Mathematiklehrer, Sekundarschule Nr. 23, Astrachan

Novakova S.A.

LEKTIONTHEMA: RATIONALE UNGLEICHHEITEN

Klasse 9

Das Ziel des Unterrichts: das Wissen der Studierenden im Prozess der Lösung verschiedener Aufgaben zu einem bestimmten Thema zu festigen und zu vertiefen; um die Entwicklung der gegenseitigen Unterstützung und der gegenseitigen Unterstützung zu fördern, die Fähigkeit, eine kulturelle Diskussion zu führen.

Unterrichtsziele:

1. Festigung der Fähigkeit, rationale Ungleichungen mit der Intervallmethode zu lösen; berücksichtigen Sie rationale Ungleichungen verschiedener Komplexitätsstufen; um die Fähigkeit der Schüler zu testen, rationale Ungleichungen zu lösen;
2. Bedingungen für die Entwicklung von Fähigkeiten und Fertigkeiten schaffen, um Wissen in neuen Situationen anzuwenden; zur Entwicklung der Denkqualitäten: Flexibilität, Zielstrebigkeit, Rationalität, Kritikalität unter Berücksichtigung individueller Eigenschaften.

Unterrichtsart : allgemeiner Unterricht; Festigung und Verbesserung von Kenntnissen und Fähigkeiten.

Formen der Organisation von Aktivitäten im Unterricht:

1. frontal
2. Individuell
3. Kollektiv

Unterrichtsstruktur:

1. Zeit organisieren;
2. Motivationsgespräch;
3. Wissen aktualisieren;
4. individuelle oder kollektive Arbeit mit Aufgaben;
5. zusammenfassend.

Methoden:

1. verbal;
2. visuell;
3. praktisch.

Ausrüstung:

1. Computers;
2. Multimedia-Projektor;
3. persönliche Karten.

Voraussichtliches Ergebnis:Stärkung der Fähigkeiten und Fertigkeiten des Lösens rationale Ungleichheiten; die Bildung der Fähigkeit, ihre Arbeit zu planen; Leistung jedes Schülers auf dem Niveau der Fähigkeiten, die er benötigt:

Ich nivelliere - um die einfachsten rationalen Ungleichungen zu lösen; Ungleichungen nach einem vorgegebenen Algorithmus lösen;

Stufe II - Lösen Sie rationale Ungleichungen und wählen Sie unabhängig eine Lösungsmethode aus.

Stufe III - das erworbene Wissen in einer nicht standardmäßigen Situation anwenden.

WÄHREND DER KLASSEN.

1. Organisation. Ziele setzen.
2. Aktualisierung des Grundwissens. mündliche Übungen.(Folie 2-4)

1) Sind die folgenden Ungleichungen äquivalent?

a) und (nein)

b) und (ja)

2) Bestimmen Sie die Methode zur Lösung der Gleichung:

3) Bestimmen Sie den Weg zur Lösung der Ungleichung:

b) ﴾2х 2 +11х+6)﴾2х 2 +11х+13)

1. Wiederholen Sie den Algorithmus zum Lösen einer rationalen Ungleichung mit der Intervallmethode:(Folie 5)

1. Bei jedem Faktor muss der Koeffizient auf der höchsten Stufe der Variablen positiv sein, dazu muss bei allen Faktoren, bei denen der Koeffizient auf der höchsten Stufe negativ ist, das Minus abgezogen werden, und falls noch ein Minuszeichen vorhanden ist vor dem Ausdruck, dann muss die gesamte Ungleichung mit (-1) multipliziert werden.

Holen Sie sich die Wurzeln des Zählersund Diskontinuitätspunkte des Nenners.

1. Auf dem Zahlenstrahl zeichnen wir alle erhaltenen Werte auf und zeichnen eine Vorzeichenkurve.

1. Probleme lösen.(Folie 6, 7)

1. Lösen Sie die Ungleichung.

Antworten:

2. Lösen Sie die Ungleichung.
Antworten:

3. Finde die Differenz zwischen der ganzzahligen größten und kleinsten Lösung der Ungleichung

Antwort: 4.

