في هذه المقالة ، سنقدم تعريفًا للمسافة من نقطة إلى مستوى ونحلل طريقة الإحداثيات التي تتيح لك العثور على المسافة من نقطة معينةلطائرة معينة في مساحة ثلاثية الأبعاد. بعد تقديم النظرية ، سنحلل بالتفصيل حلول العديد من الأمثلة والمشكلات النموذجية.

التنقل في الصفحة.

تعريف المسافة من نقطة إلى مستوى.

يتم تحديد المسافة من نقطة إلى مستوى من خلال ، واحدة منها هي نقطة معينة ، والأخرى هي إسقاط نقطة معينة على مستوى معين.

دع النقطة M 1 والمستوى تعطى في الفضاء ثلاثي الأبعاد. لنرسم خطًا مستقيمًا أ يمر بالنقطة م 1 ، عموديًا على المستوى. دعنا نشير إلى نقطة تقاطع الخط المستقيم أ والمستوى كـ H 1. يسمى الجزء M 1 H 1 عمودي، تم خفضه من النقطة M 1 إلى المستوى ، والنقطة H 1 - قاعدة العمودي.

تعريف.

هي المسافة من نقطة معينة إلى قاعدة خط عمودي مرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين.

يعد تعريف المسافة من نقطة إلى مستوى أكثر شيوعًا في النموذج التالي.

تعريف.

المسافة من نقطة إلى طائرةهو طول العمود العمودي الذي تم إسقاطه من نقطة معينة إلى مستوى معين.

وتجدر الإشارة إلى أن المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى ، المحددة بهذه الطريقة ، هي أصغر المسافات من النقطة المعينة M 1 إلى أي نقطة على المستوى. في الواقع ، دع النقطة H 2 تقع في المستوى وتكون مختلفة عن النقطة H 1. من الواضح أن المثلث M 2 H 1 H 2 مستطيل ، فيه M 1 H 1 عبارة عن رجل ، و M 1 H 2 هو الوتر ، . بالمناسبة ، يسمى الجزء M 1 H 2 منحرف - مائلمرسومة من النقطة M 1 إلى المستوى. لذا ، فإن الخط العمودي الذي يتم إسقاطه من نقطة معينة إلى مستوى معين يكون دائمًا أقل من الخط المائل المرسوم من نفس النقطة إلى مستوى معين.

المسافة من نقطة إلى مستو - نظرية ، أمثلة ، حلول.

تتطلب بعض المسائل الهندسية في مرحلة ما من الحل إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى. يتم تحديد طريقة ذلك بناءً على بيانات المصدر. عادة ، تكون النتيجة هي استخدام إما نظرية فيثاغورس ، أو علامات المساواة والتشابه بين المثلثات. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى ، والتي يتم تقديمها في مساحة ثلاثية الأبعاد ، فإن طريقة الإحداثيات تأتي في عملية الإنقاذ. في هذه الفقرة من المقال ، سنقوم فقط بتحليلها.

أولاً ، نقوم بصياغة حالة المشكلة.

في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يتم إعطاء نقطة والطائرة والمطلوب إيجاد المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى.

لنلقِ نظرة على طريقتين لحل هذه المشكلة. تعتمد الطريقة الأولى التي تسمح لك بحساب المسافة من نقطة إلى مستوى على إيجاد إحداثيات النقطة H 1 - قاعدة العمود المتعامد التي تم إسقاطها من النقطة M 1 إلى المستوى ، ثم حساب المسافة بين النقاط M 1 و H 1. الطريقة الثانية لإيجاد المسافة من نقطة معينة إلى مستوى معين تتضمن استخدام المعادلة العادية لمستوى معين.

الطريقة الأولى لحساب المسافة من نقطة الى الطائرة.

افترض أن H 1 هي قاعدة العمود العمودي المرسوم من النقطة M 1 إلى المستوى. إذا حددنا إحداثيات النقطة H 1 ، فيمكن حساب المسافة المطلوبة من النقطة M 1 إلى المستوى على أنها المسافة بين النقطتين و حسب الصيغة. وبالتالي ، يبقى إيجاد إحداثيات النقطة H 1.

