حدد أكبر قيمة للدالة. أكبر وأصغر قيم لدالة لمتغيرين في منطقة مغلقة. شاهد ما هي "أكبر وأصغر قيم للدالة" في القواميس الأخرى

في المهمة B14 من الاستخدام في الرياضيات ، تحتاج إلى إيجاد أصغر أو أكبر قيمة لدالة لمتغير واحد. هذه مهمة تافهة إلى حد ما من التحليل الرياضي ، ولهذا السبب يمكن ويجب على كل خريج تعلم كيفية حلها بشكل طبيعي. المدرسة الثانوية. دعنا نحلل بعض الأمثلة التي حلها تلاميذ المدارس في العمل التشخيصي في الرياضيات ، والذي حدث في موسكو في 7 ديسمبر 2011.

اعتمادًا على الفاصل الزمني الذي تريد العثور فيه على القيمة القصوى أو الدنيا للوظيفة ، يتم استخدام إحدى الخوارزميات القياسية التالية لحل هذه المشكلة.

1. خوارزمية لإيجاد أكبر أو أصغر قيمة لدالة في مقطع ما:

أوجد مشتق دالة.
حدد من النقاط المشتبه في وجودها حدًا أقصى تلك التي تنتمي إلى مقطع معين ومجال الوظيفة.
احسب القيم المهام(ليس مشتقًا!) في هذه النقاط.
من بين القيم التي تم الحصول عليها ، اختر الأكبر أو الأصغر ، ستكون القيمة المطلوبة.

مثال 1أوجد أصغر قيمة للدالة
ذ = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 في المقطع.

قرار:نتصرف وفقًا للخوارزمية لإيجاد أصغر قيمة لدالة في مقطع ما:

نطاق الوظيفة غير محدود: د (ذ) = تم العثور على R.
مشتق الوظيفة هو: ذ = 3x 2 – 36x+ 81. لا يقتصر نطاق مشتق الوظيفة أيضًا: د (ذ ') = تم العثور على R.
أصفار المشتق: ذ = 3x 2 – 36x+ 81 = 0 ، إذن x 2 – 12x+ 27 = 0 ، من أين x= 3 و x= 9 ، الفاصل الزمني لدينا يشمل فقط x= 9 (نقطة واحدة مشبوهة بالنسبة للأطراف المتطرفة).
نجد قيمة الدالة عند نقطة مشبوهة في الطرف الأقصى وعند حواف الفترة. لتسهيل العمليات الحسابية ، فإننا نمثل الوظيفة بالشكل: ذ = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- ذ(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31 ؛
- ذ(9) = 9 (9-9) 2 + 23 = 23 ؛
- ذ(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

لذلك ، من القيم التي تم الحصول عليها ، الأصغر هو 23. الجواب: 23.

ثانيًا. الخوارزمية لإيجاد أكبر أو أصغر قيمة للدالة:

ابحث عن نطاق الوظيفة.
أوجد مشتق دالة.
حدد النقاط المشكوك فيها بحد أقصى (تلك النقاط التي يختفي عندها مشتق الدالة ، والنقاط التي لا يوجد عندها مشتق محدود ذو وجهين).
حدد هذه النقاط ومجال الوظيفة على خط الأعداد وحدد العلامات المشتق(لا وظائف!) على الفترات الناتجة.
تحديد القيم المهام(ليس مشتقًا!) عند الحد الأدنى من النقاط (تلك النقاط التي تتغير فيها علامة المشتق من سالب إلى زائد) ، ستكون أصغر هذه القيم هي أصغر قيمة للدالة. إذا لم يكن هناك حد أدنى من النقاط ، فلن يكون للوظيفة قيمة دنيا.
تحديد القيم المهام(ليس مشتقًا!) عند الحد الأقصى للنقاط (تلك النقاط التي تتغير فيها علامة المشتق من موجب إلى سالب) ، ستكون أكبر هذه القيم هي أكبر قيمة للدالة. إذا لم تكن هناك نقاط قصوى ، فلن يكون للوظيفة قيمة قصوى.

مثال 2أوجد أكبر قيمة للدالة.

الخيار 1. في

1. رسم بياني للدالة ص =F(x) هو مبين في الشكل.

