يسمى المثلث ذو الأضلاع المختلفة. أنواع المثلثات. زوايا المثلث. ما هي المثلثات

اليوم نذهب إلى بلد الهندسة ، حيث سنتعرف على أنواع مختلفة من المثلثات.

افحص الأشكال الهندسية وابحث عن "الزائد" فيما بينها (الشكل 1).

أرز. 1. التوضيح على سبيل المثال

نرى أن الأشكال رقم 1 ، 2 ، 3 ، 5 هي رباعي الزوايا. كل منهم له اسمه الخاص (الشكل 2).

أرز. 2. المربعات

هذا يعني أن الشكل "الإضافي" هو مثلث (الشكل 3).

أرز. 3. التوضيح على سبيل المثال

المثلث هو شكل يتكون من ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم ، وثلاثة مقاطع خطية تربط هذه النقاط في أزواج.

النقاط تسمى رؤوس المثلث، شرائح - له حفلات. شكل أضلاع المثلث هناك ثلاث زوايا عند رءوس المثلث.

الملامح الرئيسية للمثلث هي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا.تصنف المثلثات حسب الزاوية حادة ومستطيلة ومنفرجة.

يسمى المثلث بزاوية حادة إذا كانت زواياه الثلاث حادة ، أي أقل من 90 درجة (الشكل 4).

أرز. 4. المثلث الحاد

يسمى المثلث بزاوية قائمة إذا كانت إحدى زواياه 90 درجة (الشكل 5).

أرز. 5. مثلث قائم الزاوية

يسمى المثلث منفرجة إذا كانت إحدى زواياه منفرجة ، أي أكبر من 90 درجة (الشكل 6).

أرز. 6. مثلث منفرد

وفقًا لعدد الأضلاع المتساوية ، تكون المثلثات متساوية الأضلاع ، متساوية الساقين ، مدرجة.

المثلث المتساوي الساقين هو مثلث متساوي الأضلاع (الشكل 7).

أرز. 7. مثلث متساوي الساقين

تسمى هذه الجوانب الجانبي، الجانب الثالث - أساس. في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية.

المثلثات متساوية الساقين هي حادة ومنفرجة(الشكل 8) .

أرز. 8. مثلثات متساوية الساقين حادة ومنفرجة

يسمى المثلث المتساوي الأضلاع ، حيث تكون الأضلاع الثلاثة متساوية (الشكل 9).

أرز. 9. مثلث متساوي الأضلاع

في مثلث متساوي الأضلاع كل الزوايا متساوية. مثلثات متساوية الأضلاعدائماً بزاوية حادة.

يسمى المثلث متعدد الاستخدامات ، حيث يكون للأضلاع الثلاثة أطوال مختلفة (الشكل 10).

أرز. 10. Scalene مثلث

اكمل المهمة. قسّم هذه المثلثات إلى ثلاث مجموعات (الشكل 11).

أرز. 11. توضيح للمهمة

أولًا ، لنقوم بالتوزيع وفقًا لحجم الزوايا.

المثلثات الحادة: رقم 1 ، رقم 3.

المثلثات اليمنى: # 2 ، # 6.

مثلثات منفرجة: # 4 ، # 5.

تنقسم هذه المثلثات إلى مجموعات حسب عدد الأضلاع المتساوية.

مثلثات Scalene: رقم 4 ، رقم 6.

مثلثات متساوية الساقين: رقم 2 ، رقم 3 ، رقم 5.

مثلث متساوي الأضلاع: رقم 1.

راجع الرسومات.

فكر في قطعة السلك التي يتكون منها كل مثلث (شكل 12).

أرز. 12. توضيح للمهمة

يمكنك أن تجادل مثل هذا.

أول قطعة من السلك مقسمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، بحيث يمكنك صنعها مثلث متساوي الاضلاع. يظهر الثالث في الشكل.

القطعة الثانية من السلك مقسمة إلى ثلاثة أجزاء مختلفة ، لذا يمكنك أن تجعل منها مثلثًا متدرجًا. يظهر أولاً في الصورة.

القطعة الثالثة من السلك مقسمة إلى ثلاثة أجزاء ، حيث يكون الجزءان متساويان في الطول ، لذا يمكنك أن تصنع منها مثلثًا متساوي الساقين. يظهر في المرتبة الثانية في الصورة.

اليوم في الدرس تعرفنا على أنواع مختلفة من المثلثات.

