Eines der Hauptmerkmale in der Algebra und in der Tat in der gesamten Mathematik ist ein Abschluss. Natürlich können im 21. Jahrhundert alle Berechnungen auf einem Online-Rechner durchgeführt werden, aber für die Entwicklung des Gehirns ist es besser, zu lernen, wie man es selbst macht.

In diesem Artikel werden wir die wichtigsten Fragen zu dieser Definition betrachten. Wir werden nämlich verstehen, was es im Allgemeinen ist und was seine Hauptfunktionen sind, welche Eigenschaften in der Mathematik existieren.

Schauen wir uns Beispiele an, wie die Berechnung aussieht, was die grundlegenden Formeln sind. Wir werden die Haupttypen von Größen analysieren und wie sie sich von anderen Funktionen unterscheiden.

Wir werden verstehen, wie verschiedene Probleme mit diesem Wert gelöst werden können. Wir zeigen anhand von Beispielen, wie man auf null Grad anhebt, irrational, negativ usw.

Online Potenzierungsrechner

Was ist der grad einer zahl

Was versteht man unter dem Ausdruck „eine Zahl potenzieren“?

Der Grad n einer Zahl a ist das Produkt von Größenfaktoren a n mal hintereinander.

Mathematisch sieht das so aus:

ein n = ein * ein * ein * …ein n .

Zum Beispiel:

• 2 3 = 2 im dritten Schritt. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 im Schritt. zwei = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 im Schritt. vier = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 in 5 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 in 4 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Unten ist eine Tabelle mit Quadraten und Würfeln von 1 bis 10.

Gradtabelle von 1 bis 10

Unten sind die Ergebnisse der Konstruktion natürliche Zahlen zu positiven Potenzen - "von 1 bis 100".

Ch-lo	2. Klasse	3. Klasse
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Grad Eigenschaften

Was ist charakteristisch für eine solche mathematische Funktion? Schauen wir uns die grundlegenden Eigenschaften an.

Wissenschaftler haben Folgendes festgestellt Zeichen, die für alle Grade charakteristisch sind:

• ein n * ein m = (a) (n+m) ;
• ein n: ein m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Andererseits 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Ähnlich: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Sonst 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Was ist, wenn es anders ist? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Wie Sie sehen können, funktionieren die Regeln.

Aber wie zu sein mit Addition und Subtraktion? Alles ist einfach. Zuerst wird potenziert und erst dann addiert und subtrahiert.

Schauen wir uns Beispiele an:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Aber in diesem Fall müssen Sie zuerst die Addition berechnen, da Aktionen in Klammern stehen: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Wie man produziert Berechnungen in komplexeren Fällen? Die Reihenfolge ist die gleiche:

• Wenn Klammern vorhanden sind, müssen Sie mit ihnen beginnen.
• dann Potenzierung;
• dann führen Sie Multiplikations- und Divisionsoperationen durch;
• nach Addition, Subtraktion.

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die nicht für alle Abschlüsse charakteristisch sind:

1. Die Wurzel des n-ten Grades von der Zahl a bis zum Grad m wird geschrieben als: a m / n .
2. Bei der Potenzierung eines Bruchs: Sowohl der Zähler als auch sein Nenner unterliegen diesem Verfahren.
3. Wenn das Produkt verschiedener Zahlen potenziert wird, entspricht der Ausdruck dem Produkt dieser Zahlen mit einer bestimmten Potenz. Das heißt: (a * b) n = ein n * b n .
4. Wenn Sie eine Zahl negativ potenzieren, müssen Sie im selben Schritt 1 durch eine Zahl teilen, jedoch mit einem „+“-Zeichen.
5. Wenn der Nenner eines Bruchs in einer negativen Potenz steht, dann ist dieser Ausdruck gleich dem Produkt aus Zähler und Nenner in einer positiven Potenz.
6. Jede Zahl hoch 0 = 1 und hochgerechnet auf den Schritt. 1 = für sich.

Diese Regeln sind im Einzelfall wichtig, wir gehen weiter unten näher darauf ein.

Grad mit negativem Exponenten

Was tun mit einem negativen Abschluss, dh wenn der Indikator negativ ist?

Basierend auf Eigenschaften 4 und 5(siehe Punkt oben) es stellt sich heraus:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Umgekehrt:

1 / A (- n) \u003d Ein n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Was ist, wenn es ein Bruchteil ist?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad mit einem natürlichen Indikator

Es wird als Grad mit Exponenten gleich ganzen Zahlen verstanden.

Dinge, an die Sie sich erinnern sollten:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 … usw.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 … usw.

Auch wenn (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… dann wird das Ergebnis mit einem „+“ Zeichen sein. Wenn eine negative Zahl mit einer ungeraden Potenz potenziert wird, dann umgekehrt.

Allgemeine Eigenschaften und alle oben beschriebenen spezifischen Merkmale sind auch für sie charakteristisch.

Bruchgrad

Diese Ansicht kann als Schema geschrieben werden: A m / n. Es wird gelesen als: die Wurzel des n-ten Grades der Zahl A hoch m.

Mit einem Bruchindikator können Sie alles tun: reduzieren, in Teile zerlegen, auf einen anderen Grad erhöhen usw.

Grad mit irrationalem Exponenten

Sei α eine irrationale Zahl und À ˃ 0.

Um die Essenz des Abschlusses mit einem solchen Indikator zu verstehen, Schauen wir uns verschiedene mögliche Fälle an:

• A \u003d 1. Das Ergebnis ist gleich 1. Da es ein Axiom gibt, ist 1 in allen Potenzen gleich eins;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 sind rationale Zahlen;

• 0˂А˂1.

In diesem Fall umgekehrt: À r 2 ˂ À α ˂ À r 1 unter den gleichen Bedingungen wie im zweiten Absatz.

Der Exponent ist beispielsweise die Zahl π. Es ist rational.

r 1 - in diesem Fall ist es gleich 3;

r 2 - wird gleich 4 sein.

Dann ist für A = 1 1 π = 1.

A = 2, dann 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, dann (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Solche Abschlüsse zeichnen sich durch alle oben beschriebenen mathematischen Operationen und spezifischen Eigenschaften aus.

Fazit

Fassen wir zusammen - wofür sind diese Werte, was sind die Vorteile solcher Funktionen? Natürlich vereinfachen sie in erster Linie das Leben von Mathematikern und Programmierern beim Lösen von Beispielen, da sie es ermöglichen, Berechnungen zu minimieren, Algorithmen zu reduzieren, Daten zu systematisieren und vieles mehr.

Wo kann dieses Wissen noch nützlich sein? In allen Arbeitsgebieten: Medizin, Pharmakologie, Zahnmedizin, Bauwesen, Technologie, Ingenieurwesen, Design usw.

Artikel zu Naturwissenschaften und Mathematik

Eigenschaften von Potenzen mit gleicher Basis

Dort sind drei Grad Eigenschaften mit den gleichen Basen und natürlichen Indikatoren. Das

• Arbeit Summe
• Privat zwei Potenzen mit derselben Basis sind gleich einem Ausdruck, bei dem die Basis und der Exponent gleich sind Unterschied Indikatoren der ursprünglichen Multiplikatoren.
• Potenzieren einer Zahl mit einer Potenz ist gleich einem Ausdruck, bei dem die Basis und der Exponent dieselbe Zahl sind Arbeit zwei Grad.

Seien Sie aufmerksam! Regeln bzgl Addition und Subtraktion Kräfte mit gleicher Basis existiert nicht.

Wir schreiben diese Eigenschaften-Regeln in Form von Formeln:

• bin? ein n = ein m+n
• bin? ein n = ein m–n
• (am) n = ein mn

Betrachten Sie sie nun an konkreten Beispielen und versuchen Sie zu beweisen.

5 2 ? 5 3 = 5 5 - hier haben wir die Regel angewendet; und nun stellen Sie sich vor, wie wir dieses Beispiel lösen würden, wenn wir die Regeln nicht kennen würden:

5 2 ? 5 3 = 5? 5 ? 5 ? 5 ? 5 \u003d 5 5 - Fünf zum Quadrat ist fünf mal fünf, und in Würfel geschnitten ist das Produkt aus drei Fünfen. Das Ergebnis ist ein Produkt aus fünf Fünfern, aber das ist etwas anderes als fünf hoch fünf: 5 5 .