لذا، خوارزمية لإيجاد المسافة من نقطة حتى الطائرةالتالي:

الطريقة الثانية مناسبة لإيجاد المسافة من نقطة الى الطائرة.

نظرًا لأننا حصلنا على مستوى في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz ، فيمكننا الحصول على المعادلة العادية للمستوى في الصورة. ثم المسافة من النقطة إلى المستوى يتم حسابه بواسطة الصيغة. يتم إثبات صحة هذه الصيغة لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى من خلال النظرية التالية.

نظرية.

دع نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz يكون ثابتًا في مساحة ثلاثية الأبعاد ، نقطة والمعادلة العادية لمستوى النموذج. المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى تساوي القيمة المطلقة لقيمة التعبير على الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى ، المحسوبة على ، أي.

دليل - إثبات.

إن إثبات هذه النظرية مشابه تمامًا لإثبات النظرية المماثلة الواردة في القسم إيجاد المسافة من نقطة إلى خط.

من السهل إظهار أن المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى تساوي معامل الفرق بين الإسقاط العددي M 1 والمسافة من الأصل إلى المستوى ، أي ، ، أين - المتجه العادي للطائرة يساوي واحدًا ، - إلى الاتجاه الذي يحدده المتجه.

و بحكم التعريف هو ، ولكن في شكل تنسيق. لذلك ، وكما هو مطلوب لإثبات.

هكذا، المسافة من النقطة يمكن حساب المستوى عن طريق التعويض في الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى بدلاً من x و y و z بالإحداثيات x 1 و y 1 و z 1 للنقطة M 1 مع أخذ قيمه مطلقهتلقى قيمة.

أمثلة لإيجاد مسافة من نقطة الى الطائرة.

مثال.

أوجد المسافة من النقطة الى الطائرة.

قرار.

اول طريق.

في حالة المشكلة ، يتم إعطاؤنا معادلة عامة لمستوى النموذج ، والتي يمكن من خلالها ملاحظة ذلك هو المتجه الطبيعي لهذه الطائرة. يمكن اعتبار هذا المتجه بمثابة متجه توجيه للخط المستقيم عموديًا على المستوى المحدد. ثم يمكننا كتابة المعادلات الأساسية لخط مستقيم في الفراغ الذي يمر بالنقطة ولها متجه اتجاه مع إحداثيات ، تبدو مثل.

لنبدأ في إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم والطائرات. دعنا نشير إليها H 1. للقيام بذلك ، نقوم أولاً بالانتقال من المعادلات الأساسية للخط المستقيم إلى معادلات مستويين متقاطعين:

لنحل الآن نظام المعادلات (إذا لزم الأمر ، راجع المقال). نحن نستخدم:

هكذا، .

يبقى حساب المسافة المطلوبة من نقطة معينة إلى مستوى معين مثل المسافة بين النقاط و :
.

الحل الثاني.

دعنا نحصل على المعادلة العادية للمستوى المحدد. للقيام بذلك ، علينا إعادة المعادلة العامة للمستوى إلى الصورة العادية. بعد تحديد عامل التطبيع ، نحصل على المعادلة العادية للمستوى . يبقى حساب قيمة الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة لـ وأخذ وحدة القيمة التي تم الحصول عليها - سيعطي هذا المسافة المطلوبة من النقطة للطائرة:

لذلك قرأت شيئًا ما في هذه الصفحة (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot (& vP1، & vNormal) ؛

حيث vP1 نقطة على المستوى و vNormal هو الوضع الطبيعي للمستوى. أشعر بالفضول كيف يمنحك هذا المسافة من بداية العالم لأن النتيجة ستكون دائمًا 0. أيضًا ، لكي أكون واضحًا (بما أنني ما زلت غير واضح قليلاً في الجزء D من المعادلة ثنائية الأبعاد) ، فإن d في المعادلة ثنائية الأبعاد ، المسافة من الخط إلى بداية العالم قبل بداية المستوى؟

الرياضيات

3 إجابات

6

في الحالة العامةيمكن حساب المسافة بين النقطة p والمستوى باستخدام الصيغة

أين -عملية المنتج نقطة

= ax * bx + ay * by + az * bz

وحيث p0 نقطة في المستوى.