فهرس

م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 1. - م: "التنوير" ، 2012.
م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 2. - م: "التنوير" ، 2012.
م. مورو. دروس الرياضيات: القواعد الارشاديةللمعلم. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
وثيقة تنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. - م: التنوير 2011.
"مدرسة روسيا": برامج لـ مدرسة ابتدائية. - م: التنوير 2011.
S.I. فولكوف. الرياضيات: عمل التحقق. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
في. رودنيتسكايا. الاختبارات. - م: "امتحان" 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

الواجب المنزلي

1. قم بإنهاء العبارات.

أ) المثلث هو شكل يتكون من ... ، لا يقع على نفس الخط المستقيم ، و ... ، يربط هذه النقاط في أزواج.

ب) تسمى النقاط … ، شرائح - له … . تتكون أضلاع المثلث عند رءوس المثلث ….

ج) حسب حجم الزاوية ، تكون المثلثات ... ، ... ، ....

د) حسب عدد الأضلاع المتساوية ، تكون المثلثات ... ، ... ، ....

2. ارسم

أ) مثلث قائم الزاوية

ب) مثلث حاد.

ج) مثلث منفرج.

د) مثلث متساوي الأضلاع.

ه) مثلث سكالين.

ه) مثلث متساوي الساقين.

3. اجعل مهمة حول موضوع الدرس لرفاقك.

اليوم نذهب إلى بلد الهندسة ، حيث سنتعرف على أنواع مختلفة من المثلثات.

افحص الأشكال الهندسية وابحث عن "الزائد" فيما بينها (الشكل 1).

أرز. 1. التوضيح على سبيل المثال

نرى أن الأشكال رقم 1 ، 2 ، 3 ، 5 هي رباعي الزوايا. كل منهم له اسمه الخاص (الشكل 2).

أرز. 2. المربعات

هذا يعني أن الشكل "الإضافي" هو مثلث (الشكل 3).

أرز. 3. التوضيح على سبيل المثال

المثلث هو شكل يتكون من ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم ، وثلاثة مقاطع خطية تربط هذه النقاط في أزواج.

النقاط تسمى رؤوس المثلث، شرائح - له حفلات. شكل أضلاع المثلث هناك ثلاث زوايا عند رءوس المثلث.

الملامح الرئيسية للمثلث هي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا.تصنف المثلثات حسب الزاوية حادة ومستطيلة ومنفرجة.

يسمى المثلث بزاوية حادة إذا كانت زواياه الثلاث حادة ، أي أقل من 90 درجة (الشكل 4).

أرز. 4. المثلث الحاد

يسمى المثلث بزاوية قائمة إذا كانت إحدى زواياه 90 درجة (الشكل 5).

أرز. 5. مثلث قائم الزاوية

يسمى المثلث منفرجة إذا كانت إحدى زواياه منفرجة ، أي أكبر من 90 درجة (الشكل 6).

أرز. 6. مثلث منفرد

وفقًا لعدد الأضلاع المتساوية ، تكون المثلثات متساوية الأضلاع ، متساوية الساقين ، مدرجة.

المثلث المتساوي الساقين هو مثلث متساوي الأضلاع (الشكل 7).

أرز. 7. مثلث متساوي الساقين

تسمى هذه الجوانب الجانبي، الجانب الثالث - أساس. في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية.

المثلثات متساوية الساقين هي حادة ومنفرجة(الشكل 8) .

أرز. 8. مثلثات متساوية الساقين حادة ومنفرجة

يسمى المثلث المتساوي الأضلاع ، حيث تكون الأضلاع الثلاثة متساوية (الشكل 9).

أرز. 9. مثلث متساوي الأضلاع

في مثلث متساوي الأضلاع كل الزوايا متساوية. مثلثات متساوية الأضلاعدائماً بزاوية حادة.

يسمى المثلث متعدد الاستخدامات ، حيث يكون للأضلاع الثلاثة أطوال مختلفة (الشكل 10).

أرز. 10. Scalene مثلث

اكمل المهمة. قسّم هذه المثلثات إلى ثلاث مجموعات (الشكل 11).

أرز. 11. توضيح للمهمة

أولًا ، لنقوم بالتوزيع وفقًا لحجم الزوايا.

المثلثات الحادة: رقم 1 ، رقم 3.

المثلثات اليمنى: # 2 ، # 6.

مثلثات منفرجة: # 4 ، # 5.

تنقسم هذه المثلثات إلى مجموعات حسب عدد الأضلاع المتساوية.

مثلثات Scalene: رقم 4 ، رقم 6.

مثلثات متساوية الساقين: رقم 2 ، رقم 3 ، رقم 5.

مثلث متساوي الأضلاع: رقم 1.

راجع الرسومات.

