تحديد درجة الجذر الحقيقي. جذر الدرجة ن: التعاريف الأساسية. جذر الدرجة n. تعريف

درس وعرض حول موضوع: "الجذر النوني لعدد حقيقي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الحادي عشر
مسائل جبرية مع المعلمات، الصفوف 9-11
"مهام تفاعلية حول البناء في الفضاء للصفين 10 و 11"

جذر الدرجة n. تكرار ما تم تغطيته.

يا رفاق، موضوع درس اليوم يسمى "الجذر النوني لعدد حقيقي".
درسنا الجذر التربيعي لعدد حقيقي في الصف الثامن. يرتبط الجذر التربيعي بوظيفة بالشكل $y=x^2$. يا رفاق، هل تتذكرون كيف حسبنا الجذور التربيعية، وما هي خصائصها؟ كرر هذا الموضوع بنفسك.
دعونا نلقي نظرة على دالة من النموذج $y=x^4$ ونرسمها.

الآن دعونا نحل المعادلة بيانيا: $x^4=16$.
لنرسم خطًا مستقيمًا $y=16$ على الرسم البياني للدالة ونرى عند النقاط التي يتقاطع فيها الرسمان البيانيان.
يوضح الرسم البياني للدالة بوضوح أن لدينا حلين. تتقاطع الدوال عند نقطتين بإحداثيات (-2;16) و (2;16). حدود النقاط لدينا هي حلول المعادلة: $x_1=-2$ و$x_2=2$. من السهل أيضًا العثور على جذور المعادلة $x^4=1$؛ ومن الواضح أن $x_1=-1$ و$x_2=1$.
ماذا تفعل إذا كانت هناك معادلة $x^4=7$.
دعونا نرسم وظائفنا:
يوضح التمثيل البياني بوضوح أن المعادلة لها جذرين أيضًا. وهي متناظرة حول المحور الإحداثي، أي أنها متقابلة. ليس من الممكن إيجاد حل دقيق من الرسم البياني للوظائف. لا يمكننا إلا أن نقول إن حلولنا هي معاملات أقل من 2 ولكنها أكبر من 1. ويمكننا أيضًا أن نقول إن جذورنا هي أعداد غير نسبية.
في مواجهة مثل هذه المشكلة، كان علماء الرياضيات بحاجة إلى وصفها. لقد قدموا تدوينًا جديدًا: $\sqrt()$، والذي أطلقوا عليه اسم الجذر الرابع. ثم سيتم كتابة جذور المعادلة $x^4=7$ بهذا الشكل: $x_1=-\sqrt(7)$ و$x_2=\sqrt(7)$. اقرأ كالجذر الرابع لسبعة.
تحدثنا عن معادلة بالصيغة $x^4=a$، حيث $a>0$ $(a=1,7,16)$. يمكننا النظر في المعادلات بالشكل: $x^n=a$، حيث $a>0$، n - أي عدد طبيعي.
يجب أن ننتبه إلى الدرجة عند x، سواء كانت الدرجة زوجية أو فردية - يتغير عدد الحلول. دعونا نفكر مثال محدد. دعونا نحل المعادلة $x^5=8$. لنرسم الدالة:
يوضح الرسم البياني للوظائف بوضوح أنه في حالتنا لدينا حل واحد فقط. يُشار إلى الحل عادةً بالرمز $\sqrt(8)$. حل معادلة من الشكل $x^5=a$ وتشغيلها على طول المحور الإحداثي بأكمله، ليس من الصعب أن نفهم أن هذه المعادلة سيكون لها دائمًا حل واحد. في هذه الحالة، قد تكون قيمة a أقل من الصفر.

جذر الدرجة n. تعريف

تعريف. يتم استدعاء الجذر n ($n=2,3,4...$) لعدد غير سالب a رقم غير سالب، عند رفعه للأس n، نحصل على الرقم a.

تتم الإشارة إلى هذا الرقم كـ $\sqrt[n](a)$. الرقم a يسمى العدد الجذري، n هو الأس الجذر.

تسمى جذور الدرجة الثانية والثالثة عادةً بالجذور التربيعية والمكعبية على التوالي. درسناهم في الصف الثامن والتاسع.
إذا كان $а≥0$، $n=2,3,4,5...$، إذن:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
تسمى عملية العثور على جذر الرقم غير السالب "استخراج الجذر".
الأس واستخراج الجذر هما نفس التبعية:

يا رفاق، يرجى ملاحظة أن الجدول يحتوي على أرقام موجبة فقط. واشترطنا في التعريف أن الجذر لا يؤخذ إلا من عدد غير سالب أ. سنوضح بعد ذلك متى يكون من الممكن استخراج جذر الرقم السالب أ.

جذر الدرجة n. أمثلة على الحلول

احسب:
أ) $\sqrt(64)$.
الحل: $\sqrt(64)=8$، بما أن $8>0$ و$8^2=64$.

ب) $\sqrt(0.064)$.
الحل: $\sqrt(0.064)=0.4$، منذ $0.4>0$ و $0.4^3=0.064$.

ب) $\sqrt(0)$.
الحل: $\sqrt(0)=0$.

د) $\sqrt(34)$.
الحل: في هذا المثال، لا يمكننا معرفة القيمة الدقيقة، العدد الذي لدينا غير نسبي. لكن يمكننا القول إنها أكبر من 2 وأقل من 3، حيث أن 2 أس خمسة يساوي 32، و3 أس خمسة يساوي 243. ويقع 34 بين هذه الأرقام. يمكننا إيجاد قيمة تقريبية باستخدام الآلة الحاسبة التي يمكنها حساب جذور $\sqrt(34)≈2.02$ بدقة تصل إلى جزء من الألف.
في تعريفنا، اتفقنا على حساب الجذور النونية من الأعداد الموجبة فقط. في بداية الدرس رأينا مثالاً على أنه من الممكن استخلاص الجذور النونية من الأعداد السالبة. لقد نظرنا إلى الأس الفردي للدالة والآن دعونا نقدم بعض التوضيحات.

