких карт, для розфарбовування яких буде недостатньо чотирьох фарб. Тільки три типи карток комп'ютер досліджувати не зміг, тому математики вивчали їх самостійно. В результаті було встановлено, що для розфарбовування всіх 2000 типів карток буде достатньо 4 фарб. Їм було оголошено вирішення проблеми чотирьох фарб. Цього дня поштове відділення при університеті, в якому працювали Апель та Хакен на всіх марках ставило штемпель зі словами: Чотирьох фарб достатньо.

Можна уявити завдання про чотири фарби трохи інакше.

Для цього розглянемо довільну карту, представивши її у вигляді графа: столиці держав є вершинами графа, а ребра графа пов'язують ті вершини (столиці), держави яких мають спільний кордон. Для отримання такого графа формулюється наступне завдання – необхідно розфарбувати граф за допомогою чотирьох кольорів так, щоб вершини, що мають спільне ребро, були розфарбовані різними кольорами.

Ейлерові та Гамільтонові графи

В 1859 англійським математиком Вільямом Гамільтоном була випущена у продаж головоломка - дерев'яний додекаедр (дванадцятигранник), двадцять вершин якого були позначені гвоздиками. Кожна вершина мала назву одного з найбільших міст світу – Кантон, Делі, Брюссель тощо. Завдання полягало в знаходженні замкнутого шляху, який проходить по ребрах багатогранника, побувавши в кожній вершині лише один раз. Для відзначення шляху використовувався шнур, який чіпляли за гвоздики.

Гамільтоновий цикл називається граф, шлях якого є простим циклом, який проходить через всі вершини графа по одному разу.

На річці Прегель розташоване місто Калінінград (колишній Кенігсберг). Річка омивала два острови, які між собою та з берегами були з'єднані мостами. Старих мостів уже немає. Пам'ять про них залишилася лише на карті міста.

Одного разу один мешканець міста запитав у свого знайомого, чи можна пройти всіма мостами, побувати на кожному тільки один раз і повернутися до того місця, звідки почалася прогулянка. Це завдання зацікавило багатьох городян, але її вирішити ніхто не зміг. Це питання викликало зацікавленість вчених багатьох країн. Вирішення проблеми отримав математик Леонард Ейлер. Крім цього, він сформулював загальний підхід до вирішення таких завдань. Для цього він перетворив картку на граф. Вершинами цього графа стала суша, а ребрами – мости, що її сполучають.

При розв'язанні завдання для мостів Кенігсберга Ейлеру вдалося сформулювати характеристики графів.

Накреслити граф, розпочавши рух з однієї вершини і закінчивши в тій же вершині одним розчерком (двічі не проводячи по одній лінії і не відриваючи олівця від паперу) можливо в тому випадку, якщо всі вершини парні парні.

Якщо є граф із двома непарними вершинами, то його вершини теж можна поєднати одним розчерком. Для цього потрібно почати з однієї, а закінчити на іншій будь-якій непарній вершині.

Якщо є граф із числом непарних вершин більше двох, то граф неможливо накреслити одним розчерком.

Якщо застосовувати ці властивості завдання про мостах, можна побачити, що це вершини досліджуваного графа непарні, отже, цей граф не можна поєднати одним розчерком, тобто. неможливо пройти по всіх мостах один раз і закінчити шлях у тому місці, де його розпочали.

Якщо граф має цикл (не обов'язково простий), що містить усі ребра графа по одному разу, такий цикл називається Ейлеровим циклом . Ейлерова ланцюг (шлях, цикл, контур) - ланцюг (шлях, цикл, контур), що містить усі ребра (дуги) графа по одному разу.

РОЗДІЛ ІІ. ОПИС ДОСЛІДЖЕННЯ ТА ЙОГО РЕЗУЛЬТАТИ

2.1. Етапи проведення дослідження

Для перевірки гіпотези дослідження включало три етапи (таблиця 1):

Етапи дослідження

Таблиця 1.

		Використовувані методи
Теоретичне дослідження проблеми	Вивчити та проаналізувати пізнавальну та наукову літературу.	 самостійне роздуми;  вивчення інформаційних джерел;  пошук необхідної літератури.
Практичне дослідженняпроблеми	Розглянути та проаналізувати області практичного застосуванняграфів;	 спостереження;  аналіз;  порівняння;  анкетування.
3 етап. Практичне використання результатів	Узагальнити вивчену інформацію;	 систематизація;  звіт (усний, письмовий, з демонстрацією матеріалів)	вересень 2017 р.

2.2. Області практичного застосування графів

Графи та інформація

Теорія інформації широко використовує властивості двійкових дерев.