4. Lösen Sie die Ungleichung.
Antworten:

5. Finden Sie das Produkt der größten negativen ganzen Zahl und der kleinsten positiven ganzen Zahl der Lösung der Ungleichung

Antwort: -42.

6. Finde die kleinste ganzzahlige Lösung der Ungleichung.

7. Wie viele Primzahlen sind Lösungen der Ungleichung?

Antwort 1.

1. Persönliche Karten für Verifizierungsarbeiten.

Kartennummer 1.

1. Lösen Sie die Ungleichung:

≤ .

a) [-4; -2) ∪ (0;5],

b) (–1, 0] ∪ ,

d) Es gibt keine Lösungen.

2. Finden Sie die größte ganze Zahl x, die die Ungleichung erfüllt:

- > 1.

a) x ∈ (- ∞ ; -3,5),

B) -3,

um 4,

d) Es gibt keine Lösungen.

Kartennummer 2.

1. Finden Sie die größte ganze Zahl x, die die Ungleichung erfüllt:

- > -.

a)5,

b) -3,

um 4,

d) Es gibt keine Lösungen.

2. Lösen Sie die Ungleichung:

a) (-9; -5) ∪ (0; 8),

B) (–8, -7) ∪ (1; 3),

B) (- ∞ ; -7) ∪ (1; 3),

D) Es gibt keine Lösungen.

Kartennummer 3.

1. Lösen Sie die Ungleichung:

a) (- ∞ ; -3) ∪ (0; 3,

B) (–3, 0) ∪ (0; ∞ ),

B) (5; 7),

D) Es gibt keine Lösungen.

2. Finde ganzzahlige Lösungen von Ungleichungen:

a) 0, 1, 2,

B) 4, 5,

UM 7,

D) Es gibt keine Lösungen.

Kartennummer 4.

1. Lösen Sie die Ungleichung:

a) (- ∞ ; -3/25) ∪ (0; ∞ ),

b) (–12, 0) ∪ (7;9),

B) (- ∞ ;) ∪ (; 5),

D) Es gibt keine Lösungen.

2. Finden Sie die Summe der ganzzahligen Lösungen der Ungleichung

a) 2,

b) 4,

c) 0,

d) 1,

e) 3.

1. Zusammenfassend.

Während des Unterrichts festigten die Schüler die Fähigkeit, rationale Ungleichungen zu lösen, und betrachteten die Lösung rationaler Ungleichungen verschiedener Komplexitätsgrade. In der Praxis zeigten die Studierenden die Fähigkeit, die Methode der Intervalle bei der Lösung rationaler Ungleichungen anzuwenden. Besonderes Augenmerk sollte auf die Lösung nicht-strikter rationaler Ungleichungen gelegt werden.

1. Hausaufgaben.(Folie 8)

1. Finde die kleinste ganzzahlige negative Lösung der Ungleichung

2. Lösen Sie die Ungleichung.
3. Finden Sie die Summe der größten und kleinsten ganzzahligen Lösungen der Ungleichung

.

1. Literaturverzeichnis:

1. Algebra: Proc. Für 9 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen. / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. - 2. Aufl. – M.: Aufklärung, 2003. – 255 S.
2. Algebra Klasse 8. Aufgaben für die Ausbildung und Entwicklung von Studenten. / Belenkova E.Yu., Lebedintseva E.A. - M.: Intellekt - Mitte, 2003. - 176 p.
3. "Small USE" in Mathematik: Klasse 9: Vorbereitung auf die Abschlusszertifizierung / M.N. Kochagin, V.V. Kochagin. – M.: Eksmo, 2008. – 192 S.

Lektion Nr.: 16 Datum:_________

Unterrichtsthema: "Systeme rationaler Ungleichheiten".

Unterrichtsziele:

lehrreich: Förderung der Entwicklung von Fähigkeiten zur Lösung von Ungleichheitssystemen; lernen zu finden gemeinsame Entscheidung Ungleichheitssysteme; lehren, ein System mit quadratischen Ungleichungen zu lösen; wiederholen Sie die Intervallmethode;

Entwicklung: zu lehren, Gedanken mündlich auszudrücken, Schlussfolgerungen zu ziehen, zusammenzufassen, Selbstbeherrschungsfähigkeiten zu entwickeln;

lehrreich: zu lehren, zuzuhören und den Standpunkt anderer zu akzeptieren, einen Sinn für Patriotismus zu kultivieren, Liebe für das Thema zu vermitteln.