تعريف. جذر القوة الفردية n (n=3,5,7,9...) لعدد سالب a هو رقم سالب بحيث عندما يتم رفعه إلى القوة n، تكون النتيجة a.

ومن المعتاد استخدام نفس التسميات.
إذا $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
الجذر الزوجي يكون منطقيًا فقط بالنسبة للعدد الجذري الموجب، أما الجذر الفردي فهو منطقي بالنسبة لأي رقم جذري.

أمثلة.
أ) حل المعادلات: $\sqrt(3x+3)=-3$.
الحل: إذا كان $\sqrt(y)=-3$، فإن $y=-27$. وهذا يعني أن طرفي المعادلة يجب أن يكونا مكعبين.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

ب) حل المعادلات: $\sqrt(2x-1)=1$.
لنرفع كلا الطرفين إلى القوة الرابعة:
$2x-1=1$.
2 × = 2 دولار.
$س=1$.

ج) حل المعادلات: $\sqrt(4x-1)=-5$.
الحل: حسب تعريفنا، جذر الدرجة الزوجية لا يمكن أخذه إلا من عدد موجب، ولكن يتم إعطاؤنا رقمًا سالبًا، فلا توجد جذور.

د) حل المعادلات: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
الحل: ارفع طرفي المعادلة للقوة الخامسة:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ و$x_2=3$.

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1. احسب:
أ) $\sqrt(81)$.
ب) $\sqrt(0.0016)$.
ج) $\sqrt(1)$.
د) $\sqrt(70)$.
2. حل المعادلات:
أ) $\sqrt(2x+6)=2$.
ب) $\sqrt(3x-5)=-1$.
ج) $\sqrt(4x-8)=-4$.
د) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

X 4 = 1 وحلها بيانيا. للقيام بذلك، في نظام إحداثي واحد، سنقوم ببناء رسم بياني للدالة y = x n خط مستقيم y = 1 (الشكل 164 أ). ويتقاطعان عند نقطتين:

وهي جذور المعادلة × 4 = 1.
وبالاستدلال بنفس الطريقة تمامًا، نجد جذور المعادلة x 4 = 16:

الآن دعونا نحاول حل المعادلة x 4 =5؛ يظهر رسم توضيحي هندسي في الشكل. 164 ب. ومن الواضح أن المعادلة لها جذرين x 1 و x 2، وهذان الرقمان كما في الحالتين السابقتين متضادتان. لكن بالنسبة للمعادلتين الأوليين جذورتم العثور عليها دون صعوبة (يمكن العثور عليها دون استخدام الرسوم البيانية)، ولكن هناك مشاكل في المعادلة x 4 = 5: وفقًا للرسم، لا يمكننا الإشارة إلى قيم الجذور، ولكن يمكننا فقط إثبات أن جذرًا واحدًا هو تقع على يسار النقطة -1، والثانية - على يمين النقطة 1.
يمكن إثبات (بنفس الطريقة التي تم إثباتها في كتابنا "الجبر-8" للرقم l/b) أن x 1 وx 2 هما رقمان غير نسبيين (أي كسور عشرية غير دورية لا نهائية).

بعد أن واجهوا موقفًا مشابهًا للمرة الأولى، أدرك علماء الرياضيات أنهم بحاجة إلى التوصل إلى طريقة لوصفه من حيث لغة رياضية. وأدخلوا رمزاً جديداً أطلقوا عليه الجذر الرابع، وباستخدام هذا الرمز كتبت جذور المعادلة × 4 = 5 كما يلي: (اقرأ: "الجذر الرابع للخمسة").

ملاحظة 1.قارن هذه الحجج مع الحجج المماثلة التي تم إجراؤها في الفقرات 17 و32 و38. تظهر المصطلحات الجديدة والرموز الجديدة في الرياضيات عندما تكون هناك حاجة إليها لوصف رياضيات جديدة عارضات ازياء. وهذا انعكاس لخصائص اللغة الرياضية: فوظيفتها الرئيسية ليست التواصل - للتواصل، ولكن التنظيم - للتنظيم. عمل ناجحمع النماذج الرياضية في مناطق مختلفةمعرفة.

تحدثنا عن المعادلة x 4 = a، حيث a > 0. وبنفس القدر من النجاح يمكننا التحدث عن المعادلة x 4 = a، حيث a > 0، وn هو أي عدد طبيعي. على سبيل المثال، عند حل المعادلة بيانياً x 5 = 1، نجد x = 1 (الشكل 165)؛ بحل المعادلة x 5 " = 7، نثبت أن المعادلة لها جذر واحد xr، والذي يقع على المحور x إلى يمين النقطة 1 قليلاً (انظر الشكل 165). بالنسبة للرقم xx، نقدم الرمز Hh .

بشكل عام، حل المعادلة x n = a، حيث a > 0، n e N، n > 1، في حالة n حتى نحصل على جذرين: (الشكل 164، ج)؛ في حالة العدد الغريب n - جذر واحد (اقرأ: "الجذر الدرجة التاسعةمن رقم أ"). وبحل المعادلة x n =0، نحصل على الجذر الوحيد x = 0.

ملاحظة 2.في اللغة الرياضية، كما هو الحال في اللغة العادية، يحدث أن يتم تطبيق نفس المصطلح على مفاهيم مختلفة؛ وهكذا، في الجملة السابقة، تم استخدام كلمة "الجذر" بمعنيين: كجذر للمعادلة (لقد اعتدت منذ فترة طويلة على هذا التفسير) وكجذر الدرجة الحادية عشرةمن الرقم (تفسير جديد). عادة ما يكون واضحا من السياق ما هو التفسير المقصود للمصطلح.

والآن نحن على استعداد لتقديم تعريف دقيق.

التعريف 1. الجذر لقوى عدد غير سالب a (n = 2, 3,4, 5,...) هو رقم غير سالب والذي عند رفعه إلى قوة n ينتج عنه الرقم a.

يُشار إلى هذا الرقم، ويسمى الرقم a بالرقم الجذري، والرقم n هو أس الجذر.
إذا كان n = 2، فإنهم عادةً لا يقولون "الجذر الثاني"، بل يقولون "الجذر التربيعي". وفي هذه الحالة، لا يكتبون هذا هو حالة خاصةالذي درسته على وجه التحديد في دورة الجبر للصف الثامن.

