الموجة هي عملية انتشار التذبذب (أو إشارة أخرى) في الفضاء.

لنتخيل، على سبيل المثال، أنه عند جميع نقاط المستوى يوزبعض المعلمة الماديةيتغير مع الزمن حسب القانون التوافقي

دع تذبذبات هذه المعلمة المجردة تنتشر على طول المحور ثوربسرعة الخامس(الشكل 13.1). ثم في الطائرة مع الإحداثيات سسوف تتكرر الاهتزازات الأولية مرة أخرى، ولكن مع تأخير ثواني:

أرز. 13.1.

تسمى الدالة (13.1) معادلة الموجة المستوية. هذا وظيفة مهمةغالبا ما يكتب بهذه الطريقة

هنا: ه 0 و ث - سعة وتكرار التذبذبات في الموجة،

(ث ر – kx+ - مرحلة الموجة،

أ - المرحلة الأولية،

رقم الموجة,

الخامس- سرعة انتشار الموجة .

يتم تحديد مجموعة جميع النقاط في الفضاء التي تحدث فيها التذبذبات في نفس المرحلة سطح المرحلة. في مثالنا، هذه طائرة.

(ث ر – kx+ = F = const - معادلة حركة سطح الطور أثناء انتشار الموجة. لنأخذ مشتقة هذه المعادلة بالنسبة للزمن:

ث – ك= 0.

هنا = الخامسو - سرعة حركة سطح الطور - سرعة المرحلة.

= الخامسو = .

وبالتالي، فإن سرعة الطور تساوي سرعة انتشار الموجة.

يُطلق على سطح الطور الذي يفصل المساحة التي تغطيها عملية الموجة عن الجزء الذي لم تصل إليه الموجة بعد واجهة الموجة. تتحرك مقدمة الموجة، باعتبارها أحد أسطح الطور، بسرعة الطور أيضًا. هذه السرعة، على سبيل المثال، للموجة الصوتية في الهواء هي 330 م/ث، والموجة الخفيفة (الكهرومغناطيسية) في الفراغ هي 3×10 8 م/ث.

معادلة الموجة ه = ه 0 ×كوس(ث ر – kx+ j) يمثل الحل معادلة الموجة التفاضلية. للعثور على هذا المعادلة التفاضلية، نشتق المعادلة الموجية (13.2) مرتين بالنسبة للزمن، ثم مرتين بالنسبة للإحداثيات:

,

وبمقارنة هذين التعبيرين نجد ذلك

.

لكن رقم الموجة ك= إذن

. (13.3)

هذه هي المعادلة التفاضلية لعملية الموجة - معادلة الموجة.

ولنلاحظ ذلك مرة أخرى معادلة الموجة(13.2) هناك حل معادلة الموجة (13.3).

يمكن بالطبع كتابة المعادلة الموجية على النحو التالي:

من الواضح الآن أنه في معادلة الموجة، يكون معامل المشتق الثاني بالنسبة للإحداثيات يساوي مربع سرعة الطور للموجة.

إذا حلنا مسألة الحركة، حصلنا على معادلة تفاضلية من النوع

فهذا يعني أن الحركة قيد الدراسة هي التذبذبات الطبيعية المبللة…

إذا ظهرت معادلة تفاضلية أثناء حل مسألة منتظمة

فهذا يعني أنه قيد التحقيق عملية الموجةوسرعة انتشار هذه الموجة.

بالنسبة لمعظم المسائل التي تنطوي على موجات، من المهم معرفة حالة تذبذبات النقاط المختلفة في الوسط في وقت أو آخر. سيتم تحديد حالات النقاط في الوسط إذا عرفت سعة وأطوار اهتزازاتها. بالنسبة للموجات المستعرضة، من الضروري أيضًا معرفة طبيعة الاستقطاب. بالنسبة لموجة مستقطبة خطيًا، يكفي أن يكون لديك تعبير يسمح لك بتحديد الإزاحة c(x, ر)من موضع التوازن لأي نقطة في الوسط ذات الإحداثيات X،في أي وقت ر.ويسمى هذا التعبير معادلة الموجة.

أرز. 2.21.

دعونا نفكر في ما يسمى موجة الجري,أولئك. موجة ذات واجهة موجية مستوية تنتشر في اتجاه واحد محدد (على سبيل المثال، على طول المحور السيني). دع جزيئات الوسط المجاورة مباشرة لمصدر الموجات المستوية تهتز وفقا للقانون التوافقي؛ %(0, /) = = LsobsoG (الشكل 2.21). في الشكل 2.21، أمن خلال ^(0، ر)يشير إلى إزاحة جزيئات الوسط الموجودة في مستوى متعامد مع الرسم ولها إحداثيات في نظام الإحداثيات المحدد X= 0 في الوقت المناسب ر.يتم اختيار أصل الوقت بحيث تكون المرحلة الأولية للتذبذبات، المحددة من خلال دالة جيب التمام، تساوي الصفر. محور Xمتوافق مع الشعاع، أي. مع اتجاه انتشار الاهتزاز. في هذه الحالة، تكون مقدمة الموجة متعامدة مع المحور X،بحيث تتأرجح الجسيمات الموجودة في هذا المستوى في مرحلة واحدة. تتحرك جبهة الموجة نفسها في وسط معين على طول المحور Xبسرعة وانتشار الموجة في وسط معين

دعونا نجد التعبير؟(x، ر)إزاحة جزيئات الوسط البعيدة عن المصدر على مسافة x. هذه هي المسافة التي تقطعها مقدمة الموجة

في الوقت المناسب، وبالتالي، فإن تذبذبات الجسيمات تقع في مستوى بعيد عن المصدر على مسافة X،سوف يتأخر بمرور الوقت بمقدار m من تذبذبات الجزيئات المجاورة مباشرة للمصدر. هذه الجسيمات (مع الإحداثيات x) ستصنع أيضًا الاهتزازات التوافقية. في غياب التخميد، والسعة ألن تعتمد التذبذبات (في حالة الموجة المستوية) على الإحداثي x، أي.

هذه هي المعادلة المطلوبة حزن موجة جارية(يجب عدم الخلط بينه وبين المعادلة الموجية التي تمت مناقشتها أدناه!). المعادلة، كما ذكرنا سابقًا، تسمح لنا بتحديد الإزاحة % جسيمات الوسط ذات الإحداثيات x في اللحظة الزمنية ر.تعتمد مرحلة التذبذب

على متغيرين: على الإحداثي x للجسيم والوقت ر.في لحظة معينة من الزمن، ستكون أطوار تذبذبات الجسيمات المختلفة، بشكل عام، مختلفة، ولكن من الممكن تحديد الجسيمات التي ستحدث تذبذباتها في نفس الطور (في الطور). يمكننا أيضًا أن نفترض أن فرق الطور بين اهتزازات هذه الجسيمات يساوي 2 نقطة(أين ر = 1, 2, 3,...). أقصر مسافةبين جسيمين موجيين متحركين ومتذبذبين في نفس الطور يسمى الطول الموجي X

دعونا نجد العلاقة بين الطول الموجي Xمع كميات أخرى تميز انتشار التذبذبات في الوسط. وفقا للتعريف المقدم للطول الموجي، يمكننا أن نكتب

أو بعد الاختصارات منذ ذلك الحين

يتيح لنا هذا التعبير تقديم تعريف مختلف للطول الموجي: الطول الموجي هو المسافة التي يكون لاهتزازات جزيئات الوسط وقت للانتشار فيها في وقت يساوي فترة الاهتزازات.