Наприклад, якщо потрібно закодувати кілька повідомлень у вигляді певних послідовностей нулів і одиниць різної довжини. Код вважається найкращим для заданої ймовірності кодових слів, якщо середня довжина слів найменша порівняно з іншими розподілами ймовірності. Для вирішення такого завдання Хаффман запропонував алгоритм, у якому код представляється деревом-графом у рамках теорії пошуку. Для кожної вершини пропонується питання, відповіддю який може бути, «так», або «ні» - що відповідає двом ребрам, що виходять з вершини. Побудова такого дерева завершується після встановлення того, що потрібно. Це може застосовуватися в інтерв'юванні кількох людей, коли заздалегідь невідома відповідь на попереднє питання, план інтерв'ю представляється у вигляді двійкового дерева.

Графи та хімія

Ще А. Келі розглянув завдання про можливі структури насичених (або граничних) вуглеводнів, молекули яких задаються формулою:

CnH 2n+2

Усі атоми вуглеводню 4-хвалентні, всі атоми водню 1-валентні. Структурні формули найпростіших вуглеводнів показані малюнку.

кожну молекулу граничного вуглеводнюможна у вигляді дерева. При видаленні всіх атомів водню, атоми вуглеводню, що залишилися, утворюють дерево з вершинами, ступінь яких не вище чотирьох. Отже, кількість можливих структур (гомологів даної речовини) дорівнює кількості дерев, ступеня вершин яких, не більше 4. Це завдання зводиться до завдання про перерахування дерев окремого виду. Д. Пойа розглянув це завдання та її узагальнення.

Графи та біологія

Процес розмноження бактерій - це один з різновидів процесів, що гілкуються, що зустрічаються в біологічній теорії. Нехай кожна бактерія після певного часу або гине, або ділиться на дві. Отже, для однієї бактерії ми матимемо двійкове дерево розмноження її потомства. Питання завдання полягає в наступному, скільки випадків містить kнащадків у n-му покоління однієї бактерії? Дане співвідношення в біології зветься процес Гальтона-Ватсона, яке означає необхідну кількість необхідних випадків.

Графи та фізика

Складне втомливе завдання для будь-якого радіоаматора – створення друкованих схем (пластина діелектрика – ізолюючого матеріалу та витрачені доріжки у вигляді металевих смужок). Перетин доріжок відбувається лише у певних точках (місцях встановлення тріодів, резисторів, діодів та ін.) за певними правилами. В результаті перед вченим стоїть завдання викреслити плоский граф, з вершинами

Отже, вище сказане підтверджує практичну цінність графів.

Математика інтернету

Інтернет - всесвітня системаоб'єднаних комп'ютерних мереж для зберігання та передачі інформації.

Мережа інтернет можна у вигляді графа, де вершини графа – це інтернет сайти, а ребра – це посилання (гіперпосилання), що йдуть з одних сайтів на інші.

Веб-граф (Інтернет), що має мільярди вершин та ребер, постійно змінюється – спонтанно додаються та зникають сайти, пропадають та додаються посилання. Проте Інтернет має математичну структуру, підпорядковується теорії графів і має кілька «стійких» властивостей.

Веб-граф розріджений. Він містить лише кілька разів більше ребер, ніж вершин.

Незважаючи на розрідженість, інтернет дуже тісний. Від одного сайту до іншого за посиланнями можна перейти за 5 - 6 кліків (знаменита теорія «шості рукостискань»).

Як знаємо, ступінь графа - це число ребер, яким належить вершина. Ступені вершин веб-графа розподілені за певним законом: частка сайтів (вершин) з великою кількістю посилань (ребер) мала, а сайтів з малою кількістю посилань – велика. Математично це можна записати так:

де - частка вершин певного ступеня, - ступінь вершини, - постійна, яка від числа вершин веб-графа, тобто. не змінюється у процесі додавання чи видалення сайтів (вершин).

Цей статечний закон є універсальним для складних мереж - від біологічних до міжбанківських.

Інтернет як ціле стійкий до випадкових атак на сайти.

Так як знищення та створення сайтів відбувається незалежно і з однаковою ймовірністю, то і веб-граф, з ймовірністю близькою до 1, зберігає свою цілісність і не руйнується.

Для вивчення Інтернету потрібно будувати модель випадкового графа. Ця модель повинна мати властивості реального інтернету і не повинна бути занадто складною.

Це завдання поки що повністю не вирішено! Вирішення цієї задачі - побудови якісної моделі інтернету - дозволить розробити нові інструменти для покращення пошуку інформації, виявлення спаму, поширення інформації.

Побудова біологічних та економічних моделей почалася значно раніше, ніж постало завдання побудови математичної моделіінтернету. Однак досягнення в розвитку та вивченні інтернету дозволили відповісти на багато питань, що стосуються всіх цих моделей.