إذا كان n = 3، فبدلاً من "جذر الدرجة الثالثة" غالبًا ما يقولون "الجذر التكعيبي". تعرفت لأول مرة على الجذر التكعيبي أيضًا في دورة الجبر للصف الثامن. استخدمنا الجذر التكعيبي في الفقرة 36 لحل المثال 6.

بشكل عام، هو نفسه نموذج رياضي(نفس العلاقة بين الأرقام غير السالبة a و b)، ولكن تم وصف الرقم الثاني فقط أكثر بلغة بسيطة(يستخدم أحرفًا أبسط) من الأول.

عادةً ما تسمى عملية العثور على جذر الرقم غير السالب باستخراج الجذر. هذه العملية هي عكس الرفع إلى القوة المناسبة. يقارن:

في بعض الأحيان يسمى التعبير جذريًا (من الكلمة اللاتينية gadix - "الجذر"). في اللغة الروسية، يتم استخدام مصطلح جذري في كثير من الأحيان، على سبيل المثال، "التغييرات الجذرية" - وهذا يعني "التغييرات الجذرية". بالمناسبة، فإن تسمية الجذر ذاتها تذكرنا بكلمة gadix: الرمز عبارة عن حرف r منمق.

مثال 1.احسب:

د) على عكس الأمثلة السابقة، لا يمكننا الإشارة إلى القيمة الدقيقة للرقم، فمن الواضح فقط أنه أكبر من 2، ولكن أقل من 3، حيث أن 2 4 = 16 (هذا أقل من 17)، و3 4 = 81 (هذا أكثر من 17). نلاحظ أن 24 أقرب بكثير إلى 17 من 34، لذلك هناك سبب لاستخدام علامة المساواة التقريبية:

ومع ذلك، يمكن العثور على قيمة تقريبية أكثر دقة لرقم ما باستخدام الآلة الحاسبة التي تحتوي على عملية استخراج الجذر، وهي تساوي تقريبًا
يتم تحديد عملية استخراج الجذر أيضًا لعدد جذري سالب، ولكن فقط في حالة وجود أس جذر فردي. بمعنى آخر، يمكن إعادة كتابة المساواة (-2)5 = -32 بشكل مكافئ. يتم استخدام التعريف التالي.

التعريف 2.الجذر الفردي n لعدد سالب a (n = 3.5,...) هو رقم سالب والذي عند رفعه للأس n ينتج عنه الرقم a.

يُشار إلى هذا الرقم، كما في التعريف 1، بالرمز a، وهو الرقم الجذري، والرقم n هو أس الجذر.
لذا،

وبالتالي، فإن الجذر الزوجي له معنى (أي يتم تعريفه) فقط للتعبير الجذري غير السلبي؛ الجذر الغريب منطقي لأي تعبير جذري.
مثال 2. حل المعادلات:

حل:و إذا في الواقع كلا الجزأين معادلة معينةيجب علينا مكعب. نحن نحصل:

ب) التعليل كما في المثال أ) نرفع طرفي المعادلة إلى القوة الرابعة. نحن نحصل:

ج) ليس هناك حاجة لرفعها إلى القوة الرابعة، فهذه المعادلة ليس لها حلول. لماذا؟ لأنه، وفقًا للتعريف 1، فإن الجذر الزوجي هو رقم غير سالب.
د) برفع طرفي المعادلة للقوة السادسة نحصل على:

اي جي. جبر موردكوفيتش الصف العاشر

محتوى الدرس ملاحظات الدرسدعم إطار عرض الدرس وأساليب تسريع التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي، والدورات التدريبية، والحالات، وأسئلة مناقشة الواجبات المنزلية أسئلة بلاغيةمن الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور، رسومات، جداول، رسوم بيانية، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير، أمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاتالمقالات والحيل لأسرّة الأطفال الفضوليين والكتب المدرسية الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من الكتاب المدرسي، وعناصر الابتكار في الدرس، واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثالية خطة التقويملسنة القواعد الارشاديةبرامج المناقشة دروس متكاملة

نص الدرس للصف الحادي عشر حول الموضوع:

"الجذر النوني لعدد حقيقي. »

الغرض من الدرس:تكوين فهم شمولي للجذر لدى الطلاب ن- الدرجة العاشرة والجذر الحسابي للدرجة التاسعة، تكوين المهارات الحسابية، الواعية و الاستخدام العقلانيخصائص الجذر عند حل المسائل المختلفة التي تحتوي على جذري. التحقق من مستوى فهم الطلاب لأسئلة الموضوع.

موضوع:إنشاء ظروف هادفة وتنظيمية لإتقان المواد المتعلقة بالموضوع "التعبيرات الرقمية والأبجدية » على مستوى الإدراك والفهم والحفظ الأولي؛ تطوير القدرة على استخدام هذه المعلومات عند الحساب الجذر نالقوى من عدد حقيقي.

موضوع التعريف:تعزيز تنمية مهارات الحوسبة؛ القدرة على التحليل والمقارنة والتعميم واستخلاص النتائج؛

شخصي:تنمية القدرة على التعبير عن وجهة النظر، والاستماع إلى إجابات الآخرين، والمشاركة في الحوار، وتنمية القدرة على التعاون الإيجابي.

النتيجة المخططة.

موضوع: تكون قادرًا على تطبيق خصائص الجذر النوني لعدد حقيقي في موقف حقيقي عند حساب الجذور وحل المعادلات.

شخصي: لتنمية الانتباه والدقة في الحسابات، والموقف المتطلب تجاه الذات والعمل، وتنمية الشعور بالمساعدة المتبادلة.

نوع الدرس: درس في الدراسة وتعزيز المعرفة الجديدة في البداية

الدافع للأنشطة التعليمية:

تقول الحكمة الشرقية: "يمكنك أن تقود الحصان إلى الماء، لكن لا يمكنك أن تجبره على الشرب". ومن المستحيل إجبار الشخص على الدراسة بشكل جيد إذا كان هو نفسه لا يحاول تعلم المزيد، وليس لديه الرغبة في العمل على نفسه التطور العقلي والفكري. وفي نهاية المطاف، فإن المعرفة لا تكون معرفة إلا عندما يتم اكتسابها من خلال جهود أفكار الفرد، وليس من خلال الذاكرة وحدها.