تكشف معادلة الموجة عن دورية مزدوجة: في الإحداثيات والوقت: ^(س، ر) = ض،(س + نك، ر) = ل،(س، ر + طن متري) = تكس + بكسل، مل)،أين بيت -أي أعداد صحيحة. يمكنك، على سبيل المثال، تثبيت إحداثيات الجزيئات (وضع س = const) واعتبار إزاحتهم كدالة للوقت. أو، على العكس من ذلك، حدد لحظة من الزمن (قبول ر = const) واعتبر إزاحة الجسيمات كدالة للإحداثيات (الحالة اللحظية للإزاحة هي صورة لحظية للموجة). لذلك، أثناء تواجدك على الرصيف، يمكنك استخدام الكاميرا في أي لحظة من الزمن رقم بتصوير سطح البحر، ولكن يمكنك ذلك عن طريق رمي شريحة في البحر (أي تحديد الإحداثيات). X)،مراقبة تقلباته مع مرور الوقت. وتظهر كلتا الحالتين في شكل رسوم بيانية في الشكل. 2.21، أ-ج.

يمكن إعادة كتابة المعادلة الموجية (2.125) بشكل مختلف

تتم الإشارة إلى العلاقة لويسمى رقم الموجة

لأن ، الذي - التي

وبالتالي، يوضح رقم الموجة عدد الأطوال الموجية التي تناسب قطعة طولها 2 لتر. وبإدخال رقم الموجة في معادلة الموجة، نحصل على معادلة موجة تسير في الاتجاه الموجب أوهالموجات في الشكل الأكثر شيوعا

دعونا نجد تعبيرًا يتعلق بفرق الطور Der لاهتزازات جسيمين ينتميان إلى أسطح موجية مختلفة Xو × 2. باستخدام المعادلة الموجية (2.131) نكتب:

إذا دلنا على أو حسب (2.130)

تم وصف موجة طائرة تسير في اتجاه تعسفي في الحالة العامةمعادلة

أين ز-ناقل نصف القطر مرسوم من الأصل إلى الجسيم الموجود على سطح الموجة؛ ل -متجه موجة يساوي في حجمه عدد الموجة (2.130) ويتوافق في الاتجاه مع العمودي على سطح الموجة في اتجاه انتشار الموجة.

ومن الممكن أيضا شكل معقدكتابة المعادلة الموجية. لذلك، على سبيل المثال، في حالة انتشار الموجة المستوية على طول المحور X

وفي الحالة العامة للموجة المستوية ذات الاتجاه التعسفي

يمكن الحصول على المعادلة الموجية بأي من الأشكال المذكورة كحل لمعادلة تفاضلية تسمى معادلة الموجة.إذا عرفنا حل هذه المعادلة بالشكل (2.128) أو (2.135) - معادلة الموجة المتنقلة، فإن إيجاد معادلة الموجة نفسها ليس بالأمر الصعب. دعونا نفرق بين 4(x, ر) = %من (2.135) مرتين في الإحداثي ومرتين في الزمن ونحصل على

بالتعبير ؟ من خلال المشتقات التي تم الحصول عليها ومقارنة النتائج نحصل عليها

مع الأخذ في الاعتبار العلاقة (2.129)، نكتب

هذه هي المعادلة الموجيةللحالة ذات البعد الواحد.

في منظر عامل؟، = ج(س، ص، ض،/) معادلة الموجة في الإحداثيات الديكارتيةيبدو مثل هذا

أو في شكل أكثر إحكاما:

حيث D هو عامل تشغيل لابلاس التفاضلي

سرعة المرحلةهي سرعة انتشار نقاط الموجة المتأرجحة في نفس المرحلة. بمعنى آخر، هذه هي سرعة حركة "القمة" أو "القاع" أو أي نقطة أخرى من الموجة يكون مرحلتها ثابتة. كما ذكرنا سابقًا، تتحرك مقدمة الموجة (وبالتالي أي سطح موجة) على طول المحور أوهبسرعة و.وبالتالي، فإن سرعة انتشار التذبذبات في الوسط تتزامن مع سرعة حركة مرحلة معينة من التذبذبات. ولذلك السرعة و،تحددها العلاقة (2.129)، أي

عادة ما يسمى سرعة المرحلة.

ويمكن الحصول على نفس النتيجة من خلال إيجاد سرعة النقاط في الوسط التي تحقق شرط الطور الثابت co/ -fee = const. ومن هنا نجد اعتماد الإحداثيات على الزمن (co/ - const) وسرعة حركة هذه المرحلة

والذي يوافق (2.142).

موجة طائرة تتحرك تنتشر في اتجاه المحور السلبي أوه،الموصوفة بالمعادلة

في الواقع، في هذه الحالة تكون سرعة المرحلة سلبية

قد تعتمد سرعة الطور في وسط معين على تردد تذبذب المصدر. يسمى اعتماد سرعة الطور على التردد تشتت،وتسمى البيئات التي يحدث فيها هذا الاعتماد تشتيت وسائل الإعلام.ومع ذلك، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن التعبير (2.142) هو الاعتماد المشار إليه. النقطة المهمة هي أنه في حالة عدم وجود تشتت رقم الموجة لفي النسبة المباشرة

مع وبالتالي . يحدث التشتت فقط عندما يعتمد ω على لغير خطية).

تسمى الموجة الطائرة المسافرة أحادية اللون (له تردد واحد)،إذا كانت الاهتزازات في المصدر متناغمة. تتوافق الموجات أحادية اللون مع معادلة بالشكل (2.131).

بالنسبة للموجة أحادية اللون، يكون التردد الزاوي والسعة ألا تعتمد على الوقت. وهذا يعني أن الموجة أحادية اللون لا حدود لها في المكان ولا نهاية لها في الزمان، أي. هو نموذج مثالي. أي موجة حقيقية، مهما تم الحفاظ على ثبات التردد والسعة، ليست أحادية اللون. إن الموجة الحقيقية لا تدوم إلى أجل غير مسمى، بل تبدأ وتنتهي في أوقات معينة في مكان معين، وبالتالي فإن سعة هذه الموجة هي دالة للزمن وإحداثيات هذا المكان. ومع ذلك، كلما زاد الفاصل الزمني الذي يتم خلاله الحفاظ على سعة وتكرار التذبذبات ثابتة، كلما كانت هذه الموجة أقرب إلى أحادية اللون. في كثير من الأحيان من الناحية العملية، تسمى الموجة أحادية اللون بجزء كبير بما فيه الكفاية من الموجة، حيث لا يتغير التردد والسعة، تمامًا كما يظهر في الشكل جزء من الموجة الجيبية، ويسمى موجة جيبية.

كمخطوطة

الفيزياء

ملاحظات المحاضرة

(الجزء 5. الموجات، البصريات الموجية)

للطلاب اتجاه 230400

« نظم المعلوماتوالتكنولوجيا"

الموارد التعليمية الإلكترونية

تم إعداده بواسطة: دكتوراه، أستاذ مشارك V.V. كونوفالينكو

البروتوكول رقم 1 بتاريخ 2013/04/09

العمليات الموجية

المفاهيم والتعاريف الأساسية

لنفكر في بعض الوسائط المرنة - صلبة أو سائلة أو غازية. إذا تم إثارة اهتزازات جزيئاته في أي مكان من هذا الوسط، فبسبب التفاعل بين الجزيئات، ستنتشر الاهتزازات، التي تنتقل من جسيم من الوسط إلى آخر، عبر الوسط بسرعة معينة. عملية يسمى انتشار الاهتزازات في الفضاء موجة .