حدد أكبر قيمة لهذه الوظيفة 1

في الجزء [ أ; ب]. أ 0 1 ب س

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif "width =" 242 "height =" 133 src = "> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. وظائف ص =F(x) مجموعة على الجزء [ أ; ب]. في

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقها

ص =F ´(x). استكشف للأمور المتطرفة 1 ب

وظيفة ص =F(x). يرجى الإشارة إلى الكمية في إجابتك. أ 0 1 x

الحد الأدنى من النقاط.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. أوجد أكبر قيمة للدالة ص \ u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. أوجد أصغر قيمة للدالة في الجزء .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif "width =" 17 "height =" 48 src = ">.

7. أوجد أصغر قيمة للدالة ص =|2x + 3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif "width =" 17 "height =" 47 "> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif "width =" 144 "height =" 33 src = "> له حد أدنى عند النقطة xo = 1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.في

9. حدد أكبر قيمة للدالة ص =F(x) ,

1 ×

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

ص =إل جي(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. أوجد أصغر قيمة للدالة ص = 2الخطيئة-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

اختبار 14 أكبر (أصغر) قيمة للدالة.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif "width =" 130 "height =" 115 src = "> 1. رسم بياني للوظيفة ص =F(x) هو مبين في الشكل.

حدد أصغر قيمة لهذه الوظيفة 1

في الجزء [ أ; ب]. أ ب

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. في يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة ص =F(x).

كم عدد النقاط القصوى التي تمتلكها الوظيفة؟

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. في أي نقطة هي وظيفة ص \ u003d 2x2 + 24x -25يأخذ على أصغر قيمة؟

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif "width =" 76 "height =" 48 "> على المقطع [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif "width =" 17 "height =" 47 src = "> ؛ 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif "width =" 135 "height =" 33 src = "> له حد أدنى عند النقطة xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.في

9. حدد أصغر قيمة للدالة ص =F(x) ,

الذي يظهر الرسم البياني في الشكل. 1 ×

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. أوجد أكبر قيمة للدالة ص =سجل11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. أوجد أكبر قيمة للدالة ص = 2كوس+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

الإجابات :

صغيرتي وجميلة مهمة بسيطةمن فئة تلك التي تكون بمثابة شريان حياة للطالب العائم. في الطبيعة ، عالم النوم الهادئ في منتصف شهر يوليو ، لذلك حان الوقت للاستقرار بجهاز كمبيوتر محمول على الشاطئ. في وقت مبكر من الصباح ، بدأ شعاع من النظرية يلعب من أجل التركيز قريبًا على الممارسة ، والتي ، على الرغم من خفتها المعلنة ، تحتوي على شظايا زجاجية في الرمال. في هذا الصدد ، أوصي بدراسة بعض الأمثلة على هذه الصفحة بضمير حي. عن الحلول مهام عمليةبحاجة إلى أن تكون قادرة البحث عن المشتقاتوفهم مادة المقال فترات الرتابة والنهايات القصوى للدالة.

أولا ، باختصار عن الشيء الرئيسي. في درس عن استمرارية الوظيفةأعطيت تعريف الاستمرارية عند نقطة والاستمرارية على فترة. تتم صياغة السلوك النموذجي لوظيفة ما على مقطع بطريقة مماثلة. تكون الوظيفة متصلة على مقطع ما إذا:

1) هو مستمر على الفاصل الزمني ؛
2) مستمر عند نقطة على اليمينوفي هذه النقطة اليسار.

الفقرة الثانية تتناول ما يسمى ب استمرارية من جانب واحدوظائف في نقطة. هناك عدة طرق لتعريفه ، لكنني سألتزم بالسطر الذي بدأ في وقت سابق:

الوظيفة متصلة عند نقطة على اليمين، إذا تم تعريفه في نقطة معينة وتوافق حده الأيمن مع قيمة الوظيفة عند نقطة معينة: . إنه مستمر عند النقطة اليسار، إذا تم تحديده في نقطة معينة وكان حده الأيسر مساويًا للقيمة عند تلك النقطة:

تخيل أن النقاط الخضراء هي المسامير التي يعلق عليها الشريط المطاطي السحري:

خذ عقليا الخط الأحمر بين يديك. من الواضح أنه بغض النظر عن مدى امتداد الرسم البياني لأعلى ولأسفل (على طول المحور) ، ستظل الوظيفة قائمة محدود- تحوط أعلاه ، وتحوط أدناه ، ومنتجنا يخدش في حقل رعي. هكذا، يتم تقييد دالة متصلة على قطعة بها. في سياق التحليل الرياضي ، تم ذكر هذه الحقيقة التي تبدو بسيطة وإثباتها بصرامة نظرية ويرشتراس الأولى.... ينزعج الكثير من الناس من أن العبارات الأولية مثبتة بشكل مضجر في الرياضيات ، ولكن هذا له معنى مهم. لنفترض أن ساكنًا معينًا من العصور الوسطى قام بسحب الرسم البياني إلى السماء بما يتجاوز حدود الرؤية ، فقد تم إدراج هذا. قبل اختراع التلسكوب ، لم تكن الوظيفة المحدودة في الفضاء واضحة على الإطلاق! في الواقع ، كيف تعرف ما ينتظرنا وراء الأفق؟ بعد كل شيء ، بمجرد اعتبار الأرض مسطحة ، لذلك اليوم حتى النقل الآني العادي يتطلب دليلًا =)

بالنسبة الى الثانية ويرستراس نظرية, مستمر على الجزءوظيفة تصل لها الحافة العلوية بالضبطكذالك هو الحافة السفلية بالضبط .

الرقم يسمى أيضا القيمة القصوى للدالة في المقطعويشار إليه بالرقم - الحد الأدنى لقيمة الوظيفة في الفترة الزمنيةملحوظ.

في حالتنا هذه:

ملحوظة : من الناحية النظرية ، فإن السجلات شائعة .

بشكل تقريبي ، تقع القيمة الأكبر في المكان الأكثر نقطة عاليةالرسومات ، والأصغر - أين أدنى نقطة.

الأهمية!كما سبق أن أشرنا في المقال على القيم القصوى للوظيفة, أكبر قيمة للدالةو أصغر قيمة للدالة – ليس نفس الشيء، ماذا او ما وظيفة كحد أقصىو وظيفة الحد الأدنى. إذن ، في هذا المثال ، الرقم هو الحد الأدنى للدالة ، ولكن ليس الحد الأدنى للقيمة.

بالمناسبة ، ماذا يحدث خارج المقطع؟ نعم ، حتى الطوفان ، في سياق المشكلة قيد النظر ، هذا لا يهمنا على الإطلاق. تتضمن المهمة إيجاد رقمين فقط وهذا كل شيء!

علاوة على ذلك ، فإن الحل تحليلي بحت ، لذلك ، لا حاجة للرسم!

الخوارزمية تقع على السطح وتقترح نفسها من الشكل أعلاه:

1) ابحث عن قيم الدالة في نقاط حرجة, التي تنتمي إلى هذه الشريحة.

قبض على قطعة أخرى من الأشياء الجيدة: ليست هناك حاجة للتحقق من حالة كافية لأقصى حد ، نظرًا لوجود حد أدنى أو أقصى ، كما هو موضح للتو ليست مضمونة بعدما هي القيمة الدنيا أو القصوى. تصل وظيفة العرض إلى الحد الأقصى لها ، ووفقًا لإرادة القدر ، يكون نفس الرقم هو أكبر قيمة للدالة في الفترة الزمنية. لكن ، بالطبع ، مثل هذه المصادفة لا تحدث دائمًا.

لذلك ، في الخطوة الأولى ، يكون من الأسرع والأسهل حساب قيم الوظيفة في النقاط الحرجة التي تنتمي إلى المقطع ، دون القلق بشأن ما إذا كانت تحتوي على قيمة قصوى أم لا.

2) نحسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع.

3) من بين قيم الوظيفة الموجودة في الفقرتين الأولى والثانية ، نختار الأصغر والأكثر رقم ضخماكتب الجواب.

نجلس على شاطئ البحر الأزرق ونضرب الكعبين في المياه الضحلة:

مثال 1

العثور على أكبر و أصغر قيمةوظائف في الفترة

قرار:
1) احسب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة التي تنتمي إلى هذا المقطع:

دعونا نحسب قيمة الوظيفة في النقطة الحرجة الثانية:

2) احسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع:

3) تم الحصول على نتائج "جريئة" باستخدام الأس واللوغاريتمات ، مما يعقد بشكل كبير مقارنتها. لهذا السبب ، سنسلح أنفسنا بآلة حاسبة أو Excel ونحسب القيم التقريبية ، دون أن ننسى ما يلي:

الآن كل شيء واضح.

إجابه:

مثال كسري منطقي للحل المستقل:

مثال 6

أوجد الحد الأقصى والحد الأدنى لقيم دالة في مقطع

\ (\ blacktriangleright \) من أجل العثور على أكبر / أصغر قيمة لدالة في المقطع \ (\) ، من الضروري تصوير الرسم البياني للوظيفة بشكل تخطيطي في هذا المقطع.
في المسائل من هذا الموضوع الفرعي ، يمكن القيام بذلك باستخدام المشتق: أوجد فترات الزيادة (\ (f "> 0 \)) والنقصان (\ (f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\ (\ blacktriangleright \) لا تنس أن الوظيفة يمكن أن تأخذ القيمة القصوى / الأصغر ليس فقط في النقاط الداخلية للمقطع \ (\) ، ولكن أيضًا في نهاياتها.

