بمجرد أن شاهدت محادثة بين اثنين من المتقدمين:

- متى تحتاج إلى إضافة 2πn ومتى - n؟ لا استطيع التذكر!

- ولدي نفس المشكلة.

أردت أن أقول لهم: "ليس من الضروري أن تحفظ ، بل أن تفهم!"

هذه المقالة موجهة في المقام الأول إلى طلاب المدارس الثانوية ، وآمل أن تساعدهم في "الفهم" لحل أبسط المعادلات المثلثية:

دائرة الأرقام

إلى جانب مفهوم خط الأعداد ، هناك أيضًا المفهوم دائرة العدد. كما نعلم، في نظام إحداثيات مستطيل ، تسمى الدائرة التي يقع مركزها عند النقطة (0 ؛ 0) ونصف قطرها 1 دائرة الوحدة.تخيل خط أرقام بخيط رفيع ولفه حول هذه الدائرة: النقطة المرجعية (النقطة 0) ، اربطها بالنقطة "اليمنى" دائرة الوحدة، نلتف نصف المحور الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة ، والسالب - في الاتجاه (الشكل 1). تسمى دائرة الوحدة هذه بدائرة الأرقام.

خصائص دائرة الأرقام

• كل رقم حقيقي يقع في نقطة واحدة على دائرة الأرقام.
• يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية في كل نقطة من دائرة الأرقام. بما أن طول دائرة الوحدة هو 2π ، فإن الفرق بين أي عددين عند نقطة واحدة على الدائرة يساوي أحد العددين ± 2π ؛ ± 4π ؛ ± 6π ؛ ...

لنستنتج: بمعرفة أحد أرقام النقطة أ ، يمكننا إيجاد جميع أعداد النقطة أ.

لنرسم قطر التيار المتردد (الشكل 2). بما أن x_0 هو أحد أرقام النقطة A ، فإن الأرقام x_0 ± π ؛ x_0 ± 3π ؛ x_0 ± 5π ؛ ... وستكون فقط أرقام النقطة ج. لنختار أحد هذه الأرقام ، لنقل x_0 + π ، ونستخدمه لكتابة جميع أرقام النقطة C: x_C = x_0 + π + 2πk، k∈ Z. لاحظ أنه يمكن دمج الأرقام الموجودة في النقطتين A و C في صيغة واحدة: x_ (A ؛ C) = x_0 + πk ، k∈Z (لـ k = 0 ؛ ± 2 ؛ ± 4 ؛ ... نحصل على أرقام النقطة A ، وبالنسبة لـ k = ± 1 ، ± 3 ، ± 5 ، ... هي أرقام النقطة C).

لنستنتج: بمعرفة أحد الأرقام الموجودة على إحدى النقطتين A أو C للقطر AC ، يمكننا إيجاد جميع الأرقام الموجودة في هاتين النقطتين.

• يوجد رقمان متعاكسان على نقاط الدائرة المتماثلة حول محور الإحداثية.

لنرسم وترًا رأسيًا AB (الشكل 2). نظرًا لأن النقطتين A و B متماثلتان حول محور Ox ، فإن الرقم -x_0 يقع عند النقطة B ، وبالتالي ، يتم إعطاء جميع أرقام النقطة B بواسطة الصيغة: x_B = -x_0 + 2πk، k∈Z. نكتب الأرقام عند النقطتين A و B بصيغة واحدة: x_ (A؛ B) = ± x_0 + 2πk، k∈Z. لنستنتج: بمعرفة أحد الأرقام عند إحدى النقطتين A أو B من الوتر الرأسي AB ، يمكننا إيجاد جميع الأرقام عند هذه النقاط. ضع في اعتبارك الوتر الأفقي AD وابحث عن أرقام النقطة D (الشكل 2). نظرًا لأن BD هو القطر وأن الرقم -x_0 ينتمي إلى النقطة B ، فإن -x_0 + هو أحد أرقام النقطة D ، وبالتالي ، يتم إعطاء جميع أرقام هذه النقطة بواسطة الصيغة x_D = -x_0 + + 2πk ، كوز. يمكن كتابة الأرقام في النقطتين A و D باستخدام صيغة واحدة: x_ (A؛ D) = (- 1) ^ k ∙ x_0 + πk، k∈Z. (لـ k = 0 ؛ ± 2 ؛ ± 4 ؛ ... نحصل على أرقام النقطة A ، وللحصول على k = ± 1 ؛ ± 3 ؛ ± 5 ؛ ... - أرقام النقطة D).

لنستنتج: بمعرفة أحد الأرقام في إحدى النقطتين A أو D من الوتر الأفقي AD ، يمكننا إيجاد جميع الأرقام عند هذه النقاط.