إذا تذبذبت جزيئات وسط ما في اتجاه انتشار الموجة فإنها تسمى طولية إذا حدثت اهتزازات جسيمية في مستوى متعامد مع اتجاه انتشار الموجة، فإن الموجة تسمى مستعرض . مستعرض الموجات الميكانيكيةيمكن أن تنشأ فقط في وسط ذو معامل قص غير صفري. ولذلك، فإنها يمكن أن تنتشر في الوسائط السائلة والغازية موجات طولية فقط . يظهر الفرق بين الموجات الطولية والعرضية بشكل واضح في مثال انتشار الاهتزازات في الربيع - انظر الشكل.

لتوصيف الاهتزازات المستعرضة، من الضروري ضبط الموضع في الفضاء الطائرة التي تمر في اتجاه التذبذب واتجاه انتشار الموجة - مستوى الاستقطاب .

تسمى المنطقة من الفضاء التي تهتز فيها جميع جزيئات الوسط مجال الموجة . يسمى الحد الفاصل بين مجال الموجة وبقية الوسط جبهة الموجة . بعبارة أخرى، جبهة الموجة - الموقع الهندسي للنقاط التي وصلت إليها التذبذبات عند نقطة زمنية معينة. في وسط متجانس ومتناحي، يكون اتجاه انتشار الموجة عموديإلى جبهة الموجة.

أثناء وجود موجة في الوسط، تتأرجح جزيئات الوسط حول مواقع توازنها. لتكن هذه التذبذبات توافقية، وتكون الدورة الزمنية لهذه التذبذبات ت. جزيئات تفصل بينها مسافة

على طول اتجاه انتشار الموجة، تتأرجح بنفس الطريقة، أي. وفي أي لحظة من الزمن تكون إزاحاتهم هي نفسها. المسافة تسمى الطول الموجي . بعبارة أخرى، الطول الموجي هي المسافة التي تقطعها الموجة خلال فترة تذبذب واحدة .

يسمى الموقع الهندسي للنقاط التي تتأرجح في نفس الطور سطح الموجة . جبهة موجية – حالة خاصةسطح الموجة. الطول الموجي - الحد الأدنىالمسافة بين سطحين موجيين تهتز عندهما النقاط بنفس الطريقة، أو يمكننا أن نقول ذلك وتختلف مراحل اهتزازاتها باختلاف .

إذا كانت أسطح الموجة مستوية فإن الموجة تسمى مستوي ، وإذا كان عن طريق المجالات، ثم كروية. يتم إثارة موجة مستوية في وسط متجانس ومتناحٍ مستمر بواسطة التذبذبات طائرة لا نهائية. يمكن تمثيل إثارة سطح كروي كنتيجة للنبضات الشعاعية لسطح كروي وأيضًا نتيجة للحركة نقطه المصدر،والتي يمكن إهمال أبعادها مقارنة بالمسافة إلى نقطة المراقبة. نظرًا لأن أي مصدر حقيقي له أبعاد محدودة، فإن الموجة على مسافة كبيرة بما فيه الكفاية منه ستكون قريبة من الشكل الكروي. في الوقت نفسه، يصبح قسم سطح الموجة للموجة الكروية، مع انخفاض حجمها، قريبًا بشكل تعسفي من قسم سطح الموجة لموجة مستوية.

معادلة انتشار الموجة المستوية

في أي اتجاه

سوف نحصل عليه. دع التذبذبات في المستوى الموازي لأسطح الموجات والتي تمر عبر أصل الإحداثيات لها الشكل:

في مستوى متباعد عن نقطة الأصل بمسافة ل، سوف تتأخر التذبذبات في الوقت المناسب. ولذلك فإن معادلة التذبذبات في هذا المستوى لها الشكل:

من الهندسة التحليليةومن المعروف أن المسافة من أصل الإحداثيات إلى مستوى معين تساوي المنتج العدديمتجه نصف القطر من نقطة معينة على المستوى إلى متجه وحدة عمودي على المستوى: . ويوضح الشكل هذا الوضع بالنسبة لحالة ثنائية الأبعاد. دعونا نستبدل القيمة لفي المعادلة (22.13):

(22.14)

يسمى المتجه المساوٍ لعدد الموجة والموجه عموديًا على سطح الموجة ناقلات الموجة . يمكن الآن كتابة معادلة الموجة المستوية على النحو التالي:

الدالة (22.15) تعطي الانحراف عن موضع التوازن لنقطة ذات ناقل نصف قطر في لحظة الزمن ر. ولكي يتم تمثيل الاعتماد على الإحداثيات والزمن بشكل صريح، لا بد من أخذ ذلك بعين الاعتبار

. (22.16)

الآن تأخذ معادلة الموجة المستوية الشكل:

كثيرا ما وجدت مفيدة تمثل المعادلة الموجية في الشكل الأسي . للقيام بذلك، نستخدم صيغة أويلر:

حيث نكتب المعادلة (22.15) على الصورة:

. (22.19)

معادلة الموجة

معادلة أي موجة هي حل لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تسمى موجة . ومن أجل تحديد شكل هذه المعادلة نجد المشتقات الثانية بالنسبة لكل من وسيطات معادلة الموجة المستوية (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

دعونا نضيف المعادلات الثلاث الأولى مع المشتقات فيما يتعلق بالإحداثيات:

. (22.24)

دعنا نعبر من المعادلة (22.23): ، ويراعى ما يلي:

(22.25)

نعرض مجموع المشتقات الثانية على الجانب الأيسر من (22.25) نتيجة عمل عامل لابلاس على ، وبالصيغة النهائية نقدم معادلة الموجة مثل:

(22.26)

من الجدير بالذكر أن في المعادلة الموجية الجذر التربيعيمن مقلوب معامل المشتق الزمني يعطي سرعة انتشار الموجة.

يمكن إثبات أن المعادلة الموجية (22.26) تتحقق بأي دالة بالشكل:

و كل واحد منهم هومعادلة موجة ويصف موجة معينة.

طاقة الأمواج المرنة

دعونا نفكر في وسط تنتشر فيه موجة مرنة (22.10)، وهو حجم أولي صغير بما يكفي بحيث يمكن اعتبار تشوه وسرعة الجسيمات فيه ثابتًا ومتساويًا:

بسبب انتشار الموجة في الوسط، يكون للحجم طاقة تشوه مرنة

(22.38)

وفقًا لـ (22.35)، يمكن تمثيل معامل يونج على النحو التالي: لهذا السبب:

. (22.39)

يحتوي الحجم قيد النظر أيضًا على طاقة حركية:

. (22.40)

إجمالي حجم الطاقة:

وكثافة الطاقة:

، أ (22.43)

لنستبدل هذه التعبيرات في (22.42) ونأخذ في الاعتبار ما يلي:

هكذا، تختلف كثافة الطاقة عند نقاط مختلفة في الفضاء وتتغير بمرور الوقت وفقًا لقانون مربع الجيب.

متوسط ​​قيمة مربع جيب الجيب هو 1/2، وهو ما يعني متوسط وبمرور الوقت، تزداد قيمة كثافة الطاقة عند كل نقطة في الوسط ، حيث تنتشر الموجة:

. (22.45)

التعبير (22.45) صالح لجميع أنواع الموجات.

لذا، الوسط الذي تنتشر فيه الموجة لديه مصدر إضافي من الطاقة. لذلك، تحمل الموجة الطاقة معها .

X.6 الإشعاع ثنائي القطب

تتأرجح ثنائي القطب الكهربائي، أي. ثنائي القطب، الذي تتغير عزمته الكهربائية بشكل دوري، على سبيل المثال، وفقًا للقانون التوافقي، هو أبسط نظام يصدر موجات كهرومغناطيسية. واحد من أمثلة مهمةثنائي القطب المتأرجح هو نظام يتكون من شحنة سالبة تتأرجح بالقرب من شحنة موجبة. هذا هو بالضبط الوضع الذي يحدث عندما تؤثر موجة كهرومغناطيسية على ذرة مادة ما، عندما تتأرجح الإلكترونات تحت تأثير مجال الموجة بالقرب من النواة الذرية.