إذا كان n له طول وحدة ، فإن حاصل الضرب النقطي بين المتجه وهو الطول (المُوقع) لإسقاط المتجه على العادي

الصيغة التي تبلغ عنها هي مجرد حالة خاصة حيث النقطة p هي الأصل. في هذه الحالة

المسافة = = -

هذه المساواة خاطئة من الناحية الفنية لأن حاصل الضرب النقطي يتعلق بالمتجهات ، وليس النقاط ... ولكنه لا يزال ثابتًا عدديًا. من خلال كتابة صيغة صريحة ، تحصل على هذا

(0 - p0.x) * n.x + (0 - p0.y) * n.y + (0 - p0.z) * n.z

انها نفس

- (p0.x * n.x + p0.y * n.y + p0.z * n.z)

2

النتيجة ليست دائما صفرا. ستكون النتيجة صفرًا فقط إذا مرت الطائرة عبر الأصل. (هنا ، لنفترض أن المستوى لا يمر عبر نقطة الأصل).

بشكل أساسي ، يتم إعطاؤك خطًا من نقطة الأصل إلى نقطة ما على المستوى. (على سبيل المثال ، لديك متجه من الأصل إلى vP1). تكمن مشكلة هذا المتجه في أنه من المرجح أن يكون منحرفًا ومتجهًا إلى مكان بعيد على المستوى ، بدلاً من أقرب نقطة على المستوى. لذلك إذا كنت قد أخذت طول vP1 للتو ، فستحصل على مسافة كبيرة جدًا.

ما عليك القيام به هو الحصول على إسقاط vP1 على متجه تعرف أنه عمودي على المستوى. إنه ، بالطبع ، عادي. لذا خذ حاصل الضرب القياسي لـ vP1 و vNormal وقسمه على طول vNormal وستحصل على إجابتك. (إذا كانوا لطفاء بما يكفي لمنحك vNormal وهو بالفعل واحد من حيث الحجم ، فلا داعي للانقسام.)

1

يمكنك حل هذه المشكلة باستخدام مضاعفات لاغرانج:

أنت تعلم أن أقرب نقطة على الطائرة يجب أن تبدو كما يلي:

C = p + v

حيث c هي أقرب نقطة و v متجه على طول المستوى (وهو بالتالي متعامد مع الوضع الطبيعي لـ n). أنت تحاول إيجاد c مع أصغر معيار (أو قاعدة مربعة). لذلك أنت تحاول تقليل النقطة (ج ، ج) طالما أن v متعامد مع n (وبالتالي النقطة (v ، n) = 0).

وهكذا ، اضبط لاغرانج:

L = نقطة (ج ، ج) + لامدا * (نقطة (ت ، ن)) L = نقطة (ف + ت ، ف + ت) + لامدا * (نقطة (ت ، ن)) L = نقطة (ف ، ع) + 2 * نقطة (ص ، ت) + نقطة (ت ، ت) * لامدا * (نقطة (ت ، ن))

وخذ المشتق بالنسبة إلى v (واضبطه على 0) لتحصل على:

2 * ف + 2 * ع + لامدا * ن = 0

يمكنك حل قيمة لامدا في المعادلة أعلاه بالنقط ، مما ينتج كلا الجانبين على n للحصول على

2 * نقطة (ع ، ن) + 2 * نقطة (ع ، ن) + لامدا * نقطة (ن ، ن) = 0 2 * نقطة (ع ، ن) + لامدا = 0 لامدا = - 2 * نقطة (ع ، ن) ))

لاحظ مرة أخرى أن النقطة (n ، n) = 1 والنقطة (v ، n) = 0 (نظرًا لأن v في المستوى و n متعامد معها). ثم تعود لامدا البديلة لتحصل على:

2 * p + 2 * v - 2 * dot (p، n) * n = 0

وحل لـ v لتحصل على:

V = نقطة (ع ، ن) * ن - ص

ثم عوض بذلك مرة أخرى في c = p + v لتحصل على:

C = نقطة (ع ، ن) * ن

طول هذا المتجه هو | نقطة (ع ، ن) | ، وتخبرك العلامة ما إذا كانت النقطة في اتجاه المتجه الطبيعي من الأصل ، أو في الاتجاه المعاكس من الأصل.