3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Schreiben wir die Division als Bruch:

Es kann gekürzt werden:

Als Ergebnis erhalten wir:

Wir haben also bewiesen, dass beim Teilen zweier Potenzen mit denselben Basen ihre Indikatoren subtrahiert werden müssen.

Beim Dividieren ist es jedoch unmöglich, dass der Divisor gleich Null ist (da man nicht durch Null dividieren kann). Da wir außerdem Grade nur mit natürlichen Indikatoren betrachten, können wir durch Subtrahieren der Indikatoren keine Zahl kleiner als 1 erhalten.Daher ist die Formel a m ? a n = a m–n Beschränkungen werden auferlegt: a ? 0 und m > n.

Kommen wir zur dritten Eigenschaft:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

Schreiben wir in erweiterter Form:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Sie können zu diesem Schluss kommen und logisch argumentieren. Du musst zwei zum Quadrat viermal multiplizieren. Aber es gibt zwei Zweien in jedem Quadrat, also gibt es insgesamt acht Zweien.

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Regeln für Addition und Subtraktion.

1. Durch eine Änderung der Stellen der Terme ändert sich die Summe nicht (Kommutativgesetz der Addition)

13+25=38 kann geschrieben werden als: 25+13=38

2. Das Ergebnis der Addition ändert sich nicht, wenn benachbarte Terme durch ihre Summe ersetzt werden (eine assoziative Eigenschaft der Addition).

10+13+3+5=31 kann geschrieben werden als: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 usw.

3. Einer wird mit Einer addiert, Zehner mit Zehner und so weiter.

34+11=45 (3 Zehner plus 1 Zehner; 4 Einer plus 1 Eins).

4. Einheiten werden von Einer subtrahiert, Zehner von Zehner usw.

53-12=41 (3 Einheiten minus 2 Einheiten; 5 Zehner minus 1 Zehner)

Hinweis: 10 Einheiten machen eins zehn. Dies muss beim Subtrahieren beachtet werden, denn Wenn die Anzahl der Einheiten des Subtrahierten größer ist als die des Reduzierten, können wir uns vom Reduzierten eine Zehn „leihen“.

41-12 \u003d 29 (Um 2 von 1 zu subtrahieren, müssen wir zuerst eine Zehnereinheit „ausleihen“, wir erhalten 11-2 \u003d 9; denken Sie daran, dass die reduzierte 1 weniger weniger hat, daher gibt es 3 Zehner und davon 1 Zehner subtrahiert Antwort 29).

5. Wenn einer von ihnen von der Summe zweier Terme subtrahiert wird, erhält man den zweiten Term.

Dies bedeutet, dass die Addition durch Subtraktion überprüft werden kann.

Zur Kontrolle wird einer der Terme von der Summe abgezogen: 49-7=42 oder 49-42=7

Wenn Sie als Ergebnis der Subtraktion einen der Terme nicht erhalten haben, dann wurde bei Ihrer Addition ein Fehler gemacht.

6. Addiert man zur Differenz den Subtrahend, erhält man den Minuend.

Dies bedeutet, dass die Subtraktion durch Addition überprüft werden kann.

Fügen Sie zur Kontrolle den Subtrahend zur Differenz hinzu: 19+50=69.

Wenn Sie als Ergebnis des oben beschriebenen Verfahrens keine Abnahme erhalten haben, dann wurde bei Ihrer Subtraktion ein Fehler gemacht.

Addition und Subtraktion rationaler Zahlen

Diese Lektion behandelt die Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen. Das Thema wird als komplex eingestuft. Hier gilt es, das gesamte Arsenal an bisher erworbenem Wissen einzusetzen.

Die Regeln zum Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen gelten auch für rationale Zahlen. Denken Sie daran, dass rationale Zahlen Zahlen sind, die als Bruch dargestellt werden können, wobei a - ist der Zähler eines Bruchs b ist der Nenner des Bruchs. Und b sollte nicht null sein.

In dieser Lektion werden wir Brüche und gemischte Zahlen zunehmend als einen gemeinsamen Ausdruck bezeichnen - Rationale Zahlen.

Unterrichtsnavigation:

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Wir berücksichtigen, dass das im Ausdruck angegebene Plus das Vorzeichen der Operation ist und nicht für Brüche gilt. Dieser Bruch hat ein eigenes Pluszeichen, das unsichtbar ist, weil es nicht aufgeschrieben wird. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

Dies ist die Addition von rationalen Zahlen mit verschiedene Vorzeichen. Um rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, müssen Sie die kleinere vom größeren Modul subtrahieren und das Zeichen, dessen Modul größer ist, vor die Antwort setzen. Und um zu verstehen, welches Modul größer und welches kleiner ist, müssen Sie die Module dieser Brüche vergleichen können, bevor Sie sie berechnen:

Der Modul einer rationalen Zahl ist größer als der Modul einer rationalen Zahl. Daher subtrahieren wir von . Habe eine Antwort bekommen. Wenn wir dann diesen Bruch um 2 reduzieren, erhalten wir die endgültige Antwort.

Auf Wunsch können einige primitive Aktionen, wie das Einschließen von Zahlen in Klammern und das Ablegen von Modulen, übersprungen werden. Dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Wir berücksichtigen, dass das im Ausdruck angegebene Minus das Vorzeichen der Operation ist und nicht für Brüche gilt.

Der Bruch ist in diesem Fall eine positive rationale Zahl mit einem unsichtbaren Pluszeichen. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition. Denken Sie daran, dass Sie dazu die Zahl gegenüber der subtrahierten Zahl zum Minuend hinzufügen müssen:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Um negative rationale Zahlen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und ein Minus vor die Antwort setzen:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

In diesem Ausdruck haben die Brüche unterschiedliche Nenner. Um es uns einfacher zu machen, bringen wir diese Brüche auf einen (gemeinsamen) Nenner. Darauf gehen wir nicht im Detail ein. Wenn Sie Probleme haben, gehen Sie unbedingt zur Bruchrechnungslektion zurück und wiederholen Sie sie.

Nachdem die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wurden, nimmt der Ausdruck die folgende Form an:

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir subtrahieren den kleineren vom größeren Modul und setzen das Zeichen vor die erhaltene Antwort, deren Modul größer ist:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wir haben die Summe von drei Begriffen. Suchen Sie zuerst den Wert des Ausdrucks und fügen Sie ihn dann zur erhaltenen Antwort hinzu

Erste Aktion:

Zweite Aktion:

Somit ist der Wert des Ausdrucks gleich.

Die Lösung für dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden

Beispiel 5. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Schließen Sie jede Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Dafür gemischte Zahl vorübergehend einsetzen

Lassen Sie uns die ganzzahligen Teile berechnen:

Im Hauptausdruck statt Schreiben Sie die resultierende Einheit:

Konvertieren wir den resultierenden Ausdruck. Dazu lassen wir die Klammern weg und schreiben Einheit und Bruch zusammen

Die Lösung für dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel 6 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. Lassen Sie uns den Rest so umschreiben, wie er ist:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Fügen wir die Module dieser Zahlen hinzu und setzen Sie ein Minus vor die erhaltene Antwort:

Der Wert des Ausdrucks ist also .

Die Lösung für dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel 7 Wertausdruck finden

Schreiben wir die gemischte Zahl in erweiterter Form. Lassen Sie uns den Rest so umschreiben, wie er ist:

Schließen Sie jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein

Lassen Sie uns die Subtraktion nach Möglichkeit durch Addition ersetzen:

Lassen Sie uns die ganzzahligen Teile berechnen:

Schreiben Sie im Hauptausdruck anstelle der resultierenden Zahl? 7

Der Ausdruck ist eine erweiterte Schreibweise einer gemischten Zahl. Sie können die Antwort sofort aufschreiben, indem Sie die Zahlen 7 und einen Bruch zusammenschreiben (das Minus dieses Bruchs verstecken)

Somit ist der Wert des Ausdrucks

Die Lösung für dieses Beispiel kann viel kürzer geschrieben werden. Wenn Sie einige Details überspringen, kann es wie folgt geschrieben werden:

Beispiel 8 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieser Ausdruck kann auf zwei Arten berechnet werden. Betrachten wir jeden von ihnen.