فكر في قطعة السلك التي يتكون منها كل مثلث (شكل 12).

أرز. 12. توضيح للمهمة

يمكنك أن تجادل مثل هذا.

أول قطعة من السلك مقسمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، بحيث يمكنك صنع مثلث متساوي الأضلاع منها. يظهر الثالث في الشكل.

اليوم في الدرس تعرفنا على أنواع مختلفة من المثلثات.

فهرس

م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 1. - م: "التنوير" ، 2012.
م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 2. - م: "التنوير" ، 2012.
م. مورو. دروس الرياضيات: إرشادات للمعلمين. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
وثيقة تنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. - م: التنوير 2011.
"مدرسة روسيا": برامج للمدارس الابتدائية. - م: التنوير 2011.
S.I. فولكوف. الرياضيات: اختبار العمل. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
في. رودنيتسكايا. الاختبارات. - م: "امتحان" 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

الواجب المنزلي

1. قم بإنهاء العبارات.

أ) المثلث هو شكل يتكون من ... ، لا يقع على نفس الخط المستقيم ، و ... ، يربط هذه النقاط في أزواج.

ب) تسمى النقاط … ، شرائح - له … . تتكون أضلاع المثلث عند رءوس المثلث ….

ج) حسب حجم الزاوية ، تكون المثلثات ... ، ... ، ....

د) حسب عدد الأضلاع المتساوية ، تكون المثلثات ... ، ... ، ....

2. ارسم

أ) مثلث قائم الزاوية

ب) مثلث حاد.

ج) مثلث منفرج.

د) مثلث متساوي الأضلاع.

ه) مثلث سكالين.

ه) مثلث متساوي الساقين.

3. اجعل مهمة حول موضوع الدرس لرفاقك.

المثلث (من وجهة نظر فضاء إقليدس) هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أجزاء تربط ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد. تسمى النقاط الثلاث التي تشكل مثلثًا رؤوسه ، وتسمى مقاطع الخط التي تربط الرؤوس جوانب المثلث. ما هي المثلثات؟

مثلثات متساوية

هناك ثلاث علامات على المساواة بين المثلثات. ما هي المثلثات التي تسمى متساوية؟ هؤلاء هم الذين:

الضلعان والزاوية بين هذه الجوانب متساوية ؛
ضلع وزاويتان متجاورتان متساويتان ؛
جميع الجوانب الثلاثة متساوية.

في مثلثات قائمةهناك علامات المساواة التالية:

على طول الزاوية الحادة والوتر.
على طول الزاوية والساق الحادة.
على قدمين
على طول الوتر والقسطرة.

ما هي المثلثات

وفقًا لعدد الأضلاع المتساوية ، يمكن أن يكون المثلث:

متساوي الاضلاع. إنه مثلث بثلاثة أضلاع متساوية. كل زوايا مثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة. بالإضافة إلى ذلك ، تتطابق مراكز الدوائر المحددة والمنقوشة.
أحادي الجانب. مثلث بلا أضلاع متساوية.
متساوي الساقين. إنه مثلث ضلعين متساويين. الضلعان المتماثلان هما الضلعان ، والضلع الثالث هو القاعدة. في مثل هذا المثلث ، يتطابق المنصف والوسيط والارتفاع إذا تم إنزالهم إلى القاعدة.

وفقًا لحجم الزوايا ، يمكن أن يكون المثلث:

منفرج - عندما تزيد قيمة إحدى الزوايا عن 90 درجة ، أي عندما تكون منفرجة.
الزاوية الحادة - إذا كانت جميع الزوايا الثلاث في المثلث حادة ، أي أن قيمتها أقل من 90 درجة.
أي مثلث يسمى مثلث قائم الزاوية؟ هذه زاوية قائمة واحدة تساوي 90 درجة. سيطلق على الأرجل الموجودة فيه الضلعان اللذان يشكلان هذه الزاوية ، والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

الخصائص الأساسية للمثلثات

تقع الزاوية الأصغر دائمًا مقابل الضلع الأصغر ، والزاوية الأكبر تقع دائمًا مقابل الضلع الأكبر.
تقع الزوايا المتساوية دائمًا على جوانب متساوية متقابلة ، بينما تقع الأضلاع المتقابلة دائمًا في زوايا مختلفة. على وجه الخصوص ، في مثلث متساوي الأضلاع ، كل الزوايا لها نفس القيمة.
مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة.
يمكن الحصول على زاوية خارجية بمد أحد جوانبها إلى مثلث. ستكون قيمة الزاوية الخارجية مساوية لمجموع الزوايا الداخلية غير المجاورة لها.
ضلع المثلث أكبر من الفرق بين ضلعيه الآخرين ، لكنه أقل من مجموع ضلعه.