أقصر مسافة من المستوى إلى الأصل باستخدام معادلة المستوى

افترض لدي معادلة الطائرة ax + by + cz = d ، كيف يمكنني إيجاد أقصر مسافة من المستوى إلى الأصل؟ سأعود للخلف من هذا المنصب. في هذا المنشور ...

هل تمثل صورة عمق Kinect المسافة إلى نقطة الأصل أو المسافة إلى المستوى XY؟

لنفترض أن Kinect يجلس عند (0،0،0) وينظر في اتجاه + Z. لنفترض أن هناك كائنًا عند (1 ، 1 ، 1) وأن أحد وحدات البكسل في صورة عمق Kinect يمثل ذلك الكائن ...

المسافة من أصل الإحداثيات إلى نقطة في الفضاء

أريد معادلة المسافة من الأصل إلى جميع النقاط حيث يتم إعطاء النقاط بواسطة إطار بيانات بإحداثيين. لدي كل النقاط مثل: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1 ...

الإحداثيات الكروية - المسافة إلى المستوى

معلومات مرجعيةضع في اعتبارك نظام إحداثيات كروي مثل النظام الموضح هنا: نظام الإحداثيات http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif بالنسبة لنقطة معينة ، ...

كيف تختار بشكل منهجي مسافة قريبة من مستوى المقطع لإسقاط المنظور؟

لدي مشهد ثلاثي الأبعاد وكاميرا محددة بـ gluPerspective. لدي مجال رؤية ثابت وأعرف الحد الأدنى للمسافة لأي هندسة من الكاميرا (إنها رؤية من منظور شخص أول ، لذا فهي ...

كيفية الحصول على مسافة من نقطة إلى طائرة بشكل ثلاثي الأبعاد؟

لدي مثلث بالنقاط A و B و C ونقطة في الفضاء (P). كيف يمكنني الحصول على المسافة من نقطة إلى طائرة؟ أحتاج إلى حساب المسافة من P إلى الطائرة ، على الرغم من ...

يؤدي تدوير نقطة CG إلى تغيير المسافة من نقطة الأصل

أريد تدوير CGPoint (مستطيل أحمر) حول نقطة CGP أخرى (مستطيل أزرق) لكنه يغير المسافة من الأصل (مستطيل أزرق) ... عندما أعطي 270 نقطة في الزاوية التي ينشئها ...

احصل على الإحداثيات الديكارتية X ، Y ، Z ، مركز الطائرة

أريد الحصول على مركز المستوى X ، Y ، Z ، الإحداثيات الديكارتية. لدي المستوى العادي والمسافة من نقطة المركز إلى نقطة الأصل. يمكنني وضع النقطة (النقاط) في أي مكان و ...

المسافة من نقطة إلى مستوى في اتجاه معين

معطى: النقطة (x1، y1، z1) متجه الاتجاه (a1، b1، c1) فأس المستوي + by + cz + d = 0 كيف يمكنني إيجاد المسافة D من نقطة إلى مستوى على طول هذا المتجه؟ شكرًا

تحويل مستوى إلى نظام إحداثيات آخر

لدي نظام إحداثيات للكاميرا محدد بواسطة مصفوفة تناوب R وترجمة T بالنسبة إلى نظام إحداثيات العالم. يتم تحديد المستوى في إحداثيات الكاميرا بواسطة N عادي ونقطة P عليه ....

تتناول هذه المقالة تحديد المسافة من نقطة إلى طائرة. دعنا نحلل طريقة الإحداثيات ، والتي ستسمح لنا بإيجاد المسافة من نقطة معينة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. للدمج ، ضع في اعتبارك أمثلة للعديد من المهام.

