Laut dem Lehrbuch von Sovetov und Yakovlev: "Ein Modell (lateinischer Modul - Maß) ist ein Objektersatz des ursprünglichen Objekts, das die Untersuchung einiger Eigenschaften des Originals ermöglicht." (S. 6) "Das Ersetzen eines Objekts durch ein anderes, um mit Hilfe eines Modellobjekts Informationen über die wichtigsten Eigenschaften des ursprünglichen Objekts zu erhalten, nennt man Modellieren." (S. 6) „Unter mathematischer Modellierung verstehen wir den Prozess der Herstellung einer Entsprechung zu einem gegebenen realen Objekt eines mathematischen Objekts, das als mathematisches Modell bezeichnet wird, und das Studium dieses Modells, das es ermöglicht, die Eigenschaften des betrachteten zu erhalten echtes Objekt. Die Art des mathematischen Modells hängt sowohl von der Art des realen Objekts als auch von den Aufgaben der Untersuchung des Objekts und der erforderlichen Zuverlässigkeit und Genauigkeit zur Lösung dieses Problems ab.

Zum Schluss die prägnanteste Definition eines mathematischen Modells: "Eine Gleichung, die die Idee ausdrückt».

Modellklassifizierung

Formale Klassifizierung von Modellen

Die formale Klassifizierung von Modellen basiert auf der Klassifizierung der verwendeten mathematischen Werkzeuge. Oft in Form von Dichotomien aufgebaut. Einer der beliebtesten Sätze von Dichotomien ist beispielsweise:

usw. Jedes konstruierte Modell ist linear oder nichtlinear, deterministisch oder stochastisch, ... Natürlich sind auch Mischtypen möglich: in einer Hinsicht konzentriert (in Bezug auf Parameter), in einer anderen verteilte Modelle usw.

Klassifikation nach der Art der Darstellung des Objekts

Neben der formalen Einordnung unterscheiden sich die Modelle in der Darstellung des Objekts:

• Struktur- oder Funktionsmodelle

Strukturelle Modelle stellen ein Objekt als ein System mit einer eigenen Vorrichtung und einem eigenen Funktionsmechanismus dar. Funktionsmodelle verwenden Sie keine solchen Darstellungen und spiegeln Sie nur das äußerlich wahrgenommene Verhalten (Funktionieren) des Objekts wider. In ihrer extremen Ausprägung werden sie auch „Black Box“-Modelle genannt. Es sind auch kombinierte Typen von Modellen möglich, die manchmal als "Modelle" bezeichnet werden. grauer Kasten».

Inhaltliche und formale Modelle

Fast alle Autoren, die den Prozess der mathematischen Modellierung beschreiben, geben an, dass zuerst eine spezielle ideale Konstruktion gebaut wird, Inhaltsmodell. Es gibt hier keine etablierte Terminologie, und andere Autoren nennen dies ideales Objekt Konzeptmodell , spekulatives Modell oder Vormodell. In diesem Fall wird die endgültige mathematische Konstruktion aufgerufen formales Modell oder nur ein mathematisches Modell, das als Ergebnis der Formalisierung dieses Inhaltsmodells (Vormodell) erhalten wird. Die Konstruktion eines aussagekräftigen Modells kann anhand einer Reihe vorgefertigter Idealisierungen erfolgen, wie in der Mechanik, wo ideale Federn, starre Körper, ideale Pendel, elastische Medien usw. ein Fertigprodukt ergeben Strukturelemente für aussagekräftige Modellierung. In Wissensgebieten, in denen es keine vollständig abgeschlossenen, formalisierten Theorien gibt (an der Spitze von Physik, Biologie, Wirtschaftswissenschaften, Soziologie, Psychologie und den meisten anderen Bereichen), ist die Erstellung aussagekräftiger Modelle jedoch dramatisch komplizierter.

Sinnvolle Klassifizierung von Modellen

Keine Hypothese in der Wissenschaft kann ein für alle Mal bewiesen werden. Richard Feynman hat es sehr deutlich ausgedrückt:

„Wir haben immer die Möglichkeit, eine Theorie zu widerlegen, aber beachten Sie, dass wir niemals beweisen können, dass sie richtig ist. Nehmen wir an, Sie stellen eine erfolgreiche Hypothese auf, berechnen, wohin sie führt, und stellen fest, dass alle ihre Konsequenzen experimentell bestätigt werden. Bedeutet dies, dass Ihre Theorie richtig ist? Nein, es bedeutet einfach, dass Sie es versäumt haben, es zu widerlegen.

Wenn ein Modell des ersten Typs gebaut wird, bedeutet dies, dass es vorübergehend als wahr erkannt wird und man sich auf andere Probleme konzentrieren kann. Dies kann jedoch kein Forschungspunkt sein, sondern nur eine vorübergehende Pause: Der Status des Modells des ersten Typs kann nur vorübergehend sein.

Typ 2: Phänomenologisches Modell (verhalten, als ob…)

Das phänomenologische Modell enthält einen Mechanismus zur Beschreibung des Phänomens. Dieser Mechanismus ist jedoch nicht überzeugend genug, kann durch die verfügbaren Daten nicht ausreichend bestätigt werden oder stimmt nicht gut mit den verfügbaren Theorien und dem gesammelten Wissen über das Objekt überein. Daher haben phänomenologische Modelle den Status von Übergangslösungen. Es wird angenommen, dass die Antwort noch unbekannt ist und die Suche nach "wahren Mechanismen" fortgesetzt werden muss. Peierls bezieht beispielsweise das kalorische Modell und das Quarkmodell der Elementarteilchen auf den zweiten Typ.

Die Rolle des Modells in der Forschung kann sich im Laufe der Zeit ändern, es kann vorkommen, dass neue Daten und Theorien phänomenologische Modelle bestätigen und sie in den Status einer Hypothese gehoben werden. Ebenso können neue Erkenntnisse allmählich mit Modellhypothesen der ersten Art in Konflikt geraten und auf die zweite übertragen werden. Damit bewegt sich das Quark-Modell allmählich in die Kategorie der Hypothesen; Der Atomismus in der Physik entstand als Übergangslösung, ging aber im Laufe der Geschichte in den ersten Typus über. Aber die Äthermodelle sind von Typ 1 zu Typ 2 übergegangen und befinden sich nun außerhalb der Wissenschaft.

Der Gedanke der Vereinfachung ist beim Bau von Modellen sehr beliebt. Aber Vereinfachung geht anders. Peierls unterscheidet drei Arten von Vereinfachungen bei der Modellierung.

Typ 3: Annäherung (etwas wird als sehr groß oder sehr klein angesehen)

Wenn es möglich ist, Gleichungen aufzustellen, die das untersuchte System beschreiben, bedeutet dies nicht, dass sie auch mit Hilfe eines Computers gelöst werden können. Eine gängige Technik in diesem Fall ist die Verwendung von Approximationen (Modelle des Typs 3). Unter ihnen lineare Reaktionsmodelle. Die Gleichungen werden durch lineare ersetzt. Das Standardbeispiel ist das Ohmsche Gesetz.

Und hier ist Typ 8, der in mathematischen Modellen biologischer Systeme weit verbreitet ist.

Typ 8: Möglichkeitsdemonstration (die Hauptsache ist, die innere Konsistenz der Möglichkeit zu zeigen)

Auch das sind Gedankenexperimente. mit imaginären Wesenheiten, die das demonstrieren vermeintliches Phänomen mit den Grundprinzipien vereinbar und in sich stimmig. Dies ist der Hauptunterschied zu Modellen des Typs 7, die versteckte Widersprüche offenbaren.

Eines der berühmtesten dieser Experimente ist Lobachevskys Geometrie (Lobachevsky nannte sie „imaginäre Geometrie“). Ein weiteres Beispiel ist die Massenproduktion von formal kinetischen Modellen chemischer und biologischer Schwingungen, Autowellen usw. Das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon wurde als Typ-7-Modell konzipiert, um Inkonsistenzen zu demonstrieren Quantenmechanik. Auf völlig ungeplante Weise wurde es schließlich zu einem Typ-8-Modell – eine Demonstration der Möglichkeit der Quantenteleportation von Informationen.

Beispiel

Betrachten wir ein mechanisches System, das aus einer an einem Ende befestigten Feder und einer Masselast besteht, die am freien Ende der Feder befestigt ist. Wir gehen davon aus, dass sich die Last nur in Richtung der Federachse bewegen kann (z. B. erfolgt die Bewegung entlang der Stange). Konstruieren wir ein mathematisches Modell dieses Systems. Wir werden den Zustand des Systems durch den Abstand vom Zentrum der Last zu ihrer Gleichgewichtslage beschreiben. Lassen Sie uns das Zusammenspiel einer Feder und einer Last beschreiben Hookesches Gesetz() Danach verwenden wir das zweite Newtonsche Gesetz, um es in Form einer Differentialgleichung auszudrücken:

wobei bedeutet die zweite Ableitung von nach der Zeit: .

Die resultierende Gleichung beschreibt das mathematische Modell des betrachteten physikalischen Systems. Dieses Muster wird als "harmonischer Oszillator" bezeichnet.

Nach der formalen Einteilung ist dieses Modell linear, deterministisch, dynamisch, konzentriert, kontinuierlich. Bei seiner Konstruktion haben wir viele Annahmen getroffen (über das Fehlen äußerer Kräfte, das Fehlen von Reibung, die geringen Abweichungen usw.), die in der Realität möglicherweise nicht erfüllt werden.

In Bezug auf die Realität handelt es sich meistens um ein Typ-4-Modell. Vereinfachung(„Wir lassen einige Details der Übersichtlichkeit halber weg“), da einige wesentliche universelle Merkmale (z. B. Dissipation) weggelassen werden. In einiger Näherung (also solange die Abweichung der Last vom Gleichgewicht klein ist, mit geringer Reibung, für eine nicht allzu lange Zeit und unter bestimmten anderen Bedingungen) beschreibt ein solches Modell ein reales mechanisches System ziemlich gut, da die verworfene Faktoren haben einen vernachlässigbaren Einfluss auf sein Verhalten. Das Modell kann jedoch verfeinert werden, indem einige dieser Faktoren berücksichtigt werden. Dies wird zu einem neuen Modell mit einem breiteren (wenn auch wiederum begrenzten) Anwendungsbereich führen.

Wenn das Modell jedoch verfeinert wird, kann die Komplexität seiner mathematischen Untersuchung erheblich zunehmen und das Modell praktisch unbrauchbar machen. Oft ermöglicht Ihnen ein einfacheres Modell eine bessere und tiefere Erforschung des realen Systems als ein komplexeres (und formal „korrekteres“).

Wenn wir das harmonische Oszillatormodell auf Objekte anwenden, die weit von der Physik entfernt sind, kann sein sinnvoller Status ein anderer sein. Wenn Sie dieses Modell beispielsweise auf biologische Populationen anwenden, sollte es höchstwahrscheinlich Typ 6 zugeordnet werden Analogie(„Lassen Sie uns nur einige Merkmale berücksichtigen“).