وسيكون درسنا تحت شعار: "سننتصر على أي قمة إذا سعينا إليها". خلال الدرس، نحتاج أنا وأنت إلى الحصول على الوقت للتغلب على عدة قمم، ويجب على كل واحد منكم بذل كل جهوده للتغلب على هذه القمم.

"اليوم لدينا درس يجب أن نتعرف فيه على مفهوم جديد وهو "الجذر النوني" ونتعلم كيفية تطبيق هذا المفهوم على تحويل التعبيرات المختلفة.

هدفك هو تفعيل معرفتك الموجودة من خلال أشكال العمل المختلفة، والمساهمة في دراسة المادة والحصول على درجات جيدة.
درسنا الجذر التربيعي لعدد حقيقي في الصف الثامن. يرتبط الجذر التربيعي بوظيفة النموذج ذ=س 2. يا رفاق، هل تتذكرون كيف حسبنا الجذور التربيعية، وما هي خصائصها؟
أ) المسح الفردي:

أي نوع من التعبير هذا

ما يسمى الجذر التربيعي

ما يسمى بالجذر التربيعي الحسابي

قائمة خصائص الجذر التربيعي

ب) العمل في أزواج: احسب.

2. تحديث المعرفة وخلق موقف المشكلة:حل المعادلة × 4 =1. كيف يمكننا حل هذه المشكلة؟ (التحليلية والرسومية). دعونا نحلها بيانيا. للقيام بذلك، في نظام إحداثي واحد، سنقوم ببناء رسم بياني للدالة y = x 4 خط مستقيم y = 1 (الشكل 164 أ). يتقاطعان عند نقطتين: أ (-1;1) وب(1;1). حروف النقطتين A و B، أي × 1 = -1،

x 2 = 1 هي جذور المعادلة x 4 = 1.
وبالاستدلال بنفس الطريقة تمامًا، نجد جذور المعادلة x 4 = 16: الآن دعونا نحاول حل المعادلة x 4 =5؛ يظهر رسم توضيحي هندسي في الشكل. 164 ب. ومن الواضح أن المعادلة لها جذرين x 1 و x 2، وهذان الرقمان كما في الحالتين السابقتين متضادتان. لكن بالنسبة للمعادلتين الأوليين تم العثور على الجذور دون صعوبة (يمكن العثور عليها بدون استخدام الرسوم البيانية)، ولكن مع المعادلة x 4 = 5 هناك مشاكل: من الرسم لا يمكننا الإشارة إلى قيم الجذور، لكننا يمكن فقط إثبات أن جذرًا واحدًا يقع على النقطة اليسرى -1، والثاني على يمين النقطة 1.

× 2 = - (اقرأ: "الجذر الرابع للخمسة").

تحدثنا عن المعادلة x 4 = a، حيث a 0. يمكننا أيضًا التحدث عن المعادلة x 4 = a، حيث 0 وn هو أي عدد طبيعي. على سبيل المثال، عند حل المعادلة بيانيا x 5 = 1، نجد x = 1 (الشكل 165)؛ بحل المعادلة x 5 "= 7، نثبت أن المعادلة لها جذر واحد x 1، والذي يقع على المحور x إلى يمين النقطة 1 قليلاً (انظر الشكل 165). بالنسبة للرقم x 1، نقدم الرموز .

التعريف 1.الجذر n لعدد غير سالب a (n = 2, 3,4, 5,...) هو رقم غير سالب والذي عند رفعه للأس n ينتج عنه الرقم a.

يُشار إلى هذا الرقم، ويسمى الرقم a بالرقم الجذري، والرقم n هو أس الجذر.
إذا كان n = 2، فإنهم عادة لا يقولون "الجذر الثاني"، بل يقولون "الجذر التربيعي". وفي هذه الحالة، لا يكتبون هذا. هذه هي الحالة الخاصة التي درستها على وجه التحديد في دورة الجبر للصف الثامن .

إذا كان n = 3، فبدلاً من "جذر الدرجة الثالثة" غالبًا ما يقولون "الجذر التكعيبي". تعرفت لأول مرة على الجذر التكعيبي أيضًا في دورة الجبر للصف الثامن. استخدمنا الجذور التكعيبية في جبر الصف التاسع.

لذلك، إذا كان ≥0، n = 2،3،4،5، ...، ثم 1) ≥ 0؛ 2) () ن = أ.

بشكل عام، =b وb n =a هما نفس العلاقة بين الأرقام غير السالبة a وb، ولكن يتم وصف الثاني فقط بلغة أبسط (يستخدم رموزًا أبسط) من الأول.

يرجى ملاحظة مرة أخرى: تظهر الأرقام الموجبة فقط في الجدول، حيث أن ذلك منصوص عليه في التعريف 1. وعلى الرغم من أن (-6) 6 = 36، على سبيل المثال، هي مساواة صحيحة، انتقل منها إلى التدوين باستخدام الجذر التربيعي، أي. إرسال أنه من المستحيل. بحكم التعريف، الرقم الموجب يعني = 6 (وليس -6). وبنفس الطريقة، على الرغم من أن 2 4 =16، t (-2) 4 =16، وبالانتقال إلى علامات الجذور، يجب أن نكتب = 2 (وفي نفس الوقت ≠-2).

يتم تحديد عملية استخراج الجذر أيضًا لعدد جذري سالب، ولكن فقط في حالة وجود أس جذر فردي. بمعنى آخر، المساواة (-2) 5 = -32 يمكن إعادة كتابتها بصيغة مكافئة كـ =-2. يتم استخدام التعريف التالي.

التعريف 2.الجذر الفردي n لعدد سالب a (n = 3.5,...) هو رقم سالب والذي عند رفعه للأس n ينتج عنه الرقم a.