Unterrichtsart: kombiniert.

Während des Unterrichts

Zeit organisieren:

Schöne Grüße;

Überprüfung der Bereitschaft der Schüler für den Unterricht;

Bekanntgabe des Themas und Formulierung der Unterrichtsziele;

Untersuchung Hausaufgaben.

Hausaufgaben mündlich kontrollieren. Besprechen Sie Aufgaben, die für Schüler schwierig sind.

II. Übungen machen.

1. Erinnere dich an die Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms.

2. Wiederholen Sie die Intervallmethode beim Lösen quadratischer Ungleichungen.

3. Löse Nr. 4.9 (d). Die Lösung wird vom Lehrer erklärt.

1) Ungleichheit lösen 3 X – 10 5X – 5; 3X – 5X – 5 + 10; – 2X 5;
X

2) Lösen Sie die Ungleichung X 2 + 5X + 6 X 2 + 5X + 6 = 0; D = 1; X 1 = – 3;
X 2 = - 2; dann ( X + 3)(X + 2)

Wir haben - 3 X

3) Finden Sie eine Lösung für das System der Ungleichungen

Antworten: – 3 X

4. Löse Nr. 4.9 (c) selbstständig mit Verifikation.

Antwort: Keine Lösungen.

5. Lösen Sie Nr. 4.10 (d). Der Lehrer erklärt. Wiederholen Sie zuerst den quadratischen Trinomsatz mit negativer Diskriminante.

G)

1) Lösen Sie die Ungleichung - 2 X 2 + 3X – 2 X 2 + 3X – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 X.

2) Lösen Sie die Ungleichung –3(6 X – 1) – 2X X; – 18X + 3 – 2X X; – 20X – X X X Lösung dieses Systems von Ungleichungen X

Antworten: X

6. Lösen Sie Nr. 4.10 (c) an der Tafel und in Heften.

in)

Lösen wir die Ungleichung 5 X 2 – 2X + 1 ≤ 0. 5X 2 –2X + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16

Nach dem Satz hat die Ungleichung keine Lösungen, was bedeutet, dass das gegebene System keine Lösungen hat.

Antwort: Keine Lösungen.

7. Lösen Sie Aufgabe 4.11 (c) selbstständig. Ein Schüler löst an der Tafel, andere in Heften, dann wird die Lösung überprüft.

in)

1) Ungleichheit lösen 2 X 2 + 5X + 10 0. 2X 2 + 5X + 10 = 0; D = –55

Nach dem Satz gilt die Ungleichung für alle Werte X.

2) Lösen Sie die Ungleichung X 2 ≥ 16; X 2 – 16 ≥ 0; (X – 4)(X + 4) ≥ 0; X = 4;
X = – 4.

Entscheidung X≤ –4 und X ≥ 4.

3) Lösung des Systems der Ungleichungen

Antworten: X ≤ – 4; X ≥ 4.

8. Lösen Sie Nummer 4.32 (b) an der Tafel und in Heften.

Entscheidung

Die kleinste Ganzzahl ist -2; die größte ganze Zahl ist 6.

A n e t: -2; 6.

9. Wiederholung von zuvor gelerntem Material.

1) Löse Nr. 4.11 (a; b) auf p. 12 mündlich.

2) Lösen Sie Nr. 4.12 (b) durch Zeichnen von Funktionsgraphen (S. 12).

b)

Wir bauen Graphen von Funktionen
und j = –1 – x.

Antwort: -2.

III. Unterrichtsergebnisse.

1. Im Algebrakurs der 9. Klasse werden wir nur Systeme von zwei Ungleichungen betrachten.

2. Wenn in einem System von mehreren Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung keine Lösungen hat, dann hat das System keine Lösungen.

3. Wenn in einem System aus zwei Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung für beliebige Werte der Variablen gilt, dann ist die Lösung des Systems die Lösung der zweiten Ungleichung des Systems.

Hausaufgaben: Nr. lösen: 4.9 (a; b), Nr. 4.10 (a; b), Nr. 4.11 (a; b), Nr. 4.32 (a).