\ (\ blacktriangleright \) أكبر / أصغر قيمة للدالة هي قيمة الإحداثي \ (y = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) يتم البحث عن مشتق دالة معقدة \ (f (t (x)) \) وفقًا للقاعدة: \ [(\ كبير (f "(x) = f" (t) \ cdot t "(x))) \]
\ [\ start (array) (| r | c | c |) \ hline & \ text (Function) f (x) & \ text (مشتق) f "(x) \\ \ hline \ textbf (1) & c & 0 \\ && \\ \ textbf (2) & x ^ a & a \ cdot x ^ (a-1) \\ && \\ \ textbf (3) & \ ln x & \ dfrac1x \\ && \\ \ textbf (4) & \ log_ax & \ dfrac1 (x \ cdot \ ln a) \\ && \\ \ textbf (5) & e ^ x & e ^ x \\ && \\ \ textbf (6) & a ^ x & a ^ x \ cdot \ ln a \\ && \\ \ textbf (7) & \ sin x & \ cos x \\ && \\ \ textbf (8) & \ cos x & - \ sin x \\ \ hline \ end (array) \ quad \ quad \ quad \ quad \ start (array) (| r | c | c |) \ hline & \ text (Function) f (x) & \ text (Derivative) f "(x) \\ \ hline \ textbf (9) & \ mathrm (tg) \، x & \ dfrac1 (\ cos ^ 2 x) \\ && \\ \ textbf (10) & \ mathrm (ctg) \، x & - \ ، \ dfrac1 (\ sin ^ 2 x) \\ && \\ \ textbf (11) & \ arcsin x & \ dfrac1 (\ sqrt (1-x ^ 2)) \\ && \\ \ textbf (12) & \ arccos x & - \، \ dfrac1 (\ sqrt (1-x ^ 2)) \\ && \\ \ textbf (13) & \ mathrm (arctg) \، x & \ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\ && \\ \ textbf (14) & \ mathrm (arcctg) \، x & - \، \ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\ \ hline \ end (array) \]

المهمة 1 # 2357

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أصغر قيمة للدالة \ (y = e ^ (x ^ 2-4) \) في الفاصل \ ([- 10؛ -2] \).

ODZ: \ (x \) - تعسفي.

1) \

\ لذا \ (y "= 0 \) عندما \ (x = 0 \).

3) لنجد فواصل زمنية للعلامة الثابتة \ (y "\) على المقطع المدروس \ ([- 10 ؛ -2] \):

4) رسم تخطيطي للرسم البياني على المقطع \ ([- 10 ؛ -2] \):

وبالتالي ، تصل الدالة إلى أصغر قيمة لها في \ ([- 10 ؛ -2] \) في \ (س = -2 \).

\ المجموع: \ (1 \) هو أصغر قيمة للدالة \ (ص \) في \ ([- 10 ؛ -2] \).

الجواب: 1

المهمة 2 # 2355

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

\ (y = \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (x ^ 2 + 1) \)على المقطع \ ([- 1 ؛ 1] \).

ODZ: \ (x \) - تعسفي.

1) \

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [\ sqrt (2) \ cdot \ dfrac (x) (\ sqrt (x ^ 2 + 1)) = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad x = 0 \،. \]المشتق موجود لأي \ (س \).

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

3) لنجد فواصل زمنية للعلامة الثابتة \ (y "\) على المقطع المدروس \ ([- 1 ؛ 1] \):

4) رسم تخطيطي للرسم البياني على المقطع \ ([- 1 ؛ 1] \):

وبالتالي ، تصل الوظيفة إلى قيمتها القصوى في \ ([- 1 ؛ 1] \) في \ (س = -1 \) أو في \ (س = 1 \). دعونا نقارن قيم الدالة في هذه النقاط.

\ الإجمالي: \ (2 \) هو أكبر قيمة للدالة \ (ص \) في \ ([- 1 ؛ 1] \).

الجواب: 2

المهمة 3 # 2356

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أصغر قيمة للدالة \ (y = \ cos 2x \) على الفاصل \ (\).

ODZ: \ (x \) - تعسفي.