ستة عشر نقطة رئيسية لدائرة الأعداد

في الممارسة العملية ، حل معظم أبسط المعادلات المثلثيةالمرتبطة بستة عشر نقطة من الدائرة (الشكل 3). ما هذه النقاط؟ تقسم النقاط الحمراء والزرقاء والخضراء الدائرة إلى 12 جزءًا متساويًا. نظرًا لأن طول القوس هو π ، فإن طول القوس A1A2 هو π / 2 ، وطول القوس A1B1 هو / 6 ، وطول القوس A1C1 هو π / 3.

الآن يمكننا تحديد رقم واحد على النقاط:

π / 3 في C1 و

رؤوس المربع البرتقالي هي نقاط المنتصف لأقواس كل ربع ، وبالتالي فإن طول القوس A1D1 يساوي π / 4 ، وبالتالي فإن π / 4 هو أحد أرقام النقطة D1. باستخدام خصائص دائرة الأرقام ، يمكننا كتابة جميع الأرقام في جميع النقاط المحددة في دائرتنا باستخدام الصيغ. يوضح الشكل أيضًا إحداثيات هذه النقاط (نحذف وصف اكتسابها).

بعد أن تعلمنا ما سبق ، لدينا الآن إعداد كافٍ لحل الحالات الخاصة (لتسع قيم من الرقم أ)أبسط المعادلات.

حل المعادلات

1)sinx = 1⁄ (2).

- ما المطلوب منا؟

– أوجد كل هذه الأعداد x التي يكون جيبها 1/2.

أذكر تعريف الجيب: sinx - إحداثي نقطة دائرة الأرقام التي يقع عليها الرقم x. لدينا في الدائرة نقطتان إحداثيهما يساوي 1/2. هذه هي نهايات الوتر الأفقي B1B2. هذا يعني أن المطلب "حل المعادلة sinx = 1⁄2" يعادل المتطلب "العثور على جميع الأرقام عند النقطة B1 وجميع الأرقام عند النقطة B2".

2)sinx = -3⁄2 .

علينا إيجاد جميع الأعداد عند النقطتين C4 و C3.

3) sinx = 1. لدينا في الدائرة نقطة واحدة فقط ذات التنسيق 1 - النقطة A2 ، وبالتالي ، نحتاج إلى إيجاد جميع أرقام هذه النقطة فقط.

الإجابة: x = π / 2 + 2πk، k∈Z.

4)sinx = -1 .

فقط النقطة A_4 لها تنسيق -1. جميع أرقام هذه النقطة ستكون خيول المعادلة.

الإجابة: x =-/ 2 + 2πk، k∈Z.

5) sinx = 0 .

في الدائرة لدينا نقطتان مع التنسيق 0 - النقطتان A1 و A3. يمكنك تحديد الأرقام في كل نقطة على حدة ، ولكن نظرًا لأن هذه النقاط متناقضة تمامًا ، فمن الأفضل دمجها في صيغة واحدة: x = πk، k∈Z.

الجواب: x = πk، k∈Z .

6)cosx = 2⁄2 .

أذكر تعريف جيب التمام: cosx - حدود نقطة الدائرة العددية التي يقع عليها الرقم x.في الدائرة ، لدينا نقطتان مع الإحداثيات √2⁄2 - طرفي الوتر الأفقي D1D4. علينا إيجاد كل الأعداد في هذه النقاط. نكتبها عن طريق دمجها في صيغة واحدة.

الإجابة: x = ± π / 4 + 2πk، k∈Z.

7) cosx = -1⁄2 .

علينا إيجاد الأعداد عند النقطتين C_2 و C_3.

الإجابة: x = ± 2π / 3 + 2πk، k∈Z .

10) كوسكس = 0 .

فقط النقطتان A2 و A4 تحتويان على حدودي 0 ، مما يعني أن جميع الأرقام في كل نقطة من هذه النقاط ستكون حلولًا للمعادلة.
.

حلول معادلة النظام هي الأرقام الموجودة عند النقطتين B_3 و B_4<0 удовлетворяют только числа b_3
الإجابة: x = -5π / 6 + 2πk، k∈Z.

لاحظ أنه بالنسبة لأي قيمة مقبولة لـ x ، يكون العامل الثاني موجبًا ، وبالتالي ، فإن المعادلة تعادل النظام

حلول معادلة النظام هي عدد النقطتين D_2 و D_3. أرقام النقطة D_2 لا تحقق المتباينة sinx≤0.5 ، لكن أرقام النقطة D_3 تفعل ذلك.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب ارتباط بالمصدر.

الطرق الرئيسية لحل المعادلات المثلثية هي: اختزال المعادلات إلى أبسطها (باستخدام الصيغ المثلثية) ، وإدخال متغيرات جديدة ، والعوامل. دعونا ننظر في تطبيقهم مع الأمثلة. انتبه إلى تسجيل حل المعادلات المثلثية.