Methodische Entwicklung

Algebra-Unterricht in Klasse 9 (2).

Lehrer R. I. Maslyuk

Thema: Lösen gebrochener rationaler Ungleichungen mit der Intervallmethode

Ziele:

Stärken Sie die Fähigkeiten zum Lösen quadratischer Ungleichungen

Die Fähigkeit zum Lösen gebrochen-rationaler Ungleichungen mit der Intervallmethode bilden.

Bilden Sie das Konzept einer Menge von Lösungen; bei den Schülern eine Kultur des Entwerfens einer geometrischen Interpretation zur Lösung von Ungleichungen zu entwickeln.

Aktualisieren Sie Ihr Wissen über Methoden zur Lösung quadratischer Ungleichungen basierend auf visuell-geometrischen Interpretationen;

Entwickeln Sie die Fähigkeit, Wissen in einem Komplex unter neuen Bedingungen unabhängig anzuwenden.

Aufgaben:

Lehrreich: Vertiefung des Themas auf der Grundlage vorhandener Kenntnisse, Festigung praktischer Fähigkeiten und Fähigkeiten zur Lösung von Problemen mit erhöhter Komplexität als Ergebnis der unabhängigen Arbeit der Studenten und der Vortrags- und Beratungstätigkeit der am besten vorbereiteten von ihnen.

Lehrreich: Entwicklung kognitives Interesse, Selbständigkeit des Denkens, Gedächtnis, Eigeninitiative der Schüler durch den Einsatz von Methoden und Elementen der kommunikativen Aktivität Problem beim Lernen.

Lehrreich: Bildung von Kommunikationsfähigkeiten, Kommunikationskultur, Zusammenarbeit.

Dirigiermethoden:

Vorlesung mit Konversationselementen und problembasiertem Lernen;

Vortrags- und Beratungstätigkeit einer Gruppe von Studierenden mit hoher Kompetenz zur Lösung von Problemen erhöhter Komplexität;

Selbstständige Arbeit Studenten;

Entwicklung einer Kultur der Registrierung der Lösung quadratischer Ungleichungen.

Schlüsselkompetenzen:

Information und Bildung: die Fähigkeit, mit Notizen zu arbeiten, die Fähigkeit, sich die von einem Klassenkameraden präsentierte Lösung anzuhören, die Hauptsache in der Lösung auszuwählen, Schlussfolgerungen zu ziehen und zu verallgemeinern.

Gesprächig: die Fähigkeit, einen Dialog zu führen, ihren Standpunkt zu beweisen.

Gegenstand: die Fähigkeit, eine quadratische Funktion auf einem Segment zu untersuchen, indem die Konstanz der Funktion in einem bestimmten Intervall verwendet wird; Verwenden Sie die graphanalytische Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

Zum Zeitpunkt des Unterrichts Studierende sollten in der Lage sein:

Verwenden des Zahlenstrahls, um den Schnittpunkt und die Vereinigung von Zahlenmengen zu finden

Finden Sie mit der Diskriminanzformel und dem Satz von Vieta die Nullstellen eines quadratischen Trinoms

Verwandeln quadratisches Trinom in das Produkt linearer Faktoren

Während des Unterrichts

Organisatorischer Moment.

Wissenscheck:

1) Kontrolle der Hausaufgaben Nr. 333; 334; (Überprüfung der Antworten mit Diskussion der Punkte, die Schwierigkeiten bei der Hausaufgabenbearbeitung verursacht haben)

2)Aktualisierung des Grundwissens .

Mündliche Arbeit

(Folien) mit Diskussion und geometrischer Interpretation an der Tafel:

Ja

Nein

Ja

Nein

Faktorisieren

Löse die Ungleichung

Finde eine Lösung für die Ungleichung

Antworten: 1) (х+3) 2 ;2) (-∞;-3) U (-3;+ ∞); 3)(-∞;-1) U (1;+ ∞);4)(0;2);5)(-4;-2)

3. Motivation für die Anwendung des Lösungsalgorithmus

fraktionale rationale Ungleichungen.