في الهندسة المكانية لـ Lobachevsky ، سيكون مجموع زوايا المثلث دائمًا أقل من 180 درجة. على الكرة ، هذه القيمة أكبر من 180 درجة. يسمى الفرق بين 180 درجة ومجموع زوايا المثلث عيبًا.

عند اتخاذ القرار مشاكل هندسيةمن المفيد اتباع مثل هذه الخوارزمية. أثناء قراءة بيان المهمة ، من الضروري

جعل الرسم. يجب أن يتوافق الرسم مع حالة المشكلة قدر الإمكان ، لذا فإن مهمته الرئيسية هي المساعدة في إيجاد الحل
قم بتطبيق جميع البيانات من شرط المهمة على الرسم
اكتب كل شيء مفاهيم هندسيةالتي تمت مواجهتها في المشكلة
تذكر كل النظريات التي تتعلق بهذا المفهوم
ضع على الرسم كل العلاقات بين العناصر الشكل الهندسي، والتي تتبع من هذه النظريات

على سبيل المثال ، إذا كانت المهمة تحتوي على الكلمات منصف زاوية المثلث ، فأنت بحاجة إلى تذكر تعريف وخصائص المنصف وتعيين مقاطع وزوايا متساوية أو متناسبة في الرسم.

في هذه المقالة سوف تجد الخصائص الأساسية للمثلث الذي تحتاج إلى معرفته من أجل حل ناجحمهام.

مثلث.

مساحة المثلث.

1. ,

هنا - جانب تعسفي من المثلث - يتم خفض الارتفاع إلى هذا الجانب.

2. ,

وهنا جوانب اعتباطية من المثلث ، هي الزاوية بين هذين الجانبين:

3. صيغة مالك الحزين:

هنا - أطوال جانبي المثلث ، - نصف مقياس المثلث ،

4. ,

هنا - نصف قطر المثلث - نصف قطر الدائرة المنقوشة.

اسمحوا أن تكون أطوال مقاطع الظل.

ثم يمكن كتابة صيغة هيرون بالشكل التالي:

6. ,

هنا - أطوال أضلاع المثلث - نصف قطر الدائرة المحصورة.

إذا تم أخذ نقطة على أحد جوانب المثلث الذي يقسم هذا الجانب في النسبة m: n ، فإن الجزء الذي يربط هذه النقطة برأس الزاوية المقابلة يقسم المثلث إلى مثلثين ، مساحتهما مرتبطة بـ m :ن:

نسبة مساحات المثلثات المتشابهة تساوي مربع معامل التشابه.

متوسط المثلث

هذه قطعة مستقيمة تصل رأس المثلث بنقطة منتصف الضلع المقابل.

متوسطات المثلثتتقاطع عند نقطة واحدة وتشترك في نقطة التقاطع بنسبة 2: 1 ، عد من الأعلى.

تقسم نقطة التقاطع لمتوسطات المثلث العادي الوسيط إلى جزأين ، أصغرهما يساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة ، والأكبر يساوي نصف قطر الدائرة المحددة.

نصف قطر الدائرة المحصورة ضعف نصف قطر الدائرة المنقوشة: R = 2r

متوسط الطولمثلث تعسفي

هنا - الوسيط المرسوم على الجانب - أطوال أضلاع المثلث.

منصف المثلث

هذا جزء من منصف أي زاوية في مثلث ، يربط رأس هذه الزاوية بالجانب المقابل.

منصف المثلثيقسم الجانب إلى مقاطع تتناسب مع الجوانب المجاورة:

منصفات المثلثتتقاطع عند نقطة واحدة ، وهي مركز الدائرة المنقوشة.

جميع النقاط على منصف الزاوية تكون على مسافة متساوية من جانبي الزاوية.

ارتفاع المثلث

هذا جزء من العمود العمودي ، يتم خفضه من رأس المثلث إلى الضلع المقابل ، أو استمراره. في مثلث منفرج ، يقع الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية الحادة خارج المثلث.

تتقاطع ارتفاعات المثلث عند نقطة واحدة ، وهو ما يسمى مركز تقويم المثلث.

لإيجاد ارتفاع المثلثمرسومًا على الجانب ، فأنت بحاجة إلى إيجاد مساحته بأي طريقة ممكنة ، ثم استخدم الصيغة:

مركز دائرة محاط بمثلث، تقع عند نقطة تقاطع المنصفات العمودية المرسومة على جانبي المثلث.