Математика інтернету затребувана багатьма фахівцями: біологами (пророцтво зростання популяцій бактерій), фінансистами (ризики виникнення криз) тощо. Вивчення подібних систем - один із центральних розділів прикладної математики та інформатики.

м. Мурманськ за допомогою графа.

Коли людина приїжджає в нове для нього місто, як правило, перше бажання – це відвідати головні пам'ятки. Але при цьому запас часу часто обмежений, а у разі ділової поїздки, зовсім малий. Отже, необхідно планувати знайомство з визначними пам'ятками заздалегідь. І у побудові маршруту чудово допоможуть графи!

Як приклад розглянемо типовий випадок прибуття до Мурманська з аеропорту вперше. Планується відвідати такі визначні пам'ятки:

1. Морський православний храм Спас-на-водах;

2. Свято-Микільський собор;

3. Океанаріум;

4. Пам'ятник коту Семену;

5. Атомний криголамЛенін;

6. Парк Вогні Мурманська;

7. Парк Долина Затишку;

8. Кольський міст;

9. Музей історії Мурманського морського пароплавства;

10. Площа П'яти кутів;

11. Морський торговельний порт

Спочатку розташуємо ці місця на карті та отримаємо наочне уявлення про місцезнаходження та відстань між пам'ятками. Мережа доріг досить розвинена, і переміщення автомобілем не буде важким.

Визначні пам'ятки на карті (ліворуч) та отриманий граф (праворуч) показані на відповідному малюнку ДОДАТКИ №1. Таким чином, новоприбулий спочатку проїде біля Кольського мосту (і, за бажання може перетнути його туди - назад); потім відпочине в Парку Вогні Мурманська та Долині Затишку і вирушить далі. У результаті оптимальний маршрут становитиме:

За допомогою графа можна візуалізувати схему проведення соцопитувань. Приклади представлені в ДОДАТКУ №2. Залежно від даних відповідей опитуваному ставлять різні питання. Наприклад, якщо в соціологічному опитуванні№1 опитуваний вважає математику найважливішою з наук, в нього запитають, чи він почувається під час уроків фізики; якщо ж він вважає інакше, друге питання стосуватиметься затребуваності гуманітарних наук. Вершинами такого графа є питання, а ребрами – варіанти відповідей.

2.3. Застосування теорії графів під час вирішення завдань

Теорія графів застосовується під час вирішення завдань з багатьох предметних областей: математика, біологія, інформатика. Ми вивчили принцип вирішення завдань за допомогою теорії графів та склали власні завдання на тему дослідження.

Завдання №1.

П'ятеро однокласників, на зустрічі випускників, обмінялися рукостисканнями. Скільки всього було зроблено рукостискань?

Рішення: Позначимо однокласників вершинами графа. З'єднаємо кожну вершину лініями з чотирма іншими вершинами. Отримуємо 10 ліній, це і є рукостисканнями.

Відповідь: 10 рукостискань (кожна лінія означає одне рукостискання).

Завдання №2.

У моєї бабусі в селі, біля будинку ростуть 8 дерев: тополя, дуб, клен, яблуня, модрина, береза, горобина та сосна. Горобина вище модрини, яблуня вище клена, дуб нижче берези, але вище сосни, сосна вище горобини, береза ​​нижче тополі, а модрина вище яблуні. В якій послідовності розташуються дерева по висоті від найвищого до найнижчого.

Рішення:

Дерева – це вершини графа. Позначимо їх першою літерою у кружечку. Проведемо стрілки від низького дерева до вищого. Сказано, що горобина вище модрини, то стрілку ставимо від модрини до горобини, берези нижче тополі, то стрілку ставимо від тополі до берега і т.п. Отримуємо граф, де видно, що найнижче дерево - клен, потім яблуня, модрина, горобина, сосна, дуб, береза ​​та тополя.

Відповідь: клен, яблуня, модрина, горобина, сосна, дуб, береза ​​та тополя.

Завдання №3.

У Мами є 2 конверти: звичайний та авіа, і 3 марки: квадратна, прямокутна та трикутна. Скільки способів Мама може вибрати конверт і марку, щоб надіслати листа Папі?

Відповідь: 6 способів

Завдання №4.

між населеними пунктами A, B, C, D, E побудовані дороги. Потрібно визначити довжину найкоротшого шляху між пунктами А та Е. Пересуватися можна лише дорогами, довжина яких вказана на малюнку.

Завдання №5.

Три однокласники - Максим, Кирило та Вова вирішили зайнятися спортом та пройшли відбір спортивні секції. Відомо, що у баскетбольну секцію претендував 1 хлопчик, а у хокей хотіли грати троє. Максим пробувався тільки в 1 секцію, Кирило відбирався у всі три секції, а Вова у 2. Кого з хлопчиків у якусь спортивну секцію відібрали?