Lösung fraktionaler rationaler Ungleichungen

Antworten

a)

(-∞ ;-3)U(5;+∞)

b )

(-∞ ;-4)U(-1; 1)U

c) x

(-2;1]

2) a) x

(-∞;-2)UU (2;+ ∞)

b) x

(-∞;-1]U (0;+1]U (2;+ ∞)

in)

[-4 ;-2)U (1 ;3 ]

3) a)

[-3;-1) U U U(-2 ;1)U U (2 ;+ ∞)

in)

(-∞;-8)U(-1 ;8)U (8 ;+ ∞)

G )

(-∞;-2]U(-1 ;2]U (3 ;+ ∞)

Die Gruppenarbeit wird nach Ebenen durchgeführt. Jede Gruppe präsentiert ihre Lösung an der Tafel. Die restlichen Gruppen treten als Gegner auf. Schätzungen für die Arbeit werden kollektiv durch Abstimmung festgelegt.

Verallgemeinerung des Themas

Lösen von Ungleichungen und Ungleichungssystemen nach der Intervallmethode.

Mit wem wolltest du arbeiten?

Wofür möchtest du dich im Unterricht loben?

Was hat dir am Unterricht am besten gefallen?

Wem möchten Sie für die Lektion danken?

Hausaufgaben KapitelIII , Punkt 6

Stufe I - Nr. 334 (a, c), 339 (a)

II. Niveau - №№335,339 (b)

Stufe III - №№ 336, 339,379

Diese Lektion wird in der neunten Klasse unterrichtet und ist die erste Lektion, in der die Lösung von anderen als linearen Ungleichungen vorgeschlagen wird. Der Band ist für eine Lyzeumsstunde (80 Minuten) ausgelegt. Es wird vor dem Unterricht gegeben, wo gezeigt wird, wie das Modul erweitert werden kann. In den Lehrbüchern für die 8. Klasse (Alimov) und die 9. Klasse (Makarychev) wird dieses Material unzureichend dargestellt, und die Fehleranalyse weist auf ein schlechtes Verständnis der zukünftigen Verwendung dieser Methode durch die Schüler hin.

Die Praxis zeigt, dass erfahrene Lehrer versuchen, das Konzept der Intervallmethode in den Klassen 10-11 zu erweitern, was jedoch zusätzliche Zeit in Anspruch nimmt. Die beschriebene Vorgehensweise ermöglicht Schülerinnen und Schülern der 9. Klasse, die Fähigkeit zur Lösung komplexer Ungleichungen zu bilden und auf dieser Grundlage die Möglichkeiten der Methode ohne zusätzliche Erklärungen zu nutzen. In den Klassen 10-11 muss noch die Methode der Intervalle zur Lösung von Ungleichungen gezeigt werden, die exponentielle, Logarithmische Funktion usw.

Gliederung der Lektion

"Lösung rationaler Ungleichungen".

Methoden: erklärend-anschaulich, reproduktiv, Forschung.

Unterrichtstyp: Wissensaufbau und -festigung.

Form: Vortrag-Gespräch.

1. Lehrreich: rationale Ungleichungen definieren und lehren, wie man Ungleichungen mit der Intervallmethode löst; erarbeiten die Konzepte „besonderer“ Fälle und berücksichtigen sie bei der Lösung von Ungleichungen.
2. Entwicklung: die Schüler auf Vorlesungsformen des Unterrichts vorzubereiten und sie daran zu gewöhnen, Informationen in großen Blöcken wahrzunehmen; logisches Denken, Unabhängigkeit und Selbstbeherrschung entwickeln; Bildung von mentalen Operationen (Analyse, Synthese, Auswahl der Hauptsache); Vision der Verbindung mit nachfolgendem Material.

Pädagogische Aufgaben: Entwicklung rationaler Kommunikation; Entwicklung persönlicher Qualitäten (Fürsorge, Unterstützung, Unabhängigkeit, Hilfe für andere, Empathie).

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

II. Aktualisierung des Wissens der Schüler.

Mündliches Zählen wird durchgeführt, um die Schüler auf die Wahrnehmung von neuem Material vorzubereiten.

Es werden Beispiele betrachtet, die Rückschlüsse auf Ausdrücke zulassen, die das Ungleichheitszeichen nicht beeinflussen, aber die Lösung der Ungleichung erheblich beeinflussen.