يُشار إلى هذا الرقم، كما في التعريف 1، بالرمز a، وهو الرقم الجذري، والرقم n هو أس الجذر.
لذا، إذا كانت a ، n=,5,7,...، إذن: 1) 0; 2) () ن = أ.

وبالتالي، فإن الجذر الزوجي له معنى (أي يتم تعريفه) فقط للتعبير الجذري غير السلبي؛ الجذر الغريب منطقي لأي تعبير جذري.

5. التوحيد الأولي للمعرفة:

1. احسب: رقم 33.5؛ 33.6؛ 33.74 33.8 شفويا أ) ؛ ب) ؛ الخامس) ؛ ز) .

ضع الحرف المقابل بجوار المثال.

القليل من المعلومات عن العالم العظيم. رينيه ديكارت (1596-1650) نبيل فرنسي، عالم رياضيات، فيلسوف، عالم فيزيولوجي، مفكر. وضع رينيه ديكارت الأسس الهندسة التحليلية، أدخلت تسميات الحروف x 2، y 3. الجميع يعلم الإحداثيات الديكارتية، تحديد وظيفة المتغير.

3 . حل المعادلات: أ) = -2؛ ب) = 1؛ ج) = -4

حل:أ) إذا كان = -2، فإن y = -8. في الواقع، يجب علينا تكعيب طرفي المعادلة المعطاة. نحصل على: 3x+4= - 8; 3س= -12; س = -4. ب) التعليل كما في المثال أ) نرفع طرفي المعادلة إلى القوة الرابعة. نحصل على: س=1.

ج) ليس هناك حاجة لرفعها إلى القوة الرابعة، فهذه المعادلة ليس لها حلول. لماذا؟ لأنه، وفقًا للتعريف 1، فإن الجذر الزوجي هو رقم غير سالب.
يتم عرض العديد من المهام على انتباهك. عند إكمال هذه المهام، سوف تتعلم اسم ولقب عالم الرياضيات العظيم. وكان هذا العالم أول من أدخل علامة الجذر في عام 1637.

6. دعونا نحظى ببعض الراحة.

الفصل يرفع يديه - هذا "واحد".

تحول الرأس - كان "اثنين".

اخفضوا أيديكم وتطلعوا إلى الأمام - هذا هو "ثلاثة".

تحولت الأيدي على نطاق أوسع إلى الجانبين إلى "أربعة"

الضغط عليهم بقوة بين يديك هو "الخمسة العالية".

يجب على جميع اللاعبين الجلوس - إنهم "ستة".

7. عمل مستقل:

الخيار: الخيار 2:

ب) 3-. ب)12-6.

2. حل المعادلة: أ) × 4 = -16؛ ب) 0.02x6 -1.28=0؛ أ) × 8 = -3؛ ب)0.3x9 - 2.4=0؛

ج) = -2؛ ج)= 2

8. التكرار:أوجد جذر المعادلة = - س. إذا كانت المعادلة لها أكثر من جذر واحد، فاكتب الإجابة بالجذر الأصغر.

9. التأمل:ماذا تعلمت في الدرس؟ ما الذي كان مثيرا للاهتمام؟ ما كان صعبا؟

لاستخدام عملية استخراج الجذر بنجاح في الممارسة العملية، عليك أن تتعرف على خصائص هذه العملية.
يتم صياغة جميع الخصائص وإثباتها فقط للقيم غير السالبة للمتغيرات الموجودة تحت إشارات الجذور.

النظرية 1. الجذر النوني (ن=2، 3، 4،...) لمنتج شريحتين غير سالبة يساوي منتج الجذور نصلاحيات هذه الأرقام:

تعليق:

1. تظل النظرية 1 صالحة للحالة التي يكون فيها التعبير الجذري هو حاصل ضرب أكثر من رقمين غير سالبين.

النظرية 2.لو, و n عدد طبيعي أكبر من 1 فإن المساواة صحيحة

مختصرصياغة (وإن كانت غير دقيقة)، وهي أكثر ملاءمة للاستخدام العملي: جذر الكسر يساوي جزء الجذور.

النظرية 1 تسمح لنا بضرب t فقط جذور من نفس الدرجة ، أي. الجذور فقط مع نفس المؤشر.

نظرية 3.إذا ,k عدد طبيعي و n عدد طبيعي أكبر من 1، فإن المساواة صحيحة

وبعبارة أخرى، لبناء الجذر في درجة طبيعيةفيكفي أن نرفع التعبير الراديكالي إلى هذه القوة.
وهذا نتيجة للنظرية 1. في الواقع، على سبيل المثال، بالنسبة لـ k = 3 نحصل على: يمكننا التفكير بنفس الطريقة تمامًا في حالة أي قيمة طبيعية أخرى للأس k.

نظرية 4.إذا ,k,n أعداد طبيعية أكبر من 1 فإن المساواة صحيحة

بمعنى آخر، لاستخراج جذر من جذر، يكفي مضاعفة مؤشرات الجذور.
على سبيل المثال،

احرص!لقد تعلمنا أنه يمكن إجراء أربع عمليات على الجذور: الضرب، والقسمة، والأسي، واستخراج الجذر (من الجذر). ولكن ماذا عن إضافة وطرح الجذور؟ مستحيل.
على سبيل المثال، بدلًا من الكتابة حقًا، لكن من الواضح ذلك

نظرية 5.إذا إذا تم ضرب مؤشرات الجذر والتعبير الجذري أو قسمتها على نفس العدد الطبيعي، فإن قيمة الجذر لن تتغير، أي.

أمثلة على حل المشكلات

مثال 1.احسب

حل.باستخدام الخاصية الأولى للجذور (النظرية 1)، نحصل على:

مثال 2.احسب
حل.دعونا عكس ذلك رقم مختلطإلى كسر غير لائق.
لدينا باستخدام الخاصية الثانية للجذور ( النظرية 2 )، نحن نحصل:

مثال 3.احسب:

حل.أي صيغة في الجبر، كما تعلمون، لا تستخدم فقط "من اليسار إلى اليمين"، ولكن أيضًا "من اليمين إلى اليسار". وبالتالي، فإن الخاصية الأولى للجذور تعني أنه يمكن تمثيلها بالشكل، وعلى العكس من ذلك، يمكن استبدالها بالتعبير. الأمر نفسه ينطبق على الخاصية الثانية للجذور. مع أخذ هذا في الاعتبار، دعونا نجري الحسابات.