Harte und weiche Modelle

Der harmonische Oszillator ist ein Beispiel für ein sogenanntes "hartes" Modell. Es wird als Ergebnis einer starken Idealisierung eines realen physikalischen Systems erhalten. Um das Problem seiner Anwendbarkeit zu lösen, ist es notwendig zu verstehen, wie wichtig die Faktoren sind, die wir vernachlässigt haben. Mit anderen Worten, es ist notwendig, das "weiche" Modell zu untersuchen, das durch eine kleine Störung des "harten" Modells erhalten wird. Sie kann beispielsweise durch die folgende Gleichung angegeben werden:

Hier - einige Funktionen, die die Reibungskraft oder die Abhängigkeit des Steifigkeitskoeffizienten der Feder vom Grad ihrer Dehnung berücksichtigen können - einige kleine Parameter. Die explizite Form der Funktion interessiert uns im Moment nicht. Wenn wir beweisen, dass sich das Verhalten eines weichen Modells nicht grundlegend von dem Verhalten eines harten unterscheidet (unabhängig von der expliziten Form der Störfaktoren, wenn sie klein genug sind), reduziert sich das Problem auf die Untersuchung des harten Modells. Andernfalls erfordert die Anwendung der bei der Untersuchung des starren Modells erzielten Ergebnisse zusätzliche Forschung. Beispielsweise sind die Lösungen der Gleichung eines harmonischen Oszillators Funktionen der Form , also Schwingungen mit konstanter Amplitude. Folgt daraus, dass ein realer Oszillator auf unbestimmte Zeit mit konstanter Amplitude schwingt? Nein, denn wenn wir ein System mit beliebig kleiner Reibung betrachten (in einem realen System immer vorhanden), erhalten wir gedämpfte Schwingungen. Das Verhalten des Systems hat sich qualitativ verändert.

Wenn ein System sein qualitatives Verhalten bei einer kleinen Störung beibehält, wird es als strukturell stabil bezeichnet. Der harmonische Oszillator ist ein Beispiel für ein strukturell instabiles (nicht raues) System. Dieses Modell kann jedoch verwendet werden, um Prozesse über begrenzte Zeitintervalle zu untersuchen.

Universalität der Modelle

Die wichtigsten mathematischen Modelle haben in der Regel wichtige Eigenschaft Universalität: Grundlegend unterschiedliche reale Phänomene können durch dasselbe mathematische Modell beschrieben werden. Nehmen wir an, dass der harmonische Oszillator nicht nur das Verhalten der Belastung der Feder beschreibt, sondern auch anderes oszillierende Prozesse, die oft ganz anderer Natur sind: kleine Schwingungen eines Pendels, Schwankungen des Flüssigkeitsspiegels in einem -förmigen Gefäß oder eine Änderung der Stromstärke in einem Schwingkreis. Wenn wir also ein mathematisches Modell studieren, studieren wir gleichzeitig eine ganze Klasse von Phänomenen, die von ihm beschrieben werden. Es ist dieser Isomorphismus von Gesetzen, der durch mathematische Modelle in verschiedenen Segmenten ausgedrückt wird wissenschaftliches Wissen, Ludwig von Bertalanffys Kunststück, die "Allgemeine Systemtheorie" zu schaffen.

Direkte und inverse Probleme der mathematischen Modellierung

Mit der mathematischen Modellierung sind viele Probleme verbunden. Zunächst ist es notwendig, das Grundschema des zu modellierenden Objekts zu finden, um es im Rahmen der Idealisierungen dieser Wissenschaft zu reproduzieren. So verwandelt sich ein Waggon in ein System von Platten und komplexeren Körpern aus verschiedenen Materialien, jedes Material wird als seine standardmäßige mechanische Idealisierung (Dichte, Elastizitätsmodul, standardmäßige Festigkeitseigenschaften) angegeben, wonach auf dem Weg Gleichungen aufgestellt werden manche Details werden als unbedeutend verworfen, Berechnungen angestellt, mit Messungen verglichen, das Modell verfeinert und so weiter. Für die Entwicklung mathematischer Modellierungstechnologien ist es jedoch sinnvoll, diesen Prozess in seine Hauptbestandteile zu zerlegen.

Traditionell gibt es zwei Hauptklassen von Problemen, die mit mathematischen Modellen verbunden sind: direkte und inverse.

Direktes Problem: Die Struktur des Modells und alle seine Parameter gelten als bekannt, die Hauptaufgabe besteht darin, das Modell zu untersuchen, um nützliches Wissen über das Objekt zu extrahieren. Welche statische Belastung hält die Brücke aus? Wie es auf eine dynamische Belastung reagiert (z. B. auf den Marsch einer Soldatenkompanie oder auf die Durchfahrt eines Zuges mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten), wie das Flugzeug die Schallmauer überwindet, ob es durch Flattern auseinanderfällt - dies sind typische Beispiele für eine direkte Aufgabe. Das Stellen des richtigen direkten Problems (das Stellen der richtigen Frage) erfordert besondere Fähigkeiten. Wenn nicht die richtigen Fragen gestellt werden, kann die Brücke zusammenbrechen, selbst wenn ein gutes Modell für ihr Verhalten gebaut wurde. So stürzte 1879 in Großbritannien eine Metallbrücke über den Fluss Tey ein, deren Konstrukteure ein Brückenmodell bauten, es mit einem 20-fachen Sicherheitsspielraum für die Nutzlast berechneten, aber vergaßen, dass an diesen Stellen ständig Winde wehen . Und nach anderthalb Jahren brach es zusammen.

Im einfachsten Fall (beispielsweise einer Oszillatorgleichung) ist das direkte Problem sehr einfach und reduziert sich auf eine explizite Lösung dieser Gleichung.

Umgekehrtes Problem: Viele mögliche Modelle sind bekannt, es ist notwendig, ein bestimmtes Modell basierend auf zusätzlichen Daten über das Objekt auszuwählen. Meistens ist die Struktur des Modells bekannt und einige unbekannte Parameter müssen bestimmt werden. Zusätzliche Informationen können in zusätzlichen empirischen Daten oder in den Anforderungen an das Objekt bestehen ( Gestaltungsaufgabe). Zusätzliche Daten können unabhängig vom Lösungsprozess des inversen Problems ( passive Beobachtung) oder das Ergebnis eines speziell während der Lösung geplanten Experiments sein ( aktive Überwachung).

Eines der ersten Beispiele für eine virtuose Lösung eines inversen Problems unter größtmöglicher Nutzung verfügbarer Daten war die von I. Newton konstruierte Methode zur Rekonstruktion von Reibungskräften aus beobachteten gedämpften Schwingungen.

Ein weiteres Beispiel ist die mathematische Statistik. Die Aufgabe dieser Wissenschaft ist die Entwicklung von Methoden zur Aufzeichnung, Beschreibung und Analyse von Beobachtungs- und experimentellen Daten, um probabilistische Modelle von Massenzufallsphänomenen zu erstellen. Diese. die Menge möglicher Modelle wird durch probabilistische Modelle begrenzt. Bei spezifischen Problemen ist der Satz von Modellen begrenzter.

Computersimulationssysteme

Zur Unterstützung der mathematischen Modellierung wurden Computermathematiksysteme entwickelt, z. B. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim usw. Sie ermöglichen es Ihnen, formale und Blockmodelle sowohl einfacher als auch komplexer Prozesse und Geräte zu erstellen und Modellparameter währenddessen einfach zu ändern Simulation. Blockmodelle werden durch Blöcke (meistens grafisch) dargestellt, deren Menge und Verbindung durch das Modelldiagramm festgelegt werden.

Weitere Beispiele

Malthus-Modell

Die Wachstumsrate ist proportional zur aktuellen Bevölkerungsgröße. Sie wird durch die Differentialgleichung beschrieben

wo ist ein bestimmter Parameter, der durch die Differenz zwischen der Geburtenrate und der Sterberate bestimmt wird. Die Lösung dieser Gleichung ist Exponentialfunktion. Übersteigt die Geburtenrate die Sterberate (), wächst die Populationsgröße unendlich und sehr schnell. Es ist klar, dass dies in Wirklichkeit aufgrund begrenzter Ressourcen nicht geschehen kann. Ab einer bestimmten kritischen Populationsgröße reicht das Modell nicht mehr aus, da es die begrenzten Ressourcen nicht berücksichtigt. Eine Verfeinerung des Malthus-Modells kann das logistische Modell sein, das durch die Verhulst-Differentialgleichung beschrieben wird

wo ist die "gleichgewichtige" Bevölkerungsgröße, bei der die Geburtenrate genau durch die Sterberate kompensiert wird. Die Populationsgröße in einem solchen Modell tendiert zum Gleichgewichtswert , und dieses Verhalten ist strukturell stabil.

Räuber-Beute-System

Nehmen wir an, dass in einem bestimmten Gebiet zwei Arten von Tieren leben: Kaninchen (fressen Pflanzen) und Füchse (fressen Kaninchen). Lassen Sie die Anzahl der Kaninchen die Anzahl der Füchse. Unter Verwendung des Malthus-Modells mit den notwendigen Korrekturen unter Berücksichtigung des Kaninchenfressens durch Füchse gelangen wir zu dem folgenden System, das den Namen trägt Tablettmodelle - Volterra:

Dieses System hat einen Gleichgewichtszustand, in dem die Anzahl der Kaninchen und Füchse konstant ist. Eine Abweichung von diesem Zustand führt zu Schwankungen in der Anzahl von Kaninchen und Füchsen, ähnlich wie Schwankungen im harmonischen Oszillator. Wie im Fall des harmonischen Oszillators ist dieses Verhalten nicht strukturell stabil: Eine kleine Änderung im Modell (z. B. unter Berücksichtigung des begrenzten Ressourcenbedarfs von Kaninchen) kann zu einer qualitativen Verhaltensänderung führen. Beispielsweise kann der Gleichgewichtszustand stabil werden und Populationsschwankungen verblassen. Auch die umgekehrte Situation ist möglich, wenn jede kleine Abweichung von der Gleichgewichtslage zu katastrophalen Folgen führt, bis hin zum vollständigen Aussterben einer der Arten. Auf die Frage, welches dieser Szenarien verwirklicht wird, gibt das Volterra-Lotka-Modell keine Antwort: Hier besteht weiterer Forschungsbedarf.