لنفترض أن عزم ثنائي القطب يتغير وفقًا للقانون التوافقي:

أين هو متجه نصف القطر للشحنة السالبة، ل- سعة التذبذب - ناقل الوحدة الموجه على طول المحور ثنائي القطب.

دعونا نقتصر على النظر ثنائي القطب الابتدائي , والتي تكون أبعادها صغيرة مقارنة بالطول الموجي المنبعثوالنظر منطقة الموجة ثنائيات القطب، أي منطقة من الفضاء يكون معامل نصف قطرها لنقطة ما هو . في منطقة الموجة لوسط متجانس ومتناحي، ستكون واجهة الموجة كروية - الشكل 22.4.

يُظهر الحساب الكهروديناميكي أن ناقل الموجة يقع في مستوى يمر عبر محور ثنائي القطب ومتجه نصف القطر للنقطة قيد النظر. السعات وتعتمد على المسافة صوالزاوية بين ومحور ثنائي القطب. في الفراغ

بما أن ناقل Poynting هو

, (22.33)

ويمكن القول أن ثنائي القطب يشع بقوة أكبر في الاتجاهات المقابلة لـ و نمط الإشعاع ثنائي القطب له الشكل الموضح في الشكل 22.5. نمط الاتجاه مُسَمًّى صورة بيانيةتوزيع شدة الإشعاع في اتجاهات مختلفة على شكل منحنى مصمم بحيث يتناسب طول قطعة الحزمة المسحوبة من ثنائي القطب في اتجاه معين إلى نقطة على المنحنى مع شدة الإشعاع.

وتظهر الحسابات ذلك أيضا قوة ر يتناسب الإشعاع ثنائي القطب مع مربع مشتق المرة الثانية لـ عزم ثنائي الاقطاب :

بسبب ال

, (22.35)

الذي - التي متوسط ​​القوة

يتحول يتناسب مع مربع سعة عزم ثنائي القطب و القوة الرابعة للتردد.

ومن ناحية أخرى، معتبرا ذلك لقد حصلنا على ذلك تتناسب قوة الإشعاع طرديا مع مربع التسارع:

هذا البيان صحيح ليس فقط لتذبذبات الشحنة، ولكن أيضًا لحركة الشحنة التعسفية.

البصريات الموجية

سنتناول في هذا القسم مثل هذه الظواهر الضوئية التي تتجلى فيها الطبيعة الموجية للضوء. ولنتذكر أن الضوء يتميز بالازدواجية الموجية والجسيمية وهناك ظواهر لا يمكن تفسيرها إلا على أساس فكرة الضوء كتدفق للجسيمات. لكننا سننظر في هذه الظواهر في البصريات الكمومية.

معلومات عامةعن الضوء

لذلك، نحن نعتبر الضوء موجة كهرومغناطيسية. في موجه كهرومغناطيسيةيتقلب و. لقد ثبت تجريبيًا أن التأثيرات الفسيولوجية والكيميائية الضوئية والكهروضوئية وغيرها من تأثيرات الضوء يتم تحديدها بواسطة ناقل موجة الضوء، ولهذا السبب يطلق عليه الضوء. وبناء على ذلك، سنفترض أن موجة الضوء توصف بالمعادلة:

أين السعة،

- رقم الموجة (ناقل الموجة)،

المسافة على طول اتجاه الانتشار.

المستوى الذي يهتز فيه يسمى طائرة التذبذب. تنتقل موجة الضوء بسرعة

, (2)

مُسَمًّى معامل الانكسار ويميز الفرق بين سرعة الضوء في وسط معين وسرعة الضوء في الفراغ (الفراغ).

في معظم الحالات، تتمتع المواد الشفافة بنفاذية مغناطيسية، ويمكن دائمًا اعتبار معامل الانكسار محددًا بواسطة ثابت العزل الكهربائي للوسط:

معنى نتستخدم لتوصيف الكثافة البصريةالأربعاء: كلما كان n أكبر، كلما كان الوسط أكثر كثافة بصريًا .

الضوء المرئي له أطوال موجية في النطاق والترددات

هرتز

أجهزة استقبال الضوء الحقيقي غير قادرة على تتبع مثل هذه العمليات العابرة وتسجيلها متوسط ​​تدفق الطاقة مع مرور الوقت . أ-بريوري , شدة الضوء هو معامل القيمة المتوسطة للوقت لكثافة تدفق الطاقة المنقولة بواسطة موجة ضوئية :

(4)

منذ في موجة كهرومغناطيسية

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

أنا ~ أ2(8)

أشعةسوف نسمي الخطوط التي تنتشر عبرها الطاقة الضوئية.

يتم دائمًا توجيه متجه متوسط ​​تدفق الطاقة بشكل عرضي إلى الحزمة. في وسائل الإعلام الخواص يتزامن في الاتجاه مع العمودي على السطوح الموجية.

في الضوء الطبيعي هناك موجات ذات اتجاهات مختلفة جدًا لمستوى الاهتزاز. لذلك، على الرغم من الطبيعة المستعرضة لموجات الضوء، فإن إشعاع مصادر الضوء التقليدية لا يظهر عدم تناسق فيما يتعلق باتجاه الانتشار. ويتم تفسير هذه الميزة للضوء (الطبيعي) بما يلي: تتكون موجة الضوء الناتجة من المصدر من موجات تنبعث من ذرات مختلفة. كل ذرة تنبعث منها موجة في غضون ثوان. خلال هذا الوقت، يتم تشكيل الفضاء قطار الموجة (سلسلة من "الحدبات والأحواض") يبلغ طولها حوالي 3 أمتار.

مستوى التذبذب لكل قطار محدد تمامًا. لكن في الوقت نفسه، يصدر عدد كبير من الذرات قطاراتها، ويتم توجيه مستوى اهتزاز كل قطار بشكل مستقل عن الآخرين، بطريقة عشوائية. لهذا في الموجة الناتجة من الجسم تظهر التذبذبات في اتجاهات مختلفة احتمال متساو. هذا يعني انه، إذا كنت تستخدم بعض الأجهزة لدراسة شدة الضوء باتجاهات متجهة مختلفة، فإن الشدة في الضوء الطبيعي لا تعتمد على الاتجاه .

يعد قياس الشدة عملية طويلة مقارنة بفترة الموجة، وتكون الأفكار المدروسة حول طبيعة الضوء الطبيعي ملائمة عند وصف العمليات الطويلة إلى حد ما.

ومع ذلك، في هذه اللحظةالوقت في نقطة معينة في الفضاء، نتيجة لإضافة ناقلات القطارات الفردية، يتم تشكيل معين معين. بسبب "التشغيل" و"الإيقاف" العشوائي للذرات الفردية تثير موجة ضوئية عند نقطة معينة تذبذبًا قريبًا من التذبذب التوافقي، لكن سعة التذبذبات وترددها ومرحلتها تعتمد على الوقت وتتغير بشكل عشوائي. يتغير اتجاه مستوى التذبذب أيضًا بشكل عشوائي yy. وبالتالي، يمكن وصف تذبذبات ناقل الضوء عند نقطة معينة في الوسط بالمعادلة:

(9)

علاوة على ذلك، و هناك وظائف تختلف بشكل عشوائي في الوقت المناسب ثانيا. تعتبر فكرة الضوء الطبيعي هذه ملائمة إذا تم أخذ الفترات الزمنية المماثلة لفترة موجة الضوء في الاعتبار.