في هذه المقالة سوف نقدم مفهوم جذر الرقم. سنواصل بالتسلسل: سنبدأ بالجذر التربيعي، ومن هناك سننتقل إلى وصف الجذر المكعب، وبعد ذلك سنقوم بتعميم مفهوم الجذر، وتحديد الجذر النوني. وفي الوقت نفسه، سنقدم التعاريف والرموز ونعطي أمثلة على الجذور ونعطي الشروحات والتعليقات اللازمة.

الجذر التربيعي، الجذر التربيعي الحسابي

لفهم تعريف جذر الرقم، والجذر التربيعي على وجه الخصوص، يجب أن يكون لديك . عند هذه النقطة سنواجه غالبًا القوة الثانية للرقم - مربع العدد.

دعنا نبدء ب تعريفات الجذر التربيعي.

تعريف

الجذر التربيعي لـ أهو الرقم الذي مربعه يساوي أ.

من أجل إحضار أمثلة على الجذور التربيعية، خذ عدة أرقام، على سبيل المثال، 5، −0.3، 0.3، 0، وقم بتربيعها، نحصل على الأرقام 25، 0.09، 0.09 و0، على التوالي (5 2 =5·5=25، (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09، (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 و 0 2 =0·0=0). بعد ذلك، وفقًا للتعريف الوارد أعلاه، فإن الرقم 5 هو الجذر التربيعي للرقم 25، والأرقام −0.3 و0.3 هي الجذور التربيعية لـ 0.09، و0 هو الجذر التربيعي للصفر.

تجدر الإشارة إلى أنه لا يوجد لأي رقم a مربع يساوي a. أي أنه بالنسبة لأي عدد سالب a، لا يوجد عدد حقيقي b مربعه يساوي a. في الواقع، المساواة a=b 2 مستحيلة لأي سالب a، لأن b 2 هو عدد غير سالب لأي b. هكذا، لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب في مجموعة الأعداد الحقيقية. بمعنى آخر، في مجموعة الأعداد الحقيقية، لا يتم تعريف الجذر التربيعي للرقم السالب وليس له أي معنى.

وهذا يؤدي إلى سؤال منطقي: "هل هناك جذر تربيعي لـ a لأي غير سالب"؟ الجواب نعم. يمكن تبرير هذه الحقيقة بالطريقة البناءة المستخدمة لإيجاد قيمة الجذر التربيعي.

ثم يطرح السؤال المنطقي التالي: "ما هو عدد جميع الجذور التربيعية لعدد معين غير سالب أ - واحد، اثنان، ثلاثة، أو حتى أكثر"؟ إليك الإجابة: إذا كان a يساوي صفرًا، فإن الجذر التربيعي الوحيد للصفر هو صفر؛ إذا كان a رقمًا موجبًا، فإن عدد الجذور التربيعية للرقم a هو اثنان، والجذور هي . دعونا نبرر هذا.

لنبدأ بالحالة a=0 . أولاً، دعونا نوضح أن الصفر هو بالفعل الجذر التربيعي للصفر. وهذا يتبع من المساواة الواضحة 0 2 =0·0=0 وتعريف الجذر التربيعي.

الآن دعونا نثبت أن 0 هو الجذر التربيعي الوحيد للصفر. دعونا نستخدم الطريقة المعاكسة. لنفترض أن هناك عددًا غير صفري b وهو الجذر التربيعي للصفر. ثم يجب استيفاء الشرط b 2 =0، وهو أمر مستحيل، لأنه بالنسبة لأي b غير الصفر تكون قيمة التعبير b 2 موجبة. لقد وصلنا إلى التناقض. وهذا يثبت أن 0 هو الجذر التربيعي الوحيد للصفر.

دعنا ننتقل إلى الحالات التي يكون فيها a رقمًا موجبًا. قلنا أعلاه أنه يوجد دائمًا جذر تربيعي لأي عدد غير سالب، فليكن الجذر التربيعي لـ a هو الرقم b. لنفترض أن هناك عددًا c، وهو أيضًا الجذر التربيعي للعدد a. ثم، من خلال تعريف الجذر التربيعي، فإن التساويات b 2 =a و c 2 =a صحيحة، ومن هنا يتبع أن b 2 −c 2 =a−a=0، ولكن بما أن b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , ثم (b−c)·(b+c)=0 . المساواة الناتجة صالحة خصائص العمليات على الأعداد الحقيقيةممكن فقط عندما يكون b−c=0 أو b+c=0 . وبالتالي فإن العددين b وc متساويان أو متضادان.

إذا افترضنا أن هناك رقم d، وهو جذر تربيعي آخر للرقم a، فمن خلال التفكير المماثل لتلك المقدمة بالفعل، ثبت أن d يساوي الرقم b أو الرقم c. إذن، عدد الجذور التربيعية لعدد موجب هو اثنان، والجذور التربيعية عددان متقابلان.

لتسهيل العمل مع الجذور التربيعية، يتم "فصل" الجذر السالب عن الجذر الموجب. ولهذا الغرض يتم تقديمه تعريف الجذر التربيعي الحسابي.

تعريف

الجذر التربيعي الحسابي لعدد غير سالب أهو عدد غير سالب مربعه يساوي أ.

رمز الجذر التربيعي الحسابي لـ a هو . تسمى العلامة بعلامة الجذر التربيعي الحسابي. وتسمى أيضًا العلامة الجذرية. لذلك، يمكنك أحيانًا سماع كل من "الجذر" و"الجذري"، وهو ما يعني نفس الكائن.

يسمى الرقم الموجود تحت علامة الجذر التربيعي الحسابي عدد جذري، والتعبير تحت علامة الجذر هو التعبير الراديكالي، في حين أن مصطلح "الرقم الجذري" غالبًا ما يتم استبداله بـ "التعبير الجذري". على سبيل المثال، في التدوين الرقم 151 هو رقم جذري، وفي التدوين التعبير a هو تعبير جذري.