Anmerkungen

1. "Eine mathematische Darstellung der Realität" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Zu philosophischen Fragen kybernetischer Modellierung. M., Wissen, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Jakowlew S. A., Systemmodellierung: Proc. für Universitäten - 3. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich - M.: Höher. Schule, 2001. - 343 S. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Mathematische Modellierung. Ideen. Methoden. Beispiele. - 2. Aufl., korrigiert. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myschkis A.D., Elemente der Theorie mathematischer Modelle. - 3. Aufl., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 mit ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modellierung technologischer Prozesse: Lehrbuch / A.G. Sevostyanov, P.A. Sewostjanow. - M.: Leicht- und Lebensmittelindustrie, 1984. - 344 p.
7. Wiktionary: mathematische Modelle
8. CliffsNotes.com. Glossar der Erdwissenschaften. 20. September 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 S. ISBN 3-540-35885-4
10. „Eine Theorie wird als linear oder nichtlinear betrachtet, je nachdem, welchen – linearen oder nichtlinearen – mathematischen Apparat, welche – linearen oder nichtlinearen – mathematischen Modelle sie verwendet. ... ohne letzteres zu leugnen. Ein moderner Physiker würde höchstwahrscheinlich anders handeln, wenn er eine so wichtige Entität wie Nichtlinearität neu definieren würde, und würde, da er die Nichtlinearität als den wichtigeren und gemeinsamen der beiden Gegensätze bevorzugt, Linearität als „Nicht-Nicht-Linearität“ definieren. Linearität“. Danilow Yu. A., Vorlesungen über nichtlineare Dynamik. Elementare Einführung. Synergetik: Von der Vergangenheit zur Zukunft Serie. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 S. ISBN 5-484-00183-8
11. „Dynamische Systeme, die durch eine endliche Anzahl gewöhnlicher Differentialgleichungen modelliert werden, werden konzentrierte oder Punktsysteme genannt. Sie werden durch einen endlichdimensionalen Phasenraum beschrieben und zeichnen sich durch endlich viele Freiheitsgrade aus. Das gleiche System in verschiedene Bedingungen kann als konzentriert oder verteilt angesehen werden. Mathematische Modelle verteilter Systeme sind partielle Differentialgleichungen, Integralgleichungen oder gewöhnliche Verzögerungsgleichungen. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines verteilten Systems ist unendlich, und es werden unendlich viele Daten benötigt, um seinen Zustand zu bestimmen. Anischtschenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, Nr. 11, p. 77-84.
12. „Abhängig von der Art der untersuchten Prozesse im System S können alle Arten der Modellierung in deterministische und stochastische, statische und dynamische, diskrete, kontinuierliche und diskret-kontinuierliche unterteilt werden. Die deterministische Modellierung bildet deterministische Prozesse ab, also Prozesse, bei denen die Abwesenheit jeglicher zufälliger Einflüsse angenommen wird; Stochastische Modellierung bildet probabilistische Prozesse und Ereignisse ab. … Die statische Modellierung wird verwendet, um das Verhalten eines Objekts zu jedem Zeitpunkt zu beschreiben, während die dynamische Modellierung das Verhalten eines Objekts über die Zeit widerspiegelt. Die diskrete Modellierung dient der Beschreibung von Prozessen, die als diskret angenommen werden, bzw. die kontinuierliche Modellierung ermöglicht es Ihnen, kontinuierliche Prozesse in Systemen abzubilden, und die diskret-kontinuierliche Modellierung wird verwendet, wenn Sie das Vorhandensein von diskreten und kontinuierlichen Prozessen hervorheben möchten. Sovetov B. Ya., Jakowlew S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Normalerweise spiegelt das mathematische Modell die Struktur (das Gerät) des zu modellierenden Objekts, die Eigenschaften und Verbindungen der Komponenten dieses Objekts wider, die für die Zwecke der Studie wesentlich sind; ein solches Modell wird als strukturell bezeichnet. Wenn das Modell nur widerspiegelt, wie das Objekt funktioniert – zum Beispiel wie es auf äußere Einflüsse reagiert – dann spricht man von einer funktionalen oder bildlich gesprochen von einer Black Box. Auch kombinierte Modelle sind möglich. Myschkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Natürlich, aber die wichtigste Anfangsphase beim Erstellen oder Auswählen eines mathematischen Modells besteht darin, eine möglichst klare Vorstellung vom zu modellierenden Objekt zu erhalten und sein Inhaltsmodell auf der Grundlage informeller Diskussionen zu verfeinern. Zeit und Mühe sollten in dieser Phase nicht gescheut werden, davon hängt maßgeblich der Erfolg der gesamten Studie ab. Mehr als einmal kam es vor, dass eine erhebliche Menge an Arbeit für die Lösung aufgewendet wurde mathematisches Problem, erwies sich als unwirksam oder sogar als verschwendet, weil dieser Seite der Sache nicht genügend Beachtung geschenkt wurde. Myschkis A.D., Elemente der Theorie Mathematische Modelle. - 3. Aufl., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 mit ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « Beschreibung des konzeptionellen Modells des Systems. In dieser Unterstufe des Aufbaus eines Systemmodells: a) wird das konzeptionelle Modell M in abstrakten Begriffen und Konzepten beschrieben; b) eine Beschreibung des Modells anhand typischer mathematischer Schemata gegeben wird; c) Hypothesen und Annahmen endgültig akzeptiert werden; d) die Wahl eines Verfahrens zur Annäherung realer Prozesse bei der Modellbildung wird begründet. Sovetov B. Ya., Jakowlew S. A., Systemmodellierung: Proc. für Universitäten - 3. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich - M.: Höher. Schule, 2001. - 343 S. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

In dem Artikel, auf den Sie aufmerksam gemacht wurden, bieten wir Beispiele für mathematische Modelle an. Darüber hinaus werden wir uns mit den Phasen der Modellerstellung befassen und einige der mit der mathematischen Modellierung verbundenen Probleme analysieren.

Ein weiteres Thema von uns sind mathematische Modelle in der Ökonomie, deren Definition wir später exemplarisch betrachten werden. Wir schlagen vor, unser Gespräch mit dem eigentlichen Begriff „Modell“ zu beginnen, kurz auf ihre Klassifizierung einzugehen und zu unseren Hauptfragen überzugehen.

Der Begriff „Modell“

Wir hören oft das Wort „Modell“. Was ist es? Dieser Begriff hat viele Definitionen, hier sind nur drei davon:

• ein spezifisches Objekt, das erstellt wird, um Informationen zu empfangen und zu speichern, die einige Eigenschaften oder Merkmale usw. des Originals dieses Objekts widerspiegeln (dieses spezifische Objekt kann in verschiedenen Formen ausgedrückt werden: mental, Beschreibung durch Zeichen usw.);
• ein Modell bedeutet auch eine Darstellung einer bestimmten Situation, eines Lebens oder eines Managements;
• Eine kleine Kopie eines Objekts kann als Modell dienen (sie werden für eine detailliertere Untersuchung und Analyse erstellt, da das Modell die Struktur und die Beziehungen widerspiegelt).

Basierend auf allem, was zuvor gesagt wurde, können wir eine kleine Schlussfolgerung ziehen: Das Modell ermöglicht es Ihnen, ein komplexes System oder Objekt im Detail zu untersuchen.

Alle Modelle können nach einer Reihe von Merkmalen klassifiziert werden:

• nach Einsatzbereich (Bildung, Experimente, Wissenschaft und Technik, Gaming, Simulation);
• durch Dynamik (statisch und dynamisch);
• nach Wissenszweig (physikalisch, chemisch, geografisch, historisch, soziologische, wirtschaftliche, mathematische);
• je nach Art der Präsentation (materiell und informativ).

Informationsmodelle wiederum werden in Zeichen und verbal unterteilt. Und ikonisch - auf Computer und Nicht-Computer. Kommen wir nun zu einer detaillierten Betrachtung von Beispielen eines mathematischen Modells.

Mathematisches Modell

Wie nicht schwer zu erraten ist, spiegelt ein mathematisches Modell einige Merkmale eines Objekts oder Phänomens mit Hilfe von speziellen wider mathematische Symbole. Mathematik wird benötigt, um die Gesetze der Welt in ihrer eigenen spezifischen Sprache zu modellieren.

Die Methode der mathematischen Modellierung entstand vor ziemlich langer Zeit, vor Tausenden von Jahren, zusammen mit dem Aufkommen dieser Wissenschaft. Den Anstoß zur Entwicklung dieser Modellierungsmethode gab jedoch das Aufkommen von Computern (elektronischen Rechnern).

Kommen wir nun zur Klassifizierung. Es kann auch nach einigen Zeichen durchgeführt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wir schlagen vor, innezuhalten und uns die letzte Klassifikation genauer anzusehen, da sie die allgemeinen Muster der Modellierung und die Ziele der erstellten Modelle widerspiegelt.

Beschreibende Modelle

In diesem Kapitel schlagen wir vor, näher auf deskriptive mathematische Modelle einzugehen. Um alles sehr deutlich zu machen, wird ein Beispiel gegeben.

Diese Ansicht kann zunächst als deskriptiv bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass wir lediglich Berechnungen und Prognosen anstellen, aber den Ausgang der Veranstaltung in keiner Weise beeinflussen können.

Ein anschauliches Beispiel für ein beschreibendes mathematisches Modell ist die Berechnung der Flugbahn, Geschwindigkeit und Entfernung eines Kometen von der Erde, der in die Weiten unserer Erde eingedrungen ist Sonnensystem. Dieses Modell ist beschreibend, da alle erhaltenen Ergebnisse uns nur vor einer Art von Gefahr warnen können. Auf den Ausgang der Veranstaltung können wir leider keinen Einfluss nehmen. Basierend auf den erhaltenen Berechnungen ist es jedoch möglich, alle Maßnahmen zu ergreifen, um das Leben auf der Erde zu erhalten.

Optimierungsmodelle

Jetzt werden wir ein wenig über wirtschaftliche und mathematische Modelle sprechen, Beispiele dafür können verschiedene Situationen sein. In diesem Fall wir redenüber Modelle, die helfen, unter bestimmten Bedingungen die richtige Antwort zu finden. Sie müssen einige Parameter haben. Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel aus dem Agrarbereich.

Wir haben einen Getreidespeicher, aber das Getreide verdirbt sehr schnell. In diesem Fall müssen wir das richtige Temperaturregime wählen und den Speicherprozess optimieren.

Somit können wir das Konzept des „Optimierungsmodells“ definieren. Im mathematischen Sinne ist dies ein Gleichungssystem (sowohl linear als auch nicht), dessen Lösung hilft, die optimale Lösung in einer bestimmten wirtschaftlichen Situation zu finden. Wir haben ein Beispiel für ein mathematisches Modell (Optimierung) betrachtet, aber ich möchte noch etwas hinzufügen: Diese Art gehört zur Klasse der Extremprobleme, sie helfen, das Funktionieren des Wirtschaftssystems zu beschreiben.

Wir bemerken eine weitere Nuance: Modelle können sich tragen unterschiedlicher Charakter(siehe Tabelle unten).

Multikriterielle Modelle

Jetzt laden wir Sie ein, ein wenig über das mathematische Modell der Mehrzieloptimierung zu sprechen. Zuvor haben wir ein Beispiel für ein mathematisches Modell zur Optimierung eines Prozesses nach einem beliebigen Kriterium gegeben, aber was ist, wenn es viele davon gibt?

Ein markantes Beispiel für eine multikriterielle Aufgabe ist die Organisation einer bedarfsgerechten, gesunden und zugleich sparsamen Ernährung großer Personengruppen. Solche Aufgaben werden oft in der Armee, in Schulkantinen, Sommerlagern, Krankenhäusern usw. angetroffen.

Welche Kriterien werden uns bei dieser Aufgabe vorgegeben?

1. Essen sollte gesund sein.
2. Die Verpflegungskosten sollten auf ein Minimum reduziert werden.

Wie Sie sehen können, stimmen diese Ziele überhaupt nicht überein. Das bedeutet, dass bei der Lösung eines Problems nach der optimalen Lösung gesucht werden muss, ein Gleichgewicht zwischen den beiden Kriterien.

Spielmodelle

Wenn man über Spielmodelle spricht, ist es notwendig, das Konzept der "Spieltheorie" zu verstehen. Einfach ausgedrückt spiegeln diese Modelle mathematische Modelle realer Konflikte wider. Es lohnt sich nur zu verstehen, dass ein mathematisches Spielmodell im Gegensatz zu einem echten Konflikt seine eigenen spezifischen Regeln hat.

Jetzt werde ich ein Minimum an Informationen aus der Spieltheorie geben, die Ihnen helfen zu verstehen, was ein Spielmodell ist. Und so gibt es im Modell notwendigerweise Parteien (zwei oder mehr), die normalerweise als Spieler bezeichnet werden.

Alle Modelle haben bestimmte Eigenschaften.