يسمى الضوء الذي يتم فيه ترتيب اتجاهات اهتزازات المتجهات بطريقة ما مستقطب.

في حالة حدوث تذبذبات في ناقل الضوء فقط في طائرة واحدةيمر عبر الشعاع، ثم يسمى الضوء مستوي - أو مستقطب خطياً. بمعنى آخر، في الضوء المستقطب المستوي، يكون لمستوى الاهتزاز موضع ثابت تمامًا. هناك أنواع أخرى من الترتيب ممكنة أيضًا، وهي أنواع استقطاب الضوء.

مبدأ هيجنز

في التقريب البصري الهندسي، يجب ألا يخترق الضوء منطقة الظل الهندسي. في الواقع، يخترق الضوء هذه المنطقة، وتزداد أهمية هذه الظاهرة كلما صغرت العوائق. إذا كانت أبعاد الثقوب أو الشقوق قابلة للمقارنة مع الطول الموجي، إذن البصريات الهندسيةغير قابل للتطبيق.

من الناحية النوعية، يتم تفسير سلوك الضوء خلف أي عائق بواسطة مبدأ هويجنز، الذي يجعل من الممكن بناء مقدمة الموجة في لحظة من موضع معروف في لحظة.

ووفقا لمبدأ هويجنز، فإن كل نقطة تصل إليها حركة الموجة تصبح مصدرا نقطيا للموجات الثانوية. الغلاف الموجود على طول مقدمات الموجات الثانوية يعطي موقع مقدمة الموجة.

تدخل الضوء

لنفترض عند نقطة ما في الوسط أن موجتين (مستويين مستقطبين) تثيران تذبذبين نفس التردد ونفس الاتجاه:

و . (24.14)

يتم تحديد سعة التذبذب الناتج بالتعبير:

بالنسبة للموجات غير المتماسكة، فإنها تتغير بشكل عشوائي وجميع القيم محتملة على قدم المساواة. وعليه فمن (24.15) يأتي:

6 إذا كانت الموجات متماسكة و

لكن ذلك يعتمد على - طول المسار من مصادر الموجة إلى نقطة معينة و مختلفة لنقاط مختلفة في البيئة. لذلك، عندما يتم فرض موجات متماسكة، تحدث إعادة التوزيع تدفق مضيئةفي الفضاء، ونتيجة لذلك تزداد شدة الضوء في بعض نقاط الوسط، وتنخفض في نقاط أخرى -. وتسمى هذه الظاهرة التشوش.

يتم تفسير غياب التدخل في الحياة اليومية عند استخدام عدة مصادر للضوء من خلالهم التنافر. تبعث الذرات الفردية نبضات لـ c وطول القطار ≈ 3 أمتار. بالنسبة للقطار الجديد، فإن اتجاه مستوى الاستقطاب ليس عشوائيًا فحسب، بل لا يمكن التنبؤ بالطور أيضًا.

في الواقع، يتم الحصول على موجات متماسكة عن طريق تقسيم إشعاع مصدر واحد إلى قسمين. عندما يتم فرضه أجزاء، يمكن ملاحظة التداخل. لكن في هذه الحالة لا ينبغي أن يكون الفصل بين الأطوال الضوئية على حسب طول القطار. وإلا فلن يكون هناك أي تدخل، لأن يتم فرض القطارات المختلفة.

دع الانفصال يحدث عند النقطة O، والتراكب عند النقطة P. يتم إثارة التذبذبات عند النقطة P.

و (24.17)

سرعة انتشار الموجة في الوسائط ذات الصلة.

مراحل منفصلة عند نقطة واحدة ر:

أين هو الطول الموجي للضوء في الفراغ .

القيمة، أي. يسمى الفرق في أطوال المسار البصري بين النقاط قيد النظر اختلاف المسار البصري

ثم في (24.16) يساوي واحدوستكون شدة الضوء بحد أقصى.

(24.20)

الذي - التي ، تحدث تذبذبات عند نقطة ما في الطور المضاد، مما يعني أن شدة الضوء تكون في حدها الأدنى.

منطق

منطق -حدوث منسق لعمليتين موجيتين أو أكثر. لا يوجد أبدًا اتساق مطلق، لذا يمكننا التحدث عن درجات متفاوتة من التماسك.

هناك تماسك زماني ومكاني.

التماسك الزمني

معادلة الموجة الحقيقية

لقد أخذنا في الاعتبار تداخل الموجات الموصوفة بمعادلات الشكل:

(1)

ومع ذلك، فإن مثل هذه الموجات هي تجريد رياضي، حيث أن الموجة الموصوفة في (١) يجب أن تكون لا نهائية في الزمان والمكان. في هذه الحالة فقط يمكن أن تكون الكميات ثوابت محددة.

تحتوي الموجة الحقيقية، الناتجة عن تراكب قطارات من ذرات مختلفة، على مكونات تقع تردداتها في نطاق تردد محدود (على التوالي، متجهات الموجة في ) و A وتتعرض لتغيرات فوضوية مستمرة. التذبذبات متحمس في مرحلة ما عن طريق التداخل حقيقييمكن وصف الموجات بالتعبير:

و (2)

علاوة على ذلك، فإن التغيرات الفوضوية في الوظائف مع مرور الوقت في (2) مستقلة.

لتبسيط التحليل، نفترض أن اتساع الموجة ثابت ومتطابق (يتم تنفيذ هذا الشرط تجريبيًا بكل بساطة):

يمكن تقليل التغييرات في التردد والطور إلى تغييرات في التردد فقط أو الطور فقط. في الواقع، لنفترض أن عدم تناغم الوظائف (2) يرجع إلى قفزات الطور. ولكن بحسب ما يمكن إثباته في الرياضيات نظرية فورييه، يمكن تمثيل أي دالة غير توافقية كمجموع للمكونات التوافقية، التي ترد تردداتها في بعضها. في الحالة المقيدة، يتحول المجموع إلى تكامل: يمكن تمثيل أي دالة محدودة وقابلة للتكامل بواسطة تكامل فورييه:

, (3)

أين هي سعة المكون التوافقي للتردد،يتم تحديدها تحليليا من خلال العلاقة:

(4)

لذلك، يمكن تمثيل الدالة غير التوافقية بسبب التغير في الطور على أنها تراكب للمكونات التوافقية ذات الترددات عند بعضها.

من ناحية أخرى، يمكن اختزال دالة ذات تردد وطور متغيرين إلى دالة ذات طور متغير فقط:

ولذلك، لترويض مزيد من التحليل، سوف نفترض:

أي أننا ننفذ نهج المرحلةلمفهوم "التماسك الزمني".

شرائح متساوية الانحدار

دع لوحة رفيعة متوازية المستوى تضيء منتشرة أحادية اللونضوء. ضع عدسة تجميعية موازية للوحة، في المستوى البؤري - الشاشة. يحتوي الضوء المبعثر على أشعة من مجموعة واسعة من الاتجاهات. الأشعة الساقطة بزاوية تنتج شعاعين منعكسين، يتقاربان عند النقطة . وينطبق هذا على جميع الأشعة الساقطة على سطح اللوحة بزاوية معينة، عند جميع النقاط على اللوحة. تضمن العدسة أن جميع هذه الأشعة تتقارب في نقطة واحدة، حيث أن الأشعة المتوازية التي تسقط على العدسة بزاوية معينة تتجمع بها عند نقطة واحدة على المستوى البؤري، أي. على الشاشة. عند النقطة O يتقاطع المحور البصري للعدسة مع الشاشة. عند هذه النقطة، يتم جمع الأشعة الموازية للمحور البصري.