Die Schüler schließen:

ein Ausdruck mit gerader Potenz wirkt sich nicht auf das Ungleichheitszeichen, aber auf die Lösung aus und kann nicht ohne zusätzliche Einschränkungen verworfen werden.

2) Betrachten Sie die Lösung der Ungleichung.

Betont wird die Tatsache, dass der Ausdruck (x +3) wirkt sich auch nicht auf das Ungleichheitszeichen aus, kann aber nicht ignoriert werden, da sonst die Lösung falsch ist.

Diese beiden Fälle (Ausdrücke in gleichem Maße; abgekürzte Ausdrücke) werden klassifiziert als besondere Anlässe und dies wird bei der Beschreibung des Algorithmus berücksichtigt.

3) Den Schülern werden zwei Ausdrücke gegeben:

und ein V Berücksichtigen Sie das Vorzeichen von Ausdrücken in den folgenden Fällen:

A B C D)

Fazit: Was Studierende tun: Schild Quotient stimmt mit dem Vorzeichen des Produkts überein.

Dies ermöglicht in Zukunft, nicht mehr vom Einzelnen zum Produkt zu wechseln. Gewöhnlich tritt bei diesem Übergang auch der Verlust des Nenners überhaupt auf.

4) Wir arbeiten weiter mit dem Funktionsgraphen.

SONDERN)
	Y=f(x) Wann wechselt eine Funktion das Vorzeichen?

Fazit:wenn die Funktion durch Null geht. Dies wird durch Abbildung B bestätigt)

Fazit: diese Funktion gehört zur Kategorie der Sonderfälle, als sogar Grad Funktion wirkt sich nicht auf das Ungleichheitszeichen aus, es findet kein Vorzeichenwechsel statt.

Fazit: Das bedeutet das diese Punkte, die verschwinden Nenner(Knickpunkte) sind auch als Punkte zu berücksichtigen, durch die die Funktion ihr Vorzeichen wechselt.

III. Bildung von neuem Wissen

Nach der mündlichen Arbeit wird ein Algorithmus der Intervallmethode geschrieben, der es auch Schülern mit unzureichender mathematischer Vorbildung ermöglicht, recht komplexe Ungleichungen zu lösen. Parallel zum Schreiben des Algorithmus wird ein Beispiel analysiert, und beim Erklären ist es nicht notwendig, von einfach zu komplex zu gehen, sondern Sie können im Gegenteil sicher von komplex zur Lösung der einfachsten Ungleichungen übergehen und die von uns analysierte Bemerkung machen der Algorithmus, der in allen Fällen funktioniert, manchmal (je nach Beispiel) . Einige Elemente werden nicht funktionieren.

Es gibt viele verschiedene Methoden zum Lösen rationaler Ungleichungen, aber die gebräuchlichste und bequemste Methode, die das Lösen von Ungleichungen vereinfacht, ist die Methode der Intervalle.

Wir machen zunächst einige Bemerkungen, die wir in der Praxis anwenden werden, und führen in die Definition rationaler Ungleichungen ein.

Definition: Rationale sind Ungleichungen, die nur ganze rationale und gebrochene rationale Funktionen enthalten.

Rationale Ungleichungen können mit der Intervallmethode gelöst werden, basierend auf einer einfachen Beobachtung: Das Vorzeichen des Produkts (Quotient) hängt nur von den Vorzeichen der einzelnen Faktoren (Teiler und Teiler) ab.

Die Idee ist folgende: Der Zahlenstrahl wird durch die Nullstelle der Funktion in endlich viele Intervalle geteilt, in denen die Funktion jeweils ihr Vorzeichen behält. Um dieses Vorzeichen zu bestimmen, müssen Sie den Wert der Funktion an einem beliebigen Punkt aus jedem dieser Intervalle berechnen.

Sie lässt sich vereinfachen, wenn wir den Begriff der Sonderfälle festschreiben, die das Vorzeichen des Intervalls betreffen.