نصف قطر الدائرة المحددة للمثلث يمكن العثور عليها باستخدام الصيغ التالية:

هنا ، أطوال أضلاع المثلث ، وهي مساحة المثلث.

أين طول ضلع المثلث ، هل هي الزاوية المقابلة. (هذه الصيغة تتبع نظرية الجيب).

عدم المساواة المثلث

كل جانب من أضلاع المثلث أصغر من المجموع وأكبر من الفرق بين الضلعين الآخرين.

دائمًا ما يكون مجموع أطوال أي جانبين أكبر من طول الضلع الثالث:

مقابل الضلع الأكبر تكمن زاوية أكبر ؛ مقابل الزاوية الأكبر يقع الجانب الأكبر:

إذا ، ثم العكس بالعكس.

نظرية الجيب:

تتناسب جوانب المثلث مع جيوب الزوايا المقابلة:

نظرية جيب التمام:

الجانب المربع من المثلث يساوي المجموعمربعات الضلعين الآخرين دون مضاعفة حاصل ضرب هذين الضلعين بجيب تمام الزاوية بينهما:

مثلث قائم

- إنه مثلث بإحدى زواياه تساوي 90 درجة.

مجموع زوايا حادةالمثلث القائم الزاوية 90 درجة.

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية 90 °. الوتر هو الضلع الأطول.

نظرية فيثاغورس:

مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين:

نصف قطر الدائرة المدرجة في مثلث قائم الزاوية هو

هنا - نصف قطر الدائرة المنقوشة ، - الأرجل ، - الوتر:

مركز دائرة محصور حول مثلث قائم الزاوية تقع في منتصف الوتر:

متوسط مثلث قائم الزاوية مرسوم على الوتريساوي نصف طول الوتر.

تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل لمثلث قائم الزاويةيرى

نسبة العناصر في مثلث قائم الزاوية:

مربع ارتفاع مثلث قائم الزاوية مرسوم من قمة رأس زاوية مستقيمة، يساوي ناتج نتوءات الساقين على الوتر:

يساوي مربع الساق حاصل ضرب الوتر وإسقاط الساق على الوتر:

الساق مستلقية على الزاوية يساوي نصف الوتر:

مثلث متساوي الساقين.

منصف مثلث متساوي الساقينالمرسوم إلى القاعدة هو الوسيط والارتفاع.

في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية.

الزاوية العلوية.

أنا - الجانبين

و- زوايا القاعدة.

الطول والمنصف والمتوسط.

انتباه!لا يتطابق الارتفاع والمنصف والمتوسط المرسوم على الجانب الجانبي.

مثلث قائم

(أو مثلث متساوي الاضلاع ) مثلث ، جميع جوانبه وزواياه متساوية.

مساحة مثلث متساوي الأضلاعيساوي

أين طول ضلع المثلث.

مركز دائرة منقوشة في مثلث متساوي الأضلاع، يتزامن مع مركز الدائرة المحصور حول مثلث متساوي الأضلاع ويقع عند نقطة تقاطع المتوسطات.

نقطة تقاطع متوسطات مثلث متساوي الأضلاعيقسم الوسيط إلى جزأين ، أصغرهما يساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة ، والأكبر يساوي نصف قطر الدائرة المحصورة.

إذا كانت إحدى زوايا المثلث متساوي الساقين 60 درجة ، فهذا يعني أن المثلث منتظم.

الخط الأوسط للمثلث

هذا هو الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف من الجانبين.

في الشكل ، DE هو خط الوسط للمثلث ABC.

خط المنتصف للمثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه: DE || AC ، AC = 2DE

الزاوية الخارجية للمثلث

هذه هي الزاوية المجاورة لأي زاوية في المثلث.

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع زاويتين غير متجاورتين له.

الدوال المثلثية للزاوية الخارجية:

علامات تساوي المثلثات:

1 . إذا كان الضلعان والزاوية بينهما في مثلث واحد متساويين على التوالي ضلعين والزاوية بينهما لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متطابقة.

2 . إذا كان أحد الأضلاع وزاويتان متجاورتان لمثلث ما متساويين على التوالي مع ضلع وزاويتين متجاورتين لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متطابقة.

3 إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة جوانب لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متطابقة.

الأهمية:لأنه في المثلث القائم الزاوية من الواضح أن زاويتين متساويتين ، إذن المساواة بين مثلثين صحيحينمطلوب عنصران فقط ليكونا متساويين: جانبان ، أو جانب وزاوية حادة.