Das Spielmodell kann gepaart oder mehrfach sein. Wenn wir zwei Themen haben, ist der Konflikt gepaart, wenn mehr - mehrfach. Es kann auch ein antagonistisches Spiel unterschieden werden, es wird auch als Nullsummenspiel bezeichnet. Dies ist ein Modell, bei dem der Gewinn des einen Teilnehmers gleich dem Verlust des anderen ist.

Simulationsmodelle

In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf mathematische Simulationsmodelle. Beispiele für Aufgaben sind:

• Modell der Dynamik der Anzahl von Mikroorganismen;
• Modell der Molekularbewegung und so weiter.

In diesem Fall sprechen wir von Modellen, die möglichst nahe an realen Prozessen liegen. Im Großen und Ganzen ahmen sie jede Manifestation in der Natur nach. Im ersten Fall können wir beispielsweise die Dynamik der Anzahl von Ameisen in einer Kolonie modellieren. In diesem Fall können Sie das Schicksal jedes Einzelnen beobachten. In diesem Fall wird selten die mathematische Beschreibung verwendet, häufiger gibt es schriftliche Bedingungen:

• nach fünf Tagen legt das Weibchen Eier;
• nach zwanzig Tagen stirbt die Ameise und so weiter.

Sie werden daher verwendet, um ein großes System zu beschreiben. Mathematischer Abschluss ist die Verarbeitung der erhaltenen statistischen Daten.

Anforderungen

Es ist sehr wichtig zu wissen, dass es einige Anforderungen für diesen Modelltyp gibt, darunter die in der folgenden Tabelle aufgeführten.

Vielseitigkeit	Mit dieser Eigenschaft können Sie dasselbe Modell verwenden, wenn Sie Gruppen von Objekten desselben Typs beschreiben. Es ist wichtig zu beachten, dass universelle mathematische Modelle völlig unabhängig von der physikalischen Natur des untersuchten Objekts sind.
Angemessenheit	Hier ist es wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft die genaueste Reproduktion realer Prozesse ermöglicht. Bei Betriebsproblemen ist diese Eigenschaft der mathematischen Modellierung sehr wichtig. Ein Beispiel für ein Modell ist der Prozess der Optimierung der Nutzung eines Gassystems. In diesem Fall werden berechnete und tatsächliche Indikatoren verglichen, wodurch die Korrektheit des erstellten Modells überprüft wird.
Genauigkeit	Diese Anforderung impliziert die Übereinstimmung der Werte, die wir bei der Berechnung des mathematischen Modells und der Eingabeparameter unseres realen Objekts erhalten
Wirtschaft	Die Forderung nach Wirtschaftlichkeit für jedes mathematische Modell ist durch Implementierungskosten gekennzeichnet. Wenn die Arbeit mit dem Modell manuell durchgeführt wird, muss berechnet werden, wie viel Zeit erforderlich ist, um ein Problem mit diesem mathematischen Modell zu lösen. Wenn wir über computergestütztes Design sprechen, werden Indikatoren für Zeit und Computerspeicher berechnet

Modellierungsschritte

Insgesamt ist es üblich, bei der mathematischen Modellierung vier Stufen zu unterscheiden.

1. Formulierung von Gesetzmäßigkeiten, die Teile des Modells verbinden.
2. Studium mathematischer Probleme.
3. Herausfinden der Koinzidenz von praktischen und theoretischen Ergebnissen.
4. Analyse und Modernisierung des Modells.

Ökonomisches und mathematisches Modell

In diesem Abschnitt werden wir das Thema kurz beleuchten Beispiele für Aufgaben können sein:

• Erstellung eines Produktionsprogramms für die Herstellung von Fleischprodukten, um den maximalen Produktionsgewinn zu gewährleisten;
• Maximierung des Gewinns der Organisation durch Berechnung der optimalen Anzahl von Tischen und Stühlen, die in einer Möbelfabrik hergestellt werden sollen, und so weiter.

Das wirtschaftsmathematische Modell weist eine ökonomische Abstraktion auf, die durch mathematische Begriffe und Zeichen ausgedrückt wird.

Computermathematisches Modell

Beispiele für ein computermathematisches Modell sind:

• Hydraulikaufgaben mit Flussdiagrammen, Diagrammen, Tabellen usw.;
• Aufgaben für Mechaniker Festkörper, usw.

Ein Computermodell ist ein Abbild eines Objekts oder Systems, dargestellt als:

• Tische;
• Blockdiagramme;
• Diagramme;
• Grafiken und so weiter.

Gleichzeitig spiegelt dieses Modell den Aufbau und die Zusammenhänge des Systems wider.

Aufbau eines ökonomischen und mathematischen Modells

Wir haben bereits darüber gesprochen, was ein ökonomisch-mathematisches Modell ist. Ein Beispiel zum Lösen des Problems wird jetzt betrachtet. Wir müssen das Produktionsprogramm analysieren, um die Reserve für steigende Gewinne bei einer Sortimentsverschiebung zu identifizieren.

Wir werden das Problem nicht vollständig betrachten, sondern nur ein ökonomisches und mathematisches Modell erstellen. Das Kriterium unserer Aufgabe ist die Gewinnmaximierung. Dann hat die Funktion die Form: Ë=ð1*х1+ð2*х2… zum Maximum strebend. In diesem Modell ist p der Gewinn pro Einheit, x die Anzahl der produzierten Einheiten. Ferner ist es auf der Grundlage des konstruierten Modells notwendig, Berechnungen durchzuführen und zusammenzufassen.

Ein Beispiel für den Aufbau eines einfachen mathematischen Modells

Eine Aufgabe. Der Fischer kehrte mit folgendem Fang zurück:

• 8 Fische - Bewohner der Nordmeere;
• 20% des Fangs - die Bewohner der südlichen Meere;
• kein einziger Fisch wurde aus dem örtlichen Fluss gefunden.

Wie viele Fische hat er im Laden gekauft?

Ein Beispiel für die Konstruktion eines mathematischen Modells dieses Problems ist wie folgt. Wir bezeichnen die Gesamtzahl der Fische als x. Gemäß der Bedingung ist 0,2x die Anzahl der Fische, die in südlichen Breiten leben. Jetzt kombinieren wir alle verfügbaren Informationen und erhalten ein mathematisches Modell des Problems: x=0,2x+8. Wir lösen die Gleichung und erhalten die Antwort darauf Hauptfrage: 10 Fische, die er im Laden gekauft hat.

Vortrag 1

METHODISCHE GRUNDLAGEN DER MODELLIERUNG

Der aktuelle Stand des Problems der Systemmodellierung

Konzepte der Modellierung und Simulation

Modellieren kann als Ersatz des untersuchten Objekts (Original) durch sein bedingtes Bild, Beschreibung oder ein anderes Objekt, bezeichnet werden Modell und Bereitstellen eines Verhaltens nahe dem Original innerhalb bestimmter Annahmen und akzeptabler Fehler. Die Modellierung wird normalerweise mit dem Ziel durchgeführt, die Eigenschaften des Originals durch Untersuchung seines Modells und nicht des Objekts selbst zu kennen. Das Modellieren ist natürlich dann gerechtfertigt, wenn es einfacher ist, als das Original selbst zu erstellen, oder wenn letzteres aus irgendeinem Grund besser gar nicht erstellt werden sollte.

Unter Modell wird ein physisches oder abstraktes Objekt verstanden, dessen Eigenschaften in gewisser Weise den Eigenschaften des zu untersuchenden Objekts ähneln, wobei die Anforderungen an das Modell durch das zu lösende Problem und die zur Verfügung stehenden Mittel bestimmt werden. Es gibt eine Reihe allgemeiner Anforderungen an Modelle:

2) Vollständigkeit – Bereitstellung aller erforderlichen Informationen für den Empfänger

über das Objekt;

3) Flexibilität - die Fähigkeit, verschiedene Situationen in allem zu reproduzieren

Bereich sich ändernder Bedingungen und Parameter;

4) Die Komplexität der Entwicklung sollte für das Bestehende akzeptabel sein

Zeit und Software.

Modellieren ist der Prozess, ein Modell eines Objekts zu erstellen und seine Eigenschaften durch Untersuchung des Modells zu untersuchen.

Daher umfasst die Modellierung zwei Hauptphasen:

1) Modellentwicklung;

2) Untersuchung des Modells und Schlussfolgerungen ziehen.

Gleichzeitig werden in jeder Phase verschiedene Aufgaben gelöst und

wesentlich unterschiedliche Methoden und Mittel.

In der Praxis werden verschiedene Modellierungsmethoden verwendet. Je nach Implementierungsmethode können alle Modelle in zwei große Klassen eingeteilt werden: physikalisch und mathematisch.

Mathematische Modellierung Es ist üblich, es als Mittel zum Studium von Prozessen oder Phänomenen mit Hilfe ihrer mathematischen Modelle zu betrachten.

Unter physikalische Modellierung ist die Untersuchung von Gegenständen und Phänomenen an physikalischen Modellen zu verstehen, wenn der untersuchte Vorgang unter Beibehaltung seiner physikalischen Natur reproduziert oder ein anderes physikalisches Phänomen, das dem untersuchten ähnlich ist, verwendet wird. Dabei physikalische Modelle Sie übernehmen in der Regel die reale Verkörperung jener physikalischen Eigenschaften des Originals, die in einer bestimmten Situation wesentlich sind: So entsteht beispielsweise beim Entwurf eines neuen Flugzeugs dessen Modell mit den gleichen aerodynamischen Eigenschaften; Bei der Planung eines Gebäudes erstellen Architekten einen Grundriss, der die räumliche Anordnung seiner Elemente widerspiegelt. In diesem Zusammenhang wird auch Physical Modeling genannt Prototyp entwickeln.

HIL-Modellierung ist eine Untersuchung von Regelstrecken auf Simulationskomplexen unter Einbeziehung realer Anlagen in das Modell. Das geschlossene Modell umfasst neben realen Geräten Aufprall- und Interferenzsimulatoren, mathematische Modelle der äußeren Umgebung und Prozesse, für die eine hinreichend genaue mathematische Beschreibung nicht bekannt ist. Die Einbeziehung realer Geräte oder realer Systeme in die Schaltung zur Modellierung komplexer Prozesse ermöglicht es, a priori Unsicherheiten zu reduzieren und Prozesse zu untersuchen, für die es keine exakte mathematische Beschreibung gibt. Mit Hilfe der naturnahen Simulation werden Studien unter Berücksichtigung kleiner Zeitkonstanten und Nichtlinearitäten realer Geräte durchgeführt. Bei der Untersuchung von Modellen unter Einbeziehung realer Geräte wird das Konzept verwendet dynamische Simulation, in der Studie komplexe Systeme und Phänomene - evolutionär, Nachahmung und Kybernetische Simulation.

Offensichtlich kann der wirkliche Nutzen der Modellierung nur erzielt werden, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) Das Modell liefert eine korrekte (angemessene) Darstellung von Eigenschaften

das Original, das aus Sicht der untersuchten Operation von Bedeutung ist;

2) Das Modell ermöglicht es, die oben aufgeführten Probleme zu beseitigen, die inhärent sind

Recherche an realen Objekten.

2. Grundkonzepte der mathematischen Modellierung

Die Lösung praktischer Probleme durch mathematische Methoden wird konsequent durchgeführt, indem das Problem formuliert (Entwicklung eines mathematischen Modells), eine Methode zum Studium des erhaltenen mathematischen Modells ausgewählt und das erhaltene mathematische Ergebnis analysiert wird. Die mathematische Formulierung des Problems wird üblicherweise in Form von geometrischen Bildern, Funktionen, Gleichungssystemen usw. dargestellt. Die Beschreibung eines Objekts (Phänomens) kann durch kontinuierliche oder diskrete, deterministische oder stochastische und andere mathematische Formen dargestellt werden.