Erster Weg. Die ganzzahligen und gebrochenen Teile des Ausdrucks werden separat berechnet.

Schreiben wir zunächst die gemischten Zahlen in expandierter Form:

Schließen Sie jede Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Lassen Sie uns die Subtraktion nach Möglichkeit durch Addition ersetzen:

Wir haben die Summe mehrerer Terme erhalten. Wenn ein Ausdruck mehrere Terme enthält, hängt die Summe nach dem assoziativen Additionsgesetz nicht von der Reihenfolge der Operationen ab. Dies ermöglicht es uns, die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat zu gruppieren:

Lassen Sie uns die ganzzahligen Teile berechnen:

Schreiben Sie im Hauptausdruck nicht die resultierende Zahl? 3

Lassen Sie uns die Bruchteile berechnen:

Im Hauptausdruck, anstatt die resultierende gemischte Zahl zu schreiben

Um den resultierenden Ausdruck zu berechnen, muss die gemischte Zahl vorübergehend erweitert werden, dann jede Zahl in Klammern gesetzt und die Subtraktion durch Addition ersetzt werden. Dies muss sehr sorgfältig erfolgen, um die Zeichen der Begriffe nicht zu verwechseln.

Nach der Transformation des Ausdrucks haben wir einen neuen Ausdruck, der einfach zu berechnen ist. Ein ähnlicher Ausdruck war in Beispiel 7. Denken Sie daran, dass wir die ganzzahligen Teile separat addiert und den Bruchteil so gelassen haben, wie er ist:

Der Wert des Ausdrucks ist also

Die Lösung für dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden

Bei einer kurzen Lösung werden die Schritte Zahlen in Klammern setzen, Subtraktion durch Addition ersetzen, Module ablegen übersprungen. Wenn Sie an einer Schule oder einer anderen Schule studieren Bildungseinrichtung, dann müssen Sie diese primitiven Schritte überspringen, um Zeit und Platz zu sparen. Die obige kurze Lösung kann noch kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

Bereiten Sie sich daher in der Schule oder in einer anderen Bildungseinrichtung darauf vor, dass einige Aktionen im Kopf ausgeführt werden müssen.

Der zweite Weg. Ausdrücke mit gemischten Zahlen werden übersetzt in unechte Brüche und wie gewöhnliche Brüche berechnet.

Schließen Sie jede rationale Zahl mit ihren Vorzeichen in Klammern ein

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Nun die gemischten Zahlen und in unechte Brüche übersetzen:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Lassen Sie uns ihre Module hinzufügen und ein Minus vor die erhaltene Antwort setzen:

Bekam die gleiche Antwort wie beim letzten Mal.

Die detaillierte Lösung für den zweiten Weg lautet wie folgt:

Beispiel 9 Finden Sie Ausdrucksausdrücke

Erster Weg. Fügen Sie die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat hinzu.

Lassen Sie uns dieses Mal versuchen, einige primitive Aktionen zu überspringen, z. B. einen Ausdruck in erweiterter Form schreiben, Zahlen in Klammern setzen, Subtraktion durch Addition ersetzen, Module ablegen:

Beachten Sie, dass die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wurden.

Der zweite Weg. Wandeln Sie gemischte Zahlen in unechte Brüche um und rechnen Sie wie gewöhnliche Brüche.

Beispiel 10 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Der resultierende Ausdruck enthält keine negativen Zahlen, die die Hauptursache für Fehler sind. Und da es keine negativen Zahlen gibt, können wir das Plus vor dem Subtrahend entfernen und auch die Klammern entfernen. Dann erhalten wir den einfachsten Ausdruck, der leicht zu berechnen ist:

In diesem Beispiel wurden die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat berechnet.

Beispiel 11. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir subtrahieren den kleineren vom größeren Modul und setzen das Vorzeichen vor die resultierende Zahl, deren Modul größer ist:

Beispiel 12. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Der Ausdruck besteht aus mehreren Parametern. Entsprechend der Reihenfolge der Vorgänge müssen Sie zunächst die Aktionen in Klammern ausführen.

Zuerst berechnen wir den Ausdruck , dann fügen wir den Ausdruck hinzu und die erhaltenen Antworten werden hinzugefügt.

Erste Aktion:

Zweite Aktion:

Dritte Aktion:

Antworten: Ausdruckswert gleich

Beispiel 13 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Erhält man durch Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Subtrahiere den kleineren Modul vom größeren und setze das Zeichen vor die Antwort, deren Modul größer ist. Aber wir haben es mit gemischten Zahlen zu tun. Um zu verstehen, welches Modul größer und welches kleiner ist, müssen Sie die Module dieser gemischten Zahlen vergleichen. Und um die Module gemischter Zahlen zu vergleichen, müssen Sie sie in unechte Brüche umwandeln und sie wie gewöhnliche Brüche vergleichen.

Die folgende Abbildung zeigt alle Schritte zum Vergleichen von Modulen mit gemischten Nummern

Da wir wissen, welcher Modul größer und welcher kleiner ist, können wir die Berechnung unseres Beispiels fortsetzen:

Also der Wert des Ausdrucks gleich

Betrachten Sie die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen, die ebenfalls rationale Zahlen sind und sowohl positiv als auch negativ sein können.

Beispiel 14 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?3.2 + 4.3

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Wir berücksichtigen, dass das im Ausdruck angegebene Plus das Vorzeichen der Operation ist und nicht für den Dezimalbruch 4.3 gilt. Diese Dezimalstelle hat ein eigenes Pluszeichen, das unsichtbar ist, da es nicht aufgeschrieben wird. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Um rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, müssen Sie die kleinere vom größeren Modul subtrahieren und das Zeichen, dessen Modul größer ist, vor die Antwort setzen. Und um zu verstehen, welcher Modul größer und welcher kleiner ist, müssen Sie in der Lage sein, die Module dieser Dezimalbrüche zu vergleichen, bevor Sie sie berechnen:

Der Modul von 4,3 ist größer als der Modul von 3,2, also haben wir 3,2 von 4,3 abgezogen. Habe die Antwort 1.1. Die Antwort ist ja, denn die Antwort muss das Vorzeichen des größeren Moduls enthalten, also des Moduls |+4,3|.

Der Wert des Ausdrucks?3,2 + (+4,3) ist also 1,1

Beispiel 15 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3,5 + (?8,3)

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wie im vorigen Beispiel subtrahieren wir den kleineren vom größeren Modul und setzen das Zeichen vor die Antwort, deren Modul größer ist

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Somit ist der Wert des Ausdrucks 3,5 + (?8,3) gleich?4,8

Dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel 16 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?7.2 + (?3.11)

Dies ist die Addition negativer rationaler Zahlen. Um negative rationale Zahlen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und ein Minus vor die Antwort setzen. Sie können den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Somit ist der Wert des Ausdrucks Δ7,2 + (Δ3,11) gleich Δ10,31

Dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel 17. Finden Sie den Wert des Ausdrucks?0,48 + (?2,7)

Dies ist die Addition negativer rationaler Zahlen. Wir fügen ihre Module hinzu und setzen ein Minuszeichen vor die erhaltene Antwort. Sie können den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

Beispiel 18. Finden Sie den Wert des Ausdrucks?4,9 ? 5.9

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Dabei berücksichtigen wir, dass das im Ausdruck angegebene Minus das Vorzeichen der Operation ist und nicht für den Dezimalbruch 5,9 gilt. Diese Dezimalstelle hat ein eigenes Pluszeichen, das unsichtbar ist, da es nicht aufgeschrieben wird. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Fügen Sie ihre Module hinzu und setzen Sie ein Minus vor die erhaltene Antwort. Sie können den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Somit ist der Wert des Ausdrucks ?4,9 ? 5,9 ist gleich 10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Beispiel 19. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7 ? 9.3

Schließen Sie jede Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition

Wir haben die Addition von rationalen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Subtrahiere den kleineren Modul vom größeren und setze das Zeichen vor die Antwort, deren Modul größer ist. Sie können den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Somit ist der Wert des Ausdrucks 7 → 9.3 gleich?2.3

Die detaillierte Lösung dieses Beispiels wird wie folgt geschrieben:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

Eine kurze Lösung sähe so aus:

Beispiel 20. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 0,25 ? (?1,2)

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Wir haben die Addition von rationalen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir subtrahieren den kleineren vom größeren und setzen das Vorzeichen vor die Antwort, deren Modul größer ist:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Die detaillierte Lösung dieses Beispiels wird wie folgt geschrieben:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Eine kurze Lösung sähe so aus:

Beispiel 21. Finden Sie den Wert des Ausdrucks?3,5 + (4,1 ? 7,1)

Zuerst führen wir die Aktionen in Klammern aus und fügen dann die erhaltene Antwort mit der Nummer 3.5 hinzu. Lassen Sie uns den Eintrag mit Modulen überspringen, um die Ausdrücke nicht zu überladen.