الأشعة الساقطة بزاوية، ولكن ليس في مستوى الرسم، ولكن في مستويات أخرى، سوف تتقارب عند نقاط تقع على نفس المسافة من النقطة مثل النقطة. ونتيجة لتداخل هذه الأشعة، تتشكل دائرة ذات شدة معينة من الضوء الساقط على مسافة معينة من النقطة. تشكل الأشعة الساقطة بزاوية مختلفة دائرة على الشاشة ذات إضاءة مختلفة، والتي تعتمد على اختلاف مسارها البصري. ونتيجة لذلك، يتم تشكيل خطوط داكنة وخفيفة بالتناوب على شكل دوائر على الشاشة. وتتكون كل دائرة من الدوائر من أشعة تسقط بزاوية معينة، وتسمى خطوط متساوية الانحدار. يتم ترجمة هذه العصابات في اللانهاية.

دور العدسة يمكن أن تلعبه العدسة، ودور الشاشة يمكن أن تلعبه شبكية العين. وفي هذه الحالة يجب استيعاب العين إلى ما لا نهاية. في الضوء الأبيض، يتم الحصول على خطوط متعددة الألوان.

خطوط متساوية السماكة

لنأخذ لوحة على شكل إسفين. دعها تقع عليها شعاع الضوء الموازي. دعونا نتأمل الأشعة المنعكسة من الوجهين العلوي والسفلي للوحة. إذا تم تجميع هذه الأشعة معًا بواسطة عدسة في نقطة ما، فسوف تتداخل. وبوجود زاوية صغيرة بين وجوه اللوحة، يمكن حساب الفرق في مسار الأشعة باستخدام النموذج
le للوحة المتوازية. سيتم جمع الأشعة المتكونة من سقوط الشعاع عند نقطة أخرى من اللوحة بواسطة العدسة عند هذه النقطة. يتم تحديد الفرق في السكتة الدماغية من خلال سمك اللوحة في المكان المقابل. يمكن إثبات أن جميع النقاط من النوع P تقع في نفس المستوى الذي يمر عبر قمة الإسفين.

إذا قمت بوضع الشاشة بحيث تكون مترافقة مع السطح الذي تقع فيه النقاط P، P 1 P 2، فسيظهر عليها نظام من الخطوط الفاتحة والداكنة، يتشكل كل منها بسبب الانعكاسات من اللوحة الموجودة في أماكن ذات سمك معين. ولذلك، في هذه الحالة يتم استدعاء المشارب خطوط متساوية السماكة.

عند ملاحظتها في الضوء الأبيض، سوف تكون الخطوط ملونة. يتم وضع أشرطة متساوية السماكة بالقرب من سطح اللوحة. في حالة حدوث الضوء الطبيعي - على السطح.

في الظروف الحقيقية، عند ملاحظة تلوين أفلام الصابون والزيت، يتم ملاحظة خطوط مختلطة.

حيود الضوء.

27.1. حيود الضوء

الانحرافمُسَمًّىمجموعة من الظواهر التي يتم ملاحظتها في وسط ذو عدم تجانس بصري حاد وترتبط بانحرافات في انتشار الضوء عن قوانين البصريات الهندسية .

لمراقبة الحيود، يتم وضع حاجز معتم على طول مسار موجة الضوء من مصدر معين، ويغطي جزءًا من سطح موجة الموجة المنبعثة من المصدر. المستجدة نمط الحيودلوحظ على الشاشة الموجودة على طول استمرار الأشعة.

هناك نوعان من الحيود. إذا كان من الممكن اعتبار الأشعة القادمة من المصدر ومن العائق إلى نقطة المراقبة متوازية تقريبًا، فإنهم يقولون ذلكحيود فراونهوفر، أو الحيود في الحزم المتوازية. إذا لم يتم استيفاء شروط حيود فراونهوفر،الحديث عن حيود فريسنل.

من الضروري أن نفهم بوضوح أنه لا يوجد فرق مادي أساسي بين التداخل والحيود. تنجم كلتا الظاهرتين عن إعادة توزيع طاقة موجات الضوء المتماسكة المتداخلة. عادة عند النظر في عدد محدودمصادر منفصلة الضوء، ثم يتحدثون عنهالتشوش . إذا تراكب موجات منمصادر متماسكة موزعة بشكل مستمر في الفضاء ثم يتحدثون عنهالانحراف .

27.2. مبدأ هيجنز-فريسنل

يسمح مبدأ هيغنز، من حيث المبدأ، بتفسير اختراق الضوء إلى منطقة الظل الهندسي، لكنه لا يقول أي شيء عن شدة الموجات التي تنتشر في اتجاهات مختلفة. استكمل فريسنل مبدأ هويجنز بإشارة إلى كيفية حساب شدة الإشعاع الصادر من عنصر سطح الموجة في اتجاهات مختلفة، وكذلك بإشارة إلى أن الموجات الثانوية متماسكة، وعند حساب شدة الضوء عند نقطة معينة، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار تداخل الموجات الثانوية. .

العمليات الموجية

المفاهيم والتعاريف الأساسية

لنفكر في بعض الوسائط المرنة - صلبة أو سائلة أو غازية. إذا تم إثارة اهتزازات جزيئاته في أي مكان من هذا الوسط، فبسبب التفاعل بين الجزيئات، ستنتشر الاهتزازات، التي تنتقل من جسيم من الوسط إلى آخر، عبر الوسط بسرعة معينة. عملية يسمى انتشار الاهتزازات في الفضاء موجة .

إذا تذبذبت جزيئات وسط ما في اتجاه انتشار الموجة فإنها تسمى طولية إذا حدثت اهتزازات جسيمية في مستوى متعامد مع اتجاه انتشار الموجة، فإن الموجة تسمى مستعرض . لا يمكن للموجات الميكانيكية المستعرضة أن تنشأ إلا في وسط ذو معامل قص غير صفري. ولذلك، فإنها يمكن أن تنتشر في الوسائط السائلة والغازية موجات طولية فقط . يظهر الفرق بين الموجات الطولية والعرضية بشكل واضح في مثال انتشار الاهتزازات في الربيع - انظر الشكل.

لتوصيف الاهتزازات المستعرضة، من الضروري ضبط الموضع في الفضاء الطائرة التي تمر في اتجاه التذبذب واتجاه انتشار الموجة - مستوى الاستقطاب .

تسمى المنطقة من الفضاء التي تهتز فيها جميع جزيئات الوسط مجال الموجة . يسمى الحد الفاصل بين مجال الموجة وبقية الوسط جبهة الموجة . بعبارة أخرى، جبهة الموجة - الموقع الهندسي للنقاط التي وصلت إليها التذبذبات عند نقطة زمنية معينة. في وسط متجانس ومتناحي، يكون اتجاه انتشار الموجة عموديإلى جبهة الموجة.

أثناء وجود موجة في الوسط، تتأرجح جزيئات الوسط حول مواقع توازنها. لتكن هذه التذبذبات توافقية، وتكون الدورة الزمنية لهذه التذبذبات ت. جزيئات تفصل بينها مسافة

على طول اتجاه انتشار الموجة، تتأرجح بنفس الطريقة، أي. وفي أي لحظة من الزمن تكون إزاحاتهم هي نفسها. المسافة تسمى الطول الموجي . بعبارة أخرى، الطول الموجي هي المسافة التي تقطعها الموجة خلال فترة تذبذب واحدة .

يسمى الموقع الهندسي للنقاط التي تتأرجح في نفس الطور سطح الموجة . جبهة الموجة هي حالة خاصة من سطح الموجة. الطول الموجي - الحد الأدنىالمسافة بين سطحين موجيين تهتز عندهما النقاط بنفس الطريقة، أو يمكننا أن نقول ذلك وتختلف مراحل اهتزازاتها باختلاف .