تُحسب المسافة من نقطة إلى مستوى عن طريق مسافة معروفة من نقطة إلى نقطة ، حيث يُعطى أحدهما والآخر إسقاط على مستوى معين.

عندما تُعطى نقطة M 1 بمستوى χ في الفضاء ، فيمكن عندئذٍ رسم خط مستقيم عمودي على المستوى عبر هذه النقطة. H 1 هي نقطة مشتركة في تقاطعهم. من هنا نحصل على أن المقطع M 1 H 1 عمودي ، تم رسمه من النقطة M 1 إلى المستوى χ ، حيث النقطة H 1 هي قاعدة العمود العمودي.

التعريف 1

يسمون المسافة من نقطة معينة إلى قاعدة العمود العمودي ، والتي تم رسمها من نقطة معينة إلى مستوى معين.

يمكن كتابة التعريف في صيغ مختلفة.

التعريف 2

المسافة من نقطة إلى طائرةيسمى طول العمودي ، والذي تم رسمه من نقطة معينة إلى مستوى معين.

يتم تحديد المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ على النحو التالي: ستكون المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ هي الأصغر من نقطة معينة إلى أي نقطة في المستوى. إذا كانت النقطة H 2 تقع في المستوى χ ولا تساوي النقطة H 2 ، فإننا نحصل عليها مثلث قائماكتب M 2 H 1 H 2 ، وهي مستطيلة ، حيث يوجد ساق M 2 H 1 ، M 2 H 2 - وتر. ومن ثم ، فإن هذا يعني أن M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 يعتبر مائلًا ، وهو مرسوم من النقطة M 1 إلى المستوى χ. لدينا أن الخط العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى أقل من الخط المائل المرسوم من نقطة إلى مستوى معين. ضع في اعتبارك هذه الحالة في الشكل أدناه.

المسافة من نقطة إلى مستو - نظرية ، أمثلة ، حلول

هناك عدد مشاكل هندسية، التي يجب أن تحتوي حلولها على المسافة من النقطة إلى المستوى. قد تكون طرق الكشف عن هذا مختلفة. لحل هذه المشكلة ، استخدم نظرية فيثاغورس أو تشابه المثلثات. عندما يكون من الضروري ، وفقًا للشرط ، حساب المسافة من نقطة إلى مستوى ، المعطاة في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد ، يتم حلها باستخدام طريقة الإحداثيات. هذه الفقرة تتناول هذه الطريقة.

وفقًا لظروف المشكلة ، لدينا نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بإحداثيات M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) مع المستوى χ ، من الضروري تحديد المسافة من M 1 إلى الطائرة χ. يتم استخدام العديد من الحلول لحلها.

اول طريق

تعتمد هذه الطريقة على إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى باستخدام إحداثيات النقطة H 1 ، وهي قاعدة العمود العمودي من النقطة M 1 إلى المستوى χ. بعد ذلك ، تحتاج إلى حساب المسافة بين M 1 و H 1.

لحل المشكلة بالطريقة الثانية ، يتم استخدام المعادلة العادية لمستوى معين.

الطريقة الثانية

بشرط أن H 1 هي قاعدة العمود العمودي ، والتي تم تخفيضها من النقطة M 1 إلى المستوى χ. ثم نحدد إحداثيات (x 2، y 2، z 2) للنقطة H 1. تم العثور على المسافة المرغوبة من M 1 إلى المستوى χ بالصيغة M 1 H 1 \ u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 ، حيث M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و H 1 (x 2 ، y 2 ، z 2). لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطة H 1.

لدينا أن H 1 هي نقطة تقاطع المستوى χ مع المستقيم a ، الذي يمر بالنقطة M 1 المتعامدة مع المستوى χ. ويترتب على ذلك أنه من الضروري صياغة معادلة لخط مستقيم يمر عبر نقطة معينة عمودية على مستوى معين. عندها يمكننا تحديد إحداثيات النقطة H 1. من الضروري حساب إحداثيات نقطة تقاطع الخط والمستوى.