Theorie der mathematischen Modellierung gewährleistet durch deren mathematische Beschreibung und Modellierung ohne Feldversuche die Identifizierung von Regelmäßigkeiten im Ablauf verschiedener Phänomene der umgebenden Welt oder der Funktionsweise von Systemen und Geräten. Dabei werden die Bestimmungen und Gesetze der Mathematik verwendet, die die simulierten Phänomene, Systeme oder Geräte auf einer bestimmten Stufe ihrer Idealisierung beschreiben.

Mathematisches Modell (MM) ist eine formalisierte Beschreibung eines Systems (oder einer Operation) in einer abstrakten Sprache, beispielsweise in Form einer Reihe mathematischer Beziehungen oder eines Algorithmusschemas, d.h. h. eine solche mathematische Beschreibung, die eine Nachahmung des Betriebs von Systemen oder Geräten auf einem Niveau liefert, das ihrem realen Verhalten, das während umfassender Tests von Systemen oder Geräten erhalten wird, hinreichend nahe kommt.

Jedes MM beschreibt ein reales Objekt, Phänomen oder einen Prozess mit einem gewissen Grad an Annäherung an die Realität. Die Art des MM hängt sowohl von der Art des realen Objekts als auch von den Zielen der Studie ab.

Mathematische Modellierung soziale, wirtschaftliche, biologische und physikalische Phänomene, Objekte, Systeme und verschiedene Geräte ist eines der wichtigsten Mittel, um die Natur zu verstehen und eine Vielzahl von Systemen und Geräten zu entwerfen. Es gibt bekannte Beispiele für den effektiven Einsatz von Modellen bei der Entwicklung von Nukleartechnologien, Luft- und Raumfahrtsystemen, bei der Vorhersage atmosphärischer und ozeanischer Phänomene, des Wetters usw.

Solche ernsthaften Bereiche der Modellierung erfordern jedoch oft Supercomputer und jahrelange Arbeit großer Wissenschaftlerteams, um Daten für die Modellierung und deren Fehlersuche vorzubereiten. Dennoch spart auch in diesem Fall die mathematische Modellierung komplexer Systeme und Geräte nicht nur Geld für Forschung und Erprobung, sondern kann auch Umweltkatastrophen verhindern – beispielsweise ermöglicht sie den Verzicht auf die Erprobung nuklearer und thermonuklearer Waffen zugunsten von ihre mathematische Modellierung oder das Testen von Luft- und Raumfahrtsystemen vor ihren realen Flügen.Inzwischen hat sich die mathematische Modellierung auf der Ebene der Lösung einfacherer Probleme, beispielsweise aus dem Bereich der Mechanik, Elektrotechnik, Elektronik, Funktechnik und vielen anderen Bereichen der Wissenschaft und Technik, etabliert jetzt für die Ausführung auf modernen PCs verfügbar. Und wenn verallgemeinerte Modelle verwendet werden, wird es möglich, ziemlich komplexe Systeme zu modellieren, zum Beispiel Telekommunikationssysteme und -netzwerke, Radar- oder Funknavigationssysteme.

Der Zweck der mathematischen Modellierung ist die Analyse realer Vorgänge (in Natur oder Technik) mit mathematischen Methoden. Dies erfordert wiederum die Formalisierung des zu untersuchenden MM-Prozesses.Das Modell kann ein mathematischer Ausdruck sein, der Variablen enthält, derenVerhalten ähnlich dem Verhalten eines realen Systems ist.Das Modell kann Zufälligkeitselemente enthalten, die die Wahrscheinlichkeitenvon berücksichtigen mögliche Aktionen von zwei oder mehr„Spieler“, wie zum Beispiel in der Spieltheorie; oder es kann die realen Variablen der miteinander verbundenen Teile des Betriebssystems darstellen.

Die mathematische Modellierung zur Untersuchung der Eigenschaften von Systemen kann in Analyse, Simulation und Kombination unterteilt werden. MM wiederum sind in Simulation und Analytik unterteilt.

Analytische Modellierung

Zum Analytische Modellierung Es ist charakteristisch, dass die Prozesse des Funktionierens des Systems in Form einiger funktionaler Beziehungen (algebraische, Differential-, Integralgleichungen) geschrieben werden. Das analytische Modell kann mit folgenden Methoden untersucht werden:

1) analytisch, wenn sie sich bemühen, hineinzukommen Gesamtansicht explizite Abhängigkeiten für Systemeigenschaften;

2) numerisch, wenn es nicht möglich ist, eine Lösung für Gleichungen in allgemeiner Form zu finden, und sie für bestimmte Anfangsdaten gelöst werden;

3) qualitativ, wenn in Abwesenheit einer Lösung einige ihrer Eigenschaften gefunden werden.

Analytische Modelle können nur für relativ einfache Systeme erhalten werden. Bei komplexen Systemen ergeben sich oft große mathematische Probleme. Um die analytische Methode anzuwenden, geht man zu einer deutlichen Vereinfachung des ursprünglichen Modells über. Eine Studie an einem vereinfachten Modell hilft jedoch, nur indikative Ergebnisse zu erhalten. Analytische Modelle geben die Beziehung zwischen Eingabe- und Ausgabevariablen und -parametern mathematisch korrekt wieder. Ihre Struktur spiegelt jedoch nicht die interne Struktur des Objekts wider.

Bei der analytischen Modellierung werden ihre Ergebnisse in Form von analytischen Ausdrücken dargestellt. Zum Beispiel durch Verbinden RC- Schaltung an eine Konstantspannungsquelle E(R, C und E sind die Komponenten dieses Modells), können wir einen analytischen Ausdruck für die Zeitabhängigkeit der Spannung machen u(t) auf dem Kondensator C:

Dies ist eine lineare Differentialgleichung (DE) und ein analytisches Modell dieser einfachen linearen Schaltung. Seine analytische Lösung unter der Anfangsbedingung u(0) = 0 , was einen entladenen Kondensator bedeutet C zu Beginn der Simulation, ermöglicht es Ihnen, die benötigte Abhängigkeit zu finden - in Form einer Formel:

u(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Allerdings sind auch bei diesem einfachsten Beispiel gewisse Anstrengungen erforderlich, um die Differentialgleichung (1) zu lösen bzw. anzuwenden Computermathematische Systeme(SCM) mit symbolischen Berechnungen - Computeralgebrasysteme. Für diesen recht trivialen Fall ist die Lösung des Problems eine lineare Modellierung RC-Schaltkreis gibt einen analytischen Ausdruck (2) von ziemlich allgemeiner Form - er eignet sich zur Beschreibung des Betriebs des Schaltkreises für beliebige Komponentenwerte R, C und E, und beschreibt die exponentielle Ladung des Kondensators Cüber einen Widerstand R aus einer Konstantspannungsquelle E.

Das Finden analytischer Lösungen in der analytischen Modellierung erweist sich zweifellos als äußerst wertvoll, um die allgemeinen theoretischen Gesetze einfacher linearer Schaltungen, Systeme und Geräte aufzudecken, jedoch nimmt ihre Komplexität stark zu, wenn die Auswirkungen auf das Modell komplexer werden und die Reihenfolge und Anzahl von Zustandsgleichungen, die das modellierte Objekt beschreiben, steigen. Sie können mehr oder weniger sichtbare Ergebnisse erzielen, wenn Sie Objekte zweiter oder dritter Ordnung modellieren, aber selbst bei einer höheren Ordnung werden analytische Ausdrücke übermäßig umständlich, komplex und schwer verständlich. Beispielsweise enthält selbst ein einfacher elektronischer Verstärker oft Dutzende von Komponenten. Viele moderne SCMs, wie Systeme der symbolischen Mathematik Ahorn, Mathematica oder Mittwoch MATLAB sind in der Lage, die Lösung komplexer Probleme der analytischen Modellierung weitgehend zu automatisieren.

Eine Art der Modellierung ist numerische Simulation, die darin besteht, die erforderlichen quantitativen Daten über das Verhalten von Systemen oder Geräten durch ein geeignetes numerisches Verfahren wie das Euler- oder das Runge-Kutta-Verfahren zu erhalten. In der Praxis ist die Modellierung nichtlinearer Systeme und Geräte mit numerischen Methoden wesentlich effizienter als die analytische Modellierung einzelner privater linearer Schaltungen, Systeme oder Geräte. Zum Beispiel wird zum Lösen von DE (1) oder DE-Systemen in komplexeren Fällen keine Lösung in analytischer Form erhalten, aber numerische Simulationsdaten können ausreichend vollständige Daten über das Verhalten der simulierten Systeme und Geräte sowie Diagramme liefern Diagramme, die dieses Verhalten von Abhängigkeiten beschreiben.

Simulation

Bei Nachahmung Bei der Modellierung reproduziert der Algorithmus, der das Modell implementiert, den Prozess des Funktionierens des Systems in der Zeit. Die elementaren Phänomene, die den Prozess ausmachen, werden unter Beibehaltung ihrer logischen Struktur und der zeitlichen Abfolge nachgeahmt.

Der Hauptvorteil von Simulationsmodellen gegenüber analytischen Modellen ist die Fähigkeit, komplexere Probleme zu lösen.

Simulationsmodelle machen es einfach, das Vorhandensein von diskreten oder kontinuierlichen Elementen, nichtlinearen Eigenschaften, Zufallseffekten usw. zu berücksichtigen. Daher wird diese Methode häufig in der Entwurfsphase komplexer Systeme verwendet. Das Hauptwerkzeug für die Implementierung der Simulationsmodellierung ist ein Computer, der die digitale Modellierung von Systemen und Signalen ermöglicht.

In diesem Zusammenhang definieren wir den Ausdruck " Computermodellierung“, die zunehmend in der Literatur verwendet wird. Davon gehen wir aus Computermodellierung- Dies ist eine mathematische Modellierung mit Computertechnologie. Dementsprechend umfasst die Computersimulationstechnologie die folgenden Aktionen:

1) Definition des Zwecks der Modellierung;

2) Entwicklung eines konzeptionellen Modells;

3) Formalisierung des Modells;

4) Softwareimplementierung des Modells;

5) Planung von Modellversuchen;

6) Umsetzung des Versuchsplans;

7) Analyse und Interpretation von Simulationsergebnissen.

Bei Simulationsmodellierung Das verwendete MM reproduziert den Algorithmus („Logik“) der Funktionsweise des untersuchten Systems rechtzeitig für verschiedene Kombinationen von Werten der Parameter des Systems und der Umgebung.

Ein Beispiel für das einfachste analytische Modell ist die Gleichung der gleichförmigen geradlinigen Bewegung. Bei der Untersuchung eines solchen Prozesses mit einem Simulationsmodell sollte die Beobachtung der Änderung des zurückgelegten Weges über die Zeit implementiert werden, wobei offensichtlich in manchen Fällen eine analytische Modellierung vorzuziehen ist, in anderen eine Simulation (oder eine Kombination aus beidem). Um eine gute Wahl zu treffen, müssen zwei Fragen beantwortet werden.

Was ist der Zweck der Modellierung?

Welcher Klasse kann das simulierte Phänomen zugeordnet werden?

Antworten auf diese beiden Fragen können während der Ausführung der ersten beiden Stufen der Modellierung erhalten werden.