Erste Aktion:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Zweite Aktion:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Antworten: der Wert des Ausdrucks ?3,5 + (4,1 ? 7,1) ist ?6,5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

Beispiel 22. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3,5 ? 2,9) ? (3,7 x 9,1)

Lassen Sie uns die Aktionen in Klammern ausführen und dann von der Zahl, die sich als Ergebnis der Ausführung der ersten Klammern ergeben hat, die Zahl subtrahieren, die sich als Ergebnis der Ausführung der zweiten Klammern ergeben hat. Lassen Sie uns den Eintrag mit Modulen überspringen, um die Ausdrücke nicht zu überladen.

Erste Aktion:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Zweite Aktion:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Dritter Akt

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Antworten: der Wert des Ausdrucks (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) gleich 6.

Eine kurze Lösung für dieses Beispiel kann wie folgt geschrieben werden:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

Beispiel 23. Finden Sie den Wert des Ausdrucks?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6.15

Schließen Sie jede rationale Zahl mit ihren Vorzeichen in Klammern ein

Subtraktion möglichst durch Addition ersetzen

Der Ausdruck besteht aus mehreren Begriffen. Wenn der Ausdruck aus mehreren Gliedern besteht, hängt die Summe nach dem assoziativen Additionsgesetz nicht von der Reihenfolge der Aktionen ab. Das bedeutet, dass die Begriffe in beliebiger Reihenfolge hinzugefügt werden können.

Wir erfinden das Rad nicht neu, sondern fügen alle Begriffe von links nach rechts in der Reihenfolge ihres Auftretens hinzu:

Erste Aktion:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Zweite Aktion:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Dritte Aktion:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Antworten: Ausdruckswert 3,8 + 17,15 ? 6.2? 6,15 ist gleich 1.

Eine kurze Lösung für dieses Beispiel kann wie folgt geschrieben werden:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Kurze Lösungen schaffen weniger Probleme und Verwirrung, daher ist es eine gute Idee, sich daran zu gewöhnen.

Beispiel 24. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Lassen Sie uns den Dezimalbruch?1,8 in eine gemischte Zahl umwandeln. Wir schreiben den Rest so um, wie er ist. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, eine Dezimalzahl in eine gemischte Zahl umzuwandeln, wiederholen Sie die Lektion unbedingt Dezimalstellen.

Beispiel 25. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition. Nebenbei übersetzen wir den Dezimalbruch (? 4,4) in einen unechten Bruch

Der resultierende Ausdruck enthält keine negativen Zahlen. Und da es keine negativen Zahlen gibt, können wir das Plus vor der zweiten Zahl entfernen und die Klammern weglassen. Dann erhalten wir einen einfachen Additionsausdruck, der leicht zu lösen ist

Beispiel 26. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wandeln wir die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um und den Dezimalbruch 0,85 in einen gewöhnlichen Bruch. Wir erhalten folgenden Ausdruck:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Wir fügen ihre Module hinzu und setzen ein Minuszeichen vor die erhaltene Antwort. Sie können den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen:

Beispiel 27. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wandle beide Brüche in unechte Brüche um. Um die Dezimalzahl 2,05 in einen unechten Bruch umzuwandeln, kannst du sie zuerst in eine gemischte Zahl und dann in einen unechten Bruch umwandeln:

Nachdem wir beide Brüche in unechte Brüche umgewandelt haben, erhalten wir den folgenden Ausdruck:

Wir haben die Addition von rationalen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir subtrahieren den kleineren vom größeren Modul und setzen das Zeichen, dessen Modul größer ist, vor die erhaltene Antwort:

Beispiel 28. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition. Lassen Sie uns eine Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln

Beispiel 29. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wandeln Sie Dezimalbrüche von 0,25 und 1,25 um gemeinsame Brüche, lass den Rest so wie er ist. Wir erhalten folgenden Ausdruck:

Sie können zunächst die Subtraktion nach Möglichkeit durch Addition ersetzen und die rationalen Zahlen nacheinander addieren. Es gibt eine zweite Möglichkeit: Addieren Sie zuerst die rationalen Zahlen und und subtrahieren Sie dann die rationale Zahl von der resultierenden Zahl. Wir werden diese Möglichkeit nutzen.

Erste Aktion:

Zweite Aktion:

Antworten: Ausdruckswert gleich?2.

Beispiel 30. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wandeln Sie Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um. Lassen wir den Rest so wie er ist.

Wir haben die Summe mehrerer Terme erhalten. Besteht die Summe aus mehreren Termen, so kann der Ausdruck in beliebiger Reihenfolge ausgewertet werden. Dies folgt aus dem Assoziativgesetz der Addition.

Daher können wir die für uns bequemste Option organisieren. Zunächst können Sie die ersten und letzten Terme hinzufügen, nämlich die rationalen Zahlen und . Diese Zahlen haben gleiche Nenner, was bedeutet, dass es uns von der Notwendigkeit befreit, sie dorthin zu bringen.

Erste Aktion:

Die resultierende Zahl kann zum zweiten Term, nämlich der rationalen Zahl, addiert werden. Rationale Zahlen haben in Bruchteilen den gleichen Nenner, was wiederum ein Vorteil für uns ist

Zweite Aktion:

Nun, addieren wir die resultierende Zahl – 7 mit dem letzten Term, nämlich mit einer rationalen Zahl. Es ist praktisch, dass bei der Berechnung dieses Ausdrucks die Siebenen verschwinden, dh ihre Summe ist gleich Null, da die Summe der entgegengesetzten Zahlen gleich Null ist

Dritte Aktion:

Antworten: der Wert des Ausdrucks ist

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Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

In dieser Lektion werden wir lernen Addition und Subtraktion ganzer Zahlen, sowie Regeln für ihre Addition und Subtraktion.

Denken Sie daran, dass ganze Zahlen alle positiv und sind negative Zahlen, sowie die Zahl 0. Beispielsweise sind die folgenden Zahlen ganze Zahlen:

Positive Zahlen lassen sich einfach addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Leider kann man das nicht von negativen Zahlen sagen, die viele Anfänger mit ihren Minuszeichen vor jeder Ziffer verwirren. Wie die Praxis zeigt, verärgern Fehler, die aufgrund negativer Zahlen gemacht werden, die Schüler am meisten.

Beispiele für ganzzahlige Additionen und Subtraktionen

Das erste, was Sie lernen müssen, ist, ganze Zahlen mit der Koordinatenlinie zu addieren und zu subtrahieren. Es ist nicht erforderlich, eine Koordinatenlinie zu zeichnen. Es reicht aus, sich das in Gedanken vorzustellen und zu sehen, wo sich die negativen und wo die positiven Zahlen befinden.

Betrachten Sie den einfachsten Ausdruck: 1 + 3. Der Wert dieses Ausdrucks ist 4:

Dieses Beispiel kann anhand der Koordinatenlinie verstanden werden. Dazu müssen Sie sich von der Stelle, an der sich die Zahl 1 befindet, drei Schritte nach rechts bewegen. Als Ergebnis befinden wir uns an der Stelle, an der sich die Zahl 4 befindet.In der Abbildung sehen Sie, wie dies geschieht:

Das Pluszeichen im Ausdruck 1 + 3 sagt uns, dass wir uns nach rechts in Richtung aufsteigender Zahlen bewegen sollen.