عند القراءة، غالبًا ما يتم حذف كلمة "الحساب"، على سبيل المثال، تتم قراءة الإدخال على أنه "الجذر التربيعي لسبعة فاصلة تسعة وعشرون". يتم استخدام كلمة "الحساب" فقط عندما يريدون التأكيد على ذلك نحن نتحدث عنعلى وجه التحديد حول الجذر التربيعي الإيجابي لعدد.

في ضوء التدوين المقدم، يتبع من تعريف الجذر التربيعي الحسابي أنه لأي رقم غير سالب أ .

تتم كتابة الجذور التربيعية لعدد موجب a باستخدام علامة الجذر التربيعي الحسابي مثل و . على سبيل المثال، الجذور التربيعية للعدد 13 هي و . الجذر التربيعي الحسابي للصفر هو صفر، أي. بالنسبة للأرقام السالبة a، لن نربط معنى بالتدوين حتى ندرس ارقام مركبة . على سبيل المثال، التعبيرات و لا معنى لها.

واستنادا إلى تعريف الجذر التربيعي، تم إثبات خصائص الجذور التربيعية، والتي غالبا ما تستخدم في الممارسة العملية.

وفي ختام هذه النقطة نلاحظ أن الجذور التربيعية للعدد a هي حلول الصيغة x 2 =a بالنسبة للمتغير x.

الجذر التكعيبي لعدد

تعريف الجذر التكعيبييتم إعطاء الرقم a بشكل مشابه لتعريف الجذر التربيعي. فقط هو مبني على مفهوم مكعب العدد وليس المربع.

تعريف

الجذر التكعيبي لـ أهو الرقم الذي مكعبه يساوي أ.

هيا نعطي أمثلة على الجذور التكعيبية. للقيام بذلك، خذ عدة أرقام، على سبيل المثال، 7، 0، −2/3، وقم بتكعيبها: 7 3 =7·7·7=343، 0 3 =0·0·0=0، . إذن، استنادًا إلى تعريف الجذر التكعيبي، يمكننا القول أن الرقم 7 هو الجذر التكعيبي لـ 343، و0 هو الجذر التكعيبي للصفر، و−2/3 هو الجذر التكعيبي لـ −8/27.

يمكن إثبات أن الجذر التكعيبي لأي رقم، على عكس الجذر التربيعي، موجود دائمًا، ليس فقط بالنسبة إلى العدد غير السالب a، ولكن أيضًا لأي عدد حقيقي a. للقيام بذلك، يمكنك استخدام نفس الطريقة التي ذكرناها عند دراسة الجذور التربيعية.

علاوة على ذلك، لا يوجد سوى جذر تكعيبي واحد لـ رقم معينأ. دعونا نثبت البيان الأخير. للقيام بذلك، فكر في ثلاث حالات بشكل منفصل: a هو رقم موجب، وa=0، وa هو رقم سالب.

من السهل توضيح أنه إذا كان a موجبًا، فإن الجذر التكعيبي لـ a لا يمكن أن يكون عددًا سالبًا ولا صفرًا. في الواقع، دع b هو الجذر التكعيبي لـ a، ومن ثم يمكننا حسب التعريف أن نكتب المساواة b 3 =a. من الواضح أن هذه المساواة لا يمكن أن تكون صحيحة بالنسبة إلى سالب b وb=0، لأنه في هذه الحالات يكون b 3 =b·b·b رقمًا سالبًا أو صفرًا، على التوالي. إذن، الجذر التكعيبي للعدد الموجب a هو عدد موجب.

لنفترض الآن أنه بالإضافة إلى الرقم b هناك جذر تكعيبي آخر للرقم a، لنشير إليه بـ c. ثم ج 3 = أ. لذلك، ب 3 −c 3 =a−a=0، لكن ب 3 −ج 3 =(ب−ج)·(ب 2 +ب·ج+ج 2)(هذه هي صيغة الضرب المختصرة اختلاف المكعبات) ، حيث (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. المساواة الناتجة ممكنة فقط عندما يكون b−c=0 أو b 2 +b·c+c 2 =0. من المساواة الأولى لدينا ب=ج، والمساواة الثانية ليس لها حلول، حيث أن جانبها الأيسر هو رقم موجب لأي أرقام موجبة ب و ج كمجموع ثلاثة حدود موجبة ب 2، ب · ج و ج 2. وهذا يثبت تفرد الجذر التكعيبي لعدد موجب أ.

عندما يكون a=0، فإن الجذر التكعيبي للرقم a هو الرقم صفر فقط. في الواقع، إذا افترضنا أن هناك عددًا ب، وهو جذر تكعيبي غير صفري للصفر، فيجب أن تكون المساواة ب 3 = 0 قائمة، وهو أمر ممكن فقط عندما يكون ب = 0.

بالنسبة للسالب a، يمكن تقديم حجج مشابهة لحالة الموجب a. أولاً، نوضح أن الجذر التكعيبي لعدد سالب لا يمكن أن يساوي عددًا موجبًا أو صفرًا. ثانيًا، نفترض أن هناك جذرًا تكعيبيًا ثانيًا لعدد سالب ونبين أنه سيتطابق بالضرورة مع الأول.

لذا، يوجد دائمًا جذر تكعيبي لأي عدد حقيقي معطى، وآخر فريد.

هيا نعطي تعريف الجذر التكعيبي الحسابي.

تعريف

الجذر التكعيبي الحسابي لعدد غير سالب أهو عدد غير سالب مكعبه يساوي أ.

يُشار إلى الجذر التكعيبي الحسابي للرقم غير السالب a، وتسمى الإشارة بعلامة الجذر التكعيبي الحسابي، ويسمى الرقم 3 في هذا الترميز مؤشر الجذر. الرقم تحت علامة الجذر هو عدد جذري، التعبير تحت علامة الجذر هو التعبير الراديكالي.

على الرغم من أن الجذر التكعيبي الحسابي محدد فقط للأرقام غير السالبة a، إلا أنه من المناسب أيضًا استخدام الرموز التي تكون تحت علامة الجذر التكعيبي الحسابي أرقام سلبية. وسوف نفهمها على النحو التالي: ، حيث a هو رقم موجب. على سبيل المثال، .