Рішення: Для вирішення задачі застосуємо графи

Баскетбол Максим

Футбол Кирило

Хокей Вова

Бо до баскетболуйде лише одна стрілка, то Кирила відібрали у сецію баскетболу. Тоді Кирило не буде грати у хокей, а значить, у хокейнусекцію відібрали Максима, який пробувався лише у цю секцію, тоді Вова буде футболістом.

Завдання №6.

Через хворобу деяких викладачів, завуч школы, потрібно скласти фрагмент розкладу занять у школі хоча б на один день, з урахуванням наступних обставин:

1. Викладач ОБЖ згоден дати лише останній урок;

2. Викладач географії може дати або другий, або третій урок;

3. Математик готовий дати або лише перший, або лише другий урок;

4. Викладач фізики може дати або перший або другий або третій уроки, але тільки в одному класі.

Який розклад може скласти завуч школи, щоб він задовольняв усіх викладачів?

Рішення: Це завдання можна вирішити, перебираючи всі можливі варіанти, але простіше, якщо накреслити граф.

1. 1) фізика 2. 1) математика 3. 1) математика

2) математика 2) фізика 2) географія

3) географія 3) географія 3) фізика

4) ОБЖ 4) ОБЖ 4) ОБЖ

Висновок

У цій дослідницькій роботі була докладно вивчена теорія графів, доведена гіпотеза, що вивчення графів може допомогти у вирішенні логічних завдань, крім того, розглянуто теорію графів різних областяхнауки та складено свої 7 завдань.

Використання графів під час навчання учнів пошуку вирішення завдань дозволяє вдосконалювати графічні вміння учнів та пов'язувати міркування спеціальною мовоюкінцевої множини точок, деякі з яких з'єднані лініями. Усе це сприяє проведенню роботи з навчання учнів мислення.

Ефективність навчальної діяльностіз розвитку мислення багато в чому залежить від ступеня творчої активності учнів під час вирішення математичних завдань. Отже, необхідні математичні завдання та вправи, які б активізували розумову діяльність школярів.

Застосування завдань та використанням елементів теорії графів на факультативних заняттях у школі таки має на меті активізації розумової діяльності учнів. Ми вважаємо, що практичний матеріал з нашого дослідження може бути корисним на факультативних заняттях з математики.

Таким чином, мети дослідницької роботи досягнуто, завдання вирішено. У перспективі ми плануємо продовжити вивчення теорії графів та розробити свої маршрути, наприклад, за допомогою графа створити екскурсійний маршрут для шкільного автобуса ЗАТО Олександрівськ музеями та пам'ятними місцями м. Мурманська.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Березіна Л. Ю. «Графи та його застосування» - М.: «Освіта», 1979

Гарднер М. "Математичні дозвілля", М. "Світ", 1972

Гарднер М. «Математичні головоломки та розваги», М. «Світ», 1971

Горбачов А. «Збірник олімпіадних завдань» – М. МЦНМО, 2005

Зиков А. А. Основи теорії графів. - М: «Вузовська книга», 2004. - С. 664

Касаткіна В. Н. «Незвичайні завдання математики», Київ, «Радянська школа», 1987

Математична складова / Редактори-упорядники Н.М. Андрєєв, С.П. Коновалов, Н.М. Панюшкін. – М.: Фонд «Математичні етюди» 2015 р. – 151 с.

Мельников О. І. «Цікаві завдання з теорії графів», Мн. "ТетраСистемс", 2001

Мельников О.І. Незнайка країни графів: Посібник учнів. Вид. 3-тє, стереотипне. М: КомКнига, 2007. - 160 с.

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старовинні цікаві завдання», М. «Наука», 1988

Оре О. «Графи та їх застосування», М. «Світ», 1965

Харарі Ф. Теорія графів/Пер.с англ. та предисл. В. П. Козирєва. За ред. Г. П. Гаврілова. Вид. 2-ге. – М.: Едиторіал УРСС, 2003. – 296 с.

ДОДАТОК №1

Складання оптимального маршруту відвідування головних визначних пам'яток

м. Мурманськ за допомогою графа.

Оптимальний маршрут складе:

8. Кольський мост6. Парк Вогні Мурманська7. Парк Долина Уюта2. Свято-Микільський собор10. Площа П'яти кутів5. Атомний криголам Ленін9. Музей історії Мурманського морського пароплавства11. Морський торговельний порт1. Морський православний храм Спас-на-водах4. Пам'ятник коту Семену3. Океанаріум.

ПУТІВНИК ЗА ПАМ'ЯТКАМИ МУРМАНСЬКА

ДОДАТОК №2

Соціологічні опитування № 1, 2