Beispiel 2 Finden wir den Wert des Ausdrucks 1 ? 3.

Der Wert dieses Ausdrucks ist?2

Dieses Beispiel kann wiederum anhand der Koordinatenlinie nachvollzogen werden. Dazu müssen Sie sich von der Stelle, an der sich die Zahl 1 befindet, drei Schritte nach links bewegen. Als Ergebnis befinden wir uns an der Stelle, an der sich die negative Zahl 2 befindet. Die Abbildung zeigt, wie dies geschieht:

Minuszeichen in Ausdruck 1 ? 3 sagt uns, dass wir uns nach links in Richtung abnehmender Zahlen bewegen sollen.

Im Allgemeinen müssen wir uns daran erinnern, dass wir uns bei einer Addition nach rechts in Richtung der Erhöhung bewegen müssen. Wenn eine Subtraktion durchgeführt wird, müssen Sie sich in Richtung der Abnahme nach links bewegen.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?2 + 4

Der Wert dieses Ausdrucks ist 2

Dieses Beispiel kann wiederum anhand der Koordinatenlinie nachvollzogen werden. Dazu müssen Sie sich von der Stelle, an der sich die negative Zahl ?2 befindet, vier Schritte nach rechts bewegen. Als Ergebnis befinden wir uns an der Stelle, an der sich die positive Zahl 2 befindet.

Es ist ersichtlich, dass wir uns von dem Punkt, an dem sich die negative Zahl 2 befindet, um vier Schritte nach rechts bewegt haben und an dem Punkt gelandet sind, an dem sich die positive Zahl 2 befindet.

Das Pluszeichen im Ausdruck?2 + 4 sagt uns, dass wir uns nach rechts in Richtung aufsteigender Zahlen bewegen sollen.

Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?1 ? 3

Der Wert dieses Ausdrucks ist?4

Dieses Beispiel lässt sich wieder mit einer Koordinatenlinie lösen. Dazu müssen Sie sich von der Stelle, an der sich die negative Zahl ?1 befindet, drei Schritte nach links bewegen. Als Ergebnis befinden wir uns an der Stelle, an der sich die negative Zahl befindet? 4

Es ist ersichtlich, dass wir uns von dem Punkt, an dem sich die negative Zahl – 1 befindet, um drei Schritte nach links bewegt haben und an dem Punkt gelandet sind, an dem sich die negative Zahl – 4 befindet.

Das Minuszeichen im Ausdruck?1 ? 3 sagt uns, dass wir uns nach links in Richtung abnehmender Zahlen bewegen sollen.

Beispiel 5 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?2 + 2

Der Wert dieses Ausdrucks ist 0

Dieses Beispiel kann mit einer Koordinatenlinie gelöst werden. Dazu müssen Sie von der Stelle, an der sich die negative Zahl ?2 befindet, zwei Schritte nach rechts gehen. Als Ergebnis befinden wir uns an der Stelle, an der sich die Zahl 0 befindet

Es ist ersichtlich, dass wir uns von der Stelle, an der sich die negative Zahl 2 befindet, um zwei Schritte nach rechts bewegt haben und an der Stelle gelandet sind, an der sich die Zahl 0 befindet.

Das Pluszeichen im Ausdruck?2 + 2 sagt uns, dass wir uns nach rechts in Richtung aufsteigender Zahlen bewegen sollen.

Regeln zum Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen

Um diesen oder jenen Ausdruck zu berechnen, muss man sich die Koordinatenlinie nicht jedes Mal vorstellen, geschweige denn zeichnen. Es ist bequemer, vorgefertigte Regeln zu verwenden.

Bei der Anwendung der Regeln müssen Sie auf das Vorzeichen der Operation und die Vorzeichen der zu addierenden oder subtrahierenden Zahlen achten. Dadurch wird bestimmt, welche Regel anzuwenden ist.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?2 + 5

Hier wird eine positive Zahl zu einer negativen Zahl addiert. Mit anderen Worten wird die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen durchgeführt. ?2 ist negativ und 5 ist positiv. Für solche Fälle gilt folgende Regel:

Mal sehen, welches Modul größer ist:

Ist der Modul von 5 größer als der Modul der Zahl?2. Die Regel erfordert das Subtrahieren des kleineren vom größeren Modul. Daher müssen wir 2 von 5 subtrahieren und vor der erhaltenen Antwort das Zeichen setzen, dessen Modul größer ist.

Die Zahl 5 hat einen größeren Modul, daher wird das Vorzeichen dieser Zahl in der Antwort enthalten sein. Das heißt, die Antwort wird positiv sein:

Wird es normalerweise kürzer geschrieben? 2 + 5 = 3

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3 + (?2)

Hier wird, wie im vorherigen Beispiel, die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen durchgeführt. 3 ist eine positive Zahl und ?2 ist negativ. Beachten Sie, dass die Zahl?2 in Klammern eingeschlossen ist, um den Ausdruck klarer und schöner zu machen. Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu verstehen als der Ausdruck 3+?2.

Wir wenden also die Regel an, Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren. Wie im vorigen Beispiel subtrahieren wir den kleineren Modul vom größeren Modul und setzen das Vorzeichen vor die Antwort, deren Modul größer ist:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

Der Modulus der Zahl 3 ist größer als der Modulus der Zahl ?2, also haben wir 2 von 3 subtrahiert und das Vorzeichen des Modulus, der größer ist, vor die erhaltene Antwort gesetzt. Die Zahl 3 hat einen größeren Modul, daher wird das Vorzeichen dieser Zahl in die Antwort eingesetzt. Das heißt, die Antwort ist ja.

Normalerweise kürzer geschrieben 3 + (? 2) = 1

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3 ? 7

In diesem Ausdruck wird die größere Zahl von der kleineren Zahl subtrahiert. Für einen solchen Fall gilt folgende Regel:

Um eine größere Zahl von einer kleineren Zahl zu subtrahieren, mehr subtrahiere den kleineren und setze ein Minus vor die Antwort.

Dieser Ausdruck hat einen kleinen Haken. Denken Sie daran, dass das Gleichheitszeichen (=) zwischen Werten und Ausdrücken steht, wenn sie gleich sind.

Der Wert von Ausdruck 3 ? 7 woher wussten wir gleich?4. Das bedeutet, dass alle Transformationen, die wir in diesem Ausdruck vornehmen, gleich sein müssen?4

Aber wir sehen, dass die zweite Stufe den Ausdruck 7 ? 3, was nicht gleich ist?4.

Um dieser Situation abzuhelfen, wird der Ausdruck 7 → 3 muss in Klammern gesetzt werden und dieser Klammer ein Minus vorangestellt werden:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

In diesem Fall wird die Gleichheit in jeder Phase eingehalten:

Nachdem der Ausdruck ausgewertet wurde, können die Klammern entfernt werden, was wir auch getan haben.

Genauer gesagt sollte die Lösung so aussehen:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Diese Regel kann mithilfe von Variablen geschrieben werden. Es wird so aussehen:

a? b=? (b? a)

Eine große Anzahl von Klammern und Operationszeichen kann die Lösung einer scheinbar sehr einfachen Aufgabe erschweren, daher ist es sinnvoller zu lernen, wie man solche Beispiele kurz schreibt, zum Beispiel 3 ? 7=? 4.

Tatsächlich wird die Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen auf eine reine Addition reduziert. Was bedeutet das? Wenn Sie also Zahlen subtrahieren möchten, kann diese Operation durch Addition ersetzt werden.

Machen wir uns also mit der neuen Regel vertraut:

Eine Zahl von einer anderen zu subtrahieren bedeutet, dem Minuend eine Zahl hinzuzufügen, die das Gegenteil der subtrahierten ist.

Betrachten Sie beispielsweise den einfachsten Ausdruck 5 ? 3. In der Anfangsphase des Mathematiklernens setzen wir einfach ein Gleichheitszeichen und schreiben die Antwort auf:

Aber jetzt machen wir Fortschritte beim Lernen, also müssen wir uns an die neuen Regeln anpassen. Die neue Regel besagt, dass das Subtrahieren einer Zahl von einer anderen bedeutet, dass dem Minuend eine Zahl hinzugefügt wird, die das Gegenteil der subtrahierten ist.