Wir werden auf sie verweisen:

1. Der lineare Multiplikator hat eine gerade Potenz.
2. Ein Ausdruck, der abgekürzt werden kann.

Außerdem müssen Sie alle Faktoren in die Form (x-µ) bringen, denn wenn die Funktion die Form F(x)=(x-µ)(x-µ)….(x-µ) hat, können Sie das die Vorzeichen der Intervalle abwechseln, ohne das Vorzeichen jedes Intervalls zu definieren, weil dies ist manchmal unpraktisch (Bruchwerte, die nahe beieinander liegen).

Betrachten Sie den Algorithmus anhand eines Beispiels, das die von uns festgelegten Bemerkungen enthält.

Bei einem allgemeinen Algorithmus ist zu beachten, dass in einigen Beispielen nicht alle Punkte funktionieren, sodass er erheblich reduziert werden kann.

1. Ordnen Sie den Ausdruck im Zähler und im Nenner in lineare Faktoren.

> 0

2. Betrachten Sie Spezialfälle (Multiplikatoren mit geradem Exponenten und solche Multiplikatoren, die reduziert werden).

3. Wir schreiben die Ungleichung neu, wobei wir die Faktoren ausschließen, die in eine Reihe von Spezialfällen fielen:

4. Setze jeden Faktor des Zählers und Nenners gleich Null und finde alles X aus diesen Gleichheiten.

5. Auf der Koordinatenlinie markieren wir diese Werte X, die in Schritt 4 erhalten wurden, unter Berücksichtigung des Vorzeichens ( < ; >).

6. Überprüfen Sie das Vorzeichen der Funktion in einem der Intervalle. In den restlichen Intervallen wechseln sich die Zeichen streng ab

ich

7. Schreiben Sie die Antwort unter Berücksichtigung von Sonderfällen auf

Betrachten Sie nach dem Studium des Algorithmus Beispiele:

x 2 - 4 x + 6 > 0 bei x

Hausaufgaben:

Beispiele aus dem Lehrbuch

a. (x - 2) 3 (x+1)(x - 1) 2 (x 2 + 2x + 5)< 0

b.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Bei der Vorbereitung des Unterrichts wurden Materialien aus den IPKRO-Umschulungskursen verwendet.

In dieser Lektion erinnern wir uns an das gesamte Material, das zu diesem Thema behandelt wurde, und lösen Beispiele mit verschiedenen Arten von Ungleichungen. Wiederholen wir zunächst die Methode der Intervalle und die Schnitt- und Vereinigungsoperationen von Mengen. Als nächstes werden wir Beispiele mit Standardlösungstechniken lösen.

Thema: Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme

Lektion: Überblicksstunde zum Thema: "Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme"

Wir haben die Komplexität von Ungleichheitssystemen schrittweise erhöht: Zuerst haben wir gelöst lineare Systeme, dann quadratische Ungleichungen hinzugefügt, rationale Ungleichheiten, stellten selbst Systeme dar, und so entwickelten wir eine Methodik zur Lösung von Ungleichungssystemen.

Es enthält wichtige Elemente:

1.Abstandsmethode als Methode zur Lösung individueller Ungleichungen.

2. Die Schnitt- und Vereinigungsoperation numerischer Mengen.

Werfen wir einen Blick auf diese Elemente. Erinnern Sie sich an einem Beispiel an die Intervallmethode:

Betrachten Sie die Funktion

Finden Sie die Wurzeln eines quadratischen Trinoms

Finden Sie die Nullstellen mit dem Satz von Vieta

Lassen Sie uns Intervalle der Vorzeichenkonstanz herausgreifen.

Beim Durchgang durch m.-1 ändert die Funktion nicht das Vorzeichen, weil Klammer in einem geraden Grad.

Wir haben einen Fehler gemacht, indem wir keine Insellösung angeboten haben.

Antworten:

Lassen Sie uns eine Skizze des Graphen der Funktion zeichnen.

Die Intervallmethode ist das wichtigste Element bei der Lösung rationaler Ungleichungen und Systeme.

Die Bedeutung der Schnitt- und Vereinigungsoperationen von Mengen, einschließlich der numerischen, hilft, das folgende Bild zu verstehen:

Schnittmenge von vielen.

Wir haben eine Menge A mit einigen Elementen und eine Menge B. Einige dieser Elemente fallen gleichzeitig sowohl in die Menge A als auch in die Menge B, und dies wird Schnittmenge von A und B genannt (Abb. 3).