خوارزمية لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى المستوى:

التعريف 3

• يؤلف معادلة الخط المستقيم أ الذي يمر بالنقطة م 1 وفي نفس الوقت
• عمودي على المستوى χ ؛
• أوجد وحساب إحداثيات (x 2، y 2، z 2) للنقطة H 1 وهي نقاط
• تقاطع الخط أ مع المستوى χ ؛
• احسب المسافة من M 1 إلى χ باستخدام الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

الطريق الثالث

في نظام إحداثيات مستطيل معين O x y z يوجد مستوى χ ، ثم نحصل على معادلة عادية للمستوى بالصيغة cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. من هنا نحصل على أن المسافة M 1 H 1 مع النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) مرسومة إلى المستوى χ ، محسوبة بالصيغة M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ ض - ص. هذه الصيغة صحيحة ، حيث تم تأسيسها بفضل النظرية.

نظرية

إذا كانت النقطة M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) معطاة في فضاء ثلاثي الأبعاد ، لها معادلة عادية للمستوى بالصيغة cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 ، ثم حساب المسافة من النقطة إلى المستوى M 1 H 1 مشتق من الصيغة M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p ، بما أن x = x 1 ، y = y 1 ، ض = ض 1.

دليل - إثبات

يتم تقليل إثبات النظرية لإيجاد المسافة من نقطة إلى خط. من هنا نحصل على أن المسافة من M 1 إلى المستوى هي مقياس الفرق بين الإسقاط العددي لمتجه نصف القطر M 1 مع المسافة من الأصل إلى المستوى. ثم نحصل على التعبير M 1 H 1 = n p n → O M → - p. المتجه العادي للمستوى χ له الشكل n → = cos α ، cos β ، cos γ ، وطوله يساوي واحدًا ، n p n → O M → هو الإسقاط العددي للمتجه O M → = (x 1، y 1 ، z 1) في الاتجاه الذي يحدده المتجه n →.

دعنا نطبق صيغة حساب المتجهات العددية. ثم نحصل على تعبير لإيجاد متجه للصيغة n → ، O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → ، منذ n → = cos α ، cos β ، cos γ z و O M → = (x 1، y 1، z 1). سيأخذ شكل إحداثيات التدوين الشكل n → ، O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1 ، ثم M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - ص. لقد تم إثبات النظرية.

من هنا نحصل على المسافة من النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى المستوى χ بالتعويض في الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 بدلاً من إحداثيات x و y و z x 1 و y 1 و z1فيما يتعلق بالنقطة M 1 ، مع أخذ القيمة المطلقة للقيمة التي تم الحصول عليها.

ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات إلى مستوى معين.

مثال 1

احسب المسافة من النقطة ذات الإحداثيات م ١ (٥ ، - ٣ ، ١٠) إلى المستوى ٢ س - ص + ٥ ع - ٣ = ٠.

قرار

لنحل المشكلة بطريقتين.

ستبدأ الطريقة الأولى بحساب متجه الاتجاه للخط أ. بشرط أن المعادلة المعطاة 2 س - ص + 5 ع - 3 = 0 هي معادلة المستوى نظرة عامة، و n → = (2 ، - 1 ، 5) هو المتجه الطبيعي للمستوى المحدد. يتم استخدامه كمتجه توجيه للخط المستقيم أ ، وهو عمودي على المستوى المحدد. يجب أن تكتب المعادلة الأساسية لخط مستقيم في الفراغ يمر عبر M 1 (5 ، - 3 ، 10) مع متجه اتجاه بإحداثيات 2 ، - 1 ، 5.

ستبدو المعادلة كالتالي x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

يجب تحديد نقاط التقاطع. للقيام بذلك ، اجمع المعادلات برفق في نظام للانتقال من المعادلات الأساسية إلى معادلات خطين متقاطعين. نقطة معينةخذ H 1. لقد حصلنا على ذلك

س - 5 2 = ص + 3-1 = ض - 10 5 ⇔ - 1 (س - 5) = 2 (ص + 3) 5 (س - 5) = 2 (ض - 10) 5 (ص + 3) = - 1 (ض - 10) ⇔ ⇔ س + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0 5 ص + ع + 5 = 0 س + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0

فأنت بحاجة إلى تمكين النظام

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

دعنا ننتقل إلى قاعدة حل النظام وفقًا لـ Gauss:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ض = 0 6 = 0 ، ص = - 1 10 10 + 2 ع = - 1 ، س = - 1 - 2 ص = 1

نحصل على H 1 (1 ، - 1 ، 0).