1) \

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [- 2 \ cdot \ sin 2x = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad 2x = \ pi n، n \ in \ mathbb (Z) \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad x = \ dfrac (\ pi n) (2)، n \ in \ mathbb (Z) \،. \]المشتق موجود لأي \ (س \).

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

(يوجد هنا عدد لا حصر له من الفواصل الزمنية التي توجد فيها علامات البديل المشتق).

3) لنجد فترات من الثبات \ (y "\) على المقطع المدروس \ (\):

4) رسم تخطيطي للرسم البياني على المقطع \ (\):

وبالتالي ، تصل الوظيفة إلى أصغر قيمة لها في \ (\) في \ (x = \ dfrac (\ pi) (2) \).

\ المجموع: \ (- 1 \) هو أصغر قيمة للدالة \ (ص \) في \ (\).

الجواب: -1

المهمة 4 # 915

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أكبر قيمة لدالة

\ (y = - \ log_ (17) (2x ^ 2 - 2 \ sqrt (2) x + 2) \).

ODZ: \ (2x ^ 2 - 2 \ sqrt (2) x + 2> 0 \). دعنا نقرر بشأن ODZ:

1) دلالة \ (2x ^ 2-2 \ sqrt (2) x + 2 = t (x) \) ، ثم \ (y (t) = - \ log_ (17) t \).

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [- \ dfrac (1) (\ ln 17) \ cdot \ dfrac (4x-2 \ sqrt (2)) (2x ^ 2-2 \ sqrt (2) x + 2) = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad 4x-2 \ sqrt (2) = 0 \]- في ODZ ، حيث نجد الجذر \ (x = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \). مشتق الدالة \ (y \) غير موجود لـ \ (2x ^ 2-2 \ sqrt (2) x + 2 = 0 \) ، لكن معادلة معينةمميز سلبي ، وبالتالي ليس له حلول. من أجل العثور على أكبر / أصغر قيمة للدالة ، عليك أن تفهم كيف يبدو الرسم البياني الخاص بها تخطيطيًا.

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

3) رسم تخطيطي:

وبالتالي ، تصل الوظيفة إلى قيمتها القصوى عند \ (x = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \):

\ (y \ left (\ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \ right) = - \ log_ (17) 1 = 0 \),

الإجمالي: \ (0 \) هو أكبر قيمة للدالة \ (ص \).

الجواب: 0

المهمة 5 # 2344

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أصغر قيمة للدالة

\ (ص = \ سجل_ (3) (س ^ 2 + 8 س + 19) \).

ODZ: \ (x ^ 2 + 8x + 19> 0 \). دعنا نقرر بشأن ODZ:

1) دلالة \ (x ^ 2 + 8x + 19 = t (x) \) ، ثم \ (y (t) = \ log_ (3) t \).

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [\ dfrac (1) (\ ln 3) \ cdot \ dfrac (2x + 8) (x ^ 2 + 8x + 19) = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad 2x + 8 = 0 \]- في ODZ ، حيث نجد الجذر \ (x \ u003d -4 \). مشتق الدالة \ (y \) غير موجود لـ \ (x ^ 2 + 8x + 19 = 0 \) ، لكن هذه المعادلة لها مميز سالب ، لذلك ليس لها حلول. من أجل العثور على أكبر / أصغر قيمة للدالة ، عليك أن تفهم كيف يبدو الرسم البياني الخاص بها تخطيطيًا.

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

3) رسم تخطيطي:

وبالتالي ، فإن \ (x = -4 \) هي النقطة الدنيا للدالة \ (y \) ويتم الوصول إلى أصغر قيمة فيها:

\ (y (-4) = \ log_ (3) 3 = 1 \).

المجموع: \ (1 \) هو أصغر قيمة للدالة \ (ص \).

الجواب: 1

المهمة 6 # 917

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

أوجد أكبر قيمة لدالة

\ (y = -e ^ ((x ^ 2-12x + 36 + 2 \ ln 2)) \).

غالبًا ما يكون من الضروري حل المشكلات التي يكون من الضروري فيها العثور على أكبر أو أصغر قيمة من مجموعة تلك القيم التي تأخذها الوظيفة في مقطع ما.

لننتقل ، على سبيل المثال ، إلى الرسم البياني للوظيفة f (x) \ u003d 1 + 2x 2 - x 4 في المقطع [-1 ؛ 2]. للعمل مع دالة ، علينا رسم التمثيل البياني الخاص بها.