Am Beispiel des Ausdrucks 5?3 wollen wir versuchen, diese Regel zu verstehen. Was in diesem Ausdruck reduziert wird, ist 5, und was subtrahiert wird, ist 3. Die Regel besagt, dass Sie, um 3 von 5 zu subtrahieren, zu 5 eine Zahl hinzufügen müssen, die 3 entgegengesetzt ist. Die entgegengesetzte Zahl für die Zahl 3 ist? 3. Wir schreiben einen neuen Ausdruck:

Und wir wissen bereits, wie man Werte für solche Ausdrücke findet. Dies ist die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, die wir oben besprochen haben. Um Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, müssen Sie das kleinere vom größeren Modul subtrahieren und das Zeichen, dessen Modul größer ist, vor die erhaltene Antwort setzen:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Ist der Modul von 5 größer als der Modul der Zahl?3. Daher haben wir 3 von 5 subtrahiert und 2 erhalten. Die Zahl 5 hat einen größeren Modul, also wurde das Vorzeichen dieser Zahl in die Antwort eingefügt. Das heißt, die Antwort ist positiv.

Zunächst gelingt es nicht jedem, die Subtraktion schnell durch Addition zu ersetzen. Dies liegt daran, dass positive Zahlen ohne ihr Pluszeichen geschrieben werden.

Im Ausdruck 3 ? Das Minuszeichen 1, das die Subtraktion anzeigt, ist das Vorzeichen der Operation und bezieht sich nicht auf eins. Die Einheit ist in diesem Fall eine positive Zahl und hat ein eigenes Pluszeichen, aber wir sehen es nicht, weil Plus traditionell nicht vor positive Zahlen geschrieben wird.

Und so der Übersichtlichkeit halber gegebenen Ausdruck kann wie folgt geschrieben werden:

Der Einfachheit halber sind Zahlen mit ihren Vorzeichen in Klammern eingeschlossen. In diesem Fall ist es viel einfacher, die Subtraktion durch die Addition zu ersetzen. Subtrahiert wird in diesem Fall die Zahl (+1) und die entgegengesetzte Zahl (?1). Ersetzen wir die Operation der Subtraktion durch die Addition und schreiben statt des Subtrahends (+1) die entgegengesetzte Zahl (? 1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

Auf den ersten Blick scheinen diese zusätzlichen Gesten keinen Sinn zu haben, wenn Sie die gute alte Methode anwenden können, um ein Gleichheitszeichen zu setzen und sofort die Antwort 2 aufzuschreiben. Tatsächlich hilft uns diese Regel mehr als einmal .

Lösen wir das vorherige Beispiel 3 ? 7 mit der Subtraktionsregel. Zuerst bringen wir den Ausdruck in die Normalform, indem wir jede Zahl mit ihren Vorzeichen platzieren. Drei hat ein Pluszeichen, weil es eine positive Zahl ist. Das Minus, das die Subtraktion anzeigt, gilt nicht für die Sieben. Sieben hat ein Pluszeichen, weil sie auch eine positive Zahl ist:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Die weitere Berechnung ist nicht schwierig:

Beispiel 7 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?4 ? 5

Vor uns ist wieder die Operation der Subtraktion. Diese Operation muss durch Addition ersetzt werden. Zu dem verminderten (?4) addieren wir die entgegengesetzte Zahl zum subtrahierten (+5). Die Gegenzahl für den Subtrahend (+5) ist die Zahl (?5).

Wir sind in eine Situation geraten, in der wir negative Zahlen addieren müssen. Für solche Fälle gilt folgende Regel:

Um negative Zahlen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und ein Minus vor die erhaltene Antwort setzen.

Fügen wir also die Zahlenmodule hinzu, wie es die Regel vorschreibt, und setzen Sie ein Minus vor die erhaltene Antwort:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

Der Eintrag mit Modulen muss in eckige Klammern gesetzt werden und diesen Klammern ein Minus vorangestellt werden. Also geben wir ein Minus an, das vor der Antwort stehen sollte:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

Die Lösung für dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel 8 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?3 ? 5 ? 7? neun

Bringen wir den Ausdruck in eine klare Form. Hier sind alle Zahlen außer der Zahl?3 positiv, also haben sie Pluszeichen:

Ersetzen wir die Subtraktionsoperationen durch Additionsoperationen. Alle Minuszeichen (außer dem Minus, das vor der Drei steht) werden zu Pluszeichen und alle positiven Zahlen werden in das Gegenteil umgewandelt:

Wenden Sie nun die Regel zum Addieren negativer Zahlen an. Um negative Zahlen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und ein Minus vor die erhaltene Antwort setzen:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

Die Lösung für dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

Beispiel 9 Finden Sie den Wert des Ausdrucks?10 + 6 ? 15 + 11? 7

Bringen wir den Ausdruck auf eine klare Form:

Hier gibt es zwei Operationen: Addition und Subtraktion. Wir lassen die Addition so wie sie ist und ersetzen die Subtraktion durch Addition:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

Der Reihenfolge der Aktionen folgend führen wir jede Aktion nacheinander aus, basierend auf den zuvor studierten Regeln. Einträge mit Modulen können übersprungen werden:

Erste Aktion:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Zweite Aktion:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Dritte Aktion:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Vierte Aktion:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Der Wert des Ausdrucks ?10 + 6 ? 15 + 11? 7 gleich?15

Notiz. Es ist nicht erforderlich, den Ausdruck durch Einschließen von Zahlen in Klammern in eine klare Form zu bringen. Wenn Sie sich an negative Zahlen gewöhnt haben, kann diese Aktion übersprungen werden, da sie Zeit kostet und verwirrend sein kann.

Für das Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen müssen Sie sich also an die folgenden Regeln erinnern:

Um Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, müssen Sie einen kleineren Modul von einem größeren Modul subtrahieren und das Zeichen, dessen Modul größer ist, vor die Antwort setzen.

Um eine größere Zahl von einer kleineren Zahl zu subtrahieren, müssen Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren und ein Minuszeichen vor die erhaltene Antwort setzen.

Eine Zahl von einer anderen subtrahieren bedeutet, zu der reduzierten Zahl das Gegenteil der subtrahierten Zahl zu addieren.

Um negative Zahlen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und ein Minuszeichen vor die erhaltene Antwort setzen.

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Wie multipliziert man Kräfte? Welche Kräfte können multipliziert werden und welche nicht? Wie multipliziert man eine Zahl mit einer Potenz?

In der Algebra kannst du das Potenzprodukt in zwei Fällen finden:

1) wenn die Abschlüsse die gleiche Grundlage haben;

2) wenn die Abschlüsse die gleichen Indikatoren haben.

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis muss die Basis gleich bleiben und die Exponenten addiert werden:

Bei der Multiplikation von Graden mit denselben Indikatoren kann der Gesamtindikator aus Klammern herausgenommen werden:

Überlegen Sie anhand konkreter Beispiele, wie Sie Potenzen multiplizieren können.

Die Einheit im Exponenten wird nicht geschrieben, aber beim Multiplizieren der Grade berücksichtigen sie:

Beim Multiplizieren kann die Gradzahl beliebig sein. Es ist zu beachten, dass Sie das Multiplikationszeichen nicht vor den Buchstaben schreiben können:

In Ausdrücken wird zuerst potenziert.

Wenn Sie eine Zahl mit einer Potenz multiplizieren müssen, müssen Sie zuerst eine Potenzierung durchführen und erst dann - Multiplikation:

www.algebraclass.ru

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Potenzen

Addition und Subtraktion von Potenzen

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 - b n und h 5 - d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

So, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten − sind Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder die Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gewaltenteilung

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Divisor subtrahiert oder sie in Form eines Bruchs darstellt.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac $. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Exponenten in $\frac $ reduzieren Antwort: $\frac $.

2. Reduzieren Sie die Exponenten in $\frac$. Antwort: $\frac $ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

Grad Eigenschaften

Wir erinnern Sie daran, dass wir in dieser Lektion verstehen Grad Eigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und deren Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.