Zum Beispiel:

2.

Ihre Schnittmenge ergibt die folgende Menge:

Vereinigung von Mengen.

Es gibt Elemente, die nur in Menge A enthalten sind, es gibt Elemente, die nur in Menge B enthalten sind. Es gibt Elemente, die sowohl dort als auch dort enthalten sind – diese Elemente bilden die Schnittmenge von Mengen.

Und alle Elemente von A und die fehlenden Elemente von B bilden eine Vereinigung von Mengen (Abb. 5).

Zum Beispiel:

(Reis. 6).

Die Lösung der Ungleichung ist die Vereinigung zweier Mengen:

Noch ein Beispiel.

Finden Sie den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen.

Schnittmenge von vielen:

Vereinigung von Mengen:

Die Lösung ist eine beliebige Zahl

5.

Lösen Sie ein System einfacher Ungleichungen.

Antworten:

Wir wiederholten die Methode der Intervalle, die Operationen der Vereinigung und des Schnitts von Mengen. Betrachten Sie nun das inverse Problem, das es uns ermöglicht, die Bedeutung der Lösung von Ungleichungen besser zu verstehen.

Wenn Sie eine Lösung für eine Ungleichung gefunden haben, müssen Sie mindestens eine Ungleichung finden, für die sie gilt.

6. Finden Sie eine Ungleichung, deren Lösung die gegebene Vereinigung von Mengen ist.

Das könnte die Lösung sein quadratische Ungleichung. Zeitplan der jeweiligen quadratische Funktion ist eine Parabel, die durch die Punkte 2 und 4 geht.

Betrachten Sie Aufgaben mit einem Modul.

Betrachten Sie die erste Ungleichung. Was ? Dies ist die Entfernung vom Punkt mit Koordinaten x zu Punkt 3. A bedeutet, dass der Abstand zwischen diesen Punkten nicht mehr als 2 beträgt. Lass es uns grafisch darstellen:

Lösen wir die zweite Ungleichung.

Betrachten Sie die Funktion

Der Graph ist eine Parabel, die Zweige sind nach oben gerichtet.

Kommen wir zurück zum System.

Antworten:

Verwandte Aufgaben.

Finden Sie die kleinste Lösung. Antwort: Für dieses System gibt es keine kleinste Lösung.

Finden größte Lösung. Antworten:

Wir haben die Lösung von Systemen rationaler Ungleichungen überprüft. Wir haben die Hauptelemente betrachtet, die den Erfolg der Technik zur Lösung von Ungleichungen sicherstellen. Was braucht es, um die Ungleichheit zu lösen? Intervallmethode. Was wird benötigt, um eine Lösung typischer Systeme zu erhalten? Sie müssen sich die Operationen von Schnitt und Vereinigung vorstellen.

Wir werden im Folgenden Ungleichungen benötigen.

1. Mordkovich A.G. und andere Algebra 9. Klasse: Proc. Für die Allgemeinbildung Institutionen - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: mit Abb.

2. Mordkovich A.G. und andere Algebra Klasse 9: Aufgabenheft für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina und andere - 4. Aufl. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: mit Abb.

3. Yu N. Makarychev, Algebra. Klasse 9: Lehrbuch. für allgemeinbildende Schülerinnen und Schüler. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. Aufl., Rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Klasse 9 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. Aufl., gelöscht. — M.: 2010. — 224 S.: mit Abb.

6. Algebra. Klasse 9 Bei 2 Stunden Teil 2. Aufgabenbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. Aufl., Rev. — M.: 2010.-223 S.: mit Abb.

1. Portal Naturwissenschaften ().

2. Portal der Naturwissenschaften ().

3. Portal der Naturwissenschaften ().

4. Portal der Naturwissenschaften ().

5. Elektronisch Schulungs- und Methodenkomplex um die Klassen 10-11 auf Aufnahmeprüfungen in Informatik, Mathematik, Russisch vorzubereiten ().

7. Bildungszentrum "Technologie der Bildung" ().

8. Bildungszentrum "Lehrtechnik" ().

9. Bildungszentrum "Technologie der Bildung" ().

10. College.ru Abschnitt über Mathematik ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 82 - 84; Heim Prüfung № 1.