يمكن أن نرى من الرسم البياني المركب أن الوظيفة تأخذ أكبر قيمة في هذا المقطع ، تساوي 2 ، عند النقطتين: x = -1 و x = 1 ؛ أصغر قيمة تساوي -7 ، تأخذها الدالة عند x = 2.

النقطة x \ u003d 0 هي النقطة الدنيا للوظيفة f (x) \ u003d 1 + 2x 2 - x 4. هذا يعني أن هناك منطقة مجاورة للنقطة x \ u003d 0 ، على سبيل المثال ، الفاصل الزمني (-1/2 ؛ 1/2) - بحيث تأخذ الوظيفة في هذا الحي أصغر قيمة عند x \ u003d 0. ومع ذلك ، على فاصل زمني أكبر ، على سبيل المثال ، في المقطع [-one ؛ 2] ، تأخذ الوظيفة أصغر قيمة في نهاية المقطع ، وليس عند أدنى نقطة.

وبالتالي ، من أجل العثور على أصغر قيمة لدالة في مقطع معين ، من الضروري مقارنة قيمها في نهايات المقطع وعند الحد الأدنى من النقاط.

بشكل عام ، افترض أن الدالة f (x) متصلة على مقطع وأن الوظيفة لها مشتق في كل نقطة داخلية من هذا المقطع.

من أجل العثور على أكبر وأصغر قيم دالة في مقطع ما ، من الضروري:

1) ابحث عن قيم الوظيفة في نهايات المقطع ، أي الأرقام f (a) و f (b) ؛

2) ابحث عن قيم الوظيفة عند النقاط الثابتة التي تنتمي إلى الفاصل الزمني (أ ؛ ب) ؛

3) اختر الأكبر والأصغر من القيم الموجودة.

دعونا نطبق المعرفة المكتسبة في الممارسة وننظر في المشكلة.

أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة f (x) \ u003d x 3 + x / 3 في المقطع.

قرار.

1) و (1/2) = 6 1/8 ، و (2) = 9 ½.

2) f´ (x) \ u003d 3x 2-3 / x 2 \ u003d (3x 4-3) / x 2، 3x 4 - 3 \ u003d 0 ؛ س 1 = 1 ، س 2 = -1.

الفاصل الزمني (1/2 ؛ 2) يحتوي على نقطة ثابتة واحدة × 1 = 1 ، و (1) = 4.

3) من بين الأرقام 6 1/8 و 9 و 4 ، الأكبر هو 9 ½ ، والأصغر هو 4.

إجابه. أكبر قيمة للميزة هي 9 ½ ، وأصغر قيمة للميزة هي 4.

في كثير من الأحيان ، عند حل المشكلات ، من الضروري العثور على أكبر وأصغر قيمة للدالة ليس في مقطع ، ولكن في فترة.

في المشكلات العملية ، تحتوي الوظيفة f (x) عادةً على نقطة ثابتة واحدة فقط في فترة زمنية معينة: إما نقطة قصوى أو نقطة دنيا. في هذه الحالات ، تأخذ الدالة f (x) أكبر قيمة في فترة زمنية معينة عند النقطة القصوى ، وعند الحد الأدنى ، تأخذ القيمة الأصغر في هذه الفترة الزمنية. دعنا ننتقل إلى المشكلة.

العدد 36 مكتوب على هيئة حاصل ضرب عددين موجبين ، مجموعهما هو الأصغر.

قرار.

1) دع العامل الأول هو x ، ثم العامل الثاني هو 36 / x.

2) مجموع هذه الأرقام هو x + 36 / x.

3) وفقًا لظروف المشكلة ، x هو رقم موجب. لذلك ، يتم تقليل المشكلة إلى إيجاد قيمة x - بحيث تأخذ الدالة f (x) \ u003d x + 36 / x أصغر قيمة في الفترة الزمنية x> 0.

4) أوجد المشتق: f´ (x) \ u003d 1-36 / x 2 \ u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) النقاط الثابتة × 1 = 6 ، × 2 = -6. في الفترة الزمنية x> 0 ، توجد نقطة ثابتة واحدة فقط x = 6. عند المرور عبر النقطة x = 6 ، فإن التغييرات المشتقة تشير "-" للإشارة "+" ، وبالتالي فإن x = 6 هي الحد الأدنى للنقطة. وبالتالي ، فإن الدالة f (x) = x + 36 / x تأخذ أصغر قيمة في الفترة الزمنية x> 0 عند النقطة x = 6 (هذه هي القيمة f (6) = 12).

إجابه. 36 = 6 6.