Ein Abschluss mit einem natürlichen Indikator hat mehrere wichtige Eigenschaften, die es Ihnen ermöglichen, Berechnungen in Beispielen mit Potenzen zu vereinfachen.

Eigentum Nr. 1
Produkt der Kräfte

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.

a m a n \u003d a m + n, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.

Den Ausdruck vereinfachen.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Als Abschluss vorhanden.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Als Abschluss vorhanden.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren.. Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.

Du kannst die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243

Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse

Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

Schreiben Sie den Quotienten als Potenz
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Berechnung.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft von partiellen Graden.
3 8: t = 3 4

Antwort: t = 3 4 = 81

Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.

Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft 2 sich nur mit der Gewaltenteilung mit gleichen Grundlagen befasste.

Du kannst die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn Sie (4 3 − 4 2) = (64 − 16) = 48 und 4 1 = 4 berechnen

Eigenschaft Nr. 3
Potenzierung

Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.

(a n) m \u003d a n m, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden, auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.

(a n b n) = (a b) n

Das heißt, um Grad mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.

Beispiel. Berechnung.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Beispiel. Berechnung.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

In mehr schwierige Beispiele Es kann Fälle geben, in denen Multiplikation und Division über Potenzen mit unterschiedlichen Basen und durchgeführt werden müssen verschiedene Indikatoren. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.

Beispiel: 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Eigenschaften 5
Potenz des Quotienten (Brüche)

Um einen Quotienten zu potenzieren, kannst du den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

(a: b) n \u003d a n: b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.

Beispiel. Drücken Sie den Ausdruck als Teilpotenzen aus.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs gehen wir daher auf der nächsten Seite näher ein.

Grade und Wurzeln

Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,

Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

Operationen mit Grad.

1. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

bin · ein n = ein m + n .

2. Bei der Teilung von Graden mit der gleichen Basis, ihre Indikatoren abgezogen .

3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.

4. Der Grad des Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden (Zähler) und des Divisors (Nenner):

(a/b) n = ein n / b n .

5. Wenn Sie einen Grad zu einer Potenz erheben, werden ihre Indikatoren multipliziert:

Alle obigen Formeln werden in beiden Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.

BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Betriebe mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(radikaler Ausdruck ist positiv).

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel der Beziehung ist gleich dem Verhältnis Wurzeln des Dividenden und Divisors:

3. Wenn eine Wurzel zu einer Potenz erhoben wird, reicht es aus, diese Potenz zu erheben Stammnummer:

4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Zahl der Wurzel auf den m-ten Grad erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um m-mal reduzieren und gleichzeitig die Wurzel des m-ten Grades aus der Wurzelzahl ziehen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Erweiterung des Gradbegriffs. Bisher haben wir Abschlüsse nur mit einem natürlichen Indikator betrachtet; aber Operationen mit Kräften und Wurzeln können auch dazu führen Negativ, Null und Bruchteil Indikatoren. Alle diese Exponenten bedürfen einer zusätzlichen Definition.

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten gleich dem Absolutwert des negativen Exponenten:

Jetzt die Formel bin : ein = ein m-n kann nicht nur für verwendet werden m, mehr als n, sondern auch bei m, weniger als n .

BEISPIEL a 4: a 7 = ein 4 — 7 = ein — 3 .

Wenn wir die Formel wollen bin : ein = bin — n war fair bei m = n, brauchen wir eine Definition des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Der Grad jeder Zahl ungleich Null mit Exponent Null ist 1.

BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl a mit m / n zu potenzieren, müssen Sie die Wurzel des n-ten Grades aus der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:

Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.

wo a ≠ 0 , existiert nicht.

In der Tat, wenn wir davon ausgehen x eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: a = 0· x, d.h. a= 0, was der Bedingung widerspricht: a ≠ 0

— irgendeine Nummer.

In der Tat, wenn wir annehmen, dass dieser Ausdruck gleich einer Zahl ist x, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 x. Aber diese Gleichheit gilt für irgendeine Zahl x, was zu beweisen war.

0 0 — irgendeine Nummer.

Lösung: Betrachten Sie drei Hauptfälle:

1) x = 0 – dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht

2) wann x> 0 erhalten wir: x / x= 1, d.h. 1 = 1, woraus folgt,

was x- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen

unser Fall x> 0 ist die Antwort x > 0 ;

Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit unterschiedlichen Basen

GRAD MIT EINEM RATIONALEN INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 69. Multiplikation und Division von Potenzen mit denselben Grundlagen

Satz 1. Um Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren, reicht es aus, die Exponenten zu addieren und die Basis gleich zu lassen

Nachweisen. Per Definition von Grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Wir haben das Produkt zweier Potenzen betrachtet. Tatsächlich gilt die bewiesene Eigenschaft für eine beliebige Anzahl von Potenzen mit denselben Basen.

Satz 2. Dividieren von Potenzen mit derselben Basis als Exponent des Dividenden mehr als der Indikator Divisor, es genügt, den Divisor vom Indikator des Dividenden zu subtrahieren und die Basis gleich zu lassen beim t > n

(a =/= 0)

Nachweisen. Erinnere dich daran, dass der Quotient der Division einer Zahl durch eine andere die Zahl ist, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, den Dividenden ergibt. Beweisen Sie daher die Formel , wo a =/= 0, das ist wie der Beweis der Formel

Wenn ein t > n , dann die Nummer t-p wird natürlich sein; daher nach Satz 1

Satz 2 ist bewiesen.

Beachten Sie, dass die Formel

von uns nur unter der Annahme bewiesen, dass t > n . Aus dem bisher Bewiesenen lassen sich daher z. B. folgende Schlüsse noch nicht ziehen:

Außerdem haben wir Grade mit negativen Exponenten noch nicht betrachtet, und wir wissen noch nicht, welche Bedeutung dem Ausdruck 3 gegeben werden kann - 2 .

Satz 3. Um eine Potenz zu potenzieren, genügt es, die Exponenten zu multiplizieren, wobei die Basis des Exponenten gleich bleibt, also

Nachweisen. Unter Verwendung der Definition von Grad und Satz 1 dieses Abschnitts erhalten wir:

Q.E.D.

Beispiel: (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (mündlich.) Bestimmen X aus den Gleichungen:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Angepasst) Vereinfachen:

520. (Angepasst) Vereinfachen:

521. Stellen Sie diese Ausdrücke als Grade mit denselben Basen dar:

1) 32 und 64; 3) 85 und 163; 5) 4 100 und 32 50;

2) -1000 und 100; 4) -27 und -243; 6) 81 75 8 200 und 3 600 4 150.

Wir erinnern Sie daran, dass wir in dieser Lektion verstehen Grad Eigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und deren Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.

Ein Exponent mit einem natürlichen Exponenten hat mehrere wichtige Eigenschaften, mit denen Sie Berechnungen in Exponentenbeispielen vereinfachen können.

Eigentum Nr. 1
Produkt der Kräfte

Erinnern!

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.

a m a n \u003d a m + n, wobei " a" - eine beliebige Zahl und " m", " n" - eine beliebige natürliche Zahl.

Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.

• Den Ausdruck vereinfachen.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Als Abschluss vorhanden.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Als Abschluss vorhanden.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Wichtig!

Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Potenzen mit zu multiplizieren die gleichen Gründe . Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.

Du kannst die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243

Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse

Erinnern!

Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft von partiellen Graden.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Antwort: t = 3 4 = 81

Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.

• Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
  4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Wichtig!

  Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft 2 sich nur mit der Gewaltenteilung mit gleichen Grundlagen befasste.

  Du kannst die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn wir bedenken (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , und 4 1 = 4

  Seien Sie aufmerksam!

  Eigenschaft Nr. 3
  Potenzierung

  Erinnern!

  Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.

  (a n) m \u003d a n m, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

  
  

  Eigenschaften 4
  Produkt Grad

  Erinnern!

  Bei der Potenzierung eines Produkts wird jeder der Faktoren potenziert. Die Ergebnisse werden dann multipliziert.

  (a b) n \u003d a n b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind; "n" - jede natürliche Zahl.