سنتحدث عن خواص الجذور التكعيبية في المقال العام خواص الجذور.

يُطلق على حساب قيمة الجذر التكعيبي اسم استخراج الجذر التكعيبي، وقد تمت مناقشة هذا الإجراء في المقالة استخراج الجذور: الطرق والأمثلة والحلول.

لاختتام هذه النقطة، لنفترض أن الجذر التكعيبي للرقم a هو حل الصيغة x 3 =a.

الجذر ن، الجذر الحسابي للدرجة ن

دعونا نعمم مفهوم جذر الرقم - نقدمه تعريف الجذر nل ن.

تعريف

الجذر النوني لـ أهو رقم قوته n تساوي أ.

من هذا التعريفمن الواضح أن جذر الدرجة الأولى للرقم a هو الرقم a نفسه، لأنه عند دراسة الدرجة بالأس الطبيعي أخذنا 1 =a.

أعلاه نظرنا إلى حالات خاصة للجذر n لـ n=2 و n=3 - الجذر التربيعي والجذر التكعيبي. أي أن الجذر التربيعي هو جذر من الدرجة الثانية، والجذر التكعيبي هو جذر من الدرجة الثالثة. لدراسة جذور الدرجة n لـ n=4، 5، 6، ...، من المناسب تقسيمها إلى مجموعتين: المجموعة الأولى - جذور الدرجات الزوجية (أي، لـ n = 4، 6، 8) ، ...)، المجموعة الثانية - جذور الدرجات الفردية (أي مع n=5، 7، 9، ...). ويرجع ذلك إلى حقيقة أن جذور القوى الزوجية متشابهة الجذر التربيعيوجذور القوى الفردية - مكعب. دعونا نتعامل معهم واحدا تلو الآخر.

لنبدأ بالجذور التي تكمن صلاحياتها حتى أرقام 4، 6، 8،... كما قلنا، فهي تشبه الجذر التربيعي للعدد أ. وهذا يعني أن جذر أي درجة زوجية للرقم a موجود فقط للعدد غير السالب a. علاوة على ذلك، إذا كان a=0، فإن جذر a فريد ويساوي صفر، وإذا كان a>0، فهناك جذرين من الدرجة الزوجية للرقم a، وهما رقمان متقابلان.

دعونا نؤيد البيان الأخير. دع b يكون جذرًا زوجيًا (نشير إليه بالرمز 2·m، حيث m هو عدد طبيعي ما) للرقم a. لنفترض أن هناك رقم ج - جذر آخر من الدرجة 2·م من الرقم أ. ثم b 2·m −c 2·m =a−a=0 . لكننا نعرف الصيغة b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (ب 2 م−2 +ب 2 م−4 ج 2 +ب 2 م−6 ج 4 +…+ج 2 م−2)، ثم (ب−ج)·(ب+ج)· (ب 2 م−2 +ب 2 م−4 ج 2 +ب 2 م−6 ج 4 +…+ج 2 م−2)=0. ويترتب على هذه المساواة أن b−c=0، أو b+c=0، أو ب 2 م−2 +ب 2 م−4 ج 2 +ب 2 م−6 ج 4 +…+ج 2 م−2 =0. أول تساويين يعني أن العددين b وc متساويان أو أن b وc متضادان. والمساواة الأخيرة صالحة فقط لـ b=c=0، حيث يوجد على جانبها الأيسر تعبير غير سالب لأي b وc كمجموع الأرقام غير السالبة.

أما جذور الدرجة n للفرد n فهي تشبه الجذر التكعيبي. وهذا يعني أن جذر أي درجة فردية للرقم a موجود لأي عدد حقيقي a، وبالنسبة لعدد معين a فهو فريد.

تم إثبات تفرد جذر من الدرجة الفردية 2·m+1 للرقم a عن طريق القياس مع إثبات تفرد الجذر التكعيبي لـ a. هنا فقط بدلا من المساواة أ 3 −ب 3 =(أ−ب)·(أ 2 +أ·ب+ج 2)يتم استخدام مساواة بالشكل b 2 m+1 −c 2 m+1 = (ب−ج)·(ب 2·م +ب 2·م−1 ·ج+ب 2·م−2 ·ج 2 +… +ج 2·م). يمكن إعادة كتابة التعبير الموجود في القوس الأخير كـ ب 2 م +ج 2 م +ب ج (ب 2 م−2 +ج 2 م−2 + ب ج (ب 2 م−4 +ج 2 م−4 +ب ج (…+(ب 2 +ج 2 +ب ج)))). على سبيل المثال، مع م = 2 لدينا ب 5 −ج 5 =(ب−ج)·(ب 4 +ب 3 ·ج+ب 2 ·ج 2 +ب·ج 3 +ج 4)= (ب−ج)·(ب 4 +ج 4 +ب·ج·(ب 2 +ج 2 +ب·ج)). عندما يكون كل من a وb موجبين أو سالبين، يكون حاصل ضربهما عددًا موجبًا، ثم يكون التعبير b 2 +c 2 +b·c بين قوسين نفسه درجة عاليةالتعشيش موجب كمجموع الأعداد الموجبة. الآن، بالانتقال بالتتابع إلى التعبيرات الموجودة بين قوسين لدرجات التداخل السابقة، نحن مقتنعون بأنها موجبة أيضًا كمجموع الأعداد الموجبة. ونتيجة لذلك، نحصل على أن المساواة ب 2 م+1 −ج 2 م+1 = (ب−ج)·(ب 2·م +ب 2·م−1 ·ج+ب 2·م−2 ·ج 2 +… +ج 2·م)=0ممكن فقط عندما يكون b−c=0، أي عندما يكون الرقم b مساويًا للرقم c.

حان الوقت لفهم تدوين الجذور n. ولهذا الغرض يعطى تعريف الجذر الحسابي للدرجة n.

تعريف

الجذر الحسابي للدرجة n لعدد غير سالب أهو رقم غير سالب قوته n تساوي a.