Simulationsmodelle entsprechen nicht nur in ihren Eigenschaften, sondern auch in ihrer Struktur dem zu modellierenden Objekt. Dabei besteht eine eindeutige und eindeutige Übereinstimmung zwischen den am Modell erhaltenen Prozessen und den am Objekt ablaufenden Prozessen. Der Nachteil der Simulationsmodellierung besteht darin, dass es lange dauert, das Problem zu lösen, um eine gute Genauigkeit zu erhalten.

Die Ergebnisse der Simulationsmodellierung des Betriebs eines stochastischen Systems sind Realisierungen zufällige Variablen oder Prozesse. Um die Eigenschaften des Systems zu finden, ist daher eine mehrfache Wiederholung und anschließende Datenverarbeitung erforderlich. Meistens wird in diesem Fall eine Art Simulation verwendet - statistisch

Modellieren(oder die Monte-Carlo-Methode), d.h. Reproduktion in Modellen von Zufallsfaktoren, Ereignissen, Mengen, Prozessen, Feldern.

Gemäß den Ergebnissen der statistischen Modellierung werden Schätzungen von allgemeinen und besonderen probabilistischen Qualitätskriterien bestimmt, die das Funktionieren und die Effizienz des gesteuerten Systems charakterisieren. Statistische Modellierung wird häufig verwendet, um wissenschaftliche und angewandte Probleme in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie zu lösen. Methoden der statistischen Modellierung werden häufig bei der Untersuchung komplexer dynamischer Systeme und der Bewertung ihrer Funktionsweise und Effizienz eingesetzt.

Die letzte Stufe der statistischen Modellierung basiert auf der mathematischen Verarbeitung der erhaltenen Ergebnisse. Dabei kommen Methoden der mathematischen Statistik zum Einsatz (parametrische und nichtparametrische Schätzung, Hypothesentest). Ein Beispiel für eine parametrische Bewertung ist der Stichprobenmittelwert einer Leistungskennzahl. Unter den nichtparametrischen Methoden die am weitesten verbreitete Histogramm-Methode.

Das betrachtete Schema basiert auf mehreren statistischen Tests des Systems und der Methoden der Statistik unabhängiger Zufallsvariablen.Dieses Schema ist in der Praxis bei weitem nicht immer natürlich und in Bezug auf die Kosten optimal. Eine Verringerung der Systemtestzeit kann durch die Verwendung genauerer Schätzverfahren erreicht werden. Wie aus der mathematischen Statistik bekannt ist, haben effektive Schätzungen die höchste Genauigkeit für eine gegebene Stichprobengröße. Optimale Filterung und die Maximum-Likelihood-Methode geben allgemeine Methode Erhalten solcher Schätzungen Bei den Problemen der statistischen Modellierung ist die Verarbeitung von Realisierungen zufälliger Prozesse nicht nur für die Analyse von Ausgabeprozessen notwendig.

Es ist auch sehr wichtig, die Eigenschaften von Eingangszufallseffekten zu steuern. Die Kontrolle besteht darin, zu prüfen, ob die Verteilungen der generierten Prozesse den vorgegebenen Verteilungen entsprechen. Diese Aufgabe wird oft formuliert als Hypothesentestaufgabe.

Der allgemeine Trend in der computergestützten Simulation komplexer Regelstrecken ist der Wunsch, die Simulationszeit zu verkürzen sowie in Echtzeit zu forschen. Computeralgorithmen werden bequem in einer wiederkehrenden Form dargestellt, die ihre Implementierung im Tempo aktueller Informationen ermöglicht.

PRINZIPIEN EINES SYSTEMANSATZES IN DER MODELLIERUNG

Grundlagen der Systemtheorie

Die wesentlichen Grundlagen der Systemtheorie sind im Zuge der Erforschung dynamischer Systeme und ihrer Funktionselemente entstanden. Unter einem System versteht man eine Gruppe miteinander verbundener Elemente, die zusammenwirken, um eine vorgegebene Aufgabe zu erfüllen. Mit der Systemanalyse können Sie am meisten feststellen echte Wege Erfüllung der gestellten Aufgabe, Sicherstellung der maximalen Erfüllung der gestellten Anforderungen.

Die Elemente, die der Systemtheorie zugrunde liegen, werden nicht mit Hilfe von Hypothesen geschaffen, sondern experimentell entdeckt. Um mit dem Aufbau eines Systems zu beginnen, ist es notwendig, allgemeine Eigenschaften technologischer Prozesse zu haben. Gleiches gilt für die Grundsätze zur Schaffung mathematisch formulierter Kriterien, denen ein Prozess bzw. dessen theoretische Beschreibung genügen muss. Modellierung ist eine der wichtigsten Methoden des wissenschaftlichen Forschens und Experimentierens.

Beim Erstellen von Modellen von Objekten wird ein systematischer Ansatz verwendet, bei dem es sich um eine Methode zur Lösung komplexer Probleme handelt, die auf der Betrachtung eines Objekts als System basiert, das in einer bestimmten Umgebung arbeitet. Der Systemansatz beinhaltet die Offenlegung der Integrität des Objekts, die Identifizierung und Untersuchung seiner internen Struktur sowie Verbindungen mit der externen Umgebung. In diesem Fall wird das Objekt als Teil der realen Welt präsentiert, die im Zusammenhang mit dem zu lösenden Problem des Bauens eines Modells identifiziert und untersucht wird. Neben, systemischer Ansatz beinhaltet einen konsequenten Übergang vom Allgemeinen zum Besonderen, wenn der Betrachtung das Gestaltungsziel zugrunde liegt und das Objekt in Bezug zur Umgebung betrachtet wird.

Ein komplexes Objekt kann in Subsysteme unterteilt werden, die Teile des Objekts sind, die die folgenden Anforderungen erfüllen:

1) Das Subsystem ist ein funktional unabhängiger Teil des Objekts. Es ist mit anderen Subsystemen verbunden, tauscht mit ihnen Informationen und Energie aus;

2) für jedes Teilsystem können Funktionen oder Eigenschaften definiert werden, die nicht mit den Eigenschaften des Gesamtsystems übereinstimmen;

3) Jedes der Subsysteme kann weiter bis auf Elementebene unterteilt werden.

Unter einem Element wird dabei ein Teilsystem der unteren Ebene verstanden, dessen weitere Aufteilung aus Sicht der zu lösenden Aufgabe unzweckmäßig ist.

Somit kann ein System als Darstellung eines Objekts in Form einer Reihe von Subsystemen, Elementen und Beziehungen zum Zweck seiner Erstellung, Erforschung oder Verbesserung definiert werden. Gleichzeitig wird eine vergrößerte Darstellung des Systems, die die wichtigsten Subsysteme und Verbindungen zwischen ihnen enthält, als Makrostruktur bezeichnet, und eine detaillierte Offenlegung der internen Struktur des Systems bis auf die Ebene der Elemente wird als Mikrostruktur bezeichnet.

Neben dem System gibt es normalerweise ein Supersystem - ein System einer höheren Ebene, das das betrachtete Objekt enthält, und die Funktion eines Systems kann nur durch das Supersystem bestimmt werden.

Es ist notwendig, das Konzept der Umwelt als eine Menge von Objekten der Außenwelt herauszustellen, die die Effizienz des Systems erheblich beeinflussen, aber nicht Teil des Systems und seines Supersystems sind.

Im Zusammenhang mit der systematischen Herangehensweise an Gebäudemodelle wird der Begriff der Infrastruktur verwendet, der die Beziehung des Systems zu seiner Umgebung (Environment) beschreibt, in diesem Fall die Auswahl, Beschreibung und Untersuchung der wesentlichen Eigenschaften eines Objekts innerhalb einer bestimmten Aufgabe wird die Schichtung eines Objekts genannt, und jedes Modell eines Objekts ist seine geschichtete Beschreibung.

Für einen systematischen Ansatz ist es wichtig, die Struktur des Systems zu bestimmen, d.h. Reihe von Verbindungen zwischen den Elementen des Systems, die ihre Wechselwirkung widerspiegeln. Dazu betrachten wir zunächst die strukturellen und funktionalen Ansätze zur Modellierung.

Mit einem strukturellen Ansatz werden die Zusammensetzung der ausgewählten Elemente des Systems und die Verbindungen zwischen ihnen offengelegt. Die Gesamtheit der Elemente und Beziehungen ermöglicht es, die Struktur des Systems zu beurteilen. Die allgemeinste Beschreibung einer Struktur ist eine topologische Beschreibung. Es ermöglicht Ihnen, die Komponenten des Systems und ihre Beziehungen mithilfe von Diagrammen zu definieren. Weniger allgemein ist die Funktionsbeschreibung, wenn einzelne Funktionen betrachtet werden, also Algorithmen für das Verhalten des Systems. Gleichzeitig wird ein funktionaler Ansatz implementiert, der die Funktionen bestimmt, die das System ausführt.

Auf der Grundlage eines systematischen Ansatzes kann eine Abfolge der Modellentwicklung vorgeschlagen werden, wenn zwei Hauptphasen des Entwurfs unterschieden werden: Makroentwurf und Mikroentwurf.

In der Phase des Makrodesigns wird ein Modell der externen Umgebung erstellt, Ressourcen und Einschränkungen werden identifiziert, ein Systemmodell und Kriterien zur Bewertung der Angemessenheit werden ausgewählt.

Die Phase des Mikrodesigns hängt weitgehend von der spezifischen Art des gewählten Modells ab. Im Allgemeinen geht es um die Erstellung von Informationen, mathematischer, technischer und softwaretechnischer Unterstützung für das Modellierungssystem. In dieser Phase werden die wichtigsten technischen Merkmale des erstellten Modells festgelegt, die Zeit für die Arbeit damit und die Ressourcenkosten zum Erreichen der angegebenen Qualität des Modells geschätzt.

Unabhängig von der Art des Modells müssen Sie sich bei der Erstellung an einer Reihe von Prinzipien eines systematischen Ansatzes orientieren:

1) konsistenter Fortschritt durch die Phasen der Erstellung eines Modells;

2) Koordinierung von Informationen, Ressourcen, Zuverlässigkeit und anderen Merkmalen;

3) das richtige Verhältnis verschiedener Ebenen des Modellbaus;

4) die Integrität der einzelnen Phasen des Modelldesigns.

Mathematische Modellierung

1. Was ist mathematische Modellierung?

Seit Mitte des 20. Jahrhunderts. In verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit begannen mathematische Methoden und Computer weit verbreitet zu sein. Neue Disziplinen wie "mathematische Ökonomie", "mathematische Chemie", "mathematische Linguistik" usw. sind entstanden, die mathematische Modelle relevanter Objekte und Phänomene sowie Methoden zum Studium dieser Modelle untersuchen.

Ein mathematisches Modell ist eine ungefähre Beschreibung einer beliebigen Klasse von Phänomenen oder Objekten der realen Welt in der Sprache der Mathematik. Der Hauptzweck der Modellierung besteht darin, diese Objekte zu erforschen und die Ergebnisse zukünftiger Beobachtungen vorherzusagen. Die Modellierung ist aber auch eine Methode der Wahrnehmung der Umwelt, die es ermöglicht, sie zu kontrollieren.