  • Beispiel 1
    (6 ein 2 b 3 c) 2 = 6 2 ein 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 ein 4 b 6 s 2
    
  • Beispiel 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Wichtig!

  Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden, auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.

  (a n b n) = (a b) n

  Das heißt, um Grad mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.

  • Beispiel. Berechnung.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Beispiel. Berechnung.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division mit Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.

  Zum Beispiel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Eigenschaften 5
  Potenz des Quotienten (Brüche)

  Erinnern!

  Um einen Quotienten zu potenzieren, kannst du den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

  (a: b) n \u003d a n: b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.

  • Beispiel. Drücken Sie den Ausdruck als Teilpotenzen aus.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs gehen wir daher auf der nächsten Seite näher ein.

Im vorherigen Artikel haben wir darüber gesprochen, was Monome sind. In diesem Material werden wir analysieren, wie man Beispiele und Probleme löst, in denen sie verwendet werden. Hier betrachten wir Aktionen wie Subtraktion, Addition, Multiplikation, Division von Monomen und deren Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten. Wir zeigen, wie solche Operationen definiert sind, geben die Grundregeln für ihre Implementierung an und was das Ergebnis sein sollte. Alle theoretischen Grundlagen werden wie gewohnt durch Problembeispiele mit Lösungsbeschreibungen illustriert.

Es ist am bequemsten, mit der Standardnotation von Monomen zu arbeiten, daher präsentieren wir alle Ausdrücke, die im Artikel verwendet werden, in einer Standardform. Wenn sie zunächst anders eingestellt sind, empfiehlt es sich, sie zunächst auf eine allgemein akzeptierte Form zu bringen.

Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Monomen

Die einfachsten Operationen, die mit Monomen durchgeführt werden können, sind Subtraktion und Addition. BEIM Allgemeiner Fall das Ergebnis dieser Aktionen ist ein Polynom (in einigen Sonderfällen ist ein Monom möglich).

Wenn wir Monome addieren oder subtrahieren, schreiben wir zuerst die entsprechende Summe und Differenz in der allgemein akzeptierten Form auf, danach vereinfachen wir den resultierenden Ausdruck. Wenn es ähnliche Begriffe gibt, müssen diese angegeben werden, die Klammern müssen geöffnet werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.

Beispiel 1

Zustand: addiere die Monome − 3 · x und 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Entscheidung

Schreiben wir die Summe der ursprünglichen Ausdrücke auf. Fügen Sie Klammern hinzu und setzen Sie ein Pluszeichen dazwischen. Wir erhalten Folgendes:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Wenn wir die Klammern erweitern, erhalten wir - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Dies ist ein in Standardform geschriebenes Polynom, das das Ergebnis der Addition dieser Monome ist.

Antworten:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Wenn wir drei, vier oder mehr Begriffe haben, führen wir diese Aktion auf die gleiche Weise durch.

Beispiel 2

Zustand: reinrutschen richtige Reihenfolge bestimmte Operationen mit Polynomen

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Entscheidung

Beginnen wir mit dem Öffnen von Klammern.

3 ein 2 + 4 ein c + ein 2 - 7 ein 2 + 4 9 - 2 2 3 ein c

Wir sehen, dass der resultierende Ausdruck vereinfacht werden kann, indem ähnliche Terme reduziert werden:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 ein 2 + 1 1 3 ein c + 4 9

Wir haben ein Polynom, das das Ergebnis dieser Aktion sein wird.

Antworten: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Im Prinzip können wir mit einigen Einschränkungen die Addition und Subtraktion zweier Monome durchführen, sodass wir am Ende ein Monom erhalten. Dazu müssen einige Bedingungen bezüglich der Terme und subtrahierten Monome beachtet werden. Wie das geht, beschreiben wir in einem separaten Artikel.

Regeln zum Multiplizieren von Monomen

Die Multiplikationsaktion erlegt Multiplikatoren keinerlei Beschränkungen auf. Die zu multiplizierenden Monome dürfen keine weiteren Bedingungen erfüllen, damit das Ergebnis ein Monom ist.

Um eine Multiplikation von Monomen durchzuführen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Nehmen Sie das Stück richtig auf.
2. Erweitern Sie die Klammern im resultierenden Ausdruck.
3. Gruppieren Sie, wenn möglich, Faktoren mit denselben Variablen und numerischen Faktoren getrennt.
4. Führen Sie die erforderlichen Aktionen mit Zahlen durch und wenden Sie die Eigenschaft der Multiplikation von Potenzen mit denselben Basen auf die verbleibenden Faktoren an.

Mal sehen, wie das in der Praxis gemacht wird.

Beispiel 3

Zustand: Multipliziere die Monome 2 · x 4 · y · z und - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Entscheidung

Beginnen wir mit der Komposition der Arbeit.

Öffnen Sie die Klammern darin und wir erhalten Folgendes:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Alles, was wir tun müssen, ist, die Zahlen in der ersten Klammer zu multiplizieren und die Potenz-Eigenschaft auf die zweite anzuwenden. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Antworten: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Wenn wir drei oder mehr Polynome in der Bedingung haben, multiplizieren wir sie mit genau demselben Algorithmus. Wir werden das Problem der Multiplikation von Monomen in einem separaten Material genauer betrachten.

Regeln für die Potenzierung eines Monoms

Wir wissen, dass das Produkt einer bestimmten Anzahl identischer Faktoren Grad mit natürlichem Exponenten genannt wird. Ihre Anzahl wird durch die Zahl im Indikator angezeigt. Nach dieser Definition ist das Potenzieren eines Monoms gleichbedeutend mit der Multiplikation der angegebenen Anzahl identischer Monome. Mal sehen, wie es gemacht wird.

Beispiel 4

Zustand: Erhöhen Sie das Monom − 2 · a · b 4 mit 3 .

Entscheidung

Wir können die Potenzierung durch die Multiplikation von 3 Monomen − 2 · a · b 4 ersetzen. Lassen Sie uns aufschreiben und die gewünschte Antwort erhalten:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 ein 3 b 12

Antworten:(− 2 ein b 4) 3 = − 8 ein 3 b 12 .

Aber was ist, wenn der Grad einen großen Exponenten hat? Aufschreiben große Menge Multiplikatoren sind unbequem. Um ein solches Problem zu lösen, müssen wir dann die Eigenschaften des Grades anwenden, nämlich die Eigenschaft des Grades des Produkts und die Eigenschaft des Grades im Grad.

Lösen wir das oben genannte Problem auf die angegebene Weise.

Beispiel 5

Zustand: erhebe − 2 · a · b 4 in die dritte Potenz.

Entscheidung

Wenn wir die Eigenschaft des Grades im Grad kennen, können wir zu einem Ausdruck der folgenden Form übergehen:

(− 2 ein b 4) 3 = (− 2) 3 ein 3 (b 4) 3 .

Danach potenzieren wir -2 und wenden die Exponenteneigenschaft an:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 ein 3 b 4 3 = − 8 ein 3 b 12 .

Antworten:- 2 · ein · b 4 = - 8 · ein 3 · b 12 .

Wir haben auch einen separaten Artikel der Potenzierung eines Monoms gewidmet.

Regeln zum Dividieren von Monomen

Die letzte Operation mit Monomen, die wir in analysieren werden dieses Material, ist die Division eines Monoms durch ein Monom. Als Ergebnis sollten wir einen rationalen (algebraischen) Bruch erhalten (in einigen Fällen ist es möglich, ein Monom zu erhalten). Lassen Sie uns gleich klarstellen, dass die Division durch Nullmonom nicht definiert ist, da die Division durch 0 nicht definiert ist.

Um eine Division durchzuführen, müssen wir die angegebenen Monome in Form eines Bruchs schreiben und nach Möglichkeit kürzen.

Beispiel 6

Zustand: dividiere das Monom − 9 x 4 y 3 z 7 durch − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Entscheidung

Beginnen wir damit, die Monome in Form eines Bruchs zu schreiben.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Dieser Anteil kann reduziert werden. Nachdem wir dies getan haben, erhalten wir:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Antworten:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Die Bedingungen, unter denen wir durch Dividieren von Monomen ein Monom erhalten, werden in einem separaten Artikel angegeben.

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