إذا كانت أسطح الموجة مستوية فإن الموجة تسمى مستوي ، وإذا كان عن طريق المجالات، ثم كروية. يتم إثارة موجة مستوية في وسط متجانس ومتناحي الخواص عندما يتأرجح مستوى لا نهائي. يمكن تمثيل إثارة سطح كروي كنتيجة للنبضات الشعاعية لسطح كروي وأيضًا نتيجة للحركة نقطه المصدر،والتي يمكن إهمال أبعادها مقارنة بالمسافة إلى نقطة المراقبة. نظرًا لأن أي مصدر حقيقي له أبعاد محدودة، فإن الموجة على مسافة كبيرة بما فيه الكفاية منه ستكون قريبة من الشكل الكروي. في الوقت نفسه، يصبح قسم سطح الموجة للموجة الكروية، مع انخفاض حجمها، قريبًا بشكل تعسفي من قسم سطح الموجة لموجة مستوية.

معادلات الموجات المستوية والكروية

معادلة الموجةهو تعبير يحدد إزاحة نقطة متذبذبة كدالة لإحداثيات موضع توازن النقطة والوقت:

إذا ارتكب المصدر دوريةالتذبذبات، ثم يجب أن تكون الدالة (22.2). وظيفة دوريةوالإحداثيات والوقت. الدورية في الوقت المناسب تأتي من حقيقة أن الوظيفة يصف التذبذبات الدورية لنقطة ذات إحداثيات؛ الدورية في الإحداثيات - من حقيقة أن النقاط الواقعة على مسافة على طول اتجاه انتشار الموجة تتأرجح بنفس الطريقة

دعونا نقتصر على النظر في الموجات التوافقية، عندما تؤدي نقاط في الوسط تذبذبات توافقية. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تمثيل أي دالة غير توافقية كنتيجة لتراكب الموجات التوافقية. ولذلك فإن النظر إلى الموجات التوافقية فقط لا يؤدي إلى تدهور جوهري في عمومية النتائج المتحصل عليها.

دعونا ننظر في موجة الطائرة. دعونا نختار نظام الإحداثيات بحيث يكون المحور أوهتزامن مع اتجاه انتشار الموجة. عندها ستكون أسطح الموجات متعامدة مع المحور أوهوبما أن جميع نقاط سطح الموجة تهتز بالتساوي، فإن إزاحة نقاط الوسط من مواقع التوازن سوف يعتمد فقط على س و ر:

دع اهتزازات النقاط الموجودة في المستوى لها الشكل:

(22.4)

التذبذبات في الطائرة الموجودة على مسافة Xمن نقطة الأصل، تأخر زمني عن التذبذبات في الفترة الزمنية اللازمة لتغطي الموجة المسافة X،ويتم وصفها بالمعادلة

الذي معادلة موجة مستوية تنتشر في اتجاه محور الثور.

عند اشتقاق المعادلة (22.5)، افترضنا أن سعة الاهتزازات هي نفسها في جميع النقاط. وفي حالة الموجة المستوية، يكون هذا صحيحًا إذا لم يمتص الوسط طاقة الموجة.

لنفكر في بعض قيمة الطور في المعادلة (22.5):

(22.6)

المعادلة (22.6) تعطي العلاقة بين الزمن رومكان - X، بحيث القيمة المحددةيتم تنفيذ المرحلة في الوقت الراهن. وبالتحديد من المعادلة (22.6)، نجد السرعة التي تتحرك بها قيمة مرحلة معينة. بالتفاضل (22.6) نحصل على:

حيث يلي (22.7)

معادلة الموجةهي معادلة تعبر عن اعتماد إزاحة الجسيم المتذبذب المشارك في عملية الموجة على إحداثيات موضع توازنه ووقته:

يجب أن تكون هذه الوظيفة دورية فيما يتعلق بالوقت وفيما يتعلق بالإحداثيات. وبالإضافة إلى ذلك، نقاط تقع على مسافة ل من بعضها البعض، تتأرجح بنفس الطريقة.

دعونا نجد نوع الوظيفة س في حالة الموجة الطائرة.

دعونا نفكر في موجة توافقية مستوية تنتشر على طول الاتجاه الموجب للمحور في وسط لا يمتص الطاقة. في هذه الحالة، ستكون أسطح الموجة متعامدة مع المحور. جميع الكميات مميزة حركة متذبذبةتعتمد جزيئات الوسط فقط على الوقت والإحداثيات. سيعتمد الإزاحة فقط على و: . دع تذبذب نقطة ذات إحداثيات (مصدر التذبذب) يُعطى بواسطة الوظيفة. مهمة: ابحث عن نوع اهتزاز النقاط في المستوى المقابل لقيمة عشوائية. ومن أجل الانتقال من طائرة إلى هذه الطائرة، تحتاج الموجة إلى وقت. وبالتالي، فإن تذبذبات الجسيمات الموجودة في المستوى سوف تتأخر في الطور بمقدار زمن عن تذبذبات الجسيمات الموجودة في المستوى. عندها ستكون معادلة تذبذبات الجسيمات في المستوى بالشكل التالي:

ونتيجة لذلك حصلنا على معادلة انتشار الموجة المستوية في الاتجاه المتزايد:

. (3)

في هذه المعادلة، سعة الموجة؛ - التردد الدوري؛ - المرحلة الأولية، والتي يتم تحديدها من خلال اختيار النقطة المرجعية و ؛ - مرحلة الموجة المستوية.

لتكن مرحلة الموجة قيمة ثابتة (نثبت قيمة الطور في معادلة الموجة):

دعونا نختصر هذا التعبير ونفرقه. ونتيجة لذلك نحصل على:

أو .

وبالتالي، فإن سرعة انتشار الموجة في معادلة الموجة المستوية ليست أكثر من سرعة انتشار مرحلة ثابتة من الموجة. وتسمى هذه السرعة سرعة المرحلة .

بالنسبة للموجة الجيبية، فإن سرعة نقل الطاقة تساوي سرعة الطور. لكن الموجة الجيبية لا تحمل أي معلومات، وأي إشارة هي موجة معدلة، أي. ليست جيبية (غير متناسقة). عند حل بعض المسائل يتبين أن سرعة الطور أكبر من سرعة الضوء. ليس هناك مفارقة هنا، لأن... سرعة حركة الطور ليست سرعة انتقال (انتشار) الطاقة. لا يمكن للطاقة والكتلة أن تتحركا بسرعة أكبر من سرعة الضوء ج .

عادةً ما يتم إعطاء معادلة الموجة المستوية شكلاً متماثلًا نسبيًا. للقيام بذلك، أدخل القيمة ، من اتصل رقم الموجة . دعونا نحول التعبير عن الرقم الموجي. دعونا نكتبها في النموذج (). لنعوض بهذا التعبير في معادلة الموجة المستوية:

أخيرا وصلنا

هذه هي معادلة انتشار الموجة المستوية في الاتجاه المتزايد. سيتم تمييز الاتجاه المعاكس لانتشار الموجة بمعادلة تتغير فيها الإشارة الموجودة أمام الحد.

من الملائم كتابة معادلة الموجة المستوية بالشكل التالي.

عادة علامة يكرر تم حذفها، مما يعني أنه تم أخذ الجزء الحقيقي فقط من التعبير المقابل. بالإضافة إلى ذلك، تم تقديم رقم مركب.

ويسمى هذا الرقم السعة المعقدة. معامل هذا الرقم يعطي السعة، والحجة تعطي المرحلة الأولىأمواج.