Mathematische Modellierung und das damit verbundene Computerexperiment sind unverzichtbar, wenn ein Experiment in Originalgröße aus dem einen oder anderen Grund unmöglich oder schwierig ist. Zum Beispiel ist es unmöglich, ein umfassendes Experiment in der Geschichte durchzuführen, um zu überprüfen, „was passieren würde, wenn ...“. Es ist unmöglich, die Richtigkeit dieser oder jener kosmologischen Theorie zu überprüfen. Prinzipiell ist es möglich, aber kaum sinnvoll, ein Experiment zur Ausbreitung einer Krankheit, etwa der Pest, aufzusetzen oder durchzuführen Nukleare Explosion seine Implikationen zu studieren. All dies kann jedoch auf einem Computer durchgeführt werden, nachdem zuvor mathematische Modelle der untersuchten Phänomene erstellt wurden.

2. Hauptstufen der mathematischen Modellierung

1) Modellbau. In diesem Stadium wird ein "nicht mathematisches" Objekt angegeben - ein Naturphänomen, eine Konstruktion, ein Wirtschaftsplan, ein Produktionsprozess usw. In diesem Fall ist eine klare Beschreibung der Situation in der Regel schwierig. Zunächst werden die Hauptmerkmale des Phänomens und die Beziehung zwischen ihnen auf qualitativer Ebene identifiziert. Dann werden die gefundenen qualitativen Abhängigkeiten in der Sprache der Mathematik formuliert, das heißt, es wird ein mathematisches Modell aufgebaut. Dies ist der schwierigste Teil der Modellierung.

2) Lösen des mathematischen Problems, zu dem das Modell führt. In dieser Phase wird viel Aufmerksamkeit auf die Entwicklung von Algorithmen und numerischen Methoden zur Lösung des Problems auf einem Computer gelegt, mit deren Hilfe das Ergebnis mit der erforderlichen Genauigkeit und innerhalb der zulässigen Zeit gefunden werden kann.

3) Interpretation der erhaltenen Konsequenzen aus dem mathematischen Modell. Die aus dem Modell abgeleiteten Konsequenzen in der Sprache der Mathematik werden in der in diesem Bereich akzeptierten Sprache interpretiert.

4) Überprüfung der Angemessenheit des Modells. In diesem Stadium wird festgestellt, ob die Ergebnisse des Experiments mit den theoretischen Konsequenzen aus dem Modell innerhalb einer gewissen Genauigkeit übereinstimmen.

5) Modellmodifikation. In diesem Stadium wird das Modell entweder komplexer, um der Realität besser gerecht zu werden, oder es wird vereinfacht, um eine praktisch akzeptable Lösung zu erreichen.

3. Klassifizierung von Modellen

Modelle können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Beispielsweise können Modelle je nach Art der zu lösenden Probleme in funktionale und strukturelle Modelle unterteilt werden. Im ersten Fall werden alle Größen, die ein Phänomen oder Objekt charakterisieren, quantitativ ausgedrückt. Gleichzeitig werden einige von ihnen als unabhängige Variablen betrachtet, während andere als Funktionen dieser Größen betrachtet werden. Ein mathematisches Modell ist normalerweise ein System von Gleichungen verschiedener Art (differential, algebraisch usw.), die quantitative Beziehungen zwischen den betrachteten Größen herstellen. Im zweiten Fall charakterisiert das Modell die Struktur eines komplexen Objekts, das aus einzelnen Teilen besteht, zwischen denen bestimmte Verbindungen bestehen. Typischerweise sind diese Beziehungen nicht quantifizierbar. Um solche Modelle zu erstellen, ist es zweckmäßig, die Graphentheorie zu verwenden. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt, bei dem es sich um eine Menge von Punkten (Scheitelpunkten) auf einer Ebene oder im Raum handelt, von denen einige durch Linien (Kanten) verbunden sind.

Je nach Art der Ausgangsdaten und Vorhersageergebnisse lassen sich die Modelle in deterministische und probabilistisch-statistische einteilen. Modelle des ersten Typs geben bestimmte, eindeutige Vorhersagen. Modelle des zweiten Typs basieren auf statistischen Informationen, und die mit ihrer Hilfe gewonnenen Vorhersagen sind probabilistischer Natur.

4. Beispiele für mathematische Modelle

1) Probleme mit der Bewegung des Geschosses.

Betrachten Sie das folgende Problem in der Mechanik.

Das Projektil wird von der Erde mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 30 m/s in einem Winkel a = 45° zu ihrer Oberfläche abgefeuert; es ist erforderlich, die Trajektorie seiner Bewegung und den Abstand S zwischen den Start- und Endpunkten dieser Trajektorie zu finden.

Dann wird, wie aus dem Schulphysikkurs bekannt, die Bewegung des Geschosses durch die Formeln beschrieben:

wo t - Zeit, g = 10 m / s 2 - Beschleunigung des freien Falls. Diese Formeln geben das mathematische Modell der Aufgabe wieder. Wenn wir t durch x aus der ersten Gleichung ausdrücken und in die zweite einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Flugbahn des Projektils:

Diese Kurve (Parabel) schneidet die x-Achse an zwei Punkten: x 1 \u003d 0 (Beginn der Flugbahn) und (der Ort, an dem das Projektil gefallen ist). Setzen wir die gegebenen Werte v0 und a in die erhaltenen Formeln ein, erhalten wir

antwort: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Beachten Sie, dass bei der Konstruktion dieses Modells eine Reihe von Annahmen verwendet wurden: Beispielsweise wird angenommen, dass die Erde flach ist und die Luft und die Rotation der Erde die Bewegung des Projektils nicht beeinflussen.

2) Das Problem eines Tanks mit der kleinsten Oberfläche.

Es ist erforderlich, die Höhe h 0 und den Radius r 0 eines Zinnbehälters mit einem Volumen V = 30 m 3 zu finden, der die Form eines geschlossenen Kreiszylinders hat, bei dem seine Oberfläche S minimal (in diesem Fall am kleinsten) ist Menge an Zinn wird zu seiner Herstellung verwendet).

Schreiben wir auf die folgenden Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders der Höhe h und des Radius r:

V = p r 2 h, S = 2 p r (r + h).

Wenn wir h durch r und V aus der ersten Formel ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in die zweite einsetzen, erhalten wir:

Somit reduziert sich das Problem aus mathematischer Sicht darauf, den Wert von r zu bestimmen, bei dem die Funktion S(r) ihr Minimum erreicht. Lassen Sie uns die Werte von r 0 finden, für die die Ableitung gilt

geht auf null: Sie können überprüfen, dass die zweite Ableitung der Funktion S(r) das Vorzeichen von Minus zu Plus ändert, wenn das Argument r durch den Punkt r 0 geht. Daher hat die Funktion S(r) am Punkt r0 ein Minimum. Der entsprechende Wert h 0 = 2r 0 . Wenn wir den gegebenen Wert V in den Ausdruck für r 0 und h 0 einsetzen, erhalten wir den gewünschten Radius und Höhe

3) Transportaufgabe.

Es gibt zwei Mehllager und zwei Bäckereien in der Stadt. Jeden Tag werden 50 Tonnen Mehl aus dem ersten Lager und 70 Tonnen aus dem zweiten in die Fabriken exportiert, 40 Tonnen an das erste und 80 Tonnen an das zweite.

Bezeichne mit a ij Kosten für den Transport von 1 Tonne Mehl vom i-ten Lager nach j-te Anlage(i, j = 1,2). Lassen

a 11 \u003d 1,2 S., a 12 \u003d 1,6 S., a 21 \u003d 0,8 S., a 22 = 1 p.

Wie sollte der Transport geplant werden, damit seine Kosten minimal sind?

Geben wir dem Problem eine mathematische Formulierung. Lassen Sie uns mit x 1 und x 2 die Mehlmenge bezeichnen, die vom ersten Lager in die erste und zweite Fabrik transportiert werden soll, und mit x 3 und x 4 - vom zweiten Lager in die erste bzw. zweite Fabrik. Dann:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Die Gesamtkosten aller Transporte werden durch die Formel bestimmt

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Aus mathematischer Sicht besteht die Aufgabe darin, vier Zahlen x 1 , x 2 , x 3 und x 4 zu finden, die alle gegebenen Bedingungen erfüllen und das Minimum der Funktion f ergeben. Lösen wir das Gleichungssystem (1) nach xi (i = 1, 2, 3, 4) nach der Methode der Unbekannteneliminierung. Das verstehen wir

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

und x 4 nicht eindeutig bestimmt werden können. Da x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), folgt aus den Gleichungen (2), dass 30J x 4 J 70. Durch Einsetzen des Ausdrucks für x 1 , x 2 , x 3 in die Formel für f erhalten wir

f \u003d 148 - 0,2 x 4.

Es ist leicht zu erkennen, dass das Minimum dieser Funktion beim maximal möglichen Wert von x 4 erreicht wird, also bei x 4 = 70. Die entsprechenden Werte anderer Unbekannter werden durch Formeln (2) bestimmt: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Das Problem des radioaktiven Zerfalls.

Sei N(0) die Anfangszahl der Atome der radioaktiven Substanz und N(t) die Zahl der nicht zerfallenen Atome zum Zeitpunkt t. Es wurde experimentell festgestellt, dass die Änderungsrate der Anzahl dieser Atome N "(t) proportional zu N (t) ist, dh N" (t) \u003d –l N (t), l > 0 ist die Radioaktivitätskonstante einer bestimmten Substanz. Im Schulkurs Mathematische Analysis wird gezeigt, dass die Lösung dieser Differentialgleichung die Form N(t) = N(0)e –l t hat. Die Zeit T, in der sich die Zahl der Ausgangsatome halbiert hat, wird Halbwertszeit genannt und ist ein wichtiges Merkmal der Radioaktivität eines Stoffes. Um T zu bestimmen, muss die Formel eingegeben werden Dann Beispielsweise ist für Radon l = 2,084 · 10–6 und damit T = 3,15 Tage.

5) Das Problem des Handlungsreisenden.

Ein Handlungsreisender, der in der Stadt A 1 lebt, muss die Städte A 2 , A 3 und A 4 besuchen, jede Stadt genau einmal, und dann nach A 1 zurückkehren. Es ist bekannt, dass alle Städte paarweise durch Straßen verbunden sind, und die Längen der Straßen b ij zwischen den Städten A i und A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sind wie folgt:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Es ist notwendig, die Reihenfolge der besuchten Städte zu bestimmen, in der die Länge des entsprechenden Pfades minimal ist.

Stellen wir jede Stadt als Punkt auf der Ebene dar und markieren sie mit dem entsprechenden Label Ai (i = 1, 2, 3, 4). Verbinden wir diese Punkte mit Liniensegmenten: Sie stellen Straßen zwischen Städten dar. Für jede „Straße“ geben wir ihre Länge in Kilometern an (Abb. 2). Das Ergebnis ist ein Graph – ein mathematisches Objekt, das aus einer bestimmten Menge von Punkten auf der Ebene (Scheitelpunkte genannt) und einer bestimmten Menge von Linien besteht, die diese Punkte verbinden (Kanten genannt). Außerdem ist dieser Graph beschriftet, da seinen Scheitelpunkten und Kanten einige Beschriftungen zugeordnet sind - Zahlen (Kanten) oder Symbole (Eckpunkte). Ein Zyklus in einem Graphen ist eine Folge von Scheitelpunkten V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 , so dass die Scheitelpunkte V 1 , ..., V k unterschiedlich sind, und jedes Paar von Scheitelpunkten V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) und das Paar V 1 , V k sind durch eine Kante verbunden. Das betrachtete Problem besteht also darin, einen solchen Zyklus auf dem Graphen zu finden, der durch alle vier Knoten geht, für den die Summe aller Kantengewichte minimal ist. Lassen Sie uns alle verschiedenen Zyklen durchsuchen, die durch vier Scheitelpunkte gehen und bei A 1 beginnen:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Finden wir nun die Längen dieser Zyklen (in km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Die Route mit der kleinsten Länge ist also die erste.