الشرط الضروري لحل المعادلات المثلثية بنجاح هو معرفة الصيغ المثلثية (الموضوع 13 من العمل 6).

أمثلة.

1. معادلات الاختزال إلى أبسط.

1) حل المعادلة

قرار:

إجابه:

2) أوجد جذور المعادلة

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx ينتمي إلى المقطع.

قرار:

إجابه:

2. معادلات الاختزال إلى المعادلات التربيعية.

1) حل المعادلة 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

قرار:باستخدام الصيغة sin 2 x \ u003d 1 - cos 2 x ، نحصل عليها

إجابه:

2) حل المعادلة cos 2x = 1 + 4 cosx.

قرار:باستخدام الصيغة cos 2x = 2 cos 2 x - 1 ، نحصل على

إجابه:

3) حل المعادلة tgx - 2ctgx + 1 = 0

قرار:

إجابه:

3. معادلات متجانسة

1) حل المعادلة 2sinx - 3cosx = 0

الحل: لنفترض أن cosx = 0 ، ثم 2sinx = 0 و sinx = 0 - وهو تناقض مع حقيقة أن sin 2 x + cos 2 x = 1. إذن cosx ≠ 0 ويمكنك قسمة المعادلة على cosx. يحصل

إجابه:

2) حل المعادلة 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

قرار:

باستخدام الصيغ 1 = sin 2 x + cos 2 x و sin 2x = 2 sinxcosx ، نحصل على

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6xinxcosx
sin2x - 6inxcosx + 8cos2x = 0

لنفترض أن cosx = 0 ، ثم sin 2 x = 0 و sinx = 0 - وهو تناقض مع حقيقة أن sin 2 x + cos 2 x = 1.
إذن ، cosx ≠ 0 ويمكننا قسمة المعادلة على cos 2 x . يحصل

tg 2x - 6 tgx + 8 = 0
دلالة tgx = y
ص 2-6 ص + 8 ​​= 0
ص 1 = 4 ؛ y2 = 2
أ) tanx = 4 ، x = arctg4 + 2 ك, ك
ب) tgx = 2 ، x = arctg2 + 2 ك, ك .

إجابه: arctg4 + 2 ك، arctan2 + 2 ك ، ك

4. معادلات النموذج أ sinx + ب cosx = مع مع≠ 0.

1) حل المعادلة.

قرار:

إجابه:

5. حل المعادلات عن طريق التحليل إلى عوامل.

1) حل المعادلة sin2x - sinx = 0.

جذر المعادلة F (X) = φ ( X) يمكن أن يكون بمثابة الرقم 0 فقط. دعنا نتحقق من هذا:

cos 0 = 0 + 1 - المساواة صحيحة.

الرقم 0 هو الجذر الوحيد لهذه المعادلة.

إجابه: 0.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك !!!

تسمى المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الدالة المثلثية (`sin x ، cos x ، tg x` أو` ctg x`) بالمعادلة المثلثية ، وسننظر في صيغها بشكل أكبر.

أبسط المعادلات هي `sin x = a ، cos x = a ، tg x = a ، ctg x = a` ، حيث` x` هي الزاوية المطلوب إيجادها ، و` a` هو أي رقم. دعنا نكتب صيغ الجذر لكل منهم.

1. المعادلة `sin x = a`.

بالنسبة لـ `| a |> 1` ليس لها حلول.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n، n \ in Z`

2. المعادلة `cos x = a`

بالنسبة لـ `| a |> 1` - كما في حالة الجيب ، لا توجد حلول بين الأعداد الحقيقية.

باستخدام `| a | \ leq 1` has مجموعة لانهائيةحلول.

صيغة الجذر: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n، n \ in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x = a`

لديه عدد لا حصر له من الحلول لأية قيم لـ `أ`.

صيغة الجذر: `x = arctg a + \ pi n، n \ in Z`

4. المعادلة `ctg x = a`

كما أن لديها عددًا لا نهائيًا من الحلول لأي قيم لـ "أ".

صيغة الجذر: `x = arcctg a + \ pi n، n \ in Z`

صيغ لجذور المعادلات المثلثية في الجدول

للجيوب الأنفية:
لجيب التمام:
بالنسبة إلى الظل والظل:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

يتكون حل أي معادلة مثلثية من مرحلتين:

• استخدامها لتحويلها إلى أبسط ؛
• حل المعادلة الأبسط الناتجة باستخدام معادلات الجذر والجداول المكتوبة أعلاه.

دعنا نفكر في الطرق الرئيسية للحل باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

في هذه الطريقة ، يتم استبدال المتغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

"2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0` ،

استبدل: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y` ، ثم` 2y ^ 2-3y + 1 = 0` ،

نجد الجذور: `y_1 = 1 ، y_2 = 1 / 2` ، ومنها حالتان:

1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`،` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`، `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`،` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`، `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ فارك \ بي 6 + 2 \ بي ن`.