وبالتالي المعادلة المستوية موجة غير مخمدةيمكن تمثيلها في النموذج التالي.

كل ما تمت مناقشته أعلاه يتعلق بوسيط لا يوجد فيه توهين للموجة. في حالة توهين الموجة، وفقًا لقانون بوغيه (بيير بوغيه، عالم فرنسي (1698 - 1758))، فإن سعة الموجة ستنخفض مع انتشارها. ثم المعادلة الموجية المستوية سيكون لها الشكل التالي.

أ- معامل التوهين الموجي. أ 0 – سعة الاهتزازات عند نقطة ذات إحداثيات . وهذا هو معكوس المسافة التي تتناقص عندها سعة الموجة ه مرة واحدة.

دعونا نجد معادلة الموجة الكروية. سنعتبر أن مصدر التذبذبات يشبه النقطة. وهذا ممكن إذا اقتصرنا على النظر في الموجة على مسافة أكبر بكثير من حجم المصدر. ستكون هناك موجة من مثل هذا المصدر في وسط متناحي ومتجانس كروية . سوف تتأرجح النقاط الموجودة على سطح موجة نصف القطر مع الطور

إن سعة التذبذبات في هذه الحالة، حتى لو لم يمتص الوسط الطاقة الموجية، لن تبقى ثابتة. ويتناقص مع البعد عن المصدر حسب القانون. لذلك، فإن معادلة الموجة الكروية لها الشكل:

أو

ونظرًا للافتراضات المقدمة، فإن المعادلة صالحة فقط لحجم مصدر الموجة الذي يتجاوز بشكل كبير. المعادلة (6) لا تنطبق على القيم الصغيرة، لأن فإن السعة تميل إلى ما لا نهاية، وهذا أمر سخيف.

وفي وجود التوهين في الوسط، سيتم كتابة معادلة الموجة الكروية على النحو التالي.

سرعة المجموعة

إن الموجة أحادية اللون تمامًا هي سلسلة لا نهائية من "الحدبات" و"الوديان" في الزمان والمكان.

سرعة المرحلة لهذه الموجة أو (2)

من المستحيل إرسال إشارة باستخدام مثل هذه الموجة، لأن وفي أي نقطة من الموجة تكون جميع "الحدبات" متماثلة. يجب أن تكون الإشارة مختلفة. أن تكون علامة (علامة) على الموج. ولكن بعد ذلك لن تكون الموجة توافقية، ولن يتم وصفها بالمعادلة (1). يمكن تمثيل الإشارة (النبضة) وفقًا لنظرية فورييه على أنها تراكب لموجات توافقية ذات ترددات موجودة في فترة معينة دو . تراكب الموجات التي تختلف قليلاً عن بعضها البعض في التردد،

مُسَمًّى حزمة الموجة أو مجموعة الأمواج .

يمكن كتابة التعبير لمجموعة من الموجات على النحو التالي.

(3)

أيقونة ث يؤكد أن هذه الكميات تعتمد على التردد.

يمكن أن تكون حزمة الموجات هذه عبارة عن مجموع موجات ذات ترددات مختلفة قليلاً. عندما تتزامن أطوار الموجات، تتم ملاحظة زيادة في السعة، وحيث تكون الأطوار معاكسة، يتم ملاحظة تخميد السعة (نتيجة التداخل). تظهر هذه الصورة في الشكل. لكي يعتبر تراكب الموجات مجموعة من الموجات، من الضروري القيام به الشرط التالي دو<< w 0 .

في وسط غير مشتت، تنتشر جميع الموجات المستوية التي تشكل حزمة موجية بنفس سرعة الطور الخامس . التشتت هو اعتماد سرعة الطور للموجة الجيبية في الوسط على التردد. وسنتناول ظاهرة التشتت لاحقًا في قسم "البصريات الموجية". في غياب التشتت، تتزامن سرعة حركة الحزمة الموجية مع سرعة الطور الخامس . في الوسط المشتت، تنتشر كل موجة بسرعتها الخاصة. ولذلك، تنتشر الحزمة الموجية بمرور الوقت ويزداد عرضها.

إذا كان التشتت صغيرًا، فلن تنتشر حزمة الموجة بسرعة كبيرة. لذلك، يمكن أن تعزى سرعة معينة إلى حركة الحزمة بأكملها ش .

السرعة التي يتحرك بها مركز حزمة الموجة (النقطة ذات السعة القصوى) تسمى سرعة المجموعة.

في بيئة مشتتة v¹U . جنبا إلى جنب مع حركة الحزمة الموجية نفسها، تتحرك "الحدبات" داخل الحزمة نفسها. "الحدبات" تتحرك في الفضاء بسرعة الخامس والحزمة ككل بسرعة ش .

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في حركة الحزمة الموجية باستخدام مثال تراكب موجتين لهما نفس السعة وترددات مختلفة ث (أطوال موجية مختلفة ل ).

دعونا نكتب معادلات الموجتين. للتبسيط، دعونا نفترض المراحل الأولية ي 0 = 0.

هنا

يترك دو<< w ، على التوالى د.ك<< k .

لنجمع الاهتزازات ونجري التحويلات باستخدام الصيغة المثلثية لمجموع جيب التمام:

في جيب التمام الأول سوف نهمل ساكن و دككس ، وهي أقل بكثير من الكميات الأخرى. دعونا نأخذ ذلك في الاعتبار cos(–a) = cosa . سنكتبها في النهاية.

(4)

يتغير المضاعف الموجود بين قوسين مع مرور الوقت وينسق بشكل أبطأ بكثير من المضاعف الثاني. وبالتالي، يمكن اعتبار التعبير (4) بمثابة معادلة لموجة مستوية بسعة موصوفة بالعامل الأول. بيانياً، يتم عرض الموجة الموصوفة بالتعبير (4) في الشكل الموضح أعلاه.

يتم الحصول على السعة الناتجة نتيجة إضافة الموجات، وبالتالي سيتم ملاحظة الحد الأقصى والحد الأدنى للسعة.

سيتم تحديد السعة القصوى حسب الشرط التالي.

(5)

م = 0, 1, 2…

xmax- إحداثيات السعة القصوى.

يأخذ جيب التمام الحد الأقصى لقيمة modulo من خلال ص .

يمكن اعتبار كل من هذه الحدود القصوى مركزًا لمجموعة الموجات المقابلة.

حل (5) نسبيا xmax سوف نحصل عليه.

منذ سرعة المرحلة تسمى سرعة المجموعة يتحرك الحد الأقصى لسعة الحزمة الموجية بهذه السرعة. في الحد، سيكون التعبير عن سرعة المجموعة بالشكل التالي.

(6)

هذا التعبير صالح لمركز مجموعة ذات عدد عشوائي من الموجات.

تجدر الإشارة إلى أنه عندما تؤخذ جميع شروط التمدد في الاعتبار بدقة (بالنسبة لعدد عشوائي من الموجات)، يتم الحصول على التعبير عن السعة بطريقة تؤدي إلى انتشار حزمة الموجة بمرور الوقت.
يمكن إعطاء التعبير عن سرعة المجموعة بشكل مختلف.

في حالة عدم التباين

الحد الأقصى للكثافة يحدث في مركز المجموعة الموجية. وبالتالي فإن سرعة نقل الطاقة تساوي سرعة المجموعة.

لا ينطبق مفهوم السرعة الجماعية إلا بشرط أن يكون امتصاص الموجة في الوسط منخفضًا. مع التوهين الموجي الكبير، يفقد مفهوم سرعة المجموعة معناه. وقد لوحظت هذه الحالة في منطقة التشتت الشاذ. سننظر في هذا في قسم "البصريات الموجية".