Beachten Sie: Wenn ein Graph n Ecken hat und alle Ecken paarweise durch Kanten verbunden sind (ein solcher Graph heißt vollständig), dann ist die Anzahl der Zyklen, die durch alle Ecken gehen, gleich, also gibt es in unserem Fall genau drei Zyklen .

6) Das Problem, einen Zusammenhang zwischen Struktur und Eigenschaften von Stoffen zu finden.

Betrachten Sie einige Chemische Komponenten normale Alkane genannt. Sie bestehen aus n Kohlenstoffatomen und n + 2 Wasserstoffatomen (n = 1, 2 ...), die wie in Abbildung 3 für n = 3 gezeigt miteinander verbunden sind. Die experimentellen Werte der Siedepunkte dieser Verbindungen seien bekannt:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Für diese Verbindungen muss ein ungefährer Zusammenhang zwischen dem Siedepunkt und der Zahl n gefunden werden. Wir nehmen an, dass diese Abhängigkeit die Form hat

ja » a n+b

wo a, b - zu bestimmende Konstanten. Zur Findung a und b setzen wir in diese Formel nacheinander n = 3, 4, 5, 6 und die entsprechenden Werte der Siedepunkte ein. Wir haben:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Um das Beste zu bestimmen a und b gibt es viele verschiedene Methoden. Lassen Sie uns die einfachsten von ihnen verwenden. Wir drücken b durch aus a aus diesen Gleichungen:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Nehmen wir als gewünschtes b das arithmetische Mittel dieser Werte, d. h. wir setzen b » 16 - 4,5 a. Lassen Sie uns diesen Wert b in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen und berechnen a, bekommen wir für a folgende Werte: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a der Durchschnittswert dieser Zahlen, das heißt, wir setzen a» 34. Die gesuchte Gleichung hat also die Form

y » 34n – 139.

Lassen Sie uns die Genauigkeit des Modells an den ersten vier Verbindungen überprüfen, für die wir die Siedepunkte mit der erhaltenen Formel berechnen:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Somit überschreitet der Berechnungsfehler dieser Eigenschaft für diese Verbindungen 5° nicht. Wir verwenden die resultierende Gleichung, um den Siedepunkt einer Verbindung mit n = 7 zu berechnen, die nicht in der Anfangsmenge enthalten ist, für die wir n = 7 in diese Gleichung einsetzen: y ð (7) = 99°. Das Ergebnis erwies sich als ziemlich genau: Es ist bekannt, dass der experimentelle Wert des Siedepunkts y e (7) = 98 ° beträgt.

7) Das Problem der Bestimmung der Zuverlässigkeit des Stromkreises.

Hier betrachten wir ein Beispiel eines probabilistischen Modells. Lassen Sie uns zunächst einige Informationen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie geben - einer mathematischen Disziplin, die die Muster zufälliger Phänomene untersucht, die während der wiederholten Wiederholung eines Experiments beobachtet werden. Nennen wir ein zufälliges Ereignis A ein mögliches Ergebnis einer Erfahrung. Die Ereignisse A 1 , ..., A k bilden eine vollständige Gruppe, wenn eines davon notwendigerweise als Ergebnis des Experiments eintritt. Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten können. Das Ereignis A trete während der n-fachen Wiederholung des Experiments m-mal auf. Die Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl W = . Offensichtlich kann der Wert von W nicht genau vorhergesagt werden, bis eine Reihe von n Experimenten durchgeführt wurde. Die Natur zufälliger Ereignisse ist jedoch so, dass in der Praxis manchmal der folgende Effekt beobachtet wird: Mit einer Erhöhung der Anzahl von Experimenten hört der Wert praktisch auf, zufällig zu sein, und stabilisiert sich um eine nicht zufällige Zahl P(A), die als bezeichnet wird Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Für ein unmögliches Ereignis (das im Experiment nie eintritt) ist P(A)=0, und für ein bestimmtes Ereignis (das im Experiment immer eintritt) P(A)=1. Wenn die Ereignisse A 1 , ..., A k eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bilden, dann ist P(A 1)+...+P(A k) = 1.

Angenommen, das Experiment besteht darin, einen Würfel zu werfen und die Anzahl der gefallenen Punkte X zu beobachten. Dann können wir die folgenden zufälligen Ereignisse einführen A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Sie bilden sich eine vollständige Gruppe inkompatibler gleichwahrscheinlicher Ereignisse, also P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Die Summe der Ereignisse A und B ist das Ereignis A + B, das darin besteht, dass mindestens eines davon im Experiment auftritt. Das Produkt der Ereignisse A und B ist das Ereignis AB, das im gleichzeitigen Auftreten dieser Ereignisse besteht. Für die unabhängigen Ereignisse A und B gelten die Formeln

P(AB) = P(A)P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Betrachten Sie nun das Folgende Aufgabe. Angenommen, drei Elemente sind in einem Stromkreis in Reihe geschaltet und arbeiten unabhängig voneinander. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten des 1., 2. und 3. Elements sind jeweils P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Wir betrachten die Schaltung als zuverlässig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass kein Strom in der Schaltung fließt, nicht mehr als 0,4 beträgt. Es muss festgestellt werden, ob die gegebene Kette zuverlässig ist.

Da die Elemente in Reihe geschaltet sind, fließt kein Strom im Stromkreis (Ereignis A), wenn mindestens eines der Elemente ausfällt. Sei A i das Ereignis dass i-tes Element funktioniert (i = 1, 2, 3). Dann ist P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Offensichtlich ist A 1 A 2 A 3 das Ereignis, dass alle drei Elemente gleichzeitig arbeiten, und

P(EIN 1 EIN 2 EIN 3) = P(EIN 1) P(EIN 2) P(EIN 3) = 0,612.

Dann ist P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, also P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Abschließend stellen wir fest, dass die obigen Beispiele mathematischer Modelle (darunter funktionale und strukturelle, deterministische und probabilistische) illustrativ sind und offensichtlich nicht die gesamte Vielfalt mathematischer Modelle erschöpfen, die in den Natur- und Geisteswissenschaften auftreten.

Die Aufgabenstellungen, die durch LP-Methoden gelöst werden, sind inhaltlich sehr vielfältig. Ihre mathematischen Modelle sind jedoch ähnlich und werden bedingt zu drei großen Problemgruppen kombiniert:

• Transportaufgaben;
• Planungsaufgaben;

Lassen Sie uns Beispiele für spezifische wirtschaftliche Probleme jeder Art betrachten und uns im Detail mit dem Aufbau eines Modells für jedes Problem befassen.

Transportaufgabe

Auf zwei Handelsbasen ABER und BEI Es gibt 30 Möbelsätze, 15 für jeden. Alle Möbel müssen an zwei Möbelhäuser geliefert werden, AUS und D und in AUS Sie müssen 10 Headsets liefern und rein D- 20. Es ist bekannt, dass die Lieferung eines Headsets von der Basis aus erfolgt ABER Zum Geschäft AUS kostet eine Geldeinheit in den Laden D- in drei Geldeinheiten. Laut Basis BEI zu Geschäften AUS und D: zwei und fünf Geldeinheiten. Machen Sie einen Transportplan, damit die Kosten für alle Transporte am geringsten sind.
Der Einfachheit halber markieren wir diese Aufgaben in einer Tabelle. Am Schnittpunkt von Zeilen und Spalten stehen Zahlen, die die Kosten des jeweiligen Transports charakterisieren (Tab. 3.1).

Tabelle 3.1

Lassen Sie uns ein mathematisches Modell des Problems erstellen.
Variablen müssen eingegeben werden. Der Wortlaut der Frage besagt, dass es notwendig ist, einen Transportplan zu erstellen. Bezeichne mit X 1 , X 2 Anzahl von Headsets, die von der Basis transportiert werden ABER zu Geschäften AUS und D bzw. durch bei 1 , bei 2 - die Anzahl der von der Basis transportierten Headsets BEI zu Geschäften AUS und D beziehungsweise. Dann die Menge der aus dem Lager entnommenen Möbel ABER, gleich ( X 1 + X 2) gut ab Lager BEI - (bei 1 + bei 2). Bedarf speichern AUS ist gleich 10 Headsets, und sie haben es mitgebracht ( X 1 + bei 1) Stücke, d.h. X 1 + bei 1 = 10. Ähnlich für den Laden D wir haben X 2 + bei 2 = 20. Beachten Sie, dass der Bedarf der Geschäfte genau der Anzahl der auf Lager befindlichen Headsets entspricht X 1 + bei 2 = 15 und bei 1 + bei 2 = 15. Wenn Sie weniger als 15 Sets aus den Lagern nehmen würden, hätten die Läden nicht genug Möbel, um ihren Bedarf zu decken.
Also die Variablen X 1 , X 2 , bei 1 , bei 2 sind im Sinne des Problems nichtnegativ und erfüllen das Nebenbedingungssystem:
(3.1)
Bezeichnung durch F Versandkosten, lass sie uns zählen. für den Transport eines Möbelsatzes aus ABER in AUS einen Tag verbringen. Einheiten, für den Transport x 1 Sätze - x 1 Tag Einheiten Ebenso für den Transport x 2 Sätze von ABER in D Kosten 3 x 2 Tage Einheiten; aus BEI in AUS - 2j 1 Tag Einheiten, ab BEI in D - 5j 2 Tage Einheiten
So,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2j 1 + 5j 2 → Minute (3.2)
(Wir möchten, dass die Gesamtversandkosten so niedrig wie möglich sind).
Formulieren wir das Problem mathematisch.
Finden Sie auf der Lösungsmenge des Constraint-Systems (3.1) eine Lösung, die die Zielfunktion minimiert F(3.2) oder finde den optimalen Plan ( x 1 , x 2, j 1 , j 2) bestimmt durch das Nebenbedingungssystem (3.1) und die Zielfunktion (3.2).
Das betrachtete Problem lässt sich allgemeiner darstellen, mit beliebig vielen Anbietern und Verbrauchern.
In dem betrachteten Problem ist die Verfügbarkeit von Fracht von Lieferanten (15 + 15) gleich dem Gesamtbedarf der Verbraucher (10 + 20). Ein solches Modell heißt abgeschlossen, und die entsprechende Aufgabe ist ausgewogener Transport Aufgabe.
Bei ökonomischen Berechnungen spielen auch die sogenannten offenen Modelle eine große Rolle, bei denen die angegebene Gleichheit nicht eingehalten wird. Entweder ist das Angebot der Lieferanten größer als die Nachfrage der Verbraucher oder die Nachfrage übersteigt die Verfügbarkeit von Gütern. Beachten Sie, dass dann das System der Beschränkungen des unausgeglichenen Transportproblems zusammen mit den Gleichungen auch Ungleichungen enthalten wird.

Fragen zur Selbstkontrolle
1. Darstellung des Transportproblems. beschreiben den Aufbau eines mathematischen Modells.
2. Was ist ein balanciertes und unbalanciertes Transportproblem?
3. Was wird in der Zielfunktion der Transportaufgabe berechnet?
4. Was spiegelt jede Ungleichung des Zwangssystems des Planproblems wider?
5. Was spiegelt jede Ungleichung des Nebenbedingungensystems des Mischungsproblems wider?
6. Was bedeuten die Variablen im Planproblem und im Mischungsproblem?