الإجابة: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x + cos x = 1`.

قرار. انقل إلى اليسار كل حدود المساواة: `sin x + cos x-1 = 0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وعوامل الجانب الأيسر:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0` ،

1. `sin x / 2 = 0` ،` x / 2 = \ pi n` ، `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0` ،` tg x / 2 = 1` ، `x / 2 = arctg 1+ \ pi n` ،` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الإجابة: `x_1 = 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الاختزال إلى معادلة متجانسة

أولاً ، عليك إحضار هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x + b cos x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم قسّم كلا الجزأين على `cos x \ ne 0` للحالة الأولى ، وعلى` cos ^ 2 x \ ne 0` للحالة الثانية. نحصل على معادلات لـ `tg x`:` a tg x + b = 0` و `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` ، والتي يجب حلها باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

قرار. لنكتب الجانب الأيمن كـ `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` sin ^ 2 x + cos ^ 2 x` ،

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية ، تقسم جانبيها الأيمن والأيسر على `cos ^ 2 x \ ne 0` ، نحصل على:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. لنقدم البديل `tg x = t` كنتيجة لذلك` t ^ 2 + t - 2 = 0`. جذور هذه المعادلة هي "t_1 = -2" و "t_2 = 1". ثم:

1. `tg x = -2` ،` x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `tg x = 1` ،` x = arctg 1+ \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

إجابه. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`،` n \ in Z`، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`،` n \ in Z`.

اذهب إلى Half Corner

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

قرار. دعنا نطبق الصيغ زاوية مزدوجة، مما ينتج عنه: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =" 10 sin ^ 2 x / 2 + 10 cos ^ 2x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2-11 tg x / 2 + 6 = 0`

تطبيق ما ورد أعلاه الطريقة الجبرية، نحن نحصل:

1. `tg x / 2 = 2` ،` x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z` ،
2. `tg x / 2 = 3 / 4` ،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابه. `x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n، n \ in Z`،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n`، `n \ in Z`.

مقدمة من زاوية مساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x = c` ، حيث a و b و c معاملات و x متغير ، نقسم كلا الجزأين على` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

"\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +" \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = "\ frac c (sqrt (a ^ 2) + ب ^ 2)) `.

المعاملات على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام ، أي أن مجموع مربعيها هو 1 ومعاملها هو 1 على الأكثر. دعنا نشير إليها على النحو التالي: `\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^) 2)) = cos \ varphi`، `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`،` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C` ، من ثم:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

قرار. بقسمة طرفي المعادلة على `` الجذر التربيعي (3 ^ 2 + 4 ^ 2) '' نحصل على:

"\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +" \ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = "\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

تشير إلى `3/5 = cos \ varphi` ،` 4/5 = sin \ varphi`. نظرًا لأن `sin \ varphi> 0` ،` cos \ varphi> 0` ، فإننا نأخذ `\ varphi = arcsin 4 / 5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب مساواتنا بالشكل:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب ، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

"الخطيئة (س + \ فارفي) = 2/5" ،

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n` ،` n \ in Z` ،

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابه. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

المعادلات المثلثية الكسرية المنطقية

هذه هي مساوات مع كسور ، في البسط والمقام الذي توجد به دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

قرار. اضرب واقسم الطرف الأيمن من المعادلة على `(1 + cos x)`. نتيجة لذلك ، نحصل على:

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) "

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) `

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) "

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يكون صفراً ، نحصل على `1 + cos x \ ne 0` ،` cos x \ ne -1` ، `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

مساواة بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin ^ 2 x = 0` ،` sin x (1-sin x) = 0`. ثم `sin x = 0` أو` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0` ،` x = \ pi n` ، `n \ in Z`
2. "1-sin x = 0` ،` sin x = -1` ، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

بالنظر إلى أن `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z` ، فإن الحلول هي` x = 2 \ pi n ، n \ in Z` و `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` ، `n \ في Z`.

إجابه. `x = 2 \ pi n`،` n \ in Z`، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`،` n \ in Z`.

يتم استخدام علم المثلثات والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر ، وهناك دائمًا مهام للاختبار ، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون في متناول يديك!

ومع ذلك ، لا تحتاج حتى إلى حفظها ، فالشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على الاستنتاج. الأمر ليس صعبًا كما يبدو. انظر بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد الالكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها بواسطتنا معلومات شخصيةيتيح لنا الاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على أ" جميع الموضوعات الضرورية لنجاحك اجتياز الامتحانفي الرياضيات لـ 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت تريد اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من اختبار الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. طرق سريعةحلول وأفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة 2.5 ساعة لكل منهما. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. نظرية، المواد المرجعيةوتحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.