نحسب المسافة من نقطة معينة إلى المستوى. نأخذ النقاط M 1 (5 ، - 3 ، 10) و H 1 (1 ، - 1 ، 0) ونحصل عليها

م 1 س 1 \ u003d (1-5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0-10) 2 \ u003d 2 30

الحل الثاني هو إحضار المعادلة المعطاة 2 x - y + 5 z - 3 = 0 للصورة العادية أولاً. نحدد عامل التطبيع ونحصل على 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. من هنا نشتق معادلة المستوى 2 30 · س - 1 30 · ص + 5 30 · ع - 3 30 = 0. يتم حساب الجانب الأيسر من المعادلة عن طريق استبدال x \ u003d 5 ، y \ u003d - 3 ، z \ u003d 10 ، وتحتاج إلى أخذ المسافة من M 1 (5 ، - 3 ، 10) إلى 2 x - y + 5 ض - 3 = 0 معيار. نحصل على التعبير:

م 1 س 1 \ u003d 2 30 5 - 1 30-3 + 5 30 10-3 30 \ u003d 60 30 \ u003d 2 30

الجواب: 2 30.

عندما يتم إعطاء المستوى بإحدى طرق قسم طرق تعريف المستوى ، فأنت بحاجة أولاً إلى الحصول على معادلة المستوى وحساب المسافة المرغوبة باستخدام أي طريقة.

مثال 2

النقاط ذات الإحداثيات M 1 (5 ، - 3 ، 10) ، A (0 ، 2 ، 1) ، B (2 ، 6 ، 1) ، C (4 ، 0 ، - 1) يتم وضعها في مساحة ثلاثية الأبعاد. احسب المسافة من م ١ إلى المستوى ب ج.

قرار

تحتاج أولاً إلى كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط الثلاث المحددة بالإحداثيات M 1 (5 ، - 3 ، 10) ، A (0 ، 2 ، 1) ، B (2 ، 6 ، 1) ، C ( 4 ، 0 ، - واحد).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ - 8 س + 4 ص - 20 ع + 12 = 0 2 س - ص + 5 ع - 3 = 0

ويترتب على ذلك أن المشكلة لها حل مشابه للحل السابق. ومن ثم ، فإن المسافة من النقطة م 1 إلى المستوى ب ج تساوي 30 2.

الجواب: 2 30.

يعد إيجاد المسافة من نقطة معينة على مستوى أو إلى مستوى موازي لهما أكثر ملاءمة من خلال تطبيق الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . من هنا نحصل على المعادلات العادية للطائرات في عدة خطوات.

مثال 3

أوجد المسافة من نقطة معطاة بإحداثياتها م 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى خطة تنسيقحول x y z والمستوى ، تعطى بالمعادلة 2 ص - 5 = 0.

قرار

يتوافق المستوى الإحداثي O y z مع معادلة بالصيغة x = 0. بالنسبة للمستوى O y z ، فمن الطبيعي. لذلك ، من الضروري استبدال القيم x \ u003d - 3 في الجانب الأيسر من التعبير واتخاذ القيمة المطلقة للمسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى . نحصل على القيمة - 3 = 3.

بعد التحويل ، ستأخذ المعادلة العادية للمستوى 2 y - 5 = 0 الصيغة y - 5 2 = 0. ثم يمكنك إيجاد المسافة المطلوبة من النقطة ذات الإحداثيات م 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى 2 ص - 5 = 0. بالتعويض والحساب ، نحصل على 2-5 2 = 5 2 - 2.

إجابه:المسافة المرغوبة من M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى O y z لها قيمة 3 ، و 2 y - 5 = 0 لها قيمة 5 2 - 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter